平均值不等式的应用研究百家争鸣

2023-01-29

不等关系作为我们生活中普遍存在的关系, 可以用不等式来进行刻画。在数学中, 不等式和函数、方程以及导数等很多方面的知识都息息相关, 学好不等式, 不仅会帮助我们获得较好的成绩, 也会为我们大学阶段的学习打下良好的基础。不等式中的平均值不等式是经典之一, 在我们的学习和生活中发挥着至关重要的作用, 就这个阶段的我们来说, 平均值不等式的学习是十分重要的。

一、平均值不等式的概述

平均值不等式又被叫做均值不等式, 是数学中非常重要的一个公式, 平均值不等式的主要内容就是Hn≤Gn≤An≤Qn, 也就是指调和平均数小于等于几何平均数;几何平均数小于等于算数平均数;算数平均数小于等于平方平均数。在数学中, 应用比较广泛的几个平均值不等式有下面几个:

需要注意的是, 当两个正数的积为一个定值的时候, 就可以求出这两个正数之和的最小值;当两个正数的和为一个定值的时候, 就可以求出这两个正数之积的最小值。另外, 在数学中, 均值定理在证明不等式、求最值以及求取值范围等方面的应用十分广泛[1]。

二、平均值不等式的应用分析

(一) 函数中的应用

在最初接触到平均值不等式的时候, 我们都会感觉这方面的知识比较困难, 但是经过一段时间的学习和应用之后, 我们就有渐渐了解了平均值不等式。在平均值不等式中, 最重要的作用就是可以求出某个条件下的最值, 在使用平均值不等式解决这类问题的时候, 需要注意以下三方面的条件:第一, 所有数值都要为正值;第二, 通过计算之后所得的数值要为一定定值;第三, 在取等值的时候, 要注意观察是否具有取等号的条件。平均不等式求最值的方法主要有三种:待定系数法、变形求值以及直接求值, 解题方法的选择要根据题目的具体条件来决定。

将下面这道题目作为例子, 进行平均不等式求最值的演示。例题1:关于未知数X的方程4X+a·2X+a+1=0, 这个方程有实数解, 计算出实数a的取值范围。我们首先对这道题目进行分析, 该题目经过换元之后, 可以转变为一元二次方程在 (0, +∞) 这个区间内有实数解。这是我们就可以将2X设为t, 这时题目中的方程就可以转变为:2t+at+a+1=0在 (0, +∞) 这个区间内有实数解, 然后就可以得出:∆=2a-4 (a+1) a≤2-2, 最后就可以得出实数a的取值范围。

通过长时间对于平均值不等式的学习, 我得出了以下几点经验, 希望会对其他同学的学习提供帮助。首先, 我们在进行平均值不等式的分析时, 要明确它的几何背景;然后, 深入了解平均值不等式的几何背景。在探究平均值不等式的探究过程中, 我们要进行仔细地思考, 这样才能明确平均值不等式的内容和意义[2]。

(二) 实际问题的应用

使用平均值不等式进行实际问题的解决时, 需要注意以下四方面的内容:首先, 要读懂题意, 通常将要求取最值的变量设定为函数变量;然后, 根据题意建立变量的函数关系式, 将实际问题转变成求函数最值的问题;其次, 在定义域的范围内, 使用上述求得最值的方法进行函数最值的计算;最后, 将答案正确地书写出来。

将下面这道题目作为例子, 进行平均值不等式解决实际问题的分析。例题2:已知某个工厂需要构建一个长方体的蓄水池, 蓄水池的容积大小是4800m3, 蓄水池的深度是3m, 如果蓄水池底每1m2的造价是150元, 池壁美1m2的造价是120元, 那么需要怎么设计该蓄水池, 才能花费最低的费用, 最低的费用是多少?我们先将蓄水池底的一边长度设为xm, 蓄水池的花费的总费用为t元, 分析题意, 我们可以得出以下公式:

(三) 平均值不等式的应用要点

第一, 就不同的平均值不等式来说, 对于实数范围的取值要求是不同的, 比如, 需要对实数进行平方根计算的时候, 该实数应该是非负实数;

第二, 因为平均值不等式中存在着等号, 在计算平均值不等式的时候, 需要优先思考等号成立的条件, 避免在解答问题的时候, 造成漏项的现象;

第三, 平均值不等式可以用来进行直径长度与圆弦长度的比较, 在某种条件下, 还可以用来进行正方形或者长方形在面积以及周长这两方面的对比。

三、结论

综上所述, 平均值不等式是数学的重点以及难点之一, 需要学生熟练掌握平均值不等式的应用。

分析可得, 通过对平均值不等式的应用分析可知, 我们在进行平均值不等式的学习时, 仍旧存在一些问题, 需要进一步掌握平均值不等式的应用范围, 将平均值不等式的相关知识以及;例题进行进一步的梳理, 才能熟练使用平均值不等式解决数学问题, 从而提高我们的数学成绩。希望本文可以为教师开展平均值不等式的教学提供帮助。

摘要：平均值不等式是数学的重点部分, 在高考的题目中出现的概率也比较高。基于此, 本文结合了笔者的学习经验, 从平均不等式的概念入手, 进行了平均值不等式的应用分析, 主要介绍了平均值不等式在函数以及实际问题的解决中的应用, 并指出了平均值不等式应用的要点, 以此来帮助其他同学掌握平均不等式的学习方法, 使同学们可以熟练使用平均值不等式解答数学问题。

关键词：平均值不等式,函数,平面几何