两个变量的相关关系

一、教学内容分析

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本 (A版) 》2.3.1变量之间的相关关系, 本章我们所要学习的主要内容就是统计。在前面的章节中我们已经对统计的相关知识作了大致的了解, 本节课我们要继续探讨的是变量之间的相关关系, 它为接下来要学习的两个变量的线性相关打下了基础。这是一个与现实实际生活联系很紧密的知识, 在教师的引导下, 可使学生认识到在现实世界中存在不能用函数模型描述的变量关系, 从而体会研究变量之间的相关关系的重要性。

二、设计思想

在这个信息化的社会, 人们常常需要搜集各种数据, 然后根据所获得的数据提取出有用的信息, 从而做出相应的决策, 所以统计的基础知识是每个人都应当具备的常识。客观事物都是相互联系的, 学生过去学习的大多数是绝对的函数关系, 但现实中更多存在的是一种非函数关系, 通过这节课的学习, 要使学生体会统计性思维与确定性思维的差异, 理解正确把握两个变量之间的相关关系, 可以更好地帮助人们做出合理的预测, 为制定决策提供依据。

三、教学目标

【知识和技能】

1.能识别两个变量间关系是确定性关系还是相关关系。

2.会画散点图, 并能利用散点图判断是否存在回归直线。

3.知道如何系统地处理数据.掌握回归分析的一般步骤。

4.能运用Excel表格处理数据, 求解线性回归直线方程。

5.了解最小二乘法的思想, 会根据给出的公式求线性回归方程。

6.培养收集数据、处理数据的能力;对具有相关关系的一组变量中应变量发展趋势的预测估计能力。

【过程和方法】

1.使学生在经历较为系统的数据处理的全过程中学会如何处理数据。

2.提高学生运用所学知识与方法、运用现代化信息技术解决实际问题的能力。

【情感、态度和价值观】

1.认识到线性回归知识在实际生活中的实践价值, 感受生活离不开数学。

2.体验信息技术在数学探究中的优越性。

3.增强自主探究数学知识的态度。

4.发展学生的数学应用意识和创新意识。

5.培养学生的严谨、合作、创新的学习态度和科学精神。

四、学生学习情况分析

【学生认知发展分析】

在知识准备上, 前面已经学习了统计的相关知识, 了解了用统计思维来

进行样本数据的方法, 为本节课从样本数据的信息中找到相关关系打好了基础。

【学生认知障碍点】

学生从初中开始学习函数, 可以说对确定的函数关系已经根深蒂固了, 而现在要学习的是无法用函数关系来表示的相关关系, 学生在概念的理解和接受上可能存在一定的难度。

五、教学重点和难点

线性回归分析的基本思想;运用Excel表格处理数据, 求解回归直线方程。

六、教学过程设计

(一) 创设情境, 导入新课

《提问》:找个班里身高较高的男同学和女同学分别问他们的身高?与父亲的身高。 (把这个过程中所得到的数据板书在黑板上。

师:我也对儿子的身高与父亲的身高做了个数据统计, 请看下面的表格。

展示表格:

《提问》:通过表格让学生回答, 他们能从表格上看出什么规律?

父亲越高, 儿子的身高就越高。

《提问》:让他回答身高受哪些因素的影响?

遗传因素, 生活环境, 饮食, 锻炼等等。

师:其实我们知道身高与上述几种因素都是有一定的关系, 但是起主要因素的是我们的遗传关系。如果我把身高与遗传因素看成两个变量, 而这两个变量之间的关系就是我们今天要研究的两个变量的相关关系。

《板书》:写出题目:两个变量的相关关系

我们就把这种当自变量取值一定, 因变量的取值带有一定随机性的这两个变量之间的关系称为相关关系。

《拓展》:让学生自己举出一两个现实生活中的两个变量之间存在的相关关系。 (当然也会由我引导学生去说出两个变量的无关的情况) 。

[设计意图]:数学来源于生活, 通过实例分析, 引导学生认识到生活中的变量之间除了存在确定的函数关系之外还存在着不确定的相关关系, 了解相关关系的概念, 体会研究相关关系的重要性。

(二) 直观感知初步认识

师:下面我们就来探究两个变量之间的相关关系。

在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中, 研究人员获得了一组样本数据:

问题1:根据上述数据, 你认为人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系?

师:随着年龄的增长, 脂肪含量也在增加。

《提问》:在学习函数关系的时候, 我们学习了三种函数的表示方法?请同学们回忆下。

生:列表法, 图像法, 解析法。

师:为了更好的研究年龄与脂肪这两个变量的关系, 我们能不能通过这个表格中的数据, 用更直观的方法展现出来呢?

师:让学生在我事先准备好的坐标纸上作图, 按照习惯, 以X轴表示年龄, 以Y轴表示脂肪含量。 (此时老师去巡视学生作图过程)

师:让学生观察以下这个表格

某地某天8—16时对应的温度表

通过以上这个表格又能看出两个变量之间的关系?

(这里让学生回答后, 还是让他们在事先准备好的坐标纸上作图) 当然这里也可以展示几份学生的作品

投影中出现这两个图

(让学生自己去找这两个图中两个变量之间的关系)

师:图1上的点是随着时间的变化温度也在变化。图2上的点随着年龄的增长脂肪含量也在增加。而通过散点图我们可以发现这两组变量之间是具有相关关系的。 (这里需要我去引导学生发现) 图1上的样本点好像是在一条曲线的附近波动, 而图2上的这些样本点是呈条状分布的, 集中在某一直线周围的。我们就称具有图2这样的两个变量是具有线性相关关系的。而像图1中的这些样本点并没有分布在某一条直线的附近, 而是在一条曲线的附近, 因此这两个变量不呈线性相关关系。而我们今天主要研究的还是两个变量的线性相关。

[设计意图]:数形结合, 使学生直观地感知两个变量之间的相关关系, 正确理解正相关、负相关的定义。

(三) 分析研究方法探究

师:刚才我们在图2中提到这些样本点是在某一条直线附近波动的。如何来画出这条直线呢?

(这里我就让学生在刚才画的图2的这个散点图上画这条直线, 这里我给学生10分钟左右的时间画, 可以相互之间几个同学讨论, 我在教室里巡视, 找出几份不同的画法在投影中展示出来, 这里我可以让学生自己起来说他们是怎么样画这条直线的, 在这个过程中我加以引导和指导.)

师:刚才学生都展现了他们的方法.最好我引导学生回答出这条直线应该是每个样本点到这条直线的距离最小, 从而这条直线就是我们要找的, 在数学上我们把这条直线称为回归直线.而求这条直线的方法我们称为最小二乘法。 (当然在这里我将采用EXCEI来向学生展示如何用计算机求这条回归直线。以及这条回归直线方程) 。

[设计意图]:回归方程的求法是本节课的教学重点, 利用电子表格计算繁杂数据, 激发学生的兴趣, 通过教师演示, 学生动手操作突出重点, 引出利用现代技术工具解决问题的必要性。

(四) 例题剖析, 巩固新知

例1:为了对某一新产品进行合理定价, 对这类进行了试销试验, 用以观察需求量 (单位:千克) 对于价格 (单位:千元) 的变化关系, 得到数据如下:

让学生画出散点图, 观察需求量对于价格的一般规律.

通过散点图让学生去得到随着价格的增加, 需求量在逐渐的减小.并且发现这两个变量之间是具有线性相关关系的,

(这里我把以下两个图投在屏幕上, 让学生观察两个图)

师:我们首先来观察图1中的散点, 我们发现这些点的分布是从左下角到右上角的区域, 对于两个变量的这种相关关系, 我们将它称为正相关.而象图2中这些点的分布来看的话, 是从左上角到右下角, 对于两个变量的这种关系我们称为负相关.

当然我们也可以通过EXCEL求出回归直线方程, 通过回归直线方程中的斜率来判断两个变量是正相关还是负相关. (这里我通过计算机向同学们展示)

《提问》这里我们求出了图2中的回归直线方程, 让学生去回答当价格在35元时, 需求量是多少呢?

(这个问题在这里主要是要让学生体会到这里求到的是个估计值, 并不是真实值)

[设计意图]:认识到线性回归知识在实际生活中的实践价值, 感受生活离不开数学。感受到数学思维的重要性, 增强了对数学的情感态度。在探究过程中, 体验到信息技术的优越性, 在合作中获得成功的愉悦。

(五) 尝试练习, 检验成果

1. 下列两个变量之间的关系, 哪个不是函数关系 ()

A.角度和它的余弦值

B.正方形的边长和面积

2. 试从四个图中点在散点图上的分布状态, 直观上初步判断两个量之间有线性相关关系的是 ()

C.正n边形的边数和内角度数之和

D.人的年龄和身高

3. 某商品销售量y (件) 与销售价格x (元/件) 负相关, 则其回归方程可能是 ()

(这些题目让学生8分钟做完, 最好让学生自己来讲)

七、教学反思

随着信息技术的发展, 人们常常需要收集大量的数据, 根据所获得的数据提取有价值的信息, 这就是我们所说的统计, 让学生学习统计, 学会一些数据处理的方法, 并运用所学知识、方法去解决实际问题, 体会统计思维与确定性思维的差异, 注意到统计结果的随机性, 统计推断是有可能犯错误的, 体会统计的作用和基本思想。

本节课要实现的目标是:根据现实问题中两个具有相关关系的变量的数据, 作出相应的散点图, 并利用散点图直观认识两变量之间的线性相关关系;寻找描述两个变量线性相关的方法, 为下节课在此基础上利用最小二乘法的思想, 建立描述两个变量相关关系的线性回归方程而做好相应的准备。

在课堂上, 用具体的实例:“一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究”进行引入, 让学生初步建立起相关关系的概念, 然后, 用excle显示数据 (脂肪含量和年龄) , 这样的例子, 贴近生活, 源于生活, 大大激起学生参与的兴趣, 这样, 就自然地给出了相关关系的概念, 学生也比较容易理解接受。随后, 让学生根据概念自己举例, 进一步体会相关关系与函数关系的不同, 以及怎样的两个变量具有相关关系。接下来, 画散点图对学生来说, 很容易接受, 于是进入下一个环节, 引导学生学习怎样的两个变量具有的关系是线性的, 若是线性的, 让学生想办法描述两个变量线性相关, 给学生留有充足的时间讨论研究。

把数学知识与生活实际相联系, 再用生动形象的语言将它们表述出来, 使学生能更好地理解掌握数学知识, 感受数学的趣味和作用, 从而对数学产生亲切感。在课堂上, 把生活中的例子引进数学课堂, 让学生更多地自主参与观察、研究、思考、讨论, 可以说, 这样的课堂教学抓住了学生的心, 自然就能更好地提高课堂效率。