圆中的证明与计算（共8篇）
篇1：圆中的证明与计算
第一组：
1．如图，点O在⊙A外，点P在线段OA上运动．以OP为半径的⊙O与⊙A的位置关系不可能是下列中的（）
A.外离．
B.相交．
C.外切．
D.内含．
2．⊙O的半径为，圆心O到直线的距离为，则直线与⊙O的位置关系是
（）
Ａ
Ｏ
Ｂ
A．
相交
B．
相切
C．
相离
D．
无法确定
3.如图，圆锥的高为12，母线长为13，则该圆锥的侧面积等于
A．
B．
C．
D．
4.如图，△ABC内接于⊙O，∠C
=45°，AB=2，则⊙O的半径为
A．1
B．
C．2
D．
5．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2cm，CD＝4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD＝90°，则圆心O到弦AD的距离是
cm．
6．已知：如图，在△ABC中，AB
=
AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，联结PC，交AD于点E．
（1）求证：AD是圆O的切线；
A
B
C
D
P
E
．
O
（2）若PC是圆O的切线，BC
=
8，求DE的长．
7．已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB.（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径等于4，求CD的长.8．如图，⊙O的直径=6cm，点是延长线上的动点，过点作⊙O的切线，切点为，连结．若的平分线交于点，你认为∠的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠的度数．
A
O
B
P
C
9.已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC
于点E，过点C作直线FC，使∠FCA＝∠AOE，交
AB的延长线于点D.（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）设OC与BE相交于点G，若OG＝2，求⊙O
半径的长；
（3）在（2）的条件下，当OE＝3时，求图中阴影
部分的面积.10．如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.【参考答案】
D
A
C
B
6.（1）证明：∵AB
=
AC，点D是边BC的中点，∴AD⊥BD．
又∵BD是圆O直径，∴AD是圆O的切线．……2分
（2）解：连结OP，由BC
=
8，得CD
=
4，OC
=
6，OP
=
2．∵PC是圆O的切线，O为圆心，∴．
由勾股定理，得．
在△OPC中，在△DEC中，7.解：（1）直线BD与⊙O相切．
证明：如图3，连结OB．-
1分
图3
∵
∠OCB=∠CBD
+∠D，∠1=∠D，∴
∠2=∠CBD．
∵
AB∥OC，∴
∠2=∠A
．
∴
∠A=∠CBD．
∵
OB=OC，∴，∵，∴
．
∴
．
∴
∠OBD=90°．-
--
-2分
∴
直线BD与⊙O相切．
3分
（2）解：∵
∠D=∠ACB，∴
．-
4分
在Rt△OBD中，∠OBD=90°，OB
=
4，∴，．
∴
．-
5分
8.解：∠的大小不发生变化．
…………………………………
1分
M
P
C
B
A
O
·
连结，PC是⊙O的切线，∴∠OCP=Rt∠．
∵PM是∠CPA的平分线，∴∠APC=2∠APM．
∵OA=OC，∴∠A=∠ACO,∴∠COP=∠A+∠ACO=2∠A．
在Rt△OCP中，∠OCP=90°，∴∠COP+∠OPC=90°，∴2∠A+2∠APM=90°，∴∠CMP=∠A+∠APM=45°．
……………………………………
4分
即∠的大小不发生变化．
9.证明：（1）连接OC（如图①），∵OA＝OC，∴∠1＝∠A.∵OE⊥AC，∴∠A＋∠AOE＝90°.∴∠1＋∠AOE＝90°.又∠FCA＝∠AOE，图①
∴∠1＋∠FCA＝90°.即∠OCF＝90°.∴FD是⊙O的切线.……………………………………………………2分
（2）连接BC（如图②），∵OE⊥AC，∴AE＝EC.又AO＝OB，∴OE∥BC且.……………3分
∴△OEG∽△CBG.图②
∴.∵OG＝2，∴CG＝4.∴OC＝6.………………………………………………………………5分
即⊙O半径是6.（3）∵OE＝3，由（2）知BC＝2OE＝6.∵OB＝OC＝6，∴△OBC是等边三角形.∴∠COB＝60°.………6分
在Rt△OCD中，.∴
.………………………………………………7分
10．（1）证明:
如图,连接AO并延长交⊙O于点E,连接BE,则∠ABE=90°.∴
∠EAB+∠E=90°.……………………1分
∵
∠E
=∠C,∠C=∠BAD，∴
∠EAB+∠BAD
=90°.∴
AD是⊙O的切线.……………………2分
（2）解：由（1）可知∠ABE=90°.∵
AE=2AO=6,AB=4,∴
.…………………………………………………3分
∵
∠E=∠C=∠BAD,BD⊥AB,∴
…………………………………………………4分
∴
∴
.…………………………………………………5分
第二组
1．如果两圆半径分别为3和4，圆心距为6，那么这两圆的位置关系是
A．相交
B．内切
C．外离
D．外切
2．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BOC＝100°，则∠BAC的度数是（）
A．25°
B．50°
C．100°
D．150°
3．若两圆的半径分别是2cm和5cm，圆心距为3cm，则这两圆的位置关系是
A．外离
B．相交
C．外切
D．内切
4．如图，点A、B、C是⊙O上三点，∠C为20°，则∠AOB的度数为__________°．
5．如图，小正方形方格的边长为1cm，则的长为___________cm．
6．已知：如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，过B、D、E三点作⊙O．
（1）求证:AC是⊙O的切线；
（2）设⊙O交BC于点F，连结EF，若BC=9，CA=12.求的值.7．已知：如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC
=∠A.（1）求证：
BC是⊙O的切线；
（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长.8．已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD平分∠FAE，ED⊥AF交AF的延长线于点C．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径AB的长．
9．如图，△ABC中，AB=AE，以AB为直径作⊙O交BE于C，过C作CD⊥AE于D，DC的延长线与AB的延长线交于点P
.（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AE=5，BE=6，求DC的长.10.已知：如图，⊙O的直径=8cm，是延长线上的一点，过点作⊙O的切线，切点为，连接．
(1)
若，求阴影部分的面积；
(2)若点在的延长线上运动，的平分线交于点，∠的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠的度数．
【参考答案】
A
B
D
6.解：（1）联结OD
∵DE⊥DB，∴∠BDE=90°
∴BE是⊙O的直径
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB
∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD，∴∠CBD=∠ODB，∴BC∥OD
∵，∴BC⊥AC，∴OD⊥AC
-------------------1分
∵OD是⊙O的半径
∴AC是⊙O的切线
-------------------2分
（2）设⊙O的半径为r，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=9，CA=12
∴
-------------------3分
∵BC∥OD，∴△ADO∽△ACB．
∴．∴．
∴．∴
-------------------4分
又∵BE是⊙O的直径．∴．∴△BEF∽△BAC
∴．
-------------------5分
7．（1）证明：
∵
AB是⊙O的直径，∴
∠ADB=90°．…………………………
1分
∴
∠ABD
+∠A=90°．
又∵∠DBC=∠A．
∴
∠ABD+∠DBC=90°．
∴
∠ABC=90°．
∴BC是⊙O的切线．
………………………2分
（2）解：
∵
OC∥AD，∠ADB=90°，∴
OE
⊥BD，∠OED
=∠ADB=
∠BEC=90°．
∴
BE=BD
=3．
………………………4分
又∵∠DBC
=∠A，∴
△CBE∽△BAD．
∴，即．
∴AD
=．
……………………………5分
8．解：（1）直线CE与⊙O相切．
证明：如图，连结
OD．
∵AD平分∠FAE，∴∠CAD=∠DAE．
∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAE．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD∥AC．
∵EC⊥AC，∴OD⊥EC．
∴CE是⊙O的切线． …………………………………2分
（2）如图，连结BF．
∵
AB是⊙O的直径，∴
∠AFB=90°．
∵∠C=90°，∴∠AFB=∠C．
∴BF∥EC．
∴AF∶AC=
AB∶AE．
∵
AF∶FC=5∶3，AE=16，∴5∶8=AB∶16．
∴AB=
10．……………………………………………5分
9、（1）证明：连结OC
…………………1分
∵PD⊥AE于D
∴∠DCE＋∠E=900
∵
AB=AE,OB=OC
∴∠CBA=∠E=∠BCO
又∵∠DCE=∠PCB
∴∠BCO＋∠PCB=900
∴PD是⊙O的切线
……………2分
（2）解：连结AC
………………3分
∵
AB=AE=5
AB是⊙O的直径
BE=6
∴
AC⊥BE且EC=BC=3
∴
AC=4
又
∵
∠CBA=∠E
∠EDC=∠ACB=90°
∴△
EDC∽△BCA
………………4分
∴=
即=
∴
DC=
…………………5分
10.解：(1)
联结OC.∵
PC为⊙O的切线,∴
PC⊥OC
.∴
∠PCO=90°.----------------------------------------------------------------------1分
∵
∠ACP=120°
∴
∠ACO=30°
∵
OC=OA,∴
∠A=∠ACO=30°.∴
∠BOC=60°--------------------------------------------------------------------------2分
∵
OC=4
∴
∴
-------------------------------------------3分
(2)
∠CMP的大小不变，∠CMP=45°
--------------------------------------------------4分
由（1）知
∠BOC+∠OPC=90°
∵
PM平分∠APC
∴
∠APM=∠APC
∵
∠A=∠BOC
∴
∠PMC=∠A+∠APM=(∠BOC+∠OPC)=
45°---------------------------5分
第三组
1．如图，已知扇形，的半径之间的关系是，则的长是长的Ａ．倍
Ｂ．
倍
Ｃ．2倍
Ｄ．倍
2.如图，在边长为1的等边三角形ABC中，若将两条含圆心角的、及边AC所围成的阴影部分的面积记为S，则S与△ABC
面积的比等于
A.B.C.D.3．如图是某几何体的三视图及相关数据，则判断正确的是
（）
A.B.C.D.4．若两圆的半径分别为和3，圆心距为1，则这两圆的位置关系是
A．内含
B．内切
C．相交
D．外切
5．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．若∠BED=30°，⊙O的半径为4，则弦AB的长是
A．4
B．
C．2
D．
6．已知，O的半径为3cm，O的切线长AB为6cm，B为切点.则点A到圆上的最短距离是
cm，最长距离是
cm.7.如图，是⊙O的直径，⊙O交的中点
于，E是垂足.（1）求证：是⊙O的切线；
（2）如果AB=5,tan∠B=,求CE的长.8．已知：如图，点是⊙上一点，半径的延长线与过点的直线交于点，．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，求弦的长．
9．如图，点D是⊙O直径CA的延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E是劣弧BC上一点，弦AE与BC相交
于点F，且CF＝9，cos∠BFA＝，求EF的长．
10．如图，四边形ABCD内接于，BD是的直径，于E，DA平分.（1）求证：AE是的切线；
（2）若
【参考答案】B
B
A
B
B,.7．(1)
证明：
连接，∵D是BC的中点，∴BD=CD.∵OA=OB，∴OD∥AC.………………………………….1分
又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∴DE是⊙O的切线……………………………..2分
(2)
解：连接AD,∵是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.在Rt△ADB中，tan∠B=,AB=5,∴设AD=x,则BD=2x,由勾股定理，得
x2+(2x)2
=25，x
=
∴=2………………………………………………….……………………..3分
∵AD⊥BC,BD=CD,∴AB=AC,∴∠B=∠C.∴Rt△ADB∽Rt△DEC
…………………………………………………………………..4分
∴
∴CE
=
.…………………………………………………………………………………..5分
8.（1）证明：如图，联结．
…………………………………1分
∵，∴
．
∴
是等边三角形．
∴，．
∴
．
∴
．
…………………………………2分
所以，是⊙的切线．
…………………………………3分
（2）解：作于点．
∵，∴
．
又，所以在中，．
在中，∵，∴
．
由勾股定理，可求．
所以，．
…………………………………5分
9．（1）证明：联结BO，……………………………1分
方法一：∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD，∵AB＝AO，∴∠ABO＝∠AOB，………………2分
又在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD＝180°，∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO，∴BD是⊙O的切线．
3分
方法二：∵AB＝AO，BO＝AO，∴AB＝AO＝BO，∴△ABO为等边三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝60°，∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD，又∠D＋∠ABD＝∠BAO＝60°，∴∠ABD＝30°，…………………2分
∴∠OBD＝∠ABD＋∠ABO＝90°，即BD⊥BO，∴BD是⊙O的切线．
……………………………………………………3分
方法三：∵
AB＝AD＝AO，∴点O、B、D在以OD为直径的⊙A上
…………2分
∴∠OBD＝90°，即BD⊥BO，∴BD是⊙O的切线．
……………………………………………………3分
（2）解：∵∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF，∴△ACF∽△BEF，……………………
4分
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，在Rt△BFA中，cos∠BFA＝，∴，又∵CF=9，∴EF=6．…………………5分
10.（1）
（2）
篇2：圆中的证明与计算
平移变换是几何中的一种重要变换，运用平移变换可以将分散的线段、角或图形集中到一起，便于问题的研究和解决。这是平移变换中的常用方法，下面仅举几例，以作说明。
一、平移变换在几何证明中的应用
例1．如图，△ABC中，BD=CE，求证：
【解析】
本题涉及到证明的几条线段虽然都交于一点，但对于证明这样一个几何不等式不是很方便。再有BD=CE，运用平移变换，将△AEC平移到△A’BD的位置，问题迎刃而解。
【答案】
证明：如图2,分别过点D、B作CA、EA的平行线，G
F
D
E
两线相交于F点，DF于AB交于G点。
所以，在△AEC和△FBD中，又CE=BD，可证
△AEC≌△FBD，所以AC=FD，AE=FB，在△AGD中，AG+DG>AD，在△BFG中，BG+FG>FB，所以AG+DG-AD>0,BG+FG-FB>0,所以AG+DG+BG+FG-AD-FB>0,即AB+FD>AD+FB，所以
AB+AC>AD+AE
.【思考】
本题还有没有平移其他图形的方法？
例2．如图，梯形ABCD中，∠B+∠C=90°，点E、F分别为上下底边的中点，求证：
【解析】
题目需要证明的几条线段是分散的，通过平移变换可以将AB、EF、DC集中到一起。此时，其他条件也很能好好地得到应用。
【答案】
证明：分别过点E、F作EG//AB,EH//CD交BC于点G、H
所以四边形ABGE,DEHC是平行四边形.AE=BG,DE=CH,因为FB=FC,所以FG=FH=
所以∠EGC=∠B，∠EHB=∠C,又∠B+∠C=90°，所以∠EGC+∠EHB=90°，∠GEH=90°
所以△GEH是直角三角形.所以，EF=
二、平移变换在几何作图中的应用
例3.如图，河流的河岸AB与CD平行，点A、B表示两个村庄，现要在河上架桥，满足两个条件：（1）桥与河岸垂直；（2）A、B两个村庄之间的线路最短，请问桥应架在何处？
【解析】
不管桥设计在何处，A、B两个村庄之间的路程中总有一段是河岸间的距离，所以运用平移变换，将河“平移”,使村庄A或B恰好在河岸上。
【答案】
过点A作AA’垂直河岸，且使AA’长度等于河的宽度，连结交河岸于点C，过点C作CD垂直于河岸交河岸于点D，连结AD，则CD为桥的位置。
【思考】
如果A、B两个村庄之间有两条互相平行的小河，其他条件不变，桥的位置又该如何确定？
图3
例4.如图3，△ABC的三条中线分别为AD、BE、CF．在图3中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；
【解析】
以三条中线为边长的三角形，显然要对这三条线段进行“重新组合”，手段就是平移变换。
【答案】
三、平移变换在几何计算中的应用
例5.如图，六边形ABCDEF中，对角线
已知FD
=
cm，BD
=
cm.问六边形
ABCDEF的面积是多少平方厘米？
【解析】
题目中给出了很多平行且相等的线段，这就很容易联想到平移变换。通过平移变换，将图形“整形”，从而求出六边形的面积。
【答案】
如图，将△DEF平移到△BAG的位置，将△BCD平移到△GAF的位置，则原六边形分解组合成长方形BDFG.此长方形的边恰是已知长度的BD与
FD.易知长方形BDFG的面积为
24×28
=
432
cm2.所以，六边形ABCDEF的面积是432
cm2.例6.已知抛物线与x轴的两个交点记为A，B，点M在直线上，点P在抛物线上，求当以O、A、P、M为顶点的四边形为平行四边形时的P点坐标。
【解析】
本题运用平移变换在平面直角坐标系中的应用，这样求平行四边形的顶点坐标将会简便。因为平行四边形可以理解为一条线段沿平面内某一方向平移所扫过的图形。
【答案】
①
若OA为边，则PM∥OA.设M(m,2m),∵OA=5，∴P(m+5,2m)或P(m-5,2m).当P(m+5,2m)时，∵P点在抛物线上，∴,解得.∴P(12,14).当P(m-5,2m)时，∵P点在抛物线上，∴,解得.∴P(-3,4)或P(20,50).②若OA为对角线，则PM为另一条对角线.[来源:Z&xx&k]
∵OA中点为(,0)，设M(m,2m),∴P(5-m,-2m).∵P点在抛物线上，∴,解得.∴P(12,14).综上,符合条件的P点共有3个，它们分别是P1(12,14)、P2(-3,4)、P3(20,50).【练习】
1．已知，如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，若BD=CE，求证：DE>BC.2．
在△HBC中，∠B=∠C，在边HC上取点D，在边BH上取点A，使HD=BA，连结AD.求证：AD≥
3．在△ABC中，点P为BC的中点．
（1）如图1，求证：AP＜（AB+BC）；
（2）延长AB到D，使得BD=AC，延长AC到E，使得CE=AB，连结DE．
①如图2，连结BE，若∠BAC=60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；
篇3：直线与圆中的易错问题
例1过点P ( - 1, 2) 的直线与AB相交, 若A ( - 2, - 3) , B ( 3, 0) , 则直线l的斜率k的取值范围是__.
正解kAP=5, kBP=-1/2, 如图所示, 由于直线l的倾斜角变化范围是[αA, αB], ∴k≤-1/2或k≥5.
例2已知过点P (-4, 0) 作直线l与⊙C:x2+y2+2x-4y-20=0交于A, B两点, 若|AB|=8, 则直线l的方程为__.
∴l:5x+12y+20=0.
错误原因忽略了直线l斜率不存在的情形.
正解当l的斜率不存在时, l:x=-4符合题意
∴l:5x+12y+20=0.
例3求过点 (2, 1) 且与两坐标轴所围成的三角形面积为4的直线方程.
错误原因把截距当成距离, 忽略了截距的符号.
易错点二直线与圆、圆与圆位置关系中忽略特殊位置、参数取值范围等导致的错误
例4若曲线C1:x2+y2-2x=0与曲线C2:y (y-mxm) =0有四个不同的交点, 则实数m的取值范围是 () .
小结通过以上两类易错点的剖析, 希望可以给同学们的学习带来帮助.
参考文献
[1]景海燕.直线与圆中一些容易忽视的问题[J].高中数学教与学, 2011 (05) :4.
[2]蒋国强.直线与圆的常见错误归纳[J].数学学习与研究, 2014 (05) :89.
篇4：圆中的证明与计算
1 忽视直线（圆）方程形式运用的限制条件
例1 直线l过点P(-2,1)，且点A(-1,-2)到l的距离等于1，求直线l的方程．
错解:设直线l的斜率为k，则l的点斜式方程为y-1=k(x+2)，即kx-y+(2k+1)=0，
∵点A(-1,-2)到直线l的距离等于1，∴|-k+2+(2k+1)|k2+1=1，解得k=-43，
∴所求直线方程为4x+3y+5=0．
剖析:由于直线的点斜式方程不包括平行与y轴的直线，所以应该检查过点P(-2,1)且与y轴平行的直线是否符合条件．
正解:10 若直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则l的点斜式方程为
y-1=k(x+2)，即kx-y+(2k+1)=0，∵点A(-1,-2)到直线l的距离等于1，
∴|-k+2+(2k+1)|k2+1=1，解得k=-43∴所求直线方程为4x+3y+5=0．
20 若直线l的斜率不存在，则l的方程为x=-2，点A(-1,-2)到直线x=-2的距离为|-1-(-2)|=1，符合l的条件．∴所求直线方程为4x+3y+5=0或x+2=0．
点评:直线的点斜式方程与斜截式方程不包括平行于y轴的直线；直线的两点式方程不包括平行于坐标轴的直线；直线的截距式方程不包括过原点的直线和平行于坐标轴的直线．所以在用以上四种方程求直线方程时，一定要检查不被包括的直线是否符合相关条件，以免遗漏．实际上，在解题中，运用有关公式求斜率时，若只求得一解，应反思可能遗漏了斜率不存在的情形．
例2 求过两直线x+y-1=0和2x-y+4=0的交点，且到原点的距离为455的直线方程．
错解：设所求直线方程为x+y-1+λ(2x-y+4)=0，即(2λ+1)x+(1-λ)y+4λ-1=0，由题意得|4λ-1|(2λ+1)2+(1-λ)2=455，解得λ=-38，故所求直线方程为2x+11y-20=0．
剖析:一般地，方程f1(x,y)+λf2(x,y)=0表示过曲线f1(x,y)=0与曲线f2(x,y)=0的交点的曲线系，但不包括曲线f2(x,y)=0的所有曲线．上面解法恰好遗漏了直线2x-y+4=0，故用曲线系方程求解时应分类讨论，以防忽视特殊情况．本题正确答案应为：2x-y+4=0或2x+11y-20=0．
2 忽视了截距与距离的区别
例3 求过点P（-5,-4）且与坐标轴所围成的三角形的面积为5的直线方程．
错解：设直线方程为xa+yb=1，由题意可得-5a+-4b=1,
12ab=5得无解．
剖析:解法中错把直线在x轴，y轴上的截距当成了距离，直线与坐标轴围成的三角形的面积为12|ab|，而不是12ab．易求直线方程为8x-5y+20=0或2x-5y-10=0．
3 判断位置关系时忽视转化的等价性
例4 已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0，试确定m、n的值，使l1∥l2．
错解：由m•m-8×2=0，得m=±4，即m=±4，n为任意实数时，l1∥l2．
剖析：对于两直线l1:Ax1+B1y+C1=0和l1:A1x+B1+C1=0,A1B1-A2B1=0仅是l1∥l2的必要不充分条件，而l1∥l2的充要条件是A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(B1C2-B2C1≠0)．
事实上，由m•m-8×2=0，得m=±4，又由8×（-1）+(-n)•m≠0， 得n≠±2，
所以当m=4,n≠-2或m=-4,n≠2时，l1∥l2．
4 位置关系分析时忽视分类讨论
例5 过点P(1,3)作直线l，且点M(2,3),N(4,5)到直线l的距离相等，求直线l的方程．
错解:由题意知所求直线过点P且与直线MN平行，而kMN=1，故所求直线方程为x-y+2=0．
剖析:解法中对直线l的位置分析时忽视了与直线MN相交的情形，即M，N分别位于直线l的两侧，此时，直线l过线段MN的中点，易求直线l的方程为x-2y+5=0．故所求直线方程为x-y+2=0或x-2y+5=0．
点评:在一些问题中，经常涉及到点与直线（曲线）、直线与直线，直线与曲线的位置关系，但题设中的条件模糊，位置关系不明确，在分析问题时应考虑全面．如：两圆相切，可能内切或外切，圆与圆（曲线）没有交点，可能相离或内含．
5 忽视问题中的隐含条件
例6 求经过点P(-2,3)，且倾斜角是直线3x+4y-5=0倾斜角的一半的直线方程．
错解:设直线3x+4y-5=0的倾斜角为α，则tanα=2tanα21-tan2α2=-34，
解得tanα2=3或tanα2=-13，故所求直线方程为3x-y+9=0或x+3y-7=0．
剖析:上面的解法没注意到隐含条件，由tanα=-34知π2<α<π，则π4<α2<π2,∴tanα=-13不合题意应舍去，从而所求直线方程为3x-y+9=0．
6 忽视临界点
例7 若直线y=x+k与曲线x=1-y2恰有一个公共点，则k的取值范围为__________ ．
错解:(-1,1)．
剖析:曲线x=1-y2表示圆x2+y2=1的右半圆，如图1，当直线y=x+k与曲线x=1-y2相交时，k∈(-1,1］，当直线y=x+k与曲线x=1-y2相切时，k=-2，故k的取值范围为(-1,1］∪{-2}．
这里遗漏了直线过A点及直线与曲线相切的临界情形．
7 忽视直线与抛物线（双曲线）的相交情形
例8 经过点A(0,2)与抛物线y2=4x有唯一公共点的直线有__________ 条．
错解:2
剖析:点A（0,2）在抛物线y2=4x的外部，可引两条切线，又直线y=2与抛物线y2=4x也只有一个交点，故有3条．
点评：这里忽视了与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点的情形．学生受思维定势的影响，认为直线与曲线只有一个交点时就一定是相切的关系．另与双曲线的渐进线平行的直线与双曲线相交，只有一个交点．
8 忽视对判别式的检验
例9 已知双曲线方程x2-y22=1，试问过A(1,1)能否作直线l，使双曲线交于P、Q两点，且点A是线段PQ的中点？若存在l，求它的方程；若不存在，请说明理由．
错解:假设存在直线l满足条件，显然直线l的斜率不存在时，直线l不满足条件；
故设直线l的方程为：y=k(x-1)+1，代入双曲线方程x2-y22=1，整理得
(2-k2)x2+2k(k-1)x-k2+2k-3=0(*)，
若2-k2=0，即k=±2，则直线l与渐进线平行，只有一个交点，不合题意；
若2-k2≠0，设若P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1+x2=2k(1-k)2-k2，又点A是线段PQ的中点，∴x1+x22=1，即k(1-k)2-k2=1，解之得k=2，∴存在l：y=2x-1．
剖析:当k=2时，方程（*）为2x2-4x+3=0，此时Δ=16-24<0，即直线L与双曲线无交点，故不存在直线l满足条件．这里遗漏了检验Δ>0．另在用点差法时也应注意这一点．
综上所述，在研究直线、圆的有关问题时，若能精细地设计思维过程，优先考虑方程形式的限制条件，点与曲线的位置关系，注意挖掘隐含条件，不仅能优化解题过程，还能提高解决问题的正确率．学习中加强对错误进行反思、解析，强化优先意识，能不断提高思维能力，提升数学素养．
篇5：例谈直线和圆中的数学思想
数学思想方法与数学知识一样, 是人们对数学内容的本质认识, 是对数学知识和数学方法的进一步抽象和概括, 它对数学学习具有决定性的指导意义.在用直线和圆的知识时, 恰当地运用这些思想方法, 可以起到事半功倍的效果.下面举例说明.
一、数形结合思想
数形结合思想方法是高中数学的重要思想方法, 在直线和圆的方程中, 数形结合贯穿始末.将数化为形, 可使问题化难为易, 化抽象为具体.
例1 解关于 x 的不等式
简析:若直接求解需分类讨论, 较为繁琐.由于不等式两边函数的几何意义十分明显, 故可利用数形结合求解.
设
点评:对于方程、不等式解的讨论, 仅限于数方面的考虑, 在解决问题时, 过程繁琐.如能分析数式特征, 揭示几何意义, 使数量关系与空间形式巧妙而和谐地结合在一起, 则更有助于问题的良好解决.
例2 已知
解:集合M是斜率为1, 在 y 轴上的截距为 b 的一束平行线, 集合N是以原点为圆心, 半径为3的圆在 x 轴上方的部分 (包括与 x 轴的交点) .由题意作出图形, 如图2, 当直线 y=x+b 过A (3, 0) 时, b=-3.
当直线与半圆相切时, 由点到直线的距离公式有
由图形易知 b>0, 故取
所以
评注:在涉及到半圆或圆的一部分的题目时, 应用数形结合较适宜.本题还可以再求M∩N=Ø时 b 的范围.
二、化归的思想方法
转化与化归就是把复杂问题化归为简单问题, 把非常规问题转化为常规问题而得到解决的思想.一般在直线与圆的方程中, 化形为数或化数为形来解决问题.
例3 求函数
令A (0, 1) , B (2, 2) , P (x, 0) , 则问题转化为求点P到A, B两点距离和的最小值, 即求|PA|+|PB|的最小值.
因为A关于 x 轴对称点为A1 (0, -1) ,
所以
即 f (x) 的最小值是
点评:此问题如从代数角度考虑比较复杂, 如果借助于两点间的距离公式, 转化为几何问题, 则非常容易.
三、方程思想
在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中, 具备标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维, 将问题化归为方程的问题, 利用方程的性质、定理, 实现问题与方程的互相转化接轨, 达到解决问题的目的.
例4 设有三个集合A={ (x, y) |x+ay=1}, B={ (x, y) |ax+y=1}, C={ (x, y) |x2+y2=1}.当 a 为何值时, 集合 (A∩C) ∪ (B∩C) 的元素有两个?有三个呢?
所以
要使之有两个元素, 则
要使之有三个元素, 则
综上, 当 a=0或1时, (A∩C) ∪ (B∩C) 有两个元素:{ (1, 0) , (0, 1) };当
四、分类讨论思想方法
当面临问题不宜用一种方法解决或同一种形式叙述时, 就要把问题按照一定的原则或标准分为若干类, 然后逐类进行讨论, 再把这几类的结论汇总, 得出问题的答案.
例5 已知集合A={ (x, y) |l1:
解: (1) a=1时, B=Ø, 则A∩B=Ø.
(2) a≠1时, A={ (x, y) | (a+1) x-y+ (1-2a) =0},
B={ (x, y) | (a2-1) x+ (a-1) y-15=0}.
由A∩B=Ø, 有两种情况:
①集合A、B中的两条直线平行, 则
解得 a=-1;
②B中直线过点 (2, 3) , 而A中直线上缺少 (2, 3) 这一点, 此时 l1 与 l2 相交为空, 即A∩B=Ø.
所以2 (a2-1) +3 (a-1) =15,
解得 a=-4或
经检验, 此时两直线不重合.
综上, 当 a=-4或 a=-1或 a=1或
点评:对于直线, 我们首先考虑斜率是否存在的问题, 然后再看题目的特征, 得出斜率存在时也有两种情况, 从而达到不漏的目的.
篇6：直线与圆中的最值问题例说
【关键词】直线与圆最值问题
【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】1674-4772(2014)06-112-01
直线与圆的最值问题在高考中频频出现，本文试以一些题目为例，探析此类问题的几种类型。
1.两点之间的距离最值问题
例1 已知：x、y满足x+3y-10=0,则x2+y2的最小值为？
（法一）解：因为x=-3y+10,则x2+y2=(-3y+10)2+y2=10(y-3)2+10
所以当y=3时，(x2+y2)min为10.
通过消元法可将多元的最值问题题转化为熟悉的一元最值问题。
（法二）解：x+3y-10=0表示的为一条直线L， x2+y2表示直线上动点到原点的距离的平方，过O作OA⊥L,设B为直线上任一点，则OA 法二为数形结合法，涉及将数量关系的问题转化成图形性质或利用图形性质的问题。通过数形结合可将抽象的数学语言与直观图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合，缩短了思维链，简化了思维过程。笔者认为，数形结合法是解决最值问题的好方法。 例2.已知方程x2+y2+4x-2y-4=0，则x2+y2的最大值是？ 解：因为x2+y2+4x-2y-4=0，即(x+2)2+(y-1)2 =9，是以（-2，1）为圆心，半径为3的圆；x2+y2 表示圆上动点到原点的距离的平方， OA=■,OB≤OA+AB,当且仅当O,A,B 三点共线时，等号成立。故OB=3+■,所以 (x2+y2)max=14+6■. 变式：条件不变，求x2+y2的最小值. 解：OB≥AB-OA,当且仅当O,A,B三点共线时，等号成立。故OB=3-■,所以(x2+y2)min=14-6■. 例3.已知点P在C1：x2+y2-8x-4y+11=0上，点Q在C2：x2+y2+4x+2y-1=0上，则PQ的最小值为？ 解：两圆圆心为（4，2）和（-2，-1），圆心距d=■=3■＞3+■， 所以两圆外离。连接C1C2，与圆C1的交点为P,与圆C2的交点为Q，此时PQ最小，PQmin=3■-3-■. 形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题，可转化为圆上动点到定点距离平方的最值问题。 2.点到直线的距离最值问题 例4. 圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离分别为？ 解:圆的圆心为(2，2)，半径为3■，圆心到直线x+y-14=0的距离为d=■=2■>3■，所以直线与圆相离。圆上的点到直线的最大距离为d+r=2■+3■,圆上的点到直线的最小距离为d-r=2■-3■. 3.斜率问题 例5. 过点A（1，■）的直线l将圆C(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，求直线l的斜率k. 解 由图形可知点A（1，■）在圆C(x－2)2＋y2＝4的内部, 圆心为C(2,0)。作CN⊥l.在圆中有这样一个性质：弦越小，弦所对的圆心角越小。因为弦长BM=2■，即BM=2■，要使弦BM最小，即使CN最大。因为CN≤CA,所以CN最大就是CA,此时直线l⊥CA,所以kl=-■=-■=■. 例6.如果X，Y满足(x-2)2+y2=3，那么■的最大值和最小值分别是？ 解:■=■，因此■的几何意义为圆上一点（x,y）和（0，0）连线的斜率。根据作图，发现当过原点的直线与圆相切时，斜率取到最大值和最小值。设直线y=kx,则d=■=■,故k=±■.所以（■）max=■,（■）min=-■. 形如λ=■形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题。 4.面积最值问题 例7.过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点，且面积最小的圆的方程是？ 解：因为通过两个交点的动圆中，面积最小的是以此两交点为直径端点的圆，于是解方程组， 2x+y+4=0 x2+y2+2x-4y+1=0 得到交点A（-■，■），B（-3,2）利用圆的直径式方程得：（x+■）(x+3)+(y-■)(y-2)=0,化简整理得出（x+■）2+(y-■)2=■. 例1 如图1，☉O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，∠A=45°，BD为☉O的直径，BD= 2，连接CD，则∠D=______，BC=______. 【解析】由“同弧所对的圆周角相等”可知，∠D=∠A=45°；又BD为☉O的直径，所以∠BCD=90°；又BD=2，所以BC=CD=2. 例2 若O为△ABC的外心，且∠BOC=60°，则∠BAC=______. 【解析】据抽样调查，本题作答30°的同学很多，究其原因是有些考生受思维定势的影响，只以锐角△ABC得出答案.其实，本题中的三角形不一定是锐角三角形，因此需要进行分类讨论：（1） 若△ABC是锐角三角形，则如图2，∠BAC=∠BOC，答案为30°；（2） 若△ABC是直角三角形，则如图3，∠BAC=∠BOC，答案也为30°；（3） 若△ABC是钝角三角形，则如图4，此时在优弧上取一点D，连接BD、CD，则∠BDC=∠BOC=30°，∠BAC=180°-∠BDC=180°-30°=150°，答案为150°. 因此，本题的答案为30°或150°.面对如此复杂的情况，不掌握分类的思想方法，难免以偏概全. 例3 如图5，☉O是△ABC的外接圆，∠C=30°，AB=2 cm，则☉O的半径为______cm. 【解析】过点A作直径AD，连接BD，则由圆周角定理有∠D=∠C=30°，∠ABD=90°，由AB=2 cm，有AD=4 cm，故☉O的半径为2 cm. 例4 如图6，已知AB为☉O的直径，C是的中点，CD⊥AB，垂足为D，AE交CD于点F，连接AC，试说明AF=CF. 【分析】要说明AF=CF，只要说明∠ACF=∠CAF，其中∠CAF是弧CE所对的圆周角，而由条件知=，因此只要找出所对的圆周角与∠ACF相等即可，而构造所对的圆周角，需连接BC，此时恰好构造了直径AB所对的圆周角∠ACB. 解：连接CB，∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，即∠ACF+∠BCD=90°. ∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACF. ∵C是的中点，∴=，∴∠B=∠CAE，∴∠ACF=∠CAF，∴AF=CF. 【点评】见“直径”构造“直径所对的圆周角”，是常用且重要的辅助线. 由例3和例4应学会由直径联想直角及由直角联想直径，这种双向联想在解决圆中有关问题时十分有效. 例4还告诉我们，在圆中，构造同弧或等弧所对的圆周角即可得到相等的角，因此这也是常用的辅助线. 小试身手 1.（2013·山东泰安）如图7，点A、B、C在☉O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（ ）. A. 60° B. 70° C. 120° D. 140° 2.（2013·浙江舟山）如图8，☉O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交☉O于点E，连接EC，若AB=8，CD=2，则EC的长度为（ ）. A. 2 B. 8 C. 2 D. 2 3. （2013·浙江温州）如图9，AB为☉O的直径，点C在☉O上，延长BC至点D，使DC=CB. 延长DA与☉O的另一个交点为E，连接AC，CE. （1） 求证：∠B=∠D； 考点1 圆的有关概念 例1 如图1，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（ ）. A. 2 cm B. cm C. 2 cm D. 2 cm 【解析】连接AO、BO，作OM⊥AB交圆于点M，由于折叠后的圆弧所在的圆与☉O是等圆，则OA=OB=AM=BM，四边形AOBM为菱形，且∠AOB=120°，可求得AB=2 cm，选C. 【点评】本题考查圆的半径、弧、等圆等概念. 考点2 圆的对称性 例2 下列图形中是中心对称图形的是（ ）. 【解析】A、C、D都不是中心对称图形，应排除；只有B是中心对称图形，故选B. 【点评】圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，但与其他图形组合时，要全面考虑组合图形的对称性. 考点3 垂径定理及其应用 例3 如图2，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，作PQ垂直x轴于Q，以点P为圆心，PQ为半径的☉P与y轴交于M（0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是（ ）. A. （5，3） B. （3，5） C. （5，4） D. （4，5） 【解析】MN=8-2=6，作PA⊥MN于点A，由垂径定理知AM=AN=3，AO=5. 连接PM，则由四边形AOQP为矩形知PM=PQ=AO=5. 在Rt△PAM中，可求得PA=4，故点P（4，5），选D. 【点评】在运用垂径定理时，通常把弦长的一半、圆心到弦的距离、半径三者放到同一个直角三角形中，再求解. 考点4 直线与圆的位置关系 例4 直线l与半径为r的☉O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（ ）. A. r<6 B. r=6 C. r>6 D. r≥6 【解析】直线与圆相交，等价于圆心到直线的距离小于圆的半径. ∵直线l与☉O相交，∴圆心O到直线l的距离d 【点评】解决此类问题一般通过比较圆心O到直线l的距离d与圆半径r的大小关系来进行判定. 考点5 切线的判定 例5 如图3，线段AB经过圆心O，交☉O于点A、C，点D在☉O上，连接AD、BD，∠A=∠B=30°. BD是☉O的切线吗？请说明理由. 【解析】BD是☉O的切线. 由于点D在圆上，所以只要证明OD⊥BD即可. 连接OD，∵∠A=∠B=30°，∴∠BDA=180°-（∠A+∠B）=120°，∵OA=OD，∴∠ADO=∠A=30°，∴∠BDO=∠BDA-∠ADO=90°，即OD⊥BD，∴BD是☉O的切线. 【点评】证明一条直线是否为圆的切线，首先看这条直线是否过半径的外端，如果已知直线过半径的外端，则构造半径，证这条直线与这条半径垂直；如果不能判定直线过半径的外端，则过圆心作这条直线的垂线段，证垂线段等于圆的半径. 考点6 切线的性质 例6 （2013·广东珠海）如图4，☉O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A. （1） 求证：BC为☉O的切线； （2） 求∠B的度数. 【解析】（1） 连接OA、OB、OC、BD，根据切线的性质得OA⊥AB，即∠OAB=90°，再根据菱形的性质得BA=BC，利用“SSS”可判断△ABO≌△CBO，则∠BAO=∠BCO=90°，根据切线的判定方法即可得到结论；（2） 由切线长定理可知BO平分∠ABC，又菱形的对角线平分对角，所以点O在BD上；利用三角形外角性质有∠BOC=∠ODC+∠OCD，即∠BOC=2∠ODC，由于CB=CD，则∠OBC=∠ODC，所以∠BOC=2∠OBC，根据∠BCO=90°，可计算出∠OBC=30°，所以∠ABC=2∠OBC=60°. 【点评】当条件中出现圆的切线时，构造与切线垂直的半径是常用的辅助线. 考点7 正多边形与圆 例7 （2013·山东滨州）若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ）. A. 6，3 B. 3，3 C. 6，3 D. 6，3 【解析】如图5，∵正方形的边长为6，∴AB=3，又∵∠AOB=45°，∴OB=3，∴AO==3，故选B. 【点评】由正多边形的边长一半、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，这是我们解决正多边形与圆的有关问题时常用的基本图形. 考点8 弧长和扇形的面积的计算 例8 （1） （2013·浙江舟山）如图6，某厂生产横截面直径为7 cm的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面，为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为（ ）. A. cm B. cm C. cm D. 7π cm （2） 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（ ）. A. 25π B. 65π C. 90π D. 130π 【解析】（1） 根据题意得出圆的半径，及弧所对的圆心角，代入公式计算即可.∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，∴此弧所对的圆心角为90°，由题意可得，r= cm，则“蘑菇罐头”字样的长==cm. ∴选B；（2） 由题意可知，圆锥的底面圆半径为5，周长为10π；又母线为13，则该圆锥的侧面积为65π，选B. 【点评】利用弧长和扇形面积公式进行计算一般有三种类型：①已知r、n，代入公式直接求l或S；②已知n、l或S，代入公式借助方程求r；③已知r、l或S，代入公式借助方程求n. 考点9 阴影部分面积的计算 例9 （2013·山西）如图7，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）. A. -B. - C. π- D. π- 【解析】扇形BEF的面积为S1==，菱形ABCD的面积为SABCD=2××2×=2，如图7，连接BD，易证△BDP≌△BCQ，所以四边形BPDQ的面积等于△BCD的面积，为，则阴影部分的面积为-，选B. 【点评】计算不规则图形面积时基本指导思想是转化，基本方法是分解和组合. （作者单位：江苏省兴化市楚水初级中学） 【圆中的证明与计算】相关文章： 圆中的证明和计算04-13 主要计算和证明05-05 角的相关计算和证明04-09 职称计算机免考证明05-05 北师大中考数学复习专题_三角形四边形的有关计算证明04-23 计算机科学与技术在现代教育中的应用与研究09-11 计算机网络在管理运用中的不足与防范09-11 微课在计算机教学中的价值与实践11-14 农业行业中的计算机视觉与模式识别技术09-11 现代职教理念在成本计算与分析课程中的运用09-11篇7：圆中的特殊角
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