逐差法在中学物理实验中的应用

逐差法作为一种数据处理方法在物理实验中有着广泛的应用。它既可以用来检查实验数据, 发现某些物理量的变化规律, 也可以用来计算某些物理的值, 减少实验中的偶然误差。采用逐差法处理数据时, 可根据实验目的要求及数据特点的不同, 采用逐项逐差或隔差。

在中学物理实验当中, 采用逐差法处理数据是一个难点。有些学生虽然能掌握操作的方法, 但不理解这种处理实验数据方法的思想和意图。那么, 为什么要用逐差法处理数据呢?这种方法在什么情况下适用呢?这种方法又有什么样的优越性呢?下面我们将通过两个实例来重点讨论这些问题。

一、逐差法的基本原理和适用条件

任何测量结果都有偶然误差。做等精度测量时, 如用游标卡尺测量一个圆柱形球壳的内径, 从理论上讲各次测量的结果应该是相同的, 不过事实上却不同, 这是因为在试验的过程中不可避免的偶然误差。从统计意义上看偶然误差偏大和偏小的概率是相等的, 若使用多次测量取平均值的方法, 可以有效地减小最终测量结果的偶然误差。因此通常认为多次测量结果的算术平均值是比较准确的。采用逐差法处理数据, 从本质上讲是对多次测量去平均的思想的的一种推广。

我们以测定弹簧劲度系数的实验为例来说明这一点。

我们在弹簧的下端悬挂钩码, 并依次增加钩码的个数, 得到弹簧指针的位置坐标, 如表一所列。

表一中的数据显然不是等精度测量的结果。用逐差法处理数据, 得到如下差值:

从计算结果来看, 上面4个隔项相减的差值并不完全相等, 这说明实验过程中存在偶然误差。依据胡克定律我们可以肯定, 从理论上讲, 上面的4个差值xn+4-xn应当相等, 不相等说明了在这4个差值中含有偶然误差。因此, 我们可以对上述4个差值求算术平均值来减小偶然误差。从上面处理实验数据的过程中我们得知, 采用逐差法处理实验实据的思想, 就是通过隔项求差, 使偶然误差含在了 (理论上应该) 相等的量 (即xn+4-xn) 中, 隔项求差客观上是将非等精度测量的结果转变成“类等精度测量”的结果, 以便可以用求算术平均值的方法来减小偶然误差。让学生理解这一思想, 可以使学生较好的掌握逐差法, 知道今后在什么情况下可以运用这种方法来处理实验数据。

上述的逐差法或称为“一次隔项逐差法”。当两物理量满足正比关系时, 或者当某一研究对象随实验条件周期性变化, 可利用这种方法来增加数据利用率, 减小随机误差。若函数关系为n次幂多项式, 则可进行n次逐差。

二、逐项逐差法和隔项逐差法的不同作用

我们计算坐标差值的时候为什么不用相邻的两次实验结果逐项相减 (即xn+1-xn) 呢?我们来看看这种方法会造成什么样的结果?

很显然逐项相减取平均值的结果会导致中间的数据利用不上, 从而无法达到减少偶然误差的目的。因此我们在计算某一个物理量的测量结果时, 一般要采用隔项逐差法, 以增加数据的利用率, 减小实验误差。

那么逐项逐差法是否毫无用处呢?

当然不是。在我们没有掌握物理量变化规律的情况下, 我们可以通过分析逐项逐差的结果来发现自变量和变量之间的函数关系, 从而发现物理规律。在上述实验中, 我们会发现逐项逐差的结果在误差允许的范围内是恒定的, 我们即可以认定弹簧的形变量和弹簧的弹力成正比, 即胡克定律。

三、逐差法在“探究小车速度随时间变化关系中”的应用

做匀变速直线运动的物体有一个十分重要的规律:在相邻的相等的时间间隔内的位移差恒定。

我们在研究小车的速度随时间变化规律时。首先可以利用逐项逐差法判断小车的运动是否是一个匀加速直线运动。

若满足这样的关系小车即做匀变速直线运动。

此外, 我们还可以利用隔项逐差法来计算运动过程中小车的加速度。

我们可以清楚地发现使用逐差法计算得到的结果, 和用后三段减前三段得到的结果时相同的。

既然是相同的为什么要用逐差法来处理数据呢?似乎是走了不少弯路。因此, 很多人在此都对逐差的有效性提出了质疑。新版的教材也删去了逐差法求匀变速直线运动加速度的部分。

大部分人从应试的角度出发都倾向于直接介绍将位移一分为二求加速度的方法。

我认为这种方法固然更精确, 更简便, 更容易掌握。但却难以解释减小偶然误差的内在机理。本质上它是通过增加了测量的距离减小了相对误差。但这只对于纸带这种特殊的记录工具适用, 而不能把这种解释推广到其他实验当中去。逐差法与之相比, 一方面适用范围更广, 另一方面能更好的解释减小偶然误差的机理。因此, 在教学过程十分有必要介绍给学生。

四、逐差法和作图法的比较

上述实验, 数据的处了可以用逐差法以外, 还可以用图像法。在这个实验中, 我们也可以采用图像法处理实验数据。横轴时间, 纵轴物体在t时刻的速度, 反映二者关系的图线是一条倾斜的直线。由于在数据中存在着偶然误差, 因此在拟合图线时, 我们遵循的原则是让图线从各数据点的中间穿过, 且尽可能使数据点均匀地分布在图线的两侧。这种画图方法的实际效果是修正了每个数据点的偶然误差, 与隔项求差后求算术平均值的效果是一样的。

与逐差法相比, 图线法还有更多的优点。首先, 逐差法需要两个物理量之中的一个必须做等间隔变化, 而图线法不受这一限制, 这使得图线法在实际中应用得更广泛、更灵活;采用图线法处理实验数据, 我们更容易发现离散性较大的“不良数据点”, 以便及时地修正或剔除, 减小实验误差。更重要的是, 图线法可以更直观地反映出两个物理量之间的关系, 有助于我们理解和发现物理规律。因此在一般情况下, 适用于逐差法的情况也适用于图线法, 但是适用于图线法的情况不一定适用于逐差法。

然而, 作图的过程是比较繁琐的, 在作图的过程当中也容易因为标度的误差而导致实验结果的误差。在试验室中并不具有太大的可操作性。如果在时间不充裕的情况下, 我们选择逐差法求加速度也是很好的方法。但是随着电子计算机技术的发展, 各种制图软件的推出大大地提高制图的效率和准确性。逐差逐渐被取代也是一种必然的趋势。