难点31数学归纳法解题

2024-04-24

难点31数学归纳法解题（精选6篇）

篇1：难点31数学归纳法解题

中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

难点31数学归纳法解题

数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.●难点磁场

(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=n(n1)(an2+bn+c).1

2●案例探究

·a.命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.错解分析：(2)中，Sk=－1应舍去，这一点往往容易被忽视.2k

3111}是以{}为首项，为公差的等差数列，进而求得通项公式.SnS12技巧与方法：求通项可证明{

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11成等比数列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)(*)2

22(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－ 3

212由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－ 3315解：∵an,Sn,Sn－

(n1)12同理可得：a

=－,由此可推出：a=.具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()

A.30B.26C.36D.6

2.(★★★★)用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证()

A.n=1B.n=2C.n=3D.n=

4二、填空题

3.(★★★★★)观察下列式子：1131151117,122,1222…则可归纳出_________.22342323

44.(★★★★)已知a1=

三、解答题 3an1,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_________，由此猜想an=_________.an

325.(★★★★)用数学归纳法证明42n1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.与13

S2n＜那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2

(k1)(k2)=(3k2+5k+12k+24)12

(k1)(k2)=［3(k+1)2+11(k+1)+10］ 12也就是说，等式对n=k+1也成立.综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立.歼灭难点训练

一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k

=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

－=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k2(k≥2)

f(k+1)能被36整除

∴当n=k+1时也成立.由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.11713 21221224

11113(2)假设当n=k时成立，即 k1k22k246.证明：(1)当n=2时，则当nk1时,1111111k2k32k2k12k2k1k1

131111311 242k12k2k1242k12k2

13113242(2k1)(k1)24

b11b117.(1)解：设数列{bn}的公差为d,由题意得,∴bn=3n－2)与k1(3k2)3k43(k1)13k1

111从而(11)(1)(1)(1)(k1)1,即当n=k+1时，(*)式成立 43k23k1

由①②知，(*)式对任意正整数n都成立.于是，当a＞1时，Sn＞11logabn+1,当 0＜a＜1时，Sn＜logabn+1 33

8.解：∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0,∴q≠0,a2=－9, 2

an1,即an+2=q·an an2q∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1 两式相除，得

于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想：a2n+1=－1nq(n=1,2,3,…)

篇2：难点31数学归纳法解题

http://＞2bn.命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目.知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况.技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.b证明：(1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)

qbnnnn1∴a+c=n+bq=b(n+qn)＞2bn

qqnn

ancnacn(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想＞()(n≥2且n∈N*)

22下面用数学归纳法证明：

a2c2ac2()①当n=2时，由2(a+c)＞(a+c)，∴

22akckack(), ②设n=k时成立，即

22ak1ck11(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)则当n=k+1时，2411＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)44ackacack+1＞()·()=()

2221［例2］在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,Sn－成等比数列.2(1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；(3)求数列{an}所有项的和.命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.1错解分析：(2)中，Sk=－应舍去，这一点往往容易被忽视.2k

3222

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http:// 技巧与方法：求通项可证明{通项公式.111}是以{}为首项，为公差的等差数列，进而求得SnS1211成等比数列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)

(*)222(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－

3212由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－

3315解：∵an,Sn,Sn－

(n1)1 2同理可得：a4=－,由此可推出：an= 2(n1)35(2n3)(2n1)(2)①当n=1,2,3,4时，由(*)知猜想成立.2②假设n=k(k≥2)时，ak=－成立

(2k3)(2k1)故Sk2=－21·(Sk－)(2k3)(2k1)2∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0 11(舍),Sk2k12k311由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)

22∴Sk=

2ak1ak11122aaak1k1k122k12k12(2k1)

2ak1,即nk1命题也成立.[2(k1)3][2(k1)1]1(n1)由①②知，an=对一切n∈N成立.2(n2)(2n3)(2n1)(3)由(2)得数列前n项和Sn=

1,∴S=limSn=0.n2n1●锦囊妙记

(1)数学归纳法的基本形式

设P(n)是关于自然数n的命题，若 1°P(n0)成立(奠基)2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.(2)数学归纳法的应用

具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.京翰教育http:///

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http:// ●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为（）A.30

B.26

C.36

D.6 2.(★★★★)用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证（）A.n=1

B.n=2

C.n=3

D.n=4

二、填空题

1311511173.(★★★★★)观察下列式子：1,122,1222…则可归

223423234纳出_________.4.(★★★★)已知a1=an=_________.三、解答题

5.(★★★★)用数学归纳法证明42n1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.6.(★★★★)若n为大于1的自然数，求证：

3an1,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_________，由此猜想

an3211113.n1n22n247.(★★★★★)已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项公式bn;(2)设数列{an}的通项an=loga(1+

1)(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试bn比较Sn与1logabn+1的大小，并证明你的结论.38.(★★★★★)设实数q满足|q|＜1,数列{an}满足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表达式，又如果limS2n＜3,求q的取值范围.n

参考答案

难点磁场

14(abc)6a31b11 解：假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有22(4a2bc)2c10709a3bc于是，对n=1,2,3下面等式成立 1·22+2·32+…+n(n+1)2=

n(n1)(3n211n10)12记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2

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k(k1)(3k2+11k+10)12k(k1)那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2

2(k1)(k2)=(3k2+5k+12k+24)12(k1)(k2)=［3(k+1)2+11(k+1)+10］

12设n=k时上式成立，即Sk=也就是说，等式对n=k+1也成立.综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立.歼灭难点训练

一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k =(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

－=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k2(k≥2)f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C 2.解析：由题意知n≥3，∴应验证n=3.答案：C

二、3.解析：1131211即1

11222(11)2111511221,即1

2122323(11)2(21)21112n1(n∈N*)222n123(n1)归纳为1答案:11112n1*(n∈N)222n123(n1)13a1233同理,4.解析:a2a1317253 23a23333333a3,a4,a5,猜想ana238359451055n5333333 答案:、、、78910n

5三、5.证明：(1)当n=1时，42

×1+1

+31+2=91能被13整除

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http://(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除 ∴当n=k+1时也成立.由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.11713 2122122411113(2)假设当n=k时成立，即 k1k22k241111111则当nk1时,k2k32k2k12k2k1k1131111311 242k12k2k1242k12k213113242(2k1)(k1)246.证明：(1)当n=2时，b11b117.(1)解：设数列{bn}的公差为d,由题意得,∴bn=3n－2 10(101)d310bd14512(2)证明：由bn=3n－2知

11)+…+loga(1+)43n211=loga［(1+1)(1+)…(1+)］

43n2111而logabn+1=loga33n1,于是，比较Sn与logabn+1的大小比较(1+1)(1+)…3341(1+)与33n1的大小.3n2Sn=loga(1+1)+loga(1+取n=1，有(1+1)=38343311 取n=2，有(1+1)(1+)38373321 推测：(1+1)(1+

1411)…(1+)＞33n1(*)43n2①当n=1时，已验证(*)式成立.11)…(1+)＞33k1 43k21111)(1)33k1(1)则当n=k+1时，(11)(1)(143k23(k1)23k1②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+3k233k1

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http:// (3k233k1)3(33k4)33k1(3k2)3(3k4)(3k1)29k40

(3k1)2(3k1)233k1(3k2)33k433(k1)13k1111从而(11)(1)(1)(1)33(k1)1,即当n=k+1时，(*)式成立

43k23k1由①②知，(*)式对任意正整数n都成立.于是，当a＞1时，Sn＞

11logabn+1,当 0＜a＜1时，Sn＜logabn+1 338.解：∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0, ∴q≠0,a2=－9, 2an1,即an+2=q·an an2q∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1 两式相除，得于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想：a2n+1=－

q(n=1,2,3,…)22qk1 n2k1时(kN)综合①②，猜想通项公式为an=1k

q n2k时(kN)2下证：(1)当n=1,2时猜想成立

－(2)设n=2k－1时，a2k－1=2·qk1则n=2k+1时，由于a2k+1=q·a2k－1 ∴a2k+1=2·qk即n=2k－1成立.可推知n=2k+1也成立.设n=2k时，a2k=－所以a2k+2=－1k

q,则n=2k+2时，由于a2k+2=q·a2k, 21kq+1,这说明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.2综上所述，对一切自然数n,猜想都成立.2qk1 当n2k1时(kN)这样所求通项公式为an=1k

当n2k时(kN)q 2S2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)=2(1+q+q2+…+qn-1)－(q+q2+…+qn)22(1qn)1q(1qn)1qn4q()()

1q2(1q)1q2京翰教育http:///

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1qn4q)()由于|q|＜1,∴limq0,故limS2n=(nn1q2n依题意知

4q2＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜

篇3：小学数学解题难点突破策略初探

一、把握解法内在联系, 实现思路清晰性

同一道数学练习题目往往有不同的解法。这些解法之间并不是孤立联系的, 各种解法之间有着千丝万缕的内在联系。因此, 在数学课堂教学中, 教师要针对同一道题目不同解法之间的关系, 把握其内在联系, 让学生的解题思路显得更为清晰。如方程解就是为了一个“顺”字。一些数学题用算术解不好理解, 或容易出现失误, 要是用方程解答那就容易多了。但是方程解如果没有用“顺”的方法去列方程, 照样会出现失误, 那就失去的方程解的真正意义。

二、联系学生生活实际, 突出学习趣味性

生活中处处有数学, 数学与我们的生活密切相关。数学知识不像语文知识丰富多彩, 较枯燥。所以, 数学教师上课时要适当联系学生的生活实际, 使数学教学具有趣味性, 通俗易懂。因此, 在教学中, 教师要引导学生走进生活, 在生活中学数学、用数学, 使生活与数学紧密联系起来, 既提高学习数学的效率, 又让学生兴致勃勃地学好相关数学知识。

三、变换解题板书顺序, 提高解题正确率

在数学教学中, 根据知识点的呈现方式, 我们常常按照一定的顺序展开教学。但是, 有的数学知识点的教学不一定完全按照这样一成不变的顺序展开教学, 有时, 教师稍微变换一下教学出示顺序, 往往能起到很好的教学效果。

四、力求设计变式习题, 克服思维定向性

学生完成一定的习题后, 在进行后面的练习题时, 会受到前面的练习的影响, 看到陌生的题目不善于联系已学知识来解决问题, 其实这是定向思维造成的。那么, 在教学中如何引导学生在学习中克服定向思维的影响呢?教学实践表明:引导学生对相关的知识点进行比较, 进行区分对比, 让学生不会看到熟悉的题目就不管题目有没有变化就按照原来解法完成的情况。因此, 教师在平时教学中出的习题要讲究变式, 通过多样化的习题帮助学生克服定向思维的影响, 让学生懂得变通, 提高数学习题解题的正确率。

篇4：小学数学解题难点突破策略初探

关键词：内在联系；联系实际；变换顺序

中图分类号：G61 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2016）21-0260-211

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.21.058

在小学数学课堂教学中，在通过练习题进行巩固训练时，往往会发现学生完成这些练习题的错误率较高。究其原因，是教师在引导学生完成相关练习题时，没有针对学生学习的学生掌握数学知识的难点进行合计题目，并进行有效引导。

一、把握解法内在联系，实现思路清晰性

同一道数学练习题目往往有不同的解法。这些解法之间并不是孤立联系的，各种解法之间有着千丝万缕的内在联系。因此，在数学课堂教学中，教师要针对同一道题目不同解法之间的关系，把握其内在联系，让学生的解题思路显得更为清晰。如方程解就是为了一个“顺”字。一些数学题用算术解不好理解，或容易出现失误，要是用方程解答那就容易多了。但是方程解如果没有用“顺”的方法去列方程，照样会出现失误，那就失去的方程解的真正意义。

二、联系学生生活实际，突出学习趣味性

生活中处处有数学，数学与我们的生活密切相关。数学知识不像语文知识丰富多彩，较枯燥。所以，数学教师上课时要适当联系学生的生活实际，使数学教学具有趣味性，通俗易懂。因此，在教学中，教师要引导学生走进生活，在生活中学数学、用数学，使生活与数学紧密联系起来，既提高学习数学的效率，又让学生兴致勃勃地学好相关数学知识。

例如，教学“真分数和假分数”这节课。出示课题后，我就说这节课三分钟搞定，学生纷纷表示不信。我说打赌，输的要讲故事给对方听，学生情绪立刻高涨起来。我出示。问分子和分母分别是多少？生：分子是6，分母是5.我说孩子年龄会比亲妈大吗？生：不可能。师：所以是假分数。同理，孩子年龄会和亲妈一样大吗？生：不可能。师：所以也是假分数。再来学习，孩子年龄比亲妈小，对吗？生：是的，肯定。师：所以是真分数。由于我联系生活实际，把孩子和亲妈的年龄来做比较，学生觉得很新鲜、很好玩，在几分钟内不知不觉中就学会了判断真假分数。在教学任务完成后，由于学生打赌输了，我还让学生讲故事给大家听。整节课笑声不断，实现了在愉快中学习，充分调动了学生的学习积极性。

三、变换解题板书顺序，提高解题正确率

在数学教学中，根据知识点的呈现方式，我们常常按照一定的顺序展开教学。但是，有的数学知识点的教学不一定完全按照这样一成不变的顺序展开教学，有时，教师稍微变换一下教学出示顺序，往往能起到很好的教学效果。

学生在列方程时，大部分书写顺序是从左往右，但有一种类型题我认为从左往右的书写顺序不利于学生清楚理解题目的数量关系，容易出错。例如，有两只桶装油44千克，从第一桶里倒出，向第二桶里倒进2.8千克，这时两桶油重量相等，原来每只桶各装油多少千克？这道题假如解设第一桶油原来的重量是X千克，那么第二桶油原来的重量是（44-X）千克，我先让学生把X和44-X分别写在左右两边，并且要求学生在上面标出原来第一桶和原来第二桶。然后题目怎么说就怎么做，第一桶里倒出，就把X乘（1- ）求后来第一桶的重量。向第二桶里倒进2.8千克，就把44-X加上2.8求后来第二桶的重量。最后根据“这时两桶油重量相等”，把左右两边用等于号连接起来。由于我要求学生讲究书写顺序，使学生深刻理解了题目里面的数量关系，学生学习起来较轻松，从而大大提高了正确率。

四、力求设计变式习题，克服思维定向性

学生完成一定的习题后，在进行后面的练习题时，会受到前面的练习的影响，看到陌生的题目不善于联系已学知识来解决问题，其实这是定向思维造成的。那么，在教学中如何引导学生在学习中克服定向思维的影响呢？教学实践表明：引导学生对相关的知识点进行比较，进行区分对比，让学生不会看到熟悉的题目就不管题目有没有变化就按照原来解法完成的情况。因此，教师在平时教学中出的习题要讲究变式，通过多样化的习题帮助学生克服定向思维的影响，让学生懂得变通，提高数学习题解题的正确率。

篇5：托福阅读难点题型解题方法解读

托福阅读事实信息题提问方式介绍

方式1：Accordingto paragraph… which of the following statements is true of / concerned with /related to X?

例：According toparagraph 1, what was true of the Sahara region around 6,000 B.C.? (官方真题Official 28 EarlySaharan Pastoralists)

方式2：Accordingto paragraph… why / how / what….?

例：According to paragraph 1, why is playdifficult to define? (官方真题Official 30 Role of Playin Development)

分析：通过以上两种不同提问方式可以总结出该题型有以下几个特点：

1). 该题型是就某段话当中的某个细节信息(即提问方式1中的X)进行提问。

2). 该题型可以围绕该细节信息的不同方面进行提问，通过特殊疑问词which;what; why; how可以看出。

3). 由于题干中未出现infer;suggest; indicate等字样，所以该题型旨在考察文本信息的字面含义，无需考生进行文本的隐含意推理。

托福阅读事实信息题解题步骤分享

Step 1: 读题干，找出定位词

注意：如果是提问方式1, 那么定位词则是位于介词of/with/ to后面的信息。

如果是提问方式2, 那么定位词一般是名词，并且是非主题性的名词(当然定位词不一定只能找一个，一般可以找2到3个，因为定位词越多相对定位的位置也会越精确。)

例：

Accordingto paragraph 2, which of the following presents a particular challenge toresearchers who study play behavior in animals?(官方真题Official30 Role of Play in Development)

分析：通过提问方式类似于第1种提问方式，其实题干可以改写成whichof the following statements is true of the challenge to researchers who… 因此，定位词应该是位于介词of后面的challenge toresearchers。至于后面的playbehavior就不需要了，因为它属于通篇的主题词。

Accordingto paragraph 4, how did the Catholic Church react to the introduction ofmechanical clocks? (官方真题Official 30 The Inventionof Mechanical Clock)

分析：通过提问方式属于第2种提问方式，因此考生们应该在题干中找出名词部分，考生们可以看到两组名词：CatholicChurch和MechanicalClocks, 并且这两组词都是我们所需要的定位词。

Paragraph5 answers which of the following questions about mechanical clocks. (官方真题Official 30 The Invention of Mechanical Clock)

分析：通过题干找出题干中唯一疑似的定位词组Mechanical Clocks, 但是却发现整篇文章都在讨论MechanicalClocks。这种类型的提问方式是考生们最怕看到的，因为定位词无效。此刻建议考生们可以反过来先读选项，然后根据选项中的定位词回读段落寻找答案。

Step 2: 通过题干中定位词回原文进行定位

注意：在定位的过程中考生们可能会遇到以下2个问题：

问题1：定位词在原文中可能是非原文原词(如果是专有名词一般在原文中就是原文原词，但如果是普通名词则有可能是非原文原词)。

问题2：定位词在原文中出现不止一次。

Step3: 比较定位句与选项的内容，选出语义最接近的选项

注意：

1). 考生们所看到的定位句可能是一个非常长的句子，而选项相对比较简短，所以考生们一定要学会从长难句中截取你所需要的能回答问题的部分。简单点说就是比如题干中问你why….;那么，此时考生们在分析原文定位句时应该重点看because这种能够解释的部分。

2). 考生们在比较定位句与选项时切忌不能随意推理，只需要把握文本的字面意思即可。

托福阅读句子简化题如何答

句子简化题是新题型之一，在这里我们相信的讲解一下.对于句子简化题，有一些题目如果句子不长，我们做题的基本原则就是：同义替换.找到原句中的关键的词在选项当中进行同义替换.例如，

In evolutionary history, the development of language set humans apart fromthe rest of the animal kingdom.

Which sentence below best expresses the essential information in the highlighted sentence in the passage? Incorrect choices change the meaning in important ways or leave out essential information.

A. Humans evolved as the most powerful species after they are developed language.

B. The creation of human language has its origins in the language of animals.

C. The emergence of language distinguished early humans from other animals.

D. Humans and animals developed completed different systems of communication.

先来看题干：Which sentence below best expresses the essential information in the highlighted sentence in the passage? Incorrect choices change the meaning in important ways or leave out essential information.

该题要求从选项中选择一个能够表达原文阴影句子核心信息的句子.很多同学采用翻译的方法做题，即首先翻译原句，然后逐个翻译四个选项.这种做法不仅浪费时间，而且对我们的读句子的能力要求极高.更好的做法是，首先判断句子的核心信息.这是考题当中为数不多的原句比较简单的句子释义题，原句的核心概念在于强调区分(apart from).因此找到同义替换，即是C项当中的distinguished.但是大多数题目的原文不会是一个简单句，多数是带有逻辑关系的复杂句.那么简单的同义替换技巧就无法操作了.如何快速解决这种题型呢?我们主要分两个部分来解析.

其实，我们在托福阅读读原句的时候并不需要完整的彻底的摄取信息，相反，我们通过快速浏览，只需要关注两个关键点：一是原句当中的表示程度，频率的词，二是原句当中的逻辑关系.并不需要吸收所有信息，只需要快速浏览将所关注的信息点抓住即可，这样便节省了大量的时间.

The extreme seriousness of desertification results from the vast areas of land and the tremendous numbers of people affected, as well as from the great difficulty of reversing or even slowing the process.

Which sentence below best expresses the essential information in the highlighted sentence in the passage? Incorrect choices change the meaning in important ways or leave out essential information.

A. Desertification is a significant problem because it is so hard to reverse and affects large areas of land and great numbers of people.

B. Slowing down the process of desertification is difficult because of population growth.

C. The spread of deserts is considered a very serious problem that can be solved only if large numbers of people in various countries are involved in the effort.

D. Desertification is extremely hard to reverse unless the population is reduced in the vast areas affected.

托福阅读解题思路：

句子中最核心的信息首先就是该句的逻辑关系.原句的逻辑关系可以由result from 来判断，为因果关系.借此我们就可以缩小选项范围，首先排除掉C,D选项.剩下的A,B两个选项均包含因果的逻辑关系.接下来我们可以根据句子的第二种核心信息：主语，来判断.原句的主语是Desertification沙漠化，而B项的主语是Slowing down the process of desertification减缓沙漠化进程.所以排除掉B选项，A为正确答案.

将通过程度词解题和借助逻辑关系解题结合起来，对于解答带有逻辑关系的复杂句的释义题很有帮助.我们看一下下面这道题目：

It is one of the most important sensations because it is translated into a negative reaction, such as withdrawal from danger.

Which sentence below best expresses the essential information in the highlighted sentence in the passage? Incorrect choices change the meaning in important ways or leave out essential information.

A. Escaping from danger is a negative reaction, but it is the most important thing an individual learns.

B. The ability to sense pain is extremely important because pain signals the body to respond to a threat.

C. Experiencing pain is one type of reaction to a negative stimulus; another type is avoiding danger.

D. We experience a lot of sensations, and the most important ones are translated into appropriate actions.

浏览原句，从because可以看出逻辑关系为因果关系，并且原句当中有绝对化词汇most.仅仅凭借most这个程度很强的词汇我们可以排除C选项.因为原文当中带有绝对化词汇而选项中没有，那么这个选项为必错选项.接下来利用逻辑关系排除A项，A中为转折关系.而B恰恰有because 这个词，此外B中的extremely可以作为most的同义替换.正确答案为B.

几乎每一篇文章后面都会有一道释义题，因此考生应加强练习.平时在阅读文章，或者报刊杂志的时候不仅仅要把注意力放在读懂原文上，还应该注意原文的逻辑关系，培养根据逻辑关系思考的习惯.另外，一些程度词的存在也会影响我们对原文的精确理解，平时阅读的时候应当多加关注.

达到托福阅读满分必经的三个训练

托福阅读理解满分(full mark)的出现必须依赖于三个方面的训练：

1、托福阅读词汇(vocabulary)

从某种意义上来讲，词汇量的大小是TOEFL阅读理解高分的基础(basis)和关键。如果词汇量没有达到基本要求(五千以上)，纵然你有“葵花宝典”在手，也只能命丧ETS的“毒招”之下。所以，以牺牲词汇量为代价的技巧练习简直是一味巨毒无比的“五毒散”。

2、托福阅读技巧(reading skill)

TOEFL的阅读量非常大，一般的中国考生根本无法把文章全部读完，所谓的“扫读法”、“跳读法”和“略读法”也只能适用于少数类型的文章，根本不能解决本质(essence)问题。那么，文章到底应该怎么读法呢?一句话，主动地(initiative)阅读文章的关键部位。

所谓主动是指不能像一般的阅读那样完全被动地(passive)接受信息，而应该不断的进行思考和预测;所谓关键部位，主要是每一段的开头和结尾部分。由于TOEFL的阅读理解文章全部选自于正式出版物(publication)，文章的逻辑(logic)结构非常完整(complete)和严谨 (rigorous)，而且出现的逻辑模式也是屈指可数。

经过系统的训练，考生的预测可以做到非常准确的程度(accurate degree)。这样，通过阅读文章的几处关键部位，就能很快地把握整个文章的结构和内在的逻辑关系，也就解决了问题的70%.

3、解题训练(training)

排除法(exclusive method)恐怕是一直以来大多数学生在解阅读理题目时使用最多的方法。事实上(in fact)，这种方法具有致命的缺点(fatal disadvantage)：干扰大、费时间。更有效和迅速的办法是读完题干之后，就在脑子反映出一个模糊的(vague)或者是不完整的(incomplete)答案，然后直接在选项中寻找接近的(close)答案进行判断(to judge)。这种能力必须在平时的训练和讲解中逐渐 (gradually)养成和加强，决非什么技巧之类的东西可以替代(to replace)。

除了上述三方面的训练之外，如果能够对一些基本的背景知识(background knowledge)加以补充的话，更能确保阅读理解的准确率(accuracy)和速度(speed)。