变式教学释义

变式教学释义（共8篇）

篇1：变式教学释义

变式论文变式教学论文：高中数学教学的变式和实践 【摘 要】介绍变式教学的理论基础，用实际教学中的案例介绍了教学中的变式练习实践。

【关键词】变式 高中数学知识 变式教学

众所周知，在我国的传统数学教学过程中，十分注重“变式教学”。正是因为运用了“变式教学”。我国学生在具有良好的基础知识和熟练的基本技能方面大大超过了西方国家学生，但是我国学生在动手能力和解决比较复杂、开放的数学问题上却逊于西方学生也是不争的事实。变式是指变换问题的条件或表征，而不改变问题的实质，只改变其形态。高中数学学习的内容跨度大、抽象性强，只有促进高中学生对数学知识的深刻理解，才能达到掌握和灵活应用数学知识的目的。人们对知识的深刻理解都具有一定的时空性、阶段性和渐进性，因此，只有在变化环境下反复理解，学生的认识才能不断深入。

在变式教学中，变式练习是陈述性知识转化为程序性知识点的关键环节。变式练习就是指在其他教学条件不变的情况下，概念和规则等程序性知识的例证的变化。变式练习可以让学生在练习过程中，通过多角度的分析、比较、联系，去深刻理解问题的结构和解决策略。下面通过两个例子来谈一下变式练习在实际教学中的应用。

题目1：（高中数学新教材第二册（上）p130 例2）直

线y=x-2与抛物线y=2x相交于a、b两点，求证：oa⊥ob。

本题是课本上一道习题，下面对其进行变式探究。推广变式：由原式知y=x-2与x轴交点坐标为（2，0），对抛物线y=2x中p=1，将此抛物线方程推向一般情况，则得到下列变式：

变式1：直线l过定点（2p，0），与抛物线y=2px（p＞0）交于a、b两点，o为原点，求证：oa⊥ob。

证明：设l的一般方程式为x=ky+2p，代入题目中的抛物线方程中，化简得到：y-2pky-4p=0，所以y+y=2pk，yy=-4p，所以xx=（）=4p，所以=xx+yy=0，所以⊥，即oa⊥ob。

如果我们将上题中的图形中新加载另一个图形圆，则可有下面的试题：

变式2：（2004年重庆高考理科卷）设p＞0是一常数，过点q（2p，0）的直线与抛物线y=2px交于相异两点a、b，以线段ab为直径作圆h（h为圆心）。试证抛物线顶点在圆h的圆周上；并求圆h的面积最小时直线ab的方程。

由变式1可知oa⊥ob，即点o在圆h上，因h为圆心，故h为ab的中点。由中点坐标公式可以求出x=(x+x)=(4p+n(y+y))=(2+p)p，y=(y+y)=pn。

显然oh为圆的半径，且oh==，所以当n=0时，圆的半径最小。此时ab的方程为x=2p。

当然我们还可以对此题进行逆向研究，即将此题变式

1的条件和结论进行互换得到下列命题：

变式3：若a、b为抛物线y=2px(p＞0)上两个动点，o为原点，且oa⊥ob，求证：直线ab过定点。

过定点问题是一个高考中的热点，而通过这样的变式不仅让学生的思维活跃起来，而且能引发学生去主动地思考问题和解决问题。本题只要设出a、b两点坐标，根据这两点满足抛物线方程和垂直的条件即可证明此问题。对本问题稍微改变一下设问则可得到下面试题：

变式4：(2001春季高考题)设点a、b为抛物线y=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知oa⊥ob，om⊥ab，求点m的轨迹方程，并说明轨迹表示什么曲线。

解有上面的变式可知ab过定点n（4p，0），om⊥ab? om⊥mn，所以点m的轨迹是以on为直径的圆（除原点），其方程也可求出。

思考：直线与圆锥的位置的关系问题是多年来高考重点考查的内容，该题以抛物线和直线为载体全面考查解析几何的思想与方法，通过变式练习层层推进知识的发生发展过程，符合学生的认知规律，使得学生在知识和能力上有一定的收获和提高。

题目2：（高中数学新教材第二册（下a、b）p131 例2）在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作。假定在某段时间内

每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。

本题比较容易，但是我们可借助本题进行如下变式探究：

将已知中的条件变形如下：

变式1：假设三个开关全部串联，在其余条件不变的情况下，怎样求线路正常工作的概率？

解：设这三个开关能闭合为事件a，b，c，则可求得概率为p(a)p（b）p（c）=0.7=0.343。

变式2：若其中2个开关串联后再与两外一个并联，在其余条件不变的情况下，如何求线路正常工作的概率？

假设三个开关为m，m，m由已知m，m串联，再与m并联，则线路正常工作的概率为1-［1-p(a)p（b）］［1-p(c)］=1-（1-0.7）（1-0.7）=0.847。

变式3：若其中两个开关并联后与另一个开关串联，在其余条件不变的情况下如何求线路正常工作的概率？

假设由已知并联，再与串联，则得

（1-［1-p(a)］［1-p（b）］)p(c)=［1-（1-0.7）］0.7=0.637 以上3个变式只是对3个开关的连接，假设有4个或者多个呢？会有怎样的情况发生？将上述题目题变成开放式的问题：

著名的教育家波利亚曾说：“好问题跟某种蘑菇有些像，它们都成堆生长，找到一个以后，应该在周围再找找，很可能附近就有好几个。”由此在数学教学中，若通过变式教学，引导学生从一个问题出发，运用类比、特殊化，一般化的方法去探索问题的变化，则能使学生发现问题的本质，去揭示其中的数学思想。所以恰当合理深入的变式教学使得课堂变得生动活泼，学生爱学，老师乐教，这样既有利于学生学习知识，又有利于培养学生的创新能力。

参考文献：

［1］谢景力.数学教学的变式及实践研究［d］.2006.

篇2：变式教学释义

怎样进行变式教学

变式教学是指在教学过程中通过变更概念非本质的特征、改变问题的条件或结论、转换问题的形式或内容，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究 “变”的规律的一种教学方式。数学变式教学是通过一个问题的变式来达到解决一类问题的目的，对引导学生主动学习，掌握数学“双基”，领会数学思想，发展应用意识和创新意识，提高数学素养，形成积极的情感态度，养成良好的学习习惯，提高数学学习的能力都具有很好的积极作用。

一、类比变式，帮助学生理解数学知识的含义

初中数学具有一定的抽象性，许多数学概念概括性比较强，学生理解非常困难；有些知识包含了隐性内容，有仅仅依靠老师的情景创设和知识讲解学生可能无法全面理解数学的内涵的，所以需要运用更加丰富的教学手段帮助学生理解数学知识。

例如在学习“分式的意义”时，一个分式的值为零是包含两层含义：(1)分式的分子为零(2)分母不为零。因此，如果仅有“当x为何值时分式 的值为零”，此类简单模仿性的问题，学生对“分子为零且分母不为零”这个条件还是很不清晰的，考虑“分母不为零” 意识还不会很强。但如果以下的变形训练，教学效果会大不相同：

变形1：当x______时，分式 的值为零？

变形2：当x______时，分式 的值为零？

变形3：当x______时，分式 的值为零？ 通过以上的变形，可以对概念的理解逐渐加深，对概念中本质的东西有个非常清晰的认识，因此，数学变式教学有助于养成学生深入反思数学问题的习惯，善于抓住数学问题的本质和规律，探索相关数学问题间的内涵联系以及外延关系。

二、模仿变式，更快熟悉数学的基本方法

数学方法是数学学习的一个重要内容，而这些数学方法的掌握往往需要通过适当改变问题的背景或者提问方式，通过模仿训练来熟悉。所以，在教学中通过精心设计变式问题，或挖掘教材自身的资源可以更快地帮助学生熟悉数学的基本方法。

例如人教版课标教材八年级《数学》（上）中，为了使学生更好地掌握三角形全等的判定的“SSS”方法的运用，就很好地采用了变式教学的设计形式。

（1）如图(1)，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A和BC的中点D的支架，求证：△ABD≌△ACD；（例题1）

（2）如图(2)，AB=AD,CB=CD,△ABC与△ADC全等吗？(习题13.2中的复习巩固)（3）如图(3)，C是AB的中点，AD=CE,CD=BE，求证△ACD≌△CBE；(习题13.2中的复习巩固)（4）如图(4)，B、E、C、F在一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证∠A＝∠D.(习题13.2中的综合运用)教材中为了让学生掌握“SSS”方法，首先安排了（1）中的简单训练，其中全等的两个三角形有公共边的三角形，相等关系较为直接，只要验证全等的条件是否齐全、是否对应即可以；而（2）则是例1的图形略为变形，旨在增强学生针对图形变化应注意全等条件的验证意识；（3）、（4）中的两个三角形虽然已经一对边之间有直接关系，但其中一对边的相等关系需要经过简单的推理而得到，难度有所加强，对学生是否掌握“SSS”方法的要求更高。这样的变式训练，让学生通过模仿逐步掌握数学的基本方法，对初中学生有着更普遍的意义。

三、阶梯变式，训练中总结数学规律

初中数学内容的形式化趋势比较明显，而学生的对形式化的数学知识理解普遍感到困难，对某些规律的形式化的归纳往往更是无从下手，所以，适当地从学生的实际出发，设计变式教学环节，让学生从变式问题中“变化量”的相互关系中，帮助学生总结数学规律。

例如人教版课标教材九年级《数学》（下）关于二次函数y=ax2的图像的对称轴、顶点、开口等变化规律与a的取值的的关系时就是采用变式教学的形式，让学生通过类比推理总结出这类函数的性质的规律的。

首先，用描点法分别画出两个简单的二次函数“y= x2”和“ y=2x2”的图像，引导学生通过观察它们与“y=x2”的图像的不同点、共同点，发现如下结论：

（1）三个函数对称轴都是y轴；（2）三个函数的顶点都是原点；（3）开口均向上。

其次，进行变式后再尝试验证。同样用描点法别画出两个简单的二次函数“y=-x2”、“y=-x2”、“ y=-2x2”的图像引导学生通过观察它们与图像的不同点、共同点的系数的可以引导学生验证上述结论，发现（1）、（2）依然成立，而（3）有了不同的变化，就是抛物线的开口方向实际上与函数中系数的正负有关，当a＞0时，开口向上；当a＜0时开口向下。

这样，因为需要对图形的几何性质等规律性知识进行总结或验证时，从简单的一类问题开始进行变式，借助变式教学的方法可以很好地提高学生的学习效率，数学中其它规律的发现与验证都可以使用变式教学。

四、拓展变式，有利于学生形成数学知识之间的联系

数学知识之间的联系往往不是十分明显，经常隐藏于例题或习题之中，教学中如果重视对课本例题和习题的“改装”或引申，进行必要的挖掘，即通过一个典型的例题进行拓展，最大可能的覆盖知识点，把分散的知识点串成一条线，往往会起到意想不到的效果，有利于学生知识的建构。

 例如下面问题可以进行充分运用会有更加意想不到的效果：

如图

（一）在DABC中，?/SPAN>B=?/SPAN>C，点D是边BC上的一点，DE^AC，DF^AB，垂足分别是E、F，AB=10cm，DE=5cm，DF=3 cm，求（1）SDABC。（2）AB上的高。

上题通过连接AD分割成两个以腰为底的三角形即可求解SDABC=40 cm2 ；借助于添加AB上的高CH，利用面积公式和第一题的结论，不难求的AB上的高为8cm。我在教学中并未把求得结论作为终极目标，而是继续问：3+5=8，在此题中是否是一个巧合？探究DE、DF、CH之间的内在联系，（引导学生猜想CH=DE+DF）。

引出变式题（1）如图

（二）在DABC中，?/SPAN>B=?/SPAN>C，点D是边BC上的任一点，DE^AC，DF^AB，CH^AB，垂足分别是E、F、H，求证：CH=DE+DF 在计算例题的基础上，学生已经具有了用面积的不同求法把各条垂线段联系起来的意识，此题的证明很容易解决。

在学生思维的积极性充分调动起来的此时，我又借机给出变式（2）如图

（三）在等边DABC中，P是形内任意一点，PD^AB于D，PE^BC于E，PF^AC于F，求证PD+PE+PF是一个定值。通过这组变式训练，面积法在几何计算和证明中的应用得到了很好的体现，同时这一组变式训练经历了一个特殊到一般的过程，有助于深化、巩固知识，学生猜想、归纳能力也有了进一步提高，更重要的是培养学生的问题意识和探究意识。

五、背景变式，强化学生数学思维的训练

在解题教学的思维训练中，通过改变问题背景进行变式训练是一种很有效的方法。通过从不同角度去改变题目，通过解题后的反思，归纳出同一类问题的解题思维的形成过程与方法的采用，通过改变条件，可以让学生对满足不同条件的情况作出正确的分析，通过改变结论等培养学生推理、探索的思维能力，使学生的思维更加灵活性和严密性。

例如：已知等腰三角形的腰长是5，底长为6，求周长。我们可以将此例题进行一题多变。

变式1：已知等腰三角形一腰长为5，周长为16，求底边长。变式2：已等腰三角形一边长为5；另一边长为

6，求周长。

变式3：已知等腰三角形的一边长为2，另一边长为16，求周长。

变式4：已知等腰三角形的腰长为x，求底边长y的取值范围。

变式5：已知等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长是16。请先写出二者的函数关系式，再在平面直角坐标内画出二者的图象。

变式1是在原问题的基础上训练学生的逆向思维能力，变式2与前两题相比需要改变思维策略，进行分类讨论，而变式3中的“5”显然只能为底的长，否则与三角形两边之和大于第三边相矛盾，这有利于培养学生思维严密性，变式4与前面相比，要求又提高了，特别是对条件0﹤y﹤2x的理解运用，是完成此问题的关键。通过问题的层层变式，学生对三边关系定理的认识又深了一步，有利于培养学生从特殊到一般，从具体到抽象地分析问题、解决问题；通过例题解法多变的教学则有利于帮助学生形成思维定势，而又打破思维定势，有利于培养思维的灵活性和严密性。

篇3：变式教学释义

一、变式教学要突出“概念的内涵和外延”

数学概念是发展数学思维的基本要素, 只有正确理解和掌握数学概念,才能有效地进行判断、解释、推理、运算和解决问题。 变式教学是在教学中使学生确切掌握概念的重要方法之一。通过变式,学生可以多角度地理解概念:从具体到抽象,从特殊到一般,排除背景干扰,突出概念本质,阐明概念内涵。

案例1在 “等差数列的前n项和 ”的教学中 ,我并不是一开始就给出等差数列的求和公式,让学生“生搬硬套”公式,而是给出一组问题的变式 ,通过学生的 自主探究,揭示求和公式的由来及其蕴含的数学思想方法。

问题1:计算1+2+3+…+100=________。

学生 :

问题2 :Sn=1+2+3+… +n=)_________ 。 (n ∈ N * )

学生 : 由问题1 , 故想到 “ 配对思想 ”。

教师:“配对思想”的本质是把 “不同数求和”转化为 “相同数求和 ”,基于这种想法 ,能不能避免分类 讨论 , 找到更优的解决办法?

学生:Sn=1+2+3+… +n,

Sn=n+(n-1)+(n-2)+…+1,

将上述两式相加 , 得2 Sn=n(n+1),所以Sn= n(n+1) /2 。

问题3 : 如何由等差数列{ an}的前n项和得到?

问题4 : 已知函数, 求 f (-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值 。

点评:这四个问题的变式 ,由特殊到一 般,逐步让学 生领会并理解“倒序求和法”的本质特征,理解其所蕴 含的数学思想方法,通过对比体会“倒序求和法”的优越性, 再由数列回归到函数, 使得这一思想方法得到进一步的升华,使其本质性的内涵与外延得到充分的挖掘,这体现了数列和函数的统一性。

2.变式教学要突出“教材的本源作用”

对教师和学生来说,教材具有权威性、示范性和完美性的特点。 结合课本习题进行变式教学,有本有源,学生感到亲近,师生容易沟通,既能充分发挥教材载体的优势作用, 又符合新课程强调 “用教材教”“创造性地使用教材”的理念。 特别是高三复习课的“根”仍然在教材中,充分挖掘教材习题的价值,可让学生成功摆脱题海的困扰, 使高三复习事半功倍,取得实质性的效果。

案例2(新课标选 修2-1,练习第4题 )已知直线y=x+m与曲线y=x2-x+2有两个公共点 , 求m的取值范围。

这道教材习题本身很简单 , 但蕴含着数学中很重要的数学思想方法 , 即转化思想和方程思想 。 大部分教师可能也就一带而过 , 甚至有些教师可能会 “ 视而不见 ”, 这样的处理方式显然没有充分挖掘出该题 的本质和价 值 , 若稍微改变题目的呈现形式 , 学生就很有可能 “ 不识庐山真面目 ”, 束手无策了 。 比如 , 我校高三的一次测试中考查了这样一个问题 : 设A (-1,0),B(1,0),动点M(x,y)满足,则u= 2x+y+2 /x-y+3的取值范围________ 。

解析 : 由得到动点M的轨迹方 程是(x-3)2+y2=8,把u= 2x+y+2 /x-y+3整理成( 2-u)x+(u+1)y+2-3u= 0,则问题转化为直线与曲线的交点问题 。 我统计了本校学生完成此题的正确率只有1 0%。 反思教学 , 我们要准确捕捉教材习题所蕴含的价值 , 适当编制变式练习 , 创造性地使用教材 , 以帮助学生更好地把握问题的本质 , 加深对知识的理解 。

… … 变式1 : 已知x2-x+2-y=0,求x-y的取值范围 。

变式2 : 设x ,y为实数 , 若x +2y=4,

(1)求x2+y=2x的最小值 ;

(2)求y+1 /x-1的范围 。

变式3 : 已知实数a ,b,c,满足a+b+c=9,ab+bc+ca=24, 则b的取值范围是__________ 。

解析 : 此题的解法很多 , 但其本质仍然是直线与曲线的交点问题 。 令a =x,c=y,即变成已知4 ,求b的取值范围是 _________。

点评:对教材习题进行恰当的变式,让学生在“变”的过程中感悟“不变”的本质,在“不变”的本质中发现“变” 的规律;让学生能够在复杂多变的情况下 ,抓住知识 、方法的本质,体验知识、方法的形成过程 ,促进学生思 维能力的发展,实现学生解题能力的提升。

3.变式教学要突出“思维的阶梯式发展”

变式教学的目的之一就是训练思维、提升能力,帮助学生登高望远,这就要求题目的变式必须有一定的“思维梯度”,否则学生只能在原有水平徘徊 ,进行无休止的 操作,永远也领略不到山顶的无限风光。

案例3已知函数f(x)=|x+1|+|x|+|x-1|,且f(a2-3a+2)>f(a-1),求满足条件的a的范围 。

解 : 因为f (x)=f(-x),所以f(x)是偶函数 , 结合偶函 数性质画出函数图像 ( 见图1 )

所以| a2-3a+2|>|a-1|,解得

变式1 : 函数f (x)=|x+1|+|x+2|+…+|x+2007|+|x|+ |x-1|+|x-2|+…+|x-2007|,且f(a2-3a+2)=f(a-1),则满足条件的所有整数a的和是_______ 。

解 : 类比函数 性质 , 本质与g (x)=|x+1|+|x|+|x-1|一样 , 可得a2-3a+2=a-1或a 2 -3a+2+a-1=0, 解得a=1或a =3,所以所有整数a的和是4。

变式2:函数f(x)=|x+1|+|x+2|+…+|x+2007|+|x1|+|x-2|+|x-2007| , 且f(a2-3a+2)=f(a-1), 则满足条件 的所有整数a的和是_________。

解:类比函数性质,本质与g(x)=|x+1|+|x-1|一样结合g(x)图像(见图2),可得a2-3a+2=a-1或a2-3a+2 +a-1=0 或, 解得a的值有1,2,3,其和为6。

点评 : 这道题以 及变式 , 其本质就 是对函数 性质和图 像的研究 , 特别是这 两道变式 题 , 不仅对函 数性质及 图像的研究 提出了更高的 要求 , 还考查了学生 类比求和推 理的能力 , 思维层次 更高 , 有利于学 生思维能 力的训练 及提升 。

4.变式教学要突出“生本课堂”

新课程标准提 出了“生本课堂”的教学理 念 ,即要求我们的数学课堂一定要以学生的发展为本。 而要实现这一目的,就要求我们的数学教学必须贴近学生的基础、贴近学生的年龄特征、贴近学生的思维状况。 变式教学便是如此,在学生知识和思维的最近发展区就题目进行变式否则变式教学就失去了意义, 反而容易造成学生处处碰壁,产生畏难情绪。

案例4 ( 2015常州市期 末联考第10题 ) 已知函数f (x) =|2x- 2 | , x缀 ( - 1 , 2 ) , 则函数y = f ( x - 1 ) 的值域为___________。

解:因为图像的水平移动没有改变函数的值域,所以y=f(x-1)的值域即y=f(x)的值域 ,结合y=f(x)的图像 (见图3),易得y=f(x)的值域为 [0,2)。

变式1 : 已知函数x的最大值为M , 最小值为N , 则M +N=_________ 。

变式2:设g(x)是定义在R上 、周期为1的函数 ,若f (x)=x+g(x) 在 [3,4] 的值域是 [-2,5], 则f(x) 在区间 [-10,10上的值域为__________。

解:由题意知,存在实数x1,x2缀[3,4],使得f(x1)=-2,f(x2)= 5,因为g(x)的周期为1,所以f(x1+1)=x1+1+g(x1+1)=x1+1+ g (x1)=-1,x2+1+g(x2)=6, 即f(x) 在 [4,5] 上的值域 为 [-1,6]。 以此类推,f(x)在区间[-10,10]上的值域为[-15,11]。

点评 : 该题在整个常州市高三学生的平均得分是2 .3分 ( 满分是5分 ), 这充分说明 学生对于 “ 函数的图像 、 性质及函数值域之间的联系 ” 掌握得很不到位 。 如果就题讲题 , 对学生而言 , 其收获的也 就是管中窥豹 , 显然无法达 到与学生的最近发展区产生更广 、 更深刻的共鸣 。 这两道变式题阐述了奇偶性 、 周期性对函数值域的影响 , 不仅让学生更全面地了解函数性质和函数值域的联系 , 更重要的是培养了学生严谨的思维品质 , 促进了学生的发展 。

摘要：新课程标准颁布实施以来,探究式教学已经成为整个高中数学课堂的主旋律。教师作为探究式课堂教学的导师,其任务是调动学生的积极性,促使他们自己去获取知识、发展能力,做到自己能发现问题、提出问题、分析问题、解决问题。与此同时,教师还要为学生的学习设置探究的情境,营造探究的氛围,促进探究的开展,把握探究的深度,评价探究的成败。变式教学不仅可以为课堂创造良好的探究氛围,而且是决定探究的深度和广度的重要因素,体现了数学教学的本质。

篇4：变式教学初探

关键词： 变式教学 思维能力 思维品质

变式教学是通过不同角度、不同侧面、不同情形、不同背景的变化手段使学生有效加深认识和理解数学对象的本质特征的活动过程.变式教学在提高学生的思维能力，培养学生良好的思维品质等方面起着重要作用.下面就几道例题的变化教学作探索.

题目：已知三棱锥S-ABC的三条侧棱SA，SB，SC两两相互垂直，长为a，b，c，求三棱锥的体积.

1.通过求三棱锥高SO求体积（如图1）.

求底面△ABC的面积和求高SO都是比较烦的.

若变换一个角度解决这个问题，就会显得简单得多.

2.通过等积变化求体积.

这是以A为顶点认识三棱锥A-SBC，确实简单.

此时，若我们“乘胜追击”，联想熟悉的几何体，那么还有以下解题途径.

3.可视三棱锥S-ABC为长方体的一角（如图2）.

改变一下问题的背景，则还可以作以下初步探索.

4.若在球面上从一点出发的三条弦，两两垂直，且SA=AB=b，SC=c，求球的半径R.

据对称性知，长方体有外接球：

6.若此題不求体积，而改为求棱锥的高SO呢？

解决问题途径可先求体积，后求高，等积变换更显灵活、有效.

对问题解决办法求变，对问题的背景求变，提供学生联想的机会，启发学生多角度、多变化地思考同一问题，增强了思维的广阔性、深刻性.

题目：（如图3）要将半径为R的半圆形钢板，剪成等腰梯形ABCD的形状，其下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上.写出这个梯形周长y和腰长x之间的函数式，并求出它的定义域.

【分析】设AD=x，梯形周长为y，则y=AB+2AD+CD=2R+2x+CD，

于是将上底CD用含x的解析式表示出来，问题得解；

而CD=2R-2AE，问题转化为如何用x表示AE，此时问题已化归为“平几问题”，可利用相似三角形（或射影定理）解决，因此

针对上述问题，作以下变式探索：

1.当x为何值时，周长y最大？

2.若设这个梯形的面积为S，你能用腰长x表示S吗？它有最大值吗？若有最大值，如何求呢？

3.（如图4）若CD=x，周长y的表达式怎样求？

当x为何值时，y取最大值？

若设面积为S，如何用x表示S呢？

对上述问题的变式探索，丰富了此题的外延，深化了此题的内涵，善于迅速地引起联想，建立思路，及时调节应用，有效地克服了思维的僵化状态，培养了思维的灵活性.

总之，变式教学对学生思维能力的锻炼和提高发挥了一定的功能和作用，但变式教学应遵循教学的基本原则，要适时适度，目的性强，具有启导性.求变，求活，求发展，变式教学无疑是对学生进行素质教育的有益尝试.

参考文献：

[1]中学教科书.数学.第二册人民教育出版社.

篇5：2变式教学论文

———高一一节二次函数求最值的变式教学课有感

摘要：本文通过引用一节二次函数求最值的变式教学课，着重论述了变式教学对培养学生思维的连贯性，严密性，深刻性，广阔性，变通性，双向性，灵活性，发散性和创造性等方面来阐述变式教学的优越性，优化课堂效率。

关键词：变式教学，培养，思维

变式教学是指教师将数学中各种知识点有效地组合起来，从最简单的命题入手，不断变换问题的条件或者结论或者情景，层层推进，逐渐揭示出问题的本质特征的一种教学方式。在不断的变化中去寻找数学的规律性，使学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，使所有知识点融会贯通，从而透过现象，看到本质，这就是人们常讲的“万变不离其宗”。通过变式对数学问题多角度、多方位、多层次的讨论和思考，能帮助学生打通知识关节，找到解题方法，拓宽解题思路，对于优化课堂效率，提高解题能力，培养思维的连贯性，严密性，深刻性，广阔性，变通性，双向性，灵活性，发散性和创造性等方面都是大有益处的。

引例（1）求f(x)x22x1在R上的最小值

（2）求f(x)x22x1在[2,3]上的最小值（3）求f(x)x22x1在[0,3]上的最小值

本堂课由一个二次函数，在三个不同的区间上求最小值的问题引入，揭露出二次函数求最值的本质，于何处取得最值？关键是图像对称轴与区间的关系的讨论。区间不同，结果也不同，体现出在解决函数问题时，定义域的重要性，即所研究问题的范围。问题串式编题，既有相同之处，又有细微区别，区别之处揭露本质。

一、改变条件加入讨论构造变式，培养思维的严密性和深刻性

变式教学不是为了变式而变式，而是要根据教学与学习的需要，遵循学生的认知规律，在重要处和关键处进行变式，让学生充分领会问题的本质，实现教学目标。

变式一

求f(x)x2x1在[0,a]上的值域

(1)当0

(3)当a>2时,min=0,max=f(a), 值域为[0,a2-2a+1]

变式二

求f(x)x22x1在[a,a+2]上的值域

，当a1时，f(x)[f(a2),f(a)]当1a0时，f(x)[0,f(a)]当0

二、调换参数位置构造变式，培养思维的广阔性和变通性

数学教学中由一个基本问题出发，运用类比，联想等思维方式，可以构造出很多数学问题情境。在类比的变式中，引导学生在变中看到不变的本质，找到解决问题的主思路。

变式三

求f(x)x2kx1在[-1,1]上的最小值m(k)

当k<-1时，m(k)=f(-1)=2+2k当-1k1时，m(k)=f(k)=-k21当k>1时，m(k)=f(1)=2-2k2+2k,k<-1综上：m(k)=-k21,-1k12-2k,k>1

变式四

求f(x)kx2x1在[-1,1]上的最大值M(k)当k=0时，M(k)=f(-1)=3当k>0时，M(k)=f(-1)=k+3

1当k<0时，当<-1时，即-1

k1 当-1<0时，即k-1时，M(k)=f(k)=1-

kkk3k1综上M(k)1

1k1k变式三和变式四将参数从区间的位置转移到解析式处，变成轴变区间定的模型，训练思维的变通性。但是变题的本质仍然没有变，最关键的仍是何处取得最大值或者最小值，仍然是图像的对称轴与区间的关系。变式三和变式四比变式一和变式二在思维上实现了一点跳跃，一个是轴定区间动，一个是轴动区间定，要求学生思维上能灵活变通，善于抓住最本质不变的特征。但是从变式三到变式四，难度上又有稍稍递进，从分类讨论的角度，变式四要比变式三更复杂些，既要讨论二次项系数为零，为正，为负等各种情况，又要讨论各种情况下的对称轴与区间的关系，即在左边，在中间或者在右边，在运算的过程中，根据参数的范围，有时又可以省略掉一些讨论，对于训练学生思维的深刻性、严谨性和变通性大有益处。

二、已知最值反求参数构造变式，培养思维的双向性和灵活性 此变式属于逆向思维的变式，从已知参数求最值，到已知最值反过来求参数的变题训练，可以有效的训练思维的灵活性，防止僵化。但问题的关键仍然是函数在区间上的何处取得最大值，仍是讨论图像对称轴与区间的关系，让学生体会从变种掌握不变的本质。

变式五

已知f(x)kx2x1在[-1,1]上的最大值为，求k的值

252k3k151解法一：在变式四时已解得M(k)1，当M(k)时，得 k

221k1k解法二：经图像的分析，得到最大值取得无非是在区间端点处或者对称轴处

57若f(1),则k,检验得不满足22511若f(1),则k,检验得满足情况 综上得k222 157若f(),则k，检验得不满足k22变式五与变式四是俩逆向思维的变题，在解决变式五中又从一题多解的角度体现了方法的多样性与思维的灵活性。变式五在变式四的基础上进行编排，省去了准备工作阶段的很多重复运算，实现课堂效率的优化。方法一重分类讨论解决二次函数最值的问题，方法二具有一定的巧妙性，是一种特殊法思想，体会树形结合解决问题。分类讨论思想和数形结合思想都是高中阶段需要好好培养的两种思想方法，说明本堂课的内容是丰富饱满的。特殊法思想让学生体验常规之外的灵活多样，训练思维的灵活性。

四、转变函数形式构造变式，培养思维的发散性和创造性

著名数学教育家波利亚曾形象的说：“好问题同某种蘑菇有些相似，它们大多成堆的成长，找到一个后，你应该在周围找一找，很可能附近就有好几个。”掌握上述题型的求解之后，我们还应举一反三，经过适当变化之后，能看出问题考察的知识点本质是什么，将貌似不熟悉的题目化归到我们所熟悉的题型；反之对于我们所熟悉的题型，也能发散出去，编写创造出与其它知识点相联系的变题。

变式六：（1）求f(x)cosx22asinxa的最小值

令tsinx,转化为求函数yt22ata1在[1,1]上的最小值，与变式三同类型。

（2）设a0,若f(x)cosx22asinxb的最大值为0，最小值为-4,求a,b的值

令tsinx,转化为已知函数yt22atb1在[1,1]上的最小值为-4，最大值为1，求a,b的值，与变式五同类型.（3）求f(x)（asinx+cosx）+sinxcosx的最小值

t21令tsinxcosx,t[2,2],转化为求yat在[2,2]上的最小值

22变式六重视培养学生的应用能力和化归的思想，经过变形仍转化为二次函数在区间的何处取得最值的问题。第（3）小题在难度和思维的发散上均达到一个高峰，要求学生既能领会问题的本质，又有较大的创新和变通能力，综合性较强。变式六的类型其实与变式三和变式五同类型，只是结合了三角函数的知识，可以教师给出这些题让学生通过适当换元看出问题的本质，也可以让学生自己编出与上述题类似的变题。

试看我们平常的教学，师生往往陷于题海战术中不能自拔，这种沙里淘金的方式，效果很不理想。变式教学运用各种变式挖掘、延伸、改造，即能运用较少的时间，将所学的知识条理化，系统化，揭露出问题最本质的特征，又能培养学生的思维能力，提高解决问题的应变能力，是一种能大大提高课堂效率为广大学生所接受并喜爱的一种教学方式。减轻学业负担，形成高超数学能力，优化思维品质，变式教学功不可没。

参考文献：

篇6：浅析初中数学变式教学

上传: 刘永明

更新时间：2012-5-19 20:46:09 浅析初中数学变式教学之“习题变式”

【摘要】：变式，即同一事物非本质特征的一种转换。这种转换使客观事物得以不同形式展现在人们面前，成为我们客观认识事物基本条件。数学教学中的变式教学可以体现新课程的教学理念，减轻学生负担，提高教学质量。现就变式教学中的习题变式谈个人观点，供其他教师在教学中借鉴。【关键词】：习题变式 方法 思维

在新一轮课改教学中，如何减轻学生过重的学习负担已成为广大教育工作者关注的重点。要减轻学生过重负担，就必须更新教育观念，改革教学方法，努力提高课堂教学质量。数学教学有各种方法和手段，变式教学是其中的一种。尽管有时候人们不一定都认识变式教学的含义，人们却在自觉或不自觉地将它应用于教学之中。在数学教学中研究和运用变式，对教师有效地传授知识，突出本质特征，排除无关特征，让学生去伪存真，全面认识事物，提高数学教学质量有着现实的意义；把变式教学与主体性教育有机结合起来，可以充分挖掘学生的潜能，有效地培养学生的自学能力、探究能力和良好的学习习惯，进而培养学生的创新意识和创新能力，由此可见，变式教学较好地体现了新课程的教学理念，具有鲜明的时代性。笔者在本文结合教学体会谈谈对习题变式认识。

习题是训练学生的思维材料，是教者将自己的思想、方法以及分析问题和解决问题的技能技巧施达于学生的载体。要不被千变万化的表象所迷惑，抓住本质的东西，变式教学是一种有效的办法。通常可以利用习题变式训练学生的思维，使学生在多变的问题中受到磨练，举一反三，加深理解。如将练习中的条件或结论做等价性变换，变更练习的形式或内容，形成新的练习变式，可有助于学生对问题理解的逐步深化。如讲完例题“一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。那么两人合作多少小时完成？保留原题条件，可变换出下列几个逐级深化的题目让学生去思考：

变式1：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？

变式2：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成此工作的2/3？

变式3：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么共要多少小时完成此工作的2/3？

变式4：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做7.5小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？

变式5：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做7.5小时完成。甲先单独做4小时，余下的乙单独做，那么乙还要多少小时完成？

变式6：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做3小时完成此工作的2/5。现在甲先单独做4小时，然后乙加入合做2小时后，甲因故离开，余下的部分由乙单独完成，那么共用多少小时完成此项工作？ 这一变式改变已知的几个条件中的某些条件;或改变结论中的某些部分的形式;从而拓宽、加深学生的知识层面，也体现了教学的层次性和多样性，培养了学生创新能力和探究能力。

习题变式中除了改变题目中的条件或结论外，有时将问题由特殊形式变为一般形式也是常见的。比如： 在教学直线、线段、射线时有这样一个题：

1、当直线a上标出一个点时，可得到 条射线，条线段

2、当直线a上标出二个点时，可得到 条射线，条线段；

3、当直线a上标出三个点时，可得到 条射线，条线段 变式

1、当直线a上标出十个点时，可得到 条射线，条线段； 变式

2、当直线a上标出十个点时，可得到 条射线，条线段；

通过这种变式，就把问题由特殊形式变为一般形式，学生通过探索交流得出答案，掌握了方法，从而尝试到成功的乐趣，并激发学生的学习热情。

篇7：变式教学在初中教学中的应用

变式教学法，它的核心是利用构造一系列变式的方法，来展示知识发生、发展过程，数学问题的结构和演变过程，解决问题的思维过程，以及创设暴露思维障碍情境，从而，形成一种思维训练的有效模式。它的主要作用在于凝聚学生的注意力，培养学生在相同条件下迁移、发散知识的能力。它能做到结构清晰、层次分明，使优、中、差的学生各有所得，尝试到成功的乐趣，并激发学生的学习热情，达到举一反

三、触类旁通的效果，使他们的应变能力得以提高，进而提高教学质量。

一、变式教学法对新概念教学的促进作用

概念，在数学课中的比例较大，初中数学教学又往往是从新概念入手。能否正确理解概念，是学生学好数学的关键。概念教学有其特殊性，它不仅要求学生要识记其内容，明确与它相关知识的内在联系，还要能灵活运用它来解决相的实际问题。概念往往比较的抽象，从初中生心理发展程度来看：他们对这些枯燥的东西，学习起来往往是索然无味，对抽象的概念的理解很困难。而采取变式教学却能有效的解决这一难题，使学生度过难关。通过变式或前后知识对比，或联系实际情况或创设思维障碍情境，来散发学生学习兴趣，变枯燥的东西为乐趣。例如，在学习“正数”与“负数”前，教师先提出：某地气候，白天最高气温为10℃，夜晚最高气温为零下10℃，问昼夜最高温度一样吗？学完这节课后你就能回答这个问题了！这样激发了学生的好奇心和求知欲，便能产生“乐学”的氛围，这样对新概念撑握则通过变式使之内化并上升为能力。又例如，学习了“梯形”和“等腰梯形”的定义后，提出：

1、有一组对边平行的四边形是梯形吗？

2、一组对边平行加一组对边相等的四边形是等腰梯形吗？通过反例变式进行反面刺激，使学生更明确的理解和掌握“梯形”、“等腰梯形”、“平行四边形”等概念。

二、变式教学有利于培养学生良好的思维品质

众所周知，发展智力，培养能力的关键是培养学生良好的思维品质，而运用变式手法恰好是训练和培养学生思维的有效途经。

1，利用兴趣培养学生思维主动性积极性，在教学中，教师有意识的运用兴趣变式来诱发学生的好奇心，激发他们主动钻研，积极思考，可以克服惰性，培养思维主动积极性。具体而言，我们要提倡建立“畅所欲言，各抒己见”的课堂氛围，为学生提供独立活动、自我表现的机会和条件；应鼓励学生对老师的提问产生质疑，能够提出自己不同的观点和看法；应鼓励学生由此及彼，从一个问题衍生开来，提出崭新的、有创造性的问题。只有这样，教师的设问才会最大可能地激发学生的创造性思维。

2，利用反例变式，培养学生思维的严谨性和批判性。教学时，通过反例变式的训练有意识的设置一些陷阱，去刺激学生让其产生“吃一堑，长一智”。数学学习是通过思考进行的，没有学生的思考就没有真正的数学学习，思考问题是需要一定的时间的。值得研究的是，教师提出问题后，应该给学生多少思考时间。实验表明，思考时间若非常短，学生的回答通常也很简短，但若把思考时间延长一些，学生就会更加全面、较为完整地回答问题，这样，问题回答的准确率就会提高。当然，思考时间的长短，是与问题的难易程度和学生的实际水平密切相关的。目前，在课堂学习中，教师往往是提出问题后，几乎不给出思考时间，就要求学生立刻作答，而一旦学生不能立刻说出答案，教师便不断重复其问题，催促答案或者干脆另外提出一些问题来弥补这个“冷场”。其实，这恰恰是在干扰学生表面看似平静，实则活跃的思维过程。

3、发散思维是创造性思维的主导成分，又是创造性思维的核心，它着眼于探索未知的事物，发现事物间的新关系，寻找多方面解决问题的方法。因此，将一个问题从不同角度、不同层次进行设问，也可训练学生的发散思维，进而培养学生的创造性思维。具体而言，思考问题时，根据同一来源材料，以比较丰富的知识为依托，沿着不同的方向去思考，以探求不同方向的解答，即通常所说的“一题多解”、“一题多变”。利用一题多解培养学生思维的灵活性，在教学中教师利用解题过程的变式训练，引导学生善于运用新观点，从多用度去思考问题，用自由联想的方式，使学生广泛建立联系，多用度地认识事物和解决问题，打破那种“自古华山一条路”的思维定势，使他们开动脑筋，串联有关知识，养成灵活的思维习惯。

4、运用逆向变式培养逆向思维能力。在教学中培养学生的双向思维习惯，这种训练要保持经常性和多样性，逐步优化他们的思维品质。教师们在教学中，常常引导学生通过归纳、总结得出解决某一问题的“通法”，这种做法固然是必要的，而且也是有效的，但我们认为过分强调“通法”让学生对号入座，这样或许会收到“有心栽花花不开”的苦果，导致学生思维呆板，一旦“通法”在某个题目中“失效”时，便束手无策。因而，教师在引导学生进行归纳总结时，别忘了鼓励学生大胆探索，敢于创新，寻求解决问题的新路子。有些问题正向思维比较繁，如果改为逆向思维，则能化繁为简。

5、采用对一题多变和开放性题目的探讨，培养思维的创造性。教学中，在加强双基训练的前提下，运用一题多变和将结论变为开放性的方式来引导学生独立思考，变重复性学习为创造性学习。创造性思维是对学生进行思维训练的归宿与新的起点，是思维的高层次化。实践证明，教学中经常改变例题结论，引导学生自编一些开放性题目，对激发学生兴趣，培养其研究探索能力，发展创造性思维大有益处。

三、利用变式教学有利于学困生的转换

在初中阶段，随着年龄的增大和年级的增高，会感到数学越来越难学，学困生的面就逐渐增大，并呈增长的趋 势。摆在教学面前的重要问题除防止新的学困生形成外，还要注重学困生的转化工作。传统的教学方式解决这一问 题是远远不够的。通过实践，对学习和掌握不同的知识采用不同的变式手段，使用不同的授课类型，可以适应各种 层次的学生人，使学生听课有针对性，从而避免教师一讲到底。利用章头图和实例进行兴趣变式，激发学困生的学习兴趣和学习知识的自觉性、主动性，甚至让他们主动参与变式，将几种变式有机结合，增强他们的学习信心，充 分暴露他们的思维障碍，以减轻他们的心理负担。当然老师也要关心和爱护他们，对症下药，优化疏导，才能使他

们的思维得到锻炼和最佳发展，使学困生发生转化。

四、运用变式教学手段，有利于提高毕业复习效率

初三毕业复习时间仓促，为了取得理想效果，这时师生往往会陷入传统的“题海战术”之中难以自拔。这种“沙里 淘金”的办法不但使师生倍加疲劳，且效果不尽人意。变式教学在这里却有着它的独到功效，因为它是培养学生思维 能力，提高应变能力的一种有效的教与学的手段。事实上，复习?不同于新课，新课一节仅需要掌握一两个知识点，而复习课要在有限的时间内大容量、高效率完成一章节的复习任务，使知识条理化、系统化、网络化，不仅要掌握 知识，而且要形成基本技能，同时要掌握基本数学思想和数学方法，还要培养数学意识从历年的中考试题来看，绝 大多数的题目源于教材，活于教材，部分综合性强的题目略高于教材。因此，复习中老师应立足于课本，精选课本 中的典型例题、习题，充分运用各种变式进行挖掘、延伸、改造，用问题编成变式题进行教学，注重剖析破题思路，优化课堂结构，沟通知识间的联系，充分暴露思维障碍，展示知识的形成、演变过程，提高思维品质和应变能力，从而提高复习效率。实践证明，变式教学能摆脱“题海”变被动思维为主动自觉思维，形成“趣学”、“乐学”的氛围，让 学生成为学习的主人，减小差生面，培养学生良好的思维品质，提高教学效益，从而大面积提高教学质量。

篇8：变式教学释义

一、一题多解, 培养发散思维

一题多解就是从不同的角度分析同一问题中的已知条件, 运用所学知识把条件和结论链接起来, 用不同的解法得到相同结果的思维过程.在复习过程中安排多解题, 既可以加深学生对所学各知识点的理解, 还有利于学生把握知识点之间的内在联系, 掌握各部分知识之间的相互转化方法.

一题多解可以拓宽学生的视野, 激发学生的求知欲, 满足不同层次学生的需求, 从而提高课堂教学效率.比如在复习利用直角三角形求线段长的时候, 我设计了这样的问题, 收到了良好的效果.

题目:已知矩形ABCD的长为4, 宽为3, 如图方式折叠后, 求重合图形的面积.

一开始学生就找到了最基本的方法:利用勾股定理列方程, 求Rt△ABE的边AE的长, 再求Rt△AOE的边OE的长, 得出EF的长, 再用面积公式求出;这时有一个小组利用面积法得到方法二:先求出S△ABE, 再利用, 不需要求折痕, 直接求面积. 至此, 学生的思维陷入了僵局, 再也没有新方法了.这时我提出问题:折叠后的图形中, △AEF的面积选用的底和高还可以是谁?引发学生的思考.学生经过讨论发现, 底和高还可以选择EF和AO, 利用图中的相似形, 可以列比例式求线段长.这就是方法三:用相似, 即找到Rt△AFO∽Rt△CAB, 利用对应边成比例求出OF的长, 再根据EF=2OF得出EF的长, 再求面积;类似于方法三求EF时, 还有同学是这样做的:过F点作FM⊥BC于M, 利用Rt△FEM∽Rt△CAB, 利用对应边的比直接求出EF的长为15/4, 进而求出面积.

回顾这节课, 学生的思维得到充分发散.在小结阶段, 学生纷纷感慨:一题多解可以让他们从不同角度、不同侧面去分析问题、解决问题, 对于利用勾股定理和相似求直角三角形的边长的方法有了更深刻的理解.

二、多题一法, 渗透转化思想

初三复习时间短, 内容多, 怎样高效地整合知识点, 使学生在头脑中尽快形成具有个性化的知识体系呢?在教学中, 我们要善于以典型例题或习题为源头, 将其变式成不同形态的同类型习题, 并把它们集中在一起, 从不同角度促使学生形成一个共同的认知体系, 变单一的知识点考查为多角度多层次的考查, 从而使学生对一题的解答能产生解决一类题的效果, 即举一反三.

比如, 在复习《不等式组的应用》的时候, 我设计了这样一组习题:

原题:已知关于x的方程3x-3 (a-1) =5x+ (2a+1) 的解是非负数, 求a的取值范围.

变式1:已知关于x的方程3x- (2a-3) x=3 的解是非正数, 求a的取值范围.

变式2:已知关于x的不等式组6-4x>0, x-a>0 的整数解共有4 个, 求a的取值范围.

题组中把方程和不等式的知识互相结合, 既是对方程和不等式的解法的巩固, 又通过进一步将知识内化, 从而获得解决此类问题的方法:类比想象, 学生将不等式的问题转化为解含字母系数的方程和不等式, 再根据题意列不等式, 进而求解.

再比如:利用尺规作图法解决已知两固定点A和B来寻找等腰三角形的第三个顶点C的方法:即分别以A、B为圆心, 以AB长为半径做圆, 与固定直线的交点为点C.或做AB的垂直平分线, 与固定直线的交点为点C.这些方法是解决这一类问题时的通法.下面这个问题却是寻找菱形的第四个点, 它和等腰三角形有什么关系呢?

题目:如上图所示:已知点M在直线BQ:y=-2x+12上, 问:在平面直角坐标系中是否存在一点N, 使以点M、D (4, 0) 、B (6, 0) 、N为顶点的四边形为菱形?若存在, 请直接写出N点坐标, 若不存在, 请说明理由.

由于在菱形的四个点中, D、B为已知点, 点M在直线BQ上, N随M的变化而变化, 根据菱形四边相等的性质可以发现, 三角形DBM必为等腰三角形, 从而将问题化归为已知点B和点D, 寻找等腰三角形第三个顶点M的问题, 进而构造菱形, 找到相应的N点.将菱形的存在性问题转化为等腰三角形的存在性问题, 可使学生深刻认识到转化的重要意义.

三、一题多变, 开拓思维

利用全等三角形证明线段相等和角相等是牡丹江中考数学压轴题.如何在复习的过程中让不同层次的学生有不同的收获呢?在教学中我发现:这类图形的证明基本是利用图形的三大运动变换进行的图形变式, 虽然图形发生了变化, 但解决问题的核心知识点却是一致的, 即“图变法不变”.让不同层次的学生均能下手尝试, 从而积极寻求解题的规律和方法.

下面我以2009 年牡丹江市中考数学试卷第26 题的第3 个图为蓝本, 阐述我在题目设计上的尝试:

以右上图为基本图形, 我发现:若原题目图形不变, 在等腰直角三角形内部作一个以AC为斜边的直角三角形, 使点P恰好落在一条直角边上, 那么图中以P为端点的三条线段PC、PD、PA有一定的和差关系.

变式:在等腰直角三角形ABC中, CA=CB, ∠BCA=90 度, 点D为AB的中点.以AC为斜边作直角三角形APC, 将另一等腰直角三角板△DMN的直角顶点与D重合并以D为中心顺时针旋转, 使点P恰好落在直角边上, 此时PC所在的直线与等腰直角三角形的另一边交于E点, 当点P在三角形ABC的内部时, 如图1 所示, 易证:.

当点P在三角形ABC的外部时, 如图2、图3 所示, PA, PC, PD又有怎样的数量关系?写出你的猜想, 并选择一种情况进行证明.

解: (1) 图2 结论:;图3 结论:.证明略.

此题是用构造以CP为直角边的等腰直角三角形的方法来解决的, 学生在学习的过程中能充分体会到解决这一类带的问题的化归思想.这种教学方式是培养思维灵活性的有效手段.