线性代数总结与复习

线性代数总结与复习（精选11篇）

篇1：线性代数总结与复习

自考线性代数复习总结

概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的特点，故考生应充分理解概念，掌握定理的条件、结论、应用，熟悉符号意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，抓联系，使学知识能融会贯通，举一反三，根据考试大纲的要求，这里再具体指出如下：

行列式的重点是计算，利用性质熟练准确的计算出行列式的值。

矩阵中除可逆阵、伴随阵、分块阵、初等阵等重要概念外，主要也是运算，其运算分两个层次，一是矩阵的符号运算，二是具体矩阵的数值运算。例如在解矩阵方程中，首先进行矩阵的符号运算，将矩阵方程化简，然后再代入数值，算出具体的结果，矩阵的求逆（包括简单的分块阵）（或抽象的，或具体的，或用定义，或是用公式A-1= 1 A*，或A用初等行变换），A和A*的关系，矩阵乘积的行列式，方阵的幂等也是常考的内容之一。

关于向量，证明（或判别）向量组的线性相关（无关），线性表出等问题的关键在于深刻理解线性相关（无关）的概念及几个相关定理的掌握，并要注意推证过程中逻辑的正确性及反证法的使用。

向量组的极大无关组，等价向量组，向量组及矩阵的秩的概念，以及它们相互关系也是重点内容之一。用初等行变换是求向量组的极大无关组及向量组和矩阵秩的有效方法。

在Rn中，基、坐标、基变换公式，坐标变换公式，过渡矩阵，线性无关向量组的标准正交化公式，应该概念清楚，计算熟练，当然在计算中列出关系式后，应先化简，后代入具体的数值进行计算。

行列式、矩阵、向量、方程组是线性代数的基本内容，它们不是孤立隔裂的，而是相互渗透，紧密联系的，例如∣A∣≠0〈===〉A是可逆阵〈===〉r（A）=n（满秩阵）〈===〉A的列（行）向量组线性无关〈===〉AX=0唯一零解〈===〉AX=b对任何b均有（唯一）解〈===〉A=P1 P2…PN，其中PI（I=1，2，…，N）是初等阵〈===〉r（AB）=r（B）<===>A初等行变换 I〈===〉A的列（行）向量组是Rn的一个基〈===〉A可以是某两个基之间的过渡矩阵等等。这种相互之间的联系综合命题创造了条件，故对考生而言，应该认真总结，开拓思路，善于分析，富于联想使得对综合的，有较多弯道的试题也能顺利地到达彼岸。

关于特征值、特征向量。一是要会求特征值、特征向量，对具体给定的数值矩阵，一般用特征方程∣λE-A∣=0及（λE-A）ξ=0即可，抽象的由给定矩阵的特征值求其相关矩阵的特征值（的取值范围），可用定义Aξ=λξ，同时还应注意特征值和特征向量的性质及其应用，二是有关相似矩阵和相似对角化的问题，一般矩阵相似对角化的条件。实对称矩阵的相似对角化及正交变换相似于对角阵，反过来，可由A的特征值，特征向量来确不定期A的参数或确定A，如果A是实对称阵，利用不同特征值对应的特征向量相互正交，有时还可以由已知λ1的特征向量确定出λ2（λ2≠λ1）对应的特征向量，从而确定出A.三是相似对角化以后的应用，在线性代数中至少可用来计算行列式及An.将二次型表示成矩阵形式，用矩阵的方法研究二次型的问题主要有两个：一是化二次型为标准形，这主要是正交变换法（这和实对称阵正交相似对角阵是一个问题的两种提法），在没有其他要求的情况下，用配方法得到标准形可能更方便些；二是二次型的正定性问题，对具体的数值二次型，一般可用顺序主子式是否全部大于零来判别，而抽象的由给定矩阵的正定性，证明相关矩阵的正定性时，可利用标准形，规范形，特征值等到证明，这时应熟悉二次型正定有关的充分条件和必要条件。

篇2：线性代数总结与复习

1． 第一章：

行列式的性质不必全部证明，重点是要会利用这些性质计算行列式的值；

计算行列式的典型方法：降阶、化成三角形行列式；

Vandermonde行列式及分块上、下三角形行列式的结果应记住。

熟练掌握线性方程组求解的两种方法：Cramer法则和Guass消元法。

2． 第二章：

P52：知道矩阵乘法的分配律,并会运用。

P50: 记住矩阵的乘法不能随意交换次序。

P55: 记住转置运算的性质，特别是第(4)条。

p57: 行列式乘法定理的证明不用掌握；但结果需记住。

P58: 熟练掌握可逆矩阵的定义，计算，性质，特别是第（5）条。以及在后续章节中给出的矩阵可逆的其它充要条件，和计算方法。

P63: 分块矩阵。此节内容务必都掌握。

P70: 记住矩阵秩的最初定义，会用k阶子式去分析矩阵的秩。引理2.2，2.3，命题2.3不用去看。会用初等变换去求矩阵的秩(初等行变换已经够用，例2.20)。记住两个矩阵等价的定义，记住初等变换不改变矩阵的秩（命题2.4）。P75: 记住几个初等矩阵的定义。理解定理2.4，证明不用掌握。

P77-78:个人认为推论2.2，2.3很有用，定理2.5和推论2.1若能记住更好。

P79: 会用初等行变换求解矩阵的逆及矩阵方程AX=B。如果矩阵方程是XA=B，会用转置

将其变形为AX=B,从而可用初等行变换求得解X，最后转置一下得XA=B的解X。

其中的一些结果在第四章中还可以用向量组的秩来证明。

3． 第三章：

掌握内积，外积，混合积的定义，物理意义，几何意义，及在直角坐标系下的计算。

知道两个向量共线的充要条件（定理3.1，推论3.1）。

知道三个向量共面的充要条件：定理3.2，推论3.2和混合积等于0。

仿射坐标系：了解即可；

向量积分配律的证明不必掌握：p101；

注意：知道“卦限”的概念；

3.4节所有内容应熟练掌握。注意：

会求直线在平面上的投影直线（课上曾举过例，往年试题也有例子）；

异面直线：公垂线的方向向量、距离要求会计算；但不要求会求公垂线方程；

3.5节空间直角坐标变换：不考。

4． 第四章：

4.1.1-4.2.2：熟练掌握。

p135:矩阵的值域和核空间及其记号需要掌握。刻画矩阵值域的例子：p146例4.15解法一（解法二不必去看）和p156例4.21。刻画矩阵核空间的例子：p156例4.21。

4.2.3: 知道定理4.6（及前面的3个引理），但证明不用去看；掌握例4.11.4.3.1：需掌握基的定义并会求，注意例4.14和例4.15可用4.5节的例4.21(p156)的方法求解。

4.3.2：对于基变换和坐标变换，只要求会求R,R这两个空间的基变换、坐标变换

4．4节：4.4.1和4.4.3要求掌握；4.4.2：记住Schmidt正交化公式（三个向量的正交公式应该够用）

4.5.1-4.5.3: 熟练掌握

4.5.4节：不必记住教材上的分析和结论，但务必学会从方程组解的情况判断平面直线的位置关系，可结合p108的例3.13复习。往年试题也有此类问题。

4.6节最小二乘解：不考。23TTT T 09-10-2 2.5.3节：关于矩阵秩的不等式的命题应当熟悉，证明过程不必掌握。但作为对分块矩阵运算的运用，可以了解一下证明。

5． 第五章：

5.1节：熟练掌握

5.2节：5.2.1-5.2.2要求掌握；5.2.3：要求记住并理解所有的结论，证明不必全部掌握，但建议理解定理5.3的证明；另外，要求掌握5.2节的所有例题。

5.3节：5.3.1：记住性质5.1-5.2和定理5.7，定理5.7的证明不必掌握；知道定理5.7后面的注中的结论（在p207的第32题中有用）；5.3.2：熟练掌握。

5.4节：不考。

6． 第六章：

6.1.1-6.1.2：知道“二次型的矩阵”的定义，知道二次型与实对称的相互转化。务必知道合同与相似两个概念的区别与联系。知道如何由定理6.1推导出定理6.2。熟练掌握将一个二次型化为标准形的两种方法：正交变换和配方法。

6.1.3：知道正负惯性指数，秩的定义；知道命题的结论即可；

6.1.4：熟练掌握。会运用218页定理6.5(Sylvester定理)，其证明不用掌握；

6.2-6.3：注意：要求会画简单的空间图形：曲线曲面，投影柱面，投影曲线

旋转面：只要求学生掌握旋转轴是坐标轴的情形；

需记住二次曲面的分类，会用二次型的惯性定理对二次曲面进行分类；

233页例6.11：不必区分第一二类正交变换对图形的影响。

注：Matlab在期末考试中不作要求。

篇3：线性代数总结与复习

(1) 学会从不同角度出发, 运用不同的解决方案;

(2) 知识多了, 方案多了, 就可以进行比较选择, 从而得到最好方案。

由题设条件可得矩阵等式:

由矩阵相等定义得

解这两个方程组可得x11=1;x21=-1;x12=1;x22=0

所以矩阵

解题时所涉及到的知识点 (1) 矩阵乘法; (2) 矩阵相等。

对各种方法进行评点, 将解题中所涉及的知识点进行罗列。这样可使学生所学的知识点渐渐清晰起来, 就能正确选择方法解决问题。随着继续学习矩阵, 当学过求矩阵的可逆矩阵后, 又有两种方法解决此题。

分析:矩阵方程有两类:

第一类:矩阵方程AX=B的解为X=A-1B;

第二类:矩阵方程XA=B的解为X=BA-1

通过分析可知, 先求出矩阵A的逆矩阵A-1, 然后求得方程的解。

解法二:用伴随矩阵法求逆矩阵A-1

所以矩阵A的伴随矩阵

所以方程的解为

此解法所涉及的知识点:

(1) 求矩阵A的伴随矩阵

(2) 矩阵A的逆矩阵

-1解法三:用初等行变换求逆矩阵A

分析:先回顾矩阵的初等交换:

(1) 交换矩阵A的某两行 (列) ;

(2) 用一个非零数k乘矩阵A的某一行 (列) ;

(3) 把矩阵A中某一行 (列) 的k倍加到另一行 (列) 上。

[点评]解法二, 解法三, 都是先求出可逆矩阵A-1, 然后求出方程AX=B的解为X=A-1B。特别是解法三, 它是另一种常用的求解方法。不过, 此时, 它们都必须做复杂的矩阵乘法运算。为了简化求解过程, 介绍解法四:对分块矩阵 (A, B) 作初等行变换来求解。蓸蔀蓸蔀

[点评]最常见的矩阵方程有以下两类:

(1) 设A是n阶可逆矩阵, B是n*m矩阵, 求出矩阵X, 使X满足矩阵方程AX=B;通过解法四, 用初等行变换把分块矩阵

(A, B) 化成 (E, A-1B) , 即 , 这种方法更便捷, 且正确率更高。

通过此题引导学生去思考, 及时归纳这题中涉及到哪些知识点, 站在一个出题者的角度, 他想让你掌握的知识点有: (1) 矩阵乘法; (2) 矩阵相等; (3) 求矩阵A的逆矩阵。其中求矩阵A的逆矩阵的方法又有:

通过解法一, 复习了知识点:

(1) 矩阵乘法;

(2) 矩阵相乘的条件;

(3) 用克拉默法则求线性方程组的解;

(4) 行列式的计算 (展开法, 对角法) 。

通过解法二, 求可逆矩阵A-1, 复习了知识点:

(1) 行列式中元素的代数余子式;

参考文献

篇4：例谈数与代数的复习

数与式

吃透“数与式”的概念 《课标》中指出“注重学习对基础知识、基本技能的理解和掌握”，这是因为“知识与技能”既是学生发展的基础目标，又是落实“数学思考”“解决问题”“情感与态度”目标的载体。基础的、简单的试题在每一份试卷中占有比较大的比例，而“数与式”的问题大都是基础的、简单的试题。利用好基础题是教学中不能忽视的，能够为逐步提高学生的解题能力和思维品质定坚实的基础。

掌握“数与式”的解题方法 吃透“数与式”的概念还是落实在解题上，落实对基础知识的掌握，落实对基础概念的理解，落实对基本方法的掌握，落实对基本思想的领悟，落实对数学能力的提高。“数与式”的试题难度虽不大，题型却不少，需要掌握较多的解题方法。

提高“数与式”的综合运用能力 数与式”的综合运用能力包括运算能力等。运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力，培养运算能力还有助于学生理解运算的算理，能够寻求合理简洁的运算途径解决问题。能力的培养是一个综合的过程，主要培养学生准确的计算能力、初步的空间观念、简单的逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力。

二方程与不等式

整理知识，构建体系 由于《数学课程标准》下的数学知识的教学是螺旋式上升的，因而知识相对分散，学生对所学知识的系统性掌握不够。这就需要加强对数学知识的整理，建立较为系统的知识体系，使学生做到知识的正迁移。

立足常规，夯实基础 任何考试，基础知识都是考查的重点，是构成试卷的重要部分。所以，在复习中，首先就要抓紧基础知识的复习，立足常规问题的解决，保证得到基础知识的分数。

关注生活，加强应用剖析 用数学知识解决现实问题是数学学习的根本目的，同时也是新课程大力提倡的一个重点。因此，在复习时，应加强学生对应用问题解决能力训练，使学生会分析应用问题的数量关系，提炼数学关系，从而找到解决问题的突破口。

综合应用，体会知识间的联系 方程（组）与不等式（组）既是重要的知识，也是重要的工具，在解决其它问题时经常会用到。这就需要在复习时，有意识地将其与其它知识联系起来，加强这部分知识用于解决其它问题的训练。

函数

函数部分的考查是关注对函数意义的理解和函数关系的表示与确定，重视函数概念和性质的应用，强化函数思想方法及其在实际问题中的应用，加强函数与方程、不等式的横向联系，突出函数与几何知识的交会，因此，在复习中应从理清网络，整体把握知识的结构与设立专题，抓好核心内容的教学方面入手。复习中应抓好函数的基本知识的教学，重视“三基”与应用，使学生学到的知识形成系统，并构建合理的知识网络结构，提高综合应用知识的能力和迁移能力。

函数的基本知识专题 函数的概念、表示、性质、思想方法及函数与方程、不等式的横向联系等内容，在选择题、填空题、解答题中均会出现考查函数基本知识的试题，考查全面且大都属于基础题。首先，应重视对基础知识的理解，注意进行归纳概括，横向比较，使学生全面理解函数的意义、各种类函数的特征与性质及函数与方程、不等式的横向联系，做到不缺不漏，从知识结构的整体出发去把握和解决问题；其次，要重视通性、通法训练，夯实“三基”，熟练应用；第三，要加强函数思想方法的形成和掌握数形结合的思想是很有帮助的；第四，此类试题呈现形式命题趋势，要重视图表、图象、图形等信息题的教学。

函数在实际问题中的应用专题 “应用问题”仍然是教与学中的难点，学生运用所学的数学知识去分析和解决问题的能力是需要教师慢慢培养、日积月累才能形成的，而非一朝一日之功。平时应多联系社会生活实际和学生的实际，选择的教学材料应具有时代性和地方特色，注意采用“问题情境—建立数学模型—解释、应用与拓展”的模式展开教学；教学中多安排一些让学生走向社会的“做数学”的活动，鼓励学生用数学眼光发现和提出问题，有意识地用所学的数学知识解决所遇到的问题，提高用数学的意识和能力；重视对教材上有代表性的题目进行分析与变式，注意选择能反映《数学课程标准》所倡导的数学活动方式的问题（如观察、实验、猜测、验证、推理等），让学生感受和体会数学建模的能力；

函数与几何知识的交会专题 函数与几何知识有着密切的联系，应有意识地把可以用到数形结合、分类讨论等思想的地方指出来，以启发、提升学生的思维，并引导学生领会数形结合、分类讨论等思想的实质和妙用，学会使用它们来探索、解决一些简单的问题，发展学生的数学素养和数学能力。函数与几何知识交会的问题综合性强，常常作为压轴题。

函数是中学教学的核心内容，其蕴含着丰富的数学思想方法，并渗透在数学的各个领域。它是中考的重点内容，也是高中数学学习的基础。在复习中，要注重有机综合，形成知识网络，注重联系实际，增强应用意识，注重能力培养，引导自主探索。

篇5：《数与代数》总复习教学反思

1、注重构建良好的知识体系

根据教材编排意图，在教学中，注重引导学生主动的整理知识，构建知识网络，从三方面进行：一是让学生全面回忆本学期学过的“数与代数”部分的主要内容以及各部分的知识所包括的具体内容，以此为知识结构的概括提供材料，二是引导学生根据知识系统性去对所回忆的知识进行编排，使学生形成一种有序的知识系统；三是教师对学生概括给予适当的评价，帮助学生形成结构化的知识体系。

2、给学生一个开放、探究的学习空间

篇6：《数与代数》复习课的教学反思

关于复习课，一直是我比较困惑的问题，如何上复习课，如何处理教材中的复习题，经常是我思考的问题。《数与代数》这部分内容，包含许多知识，先让我学生前一天自己去用网络图或表格的形式或用自己喜欢的形式去整理，第二天上课时，分组让学生自己交流汇报，教师只充当在黑板上做“记录员”的角色，同时结合相应的练习加以理解巩固，这样改变以前老师炒“冷饭”，学生听得枯燥的形式，学生学得兴趣盎然，觉得此效果比以前成功。在本节课教学中，根据学生的思维特点，让学生通过眼看、口说、动手操作、脑想等多种形式提高对数的运用能力。

学生在以前的学习中，对分数和小数、百分数和比已经有了初步的认识，但是还不能熟练掌握它们的意义性质和相互之间的关系。在本节课教学中，根据学生的思维特点，让学生通过演示，运算，联想等多种形式熟练分数、小数、百分数和比的内容，温故而知新

1.引导学生主动构建知识体系，尊重学生的个性，让学生学有特色。

在整理的过程中，鼓励学生用简洁、清晰、有特色的形式 进行整理。整理的形式多种多样，有的用大括号，有的用表格，有的用集合图的形式，还有的用树状图，借此培养学生独特的个性品质和创新意识。

2.注重学习方法的渗透，让学生学得有法。

本节课中，我首先教给学生整理的方法。在评价各组的整理情况时，让学生比较归纳，这些方案虽然形式不同，但他们都是根据什么来整理的？得到他们都是抓住了整理的关键，也就是根据知识要点和知识见的联系进行整理。并鼓励学生今后用这种方法去整理其他的知识。其次，注重教给学生学生复习的方法，复习过程中教师教师抓住知识的重点、难点进行复习。这样，学生不仅体验获取知识的方法、步骤，而且有利于培养学生的`学习能力，将逐步提高到“会学”的层次。

3.加强数学与现实生活的联系，通过解决实际问题，让学生体会数学的价值。

整理和复习，不是重复的、机械的做题，更重要的是培养学生综合运用知识解决实际问题的能力，教师在复习的过程中，注意设计一些综合运用的习题，使学生在“创造”中享受成功的快乐，人人在“运用”中感受数学的价值，使学生的创新意识和实践能力不断得以提高。

篇7：二年级数与代数总复习教案

教学目标：

1、进一步熟练地掌握三位数加减法的笔算及演算。熟练掌握用竖式计算除法。

2、结合实际情况，使学生具有一定得收集数学信息提出问题并解决问题的能力。

教学过程:

一、谈话导入

老师：时间过得真快，开学已经到了第二个月了，我们已经学习了数与代数这一板块的两个大内容，这节课我们就把学习的这两个大内容的知识做一个简单的复习。大家有没有信心完成这个任务呢？

二、自主探究

师：大家想一想，在数与代数这个版块中，我们都学习了哪些知识？ 学生回答：（举手）

生活中的大数（万以内数的读写、数的组成、大小比较、还有估算）竖式除法的计算（有余数的余数要比除数小）师：举例说一说你在二年级又认识了那些新数？ 生：认识了比较大的数（千位数、百位数）。（例如学生说数字2365、4908等）

师：你会不会把你认识的数进行比较吗？下面看一看老师给你的数字你能它们按从大到小的顺序排列吗？先说一说你是怎样比较大小的。

课件出示一些数字（京杭运河约1749千米 长江长度约6397千米 黄河长度约5464千米）

生：在比较数的大小时：

一般先比较位数，位数多的数就大；

如果数为相同，就从最高位比起，最高位上的数字大的数就大； 最高位相同，就比较下一位，一次往下比。（学生进行数的比较并汇报结果）

结果：最大的数是长江的长度约6397千米

黄河长度约5464千米

京杭运河约1749千米

师提问：你们能不能在数线上标出1749的大致位置？（画一个数线学生标出位置）

师：想一想，你在解决问题方面有哪些进步？ 学生：（会看数学信息、根据信息理解题意、会计算。）师：下面就有几道题我们一起去看看。（课件出示练习题）

例题：妈妈买了17个苹果，如果每盘放5个苹果，平均可以放几盘？还剩几个？

分析理解：求平均可以放几盘？也就是求15里面有几个5？（用除法计算）

学生独立完成，个别展示。

说一说计算由于数的除法时要注意什么？ 学生回答：要注意余数必须比除数小。

三、当堂训练

1、写出下面的数，按从小到大的顺序排列。

二千五百五十三

四百六十八

六千七百

2、竖式计算。

25÷6 =

56÷8 = 27÷4 =

四、课堂总结

篇8：线性代数总结与复习

代数与几何的综合问题是指以代数知识与几何知识相互交融浑然一体的一类综合题，这类问题通常以几何图形（或将图形坐标化）及函数图象为背景，辅助于图形的运动与变换（平移、旋转、对称）手段，融入函数（包括锐角三角函数）、方程、不等式等代数的核心知识，来综合考查同学们运用所学的基础知识和基本技能、掌握的数学思想方法进行分析问题、解决问题的能力，题型大致可分为：（1）图形、坐标综合问题；（2）图形与代数式的综合问题；（3）函数图象中的几何图形问题；（4）方程、不等式与几何综合问题等，

解决代数与几何综合问题的基本思路：

第一，要认真审题，弄清问题的条件与结论，尽可能分析转化问题中的显性条件，挖掘问题中的隐含条件，

第二，充分关注几何图形的结构特征，发挥几何直观的导航作用，对复杂图形我们要慧眼识图，从中发现并分离出能够帮助解决问题的基本图形，或添加适当的辅助线构造基本图形，以便运用基本图形的性质去解决问题，

第三，根据综合题设计的结论分步探究的特点，我们要学会从题目中寻找代数与几何这两部分知识的结合点，进行“肢解”，转化为简单的代数或几何问题，发现解决问题的突破口，从而“化整为零，各个击破”。

最后，要充分发挥数学思想和方法的引领作用，分析与综合、分类讨论、函数思想、方程思想、数形结合、归纳与猜想等都是解决这类问题有效的数学思想和方法，特别是数形结合思想——由形导数、以数促形，可以架起连接代数与几何的桥梁，实现数与形之间的相互转化，帮助我们另辟蹊径，曲径通幽。

近年来，全国多数地区的“代数与几何的综合问题”大部分是以“解答题”的形式出现在中考试卷的最后两三道题中，难度较大，从近三年河南省中考试卷来看更是如此，2016年我们既要注意通过探究线段长度满足的数量关系判断构成的特殊形状的几何图形（如等腰三角形、矩形、菱形、正方形）的开放型问题或有关几何图形的周长与面积的最值问题，更要关注坐标系中几何图形的问题以及以三种函数图象为背景与几何图形融合于一体，判断点、直角三角形、等腰三角形或特殊四边形的存在性问题，

重点题型例析

一，图形、坐标综合问题

将常见的几何图形巧妙地放置于平面直角坐标系中，将图形坐标化，通过点的坐标来体现图形中线段的长度，或给出图形中线段的长度来确定图形顶点的坐标或满足某种条件的特征点的坐标，并辅助于图形的折叠、平移、旋转等变换手段，构造的一类“坐标几何问题”——运用坐标描述图形的位置和运动，把几何和代数知识完美地糅合在一起，解决这类问题要掌握图形变换的基本特征，关注动点与定点之间形成的特殊关系，挖掘几何图形的性质，进而运用三角形的全等或相似、勾股定理、函数的性质等知识点，或构造方程进行求解，

点拨：本题源于人教版《数学》八年级下册第十八章《平行四边形》复习题十八第69页“拓广探索”的第14题，是将课本中正方形放置到平面直角坐标系的第一象限内，并附设正方形的边长，把中点E变成X轴上边OA上一个动点P，并添加课本中结论作为条件的背景下，来探究点的坐标、线段的长度和四边形面积的最值，其中通过作垂线构造直角三角形再证明两个直角三角形全等，仍然为我们解题提供了重要的解题思路，

本题考查直角三角形、正方形的性质及全等、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值，渗透了待定系数法（求直线OB的解析式）、配方法（求面积的最值）、函数思想，第（2）问是一个难点，不易实现有效转化即用t来表示出点M、N的横坐标，进而用X_M。来表示出线段MN的长度，导致思维受阻，突破这一问题的关键，是充分运用图形的性质，用已知量和未知量表示出相关点的坐标，特别要注意平行于坐标轴的直线上点的坐标特征（平行于X轴的直线上两点的距离等于它们的横坐标之差的绝对值，平行于y轴的直线上两点的距离等于它们的纵坐标之差的绝对值），第（3）问求四边形面积时，利用了“对角线互相垂直的四边形”的性质——其面积可以利用“对角线乘积的一半”来求（实际上是菱形面积公式的推广），利用二次函数研究极值，既可以用顶点坐标公式来求也可以用配方法来求，对于二次项系数为分数，配方时同学们容易出现失误，同学们要高度重视，

三.图形与代数式的温和问题

这类问题通过给出一组具有某种特定关系的数、式、几何图形或给出与图形有关的操作变化过程，要求通过观察、分析、推理发现其中蕴涵的数学规律，进而归纳或猜想出一般性的

篇9：六年级数学复习数与代数专项练习

1、所有的小数都小于整数。2、比小而比大的分数，只有一个数。（）

3、不能化成有限小数。（）4、1米的与7米的同样长。（）

5、合格率和出勤率都不会超过100％。（）

6、0表示没有，所以0不是一个数。（）7、0.475保留两位小数约等于0.48。（）

8、比3小的整数只有两个。（）9、4和0.25互为倒数。（）

10、去掉小数点后面的0，小数的大小不变。（）

11、5.095保留一位小数约是5.0。（）

12、600006000是由6个亿和6个千组成的．（）

13、一个小数的小数点先向右移动两位，再向左移动一位，这个小数就扩大了10倍．（）

14、一个数（0除外）除以一个真分数，所得的商大于被除数．（）

15、饲养场鸡比鸭多，则鸭比鸡少。（ ）

二、填空

1、根据国家统计局统计，我国总人口为129988万人，读作（）万人，四舍五入到亿位约是（）。

2、京福高速公路三明段已顺利通车，累计投资二十九亿四千二百万元，这个数写作（），改写成以“亿元”作单位的数是（）亿元。

3、我国香港特别行政区的总面积是十一亿零三百万平方米，写作（）平方米，改写成用“万平方米”作单位是（）。

4、你知道全国小学生的人数吗？这个数是由1个亿、2个千万、8个百万和9个十万5个千组成的，这个数写作（），这个数四舍五入到万位约是（）万。

篇10：线性代数总结与复习

本章讨论方阵的特征值和特征向量，进而讨论方阵能与对角阵相似的充分必要条件以及实对称阵与对角阵相似的问题。

5.1　特征值与特征向量

5.1.1　特征值与特征向量的定义

定义5.1.1　设A是一个n阶方阵，λ是一个数。如果存在一个非零的n维列向量p，使得Ap=λp。

则称λ为方阵A的一个特征值，称p为A的属于特征值λ的特征向量。

由以上定义容易看出，p为A的属于特征值λ的特征向量p是齐次方程组（λE-A）=0的非零解。

由此可见，λ为方阵A的一个特征值

定义5.1.2　称带参数λ的方阵λE-A为方阵A的特征方阵，称为A的特征多项式，称为A的特征方程。

为什么称为A的特征多项式？看

为二次多项式。对n阶方阵

是一个n次多项式。

所以n阶方阵A的特征方程是一元n次方程，容易知道，n阶方阵A在复数范围内，有n个根（重根按重数进行计算）。

所以n阶方阵A在复数范围内必有n个特征值（重根按重数计算）。

而当λ是A的特征值时，齐次方程组（λE-A）X

=0的所有非零解都是A的属于特征值λ的特征向量。

例1　求n阶的所有特征值和所有特征向量。

【答疑编号12050101】

解

这说明，n阶O矩阵的n个特征值都是0。

对于任给的n维非零向量p，都有Ap=0=0p，所以p都是O矩阵的属于特征值0的特征向量。

例2　当时，2是A的特征值。当时，λ=　　　是A的特征值。

【答疑编号12050102】

例3　设A是一个n阶方阵，且满足证明：-1是矩阵A的特征值。

【答疑编号12050103】

例4　设A是一个n阶方阵，且A≠E。如果证明：-1是矩阵A的特征值。

【答疑编号12050104】

5.1.2　关于特征值和特征向量的若干结论

命题1　方阵的特征值未必是实数。

例5　设

显然，即特征值都是复数。

命题2　三角形矩阵的特征值就是它主对角线上的所有元素。

命题3　设是矩阵A的一个特征值，是矩阵A属于特征值的特征向量，是两个任意数，则当时，也是矩阵A属于特征值的特征向量。

定理5.1.1　n阶方阵A与它的转置有相同的特征值。

这只要看

值得注意的是与A未必有相同的特征向量。

例6

解　显然，λ=1是A的特征值，故属于特征值λ=1的特征向量。

但

所以不是的特征向量。（此题给出了判断向量是否是A的特征向量的方法）。

【答疑编号12050105】

定理5.1.2　设是n阶方阵的全体特征值。则

定理5.1.3

设A为n阶方阵，为对应的方阵多项式。如果非零向量p满足Ap=λp，则f(A)p=f(λ)p。

这表明，如果λ是A的特征值，则f(λ)就是方阵f(A)的特征值，且如果p是方阵A属于特征值λ的特征向量，则p也是方阵f(A)属于特征值f(λ)的特征向量。

例7

设的所有特征值。

【答疑编号12050201】

例8

已知n阶方阵求A的所有特征值。

【答疑编号12050202】

定理5.1.4

设A是可逆方阵，λ是A的一个特征值，p是方阵A属于特征值λ的特征向量，则λ≠0，且p是方阵属于特征值的特征向量。

定理5.1.5

设是矩阵A的k个两两不相同的特征值，且分别是关于的特征向量。则线性无关。

5.1.3　关于求特征值和特征向量的一般方法

例9

求出的特征值和线性无关的特征向量。

【答疑编号12050203】

解

（1）写出特征多项式

得为的全部特征值。

下面求A的特征向量。

当时,A的属于该特征值的线性无关的特征向量就是齐次方程组的基础解系。

对

取为自由未知数，得A的属于特征值2的线性无关的特征向量

当时，则A的属于特征值的线性无关的特征向量就是齐次方程组的基础解系。而

取自由未知数，得的属于特征值的线性无关的特征向量为

所以是矩阵A的三个线性无关的特征向量。

例10

求矩阵的特征值和特征向量。

【答疑编号12050204】

小结：

（1）求特征值特征向量的方法步骤。

（2）对于A的二重特征值，可能有两个线性无关的特征向量，也可能只有一个线性无关的特征向量。一般，若λ=a是A的k重特征值，A至多有k个属于λ=a的线性无关的特征向量。(可能少于k个!)

例11

设n阶方阵的每一行中元素之和同为a，证明：a是矩阵的特征值，并求出它属于该特征值的一个特征向量。

【答疑编号12050205】

例12

求出k的值，使得的逆矩阵的特征向量。

【答疑编号12050206】

小结

1.特征值和特征向量的定义；

2.λ是n阶矩阵A的特征值的充分必要条件是，而齐次方程组的所有非零解都是A属于特征值λ的特征向量；

3.关于特征值和特征向量的若干重要结论；如

A属于不同特征值的特征向量线性无关等

4.求矩阵的特征值和特征向量的方法。

作业p135

习题5.1

2，3，4，5，6，7，8，9，10，11

5.2　方阵的相似变换

对于方阵A，要求一般来说，这是一个十分困难的问题。

有两种情况我们会处理。

而对一般的方阵A，要求十分困难。于是思考能否把求的问题转化为求一个对角阵的k次幂的问题呢？这首先希望找到A与对角阵的联系。

这一节就讨论这个问题。

5.2.1　相似矩阵的概念

一、定义

定义5.2.1　设A，B都是n阶方阵。如果存在一个可逆矩阵P，使得

则称A与B相似，记为A～B。

例1　取

故A与B相似。

【答疑编号12050301】

例2　设A，B都是n阶方阵。

A可逆，则AB与BA相似。

【答疑编号12050302】

证　因为故AB与BA相似。

例3　设B是n阶方阵，若n阶单位阵与B相似，则

【答疑编号12050303】

二、相似矩阵的性质：

（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性。

定理5.2.1　设n阶方阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而特征值完全相同。从而有和

需注意的是A与B不一定有相同的特征向量。

只要看例1中，取

故的一个属于特征值0的特征向量，但

所以不是矩阵属于特征值0的特征向量。

推论　若n阶方阵A与三角阵相似，则该三角阵的主对角元素就是A的所有特征值。

例4　设且A与B相似。求参数x，y。

【答疑编号12050304】

例5　设n阶方阵A与B相似，证明：方阵多项式f（A）与f（B）相似，其中

【答疑编号12050305】

5.2.2　方阵与对角阵相似

设三阶方阵A与对角阵相似存在可逆阵，使得

即

即

即是矩阵A的三个特征值，依次为矩阵A属于特征值的特征向量。

注意可逆的充分必要条件是线性无关。上面的讨论对n阶方阵可类似的进行。于是有下面的重要定理

定理5.2.2n阶方阵A与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。设

是A的n个特征值，依次是A属于特征值的线性无关的特征向量，则令

有

推论

设n阶方阵A有n个不同的特征值（即特征方程无重根），则A必能和对角阵相似。（这是充分条件，不是必要条件）

分析矩阵不能与对角阵相似的原因。

例6

不能与对角阵相似。

【答疑编号12050401】

例7

判断能否与对角阵相似？若能，求出变换矩阵P。

【答疑编号12050402】

在上一节例9已求出A的全部特征值

当时，A有两个线性无关的特征向量:对，A有一个线性无关的特征向量

所以是矩阵A的三个线性无关的特征向量。

故A能与对角阵相似，取变换矩阵

必有

例8

判断矩阵

能否与对角阵相似，若相似，求出变换矩阵。

【答疑编号12050403】

解

在上一节例10

已求出A的全部特征值

得A的全部特征值为

对

A只有一个属于特征值的线性无关的特征向量

所以A没有三个线性无关的特征向量，故A不能与对角阵相似。

例9

设

问A是否相似于对角阵？若是，则求出其相似标准形。

【答疑编号12050404】

例10

已知三阶方阵A的三个特征值为

与它们对应的特征向量分别为：

求矩阵A。

【答疑编号12050405】

例11

设，求。

【答疑编号12050406】

小结

主要概念:

1.相似的定义和性质。

2.n阶方阵能与对角阵相似的充分必要条件；及充分条件（特征方程无重根）。

主要习题类型:

1.判断n阶方阵能否与角阵相似，相似时，求出变换矩阵。

2.已知方阵的全部特征值和n个线性无关的特征向量，求矩阵A

3.利用相似矩阵的性质求矩阵中的未知参数。

作业

p144

习题5.2

1.（1），（2），（5），2，3，4（2），5

5.3　向量内积和正交矩阵

5.3.1　向量的内积

一、定义

定义5.3.1设都是n维实向量。

定义为α与β的内积。

显然，α与β的内积的内积是一个实数，所以内积也称数量积。

例1

设求它们的内积。

【答疑编号12050501】

解

二、性质

（1）交换律（α,β）=（β,α）

（1）线性性质

正定性

对任意的α，总有（α,α）≥0，且（α,α）=0的充分必要条件是α=0。

只要看

（4）许瓦兹不等式（*）

而且式

（*）中等式成立的充分必要条件是α与β线性相关。（证明从略）

三、向量的长度

定义5.3.2

设为向量α的长度。

当时，称向量α为单位向量。

显然，α为单位向量

向量长度的性质：

（1）非负性：

（2）齐次性：

只要看

（3）三角形不等式

可见，n维向量长度的性质与三维向量长度的性质相同。

显然，基本单位向量为单位向量。

对于任意的非零向量为单位向量，称它为α的单位化向量。

因为

容易看出，当k≠0时，kα的单位化向量与α的单位化向量相同。

例2

对于α=（1,2,3）。求它的单位化向量。

【答疑编号12050502】

解，所以，它的单位化向量为

请自已读例3（p147），目的搞清楚每个式子是否有意义。

四、向量的正交与正交向量组

定义5.3.3

若（α,β）=0，则称向量α与β正交。显然零向量与任何向量都正交。

定义5.3.4

如果一个同维向量组不含零向量，且其中任意两个向量都正交（两两正交），则称该向量组为正交向量组。

例3

在中，一个正交向量组。且为一个标准正交向量组。（还是一个标准正交基）。

【答疑编号12050503】

例4

求一个单位向量x,使得

即垂直于α=（1,1,1）又垂直于β=（1.-2,1）。

【答疑编号12050504】

定理5.3.1

正交向量组必线性无关。

5.3.2　施密特正交化手续

能否根据给定的一个线性无关向量组，构造出与它等价的正交向量组。

例5

将标准正交化。

【答疑编号12050505】

5.3.3　正交矩阵

一、定义

定义5.3.5

如果n阶实方阵A满足，则称A为正交矩阵。

例6

证明下列矩阵为正交矩阵

（1）因为　所以为正交阵。

【答疑编号12050601】

（2）

【答疑编号12050602】

（3）

【答疑编号12050603】

二、正交矩阵的性质

1.如果A是正交阵，则

2.如果A是正交阵，则A必可逆，且；

3.正交阵的逆，转置和伴随阵都是正交阵；

4.设A，B都是正交阵，则它们的乘积仍为正交阵；

5.设A是n阶正交阵，α,β都是n维向量，则。

特别，时。

定理5.3.2

n阶方阵是正交阵的充分必要条件是它的行（列）向量组是标准正交向量组。

例7

判断下列矩阵是否为正交阵

（1）

【答疑编号12050604】

（2）

【答疑编号12050605】

例8

设x为n维单位列向量。证明:是对称正交阵。且有Hx=-x

【答疑编号12050606】

例9

设A是n阶正交阵。λ是A的一个特征值。证明λ≠0，且也是A的一个特征值。

【答疑编号12050607】

小结

1.向量α与β内积的定义与性质；

2.向量长度的定义，如何将向量单位化；

3.两向量正交与正交向量组的定义，正交向量组必线性无关；

4.施密特正交化手续；

5.正交矩阵的定义和性质。

作业

p153

习题5。3

1，5（1），6，7，8

5.4　实对称矩阵的相似标准形

5.4.1　实对称矩阵的性质

定理5.4.1

实对称矩阵的特征值必为实数。

定理5.4.2

实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交。

定义5.4.1

设A，B都是n阶方阵，若存在正交阵P使得，则称A与B正交相似。

定理5.4.3

(实对称矩阵的基本定理)设A为n阶实对称阵，则A必能与对角阵正交相似，即存在正交阵P，使得

其中，是方阵A的n个特征值。反之，凡是正交相似于对角阵的实方阵一定是实对称阵。

我们证明定理的后半部分。

设A是n阶方阵，存在正交阵P使得

则，即A为对称阵。

5.4.2　求正交阵，使实对称阵正交相似于对角形

设A是实对称阵。要求正交阵P,使得为对角形。

下面看例题。

例1

设,求正交阵

和对角阵，使得。

【答疑编号12050701】

解

(1)求A的特征值

故

（2）求特征向量

当时,得矩阵A的属于特征值的特征向量；

当时,，得矩阵A的属于特征值的特征向量；

当时，得矩阵A的属于特征值的特征向量；

(3)将特征向量单位化

因为三个特征值都是单根，故它们对应的特征向量两两正交.故只需单位化。

得。

于是得正交阵。

则

例2

设，求正交阵P和对角阵，使得。

【答疑编号12050702】

解

（1）求A的特征值

得特征值。

（2）求特征向量，得矩阵A的属于特征值的特征向量；

当时，得矩阵A的属于特征值的特征向量；

（3）将正交化

注意，但相互不正交，故需正交化。

取

（4）将特征向量单位化。

于是得正交阵

则

例3

设三阶实对称矩阵A的特征值为。已知A的属于的特征向量为，求出矩阵A属于特征值的特征向量，并求出矩阵A。

【答疑编号12050703】

小结

1.实对称阵的性质；

2.正交相似的定义；

3.用正交变换将实对称矩阵化为对角阵的方法。

作业

p160

习题5.4

1,2,4(2),6,7

第五章总结

1方阵特征值和特征向量的定义和求法；

2.关于特征值特征向量的若干重要结论；

3.矩阵相似的定义和性质；

4.n阶方阵能与对角阵相似的充分必要条件；

5.向量内积的定义和性质；

6.向量长度的定义，单位向量，向量的单位化；

7.正交与正交向量组的概念和性质；施密特正交化手续；

篇11：线性代数总结与复习

一、教学目标

（一）知识与技能

通过结合具体情境解决问题，使学生关注对运算意义及其关系的理解；在掌握运算定律的基础上，能够灵活合理地选择进行简算的方法；进一步深化对小数的意义和性质、小数点的移动、以及求近似数的知识内容的理解；能正确计算小数的加法和减法。

（二）过程与方法

通过对知识进行融会贯通的复习，使学生学会梳理知识的方法，养成回顾与整理知识的良好学习习惯。

（三）情感态度和价值观

通过解决具体情境的问题，使学生在用知识的过程中强化对相关知识的理解与明晰，内化知识，积累数学活动经验，感受数学与生活的密切联系，培养学生的应用意识。

二、教学重难点

教学重点：关注对运算意义及其关系的理解；在掌握运算定律的基础上，能够灵活合理地选择进行简算的方法；进一步深化对小数的意义和性质、小数点的移动、以及求近似数的知识内容的理解；能正确计算小数的加法和减法。

教学难点：能够灵活合理地选择进行简算的方法；进一步深化对小数的意义和性质、小数点的移动、以及求近似数的知识内容的理解。

三、教具准备

教学课件。

四、教学过程

（一）复习与梳理

1．小数的意义和性质。

出示：0.45。

教师：在学了小数的意义和性质后，看到这个小数，你都可以想到什么呢？

预设：

这个小数读作零点四五；

0.45表示45/100；

4在十分位上表示4个十分之一，5在百分位上表示5个百分之一；

如果0.45保留一位小数，那么0.45≈0.5；

0.45＝0.450＝0.4500，在小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变；

如果把0.45的小数点向右移动一位，相当于把0.45乘10，小数就扩大到0.45的10倍，是4.5；如果把0.45的小数点向左移动一位，相当于把0.45除以10，小数就缩小到0.45的1/10，是0.045；

<<<1234&&&如果给0.45加上单位，可以进行单位换算，如0.45平方米＝45平方分米；

&&

教师：看到一个小数，同学们能想到这么多。现在咱们就一起把《小数的意义和性质》这一单元的知识点有序地梳理一下。

预设：

教师：通过对小数单元的学习，丰富了我们对数的认识。小数和整数比有什么相同点和不同点？

预设：整数部分没有最高位，最低位是个位，计数单位是一（个）；小数部分没有最低位，最高位是十分位，计数单位是十分之一。都是相邻两个计数单位间的进率是10。

2．四则运算。

教师：想一想什么是加法、减法？它们各部分之间的关系是什么？

预设：

加法是把两个数合并成一个数的运算。

加数＋加数＝和，加数＝和－另一个加数。

减法是已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。

被减数－减数＝差，减数＝被减数－差，被减数＝减数＋差。

减法是加法的逆运算。

教师：想一想什么是乘法、除法？它们各部分之间的关系是什么？

预设：

乘法是求几个相同加数和的简便运算。

因数×因数＝积，因数＝积÷另一个因数。

除法是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

被除数÷除数＝商，除数＝被除数÷商；被除数＝除数×商。

除法是乘法的逆运算。

出示：

（1）根据316＋59＝375这个式子写出两个减法算式。

（2）根据375÷3＝125这个式子写出一个乘法和一个除法算式。

（3）你会根据316＋59＝375，375÷3＝125列出一个综合算式吗？

（4）还能再根据375÷3＝125，125×16＝2000列出一个综合算式吗？

预设：

（1）375－316＝59，375－59＝316。

<<<1234&&&（2）375÷125＝3，125×3＝375。

（3）（316＋59）÷3＝375÷3＝125。

（4）375÷3×16＝125×16＝2000。

教师：对于四则混合的算式，该怎样计算呢？

预设：

同级运算，从左往右；两级运算，先乘除，后加减；有括号时，要先算括号里，再算括号外。

3．运算定律。

教师：当我们在算式中看到了有特点的数，你会怎么办？

预设：简便计算。

教师：我们都学过哪些运算定律？先用自己的语言说一说，再用字母式表达。

预设：

加法：加法交换律a＋b＝b＋a ；加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。

减法：减法性质a－b－c＝a－（b＋c），a－b－c＝a－c－b。

乘法：乘法交换律a×b＝b×a ；乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）；乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c。

除法：除法性质a÷b÷c＝a÷（b×c），a÷b÷c＝a÷c÷b。

出示：

教师：这两位同学在计算时，各用了什么运算定律？

预设：

小明运用了加法结合律，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；

小民运用乘法结合律，三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。

教师：这两位同学在计算过程中，有什么相同的地方？

预设：

第一题把59拆成了50＋9，第二题是把16拆成了8×2。都是用一个式子表示等量表示一个数字。

4．小数的加法和减法。

出示：

<<<1234&&&（1）白菜和萝卜一天共卖多少钱？

（2）白菜比土豆多卖多少钱？

预设：

（1）60.45＋29.75＝90.2（元）。

答：白菜和萝卜一共卖90.2元。

（2）60.45－37.6＝22.85（元）。

答：白菜比土豆多卖22.85元。

教师：在竖式计算时，有什么要注意的？

预设：

在竖式计算时，要小数点对齐，也就是相同数位对齐。

根据小数的性质，小数末尾的0要去掉。

出示：在□里填上合适的数。

5.3＋5.95＋4.7＝5.3＋□＋5.95（3.5＋12.8）＋7.2＝□＋（□＋□）

预设：5.3＋5.95＋4.7＝5.3＋4.7＋5.95；（3.5＋12.8）＋7.2＝3.5＋（12.8＋7.2）。

小结：整数的加法运算定律可以用在小数的加法中。

教师：谁来说一说，小数和整数在加减运算上有什么联系和区别？

预设：都要相同数位对齐，小数加减中是小数点对齐，整数加减中是末尾对齐。

【设计意图】重视整理和归纳，帮助学生形成知识结构，在比较中体验数学的内在联系。

（二）巩固与提升

1．在括号里填上合适的数。

2．用简便方法计算下列各题。

3．李逸只有15元，她能买哪两本书？

【设计意图】注重基本训练，关注错误资源，强化基本技能。

（三）布置作业

教材第111页练习二十五第1、2、3、7、21题。

（四）全课小结