三角函数定义

三角函数定义（精选十篇）

三角函数定义 篇1

例1 (2014·上海) 如图1, 已知在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, CD是斜边AB上的中线, 过点A作AE⊥CD, AE分别与CD、CB相交于点H、E, AH=2CH.

(1) 求sin B的值;

(2) 如果, 求BE的值.

【思路突破】由已知AH=2CH, 在Rt△ACH中, 可求∠2的正弦, 要求∠B的正弦, 只需要证∠B=∠2.再由中线, 可求, 由sin B可求AC的长, 由勾股定理可求BC, 再通过tan∠2=tan B, 便可求出CE的长, 也就可求BE的长了.

解: (1) ∵AE⊥CD,

∴∠AHC=90°,

由AH=2CH, 可设CH=a, 则AH=2a,

由勾股定理可得,

在Rt△ACH中, s

∵CD是直角三角形ACB斜边上的中线,

∴AC=2, 由勾股定理得BC=4,

【解后反思】在不同的直角三角形中, 找出相等的角, 然后再利用三角函数的定义找出等量关系是解决此类问题的关键.

例2如图2, Rt△ABC中, ∠ACB=90°, AC=6 cm, BC=8 cm, 动点P从点B出发, 在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动, 同时动点Q从点C出发, 在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动, 运动时间为t秒 (0<t<2) , 连接PQ.

(1) 若△BPQ与△ABC相似, 求t的值;

(2) 连接AQ, CP, 若AQ⊥CP, 求t的值.

【思路突破】 (1) △BPQ与△ABC相似, 分两种情况;

(2) 抓住∠BCP=∠QAC, 利用三角函数的定义寻找等量关系.

解: (1) ∵∠ACB=90°, AC=6, BC=8,

∴AB=10.

又由条件可知BP=5t, QC=4t, BQ=8-4t.

分两种情况讨论:

(2) 过P作PM ⊥BC于点M, AQ、CP交于点N, 则有PB=5t, AB=10, AC=6, , 得PM=3t, BM=4t, MC=8-4t,

三角函数的定义教案 篇2

(1)立足课本、抓好基础

现在高考非常重视三角函数图像与性质等基础知识的考查，所以在学习中首先要打好基础。

(2)三角函数的定义一定要清楚

我们在学习三角函数时，老师就会强调我们要把角放在平面直角坐标系中去讨论。角的顶点放在坐标原点，始边放在X的轴的正半轴上，这样再强调六种三角函数只与三个量有关:即角的终边上任一点的横坐标x、纵坐标y以及这一点到原点的距离r中取两个量组成的比值，这里得强调一下，对于任意一个α一经确定，它所对的每一个比值是确定的，也就说是它们之间满足函数关系。并且三者的关系是，x2+y2=r2，x，y可以任意取值，r只能取正数。

(3)同角的三角函数关系

同角的三角函数关系可以分为平方关系：sin2α+cos2α=1、tan2α+1=sec2α、cotα2+1=csc2α，倒数关系：tanαcotα=1,商的关系:tanα=sinα/cosα等等,对于同角的三角函数，直接用三角函数的定义证明比较容易，记忆也比较方便，相关角的三角函数的关系可以分为终边相同的角、终边关于x轴对称的角、终边关于直线y=x对称的角、终边关于y轴对称的角、终边关于原点对称的角五种关系。

(4)加强三角函数应用意识

三角函数产生于生产实践，也被广泛应用与实践，因此，应该培养我们对三角函数的应用能力。

巧用锐角三角函数定义解几何题 篇3

例1 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，CD⊥AB于点D，求∠BCD的三个三角函数值.

【分析】求∠BCD的三个三角函数值，关键要弄清其定义，由于∠BCD是Rt△BCD的一个内角，根据定义，仅一边BC是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出BD和CD，二是把∠BCD转化成∠A，显然走第二条路较方便，因为在Rt△ABC中，三边均可得出，利用三角函数定义即可求出答案.

解：在Rt△ABC中，

∵∠ACB=90°

∴∠BCD+∠ACD=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠ACD+∠A=90°，

∴∠BCD=∠A.

在Rt△ABC中，由勾股定理得，

AB==10，

∴sin∠BCD=sinA==，

cos∠BCD=cosA==，

tan∠BCD=tanA==.

【评注】运用三角函数定义解题的关键是：确定所求的角所在的直角三角形，准确掌握三角函数的公式. 本题也可利用相似求出BD、DC，再利用三角函数定义直接求解.

例2 如图2，在△ABC中，∠B=45°，AD=5，AC=7，DC=3，求∠ADC及AB的长.

【分析】要求∠ADC的度数，可先求∠ADE的度数，而求出∠ADE的三角函数值即可求出∠ADE的度数. 过点A作AE⊥BC于点E，构造出直角三角形，利用三角函数的定义即可求出∠ADE的三角函数值，再利用三角函数的定义求AB.

解：过点A作AE⊥BC于点E，设ED=x，则有AE2=AD2-DE2=AC2-EC2，

∴52-x2=72-（x+3）2，解得x=，

所以ED=，

故cos∠ADE==，

所以∠ADE=60°，即∠ADC=120°，

又AE==，

所以AB==.

【评注】恰当地构造出直角三角形是利用三角函数的定义解决问题的一个重要方法. 同时要注意与勾股定理、相似等知识综合使用.

例3 如图3，△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，若AD=AC，CE=BC，求证：∠1=∠2.

【分析】过点E作EF⊥AB于点F，分别求出∠1与∠2的三角函数值来说明它们之间的关系.

证明：过点E作EF⊥AB于点F，设AC=BC=3k，则CE=k，CD=BE=2k，AB=3k，

∵∠B=45°，

∴EF=FB=k，AF=2k，

∴tan∠1===，

tan∠2===，

∴tan∠1=tan∠2，

∴∠1=∠2.

【评注】用三角函数来证（解）几何问题，是把几何变换和复杂的推理转化为三角函数的运算，常可使题中各种量之间的关系变得简单明了. 在今后的学习中应多注意这种方法的应用. 注意在解题中常需作垂线，将其转化为直角三角形问题.

巧用锐角三角函数定义解几何题 篇4

例1如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,CD⊥AB于点D,求∠BCD的三个三角函数值.

【分析】求∠BCD的三个三角函数值,关键要弄清其定义,由于∠BCD是Rt△BCD的一个内角,根据定义,仅一边BC是已知的,此时有两条路可走,一是设法求出BD和CD,二是把∠BCD转化成∠A,显然走第二条路较方便,因为在Rt△ABC中,三边均可得出,利用三角函数定义即可求出答案.

【评注】运用三角函数定义解题的关键是:确定所求的角所在的直角三角形,准确掌握三角函数的公式. 本题也可利用相似求出BD、DC,再利用三角函数定义直接求解.

例2如图2,在△ABC中,∠B=45°,AD=5,AC=7,DC=3,求∠ADC及AB的长.

【分析】要求∠ADC的度数,可先求∠ADE的度数,而求出∠ADE的三角函数值即可求出∠ADE的度数. 过点A作AE⊥BC于点E,构造出直角三角形,利用三角函数的定义即可求出∠ADE的三角函数值,再利用三角函数的定义求AB.

【评注】恰当地构造出直角三角形是利用三角函数的定义解决问题的一个重要方法. 同时要注意与勾股定理、相似等知识综合使用.

例3如图3,△ABC为等腰直角三角形,∠C=90°,若AD=(1/3)AC,CE=(1/3)BC,求证:∠1=∠2.

【分析】过点E作EF⊥AB于点F,分别求出∠1与∠2的三角函数值来说明它们之间的关系.

函数极限的定义证明 篇5

1.根据函数极限的定义证明:

(1)lim(3x1)8;x3

(2)lim(5x2)12;x2

x244;(3)limx2x2

14x3

(4)lim2.x2x12

1证明(1)分析 |(3x1)8||3x9|3|x3|, 要使|(3x1)8| , 只须|x3|.3

1证明 因为 0, , 当0|x3|时, 有|(3x1)8| , 所以lim(3x1)8.x33

1(2)分析 |(5x2)12||5x10|5|x2|, 要使|(5x2)12| , 只须|x2|.5

1证明 因为 0, , 当0|x2|时, 有|(5x2)12| , 所以lim(5x2)12.x25

(3)分析

|x(2)|.x24x24x4x24(4)|x2||x(2)|, 要使(4), 只须x2x2x2

x24x24(4), 所以lim4.证明 因为 0, , 当0|x(2)|时, 有x2x2x2

(4)分析 14x31114x312, 只须|x()|.2|12x2|2|x()|, 要使2x12x1222

14x31114x3

2, 所以lim证明 因为 0, , 当0|x()|时, 有2.12x12x122x2.根据函数极限的定义证明:

(1)lim1x3

2x3

sinxx1;2(2)limxx0.证明(1)分析

|x|1

1x32x311x3x322x312|x|3, 要使1x32x311, 只须, 即322|x|2.证明 因为 0, X(2)分析

sinxx0

12, 当|x|X时, 有1x

1x32x311x31, 所以lim.x2x322

1x

, 即x

sinxx

|sinx|x

, 要使

sinx

证明 因为0, X

2, 当xX时, 有

xsinxx

0, 只须



.0, 所以lim

x

0.3.当x2时,yx24.问等于多少, 使当|x2|<时, |y4|<0.001？

解 由于x2, |x2|0, 不妨设|x2|1, 即1x3.要使|x24||x2||x2|5|x2|0.001, 只要

|x2|

0.001

0.0002, 取0.0002, 则当0|x2|时, 就有|x24|0.001.5

x21x

34.当x时, y

x21x23

1, 问X等于多少, 使当|x|>X时, |y1|<0.01?

解 要使1

4x23

0.01, 只|x|

3397, X.0.01

5.证明函数f(x)|x| 当x0时极限为零.x|x|

6.求f(x), (x)当x0时的左﹑右极限, 并说明它们在x0时的极限是否存在.xx

证明 因为

x

limf(x)limlim11,x0x0xx0x

limf(x)limlim11,x0x0xx0limf(x)limf(x),

x0

x0

所以极限limf(x)存在.x0

因为

lim(x)lim

x0

x0

|x|x

lim1,x0xx|x|xlim1,xx0x

lim(x)lim

x0

x0

lim(x)lim(x),

x0

x0

所以极限lim(x)不存在.x0

7.证明: 若x及x时, 函数f(x)的极限都存在且都等于A, 则limf(x)A.x

证明 因为limf(x)A, limf(x)A, 所以>0,x

x

X10, 使当xX1时, 有|f(x)A|;X20, 使当xX2时, 有|f(x)A|.取Xmax{X1, X2}, 则当|x|X时, 有|f(x)A| , 即limf(x)A.x

8.根据极限的定义证明: 函数f(x)当xx0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明 先证明必要性.设f(x)A(xx0), 则>0, 0, 使当0<|xx0|< 时, 有

|f(x)A|<.因此当x0

|f(x)A|<.这说明f(x)当xx0时左右极限都存在并且都等于A.再证明充分性.设f(x00)f(x00)A, 则>0,1>0, 使当x010, 使当x0

| f(x)A|< ,即f(x)A(xx0).9.试给出x时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x时函数极限的局部有界性的定理 如果f(x)当x时的极限存在 则存在X0及M0 使当|x|X时 |f(x)|M

证明 设f(x)A(x) 则对于 1 X0 当|x|X时 有|f(x)A| 1 所以|f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1|A|

函数单调性定义应用例谈 篇6

（1） 如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1

（2） 如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1

现找出其中的核心内容:① x1

本文就三种情形分别谈谈函数单调性定义的简单应用.

1． ①②③,即根据定义判断或证明函数的单调性

例1 确定函数f(x)=11-2x的单调性.

简解:由1-2x＞0,得x＜12.

设x1＜x2＜12,由f(x1)-f(x2)=11-2x1-11-2x2=1-2x2-1-2x11-2x1•1-2x2

=(1-2x2-1-2x1)(1-2x2+1-2x1)1-2x1•1-2x2•(1-2x2+1-2x1)=2(x1-x2)1-2x1•1-2x2•(1-2x2+1-2x1)＜0,得f(x1)＜f(x2).

∴f(x)在-∞,12上是增函数.

点评:根据定义判断或证明单调性的一般步骤:设数→作差→变形→判号→结论.关键是“变形”要到位.本例中变形运用了“分子有理化”这一运算方法.

2． ①③②,即利用单调性比较函数值大小

例2 若偶函数f(x)在［0,π］上单调递增,则f(-π),f-π2,flog214的大小关系为 .

简解:∵f(-π)=f(π),f-π2=fπ2,flog214=f(-2)=f(2),

而fπ2＜f(2)＜f(π),

∴f-π2＜flog214＜f(-π).

点评:此应用是三种应用中最简单的一种.

3． ②③①,即利用单调性“脱去”f,将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系

例3 已知定义在［-1,1］上的函数f(x)是减函数,且是奇函数,若f(a2-a-1)+f(4a-5)>0,求实数a的取值范围.

简解:易得f(a2-a-1)＞-f(4a-5)=f(5-4a)

∴-1≤a2-a-1≤1-1≤5-4a≤1a2-a-1＜5-4a,解之得,1≤a＜-3+332.

点评:（1） 要将f(a2-a-1)+f(4a-5)>0标准化为单调性定义中f(x1)＞f(x2)的形式;

（2） 不要遗忘函数的定义域要求.

例4 已知函数f(x)对任意的a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x＞0时,f(x)＞1.（1） 求证:f(x)是R上的增函数;（2） 若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.

简解:（1） 设x1＜x2,由f(a+b)=f(a)+f(b)-1,可得

f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1

∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1,

∴f(x2)-f(x1)＞0,即f(x2)＞f(x1).∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.

（2） 令a=b=2,∴f(2)=3.

∵f(x)在R上是增函数

∴当且仅当x=2时f(2)=3.

∴f(3m2-m-2)＜f(2)

∴3m2-m-2＜2,解之得-1＜m＜43.

复合函数定义探析 篇7

关于复合函数, 很多教科书给的都是类似如下定义:

设函数y=f (u) 的定义域是Df, 函数u=g (x) 的值域是Zg, 若Zg∩Df不为空集, 则将y=f (g (x) ) 称为由函数y=f (u) 和u=g (x) 构成的复合函数.y=f (u) 称为外层函数, u=g (x) 称为内层函数, 也称为中间变量.

对于上面这个定义, 不少人通过学习之后, 都认为y=f (u) 与y=f (g (x) ) 是相同的函数, 因为它们都用y来表示.

那么, 这两个函数到底是不是相同的呢?

首先, 要判断两个函数是否相同, 主要是考虑两个函数的定义域和对应法则是否都相同.看下面的例子, 设f (u) =u2, g (x) =x+lnx, 则得复合函数为f (g (x) ) = (x+lnx) 2.第一, 很显然f (u) =u2的定义域是R, 而f (g (x) ) = (x+lnx) 2的定义域是R+, 所以这两个函数的定义域并不相同.第二, f (u) =u2的对应法则是对自变量进行平方, 而f (g (x) ) = (x+lnx) 2的对应法则是对自变量求自然对数后再加上自变量本身, 最后才平方, 所以这两个函数的对应法则也是不相同的.

其次, 不妨假设f (u) 与f (g (x) ) 相同, 现有以下三个函数f (u) =u2, g1 (x) =x+lnx与g2 (x) =lnx, 那么f (u) =u2与g1 (x) =x+lnx复合可得f (g1 (x) ) = (x+lnx) 2, f (u) =u2与g2 (x) =lnx复合可得f (g2 (x) ) = (lnx) 2.按照相同的假设, 这里得到的两个复合函数都等于f (u) , 即f (g1 (x) ) = (x+lnx) 2=f (u) =f (g2 (x) ) = (lnx) 2, 这显然是错误的.

最后, 函数的复合是一种数学运算, 而数学运算指的是“依照数学法则求出算式结果的过程” (《现代汉语实用词典》南方出版社) .可以这么理解, 数学运算是对已知量实施了某些动作, 产生新的量的过程.复合函数就是几个已知函数进行运算后得到的新函数, 这个新函数怎么会在任何情况下都等于前面的其中一个已知函数呢?如果都等的话, 这种运算便形同虚设了.所以, 如果认为函数f (u) 与f (g (x) ) 是相等的, 就如同是“当2+3=5时”, 认为2和5是相等的一样.

由上述几点可知, 函数f (u) 与f (g (x) ) 是不相同的函数, 既然是不相同的, 在一个命题里面, 就不应该用相同的符号来表示, 要不就会造成误解, 这正是不少人认为它们是相同的最直接的原因.另外, 对于复合函数的定义, 再从数学运算这一数学基本概念方面进一步强调其含义, 就会更加清晰一些.因此, 下面给出一个更易于理解的定义:

定义 (复合函数) 已知函数f (u) 和g (x) , 把g (x) 代入f (u) 得到f (g (x) ) 的过程 (代入指把u都换成g (x) ) , 称为函数的复合运算.若f (g (x) ) 存在, 则称f (g (x) ) 是由f (u) 和g (x) 复合而成的复合函数, 此时称f (u) 为外层函数, g (x) 为内层函数, 称u为中间变量, 记作u=g (x) .若f (g (x) ) 不存在, 则称f (u) 和g (x) 进行复合运算时没有意义.

几点说明

(1) f (g (x) ) 不存在是指自变量x的取值范围是空集, 即定义域为空;

(2) 求函数时除了要写出函数的对应法则 (常表现为表达式) , 还要写出函数的定义域, 求复合函数也应如此;

(3) 函数的复合运算可以由多个函数按一定的先后顺序进行, 如由f (u) , g (v) , h (x) 按顺序进行复合运算可得f (g (h (x) ) ) .

几个求复合函数的例子:

例1 已知函数f (u) =log2u, g (x) =x2+1, 则f (u) 和g (x) 进行复合运算应得f (g (x) ) =log2 (x2+1) , 其定义域为R= (-∞, +∞) 非空, 所以复合函数f (g (x) ) =log2 (x2+1) 存在.

例2 已知函数f (u) =log2u, g (x) =x2-x, 则f (u) 和g (x) 进行复合运算应得f (g (x) ) =log2 (x2-x) , 其定义域D= (-∞, 0) ∪ (1, +∞) 非空, 所以复合函数f (g (x) ) =log2 (x2-x) 存在.

例3 已知函数f (u) =log2u, g (x) =-x2-1, 则f (u) 和g (x) 进行复合运算应得f (g (x) ) =log2 (-x2-1) , 但此函数定义域D=∅, 所以f (g (x) ) 不存在, 即f (u) 和g (x) 进行复合运算时没有意义.

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析.北京:高等教育出版社.

[2]周誓达.微积分.北京:中国人民大学出版社.

函数三剑客之函数定义域 篇8

关键词：定义域,值域,奇偶性,函数最值

函数作为高中数学的主线,贯穿整个高中数学的始终.函数的定义域是构成函数的三要素之一, 若对函数的定义域没有特别的说明,则似乎是非常简单的,然而在解决问题中不加以注意,常常会得到错误的答案,所以在解函数题中应向学生强调定义域对解题的作用与影响, 培养学生良好的解题习惯对提高学生的数学素养有很大的作用.

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则, 所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域, 否则所求函数关系式可能是错误的.如:

例1:某单位计划建筑一矩形围墙,现有材料可筑墙的总长度为200m,求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式?

解:设矩形的长为x米,则宽为(100-x)米,由题意得:

S=x(100-x)

故函数关系式为:S=x(100-x).

如果解题到此为止,则本题的函数关系式还欠完整,缺少自变量的范围,也就说学生的解题思路不够严密.因为当自变量取负数或不小于100的数时,S的值是负数,即矩形的面积为负数,这与实际问题相矛盾,所以还应补上自变量的范围:0<x<100,即函数关系式为 :S=x(100-x)(0<x<100).

这个例子说明,在用函数方法解决实际问题时,必须注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响. 若考虑不到这一点,就表明学生思维缺乏严密性.若注意到定义域的变化就说明学生的解题思维过程体现出思维的严密性和良好的解题习惯.

二、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合, 当定义域和对应法则确定,函数值也随之而定.因此在求函数值域时,应注意函数定义域.如:

解析:经换元后,应有t≥0,而函数y=2t2+t+1在 [0,+∞) 上是增函数,

所以当t=0时,ymin=1.

故所求的函数值域是[1,+∞).

以上例子说明,变量的允许值范围是何等的重要.若能发现变量隐含的取值范围,精细地检查解题思维的过程,就可以避免以上错误结果的产生. 也就是说, 学生若能在解好题目后,检验已经得到的结果,善于找出和改正自己的错误,善于精细地检查思维过程,便体现出良好的思维批判性.

三、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题.如果忽视定义域范围,就会导致最值的错误.如:

例3:求函数y=x2-2x-1在 [-2,5]上的最值.

若按平时的解题思路, 本题似乎没有最大值, 只有最小值. 产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路,而没有注意到已知条件发生变化.这是思维定势的一种表现,也说明学生思维缺乏灵活性.其实以上结论只是对二次函数y=ax2+bx+c(a>0)在R上适用 ,而在指定的定义域区间 [p,q]上 ,它的最值应分如下情况 :

∴函数y=x2-2x-3在 [-2,5]上的最小值是-1,最大值是14.

这个例子说明,在函数定义域受到限制时,若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响,并在解题过程中加以注意,则能体现出学生思维的灵活性.

四、复合函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时,函数值随着增减的情况,所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行.如:

例4:指出函数f(x)=log3(x2-2x)的单调区间.

解:先求定义域:

∵x2-2x>0

∴x>2或x<0

∴函数定义域为(-∞,0)∪(2,+∞).

令u=x2-2x,知在x∈(-∞,0)上时 ,u为减函数 ,

在x∈(2,+∞)上时,u为增函数.

又∵f(x)=log3u在 [2,+∞)是增函数.

∴函数f(x)=log2(x2+2x)在 (-∞,0)上是减函数 ,在 (2,+∞)上是增函数.

即函数f(x)=log3(x2-2x)的单调递增区间是 (2,+∞),单调递减区间是(-∞,0).

在处理复合函数单调性问题时遵循同增异减. 如果在做题时,没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性,就说明学生对复合函数单调性的概念一知半解,没有理解,在做练习或作业时,只是对题型,套公式,而不去领会解题方法的实质,也说明学生的思维缺乏深刻性.

五、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性,应先考求解该函数的定义域,判断该区间是否关于坐标原点成中心对称, 如果定义域区间关于坐标原点不成中心对称,则函数就无奇偶性可谈.否则要用奇偶性定义加以判断.如:

例5:判断函数y=x2,x∈[-1,3]的奇偶性.

解:∵定义域区间[-1,3]关于坐标原点不对称,

∴函数y=x2,x∈[-1,3]是非奇非偶函数.

如果学生不注意函数定义域, 那么判断函数的奇偶性就会得出如下错误结论:

∴函数y=x2,x∈[-1,3]是偶函数.

错误剖析: 因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成这是学生极易忽视的步骤,也是造成结论错误的原因.

谈函数的定义域 篇9

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则, 所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域, 否则所求函数关系式可能是错误的.如:

例1某单位计划建筑一矩形围墙, 现有材料可筑墙的总长度为100 m, 求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式?

解:设矩形的长为x米, 则宽为 (50-x) 米,

由题意得:S=x (50-x) .

故函数关系式为:S=x (50-x) .

如果解题到此为止, 则本题的函数关系式还欠完整, 缺少自变量x的范围, 也就说学生的解题思路不够严密.因为当自变量x取负数或不小于50的数时, S的值是负数, 即矩形的面积为负数, 这与实际问题相矛盾, 所以还应补上自变量x的范围:0

即:函数关系式为:S=x (50-x) (0

这个例子说明, 在用函数方法解决实际问题时, 必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响.

二、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大 (小) 值的问题.如果不注意定义域, 将会导致最值的错误.如:

例2求函数y=x2-2x-3在[-2, 5]上的最值.

解:因为y=x2-2x-3= (x2-2x+1) -4= (x-1) 2-4,

所以当x=1时, ymin=-4.

初看结论, 本题似乎没有最大值, 只有最小值.产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路, 而没有注意到已知条件发生变化.

其实以上结论只是对二次函数y=ax+bx+c (a>0) 在R上适用, 而在指定的定义域区间[p, q]上, 它的最值应分如下情况:

(1) 当-

(2) 当>p时, y=f (x) 在[p, q]上单调递减函数f (x) max=

f (p) , f (x) min=f (q) ;

(3) 当p≤≤q时, y=f (x) 在[p, q]上最值情况是:f (x) min=, f (x) max=max{f (p) , f (q) }.

即最大值是f (p) , f (q) 中最大的一个值.

故本题还要继续做下去:

因为-2≤1≤5, f (5) =52-2×5-3=12,

所以f (-2) = (-2) 2-2× (-2) -3=-3,

所以f (x) max=max{f (-2) , f (5) }=f (5) =12,

所以函数y=x2-2x-3在[-2, 5]上的最小值是-4, 最大值是12.

这个例子说明, 在函数定义域受到限制时, 要注意定义域的取值范围对函数最值的影响.

三、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合, 当定义域和对应法则确定, 函数值也随之而定.因此在求函数值域时, 应注意函数定义域.如:

例3求函数y=4x-5+的值域.

错解:令t=, 则2x=t2+3,

所以y=2 (t2+3) -5+t=2t2+t+1=

故所求的函数值域是

剖析:经换元后, 应有t≥0, 而函数y=2t2+t+1在[0, +∞) 上是增函数, 所以当t=0时, ymin=1.故所求的函数值域是[0, +∞) .

这个例子说明, 变量的允许值范围是何等的重要, 若能发现变量隐含的取值范围, 精细地检查解题思维的过程, 就可以避免以上错误结果的产生.

四、函数单调性与定域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时, 函数值随着增减的情况, 所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行.如:

例4指出函数f (x) =log2 (x2+2x) 的单调区间.

解:先求定义域:

因为x2+2x>0, 所以x>0或x<-2.

所以函数定义域为 (-∞, -2) ∪ (0, +∞) .

令u=x2+2x, 知在x∈ (-∞, -2) 上时, u为减函数,

在x∈ (0, +∞) 上时, u为增函数.

又因为f (x) =log2u在[0, +∞) .

所以函数f (x) =log2 (x2+2x) 在 (-∞, -2) 上是减函数, 在 (0, +∞) 上是增函数.

即函数f (x) =log2 (x2+2x) 的单调递增区间 (0, +∞) , 单调递减区间是 (-∞, -2) .

如果在做题时, 没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性, 就说明学生对函数单调性的概念一知半解, 没有理解.

五、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性, 应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称, 如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称, 则函数就无奇偶性可谈.否则要用奇偶性定义加以判断.

例5判断函数y=x3, x∈[-1, 3]的奇偶性.

解:因为2∈[-1, 3]而-2[-1, 3]

所以定义域区间[-1, 3]关于坐标原点不对称,

所以函数y=x3, x∈[-1, 3]是非奇非偶函数.

如果学生不注意函数定义域, 那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论:

因为f (-x) = (-x) 3=-x3=-f (x) ,

所以函数y=x3, x∈[-1, 3]是奇函数.

函数定义域与函数其他性质间的关系 篇10

函数关系式包括定义域和对应法则, 所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域, 否则所求函数关系式可能是错误.

例1 某单位计划建筑一矩形围墙, 现有材料可筑墙的总长度为100 m, 求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式?

解 设矩形的长为x m, 则宽为 (50-x) m, 由题意得:

S=x (50-x) .

故函数关系式为:S=x (50-x) .

如果解题到此为止, 则本题的函数关系式还欠完整, 缺少自变量x的范围.也就说学生的解题思路不够严密.因为当自变量x取负数或不小于50的数时, S的值是负数, 即矩形的面积为负数, 这与实际问题相矛盾, 所以还应补上自变量x的范围:0<x<50.

即函数关系式为:S=x (50-x) , (0<x<50) .

这个例子说明, 在用函数方法解决实际问题时, 必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响.若考虑不到这一点, 就体现出学生思维缺乏严密性.若注意到定义域的变化, 就说明学生的解题思维过程体现出较好的思维严密性.

二、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大 (小) 值的问题.如果不注意定义域, 将会导致最值的错误.

例2 求函数y=x2-2x-3在[-2, 5]上的最值.

解 ∵y=x2-2x-3= (x2-2x+1) -4= (x-1) 2-4,

∴当x=1时, ymin=-4.

初看结论, 本题似乎没有最大值, 只有最小值.产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路, 而没有注意到已知条件发生变化.这是思维呆板性的一种表现, 也说明学生思维缺乏灵活性.

其实以上结论只是对二次函数y=ax2+bx+c (a>0) 在R上适用, 而在指定的定义域区间[p, q]上, 它的最值应分如下情况:

(1) 当$-\frac{b}{2a}<p$时, y=f (x) 在[p, q]上是单调递增, 函数f (x) min=f (p) , f (x) max=f (q) ;

(2) 当$-\frac{b}{2a}>q$时, y=f (x) 在[p, q]上是单调递减函数, f (x) max=f (p) , f (x) min=f (q) ;

(3) 当$p\le -\frac{b}{2a}\le q$时, y=f (x) 在[p, q]上的最值情况是:

$f(x){}_{\min }=f\left(-\frac{b}{2a}\right)=\frac{4ac-b{}^2}{4a}‚f(x){}_{\max }=\max \{f(p),f(q)\}$.即最大值是f (p) , f (q) 中最大的一个值.

故本题还要继续做下去:

∵-2≤1≤5, ∴f (-2) = (-2) 2-2× (-2) -3=-3, f (5) =52-2×5-3=12.

∴f (x) max=max{f (-2) , f (5) }=f (5) =12.

∴函数y=x2-2x-3在[-2, 5]上的最小值是-4, 最大值是12.

这个例子说明, 在函数定义域受到限制时, 若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响, 并在解题过程中加以注意, 便体现出学生思维的灵活性.

三、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合, 当定义域和对应法则确定, 函数值也随之而定.因此在求函数值域时, 应注意函数定义域.

例3 求函数$y=4x-5+\sqrt{2x-3}$的值域.

错解 令$t=\sqrt{2x-3}$, 则

$\begin{array}{l}2x=t{}^2+3.\\ \therefore y=2(t{}^2+3)-5+t=2t{}^2+t+1=2\left(t+\frac{1}{4}\right){}^2+\frac{7}{8}\ge \frac{7}{8}.\end{array}$

故所求的函数值域是$\left[\frac{7}{8},+\infty \right).$

剖析 经换元后, 应有t≥0, 而函数y=2t2+t+1在[0, +∞) 上是增函数, 所以当t=0时, ymin=1.

故所求的函数值域是[1, +∞) .

以上例子说明, 变量的允许值范围是何等的重要, 若能发现变量隐含的取值范围, 精细地检查解题思维的过程, 就可以避免以上错误结果的产生.也就是说, 学生若能在解好题目后, 检验已经得到的结果, 善于找出和改正自己的错误, 善于精细地检查思维过程, 便体现出良好的思维批判性.

四、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时, 函数值随着增减的情况, 所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行.

例4 指出函数f (x) =log2 (x2+2x) 的单调区间.

解 先求定义域:

∵x2+2x>0, ∴x>0或x<-2.

∴函数定义域为 (-∞, -2) ∪ (0, +∞) .

令u=x2+2x, 知在x∈ (-∞, -2) 上时, u为减函数,

在x∈ (0, +∞) 上时, u为增函数.

又∵f (x) =log2u在[0, +∞]是增函数.

∴函数f (x) =log2 (x2+2x) 在 (-∞, -2) 上是减函数, 在 (0, +∞) 上是增函数.

即函数f (x) =log2 (x2+2x) 的单调递增区间是 (0, +∞) , 单调递减区间是 (-∞, -2) .

如果在做题时, 没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性, 就说明学生对函数单调性的概念一知半解, 没有理解, 在做练习或作业时, 只是对题型, 套公式, 而不去领会解题方法的实质, 也说明学生的思维缺乏深刻性.

五、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性, 应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称, 如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称, 则函数就无奇偶性可谈.否则要用奇偶性定义加以判断.

例5判断函数y=x3, x∈[-1, 3]的奇偶性.

解∵2∈[-1, 3]而-2[-1, 3], ∴定义域区间[-1, 3]关于坐标原点不对称,

∴函数y=x3, x∈[-1, 3]是非奇非偶函数.

若学生像以上这样的过程解完这道题目, 就很好地体现出学生解题思维的敏捷性.

如果学生不注意函数定义域, 那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论:

∵f (-x) = (-x) 3=-x3=-f (x) , 3

∴函数y=x3, x∈[-1, 3]是奇函数.

错误剖析因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成, 这是学生极易忽视的步骤, 也是造成结论错误的原因.

综上所述, 在求解函数关系式、最值 (值域) 、单调性、奇偶性等问题中, 若能精细地检查思维过程, 思辨函数定义域有无改变 (指对定义域为R来说) , 对解题结果有无影响, 就能提高学生的质疑辨析能力, 有利于培养学生的思维品质, 从而不断提高学生的思维能力, 进而有利于培养学生思维的创造性.

摘要：函数作为高中数学的主线, 贯穿于整个高中数学的始终.函数的定义域是构成函数的两大要素之一, 函数的定义域 (或变量的允许值范围) 似乎是非常简单的, 然而在解决问题中不加以注意, 常常会使人误入歧途.数学中有许多有关函数的题目, 求解的思路很容易想到, 入手并不困难, 但不少同学求解时, 往往由于忽视了函数的定义域而导致错解.在解函数题时, 应透彻理解函数定义域与函数其他性质之间的关系和相互作用, 强调定义域对解题结论的作用与影响, 这对提高学生的数学思维品质是十分有益的.