含绝对值的不等式证明

含绝对值的不等式证明（精选14篇）

篇1：含绝对值的不等式证明

[本周内容]含绝对值符号的不等式的解法与证明

[重点难点]

1．实数绝对值的定义:

|a|=

这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。

2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。

若a>0时，则

|x|

|x|>a

注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。

3．常用的同解变形

|f(x)|

|f(x)|>g(x)

|f(x)|<|g(x)|

4．三角形不等式:

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。

例题选讲:

例1．解不等式 |x2+4x-1|<4.............①

解:①-4g(x)； f2(x)

-a

-5

即原不等式的解集是（-5，-3）∪（-1，1）。

例2．解不等式|x2-3|>2x...........①

解:①

即原不等式的解集（-∞，1）∪（3，+∞）。

例3．解不等式|

|≤1...........①-33

x<1或x>3。x2-3<-2x或x2-3>2x

x2+2x-3<0或x2-2x-3>0

解: ①

(2)

(3)(x+4)(3x+2)≤0,x≠1。

]。

-4≤x≤-|2x+3|2≤|x-1|2

(2x+3)2-(x-1)2≤0

(2x+3-x+1)(2x+3+x-1)≤0。

∴原不等式的解集为[-4，-

例4．解不等式|x+1|+|x-2|<5...........①

分析:为了去掉绝对值符号，首先找到两式的零点-1和2，它们把（-∞，+∞）分成了三个区间；（-∞，-1），[-1，2]，（2，+∞）。从而可将不等式①化为三个不等式组。求它们的解集的并集即可。

解:将不等式①化为三个不等式组

（I）

-2

（II）

-1≤x≤2；

（III）

2

∴原不等式的解集为(-2,-1)∪[-1,2]∪(2,3)，即（-2，3）。

例5．解不等式|x+1|+|x-2|<1。

解:∵ |x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，∴ 原不等式无解。

说明:本题没有采用例4的解法，而是利用三角形不等式直接判断出结果。它提示我们今后解这一类问题，应先判断。

例6．已知:|a|<1, |b|<1。求证:|

证法1：欲证①，只需证

只需证(a2+b2-a2b2-1)<0, 只需证-(a2-1)(b2-1)<0............②

∵ |a|<1, |b|<1。∴a2<1, b2<1，即a2-1<0, b2-1<0。∴②式成立，∴ 原不等式成立。

证法2：欲证①，只需证-1<

只需证（只需证

·

<0, +1）（-1）<0，<1, <1，|<1.........①

只需证|a+b|<|1+ab|, 只需证(a+b)2<(1+ab)2, 只需证(a+b)2-(1+ab)2<0，只需证

<0，只需证

<0............③

∵ |a|<1, |b|<1, ∴ a2<1, b2<1，即a2-1<0, b2-1<0，又(1+ab)2>0, ∴③式成立，∴ 原不等式成立。

例7．求证:

证法1:

∵

∵ 上式显然成立，∴

又

证法2：这里只证明

分析:观察两式结构均为y=

≤

=

+

≤

成立。≤ |a+b|≤|a|+|b|。

|a+b|(1+|a|+|b|)≤(|a|+|b|)(1+|a+b|)

≤

≤

+。

≤+。

∴ 原命题成立。的形式，又∵|a+b|≤|a|+|b|，而原不等式要成立，只需证明函数在[0，+∞）上单调递增即可。

证明:设0≤x1≤x2, 则

-=，∵ 0≤x1≤x2, ∴ x2-x1≥0, 1+x1>0, 1+x2>0, ∴

≥0。

∴-≥0, 即≥，设x1=|a+b|, x2=|a|+|b|

∵ |a+b|≤|a|+|b|，∴

参考练习:

≤。

1．解不等式 |x2+3x-8|≤10。

2．解不等式 |x+7|-|x-2|<3。

3．解不等式 |

4．解不等式 |log3x|+|log3(3-x)|≥1。

5．求y=

6．设f(x)=x2+ax+b是整系数二次三项式，求证:|f(1)|<

7．已知|x|<

参考答案:

1.[-6,-2]∪[-1, 3]；

2.(-∞,-1)；

3.[

4.提示:首先求定义域（0，3）。其次求出二零点1，2。分三个区间（0，1]，（1，2]，（2，3）解即可。解集（0，]∪[，3）。, 2)∪(6, +∞)； , |y|<, |z|<,(ξ>0)。求证:|x+2y-3z|<ξ。, |f(2)|<, |f(3)|<,不可能同时成立。的值域。

-3|>1。

5．提示:可用反解法解出sinx=

6．提示:用反证法

略证:假设|1+a+b|< , |4+2a+b|<，则解不等式||≤1得y∈[-4,-]。, 及|9+3a+b|<同时成立。

由题设a, b∈Z, ∴ 1+a+b∈Z，∴ 1+a+b=0.........①

同理4+2a+b=0.......② 9+3a+b=0.........③

由①，②解得a=-3, b=2。但不满足③式，故假设不成立，即|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|不能同时小于

7．证明略。

篇2：含绝对值的不等式证明

本课件依据我校高三数学第一轮复习用书《步步高高考总复习—数学》及另选部分题目制作而成，全部内容都经过了课堂教学的检验，为教学过程的实录。

本节课首先给出复习目标、重点解析及知识要点，并给出了绝对值不等式||a|-|b||≤|ab|≤|a|+|b|中等号成立的充要条件，对其中较难理解的情况给出了分析或证明。

然后给出了3道典型例题，每道例题后选配训练题帮助学生巩固、掌握所复习的知识。

最后以备选题的形式给出了12道训练题(其他教师使用本课件时可根据所教学生情况的不同，选取其中的题目作为例题)。大多数题目给出了不只一种的解题方法(思路)。

篇3：含绝对值的不等式证明

例题1:已知函数f (x) =|x-2|+|x+3|, 求不等式的解集f (x) >5。

解法一:∵|x-2|的零点为2, |x+3|的零点为-3, ∴f (x) =|x-2|+|x+3|分为三段。

(1) 当x≤-3时, f (x) =-x+2+ (-x-3) =-2x-1, 由f (x) >5, ∴-2x-1>5, 即x<-3。

∴解得x<-3。

(2) 当-3

而f (x) >5, ∴x无解。

(3) 当x≥2时, f (x) =x-2+x+3=2x+1, 由f (x) >5, ∴2x+1>5, 即x>2。

∴解得x>2。

∴综上所述不等式f (x) >5的解集为{x|x<3或x>2}。

小结:一般地把f (x) =0的解叫做|f (x) |的零点。先分别求出零点, 然后分类讨论看零点把R分成了几个区间, 判断正负从而去掉绝对值符号, 分段展开再求解。这样的解法“零点分段法”具有一般性。

解法二:利用绝对值的几何意义

∵|x-2|的几何意义是数轴上点x到点2的距离, |x+3|的几何意义为数轴上点x到点-3的距离, 即点x到点2的距离与点x到点-3的距离之和要大于5。∵数轴上点2与点-3间的距离为|2- (-3) |=5。∴数轴上的点x要位于点2与点-3的两侧, 才能使距离之和大于5。即f (x) >5的解集为{x|x<3或x>2}。

小结:利用绝对值的几何意义来解题, 可以减少运算量, 使问题简单化。

【变式训练】

分析:∵底数a=2>1由指数函数的增减性, 即转化为求的解集, 而后按“零点分段法”或者利用绝对值的几何意义进行求解。

【变式训练】

分析:由真数大于0, 两边有意义的范围是0

例题2:关于x的不等式|x+1|+|x-2|≥a的解集是R, 求a的取值范围。

解法一:设f (x) =|x+1|+|x-2|, ∴f (x) =|x+1|+|x-2|分为三段。

(1) 当x≤1时, f (x) =-x-1+ (-x+2) =-2x+1。

(2) 当-1

(3) 当x≥a时, f (x) =x+1+x-2=2x-1。

∴得到f (x) =|x+1|+|x-2|的最小值是3, ∴从而a≤3, 即a的取值范围为{a|a≤3}。

解法二:由绝对值的几何意义, 得到f (x) =|x+1|+|x-2|的最小值是|-1-2|=3, 从而a的取值范围为{a|a≤3}。

小结:求类似a的取值范围时, 当含有绝对值的不等式f (x) 大于一个数时, 利用“零点分段法”或绝对值的几何意义求出f (x) 的最小值, 令a小于这个最小值即可;当含有绝对值的不等式f (x) 小于一个数时, 求出f (x) 的最大值, 令a大于这个最大值即可。

【变式训练】

3:关于x的不等式|x+1|+|x-2|

分析:设f (x) =|x+1|+|x-2|, 利用“零点分段法”或绝对值的几何意义求出f (x) 的最大值, 令a大于这个最大值即可。

篇4：含绝对值的不等式解题策略

一、 利用绝对值的定义|x|=x, x≥0,-x,x<0,以及常用的推论①|x|≥0;②|x|≥x;

③若|x|>a(a>0),则x>a或x<-a;若|x|0),则-a

例1 不等式xx+1>xx+1的解集是()

A. {x|x≠-1}

B. {x|x>-1}

C. {x|x<0且x≠-1}

D. {x|-1

解析 根据绝对值的性质,可知xx+1<0,即有-1

例2 解不等式|x2-3x-4|>x+1.

解析 由绝对值的性质,知x+1≥0,x2-3x-4>x+1

或

x+1≥0,x2-3x-4<-x-1

或x+1<0,

易得原不等式的解集为{x|x>5或x<3且x≠-1}.

二、 分类讨论.

例3 解关于x的不等式|loga(ax2)|<|logax|+2(a>1).

解析 根据对数的运算法则,可知原不等式即为|1+2logax|>|logax|+2.

令logax=t,则|1+2t|<|t|+2.

下面就1+2t与t的“零点”进行分类讨论:

① 当t<-12时,有-1-2t<-t+2,

所以t>-3,所以-3

② 当-12≤t<0时,有1+2t<-t+2,

所以t<13,所以-12≤t<0;

③ 当t≥0时,有1+2t

所以0≤t<1.

综上,得-3

即-31,所以1a3

三、 数形结合.

例4 (1) 已知关于x的不等式|x-4|+|x-3|

(2) 已知关于x的不等式|x-4|-|x-3|>a在R上恒成立,求实数a的取值范围.

解析 (1) 如图1,设实数x,3,4在数轴上对应的点分别为P,A,B,则y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB|.

当P在A,B之间时,有|PA|+|PB|=1;

当P在A,B之外时,有|PA|+|PB|>1.

故有y≥1.

故按题意,只须a>1,即为所求.

图1 图2

(2) y=|x-4|-|x-3|

=1,x<3,7-2x,3≤x≤4,-1,x>4.

画其图像,如图2,可得-1≤y≤1.

故按题意,必须a<-1,即为所求.

四、 利用性质|a|2=a2及|a|>|b|a2>b2,使用平方法化去绝对值符号.

例5 已知00,a≠1,试比较|loga(1-x)|和|loga(1+x)|的大小.

解析 |loga(1-x)|2-|loga(1+x)|2=[loga(1-x)+loga(1+x)][loga(1-x)-loga(1+x)]=loga(1-x2)•loga1-x1+x.

因为0

所以无论01,都有loga(1-x2)•loga1-x1+x>0.

故|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.

五、 利用性质|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,对不等式进行“放大”或“缩小”.

例6 设二次函数f(x)=ax2+bx+c对一切x∈[-1,1],都有 |f(x)|≤1,证明:对一切x∈[-1,1],都有|2ax+b|≤4.

解析 从|f(x)|≤1到|2ax+b|≤4,需通过一些特殊的函数值来建立关系,如f(0),f(-1),f(1)等.

由于|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,即|c|≤1,|a+b+c|≤1,|a-b+c|≤1,

则|2a+2c|≤|a+b+c|+|a-b+c|≤2,即|a+c|≤1,

所以|2a+b|=|(a+b+c)+(a+c)-2c|≤|a+b+c|+|a+c|+|2c|≤4, |2a-b|=|(a-b+c)+(a+c)-2c|≤|a-b+c|+|a+c|+|2c|≤4,

又当x∈[-1,1]时,|2ax+b|≤min{|2a+b|,|2a-b|},所以|2ax+b|≤4.

巩 固 练 习

1. 解不等式||x-2|-4|<2.

2. 求不等式|x-2|-|2x+1|>1的解集.

3. 已知a∈R,若关于x的方程x2+x+a-14+|a|=0有实根,求a的取值范围.

4. 已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当x∈[-1,1]时,有|f(x)|≤1.

(1) 求证:|c|≤1.

篇5：含绝对值的不等式证明

[教材分析] |x|的几何意义是实数x在数轴上对应的点离开原点O的距离，所以|x|0)的解集是

{x|-a0)的解集是{x|x>a或x<-a}。把不等式|x|a(a>0)中的x替换成ax+b，就可以得到|ax+b|c(c>0)型的不等式的解法。

一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)的解可以联系二次函数y=ax2+bx+c的图象(a≠0)图象在x轴上方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c>0的解，图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c<0的解。而方程ax2+bx+c=0的根表示图象与x轴交点的横坐标。求解一元二次不等式的步骤，先把二次项系数化为正数，再解对应的一元二次方程，最后根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集。

求解以上两种不等式的方法，就是将不等式转化为熟悉，可解的不等式，因此一元二次不等式的求解，也可采用以下解法。

x2+3x-4<0(x+4)(x-1)<0 或 或-4

原不等式解集为{x|-4

x2+3x-4<0

(x+)2<

|x+|<-

原不等式解集为{x|-4

[例题分析与解答]

例1．解关于x的不等式|ax-2|<4，其中a∈R。

[分析与解答]：|ax-2|<4属于|x|0)型。∴-4

当a>0时，-x>，当a=0时，不等式化为2<4，显然x∈R。

故a>0时不等式解集是{x|-

例2．解不等式|x-3|-|2x+3|≥2。

[分析与解答] 去掉绝对值需要确定绝对值内代数式的值的符号，符号的正与负是以0为分界点，所以x=3和

x=-是绝对值内两个代数式值的符号的分界点。用3和-将全体实数划分成三个区间，则在每一个区间上都可确定去掉绝对值的结论，由此分情况求解。

(1)

-4≤x<-。

(2)

-≤x≤-。

(3)。

综上，原不等式的解集为{x|-4≤x<-}∪{x|-≤x≤-}={x|-4≤x≤-}。

例3．解关于x的不等式x2+(2-a)x-2a<0,其中a∈R。

[分析与解答] 设y=x2+(2-a)x-2a，其表示的抛物线开口向上，Δ=(2-a)2-4(-2a)=(2+a)2≥0,抛物线与x轴相交或相切，方程x2+(2-a)x-2a=0的两个根是-2或a。下面只需确定两个根的大小关系，就可以写出不等式的解集。

x2+(2-a)x-2a<0

(x+2)(x-a)<0

当a>-2时，原不等式解集是{x|-2例4．已知不等式ax2+bx+c>0的解是-3

[分析与解答] 二次不等式给出解集，既可以确定对应的二次函数图象开口方向（即a的符号）又可以确定对应的二次方程的两个根，由此可根据根与系数关系建立系数字母关系式，通过代入法求解不等式。

由ax2+bx+c>0的解集是-3

且-3，1是方程ax2+bx+c=0的两个根，∴-3+1=-

∴ b=2a, c=-3a，代入所求不等式-3ax2+3ax+6a<0，∵ a<0，∴ x2-x-2<0,(x-2)(x+1)<0，∴-1

x2+(1+)x+6(-1)>0，将=-3，=2，代入得-3x2+3x+6>0，即x2-x-2<0，以下同上面解法。

在本题条件下，要求解每一个字母a,b,c的值是不正确的。由于满足条件的二次函数只要开口向下，与x轴交于点(-3,0)和(1,0)即可，而这样的二次函数有无穷多个，故a,b,c无唯一解。

例5．解关于x的不等式ax2-(a-8)x+1>0，其中a∈R。

[分析与解答] a的不同实数取值对不等式的次数有影响，当不等式为一元二次不等式时，a的取值还会影响二次函数图象的开口方向，以及和x轴的位置关系。因此求解中，必须对实数a的取值分类讨论。

当a=0时，不等式化为8x+1>0。不等式的解为{x|x>-,x∈R}。

当a≠0时，由Δ=(a-8)2-4a=a2-20a+64=(a-4)(a-16)。

(1)若016时，Δ>0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上，方程ax2-(a-8)x+1=0两根为。

不等式的解为{x|x<或x>}。

(2)若4

(3)若a=4时，Δ=0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上且与x轴相切，方程ax2-(a-8)x+1=0有重根x=-。不等式的解为{x|x≠-,x∈R}。

(4)若a=16时，Δ=0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向上且与x轴相切，方程ax2-(a-8)x+1=0的重根为x=。不等式的解为{x|x≠,x∈R。}。

(5)若a<0, Δ>0，抛物线y=ax2-(a-8)x+1开口向下，此时方程ax2-(a-8)x+1=0的两根大小关系是<, 不等式的解集是：

{x|

[本周参考练习]

1．关于x的不等式|ax+1|≤b的解是-

2．解不等式1<|x-2|≤7。

≤x≤，求a，b的值。

3．不等式ax2+bx+c<0的解为x<α或x>β，其中α<β<0，求不等式cx2-bx+a>0的解。4．不等式x2-ax-6a>0的解为x<α或x>β，且β-α≤5(α≠β),求实数a的取值范围。

[参考答案]： 1．解：由|ax+1|≤b, ∴-b≤ax+1≤b，∴-b-1≤ax≤b-1。当a>0时，≤x≤。

∴ , 不满足a>0,舍去。当a<0时，≥x≥。

∴

当a=0时，不合题意，所以a=-2，b=2。

2．解由1<|x-2|≤7,∴1

3．解：必有a<0，则x2+

x+>0的解为x<α或x>β，∴α+β=-, α·β=。

将cx2-bx+a>0两边同除以a(a<0)，∴

x2-x+1<0, ∴ αβx2+(α+β)x+1<0，∵ αβ>0，∴ x2+（）x+<0，∴(x+)(x+)<0, ∵ α<β<0, ∴，即<, ∴->-，不等式解为-

4．解：由α≠β，∴ 方程x2-ax-6a=0有两不等根，且α，β是其两根（β>α）。

篇6：绝对值不等式的证明

知识与技能：

1.理解绝对值的三角不等式，2．应用绝对值的三角不等式．

过程方法与能力：

培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；提高分析问题、解决问题的能力.情感态度与价值观：

让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，培养学生解决应用问题的能力和严谨的学习态度。

教学重点：理解绝对值的三角不等式

应用绝对值的三角不等式．

教学难点：应用绝对值的三角不等式．

教学过程：

一、引入：

证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：

（1）abab（2）abab

a

bab（3）abab（4）(b0)

请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质abab和a

ba

b(b0)可以从正负数和零的乘法、除法法则直

接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明abab对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。

现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大？ 显然aa，当且仅当a0时等号成立（即在a0时，等号成立。在a0时，等号不成立）。同样，aa.当且仅当a0时，等号成立。含有绝对值的不等式的证明中，常常利用aa、aa及绝对值的和的性质。

定理（绝对值三角形不等式）如果a,b

是实数，则

ab≤ab≤ab

注：当a、b为复数或向量时结论也成立.特别注意等号成立的条件.定理推广：

a1a2an≤a1a2an

当且仅当都a1，a2，，an非正或都非负时取等号.探究：利用不等式的图形解不等式1.x1x11;2．x2y1..3．利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式x4x3

二、典型例题：

例

1、证明（1）abab，（2）abab。

证明（1）如果ab0,那么abab.所以ababab.如果ab0,那么ab(ab).所以aba(b)(ab)ab

（2）根据（1）的结果，有abbabb，就是，abba。所以，abab。

例

2、证明 ababab。例

3、证明 abacbc。思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？

（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段ABACCB.当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）

探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式abab的几何解释？

含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。例

4、已知 xa

c

2,yb

c2，求证(xy)(ab)c.证明(xy)(ab)(xa)(yb)xayb（1）

xa

c2,yb

c2c2，c2

c（2）

∴xayb

由（1），（2）得：(xy)(ab)c 例

5、已知x证明x

a4a4,y

a6a6

.求证：2x3ya。

a2,3ya2a2a

2,y，∴2x，a。

由例1及上式，2x3y2x3y

注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。

三、小结：

借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对值和绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效地解决问题。

四、练习：

1、已知Aa

2、已知xa

c2c

4,Bb,yb

c2c6

.求证：(AB)(ab)c。

.求证：2x3y2a3bc。

五、作业： 1．求证

ab1ab



a1a



b1b

ab1ab

.2．已知a1,b1.求证：1.3．若,为任意实数，c为正数，求证：(1c)(1

1c)

.（



2

2，而c2



1c



c

2

1c

）

4.a、b、c均为实数,ab,bc,ac,5.已知函数f(x)ax2bxc,当0≤x≤1时,f(x)≤1 求证:abc≤17 作业：导学大课堂练习

课后反思：绝对值不等式的证明

求证:≤

ab2cbc2aca2b

abbcca

篇7：导数与不等式证明(绝对精华)

（十一）导数与不等式证明

【学习目标】

1.会利用导数证明不等式.2.掌握常用的证明方法.【知识回顾】 一级排查：应知应会

1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题．比如要证明对任意x[a,b]都有f(x)g(x)，可设h(x)f(x)g(x)，只要利用导数说明h(x)在[a,b]上的最小值为0即可． 二级排查：知识积累

利用导数证明不等式，解题技巧总结如下：

（1）利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.（2）多用分析法思考.（3）对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.（4）常用方法还有隔离函数法，f(x)ming(x)max，放缩法（常与数列和基本不等式一起考查），换元法，主元法，消元法，数学归纳法等等，但无论何种方法，问题的精髓还是构造辅助函数，将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题.（5）建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式，有许多题都是利用泰勒展开式放缩得来.三极排查：易错易混

用导数证明数列时注意定义域.【课堂探究】

一、作差（商）法 例

1、证明下列不等式：

①exx1 ②lnxx

1③lnx1-

④lnx x2(x-1)2x,x(0,)(x1)⑤sinxx12

二、利用f(x)ming(x)max证明不等式 例

2、已知函数f(x)ax12eb(a1)lnx,(a,bR),g(x)x.xe2（1）若函数f(x)在x2处取得极小值0，求a,b的值；

（2）在（1）的条件下，求证：对任意的x1,x2[e,e2]，总有f(x1)g(x2).变式：证明：对一切x(0,)，都有lnx

三、构造辅助函数或利用主元法

12成立.exex例

3、已知m,n为正整数，且1mn,求证：(1m)n(1n)m.变式：设函数f(x)lnx，g(x)2x2（x1）.(1)试判断F(x)(x21)f(x)g(x)在定义域上的单调性；（2）当0ab时，求证f(b)f(a)

2a(ba).22ab

四、分析法证明不等式

例

4、设a1，函数f(x)(1x2)exa.若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行（O是坐标原点）,证明：m3a

变式：已知函数f(x)x2lnx．（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）证明：对任意的t0，存在唯一的s，使tf(s)．

（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为sg(t)，证明：当te时，有

221.e2lng(t)1.5lnt2

五、隔离函数

例

5、已知函数f(x)exln(xm).（Ⅰ）设x0是f(x)的极值点，求m并讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）当m2时，证明:f(x)0.变式：已知函数f(x)nxxn,xR,其中nN，且n2.（1）讨论f(x)的单调性；

（2）设曲线yf(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为yg(x)，求证：对于任意的正实数x，都有f(x)g(x)；

（3）若关于x的方程f(x)a(a为实数)有两个正实数根x1,x2，求证：x2x1

a2.1n

六、与数列结合

例

6、已知函数f(x)alnxax3(aR).（1）求函数f(x)的单调区间；（2）求证：

变式：（1）已知x(0,)，求证：

1x11ln； x1xx1111111(nN，n2).（2）求证：lnn1234n23n1ln2ln3ln4lnn1..(nN，n2)234nn【巩固训练】 1.已知函数f(x)图像的下方.2.已知函数fxln1x． 1x122xlnx,求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图像在函数g(x)x3的23（Ⅰ）求曲线yfx在点0，f0处的切线方程；

x31时，fx2x；（Ⅱ）求证：当x0，3x31恒成立，求k的最大值．（Ⅲ）设实数k使得fxkx对x0，3

nx1nx2xx23.已知0x1x2，求证：1.22n

4.设函数f(x)ln(1x)x(x0).（1）判断f(x)的单调性；

（2）证明：(11n)ne(e为自然对数，nN*).5.已知函数f(x)exx.（1）求函数f(x)的最小值；

（2）设不等式f(x)ax的解集为P，且[0,2]P，求实数a的取值范围；

e123n（3）设nN，证明：.e1nnnnnnnn

6.已知f(x)ln(1x2)ax(a0).(1)讨论f(x)的单调性；

（2）证明：（1124）（1134）（11n4）e(e为自然对数，nN*，n2).7.已知函数f(x)ln(1x)x,g(x)xlnx(1)求函数f(x)的最大值；

(2)设0ab,证明 ：0g(a)g(b)2g(ab)(ba)ln2.2

f(x)aexlnxbex18.设函数x，曲线yf(x)在点（1，(Ⅰ)求a,b；（Ⅱ）证明：f(x)1.f(1)处的切线为ye(x1)2.9.已知函数fxexax（a为常数）的图像与y轴交于点A，曲线yfx在点A处的切线斜率为-1.（Ⅰ）求a的值及函数fx的极值；（Ⅱ）证明：当x0时，x2ex；

篇8：含绝对值的不等式证明

在解含绝对值不等式问题的教学中, 我注重对转化与化归思想的渗透, 引导学生从不同的问题中思考转化的方向, 体会转化的原则, 正确引导学生学会分析处理含绝对值不等式的问题, 收到较好的效果.

一、加强基础教学, 打好转化“路基”

在解含绝对值不等式问题时, 首先要做好绝对值不等式问题的基础教学.如不等式的解法: (1) 公式法, (2) 图像法, (3) 零点分段法, (4) 两边平方法 ;求绝对值函 数最值的 方法 : (1) 利用绝对值三角不等式 (未知项系数相等或相反) 求最值; (2) 图像法; (3) 转化为分段函数并根据其单调性求最值.

二、常规问题确定转化方向

对于绝对值不等式恒成立问题、有解问题等一些常见问题, 我们可以归纳一些方法.

三、通过参数位置的变化实现参变分离的目标

四、根据绝对值不等式的特点, 利用函数图像工具进行几何形式转化

例4:设函数f (x) =|x+1|+|2x-1|,

(1) 画出函数y=f (x) 的图像;

(2) 若对任意x∈ (-∞, 0], f (x) ≤ax+b恒成立 , 求a-b的最大值;

(3) 若关于不等式f (x) ≥ax+1恒成立, 求a的取值范围.

解析: (1) 画出函数y=f (x) 的图像如图所示; (2) 如图, 若对任意x∈ (-∞, 0], f (x) ≤ax+b恒成立, 则直线AB的斜率应小于-3, 且与y轴交点纵坐标大于等于2, 即a≤-3, b≥2, 则ab≤-5, 即所求最 大值为-5. (3) 如图 , A (0, 1) , B (1/2, 3/2, ) , C (-1, 3) , 则AB的斜率为1, AC的斜率为-2, 则满足条 件的取值范围是[-2, 1].

例5:已知函数f (x) =|x-1|+a|x-2|,

(1) 当a=2时, 解不等式f (x) >3;

(2) 若f (x) 的最小值为1, 求实数a的取值范围.

解析: (1) (-∞, 2/3) ∪ (8/3, +∞) ;

(2) 由f (x) =|x-1|+a|x-2|的特征 , x=1, f (x) =a;x=2, f (x) =1, 而条件f (x) 的最小值为1, 可知a≥1.

五、 把求含多个绝对值的和的函数最值问题转化为数轴上多点距离问题

例6:已知函数f (x) =|x-1|+|2x-1|+|3x-1|, 若对任意实数x, 总有6a2+a≤f (x) , 求实数a的取值范围.

六、对同一不等式不同字母求范围问题, 转化为“主元认定”

七、绝对值内含参问题可以通过条件分析, 去掉绝对值号或带参数求最值进行转化

例8:已知函数f (x) =|x+1|+|x-a| (a>0) , 若不等式f (x) ≤4的对一切x∈[a, 2]恒成立, 求实数a的取值范围.

解析:∵0<a≤2, ∴x+1>0, x-a≥0∴x+1+x-a≤4即2x≤3+a在x∈[a, 2]恒成立, ∴a≥ (2x-3) max, ∴a≥1.

篇9：含绝对值的不等式证明

关键词：不等式组；含绝对值不等式；解法

一、关于一元一次不等式组及其解法

1.概念

老师们大多是用两个一元一次不等式组成一个不等式组，来引进一元一次不等式组的概念，之后可能会进行下一环节的教学，因此建议在概念引进之后，可以再举一些由三个或四个一元一次不等式所组成的不等式组，让学生明白，“几个”是指两个或两个以上，而不仅限于两个，而对于解法，目前，课本展示的是由两个一元一次不等式组成的不等式组的解法，然而这种解法对由两个以上的不等式组成的不等式组也同样适用。

2.教学重点和关键

一元一次不等式组的教学重点是它的解法，在教学时必须使学生理解一元一次不等式组的解集的意义，特别强调解一元一次不等式组的方法是：先求出每一个不等式的解集，然后再找出这些解集的公共部分，“公共部分”就是不等式组的解集。对这一环节学生很容易接受，而困难的是怎样求出解集的公共部分，这就要依赖数轴了，若公共部分不存在，不等式组就无解，因此，教师在不等式的教学活动中，应要求学生必须把不等式的解集在数轴上表示出来，直到熟练为止。

3.归纳总结

在学生掌握了一元一次不等式的解法之后，引导学生进行归纳，由两个一元一次不等式组成的不等式组有以下四种类型：

x>ax>b x>axb x

其解集分别是x

二、关于含有绝对值的不等式的解法

在教学中不妨把含绝对值不等式的概念及其解法作为补充内容介绍给学生，供那些学有余力的学生用课余时间进行探讨，以提高他们学习数学的兴趣。这种|x|>a，|x|>a（a>0）类型的不等式的解法的基础是绝对值的意义和一元一次不等式组的解法。绝对值的定义及它的几何意义（数轴上不同方向上的点到原点的距离）。为了让学生理解这两种绝对值不等式的解法，教学时先给a以具体的数字，结合绝对值的几何意义，利用数轴来说明，辅导学生归纳出结论：|x|a的解集是x<-a或x>a即可。

篇10：含有绝对值的不等式