多变量反馈

多变量反馈（精选八篇）

多变量反馈 篇1

同步发电机励磁控制系统是电力系统的重要组成部分,其控制性能的好坏直接影响电力系统运行的可靠性和稳定性[1]。 目前对励磁系统所用的控制方法通常还是运用常规PID算法进行控制。 随着电力系统的规模越来越大,常规PID控制已不能满足系统的动态和静态运行性能要求。 近几年,鲁棒控制、 迭代学习控制,预测控制、自适应控制等新型励磁控制方法得到了广泛的研究[2,3,4,5,6,7]。

本文首先对预测函数控制(PFC)算法进行研究分析,将PFC应用到励磁系统的机端电压控制中, 设计出一种PFC励磁控制器;并设计了一种线性多变量励磁控制器,能有效地控制发电机有功功率、发电机功角以及转子角速度, 但是对机端电压的控制不太理想。 因此,将2种控制方法并行对励磁系统进行控制。 改进后的PFC和线性多变量并行的励磁控制器能在保证电力系统稳定的同时稳定发电机端电压。 最后,通过仿真验证了其有效性。

1 同步发电机励磁系统的数学模型

本文采用单机无穷大电力系统模型来研究发电机的励磁控制问题。 其模型如图1所示。 图中,G为发电机;Ut为发电机机端电压;xT为变压器电抗;xL为线路电抗;Us为无穷大母线电压。

图1所示的发电机励磁控制系统的数学模型可用式(1)来表示[5,8]:

其中,δ 为发电机功角;ω 为发电机转子角速度;ω0为发电机稳态角速度;H为机械转子惯量;Eq′ 为q轴暂态电势;D为阻尼系数;xd和xd′ 分别为发电机d轴同步电抗和瞬变电抗;Td 0为发电机定子开路时励磁绕组的时间常数;T′d为发电机定子闭路时励磁绕组时间常数;xd鄱= xd+ xT+ xL;xd′鄱= xd′+ xT+ xL;Uf为励磁控制输出电压;Pm为发电机的机械功率;Pe为发电机电磁有功功率。

2 线性多变量励磁控制器设计

式(1)中,发电机电磁有功功率Pe的表达式为:

其中,xq为发电机q轴同步电抗;xq鄱= xq+ xT+ xL。

若忽略瞬变的凸极效应,则xd′= xq,Pe可表示为:

把式(1)的发电机三阶状态方程用矩阵形式表示为:

其中,u为系统的控制量输入。

为了保证发电机外部的动态品质和发电机功角的稳定,也为了能更容易地实现控制,把第1个坐标变换方程写为:

经过李导数的分析计算可得:

因此在发电机运行范围内h(x)对系统的关系度为3,所以原三阶系统可以通过三阶反馈线性化来实现。

由微分几何理论,可以得出第2及第3个坐标方程式为:

结合这3个坐标变换方程得到了z=Φ(x) 的坐标变换,接着检验此变换是否为同胚变换。 首先计算 Φ(x)的雅可比矩阵,即:

当cos δ≠0即 δ≠± 90°时,JΦ为非奇异矩阵,那么z = Φ(x)就为同胚变换。 通过坐标变换可以把原系统变换成完全可控线性系统,即将式(1)变换成如下形式:

根据现代控制理论可得式(10)的最优线性控制规律,即:

其中,k1、k2、k3为最优反馈增益系数。

将式(10)和(11)表示为矩阵形式:

选择李雅普诺夫(Lyapunov)函数[2,3]为:

其中,P为正定实对称矩阵,那么V(z)也是正定的。

若要保证系统能在原点渐近进入稳定,可以通过参数k1、k2、k3的选择使得Q>0。

通过式(11)可更进一步得到:

(15)可得线性多变量反馈的最优控制规律为:

其中,kδ、kω、kP为最优反馈增益系数。

3 PFC 励磁控制器设计

预测控制算法与经典控制算法的不同在于其不依赖于精确的模型作为参考,还可以同现代控制的最优方法进行结合,目前在工业过程控制中也取得了非常良好的控制效果。 但是其也存在着一些自身的不足,例如对实时性要求较低的系统的控制效果较好,但是对实时性要求高的系统的控制却不尽如人意,且存在算法过于复杂、计算时间过长等问题。 因此,提出了一种改进的预测控制方法,即PFC算法[9,10,11,12,13,14,15,16]。 PFC相比于传统的预测控制拥有算法简便、 计算量不大、跟踪迅速且精度高等优点。

3.1 PFC 算法

由于PFC属于预测控制的一种,因此它也具有预测控制的3个基本特征(预测模型、滚动优化和反馈校正)。 不同的是PFC中引入了基函数这个重要的概念。 在PFC中,新加入的未来控制作用被表示为若干已知函数fj(i)( j = 1,2,…,nB)的线性组合,即:

其中, μ(k + i)为在k + i时刻的控制量;nB为基函数的个数;fj(i)为第j个基函数在t = i T时刻的值,T为采样周期;μj(n)为基函数的线性组合系数。

PFC的参考轨迹可以取多种形式 , 对于一个渐近稳定的系统,通常采用一阶指数形式:

其中,yr(k + i) 为k + i时刻的参考轨迹值 ;c(k + i)为k + i时刻的设定值; yp(k)为k时刻的模型预测输出;β 为衰减系数,一般取为参考轨迹的期望闭环响应时间。

目前PFC的预测模型常采用离散状态空间模型。 预测模型状态空间表达式可写为:

其中,Xm为预测模型的状态向量;ym为预测模型的输出;Gm、Hm、Cm为预测模型状态方程的系数矩阵。

将式(19)推导可得:

如果基函数已经确定,可以通过式(21)来离线算出gkj(k):

对于线性系统,经过误差补偿后的预测输出可表示为:

其中,ej(k)为过程与模型的预测误差,它是由k时刻的误差和一个修正误差组成,这个过程称为自补偿; ns为误差补偿的阶数。

优化目标就是要寻求一组加权系数,使预测输出在优化时域内尽可能接近参考轨迹,通常采用如下的二次型优化性能指标,即:

其中,nH为拟合点个数,它应该大于或等于nB;hi(i = 1,2,…,nH)为选定的拟合点。

其中,系数k0、km可在离线下先计算出来;c(k)、y(k) 为已知函数。 所以,在PFC中需要在线计算的只有模型状态值Xm(k)和控制量u(k),预测函数的计算相对其他控制而言简化了很多。

PFC的原理图如图2所示,图中d为扰动。

3.2 预测模型的建立

预测模型是PFC非常重要的部分,只有选定好预测模型才能实现PFC。 PFC算法是在传统的预测控制算法上改进得到的,所以它也具备预测控制算法的特点,即被控对象并不需要其精确的数学模型。 在预测模型失配的情况下,PFC仍然可以很好地进行控制。 这就为许多数学模型不易获得的大型系统或者数学模型过于复杂的非线性系统提供了一种简便且有效的控制方法。

励磁系统是一个复杂的非线性系统,因此要获得被控量和状态变量之间的传递函数是十分困难的。 先对一个具体的非线性励磁系统进行系统辨识,得到系统的近似线性传递函数;然后将得到的传递函数作为预测模型来设计一种PFC励磁控制器。

根据式(1)所表示的单机无穷大系统的状态方程,在MATLAB / Simulink中用S-函数编写一个非线性励磁系统,其中系统的各项参数取值如下:同步发电机参数[13],H=12.922 s,D=0.15 p.u.,Us=1.0 p.u., Td0= 6.55 s,xd= 0.825 8 p.u.,xd′ = 0.104 5 p.u.;线路及变压器参数,xT= 0.029 2 p.u.,xL= 0.026 6 p.u.; 系统平衡点的参数,δ0= 0.743 9 rad,ω0= 314.16 rad / s,Eq′0= 0.936 1 p.u.,Ut0= 1.025 3 p.u.,Uf0= 1.838 p.u.。

在状态方程(1)中,励磁绕组电压Uf为被控量, 要控制的是输出量机端电压Ut,所以需要获得Ut和Uf之间的传递函数。

基于最小二乘法,在MATLAB仿真环境下,将上述励磁系统模型的输入输出数据导入工具箱中提供交互式的图形界面工具,能方便地实现数据的预处理、模型类型的选择、 参数的估计以及模型验证和比较等功能。

针对所建励磁系统,对输入端加入噪声测试,并将输入输出数据都导入系统辨识工具箱,在工具箱中可以估计出系统的阶数为三阶;然后针对导入的数据采用最小二乘法进行模型参数辨识,其中模型采用自回归各态经历(ARX)模型。 经过估算可以得到传递函数为:

3.3 PFC 的励磁控制器设计

通过系统辨识得到了预测模型的传递函数,接下来对所得预测模型设计PFC励磁控制器。 设计步骤如下。

a. 由于式 (19) 的PFC的预测模型表达式采用的是离散的状态空间模型,因此将式(25)的传递函数进行离散化,取采样周期T=0.005s。 离散化后,所得各项系数矩阵为:

b. 根据釆样周期T = 0.005 s和参考轨迹的期望闭环响应时间Tr= 0.5 s, 确定参考轨迹的衰减系数

c. 取3个拟合点 ,分别为h1= 3、h2= 5、h3= 7。 基函数采用一个阶跃响应,即nB= 1。 将上述所得参数Gm、Hm、Cm代入式(21),可得:g1(3) = 6.043 3 × 10- 4; g1(5) = 0.001;g1(7) =0.001 4。

d. 进而离线算出:

k0= 137.282 2,km=[2.617 3.736 8 3.516 3]

e. 通过编写S- 函数实现对预测模型的状态向量Xm(k)的计算,因为是一个三阶模型,所以S-函数是一个单输入三输出模型。

f. 将所得Xm(k)和所求k0、km,通过编写嵌入式MATLAB函数模块实现PFC,其中PFC的控制输出量u(k)的计算式如式(24)所示。

g. 将控制输出量u (k) 连接到励磁系统的输入端Uf来对机端电压Ut进行PFC, 对其控制规律用Uf2来表示。

3.4 基于 PFC 和线性多变量并行的励磁控制器设计

在式(16)中线性多变量反馈控制能有效地控制发电机功角 δ、转子角速度 ω 以及发电机电磁有功功率Pe,但对发电机端电压的控制效果不太理想。

对此,设计了一种改进的励磁控制器, 即PFC和线性多变量并行的励磁控制器。 这种励磁控制器在保证发电机功角、转子角速度以及电磁有功功率稳定的同时,能对机端电压实现有效控制。 用Uf1表示线性多变量励磁控制,用Uf 2来表示PFC励磁控制,则改进后的励磁控制器的控制规律可表示为:

4 仿真研究

对3种励磁控制器进行MATLAB / Simulink仿真实验。 励磁系统的仿真模型采用3.2节中所建立模型,并对此励磁系统设置三相短路、机械功率小扰动和机械功率大扰动3种故障[8]。 观察当系统出现突发故障时,3种励磁控制器对机端电压Ut、发电机电磁有功功率Pe、发电机功角 δ 以及转子角速度 ω 的控制效果。

4.1 三相短路实验

励磁系统0.5 s发生三相短路故障,0.2 s后切除,机端电压Ut( 标幺值 )、 发电机电磁有功功率Pe(标幺值 )、发电机功角 δ 及转子角速度 ω 的动态响应曲线分别如图3 — 6所示(图中粗实线表示PFC和线性多变量并行控制,虚线表示线性多变量控制, 细实线表示PFC;后同)。 从图3中可以很明显看出,线性多变量控制机端电压时,超调大,振荡次数多且收敛速度慢,对机端电压的控制确实不理想; PFC和线性多变量并行控制有很大的改善 , 超调明显小于线性多变量控制,振荡次数是3种控制中最少的,收敛速度也是最快的,虽然在初阶段的超调稍稍大于PFC,但在振荡次数和收敛时间方面相对于PFC有着很明显的改善 。 从图4 — 6中都能明显看到改进后的励磁控制器是最好的,PFC是最差的。 通过仿真对比可以明显看出,PFC对机端电压的控制有着不错的效果,线性多变量控制对其他3个参量的控制比较有优势,而改进后的PFC和线性多变量并行控制结合了2种控制方法的优点,在稳定系统的同时,也能保证机端电压的稳定。 综上所述,当系统发生三相短路故障时,PFC和线性多变量并行励磁控制器在励磁控制方面最为理想。

4.2 机械功率小扰动实验

发电机机械功率Pm在t=0.5s时发生 ΔPm= 5 % 的阶跃扰动。 机端电压Ut(标幺值)、发电机电磁有功功率Pe(标幺值 )、发电机功角 δ 及转子角速度 ω 的动态响应曲线分别如图7—10所示。 从图7可以看到,PFC和线性多变量并行控制在系统发生机械功率小扰动时,对机端电压的控制在超调方面相对于线性多变量控制有所改善,在振荡次数及收敛时间方面相比其他2种控制都有很明显的改善。 从图8 —10中可以看到,PFC和线性多变量并行控制在超调量、振荡次数和收敛时间方面相比其他2种控制都有着很明显的优势,而在电磁有功功率、发电机功角以及转子角速度的控制方面,线性多变量控制相对于PFC有很大的改善,这也证明了线性多变量控制对有功功率、发电机功角和转子角速度有不错的控制效果。 因此,当系统发生机械功率小扰动故障时,PFC和线性多变量并行的励磁控制器也是最有效的。

4.3 机械功率大扰动实验

发电机机械功率在t = 0.5 s发生20 % 阶跃扰动,机端电压Ut(标幺值 )、发电机电磁有功功率Pe(标幺值)、发电机功角 δ 及转子角速度 ω 的动态响应曲线分别如图11—14所示。 从图11中可以看到, 当系统机械功率发生大扰动故障时,线性多变量控制对机端电压的控制发生了偏离,而在PFC和线性多变量并行的励磁控制器的控制下,机端电压不仅能回到之前的稳定状态,而且收敛时间比PFC还要短,且振荡次数也有减少。 所以,当系统面临大扰动时,PFC和线性多变量并行控制对励磁系统机端电压的控制是最为有效的。 从图13中看到,对于发电机功角,线性多变量控制也存在着偏离的现象,而PFC和线性多变量并行控制基本没有超调 ,收敛时间也大幅减少,并且振荡也几乎没有出现。 从图12和图14中可以看到,对于有功功率和转子角速度, PFC和线性多变量并行控制不管是在超调 、 振荡次数还是收敛时间方面相对于PFC都有着非常明显的改善,且相对于线性多 变量控制 也有相对 的改善。 综上所述,PFC和线性多变量并行的励磁控制器在励磁控制方面确实有很大的提高。

5 结论

例谈“多变量”不等式恒成立问题 篇2

常见类型一：遇到涉及“对于任意的x1，x2∈D，都有f（x1）-f（x2）≤k（k为正常数）恒成立”问题，可转化为先求函数f（x）在区间D上的最大值和最小值;然后根据f（x1）-f（x2）≤f（x）max-f（x）min（x∈D）即可顺利求解.

例1 已知函数f（x）=ax3+·cosθ·x2-2x+c的图象经过点

（1，），且在[-2，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增.

（1）求f（x）的解析式;（2）若对于任意的x1，x2∈[m，m+3]（m≥0），不等式f（x1）-f（x2）≤恒成立，求m的取值范围.

分析：第（1）问需要将已知条件充分运用;第（2）问的关键是利用函数的单调性求f（x）在[m，m+3]上的最小值和最大值，而在利用单调性时要注意按m与1的大小关系讨论.

解析：（1）根据f ′（1）=0

f ′（-2）≤0可求得f（x）=x3+x2-2x+.（具体过程，略）

（2）当m≥1时，∵由题设易知函数f（x）在[m，m+3]上单调递增，又由不等式f（x1）-f（x2）≤恒成立得≥f（x）max-f（x）min（其中x∈[m，m+3]），

∴≥f（m+3）-f（m）=3m2+12m+?-5≤m≤1，又m≥1，∴m=1适合题意.

当0≤m<1时，∵由题设易知函数f（x）在[m，1]上单调递减，在[1，m+3]上单调递增，∴在[m，m+3]上，f（x）max=f（1），f（x）min=max{f（m），f（m+3）}.

又由f（m+3）-f（m）=3m2+12m+>0知，f（x）max=f（m+3）;由

f（x）在[m+3，4]上单调递增，得f（m+3）

综上知，所求m的取值范围是[0，1].

评注：本题第（2）问要注意“分类与整合思想”和“转化思想”在解题中的灵活运用.

常见类型二：遇到涉及“对于任意的x1，x2，x3∈D，都有f（x1）+

f（x2）>f（x3）恒成立”问题，可转化为先求函数f（x）在区间D上的最大值和最小值;然后根据f（x1）+f（x2）>f（x3）恒成立?2f（x）min>f（x）max（x∈D）即可顺利求解.

例2 已知函数f（x）=x3+（-）x2+（-a）x（a是小于1的正实数，x∈R）.若对于任意的x1，x2，x3∈[1，2]，都有f（x1）+

f（x2）>f（x3）恒成立，求a的取值范围.

分析：由于在区间[1，2]上f（x1）+f（x2）>f（x3）恒成立?2f（x）min>f（x）max（x∈[1，2]），所以本题关键是求函数f（x）在[1，2]上的最大值和最小值.

解析：∵f ′（x）=x2+（a-）x+（-a）=（x-）（x+a-2），∴令

f ′（x）=0，则x=或x=2-a.又由00，则解得x<或x>2-a;令f ′（x）=0，则解得

于是，易知函数f（x）在[1，2-a]上递减，在[2-a，2]上递增.从而，函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（2-a）=（2-a）2，最大值为max{f（1），f（2）}=max{-，a}.

∵易知当0-.又∵由于对任意x1，x2，x3∈[1，2]都有f（x1）+f（x2）>f（x3）恒成立得2f（x）min>f（x）max（x∈[1，2]）.

∴当0-，结合0a，结合

综上知，所求a的取值范围是（1-，2-）.

评注：本题探求解题思路的突破口在于，将已知不等式恒成立准确转化为关于函数f（x）在[1，2]上的最大值和最小值问题.

综上所述，借助求导知识有利于分析函数的单调性，由单调性便于分析函数在某区间上的最大值和最小值，从而有利于将“多变量”恒成立问题加以转化，达到简捷求解的目的.

多变量反馈 篇3

弹用舵机系统是修正弹丸飞行弹道的关键组成部分。针对弹用舵机苛刻的战场生存状况,对其控制系统的设计要求也是极其严格的,采用常用的经典控制理论的系统设计方法往往不能满足设计要求。

状态变量反馈控制理论是通过对系统状态变量模型进行分析,设计相应的状态反馈控制律来把闭环控制系统的根配置在预期位置,使系统获得理想的控制性能的一种现代控制理论。这种方法在航空、航天等复杂控制领域已得到广泛应用。本文基于状态变量控制理论对弹用舵机控制系统进行分析和设计。

1舵机系统概述

智能子弹的舵机系统由无刷直流电机、减速器、输出轴和舵面位置传感器组成,并分别安装在导弹尾部相互垂直的4个位置上,保证产生精确偏转,使子弹沿预定弹道飞行,直至击中目标。

通过对舵机系统的各部件进行数学建模,获取其控制模型;根据梅逊增益公式进行化简;选择合适的参数,最终获得的舵机系统的传递函数如下:

2状态空间模型

一般对于n阶的控制系统,系统可以由一组状态变量[x1,x2,…,xn](n为系统阶次)来表示,在已知系统当前状态和输入激励信号的条件下,状态变量描述了系统未来的响应。控制系统的状态空间模型见图1。

根据舵机系统自身的传递函数,构建状态空间模型的矩阵形式为:

其中:x为系统的一组状态变量[x1,x2,x3];u为系统的控制向量 (输入向量);y为系统的 输出向量;A为3×3系统矩阵(状态矩阵);B为1×3系统控制矩阵 (输入矩阵);C为3×1系统输出矩阵;D为系统前馈矩阵。

式(2)为系统状态方程,式(3)为系统输出方程。 由式(1)可以得到:

对于一个控制系统,在没有引入反馈校正的情况下,仅靠单纯的开环控制并不能保证系统的瞬态性能及稳态精度,所以引入了反馈校正构成闭环控制系统, 通过状态变量反馈进行校正,保证系统的性能。

3状态变量反馈控制

状态变量反馈控制建立的基础是:反馈所需的所有状态变量x都可以通 过相应的 传感器直 接测量。 也就是说,可以得到任意t时刻的状态变量x。

要获得好的瞬态响应,必须保证闭环系统的根分布在理想的位置。由Rudolph Kalman提出的系统能控性理论解决了这一问题,从而使我们可以通过开环系统的状态变量系统的能控性设计状态变量反馈系统。

基于上述理论,假设所选取的状态变量x都可以直接测量,即可以作为反馈变量,记状态反馈控制信号为:

其中:r为参考输入信号;K1、K2和K3分别为待定的反馈增益;Kr为调整参数,用来调整参考输入信号r实际作用的幅值。

系统的全状态反馈模型如图2所示。

定义矩阵反馈增益K为:

那么,将式(5)代入式(4),反馈控制信号则变为:

所以,将式(6)代入式(2)得到经过校正后的闭环控制系统的状态空间模型为:

状态变量表示下的闭环系统系统矩阵的特征值即为系统的极点。

接下来,利用极点配置方法,将闭环系统系统矩阵 (A-BK)的特征值(即闭环系统的极点)配置到指定位置,就可以使系统具备想要的性能。

首先,根据Rudolph Kalman提出的系统能控性理论,在原系统(即式(1)所示开环系统)满足可控性的条件下,才可以进行状态变量的反馈设计。之后对式 (2)构建能控性矩阵:

能控性矩阵Pc的行列式:

由能控性理论可知,当能控性矩阵Pc的行列式不为零,则系统是完全能控的。所以本文研究的系统满足能控性。

根据控制系统的动态响应要求,确定系统的设计指标如下:1单位阶跃响应的稳态精度跟踪误差为零; 2单位阶跃响应超调量小于10%;3单位阶跃响应的调节时间小于1s。

根据2阶系统特征根分布与系统参数的关系,结合指标2和3的要求,选取闭环 控制系统 的阻尼比ζ=0.59,自然频率(固有频率)ωn=6.78Hz,并绘出闭环系统特征根的可行分布域,如图3所示。

在分布域中选取闭环系统的特征根,即(A-BK) 特征值为:

这样,共轭复根p1和p2与p3的实部相差10倍, 因此,可以忽略p3的影响,只考虑主导极点p1和p2对系统的影响。

根据阿克曼公式:

其中:分别为以为根的特征方程的系数,本文中

将已知参数代入式(11),可得:

此时,能够将系统的闭环特征根配置到指定位置。 将式(7)、式(8)通过拉普拉斯变换后经过代数运算可得闭环系统的传递函数为:

其中:I为3阶单位矩阵。将求出的矩阵A、B、C和K代入式(12),得出:

最后,根据Kr为传递函数T(s)直流增益的倒数得:

这样,通过调整Kr可以使闭环传递函数的直流增益等于1,保证了系统的稳态精度。

所以,最终的闭环传递函数为:

经过反馈校正之后,得到的闭环系统(式(16)所示系统)的响应曲线如图4所示。

4结论

由图4的闭环系统阶跃响应曲线可以得出:1闭环系统的稳态精度跟踪误差为零;2闭环系统的调节时间为0.307s;3闭环系统的超调量为4.27%,到达峰值的时间为0.65s。

基于四变量的多变量卡诺图化简新法 篇4

对于四变量以内的逻辑函数, 按卡诺图化简的基本步骤[1,2,3,4]可以进行有效化简, 该方法的要点如下:

(1) 将逻辑函数正确地用卡诺图表示出来。

(2) 合并最小项。在合并画圈时, 每个圈所包含的方格数目必须为2i个, 并可根据需要将一些方格同时画在几个圈内, 但每个圈都要有新的方格, 否则它就是多余的, 同时不能漏掉任何一个方格。此外, 要求圈的个数最少, 并且每个圈所包围的方格数目最多, 这样化简后函数的乘积项最少, 且每个乘积项的变量也最少, 即化简后的函数才是最简单。

(3) 将代表每个圈的乘积项相加, 即得函数的最简与或表达式。

而对于五变量以上的卡诺图, 因变量增多, 卡诺图变得更为复杂, 要直接识别相邻项比较困难, 对此, 许多学者提出了众多解决的办法及计算机实现程序[5,6,7,8,9,10,11,12,13]。

下面就多变量逻辑函数的卡诺图化简方法提出一种全新的行之有效的化简方法。

为了描述方便, 五变量以上的逻辑函数以下统称为多变量逻辑函数。

1多变量逻辑函数卡诺图化简法的基本步骤

1.1将逻辑函数正确地用卡诺图表示出来

n (n>4) 变量逻辑函数卡诺图的画法[14]。

以四变量逻辑函数卡诺图为基本单元 (以下简称单元) , 将n变量逻辑函数卡诺图总图分解为2n-4个单元, 如五变量逻辑函数卡诺图为25-4=2个单元, 八变量逻辑函数卡诺图为28-4=16个单元, 具体如下所示。

五变量逻辑函数卡诺图总图如图1所示。

将其分解为25-4=2个单元如图2所示。

八变量逻辑函数卡诺图总图略。

将其分解为28-4=16个单元如图3所示。

1.2对n变量逻辑函数卡诺图进行化简

n变量逻辑函数卡诺图可分为2n-4个单元, 假设i, j初始值为1, 则化简步骤如下:

(1) 对单元i画第j个最大卡诺圈 (至少包括一项新1) , 并得最简与或式1。

(2) 在相邻单元上找出同位置的相同卡诺圈, 并将所有相邻单元的同位置的相同卡诺圈组成新的大卡诺圈, 并化简得最简与或式2。

(3) 将最简与或式1与最简与或式2进行逻辑与即得一项乘积。

(4) j=j+1, 重复 (1) - (3) 步骤, 直到单元i中所有1都被包含。

(5) i=i+1, 重复 (1) - (4) 步骤, 直到i>2n-4。

(6) 将所有第 (3) 步骤得到的乘积项相加, 即得化简结果, 对化简结果去除冗余项, 即得多变量逻辑函数卡诺图化简的最简结果。

【举例如下】用卡诺图化简如下逻辑函数为最简与或式。

解答: (1) 该七变量卡诺图分解为如下8个单元, 如图4所示。

(2) 按化简步骤化简

第一小步:对单元1画第1个最大卡诺圈, 如图5所示, 并得最简与或式1为。

在相邻单元上找出同位置的相同卡诺圈, 如图6所示。

由此得相邻单元的同位置的相同卡诺圈组成新的大卡诺圈, 如图7所示, 并得最简与或式2为:1。

将最简与或式1与最简与或式2进行逻辑与即得第一项乘积:。

第二小步:类推, 对单元1画第2个最大卡诺圈, 如图8所示, 并得最简与或式1为:。

在相邻单元上找出同位置的相同卡诺圈, 如图9所示。

由此得相邻单元同位置的相同卡诺圈组成新的大卡诺圈, 如图10所示, 并得最简与或式2为:1。

将最简与或式1与最简与或式2进行逻辑与即得第二项乘积:

第三小步:单元1已经没有新1出现, 现对单元2画第1个最大卡诺圈, 如图11所示, 并得最简与或式1为:1。

在相邻单元上找出同位置的相同卡诺圈, 如图12所示。

由此得相邻单元同位置的相同卡诺圈组成新的大卡诺圈, 如图13示, 并得最简与或式2为:

将最简与或式1与最简与或式2进行逻辑与即得第三项乘积:

第四小步:单元2到单元7都没有新1出现, 现对单元8画第1个最大卡诺圈, 如图14所示, 并得最简与或式1为:1。

在相邻单元上找出同位置的相同卡诺圈, 如图15所示。

由此得相邻单元同位置的相同卡诺圈组成新的大卡诺圈, 如图16所示, 并得最简与或式2为:1·A=A。

将最简与或式1与最简与或式2进行逻辑与即得第四项乘积:A·1=A。

至此, i>8, 循环结束, 最后将所有得到的乘积项相加, 即得化简结果为:

2结束语

本文中的新法拓展了四变量逻辑函数卡诺图化简法, 示例表明该方法行之有效, 也丰富了逻辑代数理论。

多变量智能协调控制系统设计应用 篇5

火电机组被控对象通常是具有非线性、参数慢变以及迟滞与大惯性并存的多变量系统, 其中单元机组协调控制系统的设计与投运一直是热工自动化领域的重要研究课题之一。文献[1]采用机理分析和数据拟合的方法, 建立了330 MW机组滑压运行方式下大范围变负荷的模型, 该模型具有简化的形式和较低的阶次, 能够反映机组的基本动态特性和非线性, 经过机组运行数据验证, 该模型具有较好的复现性, 可用于控制系统的设计和控制算法的性能评价;文献[2]介绍了协调控制系统多变量解耦设计的基本思想;文献[3]根据单元机组的低阶非线性模型, 经过适当的简化, 推导出一个双入双出、能够描述机组动态特性及机炉间相互耦合关系的传递函数矩阵, 以该矩阵为基础, 采用多变量内模控制IMC (internal model control) 方法对单元机组协调控制系统进行设计, 为方便在实际工程中实现, 推导出该控制器的比例积分微分PID (proportion integration differentiation) 实现形式, 仿真表明该控制器具有良好的解耦效果和负荷适应能力。

本文根据文献[1]建立330 MW亚临界机组简化模型, 以此简化模型为基础设计多变量协调控制器。通过实际工程应用对比得出多变量协调控制器比原有控制器具有更加优良的控制性能, 而且此协调控制策略现场调试方便简易, 具有良好的工程实用意义。

1 机组模型的建立

在此针对内蒙达电亚临界330 MW单元机组建立协调控制系统低阶非线性模型。该机组锅炉为北京B&W公司制造的B&WB-1025/18.44-M亚临界一次中间再热单汽包自然循环煤粉炉;汽轮机为北重一阿尔斯通公司生产的T2A-330-30-2F-1080亚临界一次再热三缸双排汽凝汽式汽轮机, 此机组在国内火力发电厂中具有一定代表性。如图1该机组模型不仅反映了系统间的能量平衡关系, 而且体现了系统中存在的非线性特征。

根据现场试验所得到的实际数据, 结合文献[1]的330MW建模方法, 得到达电亚临界330 MW机组简化模型为

式中:r′m二为进入磨煤机的实际煤量, t;u B为燃料指令, %;r B为磨煤机输出的煤粉量, t;pb为汽包压力MPa;pt为汽轮机前压力, MPa;μT为汽轮机调门开度, %;NE为机组负荷, MW。

汽轮机调节级压力可以描述为p1=ptμT/100。

图1中, B为进入炉膛的燃料量 (炉侧控制量, t) ;μ为主蒸汽调节阀开度 (机侧控制量, %) ;N为汽轮机的输出功率, MW;p T为主蒸汽压力 (主蒸汽调节阀前压力MPa) ;PD为汽包压力, MPa;pSH为从汽包到主蒸汽调节阀的压力降, MPa;DQ为锅炉受热面总有效吸热量, %;DT为进入汽轮机的蒸汽量;c为锅炉及蒸汽管道的蓄热系数;kSH为过热器管道的阻力系数。

在一定的简化前提下对图1所示的非线性模型依据文献[5, 6]进行线性化处理, 得到亚临界单元机组协调系统的近似动态模型为

式中:T (s) 描述汽轮机的做功过程;B (s) 近似代表燃料动态;G0 (s) 是机炉协调系统的核心模型。

模型公式 (6) 在100%负荷工作点 (负荷330 MW;压力17.6 MPa;燃料指令52.28%;调门开度79.60%, 线性化模型可以描述为

2 多变量协调控制系统应用设计

2.1 控制器模型设计

根据文献[2]所描述的多变量内模控制一比例积分微分IMC-PID方法, 并按照文献[5]中的步骤, 可以得到整体解耦控制器的PID实现形式为

2.2 多变量控制器组态实现

根据解耦控制器公式 (11) , 可得多变量解耦控制器的基本原理, 即在原有压力控制器和负荷控制器的基础上, 再增加一个解耦控制器, 如图2所示。其中压力控制器和负荷控制器为比例控制器, 解耦控制器是由4个PID控制器构成。

把图2中压力和负荷控制器合并到解耦控制元机组协调系统的近似动态模型为器, 得到如图3所示的多变量解耦控制器结构。其中K11~K22为各控制分量。在此考虑以K11和K22为控制主通道, K11在需要跟踪的时候跟踪燃料站的输出, 而K22跟踪汽机站的输出, 同时交叉解耦通道K12和K21跟踪0。这样, 可以保证在控制系统从手动到自动时切换无扰。

图4所示为达电330 MW机组多变量解耦控制器核心部分组态图。该图是依据图3中的结构原理, 解耦控制子回路采用INFI-90功能码156实现的。图4中:模块APID-K11为压力主控制器, APID-K12为负荷解耦控制器, APID-K21为压力解耦控制器, APID-K22为负荷主控制器。

3工程应用

把上述设计的智能协调控制系统在内蒙达电亚临界330MW单元机组上应用。从试投运行曲线上可以看出此控制系统的优良控制品质。

图5为机组DEB协调控制效果, 其曲线1~6分别为燃料指令反馈、主汽调门指令、主汽压力定值、主汽压力、实际负荷、负荷指令。负荷指令变化8 MW, 压力定值变化0.1 MPa时, 压力最大偏差0.48 MPa, 负荷最大偏差6 MW。

图6中, 曲线1~6分别为实际负荷、主汽压力、主汽压力定值、负荷指令、燃料指令、主汽调门指令。负荷定值从320 MW减到270 MW, 变负荷速率为7 MW/min, 压力定值采用滑压运行。稳态时压力最大偏差0.4 MPa, 负荷最大偏差2.5 MW。

图7中, 曲线l~6分别为实际负荷、主汽压力、主汽压力定值、负荷指令、燃料指令、主汽调门指令。4 h内, 包括吹灰过程, 压力最大偏差0.4 MPa, 负荷最大偏差2.5 MW。

从以上控制效果图可以看出机组运用新型智能控制系统改造后, 其在稳态和动态控制品质上都有了明显的改善, 能够满足大负荷变化和高速率调节的控制要求。这是由于多变量解耦控制器大大减少了各输入变量之间的耦合特性而产生的结果。

4 结语

通过对改造前后运行曲线的比较, 可以看出通过改造加入多变量解耦控制器后的系统控制效果良好, 系统的稳态性能得到了明显改善, 并可以在协调方式下进行稳定、快速的升降负荷, 比手动方式升降负荷既快又稳, 大大增强了机组的安全稳定性。这表明使用多变量控制器后的智能协调控制系统动态和静态品质比之前都有很大改善, 变负荷过程响应时间缩短, 动静态偏差明显减少, 自动运行效果得到改善。该多变量智能协调控制系统与原来的DEB协调控制系统的适用工况是相同的, 即适用于除机组启停外的正常运行、调峰、保护等工况, 且满足长期运行的需要, 可广泛投入工程应用中。

摘要：针对火电机组被控对象非线性、迟滞、燃料大惯性并存的特性, 建立了330MW单元机组协调控制系统非线性模型, 并对此模型在额定工况点下进行线性化, 以此线性化模型为基础, 在机组原有的协调控制系统中增加多变量解耦控制器, 进而设计出与之对应的多变量协调控制系统, 并通过工程试验与机组原有的协调控制效果相比较, 实际结果证明了多变量智能协调控制系统的有效性和实用性。

关键词：解耦控制,多变量控制,协调控制,控制模型

参考文献

[1]田亮, 刘吉臻, 曾德良, 等.简化的330MW机组非线性动态模型[J].中国电机工程学报, 2004, 24 (8) :180-184.

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[3]房方, 刘吉臻, 谭文.火电单元机组协调控制系统的多变量IMC-PID设计[J].动力工程, 2004, 24 (3) :360-365.

[4]李道林.国产电站锅炉再热汽温调节实用技术探讨[J].动力工程, 1999, 19 (1) :17-22, 77-78.

[5]陈彦桥, 郑亚锋, 刘吉臻, 等.基于动态解耦的模糊多模型协调控制系统应用研究[J].中国电机工程学报, 2006, 26 (12) :166-170.

[6]房方, 刘吉臻.单元机组协调控制系统的非线性控制研究[J].中国电力, 2004, 37 (7) :61-65.

一类多变量导数高考题的求解策略 篇6

例1 (2010年山东高考理22) 已知函数

(Ⅰ) 当a≤时, 讨论f (x) 的单调性;

(Ⅱ) 设g (x) =x2-2bx+4, 当a=时, 若对任意x1∈ (0, 2) , 存在x2∈[1, 2], 使f (x1) ≥g (x2) , 求实数b取值范围.

分析: (Ⅰ) 略.

解题反思:本题将导数、二次函数、不等式知识有机结合, 考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值, 考查了分类讨论的思想以及解不等式的能力.此题对任意x1∈ (0, 2) , 存在x2∈[1, 2], 使f (x1) ≥g (x2) , 即f (x1) min≥g (x2) max, 利用导数求出f (x) 的最小值, 利用二次函数知识或分离常数法求出g (x) 在闭区间[1, 2]上的最大值, 然后解不等式求参数的范围.

例2 (2010年辽宁高考理22) 已知函数f (x) = (a+1) lnx+ax2+1.

(1) 讨论函数f (x) 的单调性;

(2) 设a<-1, 如果对任意x1, x2∈ (0, +∞) , |f (x1) -f (x2) |≥4|x1-x2|, 求a的取值范围.

分析: (Ⅰ) 略.

(Ⅱ) 不妨设x1

由函数单调性定义知, g (x) 在 (0, +∞) 单调递减, 则g' (x) ≤0在 (0, +∞) 上恒成立, 即g' (x) =f' (x) +4=.分离参数a得不等式在恒成立, 所以, 从而得到a取值范围为 (-∞, -2].

解题反思:含参恒成立问题的解决方法常用分离参数求最值, 而此题含有绝对值, 且含有多个变量, 直接分离参数陷入绝境.但是细心观察, 不等式含两个参数, 两个参数的地位和结构一致, 因此应对不等式合理变形, 构造函数, 利用导数工具解决参数的范围.此题中, 结合f (x) 的单调性, 不等式两边去掉绝对值得到f (x1) -f (x2) ≥4x2-4x1, 将其变形得到f (x1) +4x1≥f (x2) +4x2, 然后构造相应的函数g (x) =f (x) +4x, 利用导数工具解决水到渠成.

例3 (2012年兰州市模拟题) 已知函数f (x) =lnx, g (x) =-ax2-bx, a, b∈R, a≠0.

(1) 设h (x) =f (x) +g (x) , 当b=2, 若函数h (x) 在定义域内存在单调区间, 求a的取值范围;

(2) 当b>1, a=-时, 若对闭区间[1, 2]上的任意两个不相等的实数x1、x2, 都有|f (x2) -f (x1) |>|g (x2) -g (x1) |成立, 求实数b的取值范围.

分析: (1) 略.

(2) 当a=-时, g (x) =-x2-bx, 由于x1, x2∈[1, 2], 不妨设1≤x1|g (x2) -g (x1) |等价于|g (x2) -g (x1) |

对任意的1≤x1

变形的不等式f (x1) +g (x1)

构造函数m (x) =f (x) -g (x) , 由单调性定义知h (x) =f (x) +g (x) 在[1, 2]上单调递增, 在m (x) =f (x) -g (x) 在[1, 2]上也单调递增, 因此h' (x) =+x-b≥0, m' (x) =-x+b≥0在[1, 2]上同时恒成立, 即, 故b的取值范围是

解题反思:当已知条件出现多个变量, 直接消元无法进行时, 就要重新审视不等式的结构.当不等式两边结构对称, 则对不等式变量分离, 此时分离的不是参数, 而是有对称结构的两个变量, f (x1) +g (x1)

例4 (2009年辽宁理21) 已知函数f (x) =x2-ax+ (a-1) lnx, a>1,

(1) 讨论函数f (x) 的单调性;

(2) 证明:若a<5, 则对于任意x1, x2∈ (0, +∞) , x1≠x2, 有

基于滑模的多变量广义预测解耦控制 篇7

随着控制理论的发展, 多种解耦控制方法应运而生, 预测控制也是处理多变量耦合问题的一种有效方法。预测控制算法可以实现系统解耦控制, 但是当系统输入输出变量之间耦合严重时, 仅仅依赖二次型性能指标来克服耦合难以得到较好的控制效果。因此, 预测控制要获得更好的解耦效果, 还要借助其他控制算法, 现在已经有些算法应用到预测控制之中并得到了验证。

变结构控制系统因具有良好的鲁棒性和较强的适应性, 在实践中获得了一定的应用。文献[1]将变结构滑模控制和预测控制结合, 设计了变结构预测控制器, 得到了较好的控制效果。但从目前来看, 大部分变结构预测控制方法是基于状态空间描述的, 或者是基于单输入单输出系统的[2], 没有考虑基于输入输出数学模型的情况和多变量系统的耦合问题。本文利用变结构控制在滑模状态下对外加干扰和系统的摄动、耦合具有完全不变性的特点结合广义预测算法对多变量系统进行解耦;引入终端滑模区作为预测控制的终端吸引区, 要求系统输出在预测水平以后达到系统的设定值, 以保证系统在有限预测水平情况下的闭环稳定性;考虑了多输入多输出耦合影响, 通过求解多元一次矩阵方程组, 提高了系统的解耦能力。因此, 本文所提出的方法同时具有预测控制和滑模变结构的优点。

2多变量过程的对角CARIMA模型

对于物理可实现的m个输入n个输出的多变量对象, 总可建立如下的CARIMA模型:

式中:维多项式矩阵;维多项式矩阵;B (z-1) =z-dijBij (z-1) ———n×m维多项式矩阵;y (t) =[y1 (t) , …, ym (t) ]T和u (t) =[u1 (t) , …, um (t) ]T及ξ (t) =[ξ1 (t) , …, ξn (t) ]T———t时刻的n×1维输出向量, m×1维输入向量和n×1维噪声向量 (假设噪声向量为零均值白噪声) ;———算子。为推导简单, 并且考虑到本文的设计对象为两输入两输出系统, 在此只考虑如下形式两输入两输出系统:

针对式 (2) 进而可以表示为:

式中:na1, na2———多项式的最大阶次。

3基于滑模的广义预测解耦控制

3.1滑模面设计[2,3]

滑模面可用下式表示:

nai是Aii的最大阶次。根据离散线性系统稳定理论, 适当选择参数t, 使T为渐进稳定多项式。

为了在有限的预测时域或控制时域下获得闭环系统的稳定性结果, 可以设定y (t+j) 分别表示t时刻第j步的切换函数预测值、参考信号值和输出预测值, 并采用最终滑动模态s (k+N) =0, 且在其上的滑动运动渐进稳定。

3.2控制律表达式

针对两个双输入单输出系统, 取子系统1的性能指标如下:

引入如下diophantine方程:

其中变量表达式详见文献[4]。则式 (3) 成为:

从而可知子系统1的滑模面的向量表达式为:

终端滑模面表达式为:

其中相应参数为:

其余参数表达式详见文献[4]。

将目标函数重新写成向量形式为:

将式 (5) 和式 (6) 代入式 (7) , 求得使极小的控制律为:

式中:q———拉格朗日乘子。

同理可以得到T2U2的表达式, 与式 (8) 合并, 可以写成:

则有:

即时控制增量可得:

因此, 利用下式即可求得当前控制量:

4稳定性分析

定理1对于系统1算法 (8) 有解, 则保证闭环系统渐近稳定[5]。

证明:根据滑模控制原理, 只要证明系统输出在广义预测控制下能够到达滑动模态, 就可证明系统闭环稳定。以滑模面为例, 设在k时刻, 存在控制序列:

式中:时刻的j步预测输入值, 此刻的性能指标为。在下一个采样时刻k+1, 则有:

其中可以取式子的滑模等效控制的值。

(1) 当扰动已知。

(2) 当扰动未知。

求解上式矩阵等式, 即可知滑模等效控制。因此, 可求得满足。

式中:滑模面s1在k时刻第j步的预测值。

有下面关系成立:

因此, 性能指标单调递减。因此, 随着i值增加, 必有滑模面为零, 系统闭环渐进稳定。

假设则有不失一般性, 设其中s1k+N 1 (j) ≠0, 根据上式推知, 必有s1k+j (N1) ≠0, 这与上述输入预测控制取值滑模等效控制满足滑模方程为零的条件相矛盾。因此, 存在, 证毕。

5仿真研究

考虑如下输入输出系统模型:

仿真结果如图1～图4所示。非解耦GPC参数预测时域N1=N2=15, 控制时域M1=M2=3;多变量解耦控制器预测时域为N1=N2=10, 控制时域M1=5, M2=3, q=2。根据仿真结果可知滑模多变量广义预测算法解耦的效果比较好。采用终端约束后, 预测时域降低。另外, 在一个子系统控制率表达式中包含其他输入控制项, 从而削弱多变量的耦合相互影响。

6结论

针对多变量系统的耦合问题, 本文提出了一种基于滑模预测思想的综合解耦的设计方法。利用变结构滑模控制对系统扰动、耦合的影响具有良好鲁棒性和较强适应性的特点, 结合广义预测控制的模型预测、滚动优化、反馈校正的思想, 很好地解决了多变量系统的耦合问题, 同时也消除了变结构控制系统对时滞和惯性较为敏感, 易于产生“抖振”现象;通过将多输入输出系统分解成多个多输入单输出子系统, 对于每个子系统分别提出优化性能指标并分别设计控制参数, 不但提高了解耦性能, 而且降低了系统设计难度;另外, 由于引入了零终端滑模约束, 保证了广义预测控制的稳定性并给出了证明。

参考文献

[1] 宋立忠, 陈少昌, 姚琼荟.滑模预测离散变结构[J].控制控制理论与应用, 2004, (5) :826-829.

[2] 刘福才, 王娟, 石淼, 等.一种基于滑模的广义预测控制新算法[J].系统仿真学报, 2002, (10) :1348-1351.

[3] 张晓宇, 苏宏业.滑模变结构控制理论进展综述[J].化工自动化及仪表, 2006, 33 (2) :1-8.

[4] 王东风.多变量系统的广义预测控制解耦设计[J].电机与控制学报, 2000, (4) :243-246.

基于多变量时间序列CAR模型研究 篇8

近年来, 很多专家学者就西北干旱半干旱地区围绕气候与径流的关系做了很多的工作并取得了一定的成果。张一驰等做了开都河流域径流对气候变化的响应研究[1];叶柏生等应用我国西部主要河流1951-2000年年径流资料, 分析径流变化的区域特征[2];陈亚宁等根据塔里木河源流区1958-2004年的水文气象数据, 利用Mann-Whitney和Mann-Kendall非参数技术检验, 对塔里木河源流区近50年来气候变化的长期趋势、变化特征及其空间分布进行检测, 并分析了塔里木河流域气候变化背景下的径流变化趋势[3];刘新春等利用1961-2000年近40年的气温、降水、冻土深度等逐月资料及年蒸发量资料和20世纪50年代初或中期建站起到90年代中期径流逐月实测资料, 分析20世纪下半期阿克苏河流域径流变化特征及其与气候变化的关系[4]。结果都表明:在气候暖湿的背景下径流都呈现显著增加的趋势。

呼图壁河流域中下游平原具有灌区面积8.67万hm2, 灌区取水主要依靠呼图壁河水和地下水两种方式。目前, 地下水已出现严重超采, 有些地方地下水埋深已高达四五十米, 很多生态植被因缺水而面临死亡。所以说呼图壁河径流对流域内灌溉农业发展和生态健康具有特别重要的作用, 呼图壁河径流的研究是非常迫切而有必要的。

1 径流预测方法介绍

径流预测的方法很多, 目前, 径流的预测方法主要有人工神经网络模型、小波分析、逐步回归分析和基于最小二乘支持向量机LS-SVM方法[5]等, 均在径流预测预报中取得了一定的成效[6]。人工神经网络模型运用较广, 尤其是在生态学方面, 但其本身存在基于经验最小化、模型结构难以确定、易于出现过度训练和训练不足、陷入局部最小、对连接权初值敏感、过度依赖设计技巧等诸多缺陷。小波分析法[7]中的小波变换系数的冗余问题对计算效率有较大影响, 对预测精度有较大影响。逐步回归分析从相关概念出发建立回归方程, 综合了多个预测因子的作用, 保证了各预测因子的独立性, 但所建立的预测方程为一线性多项式, 对复杂的非线性时间序列拟合效果较差, 适合对水文变化过程平稳的时间序列进行预测。

基于多变量时间序列CAR (Controlled Auto-regressive) 模型结合了一维时间序列分析和回归分析两类数理统计方法的优点, 不仅考虑到事物发展的自身运动规律, 顾及了环境因子的作用, 具结构风险最小、非线性、适于小样本, 能有效克服过拟合、维数灾和局极小, 泛化推广能力优异、预测精度高等诸多优点。因而认为在预测径流方面是一个值得探讨和应用的方法[8]。CAR模型运用范围很广, 但是CAR模型在径流量预测方面的研究很少。高永刚等采用CAR方法建立了呼伦湖湿地消长对年降水量、年径流量、年蒸发量的响应方程, 方程拟合精度很高, 可定量描述湿地的消长对气象及水文因子协同作用的响应程度[9]。管孝燕等建立了基于多变量时间序列的CAR模型对内蒙古河套灌区地下水埋深进行预测[10]。潘国荣做了基于时间序列分析的动态变形预测模型研究, 表明CAR模型能较好地模拟观测数据和进行预报, 是统计预测法中的高级预测方法, 预测精度高, 适应性广[11]。

2 研究区概况

呼图壁河流域地处东经86°05′~87°08, 北纬43°07°~45°20′。总面积10 254.68km2。按地形可概括为中南部天山山地及前山丘陵、中部平原区、北部沙漠区。呼图壁河发源于喀拉乌成山, 上游山区有大量冰川, 据中国冰川目录统计, 全流域有大小冰川239条, 冰川面积72.07km2, 年消融量达0.524亿m3, 冰川补给占全年径流量的11%, 主要以降水、融雪水补给。多年平均径流量4.812亿m3, 多年最大径流量6.335亿m3, 多年最小径流量3.633亿m3。河流由南向北, 最后消失于沙漠中, 全长176km。本流域属于典型的大陆性气候。流域多年平均温度6.7℃、多年平均降雨量171.2mm、多年平均蒸发量2 210.8mm。流域径流地域分配不均, 石门水文站 (N43°45′, 86°34′) 是流域内唯一的水文观测站点, 自1978年建站以来共有34a的径流和气象观测记录, 本文的径流数据和气象数据都是由石门水文站获得。

需要指出的是流域中下游平原有灌区面积8.67万hm2, 灌区取水主要有地表水和地下水两种形式。据昌吉水利局, 2011年呼图壁河可利用地表水资源量为4.562亿m3, 2011年地下水补给量2.04亿m3, 地下水超采严重, 处于负均衡状态。作为灌区主体供水水源的呼图壁河, 由于径流的年内分配不均, 影响了灌区水资源的合理利用, 制约了农业发展 (见图1) 。

3 数据来源及处理方法

(1) 数据来源。本项研究现有数据为流量数据和气象数据, 时间分辨率为日, 时间序列为1978-2011年共34a。气象数据来源于呼图壁河上游的石门水文站的气象观测数据。流量数据来源于呼图壁河上游的石门水文站流量资料。年径流量由实测逐日流量计算得到, 年平均气温和年降水量由逐日气温和日降水量得到。由于流域蒸发量数据缺失, 蒸发量数据采用高桥浩一郎公式推导。施雅风[12], 高桥浩一郎[13], 傅丽昕[14], 曹丽青[15]等的研究表明, 高桥浩一郎公式推导蒸发量具有较好的适用性。

式中:E为月蒸发量, mm;R为月总降水量, mm;T为地面月平均气温, ℃。

(2) 数据处理。数据处理采用Excel工具和DPS软件。首先在Excel软件中根据石门水文站实测日径流数、日气温数据和日降水数据求出呼图壁河年径流量、年平均气温数据和年降水量数据并作图进行分析。并通过高桥浩一郎公式根据月平均气温和月降水量求出年蒸发量。在DPS软件中通过M-K突变检验做年径流量、年平均气温和年降水量的突变分析并建立基于多变量时间序列CAR模型。

4 呼图壁河径流量、气温和降水量趋势及突变分析

4.1 呼图壁河径流量趋势及突变分析

由图2可知, 从1978-2011年间呼图壁河流域多年平均径流量为4.81亿m3, 最大径流量为1999年的6.333亿m3, 最小径流量为1986年的3.633亿m3。可以看出年径流量呈现明显的增加的趋势, 并在3.64~6.34亿m3之间波动, 主要经历了4次明显的波动:分别是1978-1986、1986-1997、1997-2006、2006-2011年。并在1981、1996、1999、2007年达到最大值, 在1986、1997、2006、2009年出现最小值。

本文运用DPS中的M-K时间序列突变点检验对呼图壁河年径流量突变点进行分析, 突变过程如图3所示。可以明显看出UF曲线和UB曲线在临界线内存在1个交点, 说明呼图壁河年径流量存在突变现象。从UF曲线可以看出, 除1980-1981和1985-1987年呈现减少的趋势之外, 其他年份都呈现出明显的持续增长, 并在1999-2004年超过了临界值 (2.56) , 表明增长幅度很大。UF曲线和UB曲线在1987年存在明显的交点, 说明呼图壁河年径流量在1987年发生突变, 1987年是年径流量由少增多的突变点。

4.2 呼图壁河降水量趋势及突变分析

图4可以看出呼图壁河流域年降水量年际变化呈现波动增加的趋势但波动增加的幅度并不是很大, 波峰主要在1988、1993和1998年并在1988年降水量达到多年最大值545.4mm, 波谷主要在1985、1991、1997和2001年, 在1997年达到多年降雨量的最小值236mm。图5可以看出呼图壁流域降水量主要集中在每年的4-8月, 占全年降水量的72.1%, 春、夏、秋、冬四季降水量分别占全年降水量的29.6%、46.64%、18.03%和5.72%。冬季降水量对年降水量贡献较小。

图6给出了呼图壁河年降水量突变过程图, 可以看出UF曲线和UB曲线有3个明显的交点, 说明年降水量发生了3次突变, 分别在1979、2000和2005年, 但是UF曲线和UB曲线都未超过临界线2.56, 表明存在突变特征并不显著。1979的年突变、2000年的突变和2005年的突变都是表明年降水量在持续增多。但是2000年的降水量增多的幅度比1979年和2005年大。

4.3 气温变化趋势及突变分析

图7给出了呼图壁河流域年平均气温趋势变化图, 通过做了2个周期的移动平均曲线, 明显看出气温的年际变化存在明显的波动变化, 在1978-1983年气温变化幅度较大, 呈现出持续上升的趋势, 然后明显下降, 并在1984年达到了34a时间序列的气温最低值4.741℃。1985-2011年之间年平均气温波动变化很明显, 但波动的幅度并不是很大, 一般在3℃内。但总的趋势是波动上升。还可以看出在1978-2011年的34a的时间序列中有较明显的5次波峰 (1983、1991、1997、2002和2008年) , 并在1983年达到了最大值9.18℃。还有4个波谷 (1984、1993、2000和2005年) 在1984年达到最小值4.74℃, 最大值和最小值差值为4.4℃。

图8给出了呼图壁河流域年平均气温的突变过程图。可以看出, UF曲线和UB曲线存在5个交点, 分别在1979、1984、1989、1992和1994年。交点并没有超过临界线, 说明年平均气温突变不明显。同时也可以看出除1996年外UF曲线都在零刻度线以上, 表明年平均气温呈现持续升高的特点, 在1996年有稍微的下降。

5 径流模型的建立

本研究选择多变量自回归CAR模型对呼图壁河年径流量进行模拟预测, CAR模型是在AR模型基础上建立的。其原理是在AR模型基础上增加一个考虑因素项序列u (t) , 并由低阶开始对系统建模, 然后逐次增加模型阶数, 并用F检验对这些模型进行自动筛选[16]。CAR模型在系统建模方面的优点是:用普通递推最小二乘法RLS可得到模型参数的一致估计, 而且计算简单, 便于在计算机上实现, 克服了用CARMA模型对动态系统建模在计算机处理中的缺陷。假定用m个变量的时间序列组建n阶CAR模型, 其形式为:

式中:{an}、{bmn}为系数;m, n为正整数;yt、xm、t-n为时间序列变量;t为时间序列, t>1。

(1) 模型因子的选择。模型输入因子的合理选择是保证模型预报精度的前提。本研究选取呼图壁河流域为研究对象, 在对呼图壁河径流数据及气象数据分析的基础上, 得到呼图壁河年径流量与年蒸发量和年降水量有较好的相关性。为了模型中各变量单位的一致, 本文选取年降水量和年蒸发量作为模型的输入变量, 以年径流量作为输出变量。

(2) 模型的建立。根据呼图壁河石门水文站1978-2002年的年径流量、年降水量和年蒸发量数据, 以年蒸发量X1和年降水量X2作为输入变量, 以年径流量作为输出变量Y建立CAR多变量自回归模型, CAR模型的建模步骤如下。

模型参数选择为F测验的显著水平为0.05, 递推最小二乘遗忘因子值为1.0。模型检验结果为F=2.934。模型定阶检验结果为CAR (n) 残差平方和S (n) =0.084, CAR (n-1) 残差平方和S (n-1) =0.256, 模型定阶的F检验值F=1.167。选定阶次模型全参数时的残差平方和=0.256, 选定阶次、剔除不显著因素后模型的残差平方和=0.259, 判断是否应该剔除不显著因子的F检验值, F=0.161, F (a=0.05) =3.403, 剔除不显著的项后的CAR模型为:

式中:t为时间序列编号, t>1。

(3) 模型的验证采用呼图壁河上游石门水文站2003-2011年共9a的年径流量观测资料。图9和图10分别给出了年径流量的模拟值和观测值的相对误差图和观测值与模拟值的拟合图。表1可以看出2003、2004和2008年的相对误差在20%左右。其他年份相对误差都很小, 平均相对误差为7.1%。图10可以看出观测值和模拟值的拟合效果很好, 整体趋势吻合, 偏离程度很小。用CAR模型预测年径流量误差在可接受范围内, 可以利用该模型对呼图壁河流域年径流量进行预测。

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6 模型的应用

在干旱半干旱地区, 考虑到河川径流对流域内生活生产的至关重要的作用。同时, 为了了解未来气候变化可能对河川径流产生的影响, 本文在分析呼图壁河石门水文站34a的气象和水文观测资料的基础上, 把2011年作为基准年, 以2007年2月IPCC发布的第四次气候变化科学评估报告及2006年1月中国气象局发布的首份全球气候变化及其影响的国家评估报告为参考假设不同的气候变化情景, 并依据CAR模型对不同气候变化情景下的呼图壁河径流量进行预测, 来判断呼图壁河径流量的未来变化趋势。

不同气候变化情景的设定:考虑到呼图壁河流域的实际情况以及干旱半干旱地区暖湿化这一大背景, 本文假定的气候变化情景分别为降水量 (+5%, +10%, +15%, -20%) 、蒸发量 (+5%, +10%, +15%, +20%) 。从表2可以看出, 当蒸发量和降水量都较基准年增加5%时, 呼图壁河年径流量较基准年增加了0.23亿m3;当蒸发量和降水量较基准年增加10%时, 年径流量较基准年增加了0.36亿m3;当蒸发量和降水量都较基准年增加15%时, 年径流量较基准年增加了0.50亿m3。考虑到呼图壁河可能会出现极端干旱的情况, 我们假定气候情景为降水量减少20%, 蒸发量增加20%时, CAR模型预测的径流量为5.69亿m3。结果表明, 在极端干旱条件下, 随着降水的减少, 蒸发量的增加, 呼图壁河径流量呈现增加的结果。原因总结为:在极端干旱条件下, 气温升高剧烈导致呼图壁河上游大面积冰川融化, 冰川融水补给呼图壁河径流的比重加大, 使得呼图壁河径流量增加。因此在干旱半干旱地区未来气候暖湿背景下和极端干旱条件下, 呼图壁河年径流量都是呈现增加的趋势, 对流域内用水结构调整具有重大意义。

7 结语

本文对呼图壁河径流、气温、降水等资料通过趋势分析和突变分析等, 并以年蒸发量、年降水量为输入变量, 以年径流量为输出变量建立多变量时间序列CAR模型对径流量进行模拟, 得到以下结论。

(1) 呼图壁河年径流量、年降水量及年平均气温都呈现出波动增加的变化特征。其中, 年径流量增加的幅度较大, 年降水量增加不明显, 气温在1978-1983年间表现为显著增加趋势, 在1984-2011年间表现为缓慢波动上升。

(2) 呼图壁河年径流量在1987年发生了由少变多的突变, 通过了99%的显著性检验。而年降水量和年平均气温发生了多次突变, 但突变并不显著。

(3) 基于多变量时间序列的CAR模型对呼图壁河年径流量进行模拟, 发现CAR模型在呼图壁河流域年径流量模拟的结果较好, 平均相对误差为7.1%, 达到了模型精度要求, 说明该模型在呼图壁河流域有较高的适用性。

(4) 在模型应用方面, 假定未来气候变化朝增暖增湿方向发展, 对呼图壁河流域未来不同气候变化情景下的径流量进行预测, 发现在降水和蒸发增加的情景下, 呼图壁河年径流量均呈增加的趋势。当流域出现极端干旱, 呼图壁河径流量由于冰川融水量的加大而呈现增加的现象。该研究对流域径流预测、水资源的合理利用与综合管理具有重要意义。

摘要：根据呼图壁河流域石门水文站1978-2011年的气温、降水及径流量资料, 研究了呼图壁河流域近34年来径流量的变化趋势和突变特征, 建立了基于多变量时间序列CAR (Controlled Auto-regressive) 的径流预测模型, 并应用该模型预测了未来不同气候变化情景下呼图壁河流域的年径流量。结果表明, 呼图壁河流域年径流量、气温及降水量都呈现不同程度的增加趋势, 其中年径流量在1987年发生明显突变, 而年降水量和年均气温突变特征不明显;CAR模型在呼图壁河流域年径流量模拟的结果较好, 平均相对误差为7.1%, 达到了模型精度要求, 说明该模型在呼图壁河流域有较高的适用性。在未来区域气候暖湿化背景下, 对呼图壁河流域未来不同气候变化情景下的径流量进行预测, 发现在降水和蒸发增加的情景下, 呼图壁河年径流量均呈增加的趋势;在极端干旱条件下, 径流量也表现出增加的趋势。该研究对流域水资源的合理利用与综合管理具有重要意义。