例说空间解析几何教学中的两个题目

2022-09-11

在高职数学的教学过程中, 有这样的题目:

1 化空间直线的一般式方程为直线的点向式方程和参数式方程

要写出点向式方程我们一般的思路就是先求出直线上的一个点, 然后求出直线的方向向量, 用点向式方程写出来。多数的教材上都是采取了这种思路, 通过平面法向量叉乘的形式得到直线的方向向量, 从而用点向式写出直线方程, 并进一步化为参数式, 即下面的解法一, 而其他的解法都不再介绍, 其实另外两种解法更方便更容易入手。

我们不妨举例说明:

例1:把直线的一般方程化为直线的点向式方程和参数式方程。

(在此我们只讨论点向式方程, 参数式方程可直接由点向式得到, 就不一一写了。)

解法一:先求直线上一点P, 不妨令z=0, 代入直线的一般式可得:

解得x=1, y=-4, 所以P1 (, -, 40) 。

所以直线的点向式方程为:

解法二:对直线的一般式

(3) + (4) 得:zx=-+0727, 即:

所以直线的点向式方程为:

解法三:两点确定一条直线, 所以不妨先确定直线上的两个点。

设z=0, 代入直线的一般式可得:

解得x=1, y=-4, 所以P1 (, -, 40) 。

设x=0, 代入直线的一般式可得:

利用空间直线方程的两点式即可得点向式方程:

比较上述三种解法, 均是充分利用题设条件, 通过分析综合法开拓解题思路。解法一从定义出发, 解题中用到向量的向量积;解法二为消元法, 做题比较简单, 容易理解接受;解法三是通过两点式解题, 体现了两点定直线的思想。

2 求过某个已知点和已知空间直线的平面方程

例2:求过点A (1, 1, 1) 和直线L:的平面方程。

解法一:用平面束的知识来求解。

先写出过所给直线L的任意平面方程, 即可写成:

因为此平面又过点A (1, 1, 1) , 即此点坐标满足平面方程, 代入得:

µλ=-036即找出两者关系;2µλ=。

不妨取µλ==2, 1, 代入即得平面方程为:zyx=-+-08855。

但目前由于教学内容的变化、课时的减少, 根据高职高专基础课程以应用为目的, 以“必须、够用”为度的教学原则, 部分学校的平面束内容进行了删减, 那么这道题我们用所学的平面和直线的基本知识能否求解呢?下面给出详细解法。

解法二:采用平面的点法式来解题。要用点法式则必须找出平面的法向量, 又直线过点A, 即可写出平面方程。

不妨令x=0, 解得zy-=-=9, 16,

即直线L过点B (0, -16, -9) ;则得:

所求平面方程为:

化简得:zyx=-+-08855。

本文从高职数学教学中的两道题目出发, 整理给出了不同的解法。从例题可以看出, 无论是空间直线方程还是空间平面方程的求解大部分还是转化为寻找向量与向量之间的关系。当然这样的例子在高等数学中还有很多, 这就要求我们在平时的学习和教学过程中能多思考总结, 增加解题时的灵活度, 深入理解, 取得事半功倍的效果。

摘要：本文简要介绍了在高职数学教学中的两个题目并整理给出了多种解法:化空间直线的一般式方程为直线的点向式方程和参数式方程, 整理了三种解法;求通过某个已知点和已知直线的平面方程, 给出两种解法, 以便读者加深对此类题目的理解。

关键词：空间直线,一般式,点向式,平面方程,点法式