高三不等式应用题教案

高三不等式应用题教案（通用9篇）

篇1：高三不等式应用题教案

不等式的应用

一、内容归纳

1知识精讲：在前面几节课学习的不等式的性质、证明和解不等式的基础上运用不等式的的知识和思想方法分析、解决一些涉及不等式关系的问题.2重点难点: 善于将一个表面上看来并非是不等式的问题借助不等式的有关部门知识来解决.3思维方式: 合理转化；正确应用基本不等式；必要时数形结合.4特别注意: 应用基本不等式时一定要注意应用的条件有否满足，还要检验等号能否成立.二、例题选讲

题型

1、不等式在方程、函数中的应用。例

1、P96 函数y2axb的最大值4,最小值-1,求常数a,b,的值。

x21小结：本题用的是判别式法的思想 练习：P96深化拓展

练习：若关于x的方程4a2a10有实根,求实数a的取值范围。

xx4x1(2x1)22(2x1)22x解：ax212222 x212x121题型2：不等式在几何中的应用 例

2、用一块矩形木板紧贴一墙角围成一直三棱柱空间堆放谷物，已知木板的长为a，宽为b，墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直怎样围法，直三棱柱的空间最大？这个最大值是多少？ 解：如图：A—CC1---B是二墙面所成直二面角, CC1面ABC VABCA1B1C1AB2CC11AC2CB2ACCBCC1CC1（AC=CB时取”=”）244a2b当AB=a,AA1=b时，V1

4b2a当AB=b,AA1=a时，V2

4a2b因此，所围成直三棱柱的底面是等腰Rt，高等于b时，这柱体的体积有最大值.4题型

3、建立函数关系式，利用均值不等式求最值。例3，已知a>0,求函数yx2a1xa2的最小值。

cm，画面的宽与高的比为(1)，画练习：.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840面的上下各留8cm的空白，左右各留5cm的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果[,]，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？

2解：设画面的高为xcm，宽为xcm，则x4840，设纸张面积为S，则有

2334S(x16)(x10)

x2(1610)x16050004410(85时，S取最小值，此时，高x8

5)6760，当且仅当85时，即

484088cm，宽x58855cm.823342312, 34如果[,]，则上述等号不能成立.现证函数S()在[,]上单调递增.设

2334则 S(1)S(2)4410(81518252)4410(12)(8512)，因为12255又120，所以S(1)S(2)0，故S()80，3812在[,]上单调递增，因此对[,]，当233423342时，S()取得最小值.3[思维点拔] 用均值不等式求最值时，如果满足“一正二定三相等”，则可直接求解；如果不符合条件中的相等，则应先判断函数的单调性后在求解.题型

四、综合问题 P96 例3 已知函数f(x)ax2bxc(a0且bc0)（1）若|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1,试求f(x)的解折式；

（2）今g(x)=2ax+b,若g(1)=0,又f(x)的图象在X轴上截得的弦的长度为L且0l2，试求f(x)的解折式。

解：P96

三、小结

1、要善于用不等式的知识解决一些表面上非不等式的问题；

2、使用不等式的有关性质、定理、结论时一定要准确到位，尤其是使用基本不等式求最值时，一定要检验等号能否成立。

四、作业：

篇2：高三不等式应用题教案

高考网xn1n11xCnx2n21x2.....学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！

高考网n2x21xn2Cnn1x1xn1Cnx1n2Cnx2n4......Cnn21xn4Cnn11xn2

11n21112n1n4n2C(x)C(x)....C(x)nnnn2n4n22xxx122(C1nCn...Cn2n1)CnCn...Cn12n122

n

例15．（2001年全国理）己知i,m,n是正整数，且（1）证明：niAmmiAn（2）证明：1m1n n1imn

iim证明：（1）对于1im,有Amm.(m1)......(mi1),同理AnniiiAmmiimmm1mm2m......mi1m

nn1n2ni1......由于mn,对整数k1,2,......,i1,有 nnnnm,AnniinknmkAmmiiiii即mAnnAm

nni（2）由二项式定理有(1m)(1imn),而CnmiimCi0iinm,(1n)iiminCi0iiimii,由(1)知mAnnAm

iiAni!ii,CmoiAmi!imcnnCm(1imn)

o11i因此mCni2nimi2iiooinCm,又mCnnCm1,mCnnCmmn,mCn0

mi(min)mCnnCm即(1m)(1n)。

i0i0iinm

七、强化训练

1．已知非负实数x，y满足2x3y80且3x2y70，则xy的最大值是（）

A．7B．

C．

2D． 3

382．已知命题p：函数ylog0.5(x2xa)的值域为R，命题q：函数y(52a)

2x

是减函数。若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是

（）

A．a≤1 B．a<2 C．1

axx2x32＞0 4．求a，b的值，使得关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分别是：

(1)[-1，2]；(2)(-∞，-1]∪[2，+∞)；(3){2}；(4)[-1，+∞)． 5． 解关于x的不等式1a2xaax(a0且a1)6．（2002北京文）数列x由下列条件确定：xn1a0,xn11a,nN xn2xn16 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！

高考网（1）证明：对于n2,总有xna,（2）证明：对于n2,总有xnxn1．

7．设P=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1，若t在区间[-2，2]上变动时，P恒为正值，试求x的变化范围．

8．已知数列an的通项为an,前n项和为sn,且an是sn与2的等差中项，数列b1=1，点P（bn,bn+1）在直线x-y+2=0上。Ⅰ）求数列an、bn的通项公式an,bn Ⅱ）设bn的前n项和为Bn, 试比较

1B11B2...1Bn与2的大小。

bn中，Ⅲ）设Tn=b1a1b2a2...bnan,若对一切正整数n,Tnc(cZ)恒成立,求c的最小值

八、参考答案

1．解：画出图象，由线性规划知识可得，选D 2．解：命题p为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数x22xa的判别式44a0，从而a1；命题q为真时，52a1a2。

若p或q为真命题，p且q为假命题，故p和q中只有一个是真命题，一个是假命题。

若p为真，q为假时，无解；若p为假，q为真时，结果为1

（1）当a1时，由图1知不等式的解集为xxa或1x3

（2）当1a3时，由图2知不等式的解集为（3）当a3时，由图3知不等式的解集为xx1或ax3

xx1或3xa

4．分析：方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互交通．

解(1)

由题意可知，a＞0且-1，2是方程ax2+bx+a2-1≤0的根，所以 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！

高考网

(3)由题意知，2是方程ax2+bx+a2-1=0的根，所以

4a+2b+a2-1=0．

① 又{2}是不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集，所以

(4)由题意知，a=0．b＜0，且-1是方程bx+a2-1=0的根，即-b+a2-1=0，所以

a=0，b=-1．

说明：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间相互联系相互渗透，并在一定条件下相互转换。

5．分析：在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，数形结合，则可将不等式的解化归为直观，形象的图象关系，对含参数的不等式，运用图解法，还可以使得分类标准更加明晰。解：设tax，原不等式化为1t2at(t0)设y1一坐标系中作出两函数图象

y1y2,故（1）当0a1时,0t1,即0a当1a2时,如右图,解方程2x1t(t0),y2at，在同

21x0,)

21tat得t1,222a2a22（2）a2a2ta2a2x(log22aa

a2aa22,log2)（3）当a2时，原不等式的解集为φ

综上所述，当a(0,1)时，解集为0,）；当a(1,2)时，解集为

2a(log2a22,log2a2a22);当a2,)时，解集为φ。

6．证明：（1）x1a0及xn112(xnaxn)知xn0,从而xn112(xnaxn)xnaxna(nN)学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！

高考网 当n2时xna成立

12axn1a（2）当n2时，xn2a0,xn1(xn),xn1xn2xn(xn)

=12axnxn0.n2时,xnxn1成立

7．分析：要求x的变化范围，显然要依题设条件寻找含x的不等式(组)，这就需要认真思考条件中“t在区间[-2，2]上变动时，P恒为正值．”的含义．你是怎样理解的？如果继续思考有困难、请换一个角度去思考．在所给数学结构中，右式含两个字母x、t，t是在给定区间内变化的，而求的是x的取值范围，能想到什么？

解：设P=f(t)=(log2x-1)t+log22x-2log2x+1．因为 P=f(t)在top直角坐标系内是一直线，所以t在区间[-2，2]上变动时，P恒为正值的充要条件

解得log2x＞3或log2x＜-1．

说明：改变看问题的角度，构造关于t的一次函数，灵活运用函数的思想，使难解的问题转化为熟悉的问题．

8．分析：本题主要复习数列通项、求和及不等式的有关知识。

n略解：Ⅰ）an2,bn2n1

Ⅱ)Bn=1+3+5+„+(2n-1)=n2

1B11B21121n...1231B11Bn1121212132...1n122 12..1B2(n1).n...1Bn1(12)(1213)...(1n11n)

2 Ⅲ)Tn=

121212123222325232...521242n1n2①

2n1222n1Tn...123②

22n①-②得Tn1223...2n12n1 学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！

篇3：巧列不等式解答应用题

一、从题目中直接列不等式

这种题目明确地给出了某件事情的限定条件,例如,有大于、小于、不超过、高于等等表示不等关系的词语。对于这类题目,要紧紧抓住这些词语前面的量,也就是关键词。对于这种题型,一般分析题意后,设出未知数,列代数式来表达出这个量,然后根据限定的条件直接或作一下转化来列出不等式。

例如, 甲以5km/h的速度进行有氧体育锻炼,2小时后,乙骑车从同地点出发沿同一条路追赶甲。根据他们两人的约定,乙最快不早于1小时追上甲,最慢不晚于1小时15分追上甲。问乙骑车的速度应该满足什么条件?

分析题意:不难发现“不早于、不晚于”是限定的条件, 这是对时间的限定。不妨设乙骑车的速度为xkm/h,用含x的代数式来表示时间即可。根据路程 、速度、时间的关系:有时间为(5×2+5×1)/x;(5×2+1×5/4)/ x, 然后根据“不早于 , 不晚于” 来列出不 等式(5×2+5×1)/x>1;(5×2+1×5/4)/x<5/4。当然也可以进行转化,“不早于”就是1h后,乙不追上甲,即在1h后甲的路程要大与乙的路程,从而得到5×2+5×1>x,同理5×2+1×5/4<5/4x, 根据题目的意思列出限定的量,最后根据题目的意思列出不等式。

二、挖掘题意,深入分析,列不等式

这类的题目没有明确给出某个事情的限定条件,要靠学生认真读题,抓住每个术语进行分析,或者要联系生活实际分析,寻找隐含的各种限定条件,然后根据找到的条件来列不等式。

例如,某工厂有甲种原料360㎏,乙种原料290㎏, 计划利用这两种原料生产A,B两种产品共50件。已知生产一件A种产品需要甲种原料9㎏、乙种原料3㎏;生产一件B产品需要甲种原料4㎏、乙种原料10㎏。求:(1)设生产A种产品x件,写出x应满足的不等式(组);(2)写出所有的生产方案。

分析题意:逐步展开,不难得出生产B种产品(50-x)件,而生产一件A种产品需要甲种原料9㎏、乙种原料3㎏。现在生产x件,需要甲种原料9x㎏、乙种原料3x㎏。同理,现在生产B种产品(50-x)件,需要甲种原料4(50-x)㎏、乙种原料10(50-x)㎏,而题目给出工厂共有甲种原料360㎏, 乙种原料290㎏。由生活、生产实际出发,生产A,B两种产品所需要的原料数目, 不能超出甲种原料和乙种原料现有量。即这就是分析题目找出的限定条件,所以有9x+4(50-x)≤360,3x+10(50-x)≤290。解出这个不等式组,根据实际,可回答后面的问题。

三、结合方程、函数,分析实际情况,列不等式

这类题目有些先给出题目的结论, 问题是寻找结论成立的条件。我们可以先假设结论成立,然后由结论的性质去推理得到所需要的条件。要解决这样的实际问题,关键是将实际问题转化为数学问题,建立数学模型,寻找最佳的方案。

例如, 某批发商欲将一批海产品由A地运往B地, 汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务。已知运输路程均为120千米,汽车和火车的速度分别为60千米/时、100千米/时。两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示:

注:“元/吨·千米” 表示每吨货物每千米的运费;“元/吨·小时”表示每吨货物每小时的冷藏费。

(1)设该批发商待运的海产品有x吨 ,汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1元和y2元,试求y1和y2与x的函数关系式;

(2)若该批发商待运的海产品不少于30吨 ,为节省运费,他应选择哪个货运公司承担运输业务?

分析题意: 列出 (1)y1=120x×2+(120/60)×5x+200,y2=1.8×120x +(120/100)×5x +1600, 化简后得y1=250x +200,y2=222x+1600。对于第二个问题 ,由若y1= y2,即250x+200=222x+1600,解得x=50。当海产品是50吨时, 汽车货运公司和铁路货运公司运输的费用一样多,再由y1>y1,250x+200>222x+1600,解得x>50。同样若y1<y2,解得x<50,然后根据实际回答问题。

篇4：高三不等式应用题教案

关键词：高三数学;专题复习;有效教学

围绕“如何能使高三的专题复习课更加有效”这一主题，2012年10月14日，本人在我校高中数学教研组主题研讨会上开了一段片段教学“应用基本不等式求最值问题”，以下呈现该片段教学的教学设计，希望能与同行进行交流，以期抛砖引玉。

一、教学目标

（1）知识目标：熟练理解掌握课本两个基本不等式，并能灵活选用基本不等式解决求最大与最小值的问题。

（2）能力目标：培养学生的观察分析，拓展延伸，发现新结论与新方法的能力;培养学生抽象概括，转化化归以及应用数学知识解决问题的能力。

（3）情感态度与价值观：课堂教学中，学生通过对基本问题与基本方法的观察分析，拓展延伸，培养了细心观察，敢于探索，大胆发现的科学创新精神与能力。循序渐进的问题设置，激发了文科学生学习数学的自信心与积极性，提高了学习效率。

二、教学重点

基本不等式的回顾与拓展，灵活选用基本不等式解决一类求最大与最小值的问题。

三、教学难点

（1）理解应用基本不等式求最值的三个条件：“一正、二定、三相等”。

（2）灵活选用基本不等式解决求最大与最小值的问题。

四、学生特征分析

教学对象是高三文科班学生，数学基础相对较弱;从学习数学的心理角度分析，相当部分学生害怕数学。学习方式更趋于背与记，思维不够灵活，学习数学效率较低。比较适合的教学方式是教师表达数学方式通俗易懂，如教师语言通俗易懂，错综复杂关系，抽象问题借助图表表述使其更生动形象等。问题的设置简单精致而内涵丰富，教学过程循序渐进等。

五、教学方法

引导学生回顾基本不等式及成立的条件，并在此基础上启发学生探讨几个基本不等式的内在联系，进一步发现新的不等式及在解决数学问题中的应用;在对例题的分析过程中，引导学生在对已知条件分析透彻的前提下恰当进行问题转换。求最值问题的关键是锁定目标函数，根据题设条件与目标函数的特征灵活选择基本不等式求目标函数的最值。

六、本节课的构想

本片段教学构想分成两部分，其一：加深对基本不等式的理解，拓展基本不等式：在引导学生对基本不等式进行回顾的基础上，引导学生对基本不等式的简单证明、成立的条件进行理解与分析，然后进一步引导学生揭示基本不等式的内在联系，发现新的基本不等式及其应用。目的在于使复习课能够以点带面，夯实基础，形成知识体系;其二：灵活选用基本不等式解决最值问题。应用基本不等式解决有关最值的问题是新教材、新课标、新考纲的要求，教学时，我根据文科学生的特点，设置一些学生熟悉的、简单精致但蕴含丰富数学思想的问题，引导学生进行观察、分析与转化，让学生学会如何根据题设条件灵活选用基本不等式来解决最值问题，提高学生分析与解决问题的能力，提高学习效率。

七、教学过程

过程1：引导学生对基本不等式进行回顾：

师：同学们，请你们回顾一下，我们学过哪些基本不等式呢？（教师板书）

预设：学生平时应用较多的是a+b≥2（a>0，b>0），ab≤（a>0，b>0），a2+b2≥2ab（a∈R，b∈R）当且仅当a=b时取等号。

师：在应用基本不等式ab≤求最值时，常要求a>0，b>0，请同学们思考一下，a，b在实数范围内会成立吗？为什么？

预设：在教师引导下，学生对不等式进行等价变形，能发现在实数范围内不等式也会成立。

师：还有其他的基本不等式吗？（学生疑惑）

师：我們来看看这几个基本不等式之间的内在联系：我们对这几个基本不等式进行归纳，发现它们之间的关系无非就是两个数的和与积的关系，平方和与积的关系，我们用一个三角形的示意图来揭示它们之间的关系如图，这个图引导我们进一步思考：两个数的和与平方和之间有没有一个不等式相联呢？

师：能不能从a2+b2≥2ab（a∈R，b∈R）这个不等式上找到答案？观察这个不等式，左边已是平方和，右边能否转化为和？如何转化？只要在不等式的左右两边同时加上a2+b2，就得到联系平方和与和的不等关系：2（a2+b2）≥2（a+b）2（a∈R，b∈R）。补充结构图：

过程2：应用基本不等式求最值：

师：今天这节课我们来解决一个问题：灵活选用基本不等式解决有关最值的问题。

利用基本不等式求最值的方法的回顾及方法的提炼：

（1）用基本不等式求最值要注意：一正（两个数为正数）、二定（定值）、三相等（能取得到等号）

（2）当两个正数的积为常数，和有最小值，常用不等式：

a+b≥2（a>0，b>0，），当且仅当a=b时取等号。

（3）当两个正数的和为常数，则这两个正数的积有最大值，常用不等式：

ab≤（a>0，b>0），当且仅当a=b时取等号。

（4）当涉及两个正数的平方和与积时，通常选用基本不等式：

a2+b2≥2ab（a∈R+，b∈R+），当且仅当a=b时取等号。

（5）当涉及两个正数的平方和与这两个数的和时，通常选用基本不等式：

2（a2+b2）≥2（a+b）2（a∈R+，b∈R+），当且仅当a=b时取等号。

过程3：典例分析

例1：已知一个直角三角形的斜边长为2。

（1）求这个直角三角形面积的最大值;

（2）求这个直角三角形周长的最大值。

设计意图：这个问题的设置是在研究课本例题的基础上进行变式，克服学生的思维定势，引导学生根据题设条件与目标函数的关系恰当灵活地选用基本不等式（选择平方和与积以及平方和与和的不等关系）解决问题。

例2：若两个正数a，b满足ab=a+b+3：

（1）求ab的范围;

（2）求a+b的范围。

设计意图：培养学生观察分析问题的能力，引导学生根据题设条件与问题灵活选用基本不等式（选择和与积的不等关系）解决问题。其中渗透了已知与未知之间的转化化归思想（已知和与积的关系，要求积的范围，如何把和转化为积;要求和的范围，又如何把积转化为和）以及换元的思想。

例3：三角形△ABC中，A，B，C所對的边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，求角B的范围。

设计意图：这个问题综合性较强，涉及数列，三角函数，余弦定理及基本不等式知识，目的在于训练学生综合应用知识的能力。教学中，我引导学生把已知条件分析透彻，由已知：2b=a+c，给出的是三角形边的关系。要求三角形角的范围，引导学生思考：如何将三角形的边与角联系起来？三角函数！根据已知条件特点，将目标函数定为角B的余弦！

（当且仅当a=c时取等号），由余弦函数图象，得角B的范围为：

cosB===-≥-=（当且仅当a=c时取等号），由余弦函数图象，得角B的取值范围为：（0，]。

过程4：总结与提升：

引导学生对例题进行回顾与反思，提炼解题方法。

常见问题的回顾及方法的提炼：

（1）用基本不等式求最值要注意：一正（两个数为正数）、二定（定值）、三相等（能取得等号）

（2）当涉及两个正数的和与积关系时，常用不等式：

a+b≥2（a>0，b>0）或ab≤（a>0，b>0），

当且仅当a=b时取等号。

（3）当涉及两个正数的平方和与积的关系时，通常选用基本不等式：

a2+b2≥2ab（a∈R+，b∈R+），当且仅当a=b时取等号。

（4）当涉及两个正数的平方和与这两个数的和的关系时，通常选用基本不等式：

2（a2+b2）≥2（a+b）2（a∈R+，b∈R+），当且仅当a=b时取等号。

（4）三个基本不等式之间的三角关系

参考文献：

陈日斌.巧用基本不等式变形解题[J].高中数学教与学，2014（1）.

篇5：不等式的应用——最值问题·教案

北京市五中 李欣

教学目标

1．深刻理解不等式中，两个或三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一定理，即平均值定理．

2．熟练应用平均值定理，求某些问题的最值．

3．培养学生严谨的思维品质，以及对数学思想方法的理解和运用，提高学生灵活运用所学知识解决问题的能力．

教学重点与难点

平均值定理适用的条件，及其变形使用． 教学过程设计

（一）不等式平均值定理的功能

师：不等式平均值定理的内容是：若干个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．即：

如果a1，a2，a3，„，an∈R+且n∈N+，n＞1，那么

在高中阶段，我们只要求同学掌握两个或三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．请同学用数学表达式表示上述定理．

（教师板书）

师：由两个不等式的结构来看，它们的功能是：从左往右可以把和的形式缩小为积的形式；从右往左可以把积的形式扩大为和的形式．为了使用方便，通常把不等式变形为

由于平均值定理在特殊形式下，可以进行放缩变换，因而它在数学中，可以作为用综合法证明不等式的依据，还可以作为求最值问题的工具．

今天，我们主要研究应用平均值定理求最值的问题．

（二）应用平均值定理求函数的最值

例1 当0＜x＜2时，求函数y=x（2-x）的最大值．

师：函数y=x（2-x）是积的形式，求最大值实质是要做什么样的转化？ 生：可以使用平均值定理把积的形式转化成和的形式． 师：平均值定理是对正数而言的，由于x，2-x都是正数，所以

在什么条件下“≤”取“=”号？

生：当且仅当x=2-x，即x=1时，取等号．此时，y的最大值为1． 师：把积的形式化为和的形式，这个和应该为定值才行．

从而求出最小值．（教师板书）

解：由x＞1，知x-1＞0．则

中等号成立．

所以当x=2时，y的最小值为6． 师：运用平均值定理求函数的最值时，必须要有和的定值或积的定值出现．即

①，当且仅当a=b时．取“=”号．

（定值）②，当且仅当a=b=c时，取“=”号． 不等式①②可以在求函数的最大值时使用．

③，当且仅当a=b时，取“=”号．

值）④，当且仅当a=b=c时，取“=”号． 不等式③，④可以在求函数的最小值时使用．

例2 中对函数式的运算结构稍做变化，就可以使用定理了． 例3 填空题：

师：请同学来分析（1）． 生甲：由于x＞0，则

生乙：我的做法与甲同学不一样． 由于x＞0，则

师：甲、乙两位同学对函数式的变形采取了不同的方法，但都得到了定积，谁是谁非呢？

师：分析的很好！在拆、凑函数式的时候，除了要考虑能否得到“定积”或“定和”以外，还要顾及使用平均值定理后，能否取“=”号．这一条件如果思维不严密，就会出现错误．

由学生自己解（2）．（板书如下）

y=x2·（5-2x）=x·x·（5-2x）

如果学生的板书有漏洞或错误，教师可以边纠正，边总结应用平均值定理求函数最值的步骤．

如果学生板书没有问题，教师可以请学生总结步骤．并进行适当的引导或补充．

应用平均值定理求函数的最值，要注意的问题有：（1）函数式中诸元素是否为正数；（2）诸元素的和或积是否为定值；（3）判断“=”是否成立．

（三）灵活运用平均值定理求最值

师：此题为三角函数求最值的问题，应从何处入手？

用平均值定理求最大值，但sin x+cos2x不是定值，因此，应从配、凑和为定值入手．

师：函数式中涉及到正、余弦两种三角函数，可以利用同角的平方关系进行转化．

（2sin2x+cos2x+cos2x）为定值；即可求出y2的最大值．

师：对函数式的变形是灵活多样的，但宗旨都是使和或积为定值． 例5 若正数x，y满足6x+5y=36，求xy的最大值． 教师可以先让学生进行讨论，然后再请一位同学发言． 生：已知是两正数和的等式．要求两数积的最大值，可以由

（板书如下）

解：由于x，y为正数，则6x，5y也是正数，所以

当且仅当6x=5y时，取“=”号．

师：函数式中含有根式，不容易看出定积是否存在，用什么方法解决这个问题？

生：可以先用换元法把根式去掉，再把函数式进行转化．

师：换元法是常用的数学思想方法，能帮助我们把复杂问题简单化．

（四）不等式在应用问题中的应用

例7 已知：长方体的全面积为定值S，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．

师：经过审题可以看出，长方体的全面积S是定值．因此最大值一定要用S来表示．首要问题是列出函数关系式．

生：设长方体体积为y，其长、宽、高分别为a，b，c，则y=abc．由于a+b+c不是定值，所以肯定要对函数式进行变形． 生：我受例4的启发，发现可以利用平均值定理先求出y2的最大值，这样y的最大值也就可以求出来了．

解法如下：

解：设长方体的体积为y，长、宽、高分别是为a，b，c，则

y=abc，2ab+2bc+2ac=S．

而

y2=（abc）2=（ab）（bc）（ac）

当且仅当ab=bc=ac，即a=b=c时，上式取“=”号，y2有最小值

师：对应用问题的处理，关键是把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求最值的基本保证。

（五）布置作业： 1．选择题：

（1）设a，b为实数，且a+b=3，那么2a+2b的最小值是 [ ]。

（2）设a＞0，b＞0，且2a+5b=200，那么lg a+lg b满足 [ ]。

A．当 a=50，b=20时，取最大值 5 B．当a=50，b=20时，取最大值3 C．当a=50，b=20时，取最小值 5 D．当 a=50，b=20时，取最小值 3（3）x，y是满足2x+y-1=0的正实数，那么xy [ ]。

22．填空题：

3．当0＜x＜1时，求y=x2（1-x）的最大值。

5．用一块正方形的白铁片，在它的四个角各剪去一个相等的小正方形，制成一个无盖的盒子，问当小正方形的边长为多大时，制成的盒子才有最大的体积？并求出这个体积。

材料每平方米 3元，用作侧面的材料每平方米2元，问怎样设计容器的尺寸，才能使制作的成本最低（不计拼接时用料和其它损耗）。

作业答案或提示：

1．选择题：（1）B；（2）B；（3）B。

5．设大正方形的边长为a，小正方形的边长为x，盒子的体积是

课堂教学设计说明

篇6：高三不等式应用题教案

【学习目标】

掌握利用基本不等式求参数范围

在使用均值不等式过程中，要注意定理成立的条件，为能使用定理解题，要采用配凑法、换元法，创造条件应用均值不等式。

通过运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的能力与意识。

能应用均值不等式解决最值

【学习重点】

基本不等式求最值时，需满足“一正，二定，三相等”的条件

【学习难点】

基本不等式求参数的取值范围时，应注意的事项以及条件.[自主学习]

1．基本不等式，若a>b>0,m>0,则 ；

若a,b同号且a>b则。

2．均值不等式:

两个正数的均值不等式： 变形，等。

3．最值定理:设

（1）如果x,y是正数,且积,则xy时,（2）如果x,y是正数和,则x=y时,运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等

[典型例析]

例1（1）设且恒成立，求的取值范围？

变式训练

（1）若对任意，恒成立，则的取值范围是多少？

例2  如图所示动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．

(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

(2)要使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？

变式训练

（2）如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？

例3 已知且，则的最小值为（）

A.B.C.D.例4求函数的最大值

[当堂检测]

1.已知，则的最小值是.2.若x，y是正数，则的最小值是

3.函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为               ．

4．已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为

[学后反思]____________________________________________________ _______

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篇7：含未知数等式解应用题教案

《我们美丽的校园》教学案例

教学内容

“我们美丽的校园”是人教版九年义务教育五年制小学数学第六册中的第67页、68页的内容。

教学目标

1、能用含未知数X的等式解乘、除法一步计算的应用题。

2、培养学生的搜集、处理数学信息，并选择有用的信息提出数学问题的能力。

3、培养学生在解决问题的.过程中，灵活运用学过的知识，进行简单的、有条理思考的能力。

4、通过多种解法的思考与交流，让学生有体验成功愉悦的过程。

教学重、难点

找准等量关系列出含未知数等式解一步计算的乘除法应用题。

学法指导

指导学生用旧知识迁移，自主探索解决新问题。

教学设计

一、课前寻找数学信息

春天来了，桃花鲜艳，柳条嫩绿，松柏也披上了绿装，我们的校园变地更美丽了。老师想让大家以小组为单位到我们美丽的校园里寻找数学信息。

教师建议：

1、组长分派任务分工合作，记录个人查到的数据。

2、组长组织本组同学交流信息，每人记录一份。

3、分析、处理收集的信息，提出数学问题。

二、课中自主探索、交流

1、交流、汇报数学信息及提出的数学问题。

2、教师提议：操场是我们活动和锻炼身体的地方，我们解决关于操场的数学问题好吗？（学生叙述题，教师板书。）你能根据以前学过的知识解决这个问题吗？比一比谁的办法多谁就是今天的智多星。

A、学生自主探索，完成轻声说说思路。

B、组内交流。组长组织本组同学有序发言，其它同学倾听。

C、汇报解法及思路，其它同学提问或评价。

D、总结用含未知数等式解题的方法步骤，及解题关键。（找准等量关系，把数据和数量对号入座）

3、春天树木是我们学校一道美丽的风景线，我们来解决于树木的问题。（学生叙述关于倍数的题，师板书）

B、用刚学到方法解决，同桌交流解题思路。

C、谁能当小老师到前边为大家讲解，同学倾听提问。

4、开拓思维。

学校为了丰富我们的知识，为各班买了一个书架。我校有17个班，每个书架320元。学校共花了多少钱？你能用含未知数式来解决吗？有几种方法？

5、小结。今天大家通过收集数学信息，分析信息，提出了许多数学问题，并用大家的智慧解决了这些问题。我们更深地了解了“我们美丽的校园”。

三、课后延伸

老师想让大家写一篇数学日记，你想写什么？能先透露一下吗让学生畅所欲言。

四、教学回顾

1、生活是学习的源泉，要让学生学会用数学的眼光看界。

教师要指导学生从日常生活中发现并提出简单的数学问题。校园是同学们特别熟悉的环境，但学生从没有从数学的角度去观察去了解校园。通过这次收集数学信息，学生不但有与同伴合作解决问题的体验，而且更加了解自已所生活和学习的校园，发现校园内有那么多数学信息和数学问题。学生在学习过程中也显得特别积极活跃。

2、教师要退出来让学生自己形成一个络。

叶圣陶先生说过：“教就是为了达到不需要教。”教师在设计教学内容及程序时就应尽力做到：如何让新知识不新，如何能利用旧知识解决新问题，不要低估学生。本节内容学生只要把乘除法各部分关系和用含未知数等式解加、减法一步计算应用题知识综合应用，就能独立学习，所以我就放手让学生自主探索解决本节课的问题。效果特别好，而且在老师的激励和鼓舞下学生竞能用三种解法解一个问题，学生能互相评价，共同提高，让我这个老师感到决不能低估学生的学习天赋和能力。

3、教学中的不足。

篇8：高三不等式应用题教案

关键词： 不等式 均值不等式 三角换元 反证法 函数的单调性

一、利用均值不等式求解不等式

均值不等式在高中数学的应用比较广泛，常用于求函数的最值，或者应用于不等式的证明.解题思路比较明确，因为公式的应用主要是原式或者是它们的变式，所以比较好下手，但是在解题中一定要注意公式自身所隐含的条件.在利用公式求函数的最值时特别是要满足“一正，二定，三相等”这句话.即第一个条件是两个数都应该是正数；第二个条件是和或是积要定值，不能含有跟自变量有关的参数；第三个条件是在函数取到最值时能够取到等号，也就是相应的自变量能取得到.看以下一个例题.

例1：已知x，y>0，x+y=1，求■+■的最小值.

上述是一道非常典型的题目，上过高三老师在不等式复习时也都会把它重新再拿来讲一遍.很多学生在做题过程中很容易出现套公式的现象，常会出现以下错误：

∵x+y≥2■∴xy≤（■）■=■，∴■+■≥2■≥4■.

问题出在哪里呢？很多学生一时查不出来.后面老师提醒了一下很多学生就知道原因了：不等式取不到等号，上述解题过程中用到两次均值不等式，但是两次的x，y取不到相同的值.故最小值不是4■.正解如下：

■+■=（x+y）（■+■）=3+■+■≥3+2■=3+2■，此时当且仅当■=■，x=■-1，y=2-■时，取到最小值.

二、利用反证法证明不等式

反证法，它是从反面的角度思考问题，即肯定题设否定结论，从否定的结论出发导出矛盾，从而最终肯定命题是正确.反证法是高中数学不等式中常用的方法之一，它是直接证明不易下手，此时应该考虑的是“正难则反”的原则，从反面的角度进行推理.它常用于以下证明：

（1）难于直接使用已知条件导出结论的命题；

（2）唯一性命题；

（3）“至多”或“至少”性命题；

（4）否定性或肯定性命题.

例2：已知x，y>0，x+y>2，试证：■，■中至少有一个小于2.

分析：要证的结论与条件之间的联系不明显.直接由条件推出结论不够清晰.另外，如果从正面证明，需要对某一个分式小于2或两个分式都小于2等进行分类讨论，而从反面证明，则只要证明两个分式都不小于2是不可能的即可.于是考虑用反证法.

证明：假设■，■都不小于2，即■≥2，且■≥2因为x，y≥0，所以1+x≥2y，且1+y≥2x，把这两个不等式相加得，2+x+y≥2（x+y），从而x+y≤2.

这与已知条件x+y>2矛盾.因此，■，■都不小于2是不可能的，即原命题成立.

三、利用三角换元解证不等式

有些不等式证明问题中，含有一些特殊的条件及特殊的运算关系.这些条件或运算关系恰好满足三角关系，则可以采用三角代换证明.常见的换元形式有（1）x■+y■=a■，可令x=acosθ，y=asinθ；（2）x■+y■≤1，可令x=tcosθ，y=tsinθ（|t|≤1）.

例3：已知x■+y■=1，求证：|x■+2xy-y■|≤■.

分析：本题中，由x■+y■=1可联想到三角换元公式：sin■θ+cos■θ=1，进行三角换元证明.

证明：令x=sinθ，y=cosθ，则

|x■+2xy-y■|=|cos■θ+2sinθcosθ-sin■θ|

=|cos2θ+sin2θ|=■|sin（2θ+■）|≤■

故命题得证.

例4：已知x■+y■=1，m■+n■=4，求mx+ny的最大值.

分析：很多学生首先会想到用公式：ab≤■，因而会有如下解法：mx≤■，nx≤■，把这两个不等式相加就得到

mx+ny≤■+■=■=■，从而得到它的最大值是■.

解题过程错在哪里呢？这也是很多学生会忽略的一个问题：就是等号取不到，因而它的最大值不是■，这种类型题还是应该考虑三角换元或是用柯西不等式求解.

正解：令x=cosα，y=sinα；m=2cosβ，n=2sinβ，则mx+ny=2cosαcosβ+2sinαsinβ=2cos（α-β）≤2.

当然本题用柯西不等式也很简单，这边不再说明.

四、利用函数的单调性求不等式的最值

在求解不等式的过程中往往会出现一些题目直接用公式或是其他方法不易得出结论，甚至得出的结论是错误的.这时可以考虑构造函数通过证明函数的单调性求函数的最值，问题往往会迎刃而解.

例5：求函数f（x）=■的最小值.

分析：本题很多学生第一个想到的还是会用均值不等式进行求解，先把它拆成f（x）=■+■≥2，从而得到最小值是2的错误答案.主要也是错在等号取不到的原因.这时可以考虑构造函数，通过证明函数的单调性进行求解.

解：令f（t）=t+■（t≥2），令t■>t■≥2

f（t■）-f（t■）=（t■+■）-（t■+■）=■>0，

∴f（t）在[2，+∞）上是增函数.∴f（t）■=f（2）=■，此时x=0.

不等式的证明方法和求解方法不只上面所谈到的这几种，还有很多.只要我们平时多注意收集，多做归纳，多做观察，多做比较，多做反思，在高三数学总复习中才会有的放矢，事半功倍.

参考文献：

[1]刘绍学.不等式选讲.人民教育出版社.

[2]郭慧清.一类分式不等式的新证法[J].数学通报.

[3]李红春.构造法巧解三解函数题[J].高中数学教与学.

[4]余元希，田万海，毛宏德.初等代数研究.高等教育出版社.

篇9：高三不等式应用题教案

一、选择题

1．设a,bR，若ab0，则下列不等式中正确的是（）

A．ba0B．ba0C．a3b30D．a2b20

２．设ａ，ｂ是非零实数，若ａ＜ｂ，则下列不等式成立的是（）

Ａ．a2b2Ｂ．ab2a2bＣ．

1ab21ab2Ｄ．baa

b

3．下列函数中，ｙ的最大值为４的是（）Ａ．yx

4x Ｂ．y2(x3)

x222Ｃ．ysinx4sinx(0x)Ｄ．ye4exx

4．不等式x1

x2的解集为()

A．[1,0)B．[1,)C．(,1]D．(,1](0,)

5．设f(x)为奇函数, 且在(-∞, 0)内是减函数, f(-2)= 0, 则x f(x)<0的解集为()

A(-1, 0)∪(2, +∞)B(-∞,-2)∪(0, 2)C(-∞,-2)∪(2, +∞)D(-2, 0)∪(0, 2)

二、填空题

2xy

x2y6．若变量x,y满足x

y405000，则z3x2y的最大值是＿＿＿＿．

7．已知函数f(x)x2,x0

x2,x0，则不等式f(x)x2的解集为＿＿＿＿．

8．x,y,zR,x2y3z0,*y

2xz的最小值为＿＿＿＿＿．若y1，则xz的最小值为——————．

29．已知Ax/xa4,Bx/x6x50,且对任意mR,mAB恒成立,则a的取值范围

是_________．

10．若二次函数yf(x)的图象过原点，且1f(1)2,3f(1)4,则f(2)的取值范围是．

三、解答题

11．某收购站分两个等级收购小麦，一等每千克ａ元，二等每千克ｂ元（ａ＞ｂ），现有一等小麦ｘ千克，二等小麦ｙ千克，若以两种价格的平均价收购合理吗？请说明理由．

2212．已知命题p：方程axax20在1,1上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式

2x2ax2a0,若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．

13． 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经

1测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用．）

建筑总面积

14．已知不等式ax23xb0的解集为x/x1或xb．

(1)求a,b;

(2)解不等式ax2(acb)xbc0．

15．函数f(x)对任意m、n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且当x>0时，f(x)>1．

(1)求证f(x)是R上的增函数；

(2)设f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)<2．

16．已知函数f(x)=ax+x

2x1(a>1)．

(1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数；

(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根．

参考答案

一、BＣD A C

二、6．707．1,18．３；

三、11．axby(xy)(ab)

21329．1,510．6,10，因此(ab)(xy)

（１）若ｘ＞ｙ，则收购站受益；

（２）若ｘ＝ｙ，则两种方式的付款额相等；

（３）若ｘ＜ｙ，则收购站吃亏．

12．-1

13．设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则

fx5604x821601000010800560x4x10,xZ 2000xxf(x)560248x

当且仅当48x10800

x10800x2000,，即 x15时f(x)min2000；

答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．

14．(1)．a1,b2;(2)c2时,解集为c,2；c2时, 解集为2,c；c2时, 解集为．

15．(2)-3

16．证明：(1）设－1＜x1＜x2＜+∞,则x2－x1>0, ax

∴axaxax(ax21122x1>1且ax>0, 1x11)>0,又x1+1>0,x2+1>0 ∴x22

x21x12

x11(x22)(x11)(x12)(x21)

(x11)(x21)

x22

x21x12x113(x2x1)(x11)(x21)>0, 于是f(x2)－f(x1)=axax+21 >0．

∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数．

(2）证法一：设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,则ax0x02

x01，且由0＜ax＜1得 0

0＜－x02

x01＜1，即1

2＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根．

证法二：设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,则x02

x01＜－2,ax＜1,∴f(x0)＜－1与0

f(x0)=0矛盾，若x0＜－1,则x02