公式及证明

2024-04-07

公式及证明（共15篇）

篇1：公式及证明

三角函数公式及证明

（本文由hahacjh@qq.com 编辑整理 2013.5.3）

基本定义

1.任意角的三角函数值：

在此单位圆中，弧AB的长度等于；

B点的横坐标xcos，纵坐标ysin ；

（由三角形OBC面积<弧形OAB的面积<三角形OMA的面积可得：

sinatana（02））

2.正切：

tansincos

基本定理

1.勾股定理： sin2cos21 1.正弦定理：asinA2=2bsinB2=

csinC= 2R（R为三角形外接圆半径）

A2.余弦定理：a=b+c-2bccos3.诱导公试:

cosAbca2bc222

2k

sincostancot

奇变偶不变，符号看相线

4.正余弦和差公式: ①sin(②cos(

)sincoscossin)coscossinsin

推导结论

1.基本结论

(sincos)221sin21cos2

tan1

2.正切和差公式：

tan()sin()sincoscossin

cos()coscossinsintantan1tantan

3.二倍角公式（包含万能公式）：

2sincos2tansin22sincos222sincos1tan2222

1tan21tan2cos2sin2cos2cossin2cos112sinsin2cos2tan2sin2cos22tan1tan2

sin221cos221cos22tan1tan22

cos

4.半角公式：（符号的选择由

2所在的象限确定）sin21cos21cos21cos1cos sin221cos21cos2 1cos 1cos2sin22 cos2 cos222cos22tan2sincossincos2coscossinsin21cossin222sin1cos2

22

1sin(cos2sin2)2cos2sin2

5.积化和差公式：

sincos121sin()sin()cossin12sin()sin()coscos2cos()cos() sinsin12cos()cos

6.和差化积公式：

①sin③cos sin2sin2cos22 ②sin ④cossin2cos22sin22 cos2cos2coscos2sinsin7.三角形面积公式

S⊿=aha=absinC=bcsinA=acsin=2abc4R2221111B

sinAsinBsinC=2R2 =asinBsinC2sinA2=bsinAsinC2sinB2=

csinAsinB2sinC2

=pr =p(pa)(pb)(pc)(海伦公式，证明见下文)(其中p 12(abc), r为三角形内切圆半径)定理结论的证明

1.勾股定理的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第I卷命题47.2.正弦定理的证明：

做三角形外接圆进行证明；需利用结论同弧所对的圆周角相等，及直径所对圆周角为直角；

同弧所对圆周角相等的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第III卷命题20.直径所对圆周角为直角的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第III卷命题31.3.余弦定理的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第II卷命题12,13.4.诱导公式的证明：

同理可证

sin(cos(3232)sin()cos(2)sin(2)cos)sin

2)cos(2本证明选自人教版高中数学教材.5.正余弦和差公式的证明:

sin()sin(())可得sin()的结论

本证明选自人教版高中数学教材.5.海伦公式的证明:

本证明选自 http://wenku.baidu.com/view/78e82de50975f46527d3e182.html

篇2：公式及证明

数学与信息科学学院数学与应用数学专业

指导教师李文明

作者张彦莉

摘要:文章简要介绍了泰勒公式的证明方法及几个常见函数的展开式,针对泰

勒公式的应用讨论了九个问题,即应用泰勒公式求极限,证明不等式,判断级数的敛散性,证明根的唯一存在性,判断函数的极值,求初等幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值求行列式的值.关键词: 泰勒公式;极限;不等式;级数;根的唯一存在性;极值;展开式;近似计算;行

篇3：Wallis公式新证明

沃利斯公式是关于圆周率的无穷乘积的公式, 在历史上第一次把π表示为有理数列的极限。沃利斯公式形式上十分简单.虽然沃利斯公式对π的近似计算没有直接影响, 但是在导出Stirling公式中及工程数学与实际问题计算中起到了重要作用。

近现代数学家学者给出了不少更严格的新证明, 半个世纪以来, 已发表了十余种新简捷初等证明, 其中文献[1,2] 证明更简捷。

1 有限次代数方程根与系数关系类比到无限次方程法

类比的思维是人们把解决个别问题所得的经验用来解决其它类似问题的一种类似联想的思维方法。类比这一重要的数学方法, 曾被17世纪德国著名数学家和天文学家开普勒 (Kepler J, 1571—1630) 视为“知道大自然一切秘密”的“导师”, 被波利亚称作科学发现的“伟大的引路人”。这里我们也采用类比思维

有限次代数方程次方程a0+a1x+a2x2+…+anxn=0, a0≠0, 如果有n个不同的根λ1, λ2, λ3, …, λn, 则左边的多项式就能够表示为n线性因子乘积, 即

$\begin{array}{l} a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n} = \\ (1 - \frac{x}{λ_{1}}) (1 - \frac{x}{λ_{2}}) (1 - \frac{x}{λ_{3}}) \dots (1 - \frac{x}{λ_{n}}) 。 \end{array}$

比较这个恒等式两边x同次幂的系数, 就得到根与系数的关系。

特别地如果是偶次方程b0-b1x2+b2x4+…+ (-1) nbnx2n=0有2n个不同的根ξ1, -ξ1, ξ2, -ξ2, …, ξn, -ξn, 则

$\begin{array}{l} b_{0} - b_{1} x^{2} + b_{2} x^{4} + \dots + (- 1)^{n} b_{n} x^{2 n} = \\ b_{0} (1 - \frac{x^{2}}{ξ_{1}^{2}}) (1 - \frac{x^{2}}{ξ_{2}^{2}}) (1 - \frac{x^{2}}{ξ_{3}^{2}}) \dots (1 - \frac{x^{2}}{ξ_{n}^{2}}) ‚ 比较二次项系数有 \end{array}$

$b_{1} = b_{0} (\frac{1}{ξ_{1}^{2}} + \frac{1}{ξ_{2}^{2}} + \dots + \frac{1}{ξ_{n}^{2}})$ (1)

根据幂级数展开式[3], 假设x≠0, 有

$\frac{s i n x}{x} = 1 - \frac{x^{2}}{3!} + \frac{x^{4}}{5!} - \frac{x^{6}}{7!} + \dots$ (2)

利用无穷多项方程

$1 - \frac{x^{2}}{3!} + \frac{x^{4}}{5!} - \frac{x^{6}}{7!} + \dots = 0$ (3)

由于方程 (3) 的根为:±π, ±2π, ±3π, ±4π, ±5π, …

因而有

$\begin{array}{l} \frac{s i n x}{x} = 1 - \frac{x^{2}}{3!} + \frac{x^{4}}{5!} - \frac{x^{6}}{7!} + \dots = (1 - \frac{x^{2}}{π^{2}}) (1 - \frac{x^{2}}{(2 π)^{2}}) \times \\ (1 - \frac{x^{2}}{(3 π)^{2}}) \dots (1 - \frac{x^{2}}{(n π)^{2}}) \dots = \\ \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - \frac{x^{2}}{(n π)^{2}}) 。 \end{array}$

即

$\frac{\sin π x}{π x} = \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - \frac{x^{2}}{n^{2}})$ (4)

由于 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2}}{(n π)^{2}}$ 绝对收敛[4], 故这无穷乘积是绝对收敛的。

在式 (4) 中令 $x = \frac{1}{2}$ , 得

$\begin{array}{l} \frac{π}{2} = \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{(2 n)^{2}}{(2 n - 1) (2 n + 1)} = \lim_{m \to \infty} [\prod_{n = 1}^{m} \frac{2 n}{2 n - 1}]^{2} \frac{1}{2 m + 1} = \\ \lim_{m \to \infty} [\frac{(2 m)!!}{(2 m - 1)!!}]^{2} \frac{1}{2 m + 1} 。 \end{array}$

这即沃利斯公式。

2 利用差分方程解的收敛

差分方程是解决实际问题的有力工具, 运用得当, 可以化难为易。

设 $Ι_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{n} x d x$ 。

$\begin{array}{l} 则 Ι_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{n - 1} x d s i n x = [\cos^{n - 1} x \sin x]_{0}^{\frac{π}{2}} - \\ \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d c o s^{n - 1} x = (n - 1) \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{n - 2} x d x - \\ (n - 1) \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{n} x d x = (n - 1) Ι_{n - 1} - (n - 1) Ι_{0} (5) \end{array}$

由此得差分方程: $Ι_{n} = \frac{n - 1}{n} Ι_{n - 2}$ 。

解这个差分方程并注意到

$Ι_{0} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} d x = \frac{π}{2} ‚ Ι_{1} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x d x = 1$ , 可得

即:

$Ι_{2 m} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2 m} x d x = \frac{2 m - 1}{2 m} \frac{2 m - 3}{2 m - 2} \times \frac{2 m - 5}{2 m - 4} \dots \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{π}{2} = \frac{(2 m - 1)!!}{(2 m)!!} \frac{π}{2}$ (6)

$Ι_{2 m + 1} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2 m + 1} x d x = \frac{2 m}{2 m + 1} \frac{2 m - 2}{2 m - 1} \times \frac{2 m - 4}{2 m - 3} \dots \frac{4}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{(2 m)!!}{(2 m + 1)!!}$ (7)

即

$\begin{array}{l} Ι_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{n} x d x = {\begin{cases} \frac{(2 m - 1)!!}{(2 m)!!} \frac{π}{2}, k 为偶数 \\ \frac{(2 m)!!}{(2 m + 1)!!}, k 为奇数 \end{cases}, \\ x \in [0, \frac{π}{2}] 。 \end{array}$

由于 $0 \leq x \leq \frac{π}{2}$ 时, 0≤cosx≤1, 于是0≤cos2m+1x<cos2mx<cos2m-1x, 我们有

$0 < \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2 m + 1} x d x \leq \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2 m} x d x \leq \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2 m - 1} x d x$ 。

即0<I2m+1≤I2m≤I2m-1。

由递推式 (5) 有:

$1 < \frac{Ι_{2 m}}{Ι_{2 m + 1}} < \frac{Ι_{2 m - 1}}{Ι_{2 m + 1}} = \frac{2 m + 1}{2 m} = 1 + \frac{1}{2 m} \to 1$ 。

我们立刻得到: $\lim_{m \to \infty} \frac{Ι_{2 m}}{Ι_{2 m + 1}} = 1 (8)$

结合式 (6) 、式 (7) 有

$\lim_{m \to \infty} \frac{Ι_{2 m + 1}}{Ι_{2 m}} = \lim_{m \to \infty} {[\frac{(2 m)!!}{(2 m - 1)!!}]^{2} \frac{1}{2 m + 1} \frac{2}{π}} = 1$ 。

即得到著名的沃利斯公式

$\lim_{m \to \infty} [\frac{(2 m)!!}{(2 m - 1)!!}]^{2} \frac{1}{2 m + 1} = \frac{π}{2}$ 。

参考文献

[1]匡继昌.常用不等式 (第三版) .济南:山东科学技术出版社, 2004:290

[2]刘证.Wallis公式的一个新证明注记, 高等数学研究, 2005; (1) :14—16

[3]菲赫金哥尔茨ΓM.微积分学教程:第二卷, 第一分册.北京大学高等数学教研组译.上海:商务印书馆, 1955:139—370

篇4：海伦公式证明之史海钩沉

海伦公式即三角形面积公式：S△=s(s-a)(s-b)(s-c)，其中s=12(a+b+c)，a,b,c是三角形三个边的长，这个公式远在古希腊阿基米德就知道，后由希腊人海伦（Heron）（生于公元前125年）在他的著作《测量术》（metrica）一书的“度量表”章中首先证明了这一公式，还举了求边为13，14，15之三角形面积一例. 在与世隔绝的中国南宋时期（约公元1247年），数学家秦九韶在他的《数书九章》中独创地讨论到它，名为“三斜求积术”，大斜，中斜，小斜分别表示三角形三边，求面积. 把他的结论用现代算式表示是S△=14［b2c2-(b2+c2-a2)2)］2，せ简后与海伦公式是等价的，故它又被命名为海伦——秦九韶公式.

现行教材对公式没加论证就使用了，本文按照历史的顺序给出关于海伦公式的证明方法，以消除在教学中对公式的疑惑.

1 海伦的证明

海伦（Heron），古希腊数学家，力学家，机械学家，生活于欧几里得（Euclid）之后约350年左右，主要活跃于亚历山大里亚. 海伦注重数学的实际应用，这从他留传下来的著作中可以发现，如《测量术》（metrica），《屈光学》（dioptra）等. 海伦公式出自《测量术》一书，这本书被认为是一本实用的测量手册方面的代表作. 在《测量术》第一卷中，海伦讨论了给定三边长的三角形面积求法，即海伦公式，下面是海伦的证明方法.

如图1，△ABC的三边长分别为a,b,c，I为△ABC的内心，OD=OE=OF=r为△ABC内切圆半径长，令s=a+b+c2，延长BC至H，使CH=AF，则有s=BH，因S△=s•r,即S△=BH•OD，作CK⊥BC,OK⊥BO，有∠BOK=∠BCK,故B,O,C,K四点共圆，∠CBK=∠3，因圆O内切于△ABC，有∠1+∠2+∠4=90°，在△BOC中，OK⊥BO，得∠1+∠2+∠3=90°，所以∠CBK=∠4，得△OAF∽△CBK，BCCK=AFOF=CHOD，又OD⊥BC,CK⊥BC，即OD∥CK，CKOD=CLLD，得BCCH=CKOD=CLLD，由合比性质BHCH=CDLD，BH2CH•BH=CD•BDLD•BD，而OD2=LD•BD，即BH2CH•BH=CD•BDOD2，BH=CH•BH•CD•BDOD2，S△=BH•OD=CH•BH•CD•BD，ビ肅H=AF=s-a,BH=s,CD=s-c,BD=s-b代入即得S△=s(s-a)(s-b)(s-c).

2 梅文鼎的证明

ッ肺亩 (1633-1721) 生于明末，长于清初，27岁时拜师学习天文历法，五年后完成了他的第一部创作，从此开启了对算学的兴趣. 他终其一生致力于中西知识的汇通工作，在融会贯通之际，以自己的见解及理念编写了数十本天文及数学著作，催生了这一时期数学上的兴盛. 康熙14年（1675），梅文鼎完成《平三角举要》一书，是历史上第一本三角学专著. 梅文鼎对海伦公式的证法，并非他所独创. 在明末由耶稣会士罗雅谷撰写，汤若望校订，徐光启督修的《测量全义》第四卷中即已出现，但其证法中出现不足之处. 梅文鼎则是将此证法加以补正修改，略作改良后，编入《平三角举要》，卷４“或问”第12页，证明过程如下.

如图2所示，I为△ABC的内心，ID=IE=IF=r为△ABC内切圆半径长，则易推出BD=BF,CD=CE,AE=AF. 分别延长AB，AC,取BH=CE,CK=BF，则AK=AH=s为△ABC周长之一半，延长AI至G，使GK⊥AK，连结HG，则可推得△AHG≌△AKG,HG=KG.

取CM=CK，则BM=BH，延长AK至N，使KN=BH，延长AH至P，使HP=CK，则CN=BP=BC，连结CG,BG,NG,PG，则△CKG≌△PHG,CG=PG，同理△NKG≌△BHG，NG=BG,因此，△NCG≌△BPG≌△BCG，∠BPG=∠BCG连接MG，又HP=CD=CM,CG=PG故△PHG≌△CMG，又△CKG≌△PHG，则△CMG≌△CKG.

在四边形MCKG,DIEC中，由于四角对应相等，故四边形MCKG,DIEC相似，推得△IEC∽△CKG軮E∶CE=CK∶GK，推得CE•CK=IE•GK(1)，又△AKG∽△AEI軮E∶GK=AE∶AK，推得IE2∶(IE•GK）=AE∶AK(2)，结合(1) (2)可知，IE2∶（CE•CK）=AE∶AK，即r2∶(s-b)(s-c)=(s-a)∶s，推得sr2=(s-a)(s-b)(s-c)輘2r2=s(s-a)(s-b)(s-c)，故△ABC的面积S△ABC=sr=s(s-a)(s-b)(s-c)，公式得证.

3 李善兰的证明

ダ钌评迹1811－1882），号秋纫，别号壬叔，浙江海宁人，清代著名数学家，中国数学现代化的先驱. 李善兰自小就展露数学才华，十岁时接触到《九章算术》，此后就对数学发生了极大兴趣.李善兰和伟烈亚力（A . Wylie，1855－1887）合译《几何原本》后九卷，又合译棣莫甘 (De Morgan, 1806－1871) 的《代数学》、罗密士 (E. Loomis, 1811－1899) 的《代微积拾级》. 他还与艾约瑟 (Joseph Edkins) 合译了《圆锥曲线》和《重学》. 李善兰本身也有相当杰出的成就，例如：“尖锥术”、“垛积术”等，其中又以“李善兰恒等式”最为有名.有关海伦公式证明的详细过程，见之于李善兰的《天算或问》.

如图3，I为△ABC的内心，ID=IE=IF=r为△ABC内切圆半径长，令AE=AF=x，BF=BD=y,CD=CE=z,高AH=h，过I点作AB,BC的平行线，分别交BC于B′,C′. 不难证明△ABH∽△IB′D,△ACH∽△IC′D，根据相似三角形的性质和比例的有关性质，可得(AB+BH)∶(IB′+B′D)=h∶r，(AC+CH)∶(IC′+C′D)=h∶r,进而推得（AB+BH）∶(AC+CH)=(IB′+B′D)∶(IC′+C′D)(*)，过I作BC的平行线分别交AB于M，交AC于N. 由∠MBB′=∠IB′D,∠IFM=∠IDB′,IF=ID=r,故△IFM∽△IDB′，推得IM=IB′，可知四边形BMIB′为菱形，故IB′+BD=BB′+B′D=BD,IC′+C′D=CC′+C′D=CD，再由上述（*）式，(AB+BH)∶(AC+CH)=(IB′+B′D)∶(IC′+C′D)=BD∶CD=y∶z，此式改写为AB+BHy=AC+CHz輈+BHy=b+CHz=hr，故可得yz(c+BH)(b+CH)=r2h2（**），又h2=c2-BH2=b2-CH2，推得(c-BH)(c+BH)=(b-CH)(b+CH)，即b+CHc-BH=c+BHb-CH. ソ酉吕蠢钌评贾っ鱞+CHc-BH=c+BHb-CH为一定值. 在他看来，比例式b+CHc-BH=c+BHb-CH的成立具有一般性，不局限在上图所呈现的三角形中. 这样的想法也呈现在他的论证之中，他先举相等情况（b+CH=c+BH）为例，再说明不等情形（b+CH≠c+BH）也会成立，但这样的情形不可能出现在同一个三角形的边长上. 这也说明李善兰虽然采用几何形式论证，但由于他掌握更多三角形边长比例关系的一般性，使得他对于几何图形的使用，不同于海伦和梅文鼎. 有关b+CHc-BH=c+BHb-CH为一定值的证明在这里从略，结论为b+CHc-BH=c+BHb-CH=sx（s=12(a+b+c)），详细的证明请参阅台北《HPM通讯》第九卷第四期.

接下来由sx=b+CHc-BH=(c+BH)(b+CH)(c+BH)(c-BH)=(c+BH)(b+CH)h2，再结合上述（**）式，可得yzr2=(c+BH)(b+CH)h2=sx，推得yzr2=sx，即xyz=sr2，进而推得，(s-a)(s-b)(s-c)=sr2，两边同乘s，得s(s-a)(s-b)(s-c)=s2r2，故S△=sr=s(s-a)(s-b)(s-c)，公式得证.

4 《八线备旨》中海伦公式的证明

ァ栋讼弑钢肌肥侵泄清末被教会学校广泛采用的数学教科书之一.《八线备旨》是一部三角学教材，为美国人罗密士 (E. Loomis) 原著，美国传教士潘慎文 (A. P. Parker) 选译，1893年出版. 《八线备旨》共分四卷，内容分别为“平三角形”、“量法”、“测地”与“弧三角形”. 卷一“平三角形”的内容与现今高中教材中的三角函数的理论部分颇为类似；卷二“量法”主要涉及面积与体积的计算；卷三“测地”顾名思义即为三角函数在测量上的应用；卷四“弧三角形”为球面三角及其在航海上的应用. 海伦公式被编排在卷二的第二题，它是有关各种三角形的面积公式之证明.

5 用余弦定理证明

6 结语

ゴ親PM的角度来看，海伦公式可带给我们很多教学上的启发和反思. 首先，给出海伦公式的各种证法，并非是为了给出一个高低差异的评价，而是为了丰富自身的教学内容知识，这也是数学史融入数学教学 (HPM) 重要的功能之一. 试想若非在数学历史文本中找到这些不同版本的证法，或许至今我们仍只知道海伦纯几何形式的证法，或是多数课本采用的代数化的余弦定理证法. 通过分析各个版本证法的特色，可以让教师在教学方法上有所比较，也才能取长补短. 例如，通过分析几何形式与代数形式的证法之不同，可以发现他们各自对于图形的依赖程度也不相同. 当然，在分析海伦公式各个证法的特色时，也不能忽视它们本身存在的局限性. 当我们试图理解某个版本的证法时，就好比与这位数学家进行对话，从而产生自我的“历史诠释”. 此时，我们必须注意数学知识“断代”的面向，必须认识到数学家所身处的环境，以及他本身所拥有的认知特性.

其次，学生最为熟悉的海伦公式证法非余弦定理莫属，它是纯粹的代数运算，而历史上的证明方法大多都是几何证法，这对习惯代数运算与解析几何的学生来说，学习起来有一定的难度. 但海伦公式所处理的是几何图形面积的计算，余弦定理的证法则是充份展现了符号代数的威力，其间所隐含之几何与代数表征的连结，恰好是可以在数学教学中培养学生数学表征连结能力的极好范例. 学生由此也可以知道，引入三角学的余弦定律，究竟替代了多少综合几何里的命题、方法与技巧.

再次，历史上的海伦公式证法还使我们认识到该如何呈现定理及其证明，以便可以兼顾到各个面向. 在教学中若以历史文本为师，适时引入古人原始的想法，撷取前人的智慧，乃至于前人所犯的错误，相信对于数学思想的发展与学生的学习过程能有更贴近的牟合，也能让学生对数学有更全面的观照. HPM所追求的目标之一正是让学生在通过历史文本解决问题的过程中获得学习的乐趣. 因此，数学文本中的任何地方，可能都有意想不到的金矿等待挖掘，唯有辛勤发掘才可能使我们满载而归.

最后，我们知道海伦公式又被称为海伦——秦九韶公式，这是因为秦九韶独立给出了与海伦公式等价的“三斜求积术”. 通过海伦公式的中西比较可知，希腊人运用平面几何知识证明海伦公式，而秦九韶只给出公式并代入求解具体问题. 可见数学问题的展现离不开社会文化的历史脉络，也与民族特性相关. 中国的数学与古希腊数学演绎的逻辑推理不同，因为中算家不拘一格地采用各种形式的推理方法，使中国数学成为一种从实际问题出发，经过分析提高而概括出一般原则和方法，以求最终解决一大类问题的体系. 针对一个已知三角形三边长求其面积的问题，由于解题形式的不同，让我们看到了在数学知识呈现的背后蕴藏了深刻的文化意涵，这又岂是纯粹背诵海伦公式所能体会出的呢？

げ慰嘉南

ぃ1］ John Fauvel. Maanen J.Van. History in the Mathematics Education［M］. Dordrecht: Kluwer Acadejic Publishers, 2000.

ぃ2］沈康身.历史数学名题赏析［M］.上海：上海教育出版社，2002.

篇5：三角形余弦定理公式及证明

对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：

a2=b2+c2-bc·cosA

b2=a2+c2-ac·cosB

c2=a2+b2-ab·cosC

也可表示为：

cosC=(a2+b2-c2)/ab

cosB=(a2+c2-b2)/ac

cosA=(c2+b2-a2)/bc

这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。

如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的`(边-边-角)。要小心余弦定理的这种歧义情况。

三角形余弦定理的证明：

平面向量证法(觉得这个方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cosθ本来还是由余弦定理得出来的，怎么又能反过来证明余弦定理)∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos(π-θ)

(以上粗体字符表示向量)

又∵Cos(π-θ)=-Cosθ

∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)

再拆开，得c2=a2+b2-2abcosC

即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b

同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。

平面几何证法

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinBc)2+(a-cosBc)2

b2=(sinB*c)2+a2-2accosB+(cosB)2c2

b2=(sinB2+cosB2)c2-2accosB+a2

b2=c2+a2-2accosB

篇6：公式及证明

2、将后面的正弦函数展开：

于是得到：

那么如何计算an,bn,a0这些参数成为能否展开成为正余弦函数的关键。

上面的这些积分为0被称之为正余弦函数的正交性。这些证明很简单，可惜当初学习正余弦函数的时候可能遇到过，但是却不知道这些东西能干什么用。下面的处理手段凸显了大师的风范：

如果我们队原函数进行如下积分，得到很神奇的东西：

后面的积分很明显是0，于是我们求出了a0的值。

那么如何求出an,如果让原函数乘以cos(nx)再进行积分。

利用三角函数的正交性，可以得到：

再用sin(nx)乘，再进行积分就会得到bn,于是乎得到了一个任意函数展开成为正余弦函数的通用表达式，同时为什么会出现A0/2而不是直接的A0的原因也很明朗：就是让整个表达式更具有通用性，体现一种简洁的美。

通过了以上的证明过程，应该很容易记住傅里叶变换的公式。

到此为止，作为一个工程人员不用再去考虑了，可是作为每一个数学家他们想的很多，他们需要知道右侧的展开式为什么收敛于原函数，这个好难，有个叫Dirichlet的家伙证明出如下结论：

有兴趣的可以继续找书看，可惜我有兴趣没时间····

至此以2π为周期的傅里叶变换证明完毕，只不过我们经常遇到的周期函数我想应该不会这么凑巧是2π，于是乎任意的一个周期函数如何知道其傅里叶变换呢，数学向来都是一个很具有条理性的东西，任意周期的函数的傅里叶变换肯定也是建立在2π周期函数的基础之上的。

也就是说如何让一个以2l为周期的函数变成一个以2π为周期的函数，于是乎可以使用z=2π*x/(2l),这样就z就是一个以2π为周期的函数了，于是乎得到如下公式：

傅里叶函数看起来其实还是比较复杂的，有没有一种更简单的表达形式来表示呢。既然提出这个问题，肯定是有的，我个人猜想肯定是复变函数大师在挖掘复变函数的时候，用复变函数去套用经典的傅里叶变换，偶然间发现的······

一个基本的欧拉公式eiθ=cosθ +i*sinθ,这个很容易可以从复数的几何意义上得知，我们通过取两个互为相反数的θ可以得到两个式子，进而可以得到cos 和 sin 的复数

表达形式：



fT(t)c0



[cne

n1

jnt

cne

jnt

]

即：fT(t)



n

cne

篇7：公式及证明

重庆市合川区农委，重庆市合川区（401520）

E-mail ：hcnw631@163.com

摘要：本文推导证明了和与差的对数公式，丰富了对数公式体系。

关键词：和差对数公式

中图分类号：O122.6

1.引言

对数产生于十七世纪前二十五年。对数方法是苏格兰的皮纳尔独立决发现的，在其对数专著《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，布里格斯继承纳皮尔的未竟事业，发表了《奇妙对数规则的结构》详细阐述了对数计算和造对数表的方法。十八世纪，欧拉发现了指数与对数的本质联系。

经典对数理论已发现系列对数公式，幂积商等对数公式发现已久，但没有查询到和与差的对数公式。本文运用对数理论，推导证明了和与差的对数公式。

2.和的对数公式推导证明设logaMp，logaNq，(a>0,a≠1)，由对数的定义得

MaPNaq

则

MNapaq，那么

loga(MN)loga(apaq)

根据

所以 aaxlogaax

loga(MN)loga(apaq)

loga(alogaapalogaaq)

将Map，Naq代入，得

loga(MN)loga(apaq)

loga(alogaapalogaaq)

logaMlogaNlog(aa)a

即分别用M、N的以a为底对数——logaM、logaN表示M与N的和(M+N)以a为底的对数。

3．差的对数公式推导证明设logaMp，logaNq，(a>0,a≠1)，由对数的定义得

MaPNaq

则

MNapaq，那么

loga(MN)loga(apaq)

根据

所以

loga(MN)loga(apaq)xalogaax

loga(alogaa

palogaaq)将MapNaq代入，得

loga(MN)loga(apaq)

loga(alogaapalogaaq)

logaMlogaNlog(aa)a

即分别用M、N的以a为底对数——logaM、logaN表示M与N的差(M-N)以a为底的对数。

4．结论综上所述，除存在幂积商等对数公式外，也存在和与差的对数公式。

（1）和的对数公式

loga(MN)loga(alogaMalogaN)

（2）差的对数公式

loga(MN)loga(alogaMalogaN)

参考文献

[1]数学手册。

[2] 百度百科。

作者简介: 张先胜，男，籍贯重庆市合川区，一九八五年四川农业大学毕业，科学爱好者。通讯地址：重庆市合川区南津街南园路35号合川农业委员会

邮编：401520

篇8：转轴公式的向量证明

关键词：向量,方向余弦,转轴公式,简证

1. 向量的相关知识

定义1两个矢量a和b的模和它们夹角的余弦的乘积叫作a和b的数性积.

记作ab, 即ab = | a| | b| cos∠ ( a, b) .

定理1在空间直角坐标系O - xyz内, 若a = { x1, y1, z1} , b = { x2, y2, z2} , 则ab = x1x2+ y1y2+ z1z2 ( 证明略) .

推论1在平面直角坐标系O - xy内, 若a = { x1, y1} , b = { x2, y2} , 则ab = x1x2+ y1y2.

定义2矢量与坐标轴 ( 或坐标矢量) 所成的角叫作矢量的方向角, 方向角的余弦叫作矢量的方向余弦.

定理2若a与x轴, y轴, z轴的夹角分别为α, β, γ, 则a = { | a | cosα, | a | cosβ, | a | cosγ}

推论2在平面直角坐标系o - xy中, 若a与x轴、y轴的夹角分别为α, β, 则a = { | a| cosα, | a| cosβ} .

推论3在平面直角坐标系O - xy中, 若i到a的有向角∠ ( i, a) = φ, 则a = { | a| cosφ, | a| sinφ} .

2. 转轴公式的证明

定理3设平面内点M在旧坐标系O - xy与新坐标系o' - x' y' 中的坐标分别为 ( x, y ) 与 ( x', y') , 则转轴公式为:

式中的θ为坐标轴的旋转角.

参考文献

[1]吕林根, 许子道.解析几何[M].北京:高等教育出版社, 2001.

篇9：利用方差公式证明不等式

已知x+y+z=a，求证：x2+y2+z2 ≥a2.

设x2+y2+z2=w，则由方差公式可得x，y，z的方差为s2 =·x－2+y－2+z－2=·（x2+y2+z2）－（x+y+z）+=·w－. 因为s2≥0，所以w－≥0. 所以w≥a2，即x2+y2+z2≥a2.

已知a，b，c，d，e为实数，且a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，求证：0≤e≤.

令==，则a，b，c，d的方差为s2=

a2+b2+c2+d2+－（a+b+c+d）=16－e2+－

=16－e2－.

由s2≥0得16－e2－≥0，即16－e2－≥0，由此可求得0≤e≤.

证明：若a1，a2，…，an为任意实数，则≤.

令=，则s2=a－2+a－2+…+a－2≥0，即a21+a22+…+a2n≥2a+a+…+a－n2，所以a21+a22+…+a2n≥. 所以≤.

设c为直角三角形的斜边，a，b为两直角边. 求证：a+b≤c.

因为a2+b2=c2，所以a，b的方差s2 =a－+b－=a2+b2－（a+b）2=·c2－（a+b）2. 因为s2≥0，所以c2-·（a+b）2≥0，而a，b，c均为正数，所以2c2≥（a+b）2，所以a+b≤c.

篇10：余弦定理公式的含义及其证明

少三(2)宋伊辰

在做参考书的时候，我有时会遇到“已知一个一般三角形的两边长及其夹角的度数，要求第三边长度”的情况。与直角三角形不同，这时直接求第三边长显得有些困难，往往要花很大力气。那么，有没有什么方法可以直接求解呢？我向爸爸提出了我的疑问。“可以用余弦定理求啊。”他回答道。

“余弦定理是什么？”怀着满腹的疑问，我开始上网搜寻答案。余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题。

如左图所示，在△ABC中，余弦定理可表示为：

同理，也可描述为：

那么，我们又如何证明余弦定理的成立呢？我又对此展开了探究。法一（代数证明）：如右图所示，△ABC，在c上做高，将c边写作：

将等式两边同乘以c得到：

同理，① ②

①+②得：法二（运用相交弦定理证明）：

如图，在三角形ABC中，∠A=α，AB=a，BC=b，AC=c以B 为圆心，以长边AB为半径做圆（这里要用长边的道理在于，这样能保证C点在圆内）。

延长BC，交⊙B于点D和E

∴DC=a-b，CE=a+b，AC=c ∵AG=2acosα ∴CG=2acosα-c。

∵DC×CE=AC×CG

∴(a-b)(a+b)=c(2acosα-c)

化简得：b2a2c22ac(cosα)，法三（平面几何）：

在△ABC中，已知AC=b，BC=a，∠C=γ，求c。过点A作AD⊥BC于D，∴AD=AC·sinγ=b·sinγ，CD=AC·cosγ=b·cosγ ∴BD=BC-CD=a-b·cosγ 在Rt△ABD中，∠ADB=90°

∴AB2AD2BD2（b·sinγ)2+（a-b·cosγ)

2﹦ab2abcosγ

法四(解析几何)：

以点C为原点O，AC为x轴，建立如右图所示的平面直角坐标系。

在△ABC中，AC=b，CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)． |AB|2(acosCb)2(asinC0)2

222 acos2C2abcosCbasin2C

22A B D C

ab2abcosC 即cab2abcosC

经过一番思考和尝试，我成功地运用多种方法证明了余弦定理公式。那么，这个公式在实际的题目当中有什么应用呢？网上的资料给了我答案。

余弦定理可应用于以下两种需求：

1、当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。

2、当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。余弦定理还可以变换成以下形式： 22222b2c2a2 abc2bccosA

cosA2bc22c2a2b2 bca2accosB

cosB2ca22a2b2c2 cab2abcosC

篇11：关于证明光学中的高斯公式

如下图所示：其中OA为物距U，OA1为像距V，Of为焦距f；

从图可知：△OAB∽△OA1B1；即可得出：OA/OA1=AB/A1B1，即U/V= AB/A1B1；又因为△OCf∽△A1B1f；可得出：OC/A1B1=Of/A1f 因为OC=AB，所以有：OA/OA1=AB/A1B1= OC/A1B1 即：U/V= Of/A1f=f/(V-f)；将公式全部用倒数可得:V/U=(V-f)/f=V/f-1, 移项可得：V/U+1=V/f，其中1可换为V/V,，公式可变形为：V/U+V/V=V/f，将等式两边都除以V可得：1/U+1/V=1/f

篇12：换底公式的两种证明方法

1、定义法

令 logcbq,logcap，则cqb,cpa

logablogcpcq

2、恒等式法 qqlogcb logccpplogca∵logablogcalogca∴logablogablogcb

篇13：公式及证明

关键词：Green公式,安培环路定理,Gauss公式,高斯定律,叠加原理

高等数学和大学物理是两门联系非常紧密的学科,数学中的不少理论源于物理的的实践,反之,物理中的很多问题要用数学工具来解决.本文分别应用Green公式、Gauss公式来证明电磁学中安培环路定理和高斯定律.这不仅能帮助学生加深对所学知识的理解,而且能提高学生解决问题的能力.

1 应用Green公式证明安培环路定理

安培环路定理:在恒定电流的磁场中,磁感应强度B軑沿任何闭合路径C的线积分(即环路积分)等于路径C所包围的电流强度的代数和的μ0倍,它的数学表达式为:

曲线C是任意一条不过原点的曲线,无重点

①当曲线C不包围原点时(如图2),D是所围区域,

②当曲线C包围原点时,因为原点是奇点,在曲线内部作一个半径为r的圆l:x2+y2=r2,l与C有相同绕向,D是l与C所围复联通区域,如图1两曲线都取逆时针绕向.

结果显示积分结果与曲线的形状无关,

2 运用Gauss公式证明高斯定律

高等数学中的Gauss公式和电磁学的高斯定理虽然表面形式不同,但是我们用Gauss公式推能证明高斯定理.简单分析如下:

置于原点电量为q的点电荷对距离为r的场点P(x,y,z)产生的场强为[1]:

设曲面S是任一不过原点的封闭曲面,那么点电荷q通过曲面S的电通量表示为:

(上接第150页)②曲面包围电荷时,原点是奇点,因此作一半径为R的球面S′:x2+y2+z2=R2

含于曲面S,两曲面取相同的侧,如图4,此时由Gauss公式可以推出:

俗话说,“数理不分家”,对于一个物理规律的论证可以采用多种形式的数学语言,而同一个数学语言也会随问题背景的不同来揭示不同的规律.因而在数学课堂上引入这两个案例能让学生课后自主探讨Green公式和Gauss公式的物理应用,这种做法对于拓展学生思路是有益的,更重要的是对学生综合运用所学知识的能力的一个训练,会收到较好的效果.

参考文献

[1]张三慧,编.大学物理学简程(上)[M].北京:清华大学出版社,2010.

[2]俞云伟.磁场安培环路定理的一种新证明[J].高等函数学报,2002(4).

篇14：用物理方法证明椭圆的面积公式

关键词：开普勒定律；椭圆的面积公式；物理方法

在数学中有很多方法可以推导出椭圆的面积计算公式，比如，仿射变换法、二重定积分法，其中二重定积分法已超出高中生的能力。本文给出从物理角度证明椭圆的面积表示式的计算过程，切入点是开普勒第二定律，再将开普勒第二、第三定律与机械能守恒定律结合起来，很自然地得出了正确结果。笔者的教学实践说明，只要事先给出有关预备知识（引力势能表示式及其物理意义），再对物理推理思路稍作提示，大部分学生都能完成证明过程。这不仅让学生拥有了理论探究的成就感，还使学生深深地体会到数学与物理学之间的紧密联系。

众所周知，开普勒行星运动三定律是开普勒仔细分析研究大量天文观测数据后得出的著名物理定律。第一定律即说明行星绕太阳运动的轨迹是椭圆，第二定律给出了行星运行速率与行星太阳距离的关系，第三定律揭示了行星轨道的几何尺寸与行星公转周期的关系，三个定律将时空、物質和运动完美地融合在一起。

下图所示为行星绕太阳运动的椭圆轨道，太阳静止不动位于该轨道的一个焦点。开普勒第二定律告诉我们，行星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等。这提示我们，如果能算出行星的公转周期（绕太阳一圈的时间）以及行星太阳连线在单位时间内扫过的面积，那么椭圆轨道包围的面积就等于这两个量的乘积。为方便先给出下文涉及的：①椭圆轨道的几何参量及其表示符号：焦距c，半长轴a，半短轴b，近日点距离r1，远日点距离r2，面积S；②有关物理量及其表示符号：万有引力常量G，太阳质量M，行星质量m，行星绕太阳的公转周期T，行星经过近日点、远日点时的速率v1、v2，行星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积λ（也叫掠面速度）。具体思路和计算过程如下：

（1）设法找出用椭圆半长轴表示的行星公转周期公式。据开普勒第三定律可知，各行星轨道的半长轴的立方与行星公转周期的平方成正比，即a13∶T12=a23∶T22=a33∶T32=…=k，比值k是一个仅与太阳质量有关的常数；若某颗行星的轨道是圆，则公式中相应的a表示该圆轨道的半径。要得到周期公式就必须求出k值，该值可利用圆轨道方便地求到。设某一行星m0的轨道是半径为R0的圆，其公转周期为T0，该行星绕太阳作匀速圆周运动所需向心力由行星太阳间的万有引力提供，所以有

开普勒第三定律告诉我们，k值对所有行星都相等，所以有：

由上式解得轨道半长轴等于a的行星公转周期的计算式：

该式显示行星公转周期与行星的轨道大小以及太阳质量大小有关。