泰勒公式及应用

泰勒公式及应用（精选八篇）

泰勒公式及应用 篇1

关键词：泰勒公式,近似计算,数值积分,余项,误差

对于一些比较复杂的函数, 为了便于研究, 往往用一些比较简单的函数来近似表达。多项式是最为简单的一类函数, 如果能将研究的对象转化成多项式形式的近似表示, 将对问题的研究产生质的突破, 特别是计算机的编程问题。

在数学中, 泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话, 在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下, 泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

1泰勒公式

1.1带有拉格朗日型余项的泰勒公式

1.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式

2泰勒公式的应用

2.1利用泰勒公式求近似值

在应用泰勒公式做近似计算时, 往往使用带有拉格朗日余项的泰勒展开, 其余项可以具体地估计出用泰勒公式近似地表示一个函数时所产生的误差。由拉格朗日余项

从而可以近似地计算某些数值且估计出误差。

例2计算sin10的近似值 (精确到10-7)

用泰勒多项式作近似计算, 在精度要求不高, 泰勒多项式的项数不多 (如10项之内) 的情形下, 一般只考虑截断误差 (由泰勒余项决定) , 不考虑各项的舍入误差, 具体计算时, 原始数据和中间数据所取的小数位数比精确度要求的小数位数多取一位, 最后结果的小数位数和精确度的小数位数相同。

2.2泰勒公式在数值积分中的应用

但有些原函数不能用初等函数表达或者有的原函数十分复杂难以求出或计算, 因此不能用上述公式。理论上定积分是一客观存在的确定的数值, 要解决的问题是能否找到其他途径来解决定积分的近似计算。泰勒公式是一件很好的工具, 它可实现定积分的近似计算。

参考文献

[1]南开大学数学系.数学分析 (上册) [M].北京:高等教育出版社, 2000.

[2]盛祥耀, 葛严麟.高等数学辅导[M].北京:清华大学出版社, 2000.

泰勒公式在极限求解中的应用 篇2

泰勒公式在极限求解中的应用

作者：刘靖 江飞

来源：《考试周刊》2013年第08期

摘 要： 泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，我们可以借助它解决很多问题.本文简述了泰勒公式在求解函数的极限中的应用.关键词： 泰勒公式 极限 应用

1.泰勒公式

2.泰勒公式在求极限中的应用

用泰勒公式计算函数极限的实质是计算极限时忽略较高阶的无穷小，当在求函极限的过程中发现用其他方法较难时，可以考虑利用泰勒公式进行求解，尤其是■型极限的求解，此时只需把分子、分母展开到同阶的无穷小即可.通过上面的几个例子，可以看出利用泰勒公式求解某些函数的极限很简洁、方便，从而能准确、高效地解决一些数学问题.参考文献：

泰勒公式及其应用 篇3

多项式是函数中最简单的一种, 对于一些较复杂的函数, 为了便于研究, 往往希望用多项式表示函数.为了更好更方便的研究一些复杂的函数, 我们寻求更广泛的、更高精度的近似公式来表示, 这就引入了泰勒公式.

泰勒公式及其常见展开式

泰勒中值定理:若函数f (x) 在x0的某区间 (a, b) 内有直到 (n+1) 阶的导数, 则当x∈ (a, b) 时, f (x) 可表示为 (x-x0) 的一个多项式Pn (x) 和一个余项Rn (x) 之和:

undefined, 其中undefined介于x0与x之间) .

注 1.上式称为f (x) 按 (x-x0) 的幂展开到n阶的泰勒公式, Rn (x) 的表达式称为拉格朗日型余项;

2.当n=0时上式变为f (x) =f (x0) +f′ (ξ) (x-x0) (ξ介于x0与x之间) , 这就是拉格朗日公式;

3.若特别地, 取undefined, 这里undefined介于0与x之间) , 我们称为f (x) 的麦克劳林公式.

常见函数的展开式

undefined;

undefined;

undefined;

undefined;

undefined

泰勒公式的应用

一、利用泰勒公式求近似值

当要求的算式不能得出它的准确值时, 即只能求出近似值, 这时泰勒公式是解决这种问题的好方法.

例1 计算e准确到0.000001.

解 利用undefined,

得undefined

显然, 当n=10时, 可算得e约等于2.718282.

二、利用泰勒公式证明不等式

当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物, 不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替, 往往使证明方便简捷.

例2 当x>0时, 证明:undefined

证明 取f (x) =ln (1+x) , 则undefined

代入泰勒公式, 其中n=0,

得undefined

其中0<ξ

三、利用泰勒展开式求极限

有时利用洛必达法则求待定型极限, 会遇到很复杂的计算, 而利用泰勒公式求极限却简单很多.

例3 求极限:undefined

解 由于分母sin3x～x3 (x→0) , 因此我们将分子用三阶麦克劳林公式表示:

undefined,

于是undefined,

故undefined

四、利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式

例4 求f (x) =ln (1+x) 的幂级数展开式.

解f (x) =ln (1+x) =undefinedundefined

五、利用泰勒公式估计导数的值

例5 已知函数f (x) 在[0, 1]上二阶可导, 当0≤x≤1时, |f (x) |<1, |f″ (x) |<2.试证:当0≤x≤1, |f′ (x) |≤3.

证明 由泰勒公式知,

undefined

undefined

摘要：本文简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式, 阐述了泰勒公式的应用.

关键词：泰勒公式,麦克劳林公式,拉格朗日

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析 (上, 下) [M].北京:高等教育出版社, 2004.

浅析泰勒公式的应用 篇4

一、利用泰勒公式求极限

例1求极限

解:这是一个“”的极限, 利用泰勒公式展开

∵分子关于x的次数为2

注:有些复杂的待定型的极限问题, 用泰勒公式比用罗必达法则求解更为便利。

二、利用f (x) 的一阶泰勒公式证明不等式

f (x) 的一阶泰勒公式:

例2设函数f (x) 二阶可导, 且f" (x) ≥0, x∈ (-∞, +∞) , 函数u在区间[0, a] (a>0) 上连续, 证明:

证明:令, 将f (x) 在x=x0处展成一阶泰勒公式:

上式两边在[0, a]上对t积分, 得:

三、利用泰勒公式判断级数的敛散性

例3设f (x) 在点x=0的某一邻域内具有连续的二阶导数, 且,

证明:级数绝对收敛。

证明:由, 又 (x) 在x=0的邻域内具有连续的二阶导数, 可得:f (0) =0, f' (0) =0。

将f (x) 在x=0的某邻域内展开成一阶泰勒公式

又由题设f" (x) 在属于邻域内包含原点的一个小区间连续, 因此存在M>0, 使|f" (x) ’|≤M

注:级数的敛散性判断有时很困难, 而泰勒展开公式则提供了一个便利的方法。

四、利用泰勒公式研究根的唯一性问题

例4设f (x) 在[a, +∞) 中二阶可导, 并满足f (a) =A>0, f' (a) <0, 当x>a时, f" (a) <0, 证明:方程f (x) =0在 (a, +∞) 内有且仅有一个实根。

证明:∵f" (x) <0∴f' (x) 单调递减, 因而当x>a时, f' (x)

下面证明f (x) =0在 (a, +∞) 内至少有一个实根

由题设可知f (x) 在x=a的右侧可展成泰勒

∵f" (x) <0∴f" (!) <0, 于是f (x)

当x充分大时, 不妨设

又f (a) >0由零值定理可知, 至少存在一个!∈ (a, x0) , 使f (ξ) =0

由此可得, 方程f (x) =0在 (a, +∞) 内有且仅有一个实根。

综上可知, 高阶 (二阶及二阶以上) 导数的存在是提示使用泰勒公式最显著的特征之一, 只要题设条件中给出函数f (x) 二阶及二阶以上可导, 此时, 先把f (x) 在指定点展成泰勒公式, 一般是展成比最高阶导数低一阶的泰勒公式, 然后根据题设条件恰当选择展开点。只要在解题过程中注意分析、研究题设条件及其形式特点, 并把握上述解题原则, 就能很好的利用泰勒公式解决解决问题。

参考文献

[1]同济大学数学教研室, 高等数学, 高等教育出版社1993[1]同济大学数学教研室, 高等数学, 高等教育出版社1993

[2]华东师大数学系, 数学分析, 华东师大出版社2000[2]华东师大数学系, 数学分析, 华东师大出版社2000

浅谈泰勒公式的应用 篇5

关键词：泰勒公式,行列式,微分方程

泰勒公式是微分学的基本理论, 在计算及证明问题中有很重要的应用。利用泰勒公式不仅能将一些初等函数展成幂级数, 进行函数值的近计算, 证明不等式, 求极限, 判断拐点, 证明某些积分, 而且还可以计算行列式和对某些微分方程求解, 本文主要介绍利用泰勒公式计算行列式和对某些微分方程的求解方法。

一、求行列式的值

利用泰勒公式计算行列式的主要思路:根据所求行列式的特点, 构造相应的行列式函数, 再把这个行列式函数按泰勒公式在某点展开, 只要求出行列式函数的各阶导数值即可。

例1、求阶行列式

解:记fn (x) =D, 按泰勒公式在Z处展开:

由 (2) 得, fx (x) =z (z-y) k-1, k=1, 2, L, n时都成立。 (3)

根据行列式求导的规则, 有

于是在处的各阶导数 (注意到公式3) 为

于是fn (x) 在x=z处的各阶导数 (注意到公式3) 为

把以上各导数代入 (1) 式中, 有

二、求某些微分方程的解

微分方程的解可能是初等函数或非初等函数, 如微分方程

y''+r (x) y'+s (x) y=0 (1) 的求解问题便是如此, 因而解这类方程我们可以设想其解y (x) 可以表示成泰勒级数的形式, 进一步, 我们可以大胆设想可以表示成更为一般的幂级数形式, 从而的出了解这类方程的一种重要方法。事实上, 若r (x) , s (x) 在某点x0的邻域D:|x-x0|

例2、解微分方程y''+xy'+y=0

解:显然r (x) =x, s (x) =1可在x0=0的邻域内展成泰勒级数, 故方程有形如

的幂级数解。将 (2) 及其导数代入原方程。得

以上我们就两个方面讨论了泰勒公式的应用, 特别是用泰勒公式求解行列式这一方法在高等代数中没有介绍过, 从而使行列式的求解又多了一种新方法, 也是用数学分析手段研究高等代数问题中作了一个初步探索, 以便为高等数学的教学起到促进作用。

参考文献

[1]华东师范大学数学系编.数学分析[M].高等教育出版社, 1999.

[2]王新, 任佩文.泰勒展开式不同形式的各种应用[J].高等函授学报, 2009.

应用泰勒公式解题的思路探讨 篇6

设函数f (x) 在点x0的某邻域内具有n阶连续导数, 且f′ (x0) =f″ (x0) =…=f (n-1) (x0) =0, f (n) (x0) ≠0, (n≥2) , 则:

(1) 当n为偶数时, x0为f (x) 的极值点。

(2) 当n为奇数时, 则点 (x0, f (x0) ) 为曲线y=f (x) 的拐点。

证明:

(1) (n为偶数) , 因为f (n) (x0) ≠0, 不妨设f (n) (x0) >0。由于f (n) (x) 在x0处连续, 即undefined, 根据极限的保号性, 存在x0的某个去心邻域undefined, 当undefined时, f (n) >0。那么对于任一undefined的 (n-1) 阶泰勒公式为:undefined

ξ在x0与x之间。由于f (n) >0, 因此f (n) (ξ) >0, 考虑到n为偶数及f′ (x0) =f″ (x0) =…=f (n-1) (x0) =0, 那么在此邻域内f (x) >f (x0) , 所以x0为f (x) 的一个极小值点。若f (n) (x0) <0, 同理可证x0为f (x) 的一个极大值点。

(2) (n为奇数) , 设f (n) (x0) >0, 同样存在undefined, 当undefined时, f (n) (x) >0, 那么在此邻域内, f (n-1) (x) 单调增加, 由于ff (n-1) (x0) =0, 那么在 (x0-δ, x0) 内, f (n-1) <0, 则f (n-2) (x) 单调减少, 又由于f (n-2) (x0) =0, 因此f (n-2) (x) >0, …依此类推, 当x∈ (x0-δ, x0) 时f″ (x) <0。取x1, x2∈ (x0-δ, x0) , 且x1

undefined

从而f (x1) +f (x1) <2f (z) +f′ (z) (x1+x1-2z) =2f (z)

即undefined, 因此曲线 f (x) 在 (x0-δ, x0) 内是凸的。同理可证曲线f (x) 在 (x0, x0+δ) 内是凹的。因此点 (x0, f (x0) ) 为曲线y=f (x) 的拐点。

同理可证, 当f (n) (x0) <0时, 点 (x0, f (x0) ) 也是曲线y=f (x) 的拐点。

2 利用泰勒公式证明等式和不等式

例1:证明:正数的几何平均数不大于这些数的算术平均数, 即是:undefined

证明:不等式的左端是n个正数的连乘积, 为此取自然对数转化为和的形式。当x1, x2, …, xn都不为0时, 即证:

undefined

设undefined

将f (x) 在undefined处展开为泰勒公式, 有

undefined在x与x0之间。

因为f″ (ξ) <0, 所以f (x)

这样:f (x1)

f (x2)

…

f (xn)

把不等式两边相加, 可得:

f (x1) +f (x2) +…+f (xn)

即:undefined

也即:undefined

从而证明了undefined

当x1=x2=…=xn时, 显然等式成立。

例2 设f (x) , g (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内具有二阶导数, 且存在相等的最大值, f (a) =g (a) , f (b) =g (b) , 证明:存在ξ∈ (a, b) 使得f″ (ξ) =g″ (ξ) 。

此题是今年研究生招生考试的数学一、二、三、四的试题, 难度较大, 难度值约为0.2。考查的知识点为连续函数介值定理与罗尔定理的应用, 在参考答案中运用了二次罗尔定理来证明, 此题也可用泰勒公式证明。

分析:令φ (x) =f (x) -g (x) , 就成为证明存在ξ1, ξ2∈ (a, b) , 使得φ″ (ξ1) 与φ″ (ξ2) 异号, 从而证明存在ξ∈ (a, b) , 使得φ″ (ξ) =0。

证明:令φ (x) =f (x) -g (x) , 由已知条件可得φ (a) =0, φ (b) =0。设x1∈ (a, b) , x2∈ (a, b) , 不妨设x1

φ (x1) =f (x1) -g (x1) >0;φ (x2) =f (x2) -g (x2) <0。根据连续函数介值定理, 存在x0∈ (a, b) , 使得φ (x0) =0

将φ (x) 在点x0处展开为泰勒公式, 则:

undefined

注意到φ (x0) , 从上两式可得φ″ (ξ1) (x0-a) =φ″ (ξ2) (x0-b) 。

因为x0-a>0, x0-b<0所以φ″ (ξ1) 与φ″ (ξ2) 异号。

设φ″ (ξ1) >0, φ″ (ξ2) <0, 则存在x3, x4∈ (ξ1, ξ2) , 使得φ′ (x3) >φ′ (ξ1) , φ′ (x4) >φ′ (ξ2) 。这说明φ′ (x) 在[ξ1, ξ2]上必取得最大值, 从而存在ξ∈[ξ1, ξ2]⊂ (a, b) , 使得φ″ (ξ) =0。

3 利用泰勒公式计算极限

例3:求undefined

解:此题可用洛必特法则求解, 但运算复杂, 容易出错。可将分子中的undefined, 和undefined分别按佩亚诺余项的泰勒公式展开, 即得:

undefined

例4:求undefined

解:把undefined按佩亚诺余项的泰勒公式展开, 即得:

原式undefined

4 小结

(1) 当讨论或待证的问题中出现函数及其高阶导数时, 可考虑用拉格朗日余项的泰勒公式建立函数与各阶导数的关系, 关键是找到合适的展开点x0, 使泰勒公式中的某些项为零, 或合并后为零, 或使问题易于求解。

一元函数的泰勒公式及其应用 篇7

1泰勒公式的概述

若函数f ( x) 在x = a处n阶可导, 则函数f ( x) 可以表示成:

注:1. 若, 称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.

2. 若, 称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式.

3. 当a = 0时称为麦克劳林公式.

2泰勒公式的应用

2. 1用泰勒公式求未定式的极限

现设, 并已求得f ( x) 与g ( x) 的泰勒公式:

其中A≠0, B≠0, 则:

∞当f ( x) , g ( x) 的泰勒公式易求, 而f ( x) , g ( x) 的导数计算较复杂时, 可考虑用泰勒公式求此极限. 在应用此方法时, 必须熟记某些基本初等函数的泰勒公式.

例1. 求

解: 因

又, 所以

2. 2用泰勒公式确定无穷小量的阶

设, 如何用泰勒公式确定f ( x) 是x - a的几阶无穷小? 我们知道:

若, 则:

因此, f ( x) 是x - a的n阶无穷小.

例2. 确定常数a与b的值, 使当x→0时是x的5阶无穷小.

解:利用, 则:

不难看出, 应当设1 - a - b = 0与同时成立, 才能满足题设条件。由此可解得常数, 并且得到

2. 3用泰勒公式证明不等式

设f ( x) 有带拉格朗日余项的泰勒公式, 如三阶泰勒公式:

其中θ∈ (0, 1) 。若对余项能给出估计就可得到相应的不等式.

例3. 设0 < x <π/2, 证明:

证明:由带拉格朗日余项的泰勒公式:

则:

注意0 < x <π/2, , 则:

2. 4用泰勒公式的系数求f ( n) ( x0)

若利用间接求得泰勒公式:

则由此可求得:

例4. 求的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式, 并求

解

则

2.5用泰勒公式证明函数或导数存在某种特征点

当要证存在某些点使得它们的函数值或高阶导数值满足等式 ( 不等式) 或具有其他特性时, 也常用到泰勒公式, 所求的点常常是公式中的中间值。

例5. 设f ( x) 在[a, b]三次可微, 证明: ξ∈ ( a, b) , 使得:

证明:从要证明的结论来看, 可考虑在处展开泰勒公式,

其中. 两式相减得:

注意:届于之间, 由导函数取中间值定理, 可得:

, 使得, 因此结论得证.

本文就以上五个方面讨论了泰勒公式的应用, 使之内涵更加具体化, 利用其展开式及余项解决一些复杂的问题, 体现了泰勒公式在数学计算中的重要地位。

摘要：一元函数泰勒公式是研究数学应用问题的重要工具, 它建立了函数增量、自变量增量与高阶导数的关系。通过具体实例, 分析并探讨了泰勒公式的若干应用。

关键词：泰勒公式,极限,余项,无穷小量,不等式

参考文献

[1]陈纪修, 於崇华, 金路.数学分析:上册[M].北京:高等教育出版社, 2008.208-211.

[2]孙贺琦.泰勒公式的一种推广[J].数学通报, 1994, (1) .

[3]余力, 刘三阳.带皮亚诺型余项的泰勒公式及其应用[J].高等数学研究, 2003, (6) :15-17.

关于泰勒公式及其应用的思考与讨论 篇8

定理1, 假设函数y=f (x) 在x0点的临近区域内n+1阶可微, 那么在该临近区域内:

应用上述原理, 可在x0=0近旁展开一些常用函数, 利用这些常用函数可以间接泰勒展开一些复合函数。

例1, 求函数y=lncosx在x=0附近带有佩亚诺型余项的泰勒展开式, 到x4项。

二泰勒公式在极限函数中的应用

极限问题中, 针对待定型极限问题, 通常采用洛必达法则解决, 但是对于一些相对烦琐的求导极限问题, 尤其需要多次使用洛必达法则时, 问题就变得非常复杂。此时, 应用泰勒公式对这一问题进行解决就相对比较简单了。

三利用泰勒公式证明等式或不等式

泰勒公式在数学中的应用, 当然不止本文上述的几个方面, 还有更多问题的解决采用泰勒公式, 如求行列式的值、判断级数的敛散性等。本文着重对泰勒公式的几个常用方面的应用技巧进行分析, 对利用泰勒公式解决数学问题有了更深的认识。在遇到不同的问题类型时, 要多加分析, 对题设的条件及特点进行研究, 把握处理问题的原则, 就能很好地利用泰勒公式对问题进行处理。

参考文献

[1]齐成辉.泰勒公式的应用[J].陕西师范大学学报 (自然科学版) , 2003 (Z1)