三角函数公式及知识点

三角函数公式及知识点（共10篇）

篇1：三角函数公式及知识点

三角函数公式大全

三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是为大家整理的：

锐角三角函数公式

sin

α=∠α的对边

/

斜边

cos

α=∠α的邻边

/

斜边

tan

α=∠α的对边

/

∠α的邻边

cot

α=∠α的邻边

/

∠α的对边

倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）

（注：SinA^2

是sinA的平方

sin2（A））

三倍角公式

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

tan3a

=

tan

a

·

tan(π/3+a)·

tan(π/3-a)

三倍角公式推导

sin3a

=sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

辅助角公式

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

推导公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina

=3sina-4sin³a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa

=4cos³a-3cosa

sin3a=3sina-4sin³a

=4sina(3/4-sin²a)

=4sina[(√3/2)²-sin²a]

=4sina(sin²60°-sin²a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos³a-3cosa

=4cosa(cos²a-3/4)

=4cosa[cos²a-(√3/2)²]

=4cosa(cos²a-cos²30°)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述两式相比可得

tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

半角公式

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

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三角和

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

两角和差

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

和差化积

sinθ+sinφ

=

sin[(θ+φ)/2]

cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ

=

cos[(θ+φ)/2]

sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ

=

cos[(θ+φ)/2]

cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ

=

sin[(θ+φ)/2]

sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

积化和差

sinαsinβ

=

[cos(α-β)-cos(α+β)]

/2

cosαcosβ

=

[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sinαcosβ

=

[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cosαsinβ

=

[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

诱导公式

sin(-α)

=

-sinα

cos(-α)

=

cosα

tan

(—a)=-tanα

sin(π/2-α)

=

cosα

cos(π/2-α)

=

sinα

sin(π/2+α)

=

cosα

cos(π/2+α)

=

-sinα

sin(π-α)

=

sinα

cos(π-α)

=

-cosα

sin(π+α)

=

-sinα

cos(π+α)

=

-cosα

tanA=

sinA/cosA

tan（π/2＋α）＝－cotα

tan（π/2－α）＝cotα

tan（π－α）＝－tanα

tan（π＋α）＝tanα

诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限

万能公式

sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］

cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］

tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］

其它公式

(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1

(2)1+(tanα)^2=(secα)^2

(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可

(4)对于任意非直角三角形,总有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证:

A+B=π-C

tan(A+B)=tan(π-C)

(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

得证

同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC

(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC

(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0

以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

篇2：三角函数公式及知识点

公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin(2kπ+α)=sinα k∈zcos(2kπ+α)=cosα k∈z

tan(2kπ+α)=tanα k∈z

cot(2kπ+α)=cotα k∈z

公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

cot(-α)=-cotα

公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα

cot(π-α)=-cotα

公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosα

tan(2π-α)=-tanα

cot(2π-α)=-cotα

公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinα

tan(π/2+α)=-cotα

cot(π/2+α)=-tanα

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2-α)=tanα

高中数学三角函数的诱导公式学习方法二

推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinα

tan(3π/2+α)=-cotα

cot(3π/2+α)=-tanα

sin(3π/2-α)=-cosα

cos(3π/2-α)=-sinα

tan(3π/2-α)=cotα

cot(3π/2-α)=tanα

高一数学学习方法总结

1.先看专题一，整数指数幂的有关概念和运算性质，以及一些常用公式，这公式不但在初中要求熟练掌握，高中的课程也是经常要用到的。

2.二次函数，二次方程不仅是初中重点，也是难点。在高中还是要学的内容，并且增加了一元二次不等式的解法，这个就要根据二次函数图像来理解了!解不等式的时候就要从先解方程的根开始，二次项系数大于0时，有个口诀得记下：“大于号取两边，小于号取中间”。

3.因式分解的方法这个比较重要，高中也是经常用的，比如证明函数的单调性，常在做差变形是需要因式分解，还有解一元多次方程的时候往往也先需要分解因式，之后才能求出方程的根。

4.判别式很重要，不仅能判断二次方程的根有几个，大于零2个根;等于零1个根;小于零无根。而且还能判断二次函数零点的情况，人教版必修一就会学到。集合里面有许多题也要用到。

高中数学的记忆方法

1.口诀记忆法

高中数学中，有些方法如果能编成顺口溜或歌诀，可以帮助记忆。例如，根据一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0，△>0)与ax2+bx+c<0(a>0，△>0)的解法，可编成乘积或分式不等式的解法口诀：“两大写两旁，两小写中间”。即两个一次因式之积(或商)大于0，解答在两根之外;两个一次因式之积(或商)小于0，解答在两根之内。当然，使用口诀时，必先将各个一次因式中X的系数化为正数。利用口诀时，必先将各个一次因式中X的系数化为正数。利用这一口诀，我们就很容易写出乘积不

2.形象记忆法

有些知识，如果能借助图形，可以加强记忆。例如，化函数y=asinx+bcosx(a>0，b>0)为一个角的三角函数，可以用a、b为直角边作

数和对数函数的图象，可帮助记忆其性质、定义域和值域;利用三角函数的图象，可帮助记忆三角函数的性质、符号、定义、值域、增减性、周期性、被值;利用二次函数的图象，可帮助记忆抛物线的性质——开口、顶点、对称轴和极值。

3.表格记忆法

有些知识借助表格也能帮助记忆。例如，0°、30°、45°、60°、90°等特殊角的三角函数值;等差与等比数列的定义、一般形式、通项公式an、前n项的和sn性质及注意事项;指数与对数函数的定义、图象、定义域、值域及性质;反三角函数的定义、图象、定义域、主值区间、增减性及有关公式;最简三角方程的通值公式等等，都可以用表格帮助记忆。有些数学题的解题方法，也可以用表格化难为易、驭繁为简。例如，用列表法解乘积或分式不等式，解含绝对值符号的方程或不等式，计算多项式的乘法，求整系数方程的有理根等等，都是很好的方法，这种记忆法在复习中尤其应该提倡。

4.联想记忆法

对新知识可以联想已牢固记忆的旧知识，用类比的方法来帮助记忆。例如：高次方程的根与系数的关系，可以类比二次方程的韦达定理来帮助记忆;一元n次多项式的因式分解定理可以类比二次三项式因式分解定理来帮助记忆。有些数学题的解法也可以用联想的方法帮助记忆。例如，联想到实数的有序性，我们容易写出乘积不等式(2x+1)(x-3)(x-1)(2x+5)

等式的一个范围内的解。写出了这个范围的解，其余范围的解就可以每隔一个区间向前很顺利地写出。可见，将每一个一次因式中X的系数都化为正数后，用实数的有序性来解乘积或分式不等式是十分方便的。

5.分类记忆法

遇到数学公式较多，一时难于记忆时，可以将这些公式适当分组。

例如求导公式有18个，就可以分成四组来记：

(1)常数与幂函数的导数(2个);

(2)指数与对数函数的导数(4个);

(3)三角函数的导数(6个);

(4)反三角函数的导数(6个)。

求导法则有7个，可分为两组来记：

(1)和差、积、商复合函数的导数(4个);

(2)反函数、隐函数、幂指函数的导数(3个)。

6.“四多”记忆法

篇3：三角函数公式运用之鉴赏

例1 求值:undefined

分析 巧凑积化和差, 和差化积公式即可.

undefined

例2 已知tan2α=1+2tan2β, 求证:cos2β=1+cos2α.

分析 考查条件与结论的差异:

(1) 角的差异为2α与α.

(2) 函数名称的差异是余弦与正切, 因此要使用倍角公式和同角间的三角函数关系式.

undefined

即cos2β=2cos2α=1+cos2α.证毕.

例3 求cos40°cos80°+cos80°cos160°+cos160°cos240°的值.

分析 通过构造对偶式来构成对称, 是巧解数学题的行之有效的方法之一.

解 设m=cos40°cos80°+cos80°cos160°+cos160°cos40°,

n=sin40°sin80°+sin80°sin160°+sin160°sin40°.

undefined, 即原式undefined

例4 已和tan (α+β) =2tanβ.求证:3sinα=sin (α+2β) .

分析 (1) 函数名称是正弦与正切. (2) 角分别是α+β, α与α+2β, 通过观察分析不难得出: (α+β) -β=α, (α+β) +β=α+2β, 因此可以通过这样的关系巧证此题.

证明 由已知tan (α+β) =2tanβ,

undefined

又 ∵sin (α+β) cosβ+cos (α+β) sinβ=3cos (α+β) sinβ,

即sin (α+2β) =3cos (α+β) sinβ. (2)

又由 (1) , 得

sin (α+β) cosβ-cos (α+β) sinβ=cos (α+β) sinβ,

即sinα=cos (α+β) sinβ. (3)

把 (3) 代入 (2) , 得sin (α+2β) =3sinα.

即证.

例5 设α, β∈ (0, π) , 且undefined, 求cosβ的值.

undefined

由万能公式易知undefined

undefined

则α, β, π- (α+β) 可以视为一个三角形的三内角.

篇4：第14讲 三角函数及诱导公式

任意角的三角函数、同角关系及诱导公式是整个三角函数的基础，是解决三角函数所有题目的基本工具.这一讲需要学生掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、特殊角的三角函数值、三角函数的性质、同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义，会求[y=Asin（ωx+φ）]的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，能运用上述三角公式化简三角函数式，求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式.任意角的三角函数、同角关系及诱导公式是高考的重要内容之一，应熟练掌握.一般一个大题一个或两个小题，分值在5分到15分左右，多以选择、填空的形式单独考查，也可以同角三角函数图象和性质、解三角形、向量、参数方程等内容相结合，以解答题为主，重点考查的是公式的熟练运用，难度不大.同时也可考查数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归等重要思想.

命题特点

从近几年高考看，本讲考小题重基础，考大题难度低，考应用融于三角函数之中，考综合体现三角的工具作用.趋势是：①试题的题型及难度将基本保持稳定，不会出偏题、怪题，一般会在选择填空题的靠前位置出现.②主要基础题型还是集中在考查三角函数定义、知值求值、知值求角、知角求值等.③新教材比较重视实际应用，所以要重视利用任意角的三角函数、同角关系及诱导公式解决其他相关三角函数综合题型，比如解三角形、立体几何、向量等.

备考指南

复习该节内容时应注意：

1. 诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限.

2. 在求值与化简时，常用方法有：

（1）弦切互化法：主要利用公式[tanα=sinαcosα]化成正、余弦.（2）和积转换法：利用[（sinθ±cosθ）2=1±][2sinθcosθ]的关系进行变形、转化.（3）巧用“1”的变换：[1=sin2θ+cos2θ=cos2θ（1+tan2θ）=tanπ4=…].

3. （1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负[→]脱周[→]化锐.特别注意函数名称和符号的确定.（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.（3）注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

限时训练

1. 已知点[P（sin3π4，cos3π4）]落在角[θ]的终边上，且[θ∈[0，2π）]，则[θ]值为 （ ）

A. [5π4] B. [3π4]

C. [7π4] D. [π4]

2. 如果[1]弧度的圆心角所对的弦长为[2]，那么这个圆心角所对的弧长为 （ ）

A. [1sin0.5] B. [sin0.5]

C. [2sin0.5] D. [tan0.5]

3. [sin2cos3tan4]的值 （ ）

A. 小于[0] B. 大于[0]

C. 等于[0] D. 不存在

4. 计算[2sin（-600°）+3tan（-855°）]的值为 （ ）

A. [32] B. 1

C. [23] D. 0

5. 已知函数[f（x）=cosωx（x∈R，ω>0）]的最小正周期为[π]，为了得到函数[g（x）=sin（ωx+π4）]的图象，只要将[y=f（x）]的图象 （ ）

A. 向左平移[π8]个单位长度

B. 向右平移[π8]个单位长度

C. 向左平移[π4]个单位长度

D. 向右平移[π4]个单位长度

6. 已知[tanα]，[1tanα]是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两个实根，且[3π<α<7π2]，则[cosα+sinα]= （ ）

A. [3] B. [2]

C. [-2] D. [-3]

7. 若[sin（π3-α）=14]，则[cos（π3+2α）=] （ ）

A. [-78] B. [-14]

C. [14] D. [78]

8. 已知函数[f（x）=cos（π2+x）+sin2（π2+x），][x∈R，]则[f（x）]的最大值为 （ ）

A. [34] B. [54]

C. [1] D. [22]

9. 已知锐角[α，β]满足：[sinβ-cosβ=15，tanα+tanβ][+3tanα?tanβ=3]，则[α，β]的大小关系是 （ ）

A. [α<β] B. [β<α]

C. [π4<α<β] D. [π4<β<α]

10. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”. 给出下列函数，其中“同簇函数”的是 （ ）

①[f（x）=sinxcosx]；

②；[f（x）=2sin2x+1]

③[f（x）=2sin（x+π4）]；

④[f（x）=sinx+3cosx].

A. ①② B. ①④

C. ②③ D. ③④

11. 已知扇形的周长为8cm，则该扇形面积的最大值为 cm2.

12. 已知[α∈（π2，π），sinα=35]则[tanα]=_______.

13. 设集合[M=αα=kπ2-π3，k∈Z，][N={α|-π<α][<π}]，则[M∩N=] .

14. 已知[α]为钝角，[sin（π4+α）=34]，则[sin（π4-α）=] .

15. 已知[tan（π4+α）=2].

（1）求[tanα]的值；

（2）求[2sin2α+sin2α1+tanα]的值.

16. 如图，在平面直角坐标系[xOy]中，以[Ox]轴为始边作两个锐角[α，β]，它们的终边分别与单位圆相交于[A，B]两点. 已知[A，B]的横坐标分别为[210]，[255].求：

（1）[tan（α+β）]的值；

（2）[α+2β]的值.

17. 已知函数[fx=tan2x+π4].

（1）求函数的定义域与最小正周期；

（2）设[α∈0，π4]，若[fα2=2cos2α]，求[α]的大小.

18. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=[12]（弦×矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.

按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为[2π3]，弦长等于9米的弧田.

（1）计算弧田的实际面积；

（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）

篇5：数学余割函数公式定理知识点总结

对于任意一个实数x，都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数)，而这个角又对应着唯一确定的余割值cscx与它对应，按照这个对应法则建立的函数称为余割函数。

记作f(x)=cscx

f(x)=cscx=1/sinx

1、定义域：{x|x≠kπ，k∈Z}

2、值域：{y|y≤-1或y≥1}

3、奇偶性：奇函数

4、周期性：最小正周期为2π

5、图像：

图像渐近线为：x=kπ ，k∈Z

其实有一点需要注意，就是余割函数与正弦函数互为倒数。

篇6：三角函数公式及证明

（本文由hahacjh@qq.com 编辑整理 2013.5.3）

基本定义

1.任意角的三角函数值：

在此单位圆中，弧AB的长度等于；

B点的横坐标xcos，纵坐标ysin ；

（由 三角形OBC面积<弧形OAB的面积<三角形OMA的面积 可得：

sinatana（02））

2.正切：

tansincos

基本定理

1.勾股定理： sin2cos21 1.正弦定理：asinA2=2bsinB2=

csinC= 2R（R为三角形外接圆半径）

A2.余弦定理：a=b+c-2bccos3.诱导公试:

cosAbca2bc222

2k

sincostancot

奇变偶不变，符号看相线

4.正余弦和差公式: ①sin(②cos(

)sincoscossin)coscossinsin

推导结论

1.基本结论

(sincos)221sin21cos2

tan1

2.正切和差公式：

tan()sin()sincoscossin

cos()coscossinsintantan1tantan

3.二倍角公式（包含万能公式）：

2sincos2tansin22sincos222sincos1tan2222

1tan21tan2cos2sin2cos2cossin2cos112sinsin2cos2tan2sin2cos22tan1tan2

sin221cos221cos22tan1tan22

cos

4.半角公式：（符号的选择由

2所在的象限确定）sin21cos21cos21cos1cos sin221cos21cos2 1cos 1cos2sin22 cos2 cos222cos22tan2sincossincos2coscossinsin21cossin222sin1cos2

22

1sin(cos2sin2)2cos2sin2

5.积化和差公式：

sincos121sin()sin()cossin12sin()sin()coscos2cos()cos() sinsin12cos()cos

6.和差化积公式：

①sin③cos sin2sin2cos22 ②sin ④cossin2cos22sin22 cos2cos2coscos2sinsin7.三角形面积公式

S⊿=aha=absinC=bcsinA=acsin=2abc4R2221111B

sinAsinBsinC=2R2 =asinBsinC2sinA2=bsinAsinC2sinB2=

csinAsinB2sinC2

=pr =p(pa)(pb)(pc)(海伦公式，证明见下文)(其中p 12(abc), r为三角形内切圆半径)定理结论的证明

1.勾股定理的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第I卷 命题47.2.正弦定理的证明：

做三角形外接圆进行证明；需利用结论同弧所对的圆周角相等，及直径所对圆周角为直角；

同弧所对圆周角相等的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第III卷 命题20.直径所对圆周角为直角的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第III卷 命题31.3.余弦定理的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第II卷 命题12,13.4.诱导公式的证明：

同理可证

sin(cos(3232)sin()cos(2)sin(2)cos)sin

2)cos(2本证明选自人教版高中数学教材.5.正余弦和差公式的证明:

sin()sin(())可得sin()的结论

本证明选自人教版高中数学教材.5.海伦公式的证明:

篇7：三角形余弦定理公式及证明

对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：

a2=b2+c2-bc·cosA

b2=a2+c2-ac·cosB

c2=a2+b2-ab·cosC

也可表示为：

cosC=(a2+b2-c2)/ab

cosB=(a2+c2-b2)/ac

cosA=(c2+b2-a2)/bc

这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。

如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的`(边-边-角)。要小心余弦定理的这种歧义情况。

三角形余弦定理的证明：

平面向量证法(觉得这个方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cosθ本来还是由余弦定理得出来的，怎么又能反过来证明余弦定理)∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos(π-θ)

(以上粗体字符表示向量)

又∵Cos(π-θ)=-Cosθ

∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)

再拆开，得c2=a2+b2-2abcosC

即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b

同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。

平面几何证法

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinBc)2+(a-cosBc)2

b2=(sinB*c)2+a2-2accosB+(cosB)2c2

b2=(sinB2+cosB2)c2-2accosB+a2

b2=c2+a2-2accosB

篇8：三角函数公式及知识点

【关键词】 平方关系 切割化弦 辅助角

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2013）03-023-01

一、 同角三角函数的基本关系的疑问解答

1. 如何已知任意角的一个函数值求其他几个函数值？

利用周角三角函数关生系求值，主要涉及三类问题：①定值定象限问题，这种问题求解三角函数值，只有一组结果；②定值不定象限问题，这种问题求解三角函数值，有两组结果；③不定值不定象限问题，这种问题求解三角函数值，需按象限角与轴线角进行讨论，从形式上看其结果有两组。

2. 如何利用同角三角函数关系来求值，化简与证明？

在计算、化简或证明三角函数时，常用的技巧有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切；多项式运算技巧的运用，如因式分解等；条件与结论的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用。

3. 何时使用“平方关系”的代换解决同角三角函数问题？

一般来说，当题中条件有正弦与余弦平方式的求值、化简或证明时，或者待求的参数值是通过同角的正弦与余弦来表示，常考虑通过平方，创造条件。比如，在条件中即出现了sinα+cosα又出现了sinαcosα，则需要考虑将进行平方利用平方关系。

4. 何时进行切与弦的转化？

通常在同一个条件关系中，即出现了正弦与余弦，又出现了正切（余切），要求值或证明相关命题，往往可考虑将弦化为切或将切转化为弦的形式，何时将弦化为切，何时将切化为弦，要视具体的题目而定。

二、两角和与差的三角函数

1. 如何推导两角差的余弦公式，其他公式是如何由此演变出来的？

首先运用向量的方法对公式C（α-β）进行推导，通过两个向量数量积的非坐标表达式和坐标表达式相等得到。对于其它公式的推导，则使用代换思想及诱导公式进行推导。比如，在C（α-β）用-β代换β得到C（α+β）；而公式S（α+β）的推导应先利用诱导公式，再借助C（α-β）公式即可推出，即：sin（α+β）=cos（■-α-β）=cos（■-α）cosβ+sin（■-α）sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ；公式T（α+β） 的推导应用了弦化切的思想，但要注意结果应使用tanα、tanβ及使其和与差角的正切有意义的角范围。

2. 利用两角和与差的三角函数公式应注意哪些问题？

（1）要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式；（2）注意分角、并角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式；（3）注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换。

3. 角度变换常用的思路有哪些？

在三角函数的化简、求值、证明中，常要根据已知角与目标角之间的显性或隐性的关系，通过角度变换，利用诱导公式或两角和与差的公式，来寻找解题捷径，从而把未知变成已知，使问题得到合理的解决。

4. 什么是辅助角公式？

遇到形如asinα+bcosα的代数式，常需引入辅助角φ，将asinα+bcosα利用两角和与差的正弦公式化为：asinα+bcosα=■sin（α+φ）（其中φ角所在的象限由a、b的符号确定，φ角的值由tanφ=■确定）。特别地，当a=b=1时，有sinα+cosα=■sin（α+■）。

5. 在求角或证明时，已知条件中的角与待求或待证的角如何相互表示？

在利用两角和与差的三角函数公式进行化简、求值与证明的题型中，常要根据函数名与角度的差异进行角度变换。若将已知三角函数值或相关等式中的角称为条件角，而将待求的目标函数中的角称为目标角，则这两种角何时用哪个角表示另一个角，在不同的题型中是有所区别的。

6. 如何求非特殊角的三角函数值？

非特殊角的求值难度比较大，对我们熟练掌握公式并灵活运用的要求比较高。一般来说，要依据题中非特殊角之间的联系与差异，利用两角和与差公式求解。本着三角函数的实质是“由角到值”，也就是先利用运算关系变出所需角，再运用和差角求解。

7. 注意点有哪些？

篇9：三角函数公式及知识点

一、选择题

1.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于

A.1 B.2

C.3 D.4

[答案] D

[解析] y=[(x+1)2](x-1)+(x+1)2(x-1)

=2(x+1)(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1，

y|x=1=4.

2.若对任意xR，f(x)=4x3，f(1)=-1，则f(x)=()

A.x4 B.x4-2

C.4x3-5 D.x4+2

[答案] B

[解析] ∵f(x)=4x3.f(x)=x4+c，又f(1)=-1

1+c=-1，c=-2，f(x)=x4-2.

3.设函数f(x)=xm+ax的导数为f(x)=2x+1，则数列{1f(n)}(nN*)的前n项和是()

A.nn+1 B.n+2n+1

C.nn-1 D.n+1n

[答案] A

[解析] ∵f(x)=xm+ax的导数为f(x)=2x+1，

m=2，a=1，f(x)=x2+x，

即f(n)=n2+n=n(n+1)，

数列{1f(n)}(nN*)的前n项和为：

Sn=112+123+134+…+1n(n+1)

=1-12+12-13+…+1n-1n+1

=1-1n+1=nn+1，

故选A.

4.二次函数y=f(x)的图象过原点，且它的导函数y=f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y=f(x)的图象的顶点在()

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

[答案] C

[解析] 由题意可设f(x)=ax2+bx，f(x)=2ax+b，由于f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a0，b0，则f(x)=ax+b2a2-b24a，

顶点-b2a，-b24a在第三象限，故选C.

5.函数y=(2+x3)2的导数为()

A.6x5+12x2 B.4+2x3

C.2(2+x3)2 D.2(2+x3)3x

[答案] A

[解析] ∵y=(2+x3)2=4+4x3+x6，

y=6x5+12x2.

6.(江西文，4)若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f(1)=2，则f(-1)=()

A.-1 B.-2

C.2 D.0

[答案] B

[解析] 本题考查函数知识，求导运算及整体代换的`思想，f(x)=4ax3+2bx，f(-1)=-4a-2b=-(4a+2b)，f(1)=4a+2b，f(-1)=-f(1)=-2

要善于观察，故选B.

7.设函数f(x)=(1-2x3)10，则f(1)=()

A.0 B.-1

C.-60 D.60

[答案] D

[解析] ∵f(x)=10(1-2x3)9(1-2x3)=10(1-2x3)9(-6x2)=-60x2(1-2x3)9，f(1)=60.

8.函数y=sin2x-cos2x的导数是()

A.22cos2x- B.cos2x-sin2x

C.sin2x+cos2x D.22cos2x+4

[答案] A

[解析] y=(sin2x-cos2x)=(sin2x)-(cos2x)

=2cos2x+2sin2x=22cos2x-4.

9.(2010高二潍坊检测)已知曲线y=x24-3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()

A.3 B.2

C.1 D.12

[答案] A

[解析] 由f(x)=x2-3x=12得x=3.

10.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为()

A.-15 B.0

C.15 D.5

[答案] B

[解析] 由题设可知f(x+5)=f(x)

f(x+5)=f(x)，f(5)=f(0)

又f(-x)=f(x)，f(-x)(-1)=f(x)

即f(-x)=-f(x)，f(0)=0

故f(5)=f(0)=0.故应选B.

二、填空题

11.若f(x)=x，(x)=1+sin2x，则f[(x)]=_______，[f(x)]=________.

[答案] 2sinx+4，1+sin2x

[解析] f[(x)]=1+sin2x=(sinx+cosx)2

=|sinx+cosx|=2sinx+4.

[f(x)]=1+sin2x.

12.设函数f(x)=cos(3x+)(0<)，若f(x)+f(x)是奇函数，则=________.

[答案] 6

[解析] f(x)=-3sin(3x+)，

f(x)+f(x)=cos(3x+)-3sin(3x+)

=2sin3x++56.

若f(x)+f(x)为奇函数，则f(0)+f(0)=0，

即0=2sin+56，+56=kZ).

又∵(0，)，6.

13.函数y=(1+2x2)8的导数为________.

[答案] 32x(1+2x2)7

[解析] 令u=1+2x2，则y=u8，

yx=yuux=8u74x=8(1+2x2)74x

=32x(1+2x2)7.

14.函数y=x1+x2的导数为________.

[答案] (1+2x2)1+x21+x2

[解析] y=(x1+x2)=x1+x2+x(1+x2)=1+x2+x21+x2=(1+2x2)1+x21+x2.

三、解答题

15.求下列函数的导数：

(1)y=xsin2x;(2)y=ln(x+1+x2);

(3)y=ex+1ex-1;(4)y=x+cosxx+sinx.

[解析] (1)y=(x)sin2x+x(sin2x)

=sin2x+x2sinx(sinx)=sin2x+xsin2x.

(2)y=1x+1+x2(x+1+x2)

=1x+1+x2(1+x1+x2)=11+x2 .

(3)y=(ex+1)(ex-1)-(ex+1)(ex-1)(ex-1)2=-2ex(ex-1)2 .

(4)y=(x+cosx)(x+sinx)-(x+cosx)(x+sinx)(x+sinx)2

=(1-sinx)(x+sinx)-(x+cosx)(1+cosx)(x+sinx)2

=-xcosx-xsinx+sinx-cosx-1(x+sinx)2.

16.求下列函数的导数：

(1)y=cos2(x2-x); (2)y=cosxsin3x;

(3)y=xloga(x2+x-1); (4)y=log2x-1x+1.

[解析] (1)y=[cos2(x2-x)]

=2cos(x2-x)[cos(x2-x)]

=2cos(x2-x)[-sin(x2-x)](x2-x)

=2cos(x2-x)[-sin(x2-x)](2x-1)

=(1-2x)sin2(x2-x).

(2)y=(cosxsin3x)=(cosx)sin3x+cosx(sin3x)

=-sinxsin3x+3cosxcos3x=3cosxcos3x-sinxsin3x.

(3)y=loga(x2+x-1)+x1x2+x-1logae(x2+x-1)=loga(x2+x-1)+2x2+xx2+x-1logae.

(4)y=x+1x-1x-1x+1log2e=x+1x-1log2ex+1-x+1(x+1)2

=2log2ex2-1.

17.设f(x)=2sinx1+x2，如果f(x)=2(1+x2)2g(x)，求g(x).

[解析] ∵f(x)=2cosx(1+x2)-2sinx2x(1+x2)2

=2(1+x2)2[(1+x2)cosx-2xsinx]，

又f(x)=2(1+x2)2g(x).

g(x)=(1+x2)cosx-2xsinx.

18.求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)

(1)y=f1x;(2)y=f(x2+1).

[解析] (1)解法1：设y=f(u)，u=1x，则yx=yuux=f(u)-1x2=-1x2f1x.

解法2：y=f1x=f1x1x=-1x2f1x.

篇10：高考数学知识点总结及公式

1.y=c(c为常数) y=0

2.y=x^n y=nx^(n-1)

3.y=a^x y=a^xlna

y=e^x y=e^x

4.y=logax y=logae/x

y=lnx y=1/x

5.y=sinx y=cosx

6.y=cosx y=-sinx

7.y=tanx y=1/cos^2x

8.y=cotx y=-1/sin^2x

9.y=arcsinx y=1/√1-x^2

10.y=arccosx y=-1/√1-x^2

11.y=arctanx y=1/1+x^2

12.y=arccotx y=-1/1+x^2

三角函数公式

锐角三角函数公式

sin α=∠α的对边 / 斜边

cos α=∠α的邻边 / 斜边

tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边

cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边

倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)

(注：SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) )

三倍角公式

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)

三倍角公式推导

sin3a

=sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

辅助角公式

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

推导公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina

=3sina-4sin3a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa

=4cos3a-3cosa

sin3a=3sina-4sin3a

=4sina(3/4-sin2a)

=4sina[(√3/2)2-sin2a]

=4sina(sin260°-sin2a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina.2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2].2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos3a-3cosa

=4cosa(cos2a-3/4)

=4cosa[cos2a-(√3/2)2]

=4cosa(cos2a-cos230°)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa.2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2].{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述两式相比可得

tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

数学圆锥公式知识点

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径

余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角

圆的`标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圆心坐标

圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0

抛物线标准方程y2=2pxy2=-2px-x2=2pyx2=-2py

直棱柱侧面积S=c.h斜棱柱侧面积S=c.h

正棱锥侧面积S=1/2c.h正棱台侧面积S=1/2(c+c)h

圆台侧面积S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi.r2

圆柱侧面积S=c.h=2pi.h圆锥侧面积S=1/2.c.l=pi.r.l

弧长公式l=a.ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2.l.r

锥体体积公式V=1/3.S.H圆锥体体积公式V=1/3.pi.r2h

斜棱柱体积V=SL注：其中,S是直截面面积，L是侧棱长

柱体体积公式V=s.h圆柱体V=p.r2h

乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系X1+X2=-b/aX1.X2=c/a注：韦达定理

判别式

b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根

b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根

b2-4ac<0注：方程没有实根，有共轭复数根

三倍角公式

三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

tan3α=[3tanα-tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)]

三倍角公式推导

附推导：

tan3α=sin3α/cos3α

=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)

上下同除以cos^3(α)，得：

tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα

=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)

=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα

=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)

=2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))

=4cos^3(α)-3cosα

即

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

三倍角公式联想记忆

记忆方法：谐音、联想

正弦三倍角：3元 减 4元3角(欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”))

余弦三倍角：4元3角 减 3元(减完之后还有“余”)

☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。

另外的记忆方法：

正弦三倍角： 山无司令 (谐音为 三无四立) 三指的是“3倍”sinα， 无指的是减号， 四指的是“4倍”， 立指的是sinα立方

余弦三倍角： 司令无山 与上同理

和差化积公式

三角函数的和差化积公式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

积化和差公式

三角函数的积化和差公式

sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]

和差化积公式推导

附推导：

首先，我们知道sin(a+b)=sina__cosb+cosa__sinb，sin(a-b)=sina__cosb-cosa__sinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina__cosb

所以，sina__cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理，若把两式相减，就得到cosa__sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同样的，我们还知道cos(a+b)=cosa__cosb-sina__sinb，cos(a-b)=cosa__cosb+sina__sinb

所以，把两式相加，我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa__cosb

所以我们就得到，cosa__cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理，两式相减我们就得到sina__sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

这样，我们就得到了积化和差的四个公式：

sina__cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa__sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa__cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina__sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式。

我们把上述四个公式中的a+b设为x，a-b设为y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2

把a，b分别用x，y表示就可以得到和差化积的四个公式：

sinx+siny=2sin((x+y)/2)__cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)__sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)__cos((x-y)/2)