数学教学的“变式训练”

高考题虽然一般不直接取材于课本, 但所考查的知识大多来源于课本或间接地涉及课本例习题, 或改变于历年高考题、模拟试题。这就要求我们在平时的教学中要加强变式训练, 变式训练是指变换问题的条件或外部特征, 而不改变问题的本质, 变式训练必须要呈现概念的本质和外延, 突出问题的结构特征, 揭示知识的内在联系, 保持其本质特征.

学生对知识点的掌握往往需要通过数量和强度这两个指标, 而变式训练时是强化联络强度的有效手段。在经历了尝试探究过程之后所获得的知识必须加以巩固, 拓展应用, 但并非简单重复练习, 要依赖变式处理, 获得新知。著名的数学家波利亚形象地指出“问题同某种蘑菇有些相像, 它们都成堆生长, 找到一个后, 你应当在周围再找找, 很有可能附近有好几个”。有效的变式练习能达到举一反三的效果, 化解重复操作的弊端。作为教师, 应该潜心钻研教材, 整体把握教学方向, 明确教学目标, 不能单纯为解题而引申研究, 加强内容本质, 分析特点。训练的习题必须是精心设计的, 揭示数学的本质。使变式训练要达到想学生所“难”、研学生所“疑”, 解学生所“困”的效果, 必须先要加强对试题所包含的基本知识的理解, 熟练把握知识点在形式上满足的外在条件, 挖掘知识点的本质原理。

充分利用课本上的例题、习题, 通过一题多变挖掘教材潜力, 抓住题目的“蛛丝马迹”进行变式训练.

例1, (苏教版必修2第95页探究.拓展21题) 已知M (-1, 3) , N (6, 2) , 点P在x轴, 且使PM+PN取最小值, 求点P的坐标。

变式训练:

(1) 点M (-1, -3) , N (6, 2) , 点P在x轴, 求使PM+PN取最小值时点P的坐标。

(2) M (-1, -3) , N (6, 2) , P在x轴, 求使|PM-PN|取最大值时P的坐标。

(3) M (-1, 3) , N (6, 2) , P在x轴, 求使|PM-PN|取最大值时P的坐标。

通过变换点的位置及式子的最值让学生掌握三点共线原理:动点P在直线l上, 若M、N在直线l的同侧, 则|PM-PN|≤MN, 当且仅当M、N、P三点共线时, |PM-PN|取最大值, P即为l与MN的交点;若M与M′关于x轴对称, 则PM+PN=PM′+PN≥M′N, 当且仅当M′、N、P三点共线时PM+PN取最小值, 所求P即为直线l与M′N的交点;若M、N在直线l的异侧, 因PM+PN≥MN, 则当且仅当M、N、P三点共线时, PM+PN取最小值, 当M与M′关于x轴对称, |PM-PN|=|PM′-PN|≤MN, 当且仅当M′、N、P三点共线时, |PM-PN|取最大值。我们常利用三点共线原理可以解决一些与线段之和、线段差的, 最值性的相关问题。

(4) 椭圆 和直线l:x-y+9=0, 在直线上任取一点P, 经过P且以已知椭圆的焦点为焦点作椭圆, 求所作椭圆中长轴最短的椭圆方程。

椭圆 的左右焦点分别为F1 (-3, 0) 、F2 (3, 0) , 则所求椭圆的长轴长为PF1+PF2, F1、F2在直线l的同侧, 结合三点共线原理就PF1+PF2的最小值。

(5) x为实数, 求函数 的最小值。

用一般含根式的函数求最值的方法不易解, 分析题目的构成可表达为 用转化的思想构造为x轴上的点P与两个定点M (1, 2) 、N (3, 3) 的距离之和的最小值问题, 利用三点共线的原理解得。

(6) 点A (1, -2) , B (4, 0) , P (a, 1) , N (a+1, 1) , 则当四边形PABN的周长最小时, 过三点A, P, N的圆的圆心坐标是____。

, PN=1, 四边形PABN的周长最小只需求PA+NB的最小值, P、N都为直线x=1的两个动点, 转化为一动点到两定点的距离的最小值。结合图像, 设D (3, 0) , 则线段PD=NB, 则PA+NB=PA+PB, 符合三点共线原理, 求出A关于直线x=1的对称点A′, 则直线x=1与BA′的交点即为周长取最小值时的点P的坐标, 问题得以解决。

在新的情境问题中发现“熟悉的影子”, 就会出现“复杂问题简单化的效果”深刻认识试题中条件与结论的关系, 从而化难为易, 帮助学生走出困境, 有意识地培养了知识迁移的能力。

(7) 抛物线y2=8x, F为抛物线的焦点, P为抛物线上的点, A (2, 3) , 求使PA+PF取最小值时点P的坐标。

(8) 抛物线y2=8x, F为抛物线的焦点, P为抛物线上的点, A (2, 5) , 求使PA+PF取最小值时点P的坐标。

(7) 与 (8) 中的动点P都在抛物线上, 此时求PA+PF取最小值还是用三点共线原理求。 (7) 中的A、F在曲线的“同侧”, 结合抛物线的性质线段PF等于P到准线的距离, 设距离为PM, 此时PM与PA在曲线的“异侧”, 当P、M、A三点共线时取最小值, 此时PM垂直准线, 点P为 (9/8, 3) 。 (8) 中的PA与PF在曲线的“异侧”, 直接三点共线可得最小值。进一步拓展了三点共线的原理, 动点不一定在直线上, 也可在抛物线、椭圆、双曲线上等.顾泠沅先生曾说过:学习数学要吃“三个馒头”, 前两个馒头是基本概念和基本原则, 最后一个馒头是“创造性的问题解决”。我们教师要加强变式训练以便激发学生的积极性, 让学生勇于去探索, 品尝到“第三个馒头”的滋味。

问题 (9) 与 (10) 的P都为椭圆上的点, (9) 通过椭圆的第二定义转化为P到两定点 (在椭圆的“异侧”) 的距离和的最小值问题; (10) PA与PF在椭圆的“同侧”, 区别直线不能用对称性转化, 结合椭圆的第一定义转化为PA+PF=4+PA=PF′ (F′为左焦点) , 当且仅当P、F′、A三点共线时取最值。

题目不可能有一成不变的现成的模型, 我们的思维水平也不能总停留在简单的数学模型的水平, 要加强问题本质的探究, 设计有浅至深的变式训练, 使学生从简单题目中提取方法, 总结规律, 通过多角度的分析、比较、联系, 掌握概念的本质和问题的结构及解决策略, 从而灵活面对复杂多变的问题.正如波利亚所说“当未知问题与已知问题的形式相似时, 说明两者之间存在某种联系, 于是借助这种联系, 将未知的数学问题转化为已知的数学问题”。好的题目一般都有题根, 即题目的来源。只要我们抓住题根, 把握问题的本质, 就可以达到“由一题通一类”的教学效果。有效的变式训练要讲究实效性、层次性、针对性、递进性, 使模糊的清晰起来, 缺隐的填补起来, 杂乱的条理起来, 孤立的联系起来, 让学生形成系统化、条理化的知识结构。