代数式与方程教案

代数式与方程教案（精选8篇）

篇1：代数式与方程教案

第四章

线性方程组

一 综述

线性方程组是线性代数的主要内容之一.本章完满解决了关于线性方程组的三方面的问题,即何时有解、有解时如何求解、有解时解的个数,这在理论上是完美的.作为本章的核心问题是线性方程组有解判定定理（相容性定理）,为解决这个问题,从中学熟知的消元法入手,分析了解线性方程组的过程的实质是利用同解变换,即将方程的增广矩阵作行变换和列的换法变换化为阶梯形（相应得同解方程组）,由此相应的简化形式可得出有无解及求其解.为表述由此得到的结果,引入了矩阵的秩的概念,用它来表述相容性定理.其中实质上也看到了一般线性方程组有解时,也可用克莱姆法则来求解（由此得所谓的公式解——用原方程组的系数及常数项表示解）.内容紧凑,方法具体.其中矩阵的秩的概念及求法也比较重要,也体现了线性代数的重要思想（标准化方法）.线性方程组内容的处理方式很多,由于有至少五种表示形式,其中重要的是矩阵形式和线性形式,因而解线性方程组的问题与矩阵及所谓线性相关性关系密切；本教材用前者（矩阵）的有关问题讨论了有解判定定理,用后者讨论了（有无穷解时）解的结构.实际上线性相关性问题是线性代数非常重要的问题,在以后各章都与此有关.另外,从教材内容处理上来讲,不如先讲矩阵及线性相关性,这样关于线性方程组的四个问题便可同时讨论.二 要求

掌握消元法、矩阵的初等变换、秩、线性方程组有解判定定理、齐次线性方程组的有关理论.重点：线性方程组有解判别法,矩阵的秩的概念及求法.4.1 消元法

一 教学思考

本节通过具体例子分析解线性方程组的方法——消元法,实质是作方程组的允许变换（同解变换）化为标准形,由此得有无解及有解时的所有解.其理论基础是线性方程组的允许变换（换法、倍法、消法）是方程组的同解变换.而从形式上看,施行变换的过程仅有方程组的系数与常数项参与,因而可用矩阵（线性方程组的增广矩阵）表述,也就是对（增广）矩阵作矩阵的行（或列换法）初等变换化为阶梯形,进而化为标准阶梯形,其体现了线性代数的一种重要的思想方法——标准化的方法.二 内容要求

主要分析消元法解线性方程组的过程与实质,以及由同解方程组讨论解的情况（存在性与个数）,为下节作准备,同时指出引入矩阵的有关问题（初等变换等）的必要性,矩阵的初等变换和方程组的同解变换间的关系.三 教学过程

11x213x2x3151．引例：解方程组x1x23x3

3（1）

32x4x5x21233定义：我们把上述三种变换叫做方程组的初等变换,且依次叫换法变换、倍法变换、消法变换.2．消元法的理论依据

TH4.1.1初等变换把一个线性方程组变为与它同解的线性方程组（即线性方程组的初等变换是同解变换.）

3．转引

在上面的讨论中,我们看到在对方程组作初等变换时,只是对方程组的系数与常数项进行了运算,而未知数没有参加运算,也就是说线性方程组有没有解以及有什么样的解完全决定于它的系数和常数项,因

a11a21Aa12a22a1na2n,则A可经过一系列行初等变换和第一种列初等变换化为如下形式：

am1aam2mn1010001brr1； 000000000000进而化为以下形式：

1000c1r1c1n0100cc2r12n0001crr1crn.其中r0,rm,rn,“”表示不同的元素.0000000000005）用矩阵的初等变换解线性方程组

a11x1对线性方程组：a12x2a1nxnb1ax1a22x2a2nxnb212

（1）am1x1am2x2amnxnbma11a12a1n由定理1其系数矩阵Aaaa21222n可经过行初等变换和列换法变换化为 am1am2amn1000c1r1c1n0100cc2r12n0001crr1crn；则对其增广矩阵 000000000000

y1d1c1r1kr1c1nknydckck22r1r12nn2,这也是（1）的解,由kr1,,kn的任意性（1）有无穷多解.yrdrcrr1kr1crnknyr1kr1ynknx12x23x3x452x4xx3124例1 解线性方程组.x12x25x32x48x12x29x35x421解：对增广矩阵作行初等变换：

23151140132A01252801295210200100001212003213 60013x2xx24122同解,故原方程组的一般解为所原方程组与方程组113x3x42631x2xx42122.131x3x4624.2 矩阵的秩

线性方程组可解判别法

一 教学思考

1．本节在上节消元法对线性方程组的解的讨论的基础上,引入了矩阵的秩的概念,以此来表述有解判定定理,在有解时从系数矩阵的秩与未知数的个数间的关系可讨论解的个数,其中在有无数解时引入了一般解与通解的概念.2．矩阵的秩的概念是一个重要的概念,学生易出问题.定义的表述不易理解,应指出秩是一个数（非负整数）r,其含义是至少有一个r阶非零子式,所有大于r阶（若有时）子式全为0.重要的是“秩”的性质——初等变换下不变,提供了求秩的另一方法——初等变换法.3．本节内容与上一节和下一节互有联系,结论具体,方法规范,注意引导总结归纳.二 内容要求

1． 内容：矩阵的秩、线性方程组可解判定定理

2． 要求：掌握矩阵的秩的概念、求法及线性方程组求解判定定理 二 教学过程

1．矩阵的秩（1）定义

x1x2x31x1x2x3 xxx23124.3 线性方程组的公式解

一 教学思考

1．本节在理论上解决了当线性方程组有解时,用原方程组的系数和常数项将解表示出来——即公式解,结论的实质是克拉默法则的应用.其中过程是在有解判定的基础上选择r个适当方程而得,可归纳方法步骤（方程的选择、自由未知量的选择）,内容规范完整,理论作用较大,实用性较小.2．作为特殊的线性方程组——齐次线性方程组的解的理论有特殊的结果,易于叙述和理解,需注意其特殊性（与一般的区别,解的存在性、解的个数等）.二 内容要求

1．内容：线性方程组的公式解,齐次线性方程组的解

2．要求：了解线性方程组的公式解,掌握齐次线性方程组的解的结论 三 教学过程

1．线性方程组的公式解

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn2

（1）有解时,用方程组的系数和常数项把解本节讨论当方程组am1x1am2x2amnxnbm表示出来的问题——公式解.处理这个问题用前面的方法——消元法是不行的,因为这个过程使得系数和常数项发生了改变,但其思想即化简得同解线性方程组的思想是重要的,所以现今能否用其它方法把（1）化简得同解方程组且系数和常数项不变,才可能寻求公式解.x12x2x32,(G1)为此看例,考察2x13x2x33,(G2)

（2）

4xxx7,(G)3123显然G1,G2,G3间有关系G32G1G2,此时称G3是G1,G2的结果（即可用G1,G2线性表示）.则方程组（2）与x12x2x32(G1)同解.2x3xx3(G)2321同样地,把（1）中的m个方程依次用G1,G2,,Gm表示,若在这m个方程中,某个方程Gi是其它若干个方程的结果,则可把（1）中的Gi舍去,从而达到化简的目的.即现在又得到化简（1）的方法：不考虑（1）中那些是其它若干个方程的结果,而剩下的方程构成与（1）同解的方程组.现在的问题是这样化简到何种程度为止,或曰这样化简的方程组最少要保留原方程组中多少个方程.由初等变换法,若（1）的r(A)r,则可把（1）归结为解一个含有r个方程的线性方程组.同样

TH4.3.1设方程组（1）有解,r(A)r(A)r(0),则可以在（1）中的m个方程中选取r个方程,使得剩下的mr个方程是这r个方程的结果.因而解（1）归结为解由这r个方程组成的方程组.下看如何解方程组：

篇2：代数式与方程教案

一、本章的教学目标及基本要求

所谓线性方程组,其形式为

a11x1a12x2a1nxnb1,axaxaxb,2112222nn2(4.0.1)    am1x1am2x2amnxnbm.其中x1,,xn代表n个未知量,m是方程个数,aij(i1,,m；j1,,n)被称为方程组的系数,bi(i1,,m)是常数项.方程组中未知量个数n与方程个数m不一定相等.系数aij的第一个角标i表示它在第i个方程,第二个角标j表示它是未知量xj的系数.因为未知量的幂次是1,故称为线性方程组.如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项,这个线性方程组就确定了.确切地说,线性方程组(4.0.1)可以用下列矩阵来表示:

a11a21am1a12a22a1na2nam2amnb1b2(4.0.2)bm实际上,给定矩阵(4.0.2),除去代表未知量的字母外,线性方程组(4.0.1)就确定了,而采用什么字母来代表未知量是无关紧要的.以后如无特别声明,类似(4.0.2)的矩阵就被看做一个线性方程组.对于线性方程组(4.0.1),设A[aij]mn,x(x1,,xn)T,b(b1,,bm)T,由矩阵乘法的定义知,它可被表为

Axb.(4.0.3)

当mn,A是一个n阶方阵.若detA0,它存在唯一解,可用克莱姆法则求得.若detA0,或mn,方程组(4.0.3)在什么条件下有解；如果有解,解是否唯一；如果解不唯一而且有无穷个,这些解是否可用简要形式表示以及如何表示等等问题,即为本章讨论的主要内容.齐次线性方程组

在线性方程组(4.0.3)中,若bθ(0,,0),则有

TAxθ.(4.1.1)

这被称为与线性方程组(4.0.3)对应的齐次线性方程组,A被称为它的系数矩阵.线性方程组的三种初等变换,与矩阵的三种行初等变换完全对应.任何矩阵均可经有限次行初等变换化为行最简形.性质1 若xξ1,xξ2是Axθ的解,则xξ1ξ2也是Axθ的解.性质2 若xξ是Axθ的解,k为任意实数,则xkξ也是Axθ的解.Axθ的全部解构成一个线性空间,记为S,被称为齐次线性方程组Axθ的解空间.定理4.1.1 齐次线性方程组(4.1.1)有非零解的充要条件是R(A)n.解空间S的基又被称为方程组(4.1.1)的基础解系.求得基础解系,就求得了全部解.通解.显然,θ(0,,0)T是齐次线性方程组的解,被称为零解或平凡解.非齐次线性方程组

在线性方程组(4.0.3)中,若bθ(0,,0)T,则它被称为非齐次线性方程组.与它对应的矩阵

a11aB21am1a12a22a1na2nam2amnb1b2 bm是一个m(n1)矩阵,它由系数矩阵A[aij]mn加上一列b(b1,,bm)T组成,即

B[Ab].称B为线性方程组(4.0.3)的增广矩阵.性质1 若xη1,xη2是Axb的解,则xη2η1是对应齐次线性方程组Axθ的解.性质2 若xη是Axb的解,xξ是对应齐次线性方程组Axθ的解,则xξη是Axb的解.性质3 非齐次线性方程组的通解是对应齐次方程组的通解加上自身的任意一个解.定理4.2.1 非齐次线性方程组Axb有解的充要条件是R(A)R(B),即系数矩阵和增广矩阵有相同的秩.定理4.2.2设非齐次线性方程组Axb的系数矩阵A及增广矩阵B的秩相等:R(A)R(B)r,未知量个数为n.则它有唯一解的充要条件是rn；它有无穷多解的充要条件是rn.二、本章教学内容的重点和难点

1、齐次及非齐次线性方程组的解法

2、理解解空间与前面空间的关系。

三、本章内容的深化和拓广

了解求解方程组在实际问题中的应用。

四、本章教学方式

以讲课方式为主。

五、本章的思考题和习题

篇3：实高次代数方程的求解与数值计算

关于实系数高次代数方程的数值解法是一门具有广泛应用价值的科学，在此领域已有许多著名的算法，比如，秦九韶法、迭代法、牛顿切线法、林士谔-赵访熊法（劈因子法）。这些方法，要么就不能用于求解所有的解，要么就是要用到导数且方法繁琐。本文将重点探讨一种解决高次代数方程所有解的方法：把代数方程的求解问题转化为求解矩阵特征值的问题，并通过正交三角分解方法（QR方法）求解矩阵的特征值，从而达到方程求根的目的；并结合专业数值计算软件M A T L A B(M a t r i x Laboratory)7.0给出求解实例进行比较分析。

1、实系数高次方程的根与实矩阵的特征值之间的关系

对于n次实系数多项式pn(x)=α0+α1x+α2x2+…+αnxn=0(αn≠0)，如果可以将其看成是n阶实矩阵的特征多项式，那么根据矩阵特征值的定义，n次实系数代数方程pn(x)=0的全部根就是对应的n阶实矩阵的所有特征值，从而可以通过求解矩阵特征值达到求解方程根的目的。

通过直接验证可知，n阶实矩阵A的特征多项式为pn(x)/αn，其中：

因此，矩阵A的所有特征值就是高次代数方程pn(x)=0的所有根。

根据以上高次代数方程的根与矩阵特征值之间的关系，求方程根的问题可直接转化为求A的特征值问题。对于矩阵的所有特征值，可以采用数值计算中的QR方法进行计算。

2、阶实矩阵所有特征值的数值计算

Q R方法是用于求解一般矩阵的全部特征值的最有效方法之一。在此用该方法来求解上述由高次方程等价转化过来的具有特定形式的实矩阵的所有特征值。

QR方法的实质是将一个矩阵通过基于正交三角分解的方法逐步上三角相似化。

2.1 矩阵及其性质

定义：如果v是满足条件v Tv=1的n维列向量，则称H=I-2vv T为Householder矩阵。且有：H=H T=H-1。

定理：设X,Y为两个不相等的n维列向量，但||X||2=||Y||2，则存在一个Householder矩阵H，使得HX=Y。（详细证明请参阅文献[3][4]）

推论：设X为非零的n维列向量，α=±||X||2，且X≠-αe1，则存在一个Householder矩阵：，使得HX=-αe1；其中e1=(1,0,…,0)T,u=X+αe1，。

2.2 用Householder矩阵进行正交三角分解

有了上面的推论，就可以用Householder矩阵对矩阵A=(αij)n×n进行正交三角分解（QR分解）。具体的分解过程由n-1次Householder变换完成，第i次操作：取前一次变换后的矩阵A(i)的第i列（从第i行到最后一行）作为X，构造H o u s e h o l d e r矩阵Hi；通过n-1次Householder变换后A(n)=Hn-1A(n-1)=Hn-1Hn-2…H1A为一上三角矩阵。记Q=H1H2…Hn-1,R=A(n)，则有A=QR。因为Q是n-1个Householder矩阵的乘积，依然是正交矩阵，R是上三角矩阵，这种分解称为A的正交三角分解，即QR分解。具体的分解过程详见文献[3][4]。

需要注意的是在每次变换中，为了避免出现数值计算中两相近数相减的问题，要保证α与X的第一个分量的正负号一致。

2.3 用QR方法求解矩阵的所有特征值

QR方法的具体步骤如下：

(1）、令A1=A，对A1作Q R分解：A1=Q1R1，构造矩阵。

(2）、对A2作QR分解：A2=Q2R2，构造矩阵……

(k）、对Ak作QR分解：Ak=QkRk，构造矩阵……

这样就可以得到一个矩阵序列{Ak}，概括如下：

显然，Ak+1与Ak相似，因此{Ak}具有相同的特征值。

在一定条件下（比如：矩阵的n个线性无关的右特征向量组成的矩阵的逆矩阵有LU分解），{Ak}收敛于上三角矩阵（或分块上三角矩阵），其对角元（或分块）有确定的极限。若它们收敛于上三角矩阵，则其对角线上的元素就是A的特征值；若收敛于分块上三角，则这些分块的特征值也就是A的特征值。

在使用QR方法中，通常先将A化为相似的拟上三角矩阵，再求特征值以加快收敛。在本文中，由高次代数方程转化过来的矩阵A已经是拟上三角矩阵，因此用QR方法求解时速度相对较快。对于这样的矩阵A，该算法稳定。

在此，通过编程实现用QR方法求解矩阵所有特征值。

3、求解实例及其比较分析

下面用两个例子说明用转化为特征值的方法可以达到求解高次代数方程全部根的目的。结合MATLAB7.0进行比较分析，体现用该方法求解时的精度效果很好。

例1：求方程P6(x)=4 x 6-40x 5+1 5 7 x 4-3 9 3 x 3+6 5 8 x 2-658x+340=0的所有根。

解：(1)转化为实矩阵的特征值求解问题：取

(2)用QR方法程序求解矩阵所有特征值

通过130次迭代可得

显然是收敛于分块上三角矩阵，由于A130可知，矩阵A有两个实特征值和四个复特征值，两个特征值分别为：λ1=5.0000，λ1=2.0011；由分块可得λ3,4=0.4994±2.0002i,由分块可得λ5,6=1.0000±1.0000i。由此，可求得方程的全部根为：5.0000,2.0011,0.4994±2.0002i,1.0000±1.0000i。

现在，用专业的数值计算软件MATLAB7.0来求解该题，比较一下所得结果。

输入M A T L A B命令：

可得方程的六个根为（在此这些根正好是方程的精确解）：

可见，用转化为特征值求解的方法的效果很好。

例2、求方程-x5+25x4-200x3+600x2-600x+120=0的全部根。

解：类似于例1的操作，可得迭代收敛于上三角矩阵。通过11次迭代可得矩阵A的全部特征值为：λ1=12.6408，λ2=7.0858，λ3=3.5964，λ4=1.4134，λ5=0.2636。由此可得方程的全部根为：12.6408,7.0858,3.5964,1.4134,0.2636。与用MATLAB7.0求解在保留小数点后面四位的结果一致，足以说明用转化为特征值方法求解的良好效果。

因为由高次代数方程所等价转化过来的矩阵是拟上三角矩阵，所以，在求特征值时可以优化Householder变换的QR分解，或者选用Givens变换作QR分解。如此可以体现出较好的效率。要进一步提高迭代的收敛速度，可以使用双步隐式QR算法。

4、代数方程求根与数值计算

数值计算方法与解析方法的差异主要体现在：解析的方法是理论上可行的方法，它不涉及到误差；数值的方法是对问题求解的一种近似逼近，它涉及误差的问题。在实际的工程实践中，误差是无所不在的，因此，理论上可行的方法终归需要体现在实际应用中来。然而，基于计算机这个计算工具的特点，理论可行的方法在实际操作中未必可行，理论上没有精确解答方法的问题在实际的工程操作中也未必就不能得到所需要的近似解。比如，高次代数方程的求根问题没有精确解析解法但是仍然有数值的解法。

通过实系数高次代数方程问题，深刻体会数值方法与解析方法的联系区别，有助于提高实际的工程问题的数值处理能力。

5、结论

本文提出了一种求解实高次代数方程全部根的数值计算方法，该方法先将求方程全部根的问题转化为求矩阵所有特征值的问题，再利用QR方法求解矩阵的所有特征值以达到求解方程全部根的目的。此方法既能求解方程的全部根又能避免其它方法中要用到导数并且过程繁琐的问题（比如：赵访熊-林士谔方法）。针对由实系数高次代数方程转化过来的矩阵的特定形式，该方法还具有高效率和高精确度的优点。在本文中，编程实现了该方法，并与专业数值软件MATLAB的求解结果进行比较分析，以实例体现该方法的良好效果。此外，通过本文还可以深刻了解、体会数值方法与解析方法的联系与区别，有助于提高实际的工程问题的数值处理能力。

摘要：求解高次实系数代数方程的根,对于科研、学术、工程等领域有着重要的意义。本文重点讨论一种求解高次实系数代数方程全部根的数值方法:先将求方程全部根的问题转化为求矩阵的所有特征值问题,再用QR方法求解矩阵的所有特征值,并编程实现,通过实例结合MATLAB7.0进行比较分析,体现该方法的高精度性。此外,通过本文还可以深刻了解、体会数值方法与解析方法的联系与区别。

关键词：高次代数方程,数值计算,QR方法,特征值,MATLAB

参考文献

[1]《数学手册》编写组.数学手册[M].北京:高等教育出版社.1979

[2]马振华等.现代应用数学手册计算与数值分析卷[M].北京:清华大学出版社.2005

[3]张贤达.矩阵分析与应用[M].北京:清华大学出版社.2004

[4]汪卉琴,刘目楼.数值分析[M].北京:冶金工业出版社.2004

[5]杜廷松,沈艳军,覃太贵.数值分析及实验[M].北京:科学出版社.2006

篇4：代数式与方程教案

摘要：针对复数域C上特殊线性李代数sl（2，C）的经典Yang-Baxter方程解的问题，利用sl（2，C）的基元素，通过计算Yang-Baxter算子在其基元素上的作用的方法，得到了sl（2，C）的经典Yang-Baxter方程的一些解，进而给出了sl（2，C）上的某些左对称代数结构.

关键词：李代数；经典Yang-Baxter方程；左对称代数

DOI：10.15938/j.jhust.2015.05.024

中图分类号：0151.21

文献标志码：A

文章编号：1007-2683（2015）05-0119-04

0 预备知识

Rota-Baxter代数始于上世纪60年代，源于G.Baxter在概率论中对波动理论的积分方程的代数研究，其在代数学和组合学中的重要作用引起了G.C.Rota，F.V.Atkinson和P.Cartier等数学家的兴趣并对其做了深入的研究。近年来，大多数Rota-Baxter算子的研究都在结合代数上，文中给lJ{{了维数≤3的结合代数上0权Rota-Baxter算子，而在中给出了维数≤3的结合代数上1权的Rota-Baxter算子，文给出了二阶矩阵构成的四维结合代数上0权的Rota-Baxter算子，文证明了有限维实可除代数上的Rota-Baxter算子都是平凡的，文给出了两个变元外代数上的Rota-Bax- ter算子.后来，又将Rota-Baxter算子扩展到了李代数和李超代数上，文研究了复数域上导代数维数等于1的2维和3维李代数的Rota-Baxter算子，文刻画了特征零的代数闭域上四维Filiform李超代数L_1，2上的Yang- Baxter方程的解，文给出了三维幂零李超代数的Yang-Baxter算子，文计算了特征不为2的域上的一般线性李超代数gl（IIl）的齐次Rota-Baxter算子.而本文研究了李代数s/（2，C）上的经典Yang-Baxter方程的解及解的应用.文最早提出了Yang-Baxter方程并阐述了它在物理中的应用，由于它丰富的理论基础和应用价值，Yang-Bax-ter方程的研究是比较活跃的课题也是必要的，

定义1设G是一个李代数，如果G上的线性算子R满足：

其中A∈C.则称线性算子R是G上的一个Rota-Baxter算子（特别地，在李代数中权0的Rota-Baxter算子R称为G上的一个Yang-Baxter算子），G是一个权为A的Rota-Baxter代数，权为0时，上述方程变为 称为G的经典Yang-Baxter方程，权为0的Yang-Baxter算子称为G的经典Yang-Baxter方程的解.

作为Yang-Baxter算子的应用，我们可以利用Yang-Baxter算子来构造左对称代数，

引理l 设G是一个李代数，R是G上经典Yang-Baxter方程的解，那么在G上定义一个新的运算：

则（G，*.）构成一个左对称代数.

2 李代数sl （2，C）上的经典Yang-Baxter方程的解

sl（2，C）是复数域上所有迹为零的2x2阶方阵构成的结合代数，定义李积：[A，B] =AB-BA，VA，B∈sl（2，C），则（sl（2，C），[，]）构成李代数，称为特殊线性李代数.李代数sl（2，C）的基为x：满足（1）式的R即为李代数sl（2，C）上的经典Yang-Baxter方程的解.

3 结 语

篇5：数与代数教案四

1．运算定律。加法交换律 a+b=b+a

加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)运算定律乘法交换律 a×b=b×a

乘法结合律(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配率(a+b)×c=a×c+b×c

2．混合运算。

（1

里面的。）

计算：（710－18×4）÷

简便运算：

①2.5×12.5×4×8②4×43＋4×57

篇6：小学数学数与代数教案

义务教育课程标准实验教科书青岛版小学数学六年级下册84-118页

【教材简析】

本单元是对小学阶段所学的数学知识进行系统地回顾整理，不仅是本册教材的一个重点，也是小学生全套教材的一个重要组成部分。本单元教学质量的高低关系到小学阶段数学教学目标能否圆满地完成。为了更好地实现预定的教学目标，便于教师引导学生进行系统地整理和复习，本单元把整个小学阶段所学数学知识划分为“知识与技能”、“策略与方法”两大部分，依次进行整理和复习。本复习不仅回顾与整理小学阶段所学的知识，还对渗透的数学思想方法加以梳理，使之与所学知识融为一体，以提高学生的思维品质与数学能力，形成良好的数学素养，为后继学习打好坚实的基础。

本单元在内容编排及结构安排上打破了传统的教材总复习的框架结构，从整体上将总复习分为“知识与技能”、“策略与方法”两大部分;“知识与技能”部分又分为“数与代数”、“空间与图形”、“统计与可能性”三大领域，每个领域又细化为几个板块，如“空间与图形”领域分为“图形的认识与测量”、“图形的位置与变换”两个板块;在每个板块里又设置了“回顾与整理”、“讨论与交流”、“应用与反思”三个部分。

【教学目标】

1.复习巩固第一、二学期所学的数学知识，获得适应进一步学习所必需的数学基础和知识(包括数学事实、数学活动经验)以及必要的应用技能。

2.在对知识回顾与整理的过程中，掌握整理知识的方法，并使所学知识系统化、网络化，形成完整的认知结构。

3.在回顾整理的过程中，加深对数学思想方法的认识，能综合运用所学的知识与技能解决实际问题，形成一些解决问题的基本策略，发展应用意识。

4.学会与人合作，初步形成评价与反思意识。

5.体会数学与自然及人类社会的密切联系，感受数学的应用价值，能在数学学习活动中获得成功体验，锻炼克服困难的意志，加深对数学的理解，增强学好数学的信心，从而实现《课程标准》中所制订的各项教学指标。

【教学过程】

第一课时

(数的意义和数的读写法的整理与复习)

一、创设情境，引入复习内容

(出示课本85页第1题)谈话：同学们，细心观察上面信息中都出现了哪几种数?除此之外，回想一下你还学过了哪些数?举例说明一下好吗?学生回顾、举例，教师按顺序板书数的名称。

自然数如：0、1、2、3……;

负数如：-1、-2、-3……;

整数如：0、1、2、-1、-2……;

分数如：2/3、1/2、3/4、4/3……;

小数(包括：循环小数、无限不循环小数等)如：0.1，1.2，……

百分数如：30%、15%、25%……

谈话：我们为什么要学习整数、分数、小数……这些数呢?想一想，生活中如果缺少了数，将会怎样?(学生讨论，交流)

谈话：今天我们这节课先来复习数的意义和数的读写。

【设计意图】:通过这一教学环节，大大的调动了学生参与的积极性，在静与动的结合中起到了很好的复习效果，同时也为下一步的整理建构做好铺垫。

二、归网建构，主体内化

(一)复习数的意义

1、师：先在小组中说一说各种数的意义，再根据不同的数之间的相互联系以小组为单位进行整理。

学生分组讨论整理，教师巡视指导。

篇7：代数式与方程教案

上海市同洲模范学校

宋立峰

解方程

已知未知闹分离，分离要靠移完成。移加变减减变加，移乘变除除变乘。

解一元一次方程

先去分母再括号，移项变号要记牢。同类各项去合并，系数化 1 还没好。求得未知须检验，回代值等才算了。

解一元一次方程

先去分母再括号，移项合并同类项。系数化 1 还没好，准确无误不白忙。

用公式法解一元二次方程 要用公式解方程，首先化成一般式。调整系数随其后，使其成为最简比。确定参数ａｂｃ，计算方程判别式。判别式值与零比，有无实根便得知。有实根可套公式，没有实根要告之。

用常规配方法解一元二次方程 左未右已先分离，二系化 1 是其次。一系折半再平方，两边同加没问题。左边分解右合并，直接开方去解题。该种解法叫配方，解方程时多练习。

用间接配方法解一元二次方程

已知未知先分离，因式分解是其次。

调整系数等互反，和差积套恒等式。完全平方等常数，间接配方显优势

【注】

恒等式(ab)2(ab)4ab

2解一元二次方程

方程没有一次项，直接开方最理想。如果缺少常数项，因式分解没商量。ｂ、ｃ相等都为零，等根是零不要忘。ｂ、ｃ同时不为零，因式分解或配方，也可直接套公式，因题而异择良方。

解无理方程

一无一有各一边，两无也要放两边。乘方根号无踪迹，方程可解无负担。两无一有相对难，两次乘方也好办。特殊情况去换元，得解验根是必然。

解分式方程

先约后乘公分母，整式方程转化出。特殊情况可换元，去掉分母是出路。求得解后要验根，原留增舍别含糊。

列方程解应用题

列方程解应用题，审设列解双检答。审题弄清已未知，设元直间两办法。列表画图造方程，解方程时守章法。检验准且合题意，问求同一才作答。

作者简介：中共党员、中学一级、教龄26年，1980年参加教育工作，1998年由内蒙古兴安盟调入上海，2001年到云南大理州南涧县民族中学支教，现在上海市同洲模范学校任教初

篇8：非线性代数方程的探讨

非线性方程组的求解乃是非线性科学的核心;很多来自工程、机械、科学研究等的实际问题最终都化为求解一个非线性方程组;而非线性方程组的求解, 是一个至今没有彻底解决的数学问题;特别地, 来自工程、机械等的几何约束问题, 最终都将产生一个非线性方程组, 且该方程组中方程和未知量的个数都非常多, 且往往其中的未知量的次数还非常高.因此, 解决这些几何约束问题极其困难.

二、非线性代数方程

线性代数是数学的一个分支, 它的研究对象是向量, 向量空间 (或称线性空间) , 线性变换和有限维的线性方程组.向量空间是现代数学的一个重要课题;因而, 线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中;通过解析几何, 线性代数得以被具体表示.线性代数的理论已被泛化为算子理论.由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型, 使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中.

而顾名思义, 非线性代数就是把线性代数的一些基本对象推广到非线性情形.

三、非线性代数方程求解

非线性代数方程的求根方法很多, 常用的有牛顿迭代法, 但该方法需要求原方程的导数, 而在实际运算中这一条件有时是不能满足的, 所以又出现了弦截法, 二分法等其他方法.MATLAB提供了有关的函数用于非线性方程求解

1.单变量非线性方程求解

在MATLAB中提供了一个fzero函数, 可以用来求单变量非线性方程的根.该函数的调用格式为:

z=fzero (‘fname’, x0, tol, trace) .

其中fname是待求根的函数文件名, x0是为搜索的起点.一个函数可能有多个根, 但fzero函数只给出离x0最近的那个根.to1控制的相对精度, 缺省时取to1=eps, trace指定迭代信息是否在运算中显示, 为1时显示, 为0时不显示, 缺省时取trace=0.

例1 求f (x) =x-10^x+2=0在x0=0.5附近的根.

步骤如下:

(1) 建立函数文件funx.m.

function fx=funx (x)

fx=x-10.^x+2.

(2) 调用fzero函数求根.

z=fzero (‘fun’, 0.5) , z=0.3758.

2.非线性方程组的求解

线性方程组时经常遇到的一类数学问题, 这部分内容已超出MATLAB的基本部分, 他需要用到MATLAB的优化工具箱 (Optimization Toolbox) .

对于非线性方程组F (X) =0, 用fsolve函数求其数值解.fsolve函数的调用格式为:

X=fsolve (‘fun’, X0, option) .

其中X为返回的解, fun是用于定义需求解的非线性方程组的函数文件名, X0是求根过程的初值, option用于设定最优化工具箱的选项.最优化工具箱提供了20多个选项, 用户可以使用optimset命令将它们显示出来.如果想改变其中某个选项, 则可以调用optimset () 函数来完成.例如, Display选项决定函数调用时中间结果的显示方式, 其中“off”为不显示, “iter”表示每步都显示, “final”只显示最终结果.Optimset (‘Display’, ‘off’) 将设定“Display”为“off”.

3.符号代数方程求解

代数方程是指未涉及微积分运算的方程, 相对比较简单.在MATLAB中, 求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现, 其调用格式为:

solve (s) :求解符号表达式s的代数方程, 求解变量为默认变量.

solve (s, v) :求解符号表达式s的代数方程, 求解变量为v.

solve (s1, s2, …, sn, v1, v2, …, vn) :求解符号表达式s1, s2, …, sn组成的代数方程组, 求解变量分别为v1, v2, …, vn.

例2 解下列方程.

$\{\begin{array}{l}x+2y-z=27‚\\ x+z=3,\\ x{}^2+3y{}^2=12.\end{array}$

命令如下:

[x y z]=solve (‘x+2*y-z=27’, ‘x+z=3’, ‘x^2+3*y^2=12’, ‘x’, ‘y’, ‘z’) .

解为:

x=45/4-1/4*i*627^ (1/2)

45/4+1/4*i*627^ (1/2)

y=15/4+1/4*i*627^ (1/2)

15/4-1/4*i*627^ (1/2)

z=-33/4+1/4*i*627^

摘要：近几十年来, 随着数学研究本身的发展和大型计算机的出现及完善, 各种非线性问题日益引起科学家和工程技术人员的兴趣和重视.特别是在近代物理和科学工程计算中的一些关键问题, 归根结底都依赖于某些特定的非线性方程的求解.所以无论在理论研究方面, 还是在实际应用中, 非线性方程的求解都占有非常重要的地位.本文所提出的主要基于MATLAB程序设计教程, 介绍了非线性代数方程和非线性微分方程求解的几种方法.

关键词：非线性代数,符号方程,数值解法,MATLAB

参考文献

[1]刘卫国.MATLAB程序设计教程.北京:中国水利水电出版社.

[2]何汉林, 梅家斌.数值分析.北京:科学出版社.

[3]王高雄, 周之铭, 朱思铭, 王寿松.常微分方程第三版.北京:高等教育出版社.