色的拓扑作用及物体表面、面、线、点的关系

本人的研究结果表明, 物体表面、面、图、色四者乃是四色猜想命题的四个要素。在四色猜想命题中, 色之所以是一个要素, 是在于它不仅起到区分相邻面 (即相邻区域) 的作用, 而且它还起到重要的拓扑作用。研究证明, 正是在色的拓扑作用下, 物体表面与面、面与线与点具有等价关系, 在特定条件下可以置换。

1 色的拓扑作用是存在于客观事物之中的

当一个宽10cm长100cm且填充同色的面出现在墙壁上, 我们通常把这个面称之为线。同理, 我们将一个直径为10cm的圆着满同一种颜色, 即称之为点。

很显然, 这两个例子充分证明色的拓扑作用是存在于客观之中的。

2 色的拓扑过程

定义1:色的拓扑过程。它是指把一个物体表面或一个面作为一个着色整体, 将这个整体着满一种颜色为标志的完成始末。因此, 色的拓扑过程即是着色的完成过程。

所谓有序、有方向的着色完成过程, 它是以A为着色起点, 以B为着色终点, 对被着色整体由起点沿着有规律的走向至终点的着色完成过程。如图1、图2所示。

所谓无序、无方向的着色完成过程, 它是既无确定的起点又无确定的终点, 对被着色整体进行无规律的随意的着色完成过程。如图3所示。

其实, 在现实中, 对被着色整体的着色完成过程是千变万化的, 如着色工具不同或着色方法不同, 其着色完成过程也不同。

在现实中, 用染缸染衣服, 其实也是一个着色完成过程。不管这件衣服是一件什么样的衣服, 只要放进染缸, 其整件衣服则换成了染料的颜色。染缸染衣服的着色完成过程, 完全是一个无序、无方向的着色完成过程。这与用刷子来刷的着色方法, 其着色完成过程又有不同。

可见, 色的拓扑过程既是复杂的着色完成过程, 又是简单的着色完成过程。而且, 这个过程使人们难于理解和接受。正因为如此, 人们也就没能发现色的拓扑作用, 也就没能对四色猜想命题作出正确的证明。

3 在色的拓扑作用下, 面与线与点具有等价关系

定义2:色的拓扑作用。是指色在对被着色体完成着色之后, 使被着色体发生变化而产生的影响。

在数学的理论中, 面、线、点是三个完全不同的概念。然而, 在四色猜想命题中, 由于色的拓扑作用, 不仅面与线与点具有等价关系, 而且各种不同的面都可置换为点。为此, 现予以作图证明:

例证1:

如图4所示, a是一个长方形的面, 对其着满黑色之后, 则成了一条黑线b。可见, 在色的拓扑作用下, 面可以置换为线。此证。

例证2:

如图5所示, a是一个圆面, 对其着满色之后, 则成了一个点b。可见, 在色的拓扑作用下, 面可以置换为点。此证。

例证3:

从图6和图7可看出, 两个图的面完全不同, 但是, 运用拓扑原理, 在色的拓扑作用下, 这两个面完全可统一为“点”或“线”:

原面:拓扑为圆面 (或长方形面) 涂满一种颜色。

图8的证明可见, 两个完全不同的面, 运用拓扑原理, 在色的拓扑作用下, 完全可统一为“点” (或“线”) 。此证。

例证4:

图9是一个五角星形状的面, 图10是由一个圆点和延伸出7条直线组成的结合体。可是, 运用拓扑原理, 在色的拓扑作用下, 这两个图完全可成为同一体, 实现相互置换。请看下面的证明:

我们先把原图10的结合体理解为是一个着满一种色的面, 然后把它还原于着色前的原面, 再运用拓扑原理变换成一个五角星形状的面 (如图11所示) 。同样的道理, 我们运用拓扑原理, 将原图13的五角星面置换为图14的实体着色前的原面, 然后将其着满一种颜色, 使之成为图14的结合体 (如图12所示) 。

我们还可运用拓扑原理和色的拓扑作用, 将图13和图14拓扑为“点”或“线” (见图13、图14) 。

可见, 在色的拓扑作用下, 任何形状不同的面, 不论它是已着满色的面还是没有着色的面均可借助拓扑原理, 使之置换为“点”或“线”, 着色过程的完成也就是置换的完成。此证。

综图4至图14的证明, 可作这样的结论:

结论1:在色的拓扑作用下, 当面与色融为一体时, 面与线、与点也就融为一体, 两者在本质上已没有了区分, 此时, 面就是扩大了的线, 是扩大了的点, 而线和点就是缩小了的面。这表明面与线、与点存在着等价关系, 在色的拓扑作用的同时, 并借助拓扑原理, 可以相互置换。

结论2:任何一个面都源生于点 (线) , 都可置换统一于点 (线) 。这就是色的拓扑原理 (见图15) 。

4 在色的拓扑作用下, 物体表面与面存在着等价关系

从传统数学的观念来说, 物体表面与面的概念也是不同的。但在色的拓扑作用下, 物体表面与面也可以融为一体, 物体表面可置换为面。

事实1:纸箱作为一个物体, 纸箱的表面就是纸箱的物体表面。然而, 当我们将这个纸箱完好无损地拆展开时, 那么, 这个纸箱的物体表面就变成了一个面 (如图16所示) 。

事实2:狐狸作为一个物体, 狐狸的皮就是狐狸的物体表面。然而, 当猎人将一张狐狸皮展挂在墙上时, 这张狐狸皮就是一个面 (如图17所示) 。

以上两例仅是事实证明, 下面进行作图证明。

如图18所示, a是一张纸的平体表面, 我们直接在这个物体表面作图, 如b所示, 是由4个面组成。现在运用逆向思维和并减的方法来予以证明:第一次, 将“4”面与“1”面合并为“1”面 (即着同一种颜色) , 如c所示, 则为由3个面组成;第二次, 再将“3”面与“1”面合并为“1”面 (即着同一种颜色) , 如d所示, 则为由2个面组成;第三次, 又将“2”面与“1”面合并为“1”面 (即着同一种颜色) , 如图e所示, 则为由1个面组成。此时, a与图e完全是同一个整体。从这个意义上说, 物体表面与“1”面在本质上已没有本质的区别。可见, 物体表面可以置换为面。

对于物体表面与面的关系可以用下面一段文字来表述:

事实证明:当物体表面为清一色, 没有被分划为若干部分、没有成为图的载体时, 物体表面与面没有本质的区别, 存在着等价的关系, 即任何一个形状不同的物体表面均是一个完整的“面”。物体表面之所以是物体表面, 之所以有区别于面, 惟有在它被分划为若干部分而成为图的载体时, 才能得到体现。它们的区别就在于, 物体表面是图的载体, 而面是组成图的主体。

在这里, 还应指出的, 当物体表面作为一个完整的“整体”直接被分划为若干部分时, 图完全遮盖住了物体表面, 物体表面与由若干个面组成的图也就融为一体——即同为一个整体 (如图18所示) 。因此, 物体表面与图存在着同一个整体的关系。

综上所证, 物体表面与面、面与线与点之所以存在着等价关系, 在特定环境中可以置换, 全在于色起着积极的促成作用。

笔者要予以指出的, 人们对四色猜想命题不能作出科学证明, 其中原因之一, 正是忽视了色的拓扑作用。本文对色的拓扑作用及物体表面、面、线、点之间的关系和物体表面与图的关系之论证, 对于人们寻找到破解四色猜想的正确答案, 具有十分重要的意义。因为, 本人正是从发现色的拓扑作用及其原理中, 发现了图的形成原理及图的本质, 进而发现了“为什么展现在不同的物体表面的图其仅需用颜色区分的种数也不同”的这一命题的奥秘, 并找到了破解这一命题 (包含四色猜想命题) 的定理——“图的着色区分定理”。

摘要：本文通过客观现实中的实例和作图证明的方法, 论证了色的拓扑作用以及物体表面、面、线、点之间的关系, 指出了在特定条件下物体表面与图具有同一个整体的关系。

关键词：物体表面,面,点,色,拓扑作用,置换,等价关系