《用比例解决问题》数学教案

《用比例解决问题》数学教案（共15篇）

篇1：《用比例解决问题》数学教案

《 用比例解决问题》教案

教学内容：教材第59—60页例

5、例6。教学目标：知识与技能

（1）使学生进一步熟练地判断成正、反比例的量。（2）使学生能用比例方法正确解答比较简单的应用题。（3）培养学生的分析、判断、推理能力。

过程与方法

经历用比例方法解答问题的过程，体验解决问题的策略，培养和发展学生的发散思维。情感态度与价值观

感受数学知识与实际生活的密切联系，培养应用数学的能力。体验解决问题的乐趣，激发学习兴趣，培养肯动脑思考的良好学习习惯。教学重点、难点：

重难点：

会用比例知识解决实际问题。

突破方法：通过问题引导学生合作探究解决问题。教法与学法：教法：创设情景，质疑引导。

学法：理解分析与合作交流相结合。教学准备：小黑板（或课件）教学过程：

一．复习准备

（1）判断下面每题中的两种量成什么比例关系。

① 单价一定，总价和数量。

② 每小时耕地的公顷数一定，耕地的总公顷数和时间。

③ 全校学生做操，每行站的人数和行数。（2）引入新课

教师：我们已经学习了比例、正比例和反比例的意义，还学习了解比例。这节课我们就应用这些比例的知识来解决一些实际问题。（板书：用比例解决问题）二．探究新知（1)创设情境。

①教师：出示教材第59页的情景图，引导学生观察。

学生：描述图上的内容

②从图上你了解到那些数学信息？指明学生说一说。（2）教学例5。（学生读题）

张大妈家上个月用了8吨水，水费是12.8元。李奶奶家用了10吨水，需要多少钱？

①想一想：怎样计算呢？引导学生寻找条件，独立思考，列式算一算，在小组中交流。②指名说一说计算方法。学生可能的计算：12.8÷8×10

=1.6×10

=16（元）

③还有其他的解决方法吗？

引导学生思考，教师说明：这样的问题可以应用比例的知识来解答。

④教师：问题中有哪两种量？它们成什么比例关系？你是根据什么判断的？根据这样的比例关系，你能列出等式吗？

⑤指名汇报。说一说解答方法。汇报时显示可能会说出: 因为每吨水的价钱一定，所以水费和用水的吨数成正比例。

也就是说，两家的水费和用水的吨数的比值是相等的。⑥组织学生设未知数，根据正比例的意义列方程解答。指名板演，集体订正。⑦指名检验。⑧教师：王大爷家上个月的水费是19.2元，他们家上个月用了多少吨水？ 组织学生独立思考、独立练习，然后交流。（3）教学例6。

①教师出示例6题目，组织学生读题，弄清题意。

②组织学生在小组中讨论、交流解答方法。指名汇报可能说出：

因为书的总数一定，所以包数和每包的本数成反比例，也就是说，每包的本数和包数的积相等。

③指名板演，其余同学在练习本上解答，集体订正。

解：设要捆x包。

30X=20×18

30X=360 X=360÷30 X=12

答：要捆12包。

④如果要捆15包呢，每包多少本？

组织学生独立思考、独立练习，然后在全班进行交流。三．应用反馈

教材第60页“做一做”第1、2题

（1）先组织学生读题，理解题意。

（2)指名学生板演，集体订正。四．课堂作业

教材第62页练习九第5题。板书设计

用比例解决问题

例5

解：设李奶奶家上个月的水费是X元。

例6 解：设要捆X包。

12.88=X10 30X=20×18

8X =12.8×10

30X=360

X=128÷8 X=16 答：李奶奶家上个月的水费是16元。

X=360÷30 X=12

答：要捆12包。

篇2：《用比例解决问题》数学教案

主备人：黄菊芳

教学目标：

1、学会用比例知识解答以前学过的用归

一、归总方法解答的应用题的解题思路，能进一步熟练地判断成正、反比例的量，加深对正、反比例概念的理解，沟通知识间的联系。

2、提高对应用题数量关系的分析能力和对正、反比例的判断能力。教学重点：用比例知识解答比较容易的归

一、归总应用题。教学难点：正确分析题中的比例关系，列出方程。教学过程：

一、以情激情。（课件出示）

1、判断下面每题中的两种量成什么比例？

（1）速度一定，路程和时间．（2）路程一定，速度和时间．（3）单价一定，总价和数量．（4）每小时耕地的公顷数一定，耕地的总公顷数和时间．（5）全校学生做操，每行站的人数和站的行数．

2、下面各题中各有哪三种量？那种量一定？哪两种量是变化的？变化的规律怎样？它们成什么比例？你能列出等式吗？（1）用一批纸装订练习本，每本30页，可装订200本，每本50页，可装订120本。（2）张大妈家上个月用了5吨水，水费是10元。照这样计算，李奶奶家用了10吨水，水费是20元。我们已经学习了比例，比例的基本性质，正比例，反比例，今天这节课我们就运用比例的知识来解决实际问题。板书课题：用比例解决问题。

二、出示目标：

1、进一步熟练地判断成正、反比例的量。

2、学会用比例知识解答比较容易的应用题

三、自主探究。

例5：张大妈家上个月用了8吨水，水费是12.8元。照这样计算，李奶奶家用了10吨水，水费是多少元？ 自学指导一：

1、理解题意，用以前学过的方法解答。

2、题中有哪两种量？它们成什么比例关系？并说出理由。

3、根据这样的比例关系，设李奶奶家上个月的水费是x元钱。你能列出等式吗？

4、解比例，检验，作答。

解：设李奶奶家上个月的水费是χ元。

8χ＝ 12.8×10 χ＝128÷8 χ＝ 16 答：李奶奶家上个月的水费是16元。

例6：一批书，如果每包20本，要捆18包，如果每包30本，要捆多少包？ 自学指导二：

1、题中有哪两种量？它们成什么比例关系？并说出理由。

2、根据这样的比例关系，设要捆x包。你能列出等式吗？ 3解比例，检验，作答。

交流总结：解答用正、反比例解的应用题的步骤：

1、判断题中哪两种量是相关联的量？成不成比例？成什么比例？

2、设未知数X，注上单位名称。

3、根据正、反比例的意义列出比例式。

4、解比例。

5、检验、作答。四．巩固延伸：

1、食堂买3桶油用780元，照这样计算，买8桶油要用多少钱？

2、同学们做广播操，每行站20人，正好站18行．如果每行站24人，可以站多少行？ 3、500千克的海水中含盐25千克，120吨的海水含盐几吨？

五、课堂小结。

今天这节课你有什么收获？能说给大家听听吗？用比例知识解决问题的关键是什么？

六、课堂作业。

篇3：巧用比例法解决浮力难题

笔者总结了一些浮力问题, 可以利用比例的方法巧妙地解决, 省时省力!

【类型一】当ρ液相同时, v排不同导致浮力不同。

[例1]一个石块, 将其一半浸入水中时, 测得浮力大小为9.8N, 若将其全部浸入水中, 所受浮力大小为多少?

常规解法:

当其一半浸入水中, 所受浮力F浮1 = ρ水gv排1

则v排1 = F浮1 / (ρ”水g) = 9.8/ (1000×9.8) = 10-3m3

当其浸没时, v排2 = 2v排1 = 2×10-3m3

浸没时, 浮力F浮2 = ρ水gv排2=1000×9.8×2×10-3=19.6 N

比例解法:

浸入一半体积时F浮1 = ρ水g v排1

全部浸没时, F浮2 = ρ水gv排2

由于浸入同种液体中, ρ水相同, 则F浮2/ F浮1 = v排2/ v排1

即F浮2 = (v排2/ v排1) F浮1 = (2/1) ×9.8N = 19.6N

【类型二】当v排相同时, ρ液不同导致浮力不同。

[例2]一个石块, 将其浸没水中, 所受浮力大小为9.8N, 若将其浸没在酒精中, 所受浮力大小为多少?

常规解法:

当其浸没水中, 所受浮力F浮1 = ρ水gv排

则v排 = F浮1 / (ρ水g) = 9.8/ (1000×9.8) = 10-3m3

当其浸没在酒精中, v排不变, 浮力F浮2 = ρ酒精gv排=800×9.8×10-3=7.84 N

比例解法:

当其浸没在水中时, F浮1 = ρ水gv排

当其浸没在酒精中时, F浮2 = ρ酒精gv排

由于都是浸没, v排相同, 则F浮2/ F浮1 = ρ酒精/ρ水

即F浮2 = (ρ酒精/ρ水) F浮1 = (0.8/1) ×9.8 = 7.84N

【类型三】物体浸没时, 由于ρ物、ρ液不同, 而使G物、F浮、F测不同。

[例3]用弹簧秤悬吊一只重8.9N的实心铜球, 将其浸没在水中, 弹簧秤的示数是多少? (g=10N/kg)

常规解法:

计算铜球的体积, v铜=m铜/ρ铜=G铜/ (ρ铜g) =8.9/ (8900×10) =10-4m3

当铜球浸没在水中, v排=v铜=10-4m3

铜球浸没在水中所受浮力, F浮 = ρ水gv排=1000×10×10-4=1N

弹簧秤拉力, F测=G铜-F浮=8.9-1=7.9N

比例解法:

当用弹簧秤悬吊铜球, 将其浸没在水中铜球所受重力, G铜=m铜g=ρ铜v铜g 。铜球所受浮力, F浮=ρ水gv排。

由于铜球浸没在水中, v排=v铜

则F浮/ G铜=ρ水/ρ铜=10/89

弹簧秤拉力F测= G铜-F浮, 则F测/ G铜= (G铜-F浮) / G铜= (89-10) 89=79/89

F测= (79/89) ×8.9=7.9N

[例4]用弹簧秤分别悬吊实心铜球和实心铝球, 将其浸没在水中, 弹簧秤的示数相同。则实心铜球与铝球谁更重?

常规解法:

由于本题几乎没有数据, 要计算一些量, 根本无从算起, 使用常规方法解决起来非常困难。

比例解法:

例3中已经证明用弹簧秤悬吊实心铜球浸没在水中, 铜球所受重力、浮力与弹簧秤拉力的比例为:G铜:F浮:F测=89:10:79, 设弹簧秤是为F0, 则G铜= (89/79) F0

同理, 用弹簧秤悬吊实心铝球浸没在水中, 铝球所受重力、浮力与弹簧秤拉力的比例为:G铝:F浮:F测=27:10:17, 设弹簧秤是为F0, 则G铝= (27/17) F0

很明显, G铝 > G铜

点评:通过前两个类型的解法对比可以发现, 常规解法要将v排计算出来, 步骤多、计算量大。而比例解法巧妙地利用物理量之间的比例关系, 直接求解, 更为快捷方便。

在第三个类型的问题中, 浸没的物体所受重力、浮力、拉力往往存在一定的比例关系。如浸没在水中的实心铜球, G铜:F浮:F测=89:10:79

则浸没在水中的实心铁球, G铁:F浮:F测=79:10:69

则浸没在水中的实心铝球, G铝:F浮:F测=27:10:17

篇4：《用比例解决问题》数学教案

一、组内“小交流”，巩固旧知识

合作学习的基础是小组合作，小组合作学习的最好体现是“一帮一”，结成“学习对子”。我班的学习小组每4人一组，按照成绩分为A、B、C、D四个等级，为淡化等级，为学生编号为1号、2号、3号、4号，同桌关系是：1号～4号，2号～3号，组内的搭配除了成绩等级的搭配，还注重了男女生性别的搭配，性格的搭配。“一对一”这样的小交流有什么好处呢？因为复习的是旧知识，1、2号同学掌握比较好，掌握不太好的一般是3、4号同学，他们相对来说缺乏自信，也不太愿意表达。而“一对一”交流，正是给了他们一个锻炼的“小空间”，在这个小空间里，他（她）面对的只是一个好朋友，一个小老师，就不会那么拘谨。

《用比例知识解决问题》是人教版数学六年级下册“比和比例”部分第二课时的复习课，主要是利用比例知识来解决实际问题。在复习时我围绕以下几个知识点设计了交流问题。①正比例的意义；用字母表示正比例关系式。②反比例的意义；用字母表示反比例关系式。③探讨正反比例的相同点和不同点。④怎样判断两种量成正比例还是成反比例？以上的知识点，要求学生“一对一”来进行交流，一般安排3、4号同学讲解。交流的方法是4号说给1号听，3号说给2号听，当3、4号同学在独立思考后，把想法说给1、2号听，1、2号同学倾听、检查他们对知识的掌握情况，针对存在的知识漏洞，耐心辅导，帮他们梳理好每个知识点。

复习例题后，接着是对知识的巩固练习，教师出示练习题，学生独立解决，老师巡视指导，但是短时间内，老师指导的人数有限，而1、2号同学是优等生，通常会先做完题目，这时他们会像“小老师”一样主动去观察同桌掌握的情况，看是否遇到了问题，哪些知识是他们不明白的地方，必要时会给与引导或者具体讲解。同桌间解决不了的问题，可以向组长或其他组请教，学生组内进行一对一指导避免了老师对学困生的指导遗漏，很多问题在本组内轻轻松松就解决了。通过“小交流”这个舞台，3、4号同学锻炼了思维，增强了自信，体会到学习数学的乐趣，不善言谈的学生也打开了话匣子，有了表现的欲望，“小老师”参与辅导，则提升了能力，小组成员一起巩固了知识，为下一步的例题探究和检测提升打下基础。

二、小组“大合作”，交流增自信

复习完知识点后，紧接着是对例题的探究学习。

1、出示例题：李阿姨是剪纸艺人。平时李阿姨每天工作6小时，剪出72张纸；节日期间，李阿姨每天要工作8小时，能剪出96张剪纸。①写出李阿姨平时和节日期间剪纸张数及相应工作时间的比。②上面两个比能组成比例吗？为什么？③如果李阿姨要剪出120张剪纸，需要多少小时？（分别用比例知识和算术法解答）对每一环节的合作学习都要有明确的要求，本环节要求是：

A、请大家先认真审题，独立思考解答以上几个问题。

B、先完成的同学对同桌做题情况进行观察，必要时给予引导。

C、小组4人进行交流。

2、学生按老师的要求井然有序地进行活动。每个学生先独立探究知识，解决问题，先做完的同学对同桌进行疑难辅导，生生间的交流，使课堂气氛活跃起来，这种活跃不是表面现象，而是一种实实在在的思想交流和思维碰撞。小范围指导后，学习组长组织4人一起交流探究的结果，他会把几个问题分配给小组成员讲解，在一名同学讲解时，其他同学都是倾听者，对于不足处也可进行补充。同学们交流时，把自己的结论和解题过程展示出来，使每个同学都能从其他同学那里学到更多解题方法，培养学生多视角看问题和善于从别人身上取长补短的习惯。这样学习小组一起合作，既检阅了本组同学对知识的掌握，又整体梳理了知识，使组内同学倾听了别人的解题思路，又为自己在课堂的展示做好了储备。

3、小组代表汇报展示。老师在学生交流基本结束时，安排学生代表在小黑板上板书答案，展示汇报时让板书的学生详细讲解。根据交流汇报如下：①李阿姨平时剪纸张数与工作时间的比是72：6，化简后72：6=12：1；节日期间剪纸张数与工作时间的比是：96：8，化简后是96：8=12：1。②这两个比成比例，因为这两个比的比值是相等的，也就是比值一定，所以这两个比可以组成正成比例。③可以用两种方法解答：用比例解：设需要X小时，因为工效相等，所以

72：6=120：X

72X=120×6

X=10

用算术方法解：先求出工作效率，再求工作时间：

120÷（72÷6）

=120÷12

=10（小时）

学生在展示时，并不是呆板的叙述，而是像一个小老师，不但说结果和算式，也要说出理由和思路，还可以进行互动提问。任何学生在倾听时，可以进行提出疑问，展示的学生进行答疑，其他学生可以进行补充。通过本环节的学习，知识掌握不扎实的同学，在展示中进行了二次倾听，加强了记忆，巩固了知识。

三、总结加训练，反馈提能力

1、师生总结：用比例解决问题可以归纳为哪几个步骤？有了前面对问题解决，又因是复习课，学生不难说出用比例解决问题的步骤，这时不必再交流，可以指学生独立说出。老师再用课件展示步骤，加强记忆：①分析数量关系。判断成什么比例；②找等量关系。正比例的按“等比”找等量关系；反比例的用“等积”找等量关系。③设未知数为x，列比例式。④解比例。⑤验算，作答。

2、学生学习例题、巩固知识后，再用几分钟轻松地梳理一下所复习的知识点，给大脑放放电影，留一个整体印象，总结的这些知识、方法、技能也会成为今后解决相关问题的依据。

篇5：《用比例解决问题》数学教案

本节课是在学生熟练掌握简单的求一个数的几分之几是多少的应用题的基础上进行教学的。本节课是让学生画线段图来分析题意，这部分内容是让学生用不同的方法，也就是不同的解题思路来分析。从而让学生理解和掌握这种稍复杂的分数乘法应用题的数量关系，为下一步学习稍复杂的已知一个数的几分之几是多少求这个数的应用题打好基础。

【学情分析】

本节课是在学生熟练掌握简单的求一个数的几分之几是多少的应用题的基础上进行教学的，例2分析一个数量的两个部分与整体的关系，确定把什么看作单位1学生不难理解，教学时，要画线段图帮助学生理解题意，学生就不会感到有太大的困难了。例3分析的是两个量之间的关系，教学方法与例1相同。

【教学目标】

1、使学生掌握解答稍复杂的求一个数几分之几是多少的应用题的思路，并能正确解答。

2、提高学生分析解答应用题的能力，培养探索精神。

【教学重点】分析和掌握把什么量看作单位1及谁是谁的几分之几。

【教学难点】分析和理解两个数量的比校对于学生来说比较难些。

【教学过程】备注

活动一：创设情境，初步感知题意。

1、教师出示例2的情境图。

2、让学生结合图叙述题意。

活动二：动手画图，分析题意。

1、你能不能用上节课我们讲过的学习方法，借助于其它的`方法来分析一下这道的意思呢?

学生动手画线段图，分析。小组交流。

与教师共同再一次感受如何画线段图。(教师板书)

重点让学生明确谁是单位1。

2、让学生说一说是怎样想的?确定解题的思路。

3、可能会有两种不同的思路。教师让学生用自己喜欢的方法解答。

4、全班交流，订正。

5、问：这两种解法有什么区别?有什么联系?

活动三：教学例3.

教师出示例3。

1、引导学生读题，理解题意。

2、根据这句话应当把什么看单位1?

3、学生试画出线段图，分析数量关系。

4、学生自己解答。

订正时，让学生说说是怎样分析的?与全班交流。

活动四：巩固练习。

1、完成21页中的做一做。

教师要求学生画线段图。

2、完成练习五中部分练习题。

订正时，让学生说说分析的思路。

活动五：课堂小结。

篇6：《用比例解决问题》数学教案

一、教学目标：

1、加深对反比例概念的理解，掌握运用比例知识解决实际问题的方法和思路，能用反比例知识解决有关问题。

2、提高学生对应用问题数量关系的分析能力和对正、反比例的判断能力。

二、 教学重点：用比例知识解决实际问题。

三、 教学难点：正确分析题中的.数量关系，列出方程。

四、教学过程：

（一）、复习

1、成正比例和成反比例的量的判断。

2、用正比例解决问题的步骤。

一：找到题中不变的量；

二：根据不变的量写出关系式；

三：判断成什么比例；

四：列出比例式；

五：解比例。

（二）、探究新知

教学例5：一批书如果每包20本，要捆20包，如果每包30本，要捆多少包？

A．提出问题组织学生讨论：

① 问题中有哪两种量？

② 它们成什么比例关系？你是根据什么判断的？

③ 根据这样的比例关系，你能列出等式吗？

B. 根据反比例的意义列出方程并解方程。

根据比例的意义，学生独立完成，并在小组中交流。

学生汇报：

解：设要捆元。

30=

＝ 36030

＝12

答：要捆12包。

五．应用反馈 课件出示：

1. 教材60页做一做第2题。（单价乘数量等于总价，总价一定）

2. 课件上的练习题。

指名扮演，独立练习，集体订正。 巩固新知，训练解题能力。

六．课堂小结 通过这节课的学习，你有哪些收获？

篇7：《用比例解决问题》数学教案

１、教学内容：

这部分内容是再教学过比例的意义和性质，成正、反比例的量的基础上进行教学的，这是比和比例知识的综合运用。教材首先说明应用正、反比例的知识可以解决一些实际问题。例5和例6的教学应用正、反比例的意义来解的基本应用题。为了加强知识之间的联系，先让学生用以前学过的方法解答，然后教学用比例的知识解答。正、反比例应用题中所涉及到的基本问题的数量关系是学生以前学过的，并能运用算术法解答，本节课学习内容是再原有解法的基础上，通过自主参与，合作交流、发现归纳出一种用正、反比例关系解决一些基本问题的思路和计算方法。从而进一步提高学生分析解答应用题的能力。

成正、反比例的量，再生活实际中应用很广，学生再前两年的学习中，已接触过这种情况的问题，如归

一、归总应用题，只不过那时是就题论题，没有上升到一般规律。这里主要使学生学习用比例的知识来解答，再原有认识的基础上，再让学生用其他方法解答同一题目，概括出一般规律。通过解答使学生进一步熟练地判断成正、反比例的量，从而加深对正、反比例意义的理解，有利于沟通知识间的联系，也为中学的数学、物理、化学等学科中应用比例知识解决一些问题做较好的准备。同时，由于解答时是根据正、反比例意义来列等式，又可以巩固和加深对所学的简易方程的认识。所以，再教学上要十分重视从旧知识引申出新知识，再这过程中，蕴涵了抽象概括的方法，运用这个概括对新的实际问题进行判断，这是数学学习所特有的能力。

２、教学目标：

知识与技能：

1．掌握用正、反比例知识解答含有正、反比例关系问题的步骤和方法。

2．使学生熟练地判断两种相关联的量是否成正反比例，从而加深对正反比例意义的理解。

3．发展学生探究解决问题策略的能力，帮助其构建相应的知识结构。

过程与方法：

经历用比例知识解答问题的过程，体验解决问题的策略，培养和发展学生的发散思维的能力。

情感态度和价值观:

感受数学知识与实际生活的密切联系，培养应用数学的能力。体验解决问题的乐趣，激发学习兴趣，培养学生动脑思考的良好学习习惯。

教学重点：用比例知识解决实际问题

教学难点：能够正确分析题中的比例关系，列出方程

二、说学情

用比例解决问题这部分内容是学生在对比例的基本性质有了一定的建构基础以及掌握了正、反比例的意义的背景下进行探索学习的。六年级学生已经具备了一定的探索、合作、交流、自主学习的能力。相信在教师的组织和引导下一定能突破重、难点知识，从而完成教学目标。

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三、说教法学法：

１、为了实现教学目标，突出重点，解决难点，利用学生已有的解决有关基本应用题的方法和比例关系的知识，提出问题，为学生创设有效的数学活动，探究解决有关基本应用题的解题思路和计算方法。

２、采取自主探索、合作交流的学习方式，让学生通过看、想、交流等数学活动，自觉参与到知识形成的过程中，获得基本的数学知识和技能，激发学生的学习兴趣，增加学生学好数学的信心。

３、从一题多解变式练习的探究过程中，提高学生思考问题，解决问题的能力，确保数学活动的有效性。

四、说教学流程：

课程标准中指出：数学教学是数学活动的教学，这里强调的是数学活动，因此本节课的教学也是以数学活动贯穿始终的。整节课的数学活动都是以数学思考与合作交流穿插有序的进行，为学生创设一个有效的数学活动氛围。

（一）、联系生活，习旧引新：

新课程标准中指出：重视从学生的生活经验和已有的知识中学习数学和理解数学，教师应充分利用学生已有的生活经验，引导学生把所学的数学知识应用到现实中去，去体会数学再现实生活中的应用价值。遵循这一理念，我以复习导入，说先让学生说说什么是正比例，什么是反比例，接着判断各题成不成比例，成什么比例，然后结合教材中提供的素材 生活用水、包装图书等信息，让学生判断题中的相关联的量成什么比例关系，并列出等式，为下面的解决问题打下坚实的基础。

数学源于生活，生活中处处有数学，类似归

一、归总的实际问题生活中素材很多。学生再生活中也有用水收费和包装图书的经验，用学生熟悉的事情引入新知，能很好地调动学生的学习积极性。在学生在交流中提取有用的信息，为下面的探究呈现素材。

（二）、合作探索，领悟解题方法：

1、感知用比例解决问题的关键。

（1）我先组织学生用学过的方法自主解决问题，让学生对题中的数量关系有了初步的认识。

（2）接着让学生用学过的比例知识分析解答，我出示思考题，小组交流，并试着解决，让一部分学生体会到成功的喜悦，通过集体交流订正，让大家领会到解决问题的方法。

什么都可以代替，唯有思维不可代替，在这当中教师要逐渐打开学生独立思考的闸门，激发学生的求知欲，放手让学生独立思考，大胆实践，自己解答，在此基础上教师在给以指点和总结。所以在学生完成例题后，紧接着进行变式练习，进而总结解题方法，为学生独立解决例6做准备。

2、再比较中体会知识的实质。教师引导学生对上面两道题进行比较，组织学生观察、讨论、找出思考过程和计算方法上的异同点。再学生充分小组交流的基础上，引导学生形成有价值的发现和体会。

（三）、巩固应用，提升认识

1、练习的设计，紧扣例题，让学生再熟悉的比例关系中，进一步掌握用比例解决问题的方法。

2、数学源于生活又服务与生活，所以我设计的课后作业是让学生利用所学的知识测量计算学校旗杆的高度。

（四）、课堂小结

篇8：用数学思想方法解决数学问题

所谓数学思想, 是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中, 经过思维活动而产生的结果.数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识;基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想.它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征, 是解决问题的主要手段和理论基础.

1.函数思想

把某一数学问题用函数表示出来, 并且利用函数探究这个问题的一般规律, 从而解决数学问题, 这是最基本、最常用的数学方法.

例如 (2004年吉林省中考试卷第24题) , 如图, 已知一抛物线形大门, 其地面宽度AB=18 m.一同学站在门内, 在离门脚B点1 m远的D处, 垂直地面立起一根1.7 m的木杆, 其顶端恰好定在抛物线门上C处, 根据这些条件, 请你求出该大门的高度h.此题应恰当建立直角坐标系, 求出曲线所表示的二次函数, 使问题得到解决.

2.数形结合思想

把代数和几何相结合, 例如对几何问题用代数方法解答, 对代数问题用几何方法解答, 这种方法在解析几何里最常用.

例如, (1) 若有理数a, b在数轴上的对应点位置如图, 则下列结论错误的是 ( ) .

A.|a|>|b| B.|a|>-b

C.|b|>a D.|-a|<|-b|

(2) 求$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2{}^2}+\cdots +\frac{1}{2{}^n}$的值.可借助图形求出结果$1-\frac{1}{2{}^n}.$

3.分类讨论思想

当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时, 需要对这个量的各种情况进行分类讨论.比如, (1) 化简|a-1|+|a+1|的时候, 就要讨论a的取值情况. (2) 列方程解应用题:课外植物小组准备利用学校仓库的一块空地, 开辟一个面积为130 m2的矩形花圃 (如图所示) , 打算一面利用长为a m的仓库墙壁, 三面利用长为33 m的旧围栏. (1) 求花圃的长和宽. (2) 说明墙长a m的作用.

4.方程思想

当一个问题可能与某个方程建立关联时, 可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题.

例如, (1) 已知x+y=8, xy=z2+16, 求证:x=y. (2) 某自来水公司计划铺设155 m长的管道, 现库存只有5 m和8 m的水管足量.问:保管员有几种付货方案? (接头的长度忽略不计) 设需5 m长和8 m长的水管各x, y根, 根据题意, 得5x+8y=155, 有4组非负整数解.所以有4种付货方案.

5.归纳类比思想

利用归纳类比思想可以对某种相类似的问题进行研究而得出它们的共同点, 从而得出解决这些问题的一般方法.

(1) 分式的四则运算法则可以和分数的运算法则类比得到.

(2) 在同一平面内, n条直线相交, 最多有多少个交点?

在同一平面内, 两条直线相交有1个交点, 三条直线最多有3=1+2 (个) 交点, 四条直线相交最多有6=1+2+3 (个) 交点, 那么n条直线最多有1+2+3+…+ (n-1) (个) 交点, 类比1+2+3+…+100的计算方法$\frac{100(1+100)}{2}=5050$, 可得其结果为$\frac{n(n-1)}{2}.$

6.转化归纳思想

转化归纳思想是把一个较复杂的问题转化为另一个较简单的问题并且对其方法进行归纳.

例如, (1) 当x分别取值$\frac{1}{2007}‚\frac{1}{2006}‚\frac{1}{2005}‚\cdots ‚\frac{1}{2}‚1‚2‚\cdots ‚2005‚2006‚2007$时, 计算代数式$\frac{1-x{}^2}{1+x{}^2}$的值, 将所得的结果相加, 其和等于 ( ) .

A.-1 B.1 C.0 D.2007

答案C.

解 因为$\frac{1-\left(\frac{1}{n}\right){}^2}{1+\left(\frac{1}{n}\right){}^2}+\frac{1-n{}^2}{1+n{}^2}=\frac{n{}^2-1}{n{}^2+1}+\frac{1-n{}^2}{1+n{}^2}=0$, 即当x分别取值$\frac{1}{n}‚n(n$为正整数) 时, 计算所得的代数式的值之和为0;而当x=1时, $\frac{1-1{}^2}{1+1{}^2}=0$.因此选C.

(2) 比较大小:$3+2\sqrt{6}$$3\sqrt{2}+2\sqrt{3}$. (填“=”“<”或“>”)

转化为比较$(3+2\sqrt{6}){}^2$与$(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}){}^2$的大小, 从而使问题得到解决.

7.概率统计思想

概率统计思想是指通过概率统计解决一些实际问题, 如摸奖的中奖率、某次考试的综合分析等.例如, 10张完全一样的卡片, 其上的数分别是1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 洗匀后随机抽取2张卡片, 将其卡片上的数做加法, 和是偶数的概率是.

另外, 数学思想是用来指导方法的, 数学思想方法通常分成三个层次.数学思想:如函数思想、方程思想、等价转化思想、分类思想、数形结合思想等;逻辑方法:如归纳法、演绎法、类比法、分析法、综合法、反证法等;具体的数学方法:如配方法、换元法、待定系数法等.掌握了数学思想和方法, 对从事教育、教学、数学研究是大有益处的, 坚信会有更多的有识之士掌握和运用数学思想方法, 发挥它应有的作用.

篇9：“用正比例解决问题”教学设计

教学目标：

1?郾能运用正比例意义解决简单的实际问题，掌握解决问题的方法和步骤。

2?郾经历分析、判断、推理的过程，培养提出问题、分析问题和解决问题的能力。

3?郾激发学习情感，感受数学与生活的密切联系，培养探索精神和应用意识。

教学难点：正确分析应用问题中的比例关系，列出方程。

教学过程：

一、复习旧知，做好铺垫

判断下面两种量成什么比例关系。

1?郾速度一定，路程和时间。

2?郾我们班学生做操，每行站的人数和站的行数。

3?郾单价一定，总价与数量。

（设计意图：通过复习正、反比例的意义，为学习用正比例意义解决实际问题做好铺垫。）

二、创设情境，导入新课

师：同学们知道校园里最高的树是哪一棵吗？老师、同学很想知道这棵树的高度大约有多少米，你想用什么办法来测量呢？

（学生各自说一说自己的想法。）

师：其实，有一种既科学又方便的测量方法，但需要同学们掌握好这节课的知识才能正确地测量出这棵树的高度，今天我们就一起来研究用比例解决问题。（板书课题：用比例解决问题）

（设计意图：学校里最高的树有多少米？如何正确地测量出这棵树的高度，只有掌握更科学、方便的测量方法才能做到，从而激起学生的探究欲望，导入新课也就水到渠成了。）

三、合作学习，探究新知

（一）巧用例题，用整数方法解。

1?郾出示例5情境图，让学生说说图意。

（1）呈现信息：上个月，张大妈家用了8吨水，水费是12?郾8元；李奶奶家用了10吨水。

（2）让学生提出数学问题。（李奶奶家上个月的水费是多少钱？）

2?郾引导用整数方法解答。

师：你能用学过的方法解答吗？请大家独立完成，并交流解答方法。

（二）探究比例解法，感知策略。

1?郾梳理两种相关联的量。

师：这样的问题还可以用比例的知识来解答。用比例解决问题，必须知道题中有哪两种相关联的量。请说一说题中有哪两种相关联的量。（板书：水费、用水吨数。）

2?郾探究用比例解题的方法。

学生完成“用比例解决问题”学习记录卡。

（1）题中有哪两种相关联的量，它们对应的数据分别是多少？请填写下表（未知的量用“x”表示）。

（2）分析判断。

因为水费∶用水吨数=（ ）一定，所以（）和（）成（）比例。也就是说，两家的（）和（）的比值相等。

（3）用比例解答。

教师提出小组合作学习的要求：①组长组织，要求每个组员都要发表意见。②记录员负责做学习记录。③如果对分析、判断和解答有不同想法，可以补充。

（三）展示成果，形成策略。

1?郾小组汇报、展示。

因为每吨水的价钱一定，所以水费和用水的吨数成正比例。

解：设李奶奶家上个月的水费是x元，列出正比例是：

■=■

8x=12?郾8×10

x=16答（略）

2?郾生生互动、师生互动。让其他同学结合小组的汇报提出自己的疑问或补充意见。（有学生列成■=■也是可以的，但要让学生说出它的比值的意义。）

3?郾完善课题。（加上一个“正”字，使课题变为“用正比例解决问题”）

（四）检验反思，提炼策略。

引导学生检验，并总结用比例解决问题的步骤（策略）：一梳理（梳理相关联的两种量）；二判断（判断相关联的两种量成什么比例）；三列式（设未知数x，根据判断列出比例式）；四解比例；五检验（把求出的数代入原等式，看等式是否成立）。

（五）运用策略，尝试体验。

1?郾出示小精灵提出的问题：王大爷上个月的水费是19?郾2元，他们家上个月用了多少吨水？

2?郾让学生独立用比例解答，指名学生板演，然后全班交流。

（六）质疑互动，比较建构。

1?郾让学生阅读第59页学习内容后提出问题。

2?郾组织学生讨论：“用算术方法”和“用比例方法”解题有什么联系和区别？

（设计意图：让学生先用学过的方法解决问题，有助于促进知识迁移，掌握应用问题的结构特征。设计“学习记录卡”的三点要求既突出了学习的重点，又把用比例解决问题的探究过程清晰地呈现出来，有利于学生建构用比例解决问题的策略。通过“展示成果”、“汇报补充”等环节，了解可以用不同的比例式解决问题，引导学生多角度、多层面地思考问题，在比例知识“不变”的“模型”结构中追求“变”，探究解决问题的多种策略，发展思维能力。引导学生“检验反思”，有利于培养学生良好的学习习惯，同时提高解决问题的正确率。引导学生归纳解题的步骤（策略），运用策略再次解决问题，有助于提高学生解决问题的能力。通过比较“算术方法”和“比例方法”解题的联系和区别，帮助学生建立良好的认知结构。）

四、练习巩固，发展提高

（一）基础性练习。

1?郾按要求填空。

小明买4枝圆珠笔用了6元。小刚想买3枝同样的圆珠笔，要用多少钱？

（1）题中的（ ）一定，所以（ ）和（）成（）比例。也就是说两人的（）和（）的比值相等。

（2）设要用x元。列比例式是（ ）。

2?郾用比例解答下面各题。

（1）甲乙两地之间的公路长350千米，一辆汽车从甲地开往乙地，2小时行驶了140千米。照这样的速度，这辆汽车从甲地开往乙地一共需要行驶多少小时？

（2）小兰的身高1?郾5m，她的影子长2?郾4m。如果同一时间、同一地点测到一棵树的影子长4m，这棵树有多高？

（二）提高性练习。

王师傅4小时加工200个零件，照这样计算，_________？（先补充条件和问题，再用比例解答。）

（三）开放性练习

一根绳子长126米，剪下9米共做了5根跳绳。剩下的绳子还可以做多少根这样的跳绳？（用不同方法解答。）

（设计意图：练习设计形式多样，避免了练习的单一性。练习内容体现了梯度、广度和深度，有利于发展学生思维，形成解决问题的策略。这样既巩固了所学知识，又提高了学生运用所学知识解决问题的能力。）

五、反思评价，课外延伸

1?郾说一说本节课的学习收获，评价自己小组合作学习的表现。

2?郾前后呼应：今天学习了用比例解决问题后，你打算怎样测量校园那棵最高的树的高度？

3?郾实践作业：以小组为学习单位，测量树的高度，要有详细记录和计算过程。

（设计意图：反思评价既可以让学生自主交流学习心得，又能首尾呼应，让学生带着“课虽尽，趣犹存，思再学”的欲望去完成课后作业。）

作者单位

福建省上杭县实验小学

篇10：《用比例解决问题》数学教案

【教学目标】

1．掌握用比例知识解答含有比例关系问题的步骤和方法。

2．提高学生对应用题数量关系的分析能力和对正、反比例的判断能力。【教学重点】

1．判断题中相对应的两个量和它们的比例关系。

2．利用比例关系列出含有未知数的等式，运用比例知识正确解决问题。【教学难点】

1．掌握用比例知识解答解答应用题的步骤和方法。

2．理解“用比例解决问题”的结构特点，从而构建知识结构。【教学过程】

一、复习铺垫，引入新课。（课件出示）

1、我们已学习了比例的哪些知识？

2、判断下面每题中的两种量成什么比例？（1）速度一定，路程和时间．（2）路程一定，速度和时间．（3）单价一定，总价和数量．

（4）每小时耕地的公顷数一定，耕地的总公顷数和时间．（5）全校学生做操，每行站的人数和站的行数．

3、下面各题中各有哪三种量？那种量一定？哪两种量是变化的？变化的规律怎样？它们成什么比例？你能列出等式吗？

（1）用一批纸装订练习本，每本30页，可装订200本，每本50页，可装订120本。

（2）一列火车从甲地到乙地，2小时行驶60千米，照这样的速度，8小时可行240千米。

（3）读一本书，每天读20页，6天可以读完，如果每天读5页，需要x天读完。

4、导入：看来同学们正比例和反比例的知识学得都很不错，今天我们就一起来研究——用比例解决问题。用正比例知识解答含有比例关系问题的步骤和

方法相信自己今天能学好吗？（板书课题：用比例解决问题）课件出示例5情境图，问：你能说出这幅图的意思吗？（指名回答）李奶奶家上个月的水费是多少钱？想请我们帮她算一算，你们能帮这个忙吗？

二、探究新知。

1、教学例5（1）学生再次读题，理解题意。思考和讨论下面的问题： ① 问题中有哪三种量？哪一种量一定？哪两种量是变化的？ ② 它们成什么比例关系？你是根据什么判断的？ ③ 根据这样的比例关系，你能列出等式吗？

（2）根据上面三个问题，概括：因为水价一定，所以水费和用水的吨数成正比例。也就是说，两家的水费和用水的吨数的比值是相等的。

（3）根据正比例的意义列出方程：

根据: 张大妈家用的总钱数:张大妈家用水的吨数=李奶奶家用水的总钱数：李奶奶家用水的吨数。即：水费：吨数=每吨水的单价（一定）

解：设李奶奶家上个月的水费是χ元。12.8： 8＝χ：10 8χ＝12.8×10 χ＝ 12.8÷8 χ＝16 答：李奶奶家上个月的水费是16元。（4）将答案代入到比例式中进行检验。

2、修改题目：王大爷上个月的水费是19.2元，他们家上个月用多少吨水？（学生独立应用比例的知识来解答，指名板演并交流订正，比较两题的异同点，使学生明确例5的条件和问题改变后，题目中水费和用水的吨数的正比例关系没变，只是未知量变了）

2.自学指导

（1）梳理两种相关联的量（课件出示）

①、问题中有哪两种量？它们对应的数据分别是多少？ ②、它们成什么比例关系？你是根据什么判断的？

③、根据这样的比例关系，你能列出等式吗？

（）一定，所以（）和（）成（）比例。也就是说，两家的（）和（）的（）相等。

（2）、学生交流、互查自学结果。教师个别指导。（3）、学生展示学习结果，教师适时点拨。

①、刚才的问题你是怎么解决的？那位同学愿意来说一说？

②、刚才同学们自学解决了问题，我们一起来反思一下刚才的学习过程，归纳出用比例解决问题的步骤，好吗？得出用比例解决问题的“五步曲”（板书）：

一.梳（梳理相关联的两种量）

二.判（判断相关联的两种量成什么比例）三.列（设未知x，根据判断列出比例）四.解（解比例）

五.检（用自己熟练的方法来检验）。

3、教学例6（1）出示例6情境图，你能说出这幅图的意思吗？（指名回答）（2）学生根据例5的解题思路思考：题中已知两种量？什么是一定的？已知的两个量成什么关系？

① 抓住不变的东西----总的本数, 判断成反比例关系 ② 建立关系式：每包本数×包数＝总数

③ 学生述说，教师板演用反比例解法的书写过程。④ 出示书上第二问，学生回答列式。（3）学生独立解答。（2）指名板演，全班交流。

三、巩固提高。

做一做：教科书P59“做一做”

1、2题，让学生先判断两个量的关系，再进行解答。

（1小明买了4枝圆珠笔用了6元,小刚想买同样的3枝圆珠笔,要用多少钱?（2）学校小商店有两种圆珠笔。小明带的钱刚好可以买4枝单价是1.5元的。如果他想都买单价是2元的，可以买多少枝？

（3）小兰的身高1.5米,它的影长是2.4米,如果同一时间同一地点测得一棵树的影长时4米,这棵树有多高?

3、深化练习：

一辆汽车从甲地开往乙地，计划每小时行60km，9小时到达。但实际上2.5小时只行了125km，照这样的速度，汽车要几小时才能到达乙地？

四、课堂小结。

篇11：《用比例解决问题》数学教案

1、一个多位数由9个亿，8个百万，7个万和8个千组成，这个数是（），改成用“万”作单位的数是（）

2、小数1.4956保留三位小数是（）,保留两位小数是（）

3、a =5b(a和b都是自然数)，则ab的最大公因数是（），最小公倍数是（）4、2.4时=（）时（）分

5、发芽试验中，发芽50粒，2粒没发芽，发芽率是（）126、4÷5＝（）：（）＝ ＝（）％

（）

7、钟面上分针走一圈，时针转动的角度是﹙

﹚

8、学校举行朗诵比赛，下面是11位评委给小英打出的成绩：9.8，9.6，9.6，9.7，9.8，9.5，9.9，9.4，9.8，9.8，9.7。这组数的中位数是（），众数是（）。

9、在比例尺是1：60000000的地图上，一条公路长2.4厘米，这条公路实际长度是（）千米。

210、的分母加上6，要使分数的大小不变，分子应加上（）

311、一个圆柱的高是8厘米，如果高缩短2厘米，它的表面积就减少12.56平方厘米，这个圆柱的体积是（）。

12、等底等高的一个圆柱和一个圆锥，体积之和是72立方分米，圆柱的体积是（），圆锥的体积是（）

二、判断（6★）

1﹑相邻的三个自然数的平均数就是中间的数。（）2﹑每年的第三季度与第四季度的天数相同。（）3﹑某场足球比赛的结果是4：6，化简后是2：3。（）4﹑分母是15的分数，一定不能化成有限小数。（）

5、正方形边长与面积成正比例。（）

6、半径为2厘米的圆，周长与面积相等。（）

三、计算（第一题每题4★，第二题每题3★，共25★）

1、能简算的要简算

32×99

28.6－3.24－7.76

10.15－6.25－3.75＋7.85

6.48÷[(3.3－2.7)×9]

2、求X。6.5：x＝3.25：4

四、作图（6★）：先画一个周长是6.28厘米的圆，再在圆外画一个最大的正方形，计算出正方形的面积。

810.4＝ 3.8：x＝：5

221x

五、应用题（42★）

1、配制一种药液，药粉和水的质量比是1：4。400g药粉需加水多少克？

2、一项工程，原计划投资80万元，实际投资100万元。实际多投资百分之几？

3、一件衣服打九折后是270元，现价比原价便宜多少元？

4、要生产一批化肥，计划每天生产120吨，需要20天能完成任务，结果提前4天完成任务，平均每天生产化肥多少吨？（用比例的知识解）

5、一个圆锥形小麦堆，其底面周长是18.84米，高15分米，把这堆小麦装入粮仓，正好是这个粮仓容积的15%，这个粮仓容积是多少？

6、汽车从甲城开往乙城，全程要12小时，已经行了4小时，离终点还有1200千米，两城相距多少千米？

篇12：用比例解决问题

1、一条公路长25km，在一幅地图上长5cm，求这幅地图的比例尺。

2、一个手表的精密零件长5mm，画在设计图纸上是12cm，求这幅的纸的比例尺。

3、在一幅比例尺是1:30000000的地图上，量得北京到上海的距离是3.5km，北京到上海的实际距离是多少千米？

4、学校有一个长方形的操场，长是80米，宽是50米，把它画在一幅平面图上，长画了16cm，宽应当画多少厘米？

5、某实验小学的平面图的比例尺是1:30000，量得长是9cm，宽是5cm，学校的时间占地面积是多少公顷？

6、埃及金字塔是著名的景观，某科学家用测量影长的方法计算金字塔的高度。测量结果如下：竹竿长5m，它的影长是3m，这一时间段金字塔的影长是87.9m，这座金字塔的实际高度是多少米？

7、一颗人造卫星绕地球5周需要13小时，用同样的速度绕地球12周需要多少小时？

8、50千克花生仁可以榨油19千克，要榨200千克花生油需要多少千克花生仁？

9、修一条路，如果每天修180米，8天可以修完，如果每天修160米，几天可以修完？

10、一间大厅，用边长6分米的方砖铺地，需要324块，若改用边长4分米的方砖，需要这样的方砖多少块？

11、小华看一本240页的小说，4天看了64页，照这样计算，看完这本书还需要多少天？

12、在一幅比例尺是1:6000000的地图上量得甲地到乙地的长是2cm，一辆汽车以每小时70km的速度匀速行驶，如果这辆小汽车上午8:30出发，10：00能到达吗？

13、一个车间装配一批电视，如果每天装50台，60天完成任务，如果要少用20天完成任务，每天应装多少台？

14、在一幅比例尺是1:3500000的地图上，量得甲乙两地之间的距离是2.4cm，在另一幅地图上，量得这两地间的距离是2.8cm，求另一幅地图的比例尺？

15、新兴小学的学生去旅游，用4辆同样的客车每次可以运送224名学生，如果用13辆这样的客车，每次可以运送多少名学生？

16、一台碾米机5小时碾米2000千克，照这样计算，6.5小时可以碾米多少千克？要碾米3.6吨需要几小时？

17、小明家用收割机收割小麦。如果每小时收割0.3公顷，40小时可以完成任务。

（1）

现在想用30小时收割完，那么每小时应收割多少公顷？

（2）

每公顷产小麦8吨，这块地共产小麦多少吨？

18、（1）一个三角形的A点（1,1），B点（1,4），C点（4,8）请在方格图中画出这个三角形。

（2）如果把这个三角形按3:1放大，请画出放大后的三角形。

（3）请另一张在方格图中画一个和放大后图形大小相等的梯形。

18、奥运会一块金牌的黄金含量与金牌总重的比为6:412，一块金牌总重412g，302块金牌需要黄金多少克？

篇13：用数学思想解决“翻转茶杯”问题

下面我们通过操作探究来解决这一问题.

一、动手操作获得结论

探究一:取3只茶杯,杯口全部朝上,每次翻转其中1只,经过若干次翻转,能否使杯口全部朝下?

过程:

1将3只茶杯依次编号1、2、

2第1次:翻转1号杯

3第2次:翻转2号杯

4第3次:翻转3号杯

此时,杯口全部朝下.

结论:能.

探究二:取3只茶杯,杯口全部朝上,每次翻转其中2只,经过若干次翻转,能否使杯口全部朝下?

过程:

1第1次:翻转1、2号杯

2第2次:翻转1、3号杯

3……(任意翻转其中的2只茶杯)

想一想:

1. 第1次翻转后已有2只茶杯的杯口朝下,后面的每次操作总会出现几只杯口朝上?(1只或3只)

2. 把“每次翻转2只茶杯”看作“将1只茶杯连续翻转2次”,结果怎样?(杯口始终朝上)

结论:3只杯口全部朝上的茶杯,每次翻转其中2只不能使杯口全部朝下.

探究三:取4只茶杯,杯口全部朝上,每次翻转其中2只,经过若干次翻转,能否使杯口全部朝下?(先想一想,再试一试.)

过程:

1将4只茶杯依次编号1、2、3、4

2第1次:翻转1、2号杯

3第2次:翻转3、4号杯

此时,杯口全部朝下.

结论:能.

探究四:取4只茶杯,杯口全部朝上,每次翻转其中3只,经过若干次翻转,能否使杯口全部朝下?(先想一想,再试一试.)

过程:

1第1次:翻转1、2、3号杯

2第2次:翻转1、2、4号杯

3第3次:翻转2、3、4号杯

4第4次:翻转1、3、4号杯

此时,杯口全部朝下.

结论:4只杯口全部朝上的茶杯,每次翻转其中3只,能使杯口全部朝下.

二、思考延伸解释结论

事实上,如果把杯口朝上记作“+1”,杯口朝下记作“-1”,那么3只杯口都朝上的茶杯记为“+1”“+1”“+1”,这3个数的乘积为“+1”,3只杯口都朝下的茶杯记为“-1” “-1”“-1”,这3个数的乘积为“-1”,每次翻转2只,即改变其中两个数的符号,这3个数的积仍为“+1”,所以每次翻转2只,不能使杯口全部朝下.4只杯口都朝上的茶杯记为 “+1“”+1“”+1“”+1”,这4个数的乘积为“+1”,4只杯口都朝下的茶杯记为“-1“”-1“”-1“”-1”, 这4个数的乘积为“+1”,每次翻转2只,4个数的乘积为“+1”,杯口可全部朝下;每次翻转3只,即改变其中3个数的符号,这4个数的积为“-1”,再进行一次翻转这4个数的乘积为“+1”,所以每次翻转3只,经过若干次翻转,杯口全部朝下.这样,利用有理数运算的符号法则就可以解决翻转茶杯的问题了.

三、思维拓展应用结论

聪明的同学,你来试一试:

利用有理数运算的符号法则解释:7只杯口都朝上的茶杯,1每次翻转3只,能否经过若干次翻转使这7只杯子的杯口全部朝下?2每次翻转4只,能否经过若干次翻转使这7只杯子的杯口全部朝下?(答案:1能.2不能)

有兴趣的同学还可以进一步探究发现:

篇14：巧用数学活动解决数学问题

哲学让我们知道，没有实践的理论是空洞的理论，没有理论的实践是盲目的实践，中学数学充分体现了从实践到理论，再从理论到实践的认知过程和用知过程，本文中我主要选择了数学中的应用题、排列与组合问题、公理证明三方面的知识的教学进行论述，旨在和老师们探讨一下通过开展数学活动来解决数学问题的必要性。

一、在数学活动中解应用题

解应用题是中学数学的重要组成部分，它充分体现了数学知识在实践中的重要作用，对培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和探究能力都有很好的作用。因此，根据应用题的特点、来源和实用范围开展实践教学活动是很有必要的。

问题1：甲乙二人在长400米的环行跑道上跑步，他们同向而行，甲每秒钟跑6米，乙每秒钟跑4米，甲在乙后100米，若他们同时起跑，问：经过多少时间，甲、乙二人第二次相遇？

分析：这道题对于少部分学生可能难度不大，但对于大多数学生来说还是有一定难度的。教师又是画图又讲解，仍然有一部分人听不懂，其关键就是找不出等量关系。此时，我们不妨来做做这样的实践活动：由学生在班上推荐两位同学，平时活泼好动的做甲，诚实稳重的做乙，来操场上做演示，要求甲快一些，乙慢一些，教师让同学们记住：甲、乙的起点；甲、乙间的距离S=100米；第一次相遇的地点；第二次相遇的地点；当甲第二次追上乙时，教师让他们都站着别动，问：

当甲第一次追上乙时，甲比乙多跑了多少米？（S=100米）。

当甲第二次追上乙时，甲比乙又多跑了习米？学生观察思考后答：一圈=400（米）。

（3）从起跑到甲第二次追上乙，甲一共多跑了多少米？

100+400=500（米）

你能说出此题的等量关系吗？

S甲-S乙=100+400

这样只要学生知道速度、路程、时间的关系，让学生设未知数列方程已变得很轻松了。

当然如果要把行程问题上成实践课，教师在备课前需要作充分的准备，可把同一直线上的追击问题、相遇问题，以及环形道上的相遇与追击问题各出一题提前给学生做，然后教师准备用1～2课时来完成此活动以及课后的相应习题，在以后遇到相应的问题时，他们也就能轻松地解题了，正所谓“磨刀不误砍柴工”。

其实，除了上述的行程问题外，还有许多应用题也可以让学生在自己的实践生活中学习，比如浓度问题、市场营销问题、工程问题、银行存款问题，这些都是无处不在的数学，学生除了向教师学习之外，还可以向自己的长辈们和其他人学习这些知识，学生有了这些基础之后，我想课堂上将会多一些轻松愉快，少一些愁眉苦脸。

二、在数学活动中初步学习组合知识

排列与组合知识虽然初中和小学没有专门作为一个单元来安排，但小学和初中其实都已涉入了，并且此类题对学生来说往往也都是难题，学好这些初步知识对升入高中的学生是很有帮助的，并且也是九年义务教育后对毕业生的基本要求，那么用什么方法能帮助学生认识和理解排列组合知识呢？数学实验和数学活动方法是比较有效的方法之一。

问题2：（1）有10位好朋友相遇了，他们都要彼此握手一次，问，他们一共握了几次手？如果是60位朋友也要彼此握一次手的话，他们又握了几次手？n个人呢？（n≥2）。

下列图形中各有几条线段或几个角？

（3）下列各多边形各有几条对角线？

分析：上述三类问题虽然是在初中的问题，其实质是高一的组合问题，怎么样让初中生也能初步学会此类简单问题的解法呢？我在上课时做了如下实验，这里只是对第（1）题作叙述；第（2）（3）题由学生画图归纳后，教师作指导。

第一步：让10位学生上讲台站成一排报数。

第二步：让第一位开始出列握手，握完即回到座位，记住自己握了几次手（9）次。然后顺次出列握手，每位同学都记住共握了几次手（9）次；与此同时，台下的学生和老师也数他们握手的次数，当握完时，他们共握了9+8+7+6+5+4+3+2+1=45次。

第三步：握手者每人握了几次？（都是9次）。照这样算应当握了9€？0=90次，而实际只握了45次，到底错在了哪里？由学生讨论、思考后，找出错误原因，当甲与乙握手的时候，甲算了一次，乙也算了一次，这样实际每握一次手都多算了一次，即重复了一次，因此正确的算法是（9€？0）€？=45（次）。活动到此，教师问：60个好朋友又握了几次手呢？绝大多数都能准确地计算：[（60-1）€？0]€？=1770（次），教师进一步讲解：因为60个人握手。每个人都握了59次，但由于每握一次手都多算了一次，因此实际握手的次数为[（60-1）€？0]€？=1770（次）。n个人握手的次数：次，（由学生归纳得出）。

对于上述的第（2）题，它的解法与第一题完全相同。

第三小题：教师要引导学生弄清：从n边形的一个顶点出发，最多能画（n-3）条对角线，这样，n边形的对角线的条数（N）为：N=（n≥3）。

三、在数学活动中学习“公理”

所谓公理，它是人们在长期的生产实践和生活中总结出来的道理，用大众的话说它是一种经验，但这种经验必须是对的才称它为公理，由此可见，公理来自于生产实践，数学教学是一个“再认识，再创造”的过程，学生只有充分认识了知识的形成过程，理解了知识，进而上升为自己的理论，才算是真正掌握了知识，所以，用实验或活动来教学也是比较符合认知规律的一种方法。

总之，从数学的来源与数学的最终目标来看，数学知识最初都来源于生活实践，通过推理、抽象概括成为数学理论，最终这些理论又被应用于生活与实践，服务于社会、生产与生活，引导学生在实践中学会学习，学到数学知识，并在实践中应用知识都是数学学科最根本的要求。数学活动形象、生动，它丰富了学生的数学生活，加强了对基础知识的理解，增强了学生的空间观念。如果我们能做到“因材施教”和“因人施教”，选取恰当的数学活动，让学生在实践或活动中去做、去尝试和创新，就能够培养学生的实践能力和创新能力，提高教育教学质量。

篇15：用比例解决问题教学反思

教方法的老师，却不知道方法的本质，说起来象无稽之谈。可事实上包括我在内的很多老师在初次教学这个内容的时候，恰恰没有弄清楚这个方法到底该怎样做。就以例5为例，学生可以很轻松的用以前学过的方法解决这个归一问题，桥梁就是不变的“单价”，在引导学生用比例解决问题的时候，问题就出来了：是先根据单价不变，得到等式：总价/用水吨数=总价/用水吨数，明确成正比例;

还是因为单价不变，总价和用水吨数成正比例，所以它们的比值相等。第一次试教的时候，我没有觉得这有什么区别，选择了简单的第一种方式。刚开始过程很流畅，但我发现学生在方法表述上总不愿意说到成什么比例关系，仿佛这个比例是跟本题是不相干的内容，最后在比较和练习上学生也无法清楚的表述出方法和规律，尤其是倒过来后的方程(如12.8/8=X/10用8/12.8=10/X)很多孩子都不能接受。不仅没有体会到用比例的好处，反而觉得还要写“解设”真是麻烦。

惨痛的失败后我开始认真的分析和检讨，发现学生根据单价不变列出等式，其实用的是以前学过的方法，以单价作为桥梁，比例成了“鸡肋”，方程倒过来后，就不等于单价了，所以很多孩子认为这是不对的。作为六年级的孩子，之所以学习用比例解决问题，就是要让他们站在理解量之间的普遍关系，一般规律的基础上，更方便快捷的去解决实际问题。在分析之后，我采用了第二种方式进行第二次教学，首先明确成正反比例的量具备什么样的特征?(比值相等或乘积相等)，只要判断出题目中的量成正比例或反比例关系，就可以列出比值相等或乘积相等的等式。这样一来，学生做题就不是具体问题具体分析了，他们有规可循：只要路程一定，就说明时间和速度成反比例，结合数据我就可以列出一个相应时间和速度乘积相等的方程。

教学之后，学生能够很好的应用比例知识解决问题，尤其是一些基础的数量关系，如路程=速度×时间，总价=单价×数量等能快速准确的判断出比例关系，列出等式。当然对于并不常见的数量关系，学生在判断比例关系上出现了困难。但总体来说，学生在运用比例关系列出方程这个方法的掌握上还是比较成功的。

⒉总结和比较中，掌握用比例解决问题的一般规律

既然想让他们有规可循，那么就要让他们牢牢地掌握这个规律。因此，在教学中我首先注重了方法与步骤的总结，这个过程也不是那么容易的，都是以前学过的题目，所以孩子们很容易就丢开比例，而用以前的方法去思考问题。因此，在复习中，我的重点不是放在成什么比例，而是成正或反比例的量有什么样的特征，先分散一下难点。分析题目的时候用“成什么比例关系?”“根据这样的比例关系你能列出一个等式吗?”这个两个问题将孩子们的注意力放在比例上。问题解决之后，我还设计了一个回头梳理的过程，可以说让学生对用比例解决问题的方法和过程有了一个强烈的印象。之后的例6上我放手让学生独立用比例知识解决，练习中设计了一个分别用正反比例解决问题的对比，这无疑是整节课的小高潮，学生答的非常精彩，基本抓住了用比例解决问题的一般规律。

⒊在辨别中，体会用比例解决问题方法灵活，计算简便

学生在前面的总结和比较中，学生已经体会到了用比例解决问题有规可循，是解决问题的好方法。但这还不够，因为以前的方法也很简单啊。因此需要更多的冲突来让学生体会到比和比例的基本性质会使用比例解决问题是多么的灵活和简便。

第一次试教的时候我采取的是学生做，然后进行讲评比较，可具体操作起来很费时间，学生比较时间不充分。同时学生不一定会出现我所希望的情况，或情况太多，使比较增加了难度。于是我改进了方法，采用了判断题的形式。学生在辨别中发现，成正比例的量他们的比值就相等，既可以说总价与数量的比值相等，也可以说数量与总价的比值相等。原来方程还可以倒过来列，很多孩子也产生了疑问：根据比例的性质，我还可以怎么列这个方程呢?由于比的基本性质是前项和后项同时扩大或缩小相同的倍数(0除外)比值不变，同学们也惊喜的发现，这样一来用的好还可以省掉换单位的过程，真方便。

由于总结和比较的到位，最后的实践操作，孩子们不仅能正确的运用比例知识去解决，更列出了若干个不同的方程，其中一个方程使计算非常简便，深受孩子们的喜爱。

⒋课堂的调控能力有待加强

体现在时间分配上我的安排不是很合理，前面探究过程总是占时间多。

在内容的设计上进一步做到层次分明，在导入语言上少些花哨，多些简单和清爽。重视问题的提出，尊重学生的发言等等这些都是我在以后的教学中有待提高的地方。

⒌整个课堂探究内容较多，练习不充分。

由于本节课含正反比例两个方面的内容，再加上比较，所以探究的内容较多，练习的部分不充足。而且在探究过程中，也由于时间的关系探究的不是很充分，每个问题只有1、2个孩子发表自己的看法，成绩中下的学生的掌握情况不容乐观。

⒍课后作业和练习中存在的问题：

部分学生对判断哪两种相关联的量成什么比例，哪种量一定，怎样找出等量关系表达得不是很好，有的学生似乎有一种“只可意会，不可言传”的感觉，这是用比例解决问题的关键，所以还要加强训练和指导。

学生在解正比例的应用题时，发现中下生会出现左边比的顺序跟右边的顺序会相反;在解反比例的应用题时，中下生会运用比例的基本性质外项积等于内项积来解答，计算的准确率低，所以今后对比例的解法还要多指导。