用穷举法解决问题

用穷举法解决问题（共9篇）

篇1：用穷举法解决问题

3.2 用穷举法解决问题

【教学目标】

知识与技能

①理解穷举法设计程序的基本思想。

②学会使用穷举法解决现实生活、学习中所遇到的问题。过程与方法

①通过大量的尝试性、探索性的活动，引导学生积极主动地完成学习任务。②体验穷举策略在穷举法中的地位和作用，并选择适当的穷举方案解决实际问题。情感态度及价值观

①引导学生关注穷举法在社会生活中的应用，激发学生学习的热情。②培养学生健康使用信息技术的习惯。

【教学重点】

1．确定变量的取值范围。

2．正确表达“符合条件”的判断。

【教学难点】

1．穷举法适合的范围。

2．评价穷举效率的高低。

【教学方法】

创设情景法、任务驱动法、多媒体演示法、练习实践法

【教学手段】

结合多媒体网络教学环境，构建学生自主探究的教学平台。

教学过程： 【导学】

一、创设情境

情境导入：平时我发现学生对腾讯软件十分感兴趣，因此我用腾讯软件的界面做了一个VB小程序：“猜猜密码”并且附有提示：“密码为1位数！”。（学生测试，尝试得出密码。）

二、导学探究

在学生猜对密码后，我又及时提出：“你知道你刚才运用的是什么算法吗？” 最终提出穷举算法及其基本思想：

穷举法：穷举法也叫枚举法、列举法，它是将求解对象一一列举出来，然后逐一加以分析、处理，并验证结果是否满足给定的条件，穷举完所有对象，问题将最终得以解决。

基本思想: 把问题所有可能的解，逐一罗列出来并加以验证，若是问题的真正解，予以采纳，否则就舍弃，尝试下一个。

注意点： 既不遗漏、也不重复 关键点：

⑴确定范围：列举该问题所有可能的解

⑵验证条件：检验每个可能解是不是问题的真正解

【点拨】

以下面这个简单的问题做为课堂实例：

例：某同学用自己的QQ号登录，可他记不清密码了，你能帮他找回密码吗？他的密码是一个5位数，67□□8，其中百位和十位上的数字他不记得了，但他还记得该数能够被78整除，也能被67整除。你能帮他设计一个算法求出该密码吗？

问题分析：

穷举的对象：

确定范围：__________________ _________________ 确定条件：__________________________ _______________________________ 程序代码：

Dim a As Integer Dim b As Integer For a = For b = n = If And Then Text1.Text = a Text2.Text = b End If Next b Next a（教师演示，验证结果。学生上机验证。）

【讨论】为什么很多系统要限制输入密码的次数？我们应该如何设置自己的密码，为什么？

（讲述信息技术可能带来的不安全因素，要求学生自觉遵守网络道德与法规。）

【课堂练习】（编程解决问题）

1.公元前5世纪，我国数学家张丘建在《算经》一书中提出了一个“百钱买百鸡问题”。问题如下：鸡翁一值钱3，鸡母一值钱2，鸡雏三值钱1。百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母和鸡雏各几何？（公鸡三文钱一只，母鸡两文钱一只，小鸡一文钱三只。）现在，请你编一程序，帮他计划一下，怎么样买法，才能刚好用一百块钱买一百只鸡？

代码一：

Private Sub Command1_Click()Dim x As Integer Dim y As Integer Dim z As Integer For x = 0 To 100 For y = 0 To 100 For z = 0 To 100 2

If(x + y + z = 100)And(x * 3 + y * 2 + z / 3 = 100)Then Print “公鸡：”;x;“只” Print “母鸡：”;y;“只” Print “小鸡：”;z;“只” End If Next z Next y Next x End Sub 代码二（核心语句）： For x = 0 To 33 For y = 0 To 50 z = 100-x – y If(x * 3 + y * 2 + z / 3 = 100)And(z Mod 3 = 0)Then Print “公鸡：”;x;“只” Print “母鸡：”;y;“只” Print “小鸡：”;z;“只” End If Next y Next x 【讨论】

（1）．对比以上两段代码，你觉得哪种更好，为什么？如何提高算法的效率？ ①减少循环的次数，通过缩小穷举范围。②减少循环嵌套的层数。

对于穷举算法，加强约束条件，缩小穷举的范围，是程序优化的主要考虑方向。（2）.穷举法的特点及优劣。

优点：算法简单 缺点：运行时所花费的时间长。

2.“水仙花数问题”：水仙花数是指这样的一种三位数，它的个位、十位、百位的立方和等于它本身。如153=1+5+3 333 ,求解出所有的“水仙花数”。

板书设计

用穷举法解决问题

一、穷举法: 注意点： 关键点： 例：问题一：范围 条件

问题二：

教学反思：

篇2：用穷举法解决问题

一、教材分析：

《用穷举法解决问题》是高中信息技术选修模块《算法与程序设计》第三章《程序的实现》第二节内容。本章侧重于运用算法解决实际问题，设计合理的算法并编程实现。本节主要阐述穷举法，该方法应用广泛，比较常见，存在于生活与学习之中。经典问题有水仙花数、搬砖问题、鸡兔同笼、百鸡百钱等。

二、学生分析：学生在通过第1、2两章的对VB的基本知识系统加以学习。学生可以利用上述的基础知识，结合前一阶段学习的VB程序设计的基本结构，进一步学习本节的相关知识内容。

三、教学目标

1．知识目标：了解什么是穷举法，穷举法的特点，掌握利用穷举法解决问题的基本要求；学会编写程序实现穷举法。

2．过程与方法：经历用穷举法求解问题的基本过程，发现穷举的规律，并把它运用实际问题的解决中去，从而培养学生的分析问题、解决问题的能力。

3．情感态度与价值观：通过用穷举法解决实际问题，培养学生对程序设计的兴趣和热情。

四、教学重点与难点

教学重点：能够利用穷举法解决实际问题。教学难点：穷举的范围的确定，穷举效率的评价。

五、教学思路及教法：课本在介绍穷举法时用的例子是一个相对复杂的演讲比赛分组的问题。我个人认为，这样的一个引入部分不适合我们的学生，一是学生不是很感兴趣，二是比较复杂。所以在教学中选取了学生所熟悉的、又能反映穷举思想的例子：水仙花数问题的解决作为主题进行学习穷举法的思想。本节课教学中我主要采取任务驱动法，并结合引导探究、讲授、小组讨论等多种教学方法。从而培养了学生的分析问题、解决问题的能力及合作、参与意识。

六、教学过程：

（一）游戏激趣导入

下面请大家打开桌面上的1位数破解密码的程序：小组间通过竞争和协作使得每个学生都积极参与，问题解决请学生运行该程序，破解密码。（每排为一组，看谁破解的快）小组讨论破解方法与技巧，请破解出密码的学生介绍经验：因为是一位数的密码，采取一个一个的去尝试。让学生亲身体验，消除对密码破解程序神秘感。

（二）、师生共同探究，学习新知

1、穷举法的定义：在学生经验介绍之后，教师给出穷举法的定义。并且进行讲解。从密码破解可以看出：你所求解的对象是有限的（只有10个数），而且有穷举范围（一位数），由此得出穷举法的特点：求解对象应该是有限的，有明显的穷举范围；可以按某种规划列举对象；一时找不出更好的途径可以用穷举法。

2、通过对“鸡兔同笼”的完整探究来体验穷举法解决问题的步骤，编写程序的过程。展示问题：“鸡兔同笼”问题。鸡和兔在一个笼里，共有腿100条，头40个，问鸡有几只？兔有几只？

分析问题：设鸡为x只，兔为y只，则有x+y=40，2*x+4*y=100（穷举条件）

由题意可知：0

总结注意事项：1.有明显的穷举范围，即穷举对象是有限的。（循环结构来实现）2．有穷举的规则（条件语句）。

(三)知识巩固深化：“百鸡百钱”问题 代码一：

Private Sub Command1_Click()Dim x As Integer Dim y As Integer Dim z As Integer For x = 0 To 100 For y = 0 To 100 For z = 0 To 100（20）（33）

（z = 100-x – y）

If(x + y + z = 100)And(x * 5 + y * 3 + z / 3 = 100)Then

Print “公鸡：”;x;“只” Print “母鸡：”;y;“只” Print “小鸡：”;z;“只” End If Next z Next y Next x End Sub

（五）课堂总结：

1、穷举法解决问题的思路：依据题目的已知条件，确定答案的大致范围，在此范围内进行穷举。

2、穷举法解决问题的关键：确定问题解的可能搜索的范围：用循环或循环嵌套结构实现；（2）写出符合问题解的条件；（3）能使程序优化的语句，以便缩小搜索范围，减少程序运行时间。

3、讨论：（1）．对比以上两段代码，你觉得哪种更好，为什么？

提高算法的效率？ ①减少循环的次数，通过缩小穷举范围。②减少循环嵌套的层数。

（2）.穷举法的特点及优劣。优点：算法简单缺点：运行时所花费的时间长。

六、课后反思：

篇3：《用穷举法解决问题》教学设计

一、学情分析

学生在本节课前学习高中信息技术新课程的《算法与程序设计》模块已经有一段时间了, 学生对算法和程序设计有了一定的认识, 他们已经具备了一定的逻辑思维、分析问题、表达思想等能力, 为本节内容的学习提供了良好的基础, 但是在面对实际问题时如何设计算法并且用程序实现算法来解决问题上, 尤其是对于无法用解析法解决或者是用解析法解决比较困难的问题如何设计算法还是没有什么思路。

“百钱买百鸡”问题的数学模型是解不定方程, 学生在初中的数学课上学过。本次课在原有知识的基础上, 通过对实际问题的分析找到合适的数学模型, 使学生基本理解和掌握穷举法解题的思路。

二、教材分析

穷举法是算法中比较常见, 日常运用很多的一种, 在课本和江苏会考考试中都作为一个重要的部分出现。经典问题有鸡兔同笼、百鸡百钱等。课本在介绍穷举法时用的例子是一个相对复杂的演讲比赛分组的问题, 我感觉这样的一个引入部分不适合我们的学生, 一是学生不是很感兴趣, 二是比较复杂, 不利于刚刚接触用计算机解题的学生, 所以我在实际教学中选取一个破解密码的例子引入, 以编写程序破解密码作为本次教学的主题, 这样既能提高学生学习的兴趣, 又能使学生容易掌握知识, 还可以培养学生通过建立数学模型和设计程序解决实际问题的习惯。

三、教学策略

教学理念与方法:以培养学生的信息素养为前提, 遵循“学生是学习的主体, 教师是学习的指导者”的新课程教学理念, 根据本节课中各个知识点的联系, 采用了“主题任务”的教学模式, 通过任务驱动法, 利用多媒体教学系统和自制的PowerPoint课件, 使学生在任务中学习, 在实践中探究, 在探究中总结归纳知识和方法, 加强知识的实际应用。

四、教学目标

1. 知识与技能

(1) 了解非解析法解题的基本思路。

(2) 理解和掌握穷举法解题的思路。

2. 过程与方法

经历分析问题、建立数学模型、编写和调试程序, 得到最终结果的过程, 理解和掌握用穷举法解题的基本思路与过程。

3. 情感态度与价值观

(1) 通过小组讨论与探究活动, 提高团队合作能力, 促进探究的热情。

(2) 通过结合学习生活的实际例子, 进一步提高利用信息技术解决学习、生活问题的能力。

五、教学重点与难点分析

1. 教学重点

(1) 建立正确的数学模型, 确定穷举方案。

(2) 根据命题确定变量的取值范围。

(3) 正确表达“符合条件”的判断。

2. 教学难点

(1) 恰当安排穷举的方式, 使得算法的效率更高。

(2) 如何评价各种穷举策略的优劣。

六、教具准备

多媒体网络教室、教学视频素材、密码破解演示程序、PowerPoint教学课件

七、教学过程

1. 情境导入 (5分钟)

通过多媒体教学网络播放一段视频剪辑片段:前一断时间上映的一部电影《达芬奇的密码》, 里面的密码破译专家千方百计破解密码。

教师讲解:在电影里, 我们经常看到这样的镜头, 这似乎距离我们很遥远。然而现实生活中, 我们是否遇到这样的事情?

提问:自己的密码 (比如QQ密码等) 被别人盗过吗?

2. 讲授新知 (12分钟)

任务设置一:给学生一个密码破解程序 (2位自然数密码) , 让学生体会一下, 如果你是黑客, 你如何破解别人的密码。由于时间关系, 教师可以提示密码的大概范围。利用教学网络发送“2位自然数密码破解程序”。

请破解出的学生介绍经验 (也就是一个一个去尝试) 。

这种在一定集合范围内, 通过循环不遗漏也不重复地列举出该问题所有可能的解, 并在列举过程中检验每个可能的解, 这种算法称为穷举法。

教师提问:如果密码为5位数, 我们还能用刚才的方法去破解吗?

教师引导学生进一步讨论:当密码位数为1时, 密码可能的范围为0~9, 密码可能个数为10, 真正的密码个数只有1个;如果密码为5位数, 密码可能的范围为00000~99999, 密码可能个数为105, 而真正的密码只有1个。假设每试一个密码的时间为1秒, 真正的密码正好是99999。如果人工去试, 从第一个密码00000开始试, 到找出真正的密码所需要的时间为105秒, 大约需要1天多的时间。由于计算机的运算速度非常快, 如果让计算机完成这个工作, 很快就能完成, 只需要几秒钟。

学生在教师机上, 尝试破解5位自然数密码。

3. 发掘规律 (3分钟)

(1) 通过演示文稿介绍用穷举算法解决问题, 通常可以从两个方面进行分析: (1) 确定范围:问题所涉及的情况有哪些, 情况的种数可不可以确定。 (2) 验证条件:分析出来的这些情况, 需要满足什么条件, 才成为问题的答案。

(2) 归纳总结穷举法的基本思路及穷举策略。

4. 任务引领、小组探究 (13分钟)

布置探究任务二:讲述神童张邱建巧妙解决“百钱买百鸡”问题的故事, 课本《算法与程序设计》 (教育科学出版社) 49页, 并让学生讨论如果自己是张邱建将如何解题。

(1) 布置每位同学先独立解决问题, 然后全体学生以四人为一组, 进行协作探究。

(2) 巡视学生学习情况, 指导和帮助学生自主、协作学习。

(3) 调控课堂气氛。

(4) 参与到小组学习中, 与学生一起探讨。任务设置三:刚才我们探讨的是两个生活中的问题, 下面我们来看一个数学问题, 找出所有的“水仙花数”。什么是水仙花数呢?所谓“水仙花数”是指一个三位正整数, 其各位数字立方和等于该数本身。

5. 交流评价 (7分钟)

(1) 引导全体学生开展组间互评。

(2) 根据完成任务的实际情况, 选择有代表性的两三名学生上台展示作品并自评。

(3) 对学生作品中的闪光点和有待改进的地方进行点评。

6. 归纳总结、布置练习 (5分钟)

(1) 通过演示文稿总结本节知识内容。

(2) 归纳同学们在解决问题过程中所遇到的难题。

(3) 略述穷举法的局限性。

(4) 布置课外作业。

穷举法是非解析法解题的基本方法, 但是很多问题的规模很大、穷举法虽然在理论上可以找到解, 但是需要的运算时间太长 (以深蓝的棋谱数据为例) 。所以要研究如何缩小穷举的规模。查看有关国际象棋程序发展的网页以及其他有关网页、理解优化算法的必要性。

八、教学反思

由电影视频设置情景, 破解密码的小游戏开头, 学生立即投入进来, 迅速接受穷举法的概念和要点。布置任务:“水仙花”和“百钱买百鸡”问题, 学生掌握的都较好。但是也有一定的问题, 由于学生的两极分化比较明显, 我带的班级既有理科的实验班, 又有学政史的平衡班, 学政史平衡班的学生感觉拿到题目, 尽管已经知道算法思想, 依然无法下手。怎样将这些班的学生也能在课堂上编出一段程序来, 也就是, 怎样将题目设置的阶梯性更强些, 基础题再基础些, 这需要在以后备课时多加注意。

参考文献

篇4：用画图法解决“鸡兔同笼”问题

一、教学目标

1.用画图的方法解决“鸡兔同笼”问题。

2.经历自主探究解决问题的过程，培养逻辑思维推理能力。

3.了解我国古代数学文化，增强民族自豪感。

二、教学难点

1.谈话引入：今天老师要和大家一起来研究一个有趣的问题。

2.提出问题：学校航模小组要为一些太阳能小车组装车轮，有两个轮子的我们叫两轮车，有四个轮子的我们叫四轮车，我们一起来看看航模小组的同学们在组装时遇上了什么问题。

3.呈现问题：航模小组一共组装了8辆四轮车和两轮车，用了26个车轮，你知道他们组装了几辆两轮车？几辆四轮车吗？

4.理解题意：8是什么意思？26是什么意思？你还能从题目中找到什么隐藏着的数学信息吗？

预设：8是指两轮车和四轮车一共有8辆，26是指车轮的总数一共有26个，题目中隐藏的信息是一辆两轮车有2个车轮，一辆四轮车有4个车轮。

5.自主尝试解决问题：你能猜一猜两轮车和四轮车分别有几辆吗？如果不能一次就猜对也没关系，请你试着在作业单中写一写，画一画，然后和班上的同学一起交流一下你的想法。

预设1：我先把8辆车画好，再来为这些车添上车轮，一辆两轮车，一辆四轮车，这样添到5辆四轮车和3辆两轮车时，车轮刚好有26个。

预设2：我先把26个车轮画好，然后再拿车来套这些车轮，当套到5辆四轮车和3辆两轮车时，刚好有8辆车，而且车轮也刚好是26个。

预设3：我假设所有的车都是两轮车，用了16个车轮，这样比实际的车轮少了10个车轮，那么说明四轮车少了，于是就要为两轮车添上车轮，让它变为四轮车，10个车轮能为5辆两轮车添上车轮变成四轮车，这样就有5辆四轮车和3辆两轮车。

预设4：既然可以假设所有的车都是四轮车，那么也可以假设所有的车都是两轮车。把所有的车都假设为四轮车，这时用了32个车轮，比起实际的车轮多出6个，那就说明四轮车的数量多了，6个车轮可以为3辆四轮车减去轮子变为两轮车，这样就有5辆四轮车和3辆两轮车。

6.尝试数形结合，进行数学模型的建立：看到你们用画图的方法解决了这个问题，老师也想来画一画。

你们明白老师画的这个是什么意思吗？

预设：老师假设这些车全是两轮车，这时用了16个车轮。比起实际的还少着10个车轮，车轮少就表示四轮车的数量少，这时我们要为其中的一些两轮车添上车轮。

交流：10个车轮能为几辆两轮车添上车轮变为四轮车。

预设：因为一辆四轮车比一辆两轮车多着两个车轮，所以多出来的10个车轮能为5辆两轮车添上车轮，这样就有5辆四轮车，3辆两轮车。

接着画

7.用图来验证思考过程：一共8辆车，车轮一共26个，符合题目要求。

8.回忆画图的过程，尝试用式子来表示。

预设：假设全是两轮车，则2？=16（个）；26-16=10（个）；4-2=2（个）；10？=5（辆）四轮车；8-5=3（辆）两轮车。

9.尝试用假设法来解决鸡兔同笼：刚才我们用画图的方法配合着列式来解决了这个问题，你还有什么问题吗？

预设：刚才假设的全是两轮车，我想假设全是四轮车。

好的，把你的想法记录到作业单中。

10.介绍古代鸡兔同笼问题，尝试解决鸡兔同笼问题。

古代鸡兔同笼：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

用自己的语言描述古代鸡兔同笼，尝试解决，交流想法。

11.介绍生活的鸡兔同笼问题，拓展认识。

三、全课小结

自古至今，有许多科学家也做了些鸡兔同笼问题的研究，提出了很多很有意思的解法，如：匈牙利数学家波利亚提出“金鸡独立，兔子站立”，我国数学家张景中也提出了“把鸡翅当成脚的解法，希望课后同学们也能上网或是翻阅书籍查看有关于鸡兔同笼的不同解法。

篇5：用穷举法解决问题

教学目标：

1.在解决实际问题的过程中，使学生体会有时需要使用“去尾法”和“进一法”来求商的近似值才合理，掌握具体求商的近似值的方法。2.培养学生运用知识灵活解决生活中的实际问题的能力。

3.使学生在学习活动中体验成功的喜悦，感受数学与生活的密切联系。

教学重点：体会用“去尾法”和“进一法”求商的近似值的合理性，并掌握具体求商的近似值的方法。

教学难点：使学生理解求近似值的三种不同方法而且能灵活运用三种方法解决问题。教学过程：

（一）导入

（1）每件童装钉3颗纽扣，共有6颗，可以钉几件？7颗纽扣可以钉几件？8颗呢？

（2）同样是6颗纽扣，我要把它放在盒子里，一个盒子只放3颗，至少准备几个盒子？如果有7颗，至少准备几个盒子？8颗呢？ 同样是纽扣，在不同的生活情境中，却有不同的结果，看来生活中并不是所有的问题都能用四舍五入法来解决，还有没有其他方法求商的近似值呢？我们一起来研究研究。

【设计意图：利用生活中的情景揭示数学来源于生活，又服务于生活。从而激发学生浓厚的学习兴趣。】

（二）新授

1.课件出示主题图：小强的妈妈要将2.5千克的香油分装到一些玻璃瓶里，每个瓶最多只能装0.4千克，需要准备几个瓶？

2.齐读题目，理解题意。找出已知条件是什么？求什么？怎样列式？会计算吗？

3.学生可能会出现四种情况，巡视中找到四种情况的练习纸，请学生板演并阐述自己的想法，展开一次讨论交流，学生在交流中达成共识：第四种做法是合理的。

①方法一：2.5÷0.4 = 6.25（个）

生活中能用6.25个瓶子吗？首先明确为什么把商保留整数？ ②方法二：2.5÷0.4 ≈ 6（个）瓶子的个数不能是小数，用“四舍五入法”保留整数，应该是6个瓶子？用6个瓶子能将2.5千克香油装全部装入瓶子吗？

③方法三：2.5÷0.4 = 6（个）……0.1千克6个瓶子只能装2.4千克，还剩下0.1千克，④方法四：2.5÷0.4 ≈ 7（个）还得多准备一个瓶子，所以要准备7个瓶子才能装完。

4.老师也同意第四种方法，请看大屏幕，和老师一起回顾一下我们的分析过程。像解决生活中这样的问题，瓶子的个数必须取整数，不适合用“四舍五入法”取商的近似值，装满6瓶后，不管余下多少，都需要多准备一个瓶。也就是：不管小数部分的数字是多少，像这样取近似值的方法，叫“进一法”（完成黑板板书：2.5÷0.4 = 6.25个≈ 7个）

5、出示例主题图（2）课件：

（三）、深化――质疑问难

师：现在我们回过头来看这一组题目，同样是7颗、8颗纽扣，为什么每件童装钉3颗，只能钉两件？而每个盒子装3颗却要准备3个盒子呢？你能用我们今天学的知识来说理由吗？（指名学生汇报，引导学生列式计算，根据实际取商的近似值）

师归纳：两题的结果都相同，都是小数，题目中都没有明确提出取近似值的要求，我们要根据实际需要取商的近似值。第一题钉纽扣，由于余下的纽扣不够再钉1件，（指着算式7÷3=2.33……（件）≈2（件），8÷3=2.66……（件）≈2（件），）根据实际保留整数，用“去尾法”取近似值，不管整数后面的数字是多少，需要全部舍去；第二题把钮扣装盒，由于余下的钮扣还要多准备1个盒子来装，(指着算式7÷3=2.33……（个）≈3（个），8÷3=2.66……（个）≈3（个），（根据实际保留整数，用“进一法”取近似值，不管整数位后面的数字是多少，都要向前进一。）（板书：根据实际需要）

比较进一法和去尾法，解答上有什么相同点和不同点？结合交流明确：计算的结果都是小数，都没有明确提出取近似值的要求，我们要根据实际需要取商的近似值并且瓶子的数必须是整数必须取整数商。对两道题的结果取近似值时，都不能机械使用“四舍五入”法，而是要根据实际需要确定进一还是去尾。【设计意图：通过比较，让学生既有认识上的提升,同时也有方法上的总结：根据实际取近似值，应如何“进一”，如何“去尾”。相对于前面探索解决问题的过程，这里起到“画龙点睛”的作用。】（四）巩固练习

1结果你认为怎样取近似值合适？ 一堆沙子要运5.3次 一块花布可做3.8件裙子 2.选择

用进一法取近似值的是（）

A、做一套衣服用布2.4米，28米长的布最多能做多少套衣服？ B、某公司有30.8吨的货物需要装运，每辆汽车最多可以装6吨，需要几辆汽车？

C、某瀑布的门票每人20元，870元够买几张

D现在有180个苹果，40个装一箱，可以装几个苹果箱？ 3.计算

王阿姨用一根25米长的红丝带包装礼盒。每个礼盒要用1.5米长的丝带，这些红丝带可以包装几个礼盒？

五、全课总结

篇6：用穷举法解决问题

考虑表1给出的实例，表4给出了用公式（1）（2）填写的动态规划表。

这些标准一般以函数的形式给出，这些函数称为目标函数。可使目标函数达到极值（极大或者极小）的可行解，称为最优解。对于其中的某些问题，可用贪心法求解。

动态规划是基于递归的技术，递归算法通常拥有十分简单的归纳证明。算法设计中一个十分重要的原理，称为最优化原理：给定一个最优的决策序列，每个子系列自身必须是最优的决策序列。

在动态规划算法中，每步所做出的选择往往依赖于相关子问题的解。因而，只有在解出相关子问题后，才能作出选择。

动态规划法通常以自底向上的方式

3．4最优解和最优子集

因此，最大总价值为V［4，5］＝37美元。可以通过回溯这个表格单元的计算过程来求得最优子集的组成元素。因为V［4，5］

4．2用贪心法解0－1背包问题（仍引用表

1的实例）

（1）以目标函数为度量标准进行装包。物品3（承重量＝3，价值＝20美元）效益最大的首先装包，剩下2个承重量，再装入物品4（承重量＝2，价值＝15美元）效益

≠V［3，5］，物品4以及填满背包余下5－2＝3个单位承重量的一个最优子集都包括

在最优解中。而后者是由元素V［3，3］来表示的。因为V［3，3］＝V［2，3］，物品3不是最

算法与语言

解各个子问题。质。问题的最优子结构性质是该问题可用入背包。依此策略一直进行下去，直到背5．2贪心法的基本要素

动态规划算法或贪心法求解的关键特征。

包装满为止。

5．2．1贪心选择性质

5．3动态规划法与贪心法的差异

对于0－1背包问题，贪心选择之所以所谓贪心选择性质是指所求问题的

动态规划法和贪心法都要求问题具不能得到最优解是因为在这种情况下，它整体最优解可以通过一系列局部最优的有最优子结构性质，这是两类算法的一个无法保证最终能将背包装满，部分闲置的选择，即贪心选择来达到。这是贪心法可共同点。但是，对于具有最优子结构的问背包空间使每单位背包空间的价值降低行的.第一个基本要素，也是贪心法与动态题应该选用动态规划法还是贪心法求解？了。事实上，在考虑0－1背包问题时，应比规划算法的主要区别。

是否能用动态规划算法求解的问题也能较选择该物品和不选择该物品所导致的贪心法所做出的贪心选择可以依赖用贪心法求解？

最终方案，然后再做出最好选择。由此就于以往所做过的选择，但决不依赖于将来0－1背包问题与背包问题这两类问

导出许多互相重叠的子问题。这正是该问所做的选择，也不依赖于子问题的解。

题都具有最优子结构性质。对于0－1背包题可用动态规划算法求解的另一重要特贪心法通常以自顶向下的方式进行，问题，设A是能够装入容量为W的背包征。实际上也是如此，动态规划算法的确以迭代的方式做出相继的贪心选择，每做价值的物品集合，则Aj＝A－｛j｝是n－1个物可以有效地解0－1背包问题。

出一次贪心选择就将所求问题简化为规品1，2，∧，j－1，j＋1，∧，n可装入容量为W－wj动态规划法和贪心法的基本区别在模更小的子问题。

的背包的具有最大价值的物品集合。对于于，贪心法仅产生一个判定序列，而动态对于一个具体问题，要确定它是否具背包问题，类似地，若它的一个最优解包规划法可能产生许多判定序列，但是按照有贪心选择性质，必须证明每一步所作出含物品j，则从该最优解中拿出所含的物最优原理，包含非局部最优的部分序列的的贪心选择最终导致问题的整体最优解。品j的那部分重量w，剩下的将是n－1个结果肯定不可能是最优的，所以不予考首先考察问题的一个整体最优解，并证明原重物品1，2，∧，j－1，j＋1，∧，n以及重为wj－

虑。设计贪心法的困难部分就是要证明该可修改这个最优解，使其以贪心选择开w的物品j中可装入容量为W－w的背包

算法确实是求解了它所需要解决的问题。

始。做出贪心选择后，原问题简化为规模且具有最大价值的物品。

参考文献：

更小的类似子问题。然后，用数学归纳法虽然这两个问题极为相似，但背包问证明，通过每一步做贪心选择，最终可得题可以用贪心法求解，而0－1背包问题却［1］王晓东．算法设计与分析［M］．北京：清华大

到问题的整体最优解。其中，证明贪心选不能用贪心法求解。用贪心法解背包问题学出版社，2003．

择后的问题简化为规模更小的类似子问的基本步骤是：首先计算每种物品单位重［2］宋文，吴晟，杜亚军．算法设计与分析［M］．

重庆：重庆大学出版社，2002．

题的关键在于利用该问题的最优子结构量的价值vi／wi，然后，依贪心选择策略，将［3］AnanyLevitin．算法设计与分析基础［M］．北

性质。

尽可能多的单位重量价值最高的物品装京：清华大学出版社，2004．

5．2．2最优子结构性质

入背包。若将这种物品全部装入背包后，［4］卢开澄．计算机算法导引―设计与分析［M］．

当一个问题的最优解包含其子问题

背包内的物品总重量未超过W，则选择单北京：清华大学出版社，2003．

的最优解时，称此问题具有最优子结构性

位重量价值次高的物品并尽可能多地装

（责任编辑：曙光）

Solving0－1KnapsackProblemsbyDynamicProgrammingMethodandGreedyMethod

TANGMin，LIUGuan－rong1，DENGGuo－qiang2

（1．SchoolofComputerScienceandTechnology，WuhanUniversityofTechnology，Wuhan430070，China；

2．SchoolofNatureScience，WuhanUniversityofTechndogy，Wuhan430070，China）

Abstract：0－1knapsackproblemsandknapsackproblemsareaclassicalNPhardproblems．Thispaperadoptsdynamicprogrammingmethodandgreedymethodtosolvesuchproblems，thenanalyzesandcomparesthedifferencesoftwoalgo－rithms．

Keywords：0－1knapsackproblems；knapsackproblems；dynamicprogrammingmethod；greedymethod

月号113

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篇7：用穷举法解决问题

量关系问题

【导语】三支一扶考试中的公共基础知识点很多，中公三支一扶考试网为考生们提供公共基础知识之农业农村知识点，供大家参考学习，助力考生顺利三支一扶考试。

一、题目中出现百分数

例1：两个派出所某月内共受理按键160起，其中甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件，乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件，问乙派出所在这个月中一共受理多少非刑事案件? A96

B72

C60

D48 答案：D 【中公解析】题目中出现百分数，想到用整除，已知甲派出所的刑事案件占17%，根据整除特性可知甲派出所受理案件总数是100的倍数，且甲乙两派出所共受理案件160起，甲受理案件总数只能为100，乙派出所受理案件总数为60;乙派出所20%为刑事案件，故80%为非刑事案件，为48，选择D.二、题目中出现分数

例2：某次英语考试，机械学院有210报名，建筑学院有130人报名。已知两个学院缺考人数相同，机械学院实际参加考试的人数是建筑学员实际参加考试人数的13/8。问建筑学院缺考的人数是多少

A2

B4

C9

D12 答案：A 【中公解析】由 机械学院实际参加考试的人数是建筑学员实际参加考试人数的13/8，可知，建筑学院实际参加考试人数为8的整数倍，即建筑学院总人数减去缺考人数为8的整数倍，带入A符合条件。

三、题目中出现倍数这样的表述

例3：教室里有若干学生，走了10名女生后，男生是女生人数的2倍，又走了9名男生后，女生是男生人数的5倍。问：最初有多少名女生? A12

B15

C10

D9 答案：B 【中公解析】由题意知，最初女生人数减去10后是5的倍数，且是一个正整数，结合选项，只能选择B选项。

四、题目中出现比例

例4：公司四名促销员某月共推销产品100件，甲与丁共推销64件，甲与乙推销量比例为5：3，丙与丁推销量的比例为1：2，则甲该月推销了多少件? A20

B28

C38

篇8：巧用面积法解决问题

一、巧用面积法求线段长

例1如图1, 有一块直角三角形纸片, 两直角边AC=6, BC=8.现将直角边AC沿直线AD折叠, 使它落在斜边AB上, 且与AE重合, 则CD的长为 () .

A.4 B.3 C.2 D.1

【分析】由折叠的性质和勾股定理列式求出AB, 从而求出BE, 设CD=DE=x, 表示出BD, 然后在Rt△DEB中, 利用勾股定理列式计算即可得解.但我们发现用面积法来求CD较为简便.

解:∵直角边AC沿直线AD折叠, 与AE重合,

解得CD=3.故选B.

【点评】本题考查了翻折变换的性质, 由角平分线性质得CD=DE, 再利用勾股定理的应用, 求出斜边AB, 然后由AD把Rt△ABC分成△ACD和△ADB, 利用面积法建立方程求出CD=3.

二、巧用面积法证明线段相等

例2如图2, 已知△ABC≌△A′B′C′, AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的高, AD和A′D′相等吗?请说明理由.

【分析】同学们常常用证全等的方法来说明两条线段相等.我们也可根据三角形的高, 联想到用三角形的面积来说明线段相等.

解:AD=A′D′.理由如下:

∵AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的高,

【点评】这种方法简洁明了.如果出现了高, 要联想三角形的面积, 有时会出现事半功倍的效果.

三、巧用面积法证明线段比相等

例3如图3, AD是△ABC的角平分线.求证:AB∶AC=BD∶DC.

【分析】本题我们可采用过C作AD的平行线, 用平行线分线段成比例来证明, 但由于AD是△ABC的角平分线, 我们想到AD上的点到角两边距离相等, 再想到三角形的面积, 思路更为简洁.

证明:过D点作DE⊥AB, DF⊥AC, 垂足分别为E、F.

∵AD是△ABC的角平分线, DE⊥AB, DF⊥AC,

∴DE=DF, 则有S△ABD∶S△ACD=AB∶AC.

过A点作AH⊥BC, 垂足为H,

则有S△ABD∶S△ACD=BD∶DC.

∴AB∶AC=BD∶DC.

【点评】本题要证明线段的比相等, 正常的思路是用相似来解决问题, 但我们用面积法来证明则更加简单明了.

四、巧用面积法证明线段和差

例4 (2014·盐城, 有删减) 【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题:如图4, 在△ABC中, AB=AC, 点P为边BC上的任一点, 过点P作PD⊥AB, PE⊥AC, 垂足分别为D、E, 过点C作CF⊥AB, 垂足为F.求证:PD+PE=CF.

小军的证明思路是:如图5, 连接AP, 由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得:PD+PE=CF.

小俊的证明思路是:如图5, 过点P作PG⊥CF, 垂足为G, 可以证得:PD=GF, PE=CG, 则PD+PE=CF.

请完成小军和小俊的证明过程.

【变式探究】如图6, 当点P在BC延长线上时, 其余条件不变, 求证:PD-PE=CF.

【分析】【问题情境】如图5, 按照小军、小俊的证明思路即可解决问题.

【变式探究】如图6, 借鉴小军、小俊的证明思路即可解决问题.但细细阅读可知小军的解答思路简洁, 用面积法出奇制胜, 节约时间.

证明:【问题情境】 (小军) 连接AP, 如图5,

∵PD⊥AB, PE⊥AC, CF⊥AB,

且S△ABC=S△ABP+S△ACP,

∵AB=AC, ∴CF=PD+PE.

(小俊) 过点P作PG⊥CF, 垂足为G, 如图5.

先证明:△PGC≌△CEP (AAS) ,

∴CG=PE,

∴CF=CG+FG=PE+PD.

【变式探究】

(小军) 连接AP, 如图6.

∵PD⊥AB, PE⊥AC, CF⊥AB,

且S△ABC=S△ABP-S△ACP,

∵AB=AC, ∴CF=PD-PE.

(小俊) 过点C作CG⊥DP, 垂足为G, 如图6.

易证:△CGP≌△CEP (AAS) ,

∴PG=PE,

∴CF=DG=DP-PG=DP-PE.

【点评】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定.考查了用面积法证明几何问题, 考查了运用已有的经验解决问题的能力.在解题中, 如遇有多条垂线就可联想到用三角形的面积, 巧妙地将三角形的面积分解成几个三角形面积的和或差解题较为简便.

篇9：用画图法帮助学生解决图形问题

首先看其中的两道测试题：

题１：拼一个边长３厘米的大正方形，至少需要（）个边长１厘米的小正方形。

题２：一块长方形木板，长６分米，宽４分米。从这块木板上锯下一个最大的正方形。

（１）锯下的正方形木板的周长是多少分米？

（２）剩下的木板周长是多少分米？

从成绩统计的结果来看，题１的失分率为３１．５４％，题２的失分率为１６．３２％，是整张试卷中失分率最高的两道题。原因分析：题１中学生将周长与面积混淆，很多学生写的答案是１２。题２中最主要的失分点是第（２）小题，错误地将长方形周长减去正方形的周长，得出剩下的木板周长。在对这些错误的深层次分析中，我发现学生在解答图形问题时，不会灵活运用画图的方法，没有养成自觉画图帮助理解题意的好习惯，导致解题错误。

在分析试卷时，我又进一步思考：如何能够避免出现这样的错误呢？仔细想来，只有让学生体会借助画图策略解决这类问题的优势，才能养成自觉画图解决问题的习惯。如果学生能够把抽象的数量关系清晰地呈现在图上，学生就不会把“需要几个小正方形”理解成“至少需要几根小棒”。但是要让图示起到辅助解题的作用，教师还要注意下面两点：

１．画图要完整表述题意

画图可以把抽象的文字表述转化为形象的图示，但是如果图示没有完整地表述题意，就不能起到辅助解题的作用。就拿题１来说，试卷中有部分失分的学生也在旁边画了图，但就仅仅画了一个大正方形，没有在图中画出小正方形，因此还是把题意错误地理解为“至少需要几根小棒”。教师在讲解时，要强调在图上完整地表述题意。

一部分学生可以通过图1直接判断要求的是正方形的面积；对于另一部分抽象能力较差的学生来说，可以继续通过画图（如图2）寻求答案。

再比如这道题：用一张长9厘米、宽6厘米的长方形纸，剪直角边长为2厘米的等腰直角三角形，最多能剪几个？

解答这题时，一部分不画图的孩子很容易错误地解答成用长方形的面积除以小三角形的面积，还有一部分孩子画了图（如图3）：

通过画图，学生发现不能简单地用长方形面积除以正方形面积，因此列式为：9÷2=4（个）……1（厘米）； 6÷2=3（个）；4×3=12（个）。最多可以剪12个。

很明显，这样解答是错误的，这剪的12个是正方形，而不是三角形。为什么学生会出现这样的错误？关键问题还是在于画图时没有完整地表述题意，教师在讲解这类题目时，往往会强调要想知道能剪几个等腰直角三角形，得先求出能剪几个以腰长为边长的正方形，再通过一个正方形剪2个等腰直角三角形求出最后的答案。而学生在画图时，仅仅画出了正方形，没有把题中的“等腰直角三角形”在图中表示出来，应该如图4所示。

因此在解答此类题时，一定要完整地将题意在图中表述出来，忽略其中的任何一个信息都会导致题意理解错误。

２．画图要关注细节

图示虽然具有形象的作用，但是不清楚的图示同样不能起到帮助理解题意的作用。像题２中的第（２）问，学生是这样分析的：这个最大的正方形最长只能是４分米，所以我们可以在这里画一条竖线（如图5）。那么原来的图形就被分成了一个正方形和一个长方形，要求剩下长方形的周长。一部分同学尽管画了图，但图中没有明确标示剩下的部分，学生的关注点就落到问题中的“剩下”两字，由此联想到减法的意义——即用总数减去部分得到剩下的另一部分，于是就出现用大长方形的周长减去正方形的周长的错误。

那么如何让学生避免发生这样的错误呢？我认为还是要在细节上做文章，可以将剩下的部分用阴影表示出来（如图6）。在这一个细节中，学生体会到要求剩下木板的周长就是求阴影部分长方形的周长。这样，学生的关注点自然变成了“图中阴影部分的长和宽分别是多少”，不再是文字中的“剩下”两字。

因此在课堂中，教师在讲解时要关注画图的细节，让学生慢慢体会画图中细节的重要性，这样才能在解题的过程中养成画图的好习惯。

画图法是帮助学生解决问题的一种很好的方法，同时在运用画图法帮助学生解决问题的过程中，能够不断地发展学生的抽象思维能力，最终脑中成图，就像武侠小说中到达 “无剑”的境界，此时“无图”胜“有图”。

（责编罗艳）

endprint

空间和图形问题是数学问题当中相对比较抽象的。特别对于一些空间想象能力较差的孩子来说，即使能熟练记住各种图形的计算公式，但还是不能把题目中的文字转化成头脑中的表象，因此不能正确地解决这类问题。下面就以我校的一次三年级教学质量调研中出现的问题，来说说我自己对教学空间图形题的思考。

首先看其中的两道测试题：

题１：拼一个边长３厘米的大正方形，至少需要（）个边长１厘米的小正方形。

题２：一块长方形木板，长６分米，宽４分米。从这块木板上锯下一个最大的正方形。

（１）锯下的正方形木板的周长是多少分米？

（２）剩下的木板周长是多少分米？

从成绩统计的结果来看，题１的失分率为３１．５４％，题２的失分率为１６．３２％，是整张试卷中失分率最高的两道题。原因分析：题１中学生将周长与面积混淆，很多学生写的答案是１２。题２中最主要的失分点是第（２）小题，错误地将长方形周长减去正方形的周长，得出剩下的木板周长。在对这些错误的深层次分析中，我发现学生在解答图形问题时，不会灵活运用画图的方法，没有养成自觉画图帮助理解题意的好习惯，导致解题错误。

在分析试卷时，我又进一步思考：如何能够避免出现这样的错误呢？仔细想来，只有让学生体会借助画图策略解决这类问题的优势，才能养成自觉画图解决问题的习惯。如果学生能够把抽象的数量关系清晰地呈现在图上，学生就不会把“需要几个小正方形”理解成“至少需要几根小棒”。但是要让图示起到辅助解题的作用，教师还要注意下面两点：

１．画图要完整表述题意

画图可以把抽象的文字表述转化为形象的图示，但是如果图示没有完整地表述题意，就不能起到辅助解题的作用。就拿题１来说，试卷中有部分失分的学生也在旁边画了图，但就仅仅画了一个大正方形，没有在图中画出小正方形，因此还是把题意错误地理解为“至少需要几根小棒”。教师在讲解时，要强调在图上完整地表述题意。

一部分学生可以通过图1直接判断要求的是正方形的面积；对于另一部分抽象能力较差的学生来说，可以继续通过画图（如图2）寻求答案。

再比如这道题：用一张长9厘米、宽6厘米的长方形纸，剪直角边长为2厘米的等腰直角三角形，最多能剪几个？

解答这题时，一部分不画图的孩子很容易错误地解答成用长方形的面积除以小三角形的面积，还有一部分孩子画了图（如图3）：

通过画图，学生发现不能简单地用长方形面积除以正方形面积，因此列式为：9÷2=4（个）……1（厘米）； 6÷2=3（个）；4×3=12（个）。最多可以剪12个。

很明显，这样解答是错误的，这剪的12个是正方形，而不是三角形。为什么学生会出现这样的错误？关键问题还是在于画图时没有完整地表述题意，教师在讲解这类题目时，往往会强调要想知道能剪几个等腰直角三角形，得先求出能剪几个以腰长为边长的正方形，再通过一个正方形剪2个等腰直角三角形求出最后的答案。而学生在画图时，仅仅画出了正方形，没有把题中的“等腰直角三角形”在图中表示出来，应该如图4所示。

因此在解答此类题时，一定要完整地将题意在图中表述出来，忽略其中的任何一个信息都会导致题意理解错误。

２．画图要关注细节

图示虽然具有形象的作用，但是不清楚的图示同样不能起到帮助理解题意的作用。像题２中的第（２）问，学生是这样分析的：这个最大的正方形最长只能是４分米，所以我们可以在这里画一条竖线（如图5）。那么原来的图形就被分成了一个正方形和一个长方形，要求剩下长方形的周长。一部分同学尽管画了图，但图中没有明确标示剩下的部分，学生的关注点就落到问题中的“剩下”两字，由此联想到减法的意义——即用总数减去部分得到剩下的另一部分，于是就出现用大长方形的周长减去正方形的周长的错误。

那么如何让学生避免发生这样的错误呢？我认为还是要在细节上做文章，可以将剩下的部分用阴影表示出来（如图6）。在这一个细节中，学生体会到要求剩下木板的周长就是求阴影部分长方形的周长。这样，学生的关注点自然变成了“图中阴影部分的长和宽分别是多少”，不再是文字中的“剩下”两字。

因此在课堂中，教师在讲解时要关注画图的细节，让学生慢慢体会画图中细节的重要性，这样才能在解题的过程中养成画图的好习惯。

画图法是帮助学生解决问题的一种很好的方法，同时在运用画图法帮助学生解决问题的过程中，能够不断地发展学生的抽象思维能力，最终脑中成图，就像武侠小说中到达 “无剑”的境界，此时“无图”胜“有图”。

（责编罗艳）

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空间和图形问题是数学问题当中相对比较抽象的。特别对于一些空间想象能力较差的孩子来说，即使能熟练记住各种图形的计算公式，但还是不能把题目中的文字转化成头脑中的表象，因此不能正确地解决这类问题。下面就以我校的一次三年级教学质量调研中出现的问题，来说说我自己对教学空间图形题的思考。

首先看其中的两道测试题：

题１：拼一个边长３厘米的大正方形，至少需要（）个边长１厘米的小正方形。

题２：一块长方形木板，长６分米，宽４分米。从这块木板上锯下一个最大的正方形。

（１）锯下的正方形木板的周长是多少分米？

（２）剩下的木板周长是多少分米？

从成绩统计的结果来看，题１的失分率为３１．５４％，题２的失分率为１６．３２％，是整张试卷中失分率最高的两道题。原因分析：题１中学生将周长与面积混淆，很多学生写的答案是１２。题２中最主要的失分点是第（２）小题，错误地将长方形周长减去正方形的周长，得出剩下的木板周长。在对这些错误的深层次分析中，我发现学生在解答图形问题时，不会灵活运用画图的方法，没有养成自觉画图帮助理解题意的好习惯，导致解题错误。

在分析试卷时，我又进一步思考：如何能够避免出现这样的错误呢？仔细想来，只有让学生体会借助画图策略解决这类问题的优势，才能养成自觉画图解决问题的习惯。如果学生能够把抽象的数量关系清晰地呈现在图上，学生就不会把“需要几个小正方形”理解成“至少需要几根小棒”。但是要让图示起到辅助解题的作用，教师还要注意下面两点：

１．画图要完整表述题意

画图可以把抽象的文字表述转化为形象的图示，但是如果图示没有完整地表述题意，就不能起到辅助解题的作用。就拿题１来说，试卷中有部分失分的学生也在旁边画了图，但就仅仅画了一个大正方形，没有在图中画出小正方形，因此还是把题意错误地理解为“至少需要几根小棒”。教师在讲解时，要强调在图上完整地表述题意。

一部分学生可以通过图1直接判断要求的是正方形的面积；对于另一部分抽象能力较差的学生来说，可以继续通过画图（如图2）寻求答案。

再比如这道题：用一张长9厘米、宽6厘米的长方形纸，剪直角边长为2厘米的等腰直角三角形，最多能剪几个？

解答这题时，一部分不画图的孩子很容易错误地解答成用长方形的面积除以小三角形的面积，还有一部分孩子画了图（如图3）：

通过画图，学生发现不能简单地用长方形面积除以正方形面积，因此列式为：9÷2=4（个）……1（厘米）； 6÷2=3（个）；4×3=12（个）。最多可以剪12个。

很明显，这样解答是错误的，这剪的12个是正方形，而不是三角形。为什么学生会出现这样的错误？关键问题还是在于画图时没有完整地表述题意，教师在讲解这类题目时，往往会强调要想知道能剪几个等腰直角三角形，得先求出能剪几个以腰长为边长的正方形，再通过一个正方形剪2个等腰直角三角形求出最后的答案。而学生在画图时，仅仅画出了正方形，没有把题中的“等腰直角三角形”在图中表示出来，应该如图4所示。

因此在解答此类题时，一定要完整地将题意在图中表述出来，忽略其中的任何一个信息都会导致题意理解错误。

２．画图要关注细节

图示虽然具有形象的作用，但是不清楚的图示同样不能起到帮助理解题意的作用。像题２中的第（２）问，学生是这样分析的：这个最大的正方形最长只能是４分米，所以我们可以在这里画一条竖线（如图5）。那么原来的图形就被分成了一个正方形和一个长方形，要求剩下长方形的周长。一部分同学尽管画了图，但图中没有明确标示剩下的部分，学生的关注点就落到问题中的“剩下”两字，由此联想到减法的意义——即用总数减去部分得到剩下的另一部分，于是就出现用大长方形的周长减去正方形的周长的错误。

那么如何让学生避免发生这样的错误呢？我认为还是要在细节上做文章，可以将剩下的部分用阴影表示出来（如图6）。在这一个细节中，学生体会到要求剩下木板的周长就是求阴影部分长方形的周长。这样，学生的关注点自然变成了“图中阴影部分的长和宽分别是多少”，不再是文字中的“剩下”两字。

因此在课堂中，教师在讲解时要关注画图的细节，让学生慢慢体会画图中细节的重要性，这样才能在解题的过程中养成画图的好习惯。

画图法是帮助学生解决问题的一种很好的方法，同时在运用画图法帮助学生解决问题的过程中，能够不断地发展学生的抽象思维能力，最终脑中成图，就像武侠小说中到达 “无剑”的境界，此时“无图”胜“有图”。

（责编罗艳）