两角和公式证明

两角和公式证明（精选9篇）

篇1：两角和公式证明

两角和差正余弦公式的证明

北京四中数学组 皇甫力超

论文摘要：

本文对两角和差的正余弦公式的推导进行了探讨。在单位圆的框架下 , 我们得到了和角余弦公式(方法 1)与差角余弦公式(方法 2)。在三角形的框架下 , 我们得到了和角正弦公式(方法 3 ~11)与差角正弦公式(方法 12,13)。

关键词：

两角和差的正余弦公式 正文：

两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。

由角 , 的三角函数值表示 的正弦或余弦值 , 这正是两角和差的正余弦公式的功能。换言之 , 要推导两角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一个等式或方程 , 将 或

与 , 的三角函数联系起来。的三角函数。因此 , 由和角公式容根据诱导公式 , 由角 的三角函数可以得到

易得到对应的差角公式 , 也可以由差角公式得到对应的和角公式。又因为 , 即原角的余弦等于其余角的正弦 , 据此 , 可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。因此 , 只要解决这组公式中的一个 , 其余的公式将很容易得到。

(一)在单位圆的框架下推导和差角余弦公式 注意到单位圆比较容易表示 ，和 , 而且角的终边与单位圆的交点坐标可

与 , 的三以用三角函数值表示 , 因此 , 我们可以用单位圆来构造联系 角函数值的等式。

1.和角余弦公式

(方法 1)如图所示, 在直角坐标系 角 的始边为 于点 C；角 , 交 始边为 ,由两点间距离公式得

；

于点 A, 终边交 , 终边交

中作单位圆 , 并作角 , 和 , 使

于点 B；角 始边为 , 终边交 ，于点。从而点 A, B, C和 D的坐标分别为,。

注意到 , 因此。

注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架 , 利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段, 从而得到我们所要的等式。注意, 公式中的 和 为任意角。

2.差角余弦公式

仍然在单位圆的框架下 , 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以得到我们希望的三角等式。这就是

(方法2)如图所示, 在坐标系 的始边均为 , 交

于点 C, 角 ,中作单位圆 终边交

。, 并作角 和 , 使角 和

于点 A,角 终边交 于点。从而点 A, B的坐标为由两点间距离公式得。

由余弦定理得。

从而有。

注记：方法 2 中用到了余弦定理 , 它依赖于 要补充讨论角 和 的终边共线, 以及 情形中依然成立。

在上边的证明中 , 用余弦定理计算

是三角形的内角。因此, 还需

大于 的情形。容易验证 , 公式在以上的过程也可以用勾股定理来进行。

(二)在三角形的框架下推导和差角正弦公式

除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式 , 还可以在三角形中构造和角或差角来证明和差角的正弦公式。

1.和角正弦公式(一)

(方法3)如图所示, , ，为 的

边上的高 ，为

边上的高。设 , 则。从而有 , , 。

因此 。

注意到 从而有 , , 整理可得。

注记：在方法 3 中 , 用 边上高

和与底角 , 相关的三角函数, 从两个角度来表示 , 从而得到所希望的等式关系。这一证明所用的图形是基于钝角三角形的 , 对基于直角或锐角三角形的情形 , 证明过程类似。

利用方法 3 中的图形 , 我们用类似于恒等变形的方式 , 可以得到下面的

(方法 4)如图所示, , , 则

为 的。

边上的高 ，为

边上的高。设

注意到 , 则有,即。从而有。

利用正弦定理和射影定理 , 将得到下面这个非常简洁的证法。注意证明利用的图形框架与方法 3,4 所用的图形框架是相同的。

(方法 5)如图所示 , 则有

为 的

边上的高。设 , , ,。由正弦定理可得 , 其中 d为 的外接圆直径。

由 得 , 从而有。

2.和角正弦公式(二)方法 3,4 和 5 利用的图形框架是将角 , 放在三角形的两个底角上。如果将这两个角的和作为三角形的一个内角 , 将会有下面的几种证法(方法 6~11)。

(方法 6)如图所示 , 作 , , 则

于D, 交 , ,外接圆于 E, 连。

和

。设设 的外接,圆直径,为 d, 则有。

所以有。

注意到 , 从而。

(方法 7)如图所示 , , , 则

为 的

边上的高 , , 则

为

边上的高。设

。设 , , ,。, 又

从而。整理可得。

(方法 8)如图所示 , 作 设 。

于D, 过 D作 , 则 ,于 F, ,设

于G。, 从而 ,所以。

注意到 , 则有。

注记：我们用两种不同的方法计算 法来计算 , 得到了和角的正弦公式。如果我们用两种方, 则可以得到和角的余弦公式。由上图可得 , , 从而有而可得。

。注意到 , 从方法 6,7 和 8 都是用角 , 的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段 , 从而构造出我们所希望的等式关系。

(方法 9)如图所示 , 设 ,，为 的

边上的高。设 , , 从而有

方法 9 利用面积关系构造三角恒等式。下面这两个证法的思路则有所不同。

(方法 10)如图所示 , 设 , 则

为 , 从而 的外接圆直径d, 长度为d。设 ，注记：这一证明用到了托勒密定理：若 和。

是圆内接四边形的对角线 , 则有

(方法 11)如图所示 , 则。设

为 , 则 的

边上的高。设 , ，方法 10 和 11 将某一线段作为基本量 , 利用与角 ，相关的三角函数表示其它线段 , 再通过联系这些线段的几何定理(托勒密定理或正弦定理), 构造出我们希望的等式关系。

3.差角正弦公式

仍然还是在三角形中 , 我们可以在三角形的内角里构造出差角来。方法 12 和 13 便是用这种想法来证明的。

(方法 12)如图所示 ,于 E, 则 。设 , , 从而有 , 记 , 作

(方法 13)如图所示 , , 则 ，为 的外接圆直径 , 长度为 d。设。从而 ，方法 12 和 13 的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段 , 借此来构造等式关系。

很显然 , 在这十二种证法中 , 方法 1 和 2 更具普遍性。换言之 , 这两种方法中出现的角 , 是任意角。而其余方法中 , 角 和 则有一定的限制 , 它们都是三角形的内角(甚至都是锐角)。因此 , 对于方法 3~13, 我们需要将我们的结果推广到角 和

是任意角的情形。具体而言 , 我们要证明：如果公式对任意 任意角也成立。

容易验证 , 角 和

成立 , 则对

中至少有一个是轴上角(即终边在坐标轴上的角), 我们的公式是成立的。下面证明 , 角 和 都是象限角(即终边在坐标系的某一象限中的角)时 , 我们的公式也成立。不妨设 为第二象限角 , 为第三象限角 , 从而有

从而

同理可证, 公式对于象限角 3~13 推导的公式推广到角

和 的其它组合方式都成立。因此 , 我们可以将方法 , 是任意角的情形。

两角和差的正余弦公式是三角学中很基本的一组公式。其推导证明对指导学生进行探究性学习很有帮助。从上文中可以看到 , 这一探究过程可分为四个步骤：

(1)明确推导证明的目标：构造联系 和 等式或方程 ；

(2)简化课题：四个公式只要解决一个 , 其余的都可由它推出 ；(3)解决问题：利用单位圆或三角形作为联系

和

三角函数与

或

三角函数与

或 的的工具 , 寻找我们希望的等式关系 ；

(4)完善解决问题的方法：考察方法是否有普遍性。如果普遍性有欠缺 , 可考虑将其化归为已解决的情形 , 必要时还要进行分类讨论。

参考文献：

1.谷丹：全面数学教育观与知识形成过程的教学——三个教学个案及分析 , 《开放的视野 , 务实的努力》, 中央民族大学出版社 ,2006 年 3 月第 27 ~32 页。

2.人民教育出版社中学数学室：全日制普通高级中学教科书 << 数学(第一册下)>>(必修), 人民教育出版社 ,2003 年 12 月第 34 ~ 35 页。

篇2：两角和公式证明

一，教师教学方式的转变。

传统教学是注入式教学，基本方式是“输入信息——反馈信息——补充和纠正信息”。“两角和公式的证明”的推导，基本上都是由教师来完成的，学生作为被动的、重视的听众。将公式背下来，会利用其解题就可以了。未经自己分析、概括、比较，对知识缺乏深入理解和领会。结果是：学生对数学知识记不牢，更不能灵活运用。

而新课程改革方案明确提出：有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、合作交流与自主探究是学生学习数学的重要方式。而今年高考命题思维的转变，是对新课程改革的最好诠释。教师应该换主动权与学生。

二，学生学习方式的转变。

课堂教学中教师应致力于探索激发学生学习兴趣的课堂形式，创设真实的问题情境，提供学生探索与交流的时间与空间。反对过去僵化的为“高分”而解题，反对题海战术。学生应在学习活动中，培养自己的创新精神和实践能力。让学生的学习成为“研究性学习”的模式。构建一个以情景为基础，提出问题与解决问题相互引发共同并进的“情景——问题”学习链。

三，教学理念的转变。

新课程标准要求学生真正成为课堂的主人，成为知识的“发现者”的“创造者”。使教学过程成为学生主动获取知识、启迪智慧、发展能力、体验数学的过程。教师成为学生学习的合作者、引导者，教师与学生是平等的关系。高考命题的转变，对我们提出了新的要求，立足新课标，认真钻研教材，探索新方法。

四，教学过程设计的转变。

在我今后的教学“两角和公式的证明”时，我想应该做到以下几点。1，创设学生生活中熟悉而感兴趣的数学情境。2，启发学生将现实问题转化、抽象、概括成数学问题。3，学生为了解决提出的数学问题，自主探索、合作交流、估算猜测，教师启发诱导，师生共同归纳总结。4，在“师生”与“生生”双边互动中，展示学生的数学思维建构的过程。培养学生推理、证明的能力。5，让学生用自己“发明”的“两角和的公式”来解决相关问题。体验数学来源于生活，又服务于生活的道理。

五，教学课堂的转变。

传统的教学课堂，要求“堂堂清”，对本堂课的知识点、内容完全掌握是最高境界。而新课程标准要求，学生不能仅仅停留在课堂的探索上。而要引导学生课后继续探究，把课堂延伸到课外。两角和的公式探索方法很多。可以利用单位圆中的三角函数线，可以利用不同角度探索公式„„这些探索证明方法的建构，都有着丰富的数学思想方法。让学生产生“欲罢不能”的求知欲望，惊声振奋地投入学习。从而使其获得良好的学习效果。

篇3：两角和公式证明

众所周知, 在两角和与差的三角函数公式中, 证明了两角和与差的正弦和余弦公式之一, 其余的公式就可以由这个公式推导出来. 我国现行人教版新课标高中教材的处理方法如下:

证明1向量法 ( 人教版新课标《数学》第二册)

如图1, 在平面直角坐标系x Oy内作单位圆O, 以Ox为始边作角α, β, 它们的终边与单位圆O的交点分别为A, B, 则

由向量数量积的坐标表示, 有

另一方面, 由图1 ( 1) 可知, α = β + θ; 由图1 ( 2) 可知, α= β - θ, 于是α - β = θ,

∴ cos ( α - β) = cosθ.

也有cos ( α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ.

对于任意角α, β有cos ( α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ.

其实, 关于两角和与差三角函数公式的证明方法有许多, 下面介绍运用坐标法及平面几何证明两角和与差三角函数公式的方法.

二、三角函数两角和差的余弦公式的坐标法证明

证明2坐标法———两点间距离相等

如图2, 在直角坐标系中作单位圆O, 并作出角α, β和- β角, 设定角的各边与圆O的交点坐标, 根据两点间的距离公式, 推出公式cos ( α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ.

∵ PA2= QR2,

∴ cos ( α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ·C.

三、两直角三角形结合法证明三角函数两角和差的正弦公式

证明3两直角三角形结合法

如图3, sin ( α + β) = AH = KC + CD,

AC = sinβ, ∠ACK = α, KC = sinβcosα.

又∵BC = cosβ, CD = sinαcosβ,

∴ sin ( α + β) = cosαcosβ + sinαsinβ.

四、坐标法证明余弦定理

证明4坐标法———余弦定理

由△POQ的余弦定理可知,

∴ cos ( α - β ) = cosαcosβ +sinαsinβ.图 4

五、结 语

本文以中职教材中的“三角函数两角和差的正余弦公式”的证明方法为焦点, 分别又用三种不同的方法证明了三角函数两角和差的正余弦公式. 从不同的角度去启迪和引导学生的思维, 调动学生思考问题的积极性, 培养学生发散思维的能力, 这对扩展学生的视野, 加深对公式的理解会大有帮助.

摘要：本文对三角函数两角和差的正余弦公式的证明方法进行了探讨.在教材中三角函数两角和差的余弦公式的证明的基础上, 给出三角函数两角和差的余弦公式的坐标法证明, 两直角三角形结合法证明三角函数两角和差的正弦公式和坐标法——余弦定理.证明三角函数两角和差的余弦公式的三种方法.

关键词：三角函数,两角和差的正余弦,公式证明,单位园

参考文献

[1]人民教育出版社课程教材研究所.数学4必修A版[M].北京:人民教育出版社, 2007:125.

篇4：两角和公式证明

【关键词】 平方关系 切割化弦 辅助角

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2013）03-023-01

一、 同角三角函数的基本关系的疑问解答

1. 如何已知任意角的一个函数值求其他几个函数值？

利用周角三角函数关生系求值，主要涉及三类问题：①定值定象限问题，这种问题求解三角函数值，只有一组结果；②定值不定象限问题，这种问题求解三角函数值，有两组结果；③不定值不定象限问题，这种问题求解三角函数值，需按象限角与轴线角进行讨论，从形式上看其结果有两组。

2. 如何利用同角三角函数关系来求值，化简与证明？

在计算、化简或证明三角函数时，常用的技巧有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切；多项式运算技巧的运用，如因式分解等；条件与结论的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用。

3. 何时使用“平方关系”的代换解决同角三角函数问题？

一般来说，当题中条件有正弦与余弦平方式的求值、化简或证明时，或者待求的参数值是通过同角的正弦与余弦来表示，常考虑通过平方，创造条件。比如，在条件中即出现了sinα+cosα又出现了sinαcosα，则需要考虑将进行平方利用平方关系。

4. 何时进行切与弦的转化？

通常在同一个条件关系中，即出现了正弦与余弦，又出现了正切（余切），要求值或证明相关命题，往往可考虑将弦化为切或将切转化为弦的形式，何时将弦化为切，何时将切化为弦，要视具体的题目而定。

二、两角和与差的三角函数

1. 如何推导两角差的余弦公式，其他公式是如何由此演变出来的？

首先运用向量的方法对公式C（α-β）进行推导，通过两个向量数量积的非坐标表达式和坐标表达式相等得到。对于其它公式的推导，则使用代换思想及诱导公式进行推导。比如，在C（α-β）用-β代换β得到C（α+β）；而公式S（α+β）的推导应先利用诱导公式，再借助C（α-β）公式即可推出，即：sin（α+β）=cos（■-α-β）=cos（■-α）cosβ+sin（■-α）sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ；公式T（α+β） 的推导应用了弦化切的思想，但要注意结果应使用tanα、tanβ及使其和与差角的正切有意义的角范围。

2. 利用两角和与差的三角函数公式应注意哪些问题？

（1）要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式；（2）注意分角、并角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式；（3）注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换。

3. 角度变换常用的思路有哪些？

在三角函数的化简、求值、证明中，常要根据已知角与目标角之间的显性或隐性的关系，通过角度变换，利用诱导公式或两角和与差的公式，来寻找解题捷径，从而把未知变成已知，使问题得到合理的解决。

4. 什么是辅助角公式？

遇到形如asinα+bcosα的代数式，常需引入辅助角φ，将asinα+bcosα利用两角和与差的正弦公式化为：asinα+bcosα=■sin（α+φ）（其中φ角所在的象限由a、b的符号确定，φ角的值由tanφ=■确定）。特别地，当a=b=1时，有sinα+cosα=■sin（α+■）。

5. 在求角或证明时，已知条件中的角与待求或待证的角如何相互表示？

在利用两角和与差的三角函数公式进行化简、求值与证明的题型中，常要根据函数名与角度的差异进行角度变换。若将已知三角函数值或相关等式中的角称为条件角，而将待求的目标函数中的角称为目标角，则这两种角何时用哪个角表示另一个角，在不同的题型中是有所区别的。

6. 如何求非特殊角的三角函数值？

非特殊角的求值难度比较大，对我们熟练掌握公式并灵活运用的要求比较高。一般来说，要依据题中非特殊角之间的联系与差异，利用两角和与差公式求解。本着三角函数的实质是“由角到值”，也就是先利用运算关系变出所需角，再运用和差角求解。

7. 注意点有哪些？

篇5：两角和公式证明

教学目标

知识目标：两角和的正切公式；两角差的正切公式 能力目标：掌握T（α＋β），T（α－β)的推导及特征；能用它们进行有关求值、化简

情感态度：提高学生简单的推理能力；培养学生的应用意识；提高学生的数学素质 教学重点

两角和与差的正切公式的推导及特征 教学难点

灵活应用公式进行化简、求值.教学过程

Ⅰ.复习回顾

首先，我们来回顾一下前面所推导两角和与差的余弦、正弦公式.(学生作答，老师板书)sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ（S（α＋β））sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ（S（α－β））cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ（C（α＋β））cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ（C（α－β））

要准确把握上述各公式的结构特征.Ⅱ.讲授新课

一、推导公式

［师］上述公式结合同角三角函数的基本关系式，我们不难得出： 当cos（α＋β）≠0时

tan（α＋β）＝sin()sincoscossin cos()coscossinasin如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0，我们可以 将分子、分母都除以cosαcosβ，从而得到： tan（α＋β）＝tantan

1tantan不难发现，这一式子描述了两角α与β的和的正切与这两角的正切的关系.同理可得：tan（α－β）＝tantan

1tantan或将上式中的β用－β代替，也可得到此式.这一式子又描述了两角α与β的差的正切与这两角的正切的关系.所以，我们将这两式分别称为两角和的正切公式、两角差的正切公式，简记为T（α＋β），T（α－β）.但要注意：运用公式T（α±β）时必须限定α、β、α±β都不等于因为tan（＋kπ）不存在.2＋kπ（k∈Z）.2二、例题讲解

［例1］不查表求tan75°，tan15°的值.解：tan75°＝tan（45°＋30°）＝tan45tan30

1tan45tan30 313＝=2+3 313tan15°＝tan（45°－30°）

3tan45tan30323 ＝＝1tan45tan303131［例2］求下列各式的值（1）tan71tan26

1tan71tan261tan275（2）

tan75(1)分析：观察题目结构，联想学过的公式，不难看出可用两角差的正切公式.解：tan71tan26

1tan71tan26＝tan（71°－26°）＝tan45°＝1(2)分析：虽不可直接使用两角和的正切公式，但经过变形可使用之求解.解：由tan150°＝tan（75°＋75°）＝1tan2751tan275得：＝2²

tan752tan752tan75

1tan275＝2²1＝2cot150° tan150＝2cot（180°－30°）＝－2cot30°＝－23 ［例3］利用和角公式计算1tan15的值.1tan15tan45tan15

1tan45tan15分析：因为tan45°＝1，所以原式可看成这样,我们可以运用正切的和角公式，把原式化为tan（45°＋15°）,从而求得原式的值.解：∵tan45°＝1 ∴1tan15tan45tan15

1tan151tan45tan15＝tan（45°＋15°)＝tan60° ＝3

课后作业

篇6：两角和公式证明

化简要求：

1）能求出值应求值?

2）使三角函数种类最少

3）项数尽量少

4）尽量使分母中不含三角函数

5）尽量不带有根号

常用化简方法：

线切互化，异名化同名，异角化同角，角的变换，通分，逆用三角公式，正用三角公式。

例

1、三角函数式给值求值：

给值求值是三角函数式求值的重点题型，解决给值求值问题关键：找已知式与所求式之间的角、运算以及函数的差异，角的变换是常用技巧，给值求值问题往往带有隐含条件，即角的范围，解答时要特别注意对隐含条件的讨论。

例

2、三角函数给值求角

此类问题是三角函数式求值中的难点，一是确定角的范围，二是选择适当的三角函数。

解决此类题的一般步骤是：

1）求角的某一三角函数值

2）确定角的范围

3）求角的值

例3.总结：

解决三角函数式求值化简问题，要遵循“三看”原则：

①看角，通过角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，尽量向特殊? 角和可计算角转化，从而正确使用公式。

②看函数名，找出函数名称之间的差异，把不同名称的等式尽量化成 同名或相近名称的等式，常用方法有切化弦、弦化切。

③看式子结构特征，分析式子的结构特征，看是否满足三角函数公式，若有分式，应通分，可部分项通分，也可全部项通分。

篇7：两角和公式证明

（三）●知识梳理 1.化简要求

（1）能求出值的应求出值.（2）使三角函数种数、项数尽量少；分母尽量不含三角函数；被开方式尽量不含三角函数.2.化简常用方法

（1）活用公式（包括正用、逆用、变形用）.（2）切割化弦、异名化同名、异角化同角等.3.常用技巧

（1）注意特殊角的三角函数与特殊值的互化.（2）注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本性质.（3）注意利用角与角之间的隐含关系.（4）注意利用“1”的恒等变形.●点击双基

3+sinαsinβ的一组α、β的值是 213π3πππA.α=，β=

B.α=，β=

124231.满足cosαcosβ=C.α=ππ，β=

D.α=

ππ，β= 36解析：由已知得cos（α+β）=答案：A 2.已知tanα和tan（A.b=a+c

C.c=b+a

3，代入检验得A.2π－α）是方程ax2+bx+c=0的两个根，则a、b、c的关系是

4B.2b=a+c D.c=ab

πbbtantan（），π4a解析：∴tan=a=1.cπc4tantan1（），a4a∴－bc=1－.∴－b=a－c.∴c=a+b.aasinxcosx的值域为

1sinxcosx答案：C 3.f（x）=A.（－3－1，－1）∪（－1，3－1）B.［C.（2121，－1）∪（－1，］ 223131，）22第1页（共7页）

D.［2121，］ 22π）∈［－2，－1）∪（－1，2］，4解析：令t=sinx+cosx=2sin（x+t212121t1则f（x）=2=∈［，－1）∪（－1，］.1t222答案：B 4.已知cosα－cosβ=

11，sinα－sinβ=，则cos（α－β）=_______.2311，（sinα－sinβ）2=.491359.∴cos（α－β）=.3672解析：（cosα－cosβ）2=两式相加，得2－2cos（α－β）=答案：59 72●典例剖析 【例1】 求证：sin（2）sin－2cos（α+β）=.sinsin剖析：先转换命题，只需证sin（2α+β）－2cos（α+β）·sinα=sinβ，再利用角的关系：2α+β=（α+β）+α，（α+β）－α=β可证得结论.证明：sin（2α+β）－2cos（α+β）sinα =sin［（α+β）+α］－2cos（α+β）sinα

=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα－2cos（α+β）sinα =sin（α+β）cosα－cos（α+β）sinα=sin［（α+β）－α］=sinβ.两边同除以sinα得 sin（2）sin－2cos（α+β）=.sinsin评述：证明三角恒等式，可先从两边的角入手——变角，将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略.【例2】 P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=2α，求证：椭圆的离心率为e=2cosα－1.剖析：依据椭圆的定义2a=|PF1|+|PF2|，2c=|F1F2|，∴e=在△PF1F2中解此三角即可得证.证明：在△PF1F2中，由正弦定理知

2c.2a|PF1||PF2||F1F2|==.sin2sinsin（π3）第2页（共7页）

由比例的性质得|F1F2||PF1||PF2|= sin3sin2sin|F1F2|sincos2cossin2sin3e===

|PF1||PF2|sin2sinsin2sincos2sin（2cos2）2sincos2=

sin（12cos）4cos21==2cosα－1.2cos评述：恰当地利用比例的性质有事半功倍之效.深化拓展

求cot10°－4cos10°的值.分析：给出非特殊角，怎样化为特殊角或非特殊角，互相抵消、约分求出值.提示：cot10°－4cos10° =cos10cos102sin20－4cos10°=

sin10sin1031cos20sin202sin20cos（3020）2sin202==2

sin10sin1033cos20sin203sin（3020）2=2==3.sin10sin10答案：3.●闯关训练

夯实基础

1.（2003年高考新课程卷）已知x∈（－A.7 24π4，0），cosx=，则tan2x等于 2B.－

4C.24 7

D.－

7解析：∵cosx=4π33，x∈（－，0），∴sinx=－.∴tanx=－.525432tanx2=－3×16=－24.∴tan2x==

2771tan2x1916答案：D 2.（2004年春季北京）已知sin（θ+π）＜0，cos（θ－π）＞0，则下列不等关系中必定成立的是

A.tanC.sin2＜cot＜cos2

B.tanD.sin

2＞cot＞cos

2 2222第3页（共7页）

解析：由已知得sinθ＞0，cosθ＜0，则tan

2－cot

2sin2－2cos=cos2=－2cos＞0.sinsin2∴tan2＞cot2.答案：B 3.下列四个命题中的假命题是

A.存在这样的α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ B.不存在无穷多个α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ C.对于任意的α、β，cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ

D.不存在这样的α、β，使得cos（α+β）≠cosαcosβ－sinαsinβ

解析：由cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ=cosαcosβ－sinαsinβ，得 sinαsinβ=0.∴α=kπ或β=kπ（k∈Z）.答案：B 4.函数y=5sinx+cos2x的最大值是_______.解析：y=5sinx+cos2x=5sinx+1－2sin2x=－2（sinx－

5233）+.48∴sinx=1时，ymax=4.答案：4 5.求周长为定值L（L＞0）的直角三角形的面积的最大值.L解法一：a+b+a2b2=L≥2ab+2ab.∴ab≤.22∴S=

L（22）L23222111ab≤（）2=·［］=L.2422222解法二：设a=csinθ，b=ccosθ.∵a+b+c=L，∴c（1+sinθ+cosθ）=L.∴c=

L1sincos.sincosL212∴S=csinθcosθ=.22（21sincos）设sinθ+cosθ=t∈（1，2］，t212L2L2L23222t1L222则S=·=·=（1－）≤（1－）=L.22（4444t1t11t）216.（2004年湖南，17）已知sin（2sin2α+tanα－cotα－1的值.ππ1ππ+2α）·sin（－2α）=，α∈（，），求44442第4页（共7页）

解：由sin（α）=ππππ1π+2α）·sin（－2α）=sin（+2α）·cos（+2α）=sin（+4444422111cos4α=，得cos4α=.242ππ5π，），所以α=.4212又α∈（sin2cos22cos2于是2sinα+tanα－cotα－1=－cos2α+=－cos2α+

sincossin25π5π=－（cos2α+2cot2α）=－（cos+2cot）

662=－（－35－23）=22培养能力

3.7.求证：1sin2sin21tan2.2=1tan22（sincos）cossin1sin2222，证明：左边===

coscos2sin2cossin2222sin1cos22=coscos2sinsin2，右边=sin1cos2222∵左边=右边，∴原式成立.8.（2005年春季北京，15）在△ABC中，sinA+cosA=

2，AC=2，AB=3，求tanA的值2和△ABC的面积.分析：本题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力.21，∴cos（A－45°）=.22又0°＜A＜180°，∴A－45°=60°，A=105°.解法一：∵sinA+cosA=2cos（A－45°）=∴tanA=tan（45°+60°）=

1313=－2－3.∴sinA=sin105°=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=∴S△ABC=1AC·ABsinA 2第5页（共7页）

26.4

=2631·2·3·=（2+6）.4242，2解法二：∵sinA+cosA=∴（sinA+cosA）2=

①

11.∴2sinAcosA=－.223，2∵0°＜A＜180°，∴sinA＞0，cosA＜0.∴90°＜A＜180°.∵（sinA－cosA）2=1－2sinAcosA=∴sinA－cosA=①+②得sinA=①－②得cosA=6.②

26.426.4∴tanA=

426sinA=·=－2－3.4cosA26（以下同解法一）

探究创新

9.锐角x、y满足sinycscx=cos（x+y）且x+y≠

π，求tany的最大值.2解：∵sinycscx=cos（x+y），∴sinycscx=cosxcosy－sinxsiny，siny（sinx+cscx）=cosxcosy.∴tany=

sinxcosxtanxtanx2cosxsinxcosx===≤=，4sinxcscx1sinx2sin2xcos2x12tan2x22tanx2时取等号.22.4当且仅当tanx=∴tany的最大值为●思悟小结

1.证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归

一、变更命题等方法，使等式两端的“异”化为“同”.2.条件等式的证明，通过认真观察，发现已知条件和待证等式之间的关系，选择适当的途径把条件用上去.常用方法有代入法、消去法、综合法（即从已知条件出发，以待证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出待证式）、分析法等.3.三角函数的应用主要是借用三角函数的值域求最值，这首先应将原函数通过降幂、辅助角公式等化成y=Asin（ωx+）（A≠0，ω＞0）的形式，或者通过换元转化成二次函数，然后再求之.●教师下载中心 教学点睛

1.三角恒等式的证明实际上就是三角函数式的化简过程.2.有条件的三角函数求值有两个关键：①三角函数各关系式及常用公式的熟练应用.②条

第6页（共7页）

件的合理应用：注意条件的整体功能，注意将条件适当简化、整理或重新改造组合，使其与所计算的式子更加吻合.3.注意方程思想的应用.拓展题例

【例1】 试证：tan（1sin）sintansin=.tan（1sin）sintansinsin（1sin）sin证明：左边=cos

sin（1sin）sincos1sincos=sincos2sin2sin2coscos22cos22sin22=

cos=

2222=cot，2sin2sinsin1coscos右边==

sinsinsincos2cos22=2sin2cos2=cot2，∴原等式成立.【例2】 已知α、β∈（0，β的值.解：∵4tan

π），3sinβ=sin（2α+β），4tan=1－tan2.求α+4221.22=1－tan2

2，∴2·tanα=1，tanα=∵3sinβ=sin（2α+β），∴3sinβ=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα.∴3sin（α+β）cosα－3cos（α+β）sinα =sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα.∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα.∴tan（α+β）=2tanα=1.∴α+β=

篇8：两角和与差的正切公式的应用

一、正用

例1 已知tan (α+β) =3, tan (α-β) =5, 求tan2α与tan2β的值.

解析:注意到 (α+β) + (α-β) =2α, (α+β) - (α-β) =2β, 所以

undefined

例2 已知tanα, tanβ是方程x2+6x+7=0的两个根, 求证sin (α+β) =cos (α+β) .

解析:易知tanα+tanβ=-6, tanα+tanβ=7, 所以undefined, 所以sin (α+β) =cos (α+β) .

例3 在△ABC中, 已知tanA, tanB是方程undefined的两个根, 求内角C的度数.

解析:易知undefined, 所以undefined.因为A, B是三角形ABC的内角, 所以undefined

例4 已知tanα, tanβ是方程mx2+ (2m-3) x+ (m-2) =0的两根, 求tan (α+β) 的最小值.

解析:易知m≠0且Δ= (2m-3) 2-4m (m-2) ≥0, 解得undefined及m≠0.又undefined, 所以undefined.因为undefined且m≠0, 所以undefined, 即undefined

二、逆用

例5 求undefined的值.

undefined

例6 求undefined的值.

解析:原式undefined

例7 求undefined的值.

undefined

例8 已知undefined, 求undefined的值.

解析:undefined.所以undefined

三、变用 公式undefined可变形为tanα±tanβ=tan (α±β) (1∓tanαtanβ) .

例9 求undefined的值.

解析:由于undefined, 所以undefined

例10 求tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°的值.

解析:原式=tan30° (tan20°+tan40°) +tan40°tan20°=tan30°tan (20°+40°) (1-tan20°tan40°) +tan40tan20°=1-tan20tan40°+tan40tan20°=1.

例11 已知α+β=15°, 求

undefined的值.

undefined

例12 在△ABC中, undefined, 求A.

解析:由题设知undefined又tanB+tanC=tan (B+C) (1-tanBtanC) (1-tanBtanC≠0, 否则与条件不符) , 所以undefined, 所以undefined, 所以undefined

例13 在△ABC中, 若角A、B、C成等差数列, 求undefined的值.

解析:易知undefined.于是

undefined

例14 求 (1+tan1°) (1+tan2°) … (1+tan44°) 的值.

解析:因为 (1+tan1°) (1+tan44°) =tan1°+tan44°+tan1°tan44°+1=tan45° (1-tan1°tan44°) +tan1°tan44°+1=2.同理可得 (1+tan2°) (1+tan43°) =2, …, (1+tan22°) (1+tan23°) =2, 所以原式=222.

篇9：关于《两角差的余弦公式》的教案

教材选自人民教育出版社出版的《普通高中课程标准试验教科书·数学(A版)》(必修Ⅳ。P124-P127)

三维目标:

1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质。

2.通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化地观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力。

教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式。

教学难点:探究过程的组织和适当引导。

教学方法:

探究归纳、合作交流、演绎推理等。

教学用具:

【教师】三角板、圆规、彩色粉笔

【学生】练习本、圆规、三角板、铅笔等。

教学过程

导入新课:

(复习导入)我们都知道 ,由此我们能否得到这里是不是等于呢

?(稍停顿让学生验证)经过验证,我们的猜想是错误的。那么究竟是个什么关系呢? 等于什么呢?由此展开新课:我们一起来探讨“两角差的余弦公式”。这是全章公式的基础。

推进新课:

提出问题:①请学生猜想

设计意图:使学生明确常犯的直觉性错误为什么是错的/

②你认为要获得相应的表达式需要哪些已学过的知识?

设计意图:加强新旧知识间的联系。

③怎样联系单位圆上的三角函数线来探索公式?

设计意图:使学生从直观角度加强对差角公式结构形式的认识。

【活动】问题①出示后,让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学可能就首先想到 的结论,此时教师适当的点拨,然后让学生由特殊角来验证它的正确性。

刚才的问题的解答,则,

而,这一反例足以说明。

让学生明白,要想说明猜想正确,需要进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即可。

问题②③,既然,那么究竟等于什么呢?由于这里涉及的是三角函数的问题,是 这个角的余弦问题,我们能否利用单位圆上的三角函数线来探究呢?

提出问题:①细心观察公式的结构,它有哪些特征?其中角α、β的取值范围如何?

设计意图:让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆,特别是运算符号,左“—”右“+”。

跟踪练习:; 。

知能训练:P127课本本节练习

1.利用公式证明:(1) ;(2) 。。

2.已知求 的值。

3.已知,θ是第二象限角,求 的值。

4.已知,求的值。

课堂小结:

1.先由学生自己思考回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正运、逆运,还可变形运及掌握变角和拆角的思想方法解决问题。然后引导学生围绕以下知识点小结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究?(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和功能的认识:三角变换的特点。

2.教师画龙点睛:本节要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号。多对题目进行一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的。

布置作业:P137课本习题3.1 A组2、3、4、5。

教学设计感想与反思:

【感想】本节课是典型的公式教学模式,因此本节课的设计流程为“实际问题猜想探索推导记忆应用”。充分展示了公式教学中以学生为主体,进行主动探索数学知识发生、发展的过程。同时充分发挥教师的主导作用,引导学生利用旧知识推导、证明新知识,并学会记忆公式的方法,灵活运用公式解决实际问题,从而培养学生独立探索数学知识的能力,增强学生的应用意识,激发学生学习的积极性。

纵观本教案的设计,学生发现推导出公式后就是应用,同时如何训练公式的正运、逆运,变形运也是本节的重点难点。而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律,又发现了怎样逆运公式及或用公式,那才是深层的,那才是我们中学数学教育的最终目的。

【反思】教学把握得当。运用探究性教学方式,积极调动学生的主动性,大力培养学生的开放性思维,按照新课改的要求制定了适合学生实际水平的教学目标。精心组织教学语言,专业用语,规范用语,解题程序和步骤,教具准备充分到位,起到模范的作用。

课堂采取灵活多样的教学方法。既有教师的讲解,又有个别提问,这样就充分调动了学生探索新知识的积极性,发挥了学生的主体作用,做到了寓学于乐。