尺规作图题型分类总结

尺规作图题型分类总结（精选4篇）

篇1：尺规作图题型分类总结

初中尺规作图典型例题归纳

典型例题一

例

已知线段a、b，画一条线段，使其等于a2b． 分析

所要画的线段等于a2b，实质上就是abb．

画法：1．画线段ABa．2．在AB的延长线上截取BC2b．线段AC就是所画的线段．

说明

1．尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去．

2．其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基本作图．

典型例题二

例

如下图，已知线段a和b，求作一条线段AD使它的长度等于2a－b．

错解

如图（1），（1）作射线AM；（2）在射线AM上截取AB=BC=a，CD=b，则线段AD即为所求． 错解分析

主要是作图语言不严密，当在射线上两次截取时，要写清是否顺次，而在求线段差时，要交待截取的方向．

图（1）

图（2）

正解

如图（2），（1）作射线AM；（2）在射线AM上，顺次截取AB=BC=a；（3）在线段CA上截取CD=b，则线段AD就是所求作的线段．

典型例题三

例

求作一个角等于已知角∠MON（如图1）．

图（1）

图（2）错解

如图（2），（1）作射线O1M1；（2）在图（1），以O为圆心作弧，交OM于点A，交ON于点B；（3）以O1为圆心作弧，交O1M1于C；（4）以C为圆心作弧，交于点D；（5）作射线O1D．

则∠CO1D即为所求的角．

错解分析

作图过程中出现了不准确的作图语言，在作出一条弧时，应表达为：以某点为圆心，以其长为半径作弧．

正解

如图（2），（1）作射线O1M1；（2）在图（1）上，以O为圆心，任意长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；（3）以O1为圆心，OA的长为半径作弧，交O1M1于点C；

（4）以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧于点D；（5）过点D作射线O1D． 则∠CO1D就是所要求作的角．

典型例题四

例

如下图，已知∠α及线段a，求作等腰三角形，使它的底角为α，底边为a．

分析

先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角∠B=∠C=∠α，底边BC=a，故可以先作∠B=∠α，或先作底边BC=a．

作法

如下图

（1）∠MBN=∠α；（2）在射线BM上截取BC=a；（3）以C为顶点作∠PCB=∠α，射线CP交BN于点A．△ABC就是所要求作的等腰三角形．

说明

画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．

典型例题五

例

如图（1），已知直线AB及直线AB外一点C，过点C作CD∥AB（写出作法，画出图形）． 分析

根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角∠ECD=∠EFB即可．

作法

如图（2）．

图（1）

图（2）（1）过点C作直线EF，交AB于点F；

（2）以点F为圆心，以任意长为半径作弧，交FB于点P，交EF于点Q；（3）以点C为圆心，以FP为半径作弧，交CE于M点；（4）以点M为圆心，以PQ为半径作弧，交前弧于点D；（5）过点D作直线CD，CD就是所求的直线．

说明

作图题都应给出证明，但按照教科书的要求，一般不用写出，但要知道作图的原由．

典型例题六

例

如下图，△ABC中，a=5cm，b=3cm，c=3.5cm，∠B=36，∠C=44，请你从中选择适当的数据，画出与△ABC全等的三角形（把你能画的三角形全部画出来，不写画法但要在所画的三角形中标出用到的数据）．

分析

本题实质上是利用原题中的5个数据，列出所有与△ABC全等的各种情况，依据是SSS、SAS、AAS、ASA．

解

与△ABC全等的三角形如下图所示．

典型例题七

例

正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化．拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案（保留作图痕迹，不写作法）．

（2003年，桂林）

分析

这是尺规作图在生活中的具体应用．要把△ABC分成面积相等的三个三角形，且都是从A点出发，说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角形的底边也相等，所以只要作出BC边的三等分点即可．

作法

如下图，找三等分点的依据是平行线等分线段定理．

典型例题八

例

已知∠AOB，求作∠AOB的平分线OC． 错解

如图（1）

作法

（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E两点；（2）分别以D、E为圆心，以大于

1DE的长为半径作弧，两弧相交于C点； 2（3）连结OC，则OC就是∠AOB的平分线． 错解分析

对角平分线的概念理解不够准确而致误．作法（3）中连结OC，则OC是一条线段，而角平分线应是一条射线．

图（1）

图（2）

正解

如图（2）

（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E两点；（2）分别以D、E为圆心，以大于

1DE的长为半径作弧，两弧交于C点； 2（3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线．

典型例题九

例

如图（1）所示，已知线段a、b、h（h＜b）． 求作△ABC，使BC=a，AB=b，BC边上的高AD=h．

图（1）

错解

如图（2），（1）作线段BC=a；

（2）作线段BA=b，使AD⊥BC且AD=h． 则△ABC就是所求作的三角形．

错解分析

①不能先作BC；②第2步不能同时满足几个条件，完全凭感觉毫无根据；③未考虑到本题有两种情况．对于这种作图题往往都是按照由里到外的顺序依次作图，如本题先作高AD，再作AB，最后确定BC．

图（2）

图（3）

正解

如图（3）．

（1）作直线PQ，在直线PQ上任取一点D，作DM⊥PQ；（2）在DM上截取线段DA=h；

（3）以A为圆心，以b为半径画弧交射线DP于B；

（4）以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BP和射线BQ于C1和C2；（5）连结AC1、AC2，则△ABC1（或△ABC2）都是所求作的三角形．

典型例题十

例

如下图，已知线段a，b，求作Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）．

分析

本题解答的关键在于作出∠ACB=90°，然后确定A、B两点的位置，作出△ABC．

作法

如下图

（1）作直线MN：

（2）在MN上任取一点C，过点C作CE⊥MN；（3）在CE上截取CA=b，在CM上截取CB=a；（4）连结AB，△ABC就是所求作的直角三角形．

说明

利用基本作图画出所求作的几何图形的关键是要先分析清楚作图的顺序．若把握不好作图顺序，要先画出假设图形．

典型例题十一

例 如下图，已知钝角△ABC，∠B是钝角．

求作：（1）BC边上的高；（2）BC边上的中线（写出作法，画出图形）． 分析

（1）作BC边上的高，就是过已知点A作BC边所在直线的垂线；

（2）作BC边上的中线，要先确定出BC边的中点，即作出BC边的垂直平分线． 作法

如下图

（1）①在直线CB外取一点P，使A、P在直线CB的两旁； ②以点A为圆心，AP为半径画弧，交直线CB于G、H两点； ③分别以G、H为圆心，以大于

1GH的长为半径画弧，两弧交于E点； 21BC的长为半径画弧，两弧分别交于M、N两点； 2④作射线AE，交直线CB于D点，则线段AD就是所要求作的△ABC中BC边上的高．（2）①分别以B、C为圆心，以大于②作直线MN，交BC于点F；

③连结AF，则线段AF就是所要求作的△ABC中边BC上的中线．

说明

在已知三角形中求作一边上的高线、中线、角平分线时，首先要把握好高线、中线、角平分钱是三条线段；其次，高线、中线的一个端点必须是三角形中这边所对的顶点，而关键是找出另一个端点．

典型例题十二

例

如图（1）所示，在图中作出点C，使得C是∠MON平分线上的点，且AC=OC．

图（1）

图（2）

分析

由题意知，点C不仅要在∠MON的平分线上，且点C到O、A两点的距离要相等，所以点C应是∠MON的平分线与线段OA的垂直平分线的交点．

作法

如图（2）所示（1）作∠MON的平分线OP；

（2）作线段OA的垂直平分线EF，交OP于点C，则点C就是所要求作的点．

说明（1）根据题意弄清要求作的点的特征是到各直线距离相等，还是到各端点距离相等．

（2）两条直线交于一点．

典型例题十三

例

如下图，已知线段a、b、∠α、∠β．

求作梯形ABCD，使AD=a，BC=b，AD∥BC，∠B=∠α；∠C=∠β．

分析

假定梯形已经作出，作AE∥DC交BC于E，则AE将梯形分割为两部分，一部分是△ABE，另一部分是AECD．在△ABE中，已知∠B=∠α，∠AEB=∠β，BE=b-a，所以，可以首先把它作出来，而后作出AECD．

作法

如下图．

（1）作线段BC=b；

（2）在BC上截取BE=b-a ；

（3）分别以B、E为顶点，在BE同侧作∠EBA=∠α，∠AEB=∠β，BA、EA交于A；（4）以EA、EC为邻边作AECD． 四边形ABCD就是所求作的梯形．

说明

基本作图是作出较简单图形的基础，三角形是最简单的多边形，它是许多复杂图形的基础．因此，要作一个复杂的图形，常常先作一个比较容易作出的三角形，然后以此为基础，再作出所求作的图形．

典型例题十四

例

如下图，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在A区内，到铁路与公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B点700米，如果你是红方的指挥员，请你在图示的作战图上标出蓝方指挥部的位置．

（2002年，青岛）

分析

依据角平分线的性质可以知道，蓝方指挥部必在A区内两条路所夹角的平分线上，然后由蓝方指挥部距B点的距离，依据比例尺，计算出图上的距离为3.5cm，就可以确定出蓝方指挥部的位置．

解

如下图，图中C点就是蓝方指挥部的位置．

典型例题十五

例

如图（1），已知有公共端点的线段AB、BC．求作⊙O，使它经过点A、B、C（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

（2002年，大连）

图（1）

图（2）

分析

因为A、B、C三点在⊙O上，所以OA=OB=OC=R．根据到线段AB、BC各端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，故分别作线段AB、BC垂直平分线即可．

解

如图（2）

说明

角平分线的性质、线段垂直平分线的性质在作图题中的应用是近几年中考中的又一道风景，它往往与实际问题紧密联系在一起．

典型例题十六

例

如图，是一块直角三角形余料，C90．工人师傅要把它加工成一个正方形零件，使C为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、BC、AC边上．试协助工人师傅用尺规画出裁割线．

分析

要作出符合条件的正方形，可先作出有三个角为90°的四边形，并设法让相邻的一组边相等即可．

作法

如图．

① 作ACB的角平分线CD，交AB于点G；

②过G点分别作AC、BC的垂线，垂足为E、F．则四边形ECFG就是所要求作的正方形．

篇2：尺规作图题型分类总结

一、熟练掌握尺规作图题的规范语言

1.用直尺作图的几何语言：

①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××； ②连结两点××；或连结××；

③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；

2.用圆规作图的几何语言： ①在××上截取××＝××；

②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；

③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；

④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×.三、了解尺规作图题的一般步骤

尺规作图题的步骤：

1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；

2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；

3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.五种基本作图：

1、作一条线段等于已知线段；

2、作一个角等于已知角；

3、作已知线段的垂直平分线；

4、作已知角的角平分线；

5、过一点作已知直线的垂线；

题目一：作一条线段等于已知线段。已知：如图，线段a.求作：线段AB，使AB = a.作法：

（1）作射线AP；

（2）在射线AP上截取AB=a.则线段AB就是所求作的图形。

题目二：作已知线段的中点。已知：如图，线段MN.求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.作法：

（１）分别以M、N为圆心，大于

的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；（２）连接PQ交MN于O．

则点O就是所求作的ＭＮ的中点。（试问：PQ与ＭＮ有何关系？）

题目三：作已知角的角平分线。已知：如图，∠AOB，求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。作法：

（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N；

（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于

的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；（3）作射线OP。

则射线OP就是∠AOB的角平分线。题目四：作一个角等于已知角。

求作一个角等于已知角∠MON（如图1）．

（1）作射线O1M1；（2）在图（1）上，以O为圆心，任意长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；（3）以O1为圆心，OA的长为半径作弧，交O1M1于点C；

（4）以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧于点D；（5）过点D作射线O1D． 则∠CO1D就是所要求作的角．

题目五：已知三边作三角形。已知：如图，线段a，b，c.求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.作法：

（1）作线段AB = c；

（2）以A为圆心b为半径作弧，以B为圆心a为半径作弧与 前弧相交于C；（3）连接AC，BC。

则△ABC就是所求作的三角形。

题目六：已知两边及夹角作三角形。已知：如图，线段m，n, ∠.求作：△ABC，使∠A=∠，AB=m，AC=n.作法：

（1）作∠A=∠；

（2）在AB上截取AB=m ,AC=n；（3）连接BC。

则△ABC就是所求作的三角形。

题目七：已知两角及夹边作三角形。已知：如图，∠，∠，线段m.求作：△ABC，使∠A=∠，∠B=∠,AB=m.作法：

（1）作线段AB=m；（2）在AB的同旁

作∠A=∠，作∠B=∠，∠A与∠B的另一边相交于C。

篇3：尺规作图题型分类总结

[关键词]数学尺规 作图题型 分析

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2016）110013

2011年版《义务教育数学课程标准》对尺规作图作了适当的调整，增加了如“过一点作已知直线的垂线”等六条尺规作图教学内容，并将教学要求从“了解尺规作图的步骤”调整为“不仅要知道作图的步骤，而且要能知道实施这些步骤的理由”.本文根据2015年中考数学尺规作图从条件给出与作图意义大体分为以下几种题型进行分析.

一、按照明确指令，完成基本作图

直接按照题目给出的要求完成基本作图，或在其基础上完成图形计算、证明是2015年中考出现较多的题型，这种题型有助于考查课标对尺规作图教学要求的落实情况.

猜想并证明：判断四边形AECF的形状并加以证明.

这类考题直接考查学生是否真正掌握了基本的作图和利用基本作图完成课标要求的作图教学内容，并在

此基础上与证明、计算有机地融合在一起，突出几何题型在推理能力培养上的作用.比如例2，它以尺规作图为载体，在学生正确完成角平分线、线段垂直平分线作图

的基础上，让学生经历观察猜想，推理验证的过程，题型

结构合理，达成了“在数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力”的课程目标.

二、根据给定条件，确定方法作图

如果说直接按照指令完成作图是考查学生基本的操作技能，那么根据所给的条件自己选择、确定基本作图方法完成作图，则是兼顾了对基本作图原理和学生良好思维品质的考查.

【例3】 （2015·甘肃甘南藏族自治州）如图2，在平行四边形ABCD中，AB

（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）若BC=8，CD=5，则CE= .

【例4】 （2015·山西）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°.

（1）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母.

（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求DE的长.

从以上两个例题中可以发现，本类题型并没有直接给出完成哪种基本作图，必须根据给定条件依托作图原理判断作图方法.比如例3，由“到边AB，AD的距离相等”判断是作∠A的角平分线；而例4，由“⊙C与AB相切于点D”，可判断是过点C作直线AB的垂线段AD.这种从给定条件到作图方法的联系，需要学生综合所学的相应图形的性质和判定定理，通过猜想、操作、推理后做出正确判断，培养学生的逻辑思维能力，能有利于学生形成理性思考问题的意识.

三、观察作图步骤，说明作图依据

2011版课标对“作图道理”的关注，催生了2015年中考尺规作图的新题型，这类题要求学生按照题目描述的作图步骤，通过试题设置问题，让学生追问每一步操作背后的根据，培养学生的理性精神.

【例5】 （2015·广东梅州）如图4，已知△ABC，按如下步骤作图：

①以A为圆心，AB长为半径画弧；

②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；

③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD.

（1）求证：△ABC≌△ADC；

（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长.

本类题型的共同特点是在试题中通过呈现作图步骤，给出所要求作（或求证）的图形的条件，并据此说明作图根据（或进行推理证明）.在例5中，由作图可得条件“AD=AB，CD=CB”，并在此基础上证明三角形全等.解决这类问题的关键是，引导学生结合所作图形，将规范的作图语句转换成证题所需的几何符号进行表达，利用所学的知识对命题进行逻辑证明.

四、分析背景材料，设计方案作图

设置适当的问题情景或给出新定义的图形概念，让学生在理解的基础上，根据题目要求按指定的任务，自我寻找解决方案进行作图，是一类极具挑战性的尺规作图新题型.

【例6】 （2015·陕西）如图5，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）.

【例7】 （2015浙江台州）定义：如图6，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.

（1）略；（2）略；

（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图7所示，请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）

（4）略.

让学生自我设计尺规作图题型，注重引导学生探索知识和结论，强调让学生在数学情景中分析问题，解决问题，需要学生有较强的阅读理解能力和较高的数学综合素养.比如例6，要求学生有很好的化归转化思想，能由条件“面积相等”联想到“等高等底”，并从找线段BC的中点转化为尺规作垂直平分线.又如例7，本题是2015年浙江省台州市的中考压轴题，它首先需要学生能理解线段“勾股分割点”的概念，在此基础上，还要根据图8中点C的位置，利用直角三角形三边关系判断线段AC只能是直角边，进而探索如何将CB分割为另一条直角边和斜边，本题作图方案的最终确定，对学生应用几何知识、动手操作能力、数学思想方法和数学活动经验的积累都有较高的要求（图8是一种正确的尺规作图结果）.

篇4：尺规作图专题详尽归纳

【学习目标】

1．了解什么是尺规作图．

2．学会用尺规作图法完成下列五种基本作图：(1)画一条线段等于已知线段；(2)画一个角等于已知角；(3)画线段的垂直平分线；(4)过已知点画已知直线的垂线；(5)画角平分线．

3．了解五种基本作图的理由．

4．学会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程． 5．学会利用基本作图画三角形等较简单的图形． 6．通过画图认识图形的本质，体会图形的内在美．

【基础知识精讲】 1．尺规作图：

定义：限定只用直尺和圆规来完成的画图，称为尺规作图．

注意：这里所指的直尺是没有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺规作图法画出的图形的精确度更高，它在工程绘图等领域应用比较广泛．

步骤：(1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；(2)分析作图的方法和过程；(3)用直尺和圆规进行作图；(4)写出作法步骤，即作法。（根据题目要求来定是否需要写出作法）

2．尺规作图中的最基本、最常用的作图称为基本作图．任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种.3．基本作图共有五种：

(1)画一条线段等于已知线段． 如图24-4-1，已知线段DE．

求作：一条线段等于已知线段． 作法：①先画射线AB．

②然后用圆规在射线AB上截取AC＝MN． 线段AC就是所要作的线段．(2)作一个角等于已知角． 如图24-4-2，已知∠AOB．

求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB． 作法：①作射线O′A′；

②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D． ③以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′A′于C′． ④以点C′为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于D′． ⑤经过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．(3)作线段的垂直平分线． 如图24-4-3，已知线段AB．

求作：线段AB的垂直平分线．

作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．

②作直线CD．

直线CD就是线段AB的垂直平分线．

注意：直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点．(4)经过一点作已知直线的垂线．

a．经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，如图24-4-4．

已知：直线AB和AB上一点C，求作：AB的垂线，使它经过点C． 作法：作平角ACB的平分线CF．

直线CF就是所求的垂线，如图24-4-4． b．经过已知直线外一点作这条直线的垂线．

如图24-4-5，已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．

作法：①任意取一点K，使K和C在AB的两旁．

②以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．

③分别以D和E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F．

④作直线CF．

直线CF就是所求的垂线． 注意：经过已知直线上的一点，作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决．(5)平分已知角．

如图24-4-6，已知∠AOB．

求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．

作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE．

②分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．

③作射线OC．

OC就是所求的射线．

注意：以上五种基本作图是尺规作图的基础，一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的，同学扪要高度重视，努力把这部分内容学习好．

通过这一节的学习，同学们要掌握下列作图语言：(1)过点×和点×画射线××，或画射线××．(2)在射线××上截取××＝××．(3)以点×为圆心，××为半径画弧．

(4)以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×．

(5)分别以点×，点×为圆心，以××，××为半径作弧，两弧相交于点×．(6)在射线××上依次截取××＝××＝××．

(7)在∠×××的外部或内部画∠×××＝∠×××． 注意：学过基本作图后，在作较复杂图时，属于基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．

如：(1)画线段××＝××．(2)画∠×××＝∠×××．

(3)画××平分∠×××，或画∠×××的角平分线．(4)过点×画××⊥××，垂足为点×．(5)作线段××的垂直平分线××，等等． 但要注意保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，不能因为作法的叙述省略而作图就不按程序操作，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理．

【经典例题精讲】

例1 已知两边及其夹角，求作三角形． 如图24-4-7，已知：∠α，线段a、b，求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．

作法：①作∠MAN＝∠α．

②在射线AM、AN上分别作线段AB＝a，AC＝b． ③连结BC．

如图24-4-8，△ABC即为所求作的三角形．

注意：一般几何作图题，应有下面几个步骤：已知、求作、作法，比较复杂的作图题，在作图之前可根据需要作一些分析．

例2 如图24-4-9，已知底边a，底边上的高h，求作等腰三角形．

已知线段a、h．求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h．

分析：可先作出底边BC，根据等腰三角形的三线合一的性质，可再作出BC的垂直平分线，从而作出BC边上的高AD，分别连结AB和AC，即可作出等腰△ABC来．

作法：(1)作线段BC＝a．

(2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D．(3)在MN上截取DA，使DA＝h．(4)连结AB、AC．

如图24-4-10，△ABC即为所求的等腰三角形．

例3 已知三角形的一边及这边上的中线和高，作三角形． 如图24-4-11，已知线段a，m，h(m>h)．

求作：△ABC使它的一边等于a，这边上的中线和高分别等于m和h(m>h)．

分析：如图24-4-12，假定△ABC已作出，其中BC＝a，中线AD＝m，高AE＝h，在△AED中AD＝m，AE＝h，∠AED＝90°，因此这个Rt△AED可以作出来(△AED为奠基三角形)．当Rt△AED作出后，由可得到． 的关系可作出点B和点C，于是△ABC即

作法：(1)作△AED，使∠AED＝90°，AE＝h，AD＝m．

(2)延长ED到B，使．

(3)在DE或BE的延长线上取．

(4)连结AB、AC．

则△ABC即为所求作的三角形．

注意：因为三角形中，一边上的高不能大于这边上的中线，所以如果h>m，作图题无解；若m＝h，则作出的图形为等腰三角形．

例4 如图24-4-13，已知线段a．

求作：菱形ABCD，使其半周长为a，两邻角之比为1∶2．

分析：因为菱形四边相等，“半周长为a”就是菱形边长为，为此首先要将线段a等分，又因为菱形对边平行，则同旁内角互补，由“邻角之比为1∶2”可知，菱形较小内角为60°，则菱形较短对角线将菱形分成两个全等的等边三角形．所以作图时只要作出两个有公共边的等边三角形，则得到的四边形即为所求的菱形ABCD．

作法：(1)作线段a的垂直平分线，等分线段a．

(2)作线段AC，使．

(3)分别以A、C为圆心，为半径，在AC的两侧画弧，两弧分别交于B，D．

(4)分别连结AB、BC、CD、DA得到四边形ABCD，则四边形ABCD为所求作的菱形(如图24-4-14)．

注意：这种通过先画三角形，然后再画出全部图形的方法即为“三角形奠基法”．

例5 如图24-4-15，已知∠AOB和C、D两点．

求作一点P，使PC＝PD，且使点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．

分析：要使PC＝PD，则点P在CD的垂直平分线上，要使点P到∠AOB的两边距离相等，则P应在∠AOB的角平分线上，那么满足题设的P点就是垂直平分线与角平分线的交点了．

作法：(1)连结CD．

(2)作线段CD的中垂线l．

(3)作∠AOB的角平分线OM，交l于点P，P点为所求．

注意：这类定点问题应需确定两线，两直线的交点即为定点，当然这两直线应分别满足题目的不同要求．

【中考考点】

例6(2000·安徽省)如图24-4-16，直线

表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有()

A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 分析：到直线

距离相等的点在相交所构成的角的平分线上，可利用作角平分线的方法找到这些点．

解：分别作

相交所构成的角平分线，共可作出六条，三条角平分线相交的交点共有四个．

答案：D．

注意：本题应用了角平分线的性质，在具体作图时，不可只作出位于中心位置的一处，而要全面考虑其他满足条件的点．

例7(2002·陕西省)如图24-4-17，△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，工人师傅要把它加工成—个正方形零件，使C为正方形的—个顶点，其他三个顶点分别在AB、BC、AC边上．

(1)试协助工人师傅用尺规画出裁割线(不写作法，保留作图痕迹)；(2)工人师傅测得AC＝80 cm，BC＝120cm，请帮助工人师傅算出按(1)题所画裁割线加工成的正方形零件的边长．

解：(1)作∠ACB的平分线与AB的交点E即为正方形—顶点，作CE线段的中垂线HK与AC、BC的交点F、D即为所作正方形另两个顶点，如图24-4-17．

(2)设这个正方形零件的边长为x cm，∵DE∥AC，∴，∴．

∴x＝48．

答：这个正方形零件的边长为48cm．

注意：本题是几何作图和几何计算相结合题目，要求读者对基本作图务必掌握，同时对作出图形的性质要清楚．

例8(2002·山西省)如图24-4-18①，有一破残的轮片(不小于半个轮)，现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件，请你根据所学的有关知识，设计两种方案，确定这个圆形零件的半径．

分析：欲确定这个圆形零件的半径，可以借助三角板，T形尺或尺规作图均可，图②中是这个零件的半径，图③中OB是这个零件半径． 解：如图24-4-18②③所示．

【常见错误分析】

例9 如图24-4-19，已知线段a、b、h．

求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC边上的高AD＝h．

并回答问题，你作出的三角形唯一吗？从中你可以得到什么结论呢？ 错解：(1)作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b． ②在直线CD上截取CB＝a．

如图24-4-20，则△ABC就是所求作的三角形．

(2)作出的三角形唯一．

(3)得出结论：有两边及一边上的高对应相等的两三角形全等．

误区分析：本题错解在于忽略了三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形的外部． 正解：如图24-4-21，作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b． ②在直线CD上截取CB＝a(在点C的两侧)． 则△ABC，△AB′C都是所求作三角形．(2)作出的三角形不唯一．

(3)得出结论有两边及—边上的高对应相等的两三角形不一定全等． 注意：与三角形的高有关的题目应慎之又慎．

【学习方法指导】

学习基本作图，主要是运用观察法，通过具体的操作，了解各种基本作图的步骤，掌握作图语言．

【规律总结】

画复杂的图形时，如一时找不到作法，—般是先画出一个符合所设条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．有时，也可以根据已知条件和基本作图，先作局部三角形，再以此为基础，根据有关条件画出其余部分，从而完成全图，这种方法称为三角形奠基法．

拓展： 1．利用基本作图作三角形：(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；（5）已知一直角边和斜边作直角三角形．

2．与圆有关的尺规作图 ：

(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．(2)作三角形的内切圆．（3）作圆的内接正方形和正六边形 ．

附件：尺规作图简史：