函数知识点总结及试题

2024-04-10

函数知识点总结及试题（精选6篇）

篇1：函数知识点总结及试题

为学生引路，为学员服务

2018考研数学知识点：函数极限及连续性内容总结

考研数学中的高等数学，为学生引路，为学员服务

大量的概念、性质以及无穷小量的阶的比较等等，特别是阶的比较，是常考的地方。

3.函数的连续性的定义，间断点的分类,以及连续函数的性质，特别是在闭区间上的连续函数的性质，也是常考的地方。

以上是本章的主要内容，既然是微积分学的基础啊，那么其重要性就不言而喻了，同时也每年都考。当然，由于本章的基本概念、基本理论和基本方法比较多，而这也是相关的考点。从以往的考试分析来说，得分率比较低，希望同学们一定概要重视三基的复习。通过试卷的分析，可以大致归纳一下常考的三种题型：求解极限;无穷小量的比较;间断点的分类判断。对于无穷小量的比较，实际上是求解blob.png型这一未定式的极限，而判断间断点的类型，也是求解极限。因此，这三种题型的中心就是求极限，实际上求极限是贯穿始终的。那么同学们的复习重点就在于求极限的常用方法：如倒代换，有理化，等价代换，洛必达法则，两个基本极限等等。

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篇2：函数知识点总结及试题

2．根据图中有关信息，回答下列问题

(1) ．图中A表示的地形是 , B点的海拔高度为米。在分层设色地形图上，乙地一般为（绿、蓝）色。

(2)．.图中河流方向大致是，说明河流经过的地方地势高低。

(3)．.如果①②两条虚线其中有一条表示有小河流过，则小河有可能位于（①、②）处，请说说你的判断理由

总结：地形与地貌不完全一样，地形偏向于局部，地貌则一定是整体特征。如：鞍部是地形，山谷是地貌。

初一地理陆地和海洋知识点大全

【—初一地理陆地和海洋总结】接下来为大家整合的内容就是全部的陆地和海洋知识，希望对大家的期末考试有所帮助。

陆地和海洋

1.世界海陆分布很不均匀，陆地主要集中在北半球，但北极周围却是一片海洋(北冰洋);海洋主要集中在南北球，但南极周围却是一块陆地(南极洲)

2.地球表面71%是海洋，29%是陆地。 (三分陆地，七分海洋)

3.半岛是陆地伸进海洋的凸出部分;海峡是沟通两个海洋的狭窄水道。

4.七大洲：亚洲非洲北美洲南美洲南极洲欧洲大洋洲

四大洋：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋

5.海陆变迁的原因：地壳的变动和海平面的升降是造成海陆变迁的主要原因，人类活动也会引起海陆的变化。

6.德国科学家魏格纳提出了大陆漂移的假说。

7.20世纪60年代，地球科学研究表明，大陆漂移是由板块运动引起的。

8.六大板块示意图参看课本第37页。

9.一般来说，板块内部地壳比较稳定;板块与板块交界的地带，地壳比较活跃，是世界火山、地震的集中分布地带。

篇3：函数知识点总结及试题

关键词：知识生产函数,R&,D,大中型工业企业

1 引言

R&D是一种创新活动, 是厂商在追逐利润的过程中进行的。世界不同地区的经济增长情况之所以存在差异, 一个重要原因是不同地区R&D投资的强度不同。研究R&D投资与产出的关系变得十分重要。一部分学者基于行业数据研究了知识生产函数的特性, 如吴延兵 (2006) 利用中国34个大中型工业企业行业的面板数据, 研究企业规模、产权结构和绩效水平对知识生产效率的影响。另一部分学者基于国家数据对知识生产函数和R&D投资回报率进行估计, 如严成樑 (2010) 等。本文综合以上研究, 利用中国2001—2011年省级面板数据, 对中国大中型工业企业的知识生产函数的性质及影响因素进行实证考察。本文安排如下:第一部分引言, 阐明本文的主要工作。第二部分文献综述, 主要回顾有关知识生产函数和R&D投资活动的国内外文献。第三部分知识生产函数, 其中包括理论基础、模型建立、数据处理及对中国大中型工业企业的实证分析。第四部分为本文的结论。

2 文献综述

20世纪末至21世纪初是新增长理论 (或称内生增长理论) 发展的重要时期。新增长理论 (new growth theory) 与新古典增长理论 (neoclassical growth theory) 的主要不同之处在于, 新增长理论认为内生的技术进步是保证经济持续增长的决定因素。新增长理论分为两类, 一类是以资本为基础的增长理论 (capital-based growth theory) , 另一类是以研发为基础的增长理论 (R&D-based growth theory) 。这两种新增长理论的分水岭大致是在1990年前后, 主要的开创性工作由Lucas (1988) 和Romer (1990) 完成。以资本为基础的增长理论认为:物质资本积累、人力资本积累和政府公共资本对技术进步和经济增长起到促进作用。以研发为基础的增长理论认为:研发、创新和知识积累对技术进步和经济增长起到促进作用。我们的研究是基于以研发为基础的增长理论进行的。

商业R&D投资的产出就是技术。技术作为知识的一种形式, 具有某些特殊的性质, Romer (1990) 认为知识的两个主要特性是非竞争性和部分排他性。非竞争性是指当一个经济行为人使用某项技术生产商品和服务时, 并不妨碍其他的经济行为人也使用同一种技术。部分非排他性是指技术信息的创造者或所有者难以制止其他人不经授权地在某些方面使用此种技术。知识的部分非排他性意味着商业R&D活动会带来技术溢出效应 (spillover effect) , Jones (1995) 把这种效应称为站在巨人肩膀上的效应 (standing on the giants'shoulders effect) ;知识的非竞争性意味着知识的总生产函数应该是规模收益递增的, 随着更多的知识, 知识的边际产品不会递减。

R&D活动中的投入产出关系决定了R&D投入能够得到多少知识产出的回报。我们通过知识生产函数来建立R&D投入与知识产出之间的关系。关于两者的关系, 国外学者进行了一系列实证研究, 大多数结果都表明R&D投入产出间存在着直接的正相关关系。如Mueller (1966) 应用1958—1960年6个产业的企业数据进行相关系数分析, 发现专利数量与衡量R&D投入的各指标 (如R&D总支出和R&D人数) 之间均存在着高度的相关性。以专利数量为被解释变量对R&D总支出的回归分析表明, R&D支出对专利数量有显著的正影响。在知识生产函数的基础上, 我们需要解决另外一个问题, 即R&D投入与知识产出之间是否存在规模效应, 这一问题直接关系到经济增长的特征。国外学者对此做了诸多研究, 如Comanor (1965) 的研究表明:在规模较小的企业中, R&D投入与产出间表现为规模报酬递增;而在规模较大的企业中, R&D投入与产出间表现为规模报酬递减。

3 知识生产函数及中国大中型工业企业的实证分析

3.1 理论基础

首先建立知识生产函数, Romer (1990) 给出了如下的知识生产函数:

其中表示新产生的知识 (知识产出) , HA表示R&D活动中投入的人力资本数量, A表示知识存量, δ表示除了HA和A之外的其他影响知识产出的因素。Jones (1995) 给出了如下的知识生产函数:

其中LA表示R&D人员的投入, lA衡量R&D过程中研究活动的重复性带来的影响。在均衡条件下, 有

Romer (1990) 和Jones (1995) 给出的知识生产函数可以综合为以下形式:

以后我们统一称为新产生的知识, LA为R&D人员, A为知识存量。很明显, Romer (1990) 和Jones (1995) 的生产函数都将R&D人员和知识存量作为影响新产生知识的投入要素。但Romer (1990) 和Jones (1995) 的知识生产函数的关键区别在于知识存量A的指数部分的参数θ的设定不同。Romer (1990) 假定θ=1, 将式 (1) 两边同时除以A得到知识的增长速度gA=δLAλ, 由知识增长速度的表达式可知:由于λ≠0, 随着R&D人员投入的不断增加, 知识增长的速度也将不断增加, 因此知识生产函数存在规模效应。与Romer (1990) 的观点不同, Jones (1995) 假定θ<1, 在平衡增长路径上知识生产的增长速度 (具体推导过程见附录) , 可见知识增长速度与R&D规模 (通常用R&D人员和R&D经费表示) 无关, 知识生产函数没有规模效应。

3.2 大中型工业企业知识生产函数的建立

在Romer (1990) 和Jones (1995) 的研究基础之上, 本文建立如下的知识生产函数:

其中表示第i个省份第t年新产生的知识;Rit表示第i个省份第t年的R&D经费;Lit表示第i个省份第t年的R&D人员;Ait表示第i个省份第t年的知识存量;A-it表示第t年除第i个省份外其余省份总的知识存量;INTit表示第i个省份第t年的技术引进量。

关于本文设定的中国大中型工业企业的知识生产函数, 需要做以下几点阐述:第一, 我们不清楚中国大中型工业企业的知识生产函数属于Romer (1990) 类型或是Jones (1995) 类型, 即不知道中国大中型工业企业的知识生产是否具有规模效应。因此我们通过确定影响知识生产的因素, 建立回归方程, 并且应用面板数据, 通过回归分析, 对参数进行估计和检验, 从而判断中国大中型工业企业知识生产函数的类型和性质。第二, 本文综合考虑了R&D经费、R&D人员、本省知识存量、其余各省总知识存量以及技术引进量对知识生产的影响。除技术引进量之外, 其余各项的假定与国内外文献大同小异。第三, 国内外文献在考虑知识生产的跨国溢出效应时, 将外商直接投资 (FDI) 和进口数额作为影响本国知识生产的重要因素, 主要有严成樑、周铭山和龚六堂 (2010) , 滕玉华和刘长进 (2010) , Cheung and Lin (2004) 等的研究。由于本文考察的是中国大中型工业企业, 而外商直接投资并非完全用于大中型工业企业, 更加并非完全用于大中型工业企业的R&D活动。根据余玲 (2011) 的研究, 我国外商直接投资主要集中于劳动密集型产业, 而对资本和技术密集型产业投资相对偏少。于是本文从数据可获得性角度出发, 考虑大中型工业企业的技术引进量, 根据中国科技统计年鉴, 本文的技术引进量包括引进国外技术经费支出和引进技术消化吸收经费支出。这种考虑可能比外商直接投资更加符合中国大中型工业企业R&D活动的实际情况, 但是可能会低估知识生产的跨国溢出效应。第四, 本文不考虑进口数额对知识生产的影响, 这种考虑存在某些不足之处, 但是从数据可获得性角度看, 这样的假设也是不得已而为之。

3.3 数据描述

方程 (4) 中的变量的数据可以从历年《中国科技统计年鉴》查找到。我们用每年大中型工业企业专利申请数表示知识流量, 单位为个;用大中型工业企业技术引进量表示INTit, 单位为万元;用大中型工业企业R&D经费表示Rit, 单位为万元;用大中型工业企业R&D人员表示Lit, 单位为人。而知识存量Ait需要通过永续盘存法计算, 单位为个。计算公式为:

其中d表示知识的折旧率, 本文取d=10%。i=1, 2, …, 31, 表示中国31个省市自治区。t=2001, …, 2010, 表示年份。本文将2001年作为基期。从而基期2001年的知识存量为:

其中gi表示第i个省份2001—2010年, R&D活动新产生知识 (专利申请数量) 的平均增长率。

3.4 回归分析及结果

将知识生产函数方程 (4) 的两边取自然对数, 得到本文的回归方程:

其中c=lnδ是常数项, εt是随机扰动项。

本文使用的是中国大中型工业企业2001—2011年的面板数据, 根据Stata12.0软件的分析, 本文的数据是一个平衡的面板数据, 并且属于短面板 (n=31, T=10) 。对于面板数据, 需要进行LM检验及Hausman检验, 来判断究竟是使用固定效应模型还是随机效应模型。最终结果显示本文的面板数据应使用随机效应模型。实际上, 由于西藏自治区的数据大部分缺失, 采用随机效应模型也是合理的。回归结果见下表。

注:***、**、*分别表示在1%、5%和10%的水平上显著。

根据回归结果, 我们得到如下结论:

(1) 本省知识存量对应的系数θ为0.734, 在1%的置信水平上显著, 并且小于1。可见, 我国大中型工业企业在知识生产的过程中, 存在很强的溢出效应, 即过去的R&D活动产生的知识对今后的知识生产起到促进作用。由于θ=0.734, 严格小于1, 因此我国大中型工业企业的知识生产函数更符合Jones (1995) 类型的知识生产函数。这表明, 我国大中型工业企业在知识生产中不存在规模效应。

(2) R&D经费所对应的系数k为0.345, 在1%的置信水平上显著。说明R&D经费投入越多, 生产的知识越多。通过Stata11.0软件画出的各省R&D经费趋势图可知, 近些年我国各省大中型工业企业的R&D经费投入有上升趋势, 尤其是河南、海南和云南。这三个省虽然总的R&D经费投入远不及江苏、浙江、山东、广东等省多, 但是从今后的发展来看, 在R&D投资的力度和强度上有很大的空间。

(3) R&D人员所对应的系数λ为-0.122, 在10%的置信水平上显著。为什么R&D人员对知识生产产生负面影响呢?可能的原因是, 中国R&D人员有很大一部分处在高校和研究所, 真正愿意在企业进行研究的人员可能很少, 这和高校科研文化与企业科研文化的差异有关。同时, 中国R&D人员的使用效率可能偏低, 可能存在闲置。

(4) 其他省份总知识存量的系数μ为-0.089, 在5%的置信水平上显著。其他省份总的知识存量没有促进本省的知识生产, 反而使得本省的知识生产受到阻碍。可能的原因是, 出于经济利益的考虑, 大中型工业企业要保持自己的核心竞争力, 于是技术和创新的交流较少, 这导致本省大中型工业企业可能进行重复的R&D活动却没有取得成功, 导致资金和人员的浪费, 抑制了知识生产。

(5) INT所对应的系数η为0.044, 在10%的置信水平上显著。INT表示技术引进, 其中包括国外技术引进费用和消化吸收费用。本文INT代表技术的跨国溢出对中国知识生产的影响。可见, INT促进中国大中型工业企业的知识生产。由于技术的跨国溢出存在两种效应, 一是挤出效应, 即国外技术引进抑制中国知识生产。二是技术溢出效应, 即国外技术引进促进中国知识生产。对于大中型工业企业, 国外技术的引进促进了知识生产。可能的原因是, 中国大中型工业企业的技术水平相比外国偏低, 国外技术的引进可以很好的促进技术创新和自主研发, 从而提高知识生产的效率。

4 结论

本文通过建立中国大中型工业企业的知识生产函数, 研究知识生产函数的性质, 并基于实证结果, 分析各因素对知识生产的影响。研究发现, 我国大中型工业企业的知识生产函数更符合Jones (1995) 类型, 即知识生产不存在规模效应。我国知识生产中研发投资规模越大, 知识增长速度并不一定越快。本文的主要建议有:

(1) 提高R&D人员利用率。通过实证分析可以看到, 我国大中型工业企业的R&D人员对知识生产存在负面影响。我们需要提高R&D人员的利用率。首先, 制定相关政策保护R&D人员的利益, 使他们的科研成果得到认同并得到实际应用。其次, 吸引R&D人员进入大中型工业企业的科研部门, 让原本水平高、待在高校的R&D人员接触企业, 投身生产一线, 了解当前大中型工业企业的状况, 从而更好地提高大中型工业企业R&D活动的效率。

(2) 合理分配R&D经费。R&D经费的投入能促进大中型工业企业的知识生产。为了更好地发挥R&D经费的促进作用, 除了加大投入力度外, 还要合理分配R&D经费, 保证每一分钱都能充分发挥作用。这需要建立和落实完善的监督机制, 跟踪每一笔R&D经费, 防止相关人员擅自挪用、滥用R&D经费。另外, 还要建立严厉的惩罚制度, 对涉及挪用、滥用R&D经费的人员进行惩罚。

(3) 正确看待国外技术引进。从目前来看, 国外技术引进促进了我国大中型工业企业的知识生产。但是, 我们需要合理看待国外技术引进的促进作用, 有可能这种促进作用只是暂时的。国外的技术远远先进于我国的技术, 不久的将来, 它可能会排挤我国自主研发的技术, 可能会扼杀我国技术创新的动力, 抑制我国的技术创新, 导致我国大中型工业企业的知识生产受到阻碍。因此, 我们在借鉴国外技术的同时, 要更加致力于我国的自主研发, 提升自主研发水平, 提高技术的核心竞争力。

本文存在诸多不足之处。例如, 没有考虑进出口对中国大中型工业企业知识生产的影响。由于数据搜集的问题, 考虑技术引进的影响, 而没有考虑外商直接投资的影响。本文在数据处理上也有些粗糙, 有需要改进的地方。本文还需要进行必要的扩充, 比如对大中型工业企业研发投资回报率及最优研发投资规模进行估算。

参考文献

[1]严成, 周铭山, 龚六堂.知识生产、创新与研发投资回报[J].经济学 (季刊) , 2010, 9 (3) :1051-1070.

[2]Lucas, Robert E., Jr.On the Mechanics of Economic Development[J].Journal of Monetary Economics, 1988 (22) :3-42.

[3]Romer, P.Endogenous Technological Change[J].Journal of Political Economy, 1990, 98 (5) :S71-S102.

[4]Jones, C..R&D-based Models of Economic Growth[J].Journal of Political Economy, 1995, 103 (4) :759-784.

[5]Muller, D.C..Patents, Research and Development, and the Measurement of Inventive Activity[J].Journal of Political Economy, 1966, 15 (1) :26-37.

[6]Comanor, Williams S..Research and Technical Change in the Pharmaceutical Industry[J].Review of Economic and Statistics, 1965, 47 (2) :182-190.

[7]G.M.Grossman, E.Helpman.全球经济中的创新与增长[M].北京:中国人民大学出版社, 2003.

[8]吴延兵.R&D存量、知识函数与生产效率[J].经济学 (季刊) , 2006, 7 (4) :1129-1156.

[9]陈强.高级计量经济学及Stata应用[M].北京:高等教育出版社, 2010.

[10]滕玉华, 刘长进.外商直接投资的R&D溢出与中国区域能源效率[J].中国人口·资源与环境, 2010, 20 (8) :142-147.

[11]Cheung, K., P.Lin.Spillover Effects of FDI on Innovation in China:Evidence from Provincial Data[J].China Economic Review, 2004, 15 (1) :25-44.

篇4：函数知识点总结及试题

一、回顾近年中考，揽函数建模概况

广东省现行的初中毕业生学业考试功能之一就是对教师专业水平、教学质量进行评估。认真分析中考题所涉及的数学思想、解决问题方法等诸多问题，能让我们一线教师更深层次地领悟新课标理念，调整教学策略，在实际工作中少走弯路，提高课堂教学质效。笔者以近5年广东7个地市中考数学试题为例进行统计分析，发现涉及函数建模的试题如下表：

分析发现，函数建模问题在中考中频频出现，特别是几何关系建模问题，已经成为重点考察的数学思想之一，所占分值居高不下，是名符其实的高频考点。可以说，这充分体现了新课标关于函数模型在解决实际问题中的应用理念。

二、剖析建模试题，厘常见问题类型

虽然各地中考中函数建模问题所涉及的现实背景有所不相同，各具新意，但考察的范围主要集中在解决实际问题和综合运用知识能力两个重分值板块中。在近几年全国各地的中考中，涉及函数建模的试题主要有以下几种类型：

类型一：从恒等关系出发，在变量之间寻求建模

函数是刻画现实世界中数量变化规律的数学模型。在实际问题中，数量之间虽然存在着变化，但不是杂乱无章的变，是有序的变、有规律的变，且在变中相互牵制。变量间的这些矛盾完全可以通过某种恒等关系来体现，所以从恒等关系出发分析问题，就一定能找出其蕴含的函数模型。

例1（2011·黄冈）今年我省干旱灾情严重，甲地急需要抗旱用水15万吨，乙地13万吨。现从A、B两水库各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱。从A地到甲地50千米，到乙地30千米；从B地到甲地60千米，到乙地45千米。

（1）设从A水库调往甲地的水量为x万吨，完成下表：

（2）请设计一个调运方案，使水的调运量尽可能小。（调运量=调运水的重量×调运的距离，单位：万吨·千米）

分析：题中的恒等关系式有：

A水库运往甲地的水的吨数+A水库运往乙地的水的吨数=14吨；

B水库运往甲地的水的吨数+B水库运往乙地的水的吨数=14吨；

A水库运往甲地的水的吨数+B水库运往甲地的水的吨数=15吨；

A水库运往乙地的水的吨数+B水库运往乙地的水的吨数=13吨。

填表得：

根据“总调运量=A水库运往甲地的调运量+ A水库运往乙地的调运量+B水库运往甲地的调运量+ B水库运往乙地的调运量”，得：y=50x+30（14—x）+60（15—x）+ 45（x—1）=5x+1275（1≤x≤14）。根据一次函数的性质，当k>0时，y随x的增大而增大，所以当x=1时，y=1280为函数的最小值。

从上述例题可以看出，解决该类型问题的关键是：审清题意，抓住主要因素，舍弃次要因素，简化问题，找准各变量间的恒等关系从而建立数学模型，再运用函数知识解决实际问题。

类型二：从表象特征入手，在圖像迁徙中建模

图像能客观而直接在反映事物变化的趋势，试题信息以图像的形式呈现是近年中考试卷中出镜率最高的一类。初中阶段要求掌握的一次函数、二次函数、反比例函数图像分别对应直线、抛物线、双曲线等图像。

例2（2010·达州）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO。在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降。如图所示，根据题中相关信息回答下列问题：

（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；

（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？

（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？

从上述例题可以看出，若题目信息以图象形式呈现，可直接根据图象类型设出对应的函数解析式，再利用图象中点的信息确定系数，最后回到运用函数知识解决实际问题上来。

类型三：从表格数据切入，在信息变化中建模

表格的优势是能准确反映变量间的对应关系及变化的趋势。中考试题中以表格形式呈现题目信息的实际问题也比较常见。

例3（2005·临沂）某厂从2005年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：

认真分析表中数据，投入技改资金（万元）与产品成本（元/件）存在某种变化规律，按照这种变化规律，若2009年已投入技改资金5万元。

从上述例题可以看出，每组对应值的乘积是一个定值，这类实际问题符合反比例函数特性，可建模为反比例函数解决。而很多问题可能不具备这种特性，则需要通过图象来确定，以每组对应值为有序实数对描点、连线，得到函数图象，再根据图象特征观察、尝试、检验尽可能小误差地建立恰当的函数模型。

在对解决实际问题能力的考查中，建模一次函数的题材较多，这与一次函数、一元一次方程及一元一次不等式之间可以相互转化、紧密联系分不开，知识难度适中，适合多向考查，这不但是命题专家关注的的重点地带，也应是我们一线教师必须突破的堡垒。

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类型四：从几何关系入手，在综合运用中建模

中考中的压轴题往往是拉开考生分數差距，以利于高一级学校选拔优秀学生的最后一道屏障。压轴题具有涉及范围广、知识点多的特点，代数知识与几何知识的有机结合是这类试题的亮点之一，更是试题难点所在。因此，对考生综合能力的要求也就更高。

例 4（2009年广东）正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，

从上述例题可以看出，这类试题可依据面积公式、相似图形比例关系等先建立几何元素间的二次函数模型，再通过二次函数的最值性求取几何图形中面积、线段的最大值或最小值。这是中考的重要考点，在试卷中居有不可撼动的地位。

通过对近年各地中考中出现的函数模型试题类型的分析，我们可以清楚地看到：运用函数建模思想能解决越来越多与人们生产、生活相关的问题——考试与生产、生活越来越近。因此，在日常教学中我们一线教师应有责任、有意识帮助学生树立基本的数学思想，以严谨的思维、科学的方法、有效的策略助学生在学习的道路上越走越顺畅，越走越高远。

三、传授方法步骤，浸建模思想意识

新课程课标准用建模思想对数学教学提出的要求，实际上反映了时代对培养学生应用意识和创新意识要求的增强。中考对课程标准贯彻的力度是有目共睹的，所以在课堂教学中更应高度重视渗透建模思想，培养学生的建模能力。

1. 学以致用申明建模意义，激发学生求知欲。传统的数学教学较注重学生运算能力、逻辑思维能力，缺乏对数学思想、应用意识的培养，这在无形之中把数学与生活隔离开来。学生是为了“学数学”而学数学，感受不到数学的应用价值所在。在日常教学中渗透函数建模思想和方法，不仅帮助学生更好地理解、掌握了数学基本知识，更能让学生体会到数学在实际生活中的应用价值所在，明确学习不仅仅是为了考试，树立正确的数学观和学以致用的学习理念，激发学习数学的兴趣。其次，函数建模思想是一种重要的数学思想，初中数学教学阶段逐步渗透数学思想方法，符合学生的认知规律，有助于提升学生的数学能力和素质。

2. 日常渗透奠基建模思想，提高学生创造力。要使学生表现出良好的函数建模思想和能力，在日常教学中利用各种契机渗透建模理念：①抓住概念教学契机。课本上各种函数概念的引入都是从实际问题开始的，利用好引入素材，让学生体会数学知识来源的生活性。②抓住例题教学契机。教材中涉及函数应用的范例，为实际问题“数学化”提供了丰富的材料和最基本的实例，所以抓住课本素材贯彻建模意识和方法。③抓住练习的契机。习题充分挖掘课本或生活中时代感强的题材，强化学生思维动机，激发学习兴趣，通过建模解决实际问题来体验建模思想的实用价值，逐步提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，进一步开发学生的创造潜能。

3. 师生互动达成建模共识，搭建学生智慧桥。培养学生的建模能力，首先要帮助学生掌握扎实的基础知识和基本技能。如，初中四种函数的解析式、性质及其图像特征等知识必须牢固掌握。其次，教师要教给学生建模的方法。建模的一般步骤为：第一步：模型准备，分析实际问题蕴含的内在规律，领悟其内在的数学本质。第二步：模型假设，对问题进行必要的简化，用精确的语言提出一些恰当的假设。第三步：模型建立，在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系即数学模型。第四步：求解，运用数学工具对模型求解。第五步：模型分析，对求解的结果进行检验，将结果“翻译”回实际问题中去，检验其合理性，预测一些未知的现象，并能被实践所证明。教学中通过教师引导、学生自主探究，逐步熟悉、掌握函数建模的步骤和方法，把实际问题逐步转化为构建模型所需的基本要素。

4. 排除建模障碍，提升学生学习力。教学实践发现，学生顺利掌握建模方法仍有一定的难度，首先体现在文字理解能力差，不能准确把握文字信息，将生活语言转化为数学语言。其次，不能准确领悟变量间的恒等关系，对建立何种函数模型缺乏目标性。综合题型中，学生对多个知识的融会贯通、综合运用能力不足。所以，教师在准备教学的过程中不仅要做知识层面的准备，更需先备学生，预见到学生可能会存在的疑惑和难点。只有帮助学生掌握方法、提升能力，才能使学生解决建模问题的能力大大提高。

在近年的教学工作中，我对函数建模问题的处理坚持理念引导为先，层层落实，扎实推进。学生对函数建模知识的学习由懵懂到清晰、从混乱到有序、从无需到渴望，对函数知识的掌握和应用得心应手。进入初三综合总复习阶段，只要稍作点拨，学生对建立函数模型解决实际问题这一数学思想就会领悟得更透彻，所以中考中得分率非常高。

参考文献：

[1]初中数学课程标准[Z].2011版.

[2]翟爱国.2009年中考应用问题中的模型构建[J].中国数学教育，2010，（7—8）.

[3]朱道元等编著.数学建模案例精选[M].北京：科学出版社，2003.

[4]苏文华.浅谈如何将数学建模思想融人数学教学[J].课程改革，2011，（12）.

[5]徐迪.课堂教学中数学建模思想的渗透——一元一次不等式应用[J].数学教育研究，2011，（2）.

篇5：函数知识点总结及试题

（1）考查二次函数的定义；（2）确定二次函数解析式；（3）二次函数的平移；（4）考查二次函数与一元二次方程的关系；（5）考查二次函数的各项系数与图象的位置的关系。

误区提醒:

篇6：初中函数知识点总结

函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)

（一）平面直角坐标系

1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系

2、各个象限内点的特征: 第一象限：（+，+）点P（x,y），则x＞0,y＞0；第二象限：（-，+）点P（x,y），则x＜0,y＞0；第三象限：（-，-）点P（x,y），则x＜0,y＜0；第四象限：（+，-）点P（x,y），则x＞0,y＜0；

3、坐标轴上点的坐标特征：

x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。两坐标轴的点不属于任何象限。

4、点的对称特征：已知点P(m,n), 关于x轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号关于y轴的对称点坐标是(-m,n)纵坐标相同，横坐标反号关于原点的对称点坐标是(-m,-n)横，纵坐标都反号

5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。

6、各象限角平分线上的点的坐标特征：

第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。

第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

7、点P（x,y）的几何意义：点P（x,y）到x轴的距离为 |y|，点P（x,y）到y轴的距离为 |x|。点P（x,y）到坐标原点的距离为

8、两点之间的距离：

X轴上两点为A(x1,0)、B(x2,0)|AB||x2x1|

x2y2 Y轴上两点为C(0,y1)、D(0,y2)|CD|已知A(x1,y1)、B(x2,y2)AB|=

|y2y1|

(x2x1)2(y2y1)

29、中点坐标公式：已知A(x1,y1)、B(x2,y2)M为AB的中点

则：M=(x2x1yy1 , 2)2210、点的平移特征：在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x-a，y）；将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）；将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）；将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）。

注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。

（二）函数的基本知识：基本概念

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。*判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

5、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

7、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；

第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8、函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

（三）正比例函数和一次函数

1、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx(k不为零)① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，•直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．(1)解析式：y=kx（k是常数，k≠0）(2)必过点：（0，0）、（1，k）

(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限(4)增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小(5)倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

2、一次函数及性质

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b(k不为零)① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数

一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-

b，0）两点的一条直线，我们称它为直k线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)（2）必过点：（0，b）和（-

b，0）k（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限

k0k0直线经过第一、二、三象限 直线经过第一、三、四象限 b0b0k0k0直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限 b0b0注：y＝kx+b中的k，b的作用：

1、k决定着直线的变化趋势

① k>0 直线从左向右是向上的 ② k<0 直线从左向右是向下的

2、b决定着直线与y轴的交点位置

① b>0 直线与y轴的正半轴相交 ② b<0 直线与y轴的负半轴相交

（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.（6）图像的平移：当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.3、一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.注：对于y＝kx+b 而言，图象共有以下四种情况：

1、k>0，b>0

2、k>0，b<0

3、k<0，b<0

4、k<0，b>0

4、直线y=kx＋b(k≠0)与坐标轴的交点．

(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0)；

(2)直线y=kx＋b与x轴交点坐标为

5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

与 y轴交点坐标为(0，b)．

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

（3）解方程得出未知系数的值；

（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.6、两条直线交点坐标的求法：

方法：联立方程组求x、y 例题：已知两直线y＝x+6 与y＝2x-4交于点P，求P点的坐标？

7、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系（1）两条直线平行：k1=k2且b1b2（2）两直线相交：k1k2（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2平行于轴（或重合）的直线记作

.特别地，轴记作直线

8、正比例函数与一次函数图象之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.9、一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.10、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.11、一次函数与二元一次方程组

（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=acx的bb图象相同.（2）二元一次方程组a1xb1yc1ac的解可以看作是两个一次函数y=1x1和

b1b1a2xb2yc2y=a2cx2的图象交点.b2b212、函数应用问题（理论应用实际应用）

（1）利用图象解题通过函数图象获取信息，并利用所获取的信息解决简单的实际问题.（2）经营决策问题函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案，最佳策略等问题.建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知题.(四)反比例函数

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。

取值范围： ① k ≠ 0;②在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是不等于0的任意实数;③函数 y 的取值范围也是任意非零实数。反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线

反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。

反比例函数的性质：

1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。

2.k>0时，函数在x<0和 x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0和x>0上同为增函数。

定义域为x≠0；值域为y≠0。

3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

4.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则S1＝S2=|K| 5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴

y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n2 +4k·m≥（不小于）0。（k/x=mx+n，即mx^2+nx-k=0）