抽象代数中的对象与方法

2022-09-12

随着计算机的广泛应用普及和信息科学、电子科学研究的不断深化, 抽象代数的基本思想、基本理论与方法的重要性越来越明显, 特别是在编码和信息安全方面的应用更被认为是近几十年来基础数学应用的典范。学习抽象代数的重要性不言而喻。同时, 抽象代数中的等价、划分、同态等思想方法更是观察和研究普遍采用的方法, 对于培养学生抽象思维能力和应用数学知识能力极为重要。

可是, 当我们问到数学专业学过该课程的学生时, 他们几乎都会说学过了很快遗忘, 留下印象的只是群、环和域的名称。很少有学生把该课程与学习计算机联系起来, 更别说在现代社会中的应用。记得八十年代初计算机还很少的时候, 我们的学科设置中还少有计算机专业以及相关的人才, 而后计算机人才也大都来自数学专业, 因此似乎觉得这种情况有些不可思议。

什么原因造成这种状况呢?有同学毕业时说道, 这门课抽象啊, 按照教材按部就班学习, 有一种“前不见古人, 后不见来者”的寂寞。的确, 也许我们大多数教材都是经典, 没有篇幅去阐明课程考虑的对象和方法。而这些都需要师生去挖掘。

一、对象与方法

从古希腊借助于几何图形的变换产生代数结论, 到丢番图关于整数研究的基础上费马定理的提出和研究、法国数学家韦达2/π的无穷积表达, 以及最后到伽罗瓦对代数方程根式解的研究。实际上这四个阶段为学生清晰地表达了代数发展到正需要认真学习的抽象代数所处的结构代数阶段。Galois利用群论方法研究高次方程的求根问题、Kummer利用理想论方法研究Fermat问题和Hamilton四元数问题作为抽象代数的三大基础赫然出现在我们的学生面前。学生猛然觉得, 原来老师教给我们的不是孤立的数学知识, 这里充满了问题, 面对不同的研究对象, 该采用什么方法。与其说我们学的是数学知识, 还不如说我们要学习的是数学方法论。

可见, 抽象代数就其研究方法而言, 是从运算法则的抽象角度去研究一个数学系统的整体结构。但是这些抽象结构系统并不是凭空想象出来的, 每一个抽象结构系统都是为了解决某个重大疑难问题而引入的。从问题解决的途径来讨论各种代数系统的结构和性质]。

我们还可以从更深的层面来认识上述对象和方法, 这源于计算机面向对象对象设计的教学实践。

二、面向对象方法

程序设计大致历经了三大阶段:非结构化程序设计、结构化程序设计和面向对象程序设计 (OOP) , 而后者逐步成为目前软件开发的主要技术。结构化程序设计对于数学专业学生易于学习在于较强的逻辑思维能力得以发挥, 但OOP就不尽然, 而且有向相反方向演绎的可能。

面向对象是把构成问题事务分解成各个对象, 建立对象的目的不是为了完成一个步骤, 而是为了描叙某个事物在整个解决问题的步骤中的行为。面向过程就是分析出解决问题所需步骤后用函数实现。例如五子棋, 面向过程的设计思路就是首先分析问题的步骤:开始、黑先、图谱、判定、白行、图谱、判定, 然后循环到黑先最后输出结果。每个步骤对应函数操作。而面向对象的设计则另辟蹊径, 整个五子棋分为黑白双方、棋盘系统和规则系统三类对象, 分别负责输入、布局变化和输赢判定。面向对象是用功能而非步骤。如加入悔棋的功能, 面向对象的设计只用改动棋盘对象简单回溯就可以;如要把这个五子棋游戏改为围棋游戏, 面向对象的设计只用改动规则对象就可以了。

面向对象程序设计思想核心是“基于算法, 面向对象, 消息驱动”。对象的封装性, 降低了程序的复杂性;对象的继承性, 增加了程序设计的可重复使用性;对象的多态度性, 增强了程序设计的灵活性。

我们谈到抽象代数的对象和方法, 不是指程序设计, 是指结合现在数学实验和近代算法数论的内容, 可借用的相应的思想方法。其实, 抽象代数往往把问题归结为已解决的问题, 这样的问题从数量级看有区别, 但满足的条件或具备的性质却一样的方法很常见, 这实质上是对象的类属性;而在考虑问题我们可以认为抓主干去枝蔓用到封装的思想;内外—∑性质则用到继承的思想;本质上同一问题的不同表述以及代数对象的同态则可认为是多态性的体现。这样看抽象代数的教学, 实质上是现代数学方法论的教学。

三、抽象代数的教学改革

(一) 深入研究抽象代数课程, 构建合理的教学体系

抽象代数本身是一个严格的体系, 抽象代数的教学也应该有它的整体设计, 并且要考虑与其他课程的衔接。这就要求我们要根据师范院校自身的实际情况, 建立本科、研究生多层次的教学体系。针对应用数学专业研究生人数多的情况, 可以考虑应用抽象代数的课程设计, 这类似于工科院校开设应用泛函分析课程一样。

(二) 选择或编写适合抽象代数教学体系的教材和参考书

适合的教材及配套的参考书是学生掌握抽象代数基础知识、培养思维能力和应用数学知识、提高学生代数素养的重要保证。我校本科数学专业一直沿用张禾瑞先生所著教材, 个人认为内容不失简练, 但例子少、内容较陈旧, 与现代的科学理论要求要联系起来, 师生另外还要费很多功夫。丘维生编写的《抽象代数》有课后的详细解答, 使学生对教材内容能有较好的掌握。石生明的《抽象代数初步》更新抽象代数的结构体系, 从初等数学和高等代数出发, 探讨研究代数运算系统的必要性, 以及域、环和群这种从特殊到一般的引入, 该处理方法独到, 遵循学生认知规律, 同时注重应用性和突出师范性, 是一本理想的教材。

不过我们的教学团队认为, 从教材内容处理看, 域的内容还是以万哲先先生的代数与编码和近代的一些密码体制如AES为背景更好, 而群的引入正如高等代数要让学生建立和应用变换的观点一样, 以群作用为主线来处理相关内容。图形的对称性群、晶体群与群作用也有关, 而研究生进一步学习群论中的陪集、Cayley定理、Lagrange定理、共轭类、类方程等群论内容离开了群作用的观点学习起来就比较困难。

(三) 多渠道提高学生对抽象代数课程的兴趣

对一门课程感兴趣, 和对一件事情有兴趣一样都有一个过程, 对于适用或美观的, 这个过程往往比较短。数学在人们眼中往往是公式、符号、定理和习题的象征。我们有以下设想激发学生对该课程的兴趣。

1、建立外延促内涵增长的网络教学资源平台。如果我们能够从数学史、数学方法论的角度, 大力丰富学习抽象代数的课外资源, 就能使学生逐步感兴趣并不知不觉投入学习中。制作基于Internet传输的、包括流媒体格式视频信息的IP课件, 将把同学们从“记笔记欠思考, 做习题欠探讨”的困境中解脱出来。

2、切实提高课堂教学水平, 培养学生善于思考问题的能力。抽象代数课堂教学不是演讲技巧, 培养学生善于思考问题的能力才是根本。提问应该给学生的足够思考时间, 例题和习题讲解要注意思维方法的引导, 课后课前带着问题思考是很重要的。

例1若两环同态, 则无零因子这个性质能不能保留?

事实上, 无零因子的性质是不会在同态满射下得以保持的, 那么进一步我们会考虑到一个典型的问题, 群中内外∑性质有啥要求没有等等。有的问题虽然不一定需要同学们掌握, 但思考问题往往有利于学生学习。

另外, 要积极鼓励学生的创造动机、培养学生的观察力。观察力是正确直觉思维的来源。作为代数的学习者和研究者, 我们有时感到非常困惑就在于对问题缺乏正确的直觉。我们用现代图像处理的结果表明, 其实一个人的眼睛可能出现错误的直觉, 为什么呢?因为图像处理我们不是很熟悉, 但确实有很多技术可以做到以假乱真!所以有一些基本的积累是非常重要的。

例2证明:在环里, 1-ab有逆元, 则1-ba也有逆元。

我们的问题首先是这只是个证明, 如果你要导出逆元的关系, 恐怕就更难了, 相当于我们要完成数学归纳法的结果探索过程。其次这个结论类似的我们在矩阵中见过, 那就是E-AB和E-BA的关系。同学们马上反映出了矩阵环其实就是不可换环的典型例子。再次就是无论是矩阵也好, 一般环的元素也好, 有逆我就能看作数有倒数一样, 原来1/ (1-ab) 还可以用级数的方法展开!最后我们的同学超乎想象, 根本就导出了两个逆元之间的关系。

(四) 加强抽象代数课程知识与解决实际问题的联系

晶体的对称性、三大几何作图难题、同余方程组、一些组合计算问题等, 这些数学中的实际问题, 有的同学对数学不一定感兴趣, 他会认为为学数学而学抽象代数。实际上我们的近代加密体制包括AES、LUC等的形成、智能卡的广泛使用、生活中的电话保密和影碟机 (VCD、DVD) 中的数码纠错, 这些抽象代数知识应用很有时代气息。我们将组织本科同学和研究生同学一道讨论, 让学生认识到原来同学们过去认为抽象的东西, 其实在数学实验中还可以从算法做进一步讨论和实现。

摘要：本文从抽象代数的特点入手, 分析了抽象代数教学内容的选取和课堂教学中存在的问题, 结合数学专业的特点, 以全新的视角审视了抽象代数中隐含的对象和方法, 并从计算机应用的角度对其进行了全新的诠释。该思想有利于教师在教学中利用灵活的教学方法, 实现目的性强、深入浅出、思路灵活的课堂教学, 便于学生夯实代数的理论基础和培养应用数学知识的能力。

关键词：课堂教学,教学方法,面向对象程序设计