立体几何常见证明方法

立体几何常见证明方法（共8篇）

篇1：立体几何常见证明方法

立体几何平行证明题常见模型及方法 证明空间线面平行需注意以下几点：

①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。

③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。

平行转化：线线平行 线面平行 面面平行；

类型一：线面平行证明（中位线法，构造平行四边形法，面面平行法）

（1）方法一：中位线法以锥体为载体

例1：如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，点E是PD的中点.求证：PB∥平面AEC；

变式1：若点M是PC的中点，求证：PA||平面BDM；

变式2：若点M是PA 的中点，求证：PC||平面BDM。EAB变式3如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是菱形，(2)以柱体为载体

例2在直三棱柱ABCA1B1C1,D 为BC的中点，求证：AC1||平面AB1D

变式1 在正方体ABCDA1BC11D1中，若E是CD的中点，求证：B1D||平面BC1E 变式2在正方体ABCDA1BC11D1中，若E是CD的中点，求证：B1D||平面BC1E 变式 3如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=，AC=BC=2，∠C=90°，点D是A1C1的中点.求证：BC1//平面AB1D；

方法2：构造平行四边形法

例1如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，E、F

分别为AB,SC的中点．证明○1EF∥平面SAD○2BF∥平面SDE S

A

变式1：若E、F分别为AD,SB的中点．证明EF∥平面SCD

变式2若E、F分别为SD,AB的中点．证明EF∥平面SCB

例2如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,AA1=2,E、E1分别是棱AD、AA1的中点.设F是棱AB的中点,证明：直线EE1//平面FCC

1E1E

F

E

B

C

AD1

B1

方法3：面面平行法（略）

举一反三

1如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点.(1)求证：AF//平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE；

E

A

C

F

2如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧(左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．

(1)求出该几何体的体积；

(2)若N是BC的中点，求证：AN∥平面CME；(3)求证：平面BDE⊥平面BCD.3直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB＝2AD＝2DC＝2，E为BD1的中点，F为AB中点．

(1)求证EF∥平面ADD1A1；（2）求几何体DD1AA1EF的体积。

篇2：立体几何常见证明方法

1．平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。

(1)证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。(2)证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。(3).证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合2.空间直线（1）空间直线位置关系三种：相交、平行、异面.相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交

③若直线a、b异面，a平行于平面，b与 的关系是相交、平行、在平面 内.④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦ 是夹在两平行平面间的线段，若，则 的位置关系为相交或平行或异面.⑧异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）

（2）.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如右图）.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（3）.两异面直线的距离：公垂线段的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.[注]： 是异面直线，则过l外一点P，过点P且与l 都平行平面有一个或没有，但与 l距离相等的点在同一平面内.（或 在这个做出的平面内不能叫 与 l平行的平面）

3.直线与平面平行、直线与平面垂直.（1）.空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.（2）.直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行 线面平行”）[注]：①直线l与平面内一条直线m平行，则l∥m.（×）（平面外一条直线）②直线 l与平面 内一条直线m相交，则 l与平面相交.（×）（平面外一条直线）

③若直线l与平面平行，则内必存在无数条直线与平行.（√）

④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面.（×）（可能在此平面内）

⑤平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）

⑥直线l与平面、 所成角相等，则（、可能相交）∥.（×）

（3）.直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行线线平行”）

（4）.直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直线面垂直”）

直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.（5）.a.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点.[一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。

4.平面平行与平面垂直.（1）.空间两个平面的位置关系：相交、平行.（2）.平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面内的任一直线平行于另一平面.（3）.两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行线线平行”）

（4）.两个平面垂直判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直判定二：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.注：如果两个二面角的平面分别对应互相垂直，则两个二面角没有什么关系.（5）.两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.5.（1）.棱柱.a.①直棱柱侧面积：（c为底面周长，h是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：（c是斜棱柱直截面周长，h 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.b.{四棱柱} {平行六面体} {直平行六面体} {长方体} {正四棱柱} {正方体}.{直四棱柱} {平行六面体}={直平行六面体}.c.棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱.（×）（直棱柱不能保证底面是矩形,可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.d.平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.[注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为，则.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为，则.[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四棱柱的两个平行的平面可以为矩形）

②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行）

③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）

④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直.（两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）

（2）.棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.[注]：①一个三棱锥四个面可以都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以.a.①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面正多边形的中心.[注]：i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）

ii.正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正三角形，侧棱与底棱不一定相等

iii.正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.②正棱锥的侧面积：（底面周长c，斜高为h）

③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：（侧面与底面成的二面角为）

注：S为任意多边形的面积（可分别求多个三角形面积和的方法）.b.棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.c.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：

①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；

⑧每个四面体都有内切球，球心 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]：i.各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）ii.若一个三棱锥，两条相对棱互相垂直，则第三组相对棱必然垂直.iii.空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv.若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.（3）.球：a.球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：.②球的体积公式：.b.纬度、经度：①纬度：地球上一点 的纬度是指经过 点的球半径与赤道面所成的角的度数.②经度：地球上 两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是 点的经度.附：①圆柱体积：（r为半径，h为高）②圆锥体积：（r为半径，h为高）

③锥体体积：（为底面积，为高）

（1）.①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a,.注：球内切于四面体：。

②外接球：球外接于正四面体，一、经典例题剖析

1、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC 1//平面CDB1；

2、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.3、已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．

（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S．

4、如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP～△BAD.(1)求线段PD的长；(2)若PC，求三棱锥P-ABC的体积.B

1P

B AD题3题4（第7题）

5、弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD外一点

F满足FC平面BED,FB=a（1）证明：EBFD（2）求点B到平面FED的距离.6．如图, 在三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，CC1平面ABC，BC4，AB5,AA14，点D是AB的中点，（1）求证：ACBC1；（2）求证：AC1平面

CDB1；（3）求三棱锥C1CDB1的体积。

7、如图，在底面是菱形的四棱锥S—ABCD中，SA=AB=2，SBSD（1）证明：BD平面SAC；

（2）问：侧棱SD上是否存在点E，使得SB//平面ACD？请证明你的结论；

（3）若BAD120，求几何体A—SBD的体积。

8．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体0ABCDEFGH。图

5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；

（2）求该安全标识墩的体积；（3）证明：直线BD平面PEG.（第题）（第9 题）

9．如图，已知△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC ,AB2，tanEAB（1）证明：平面ACD平面ADE；（2）记ACx，V(x)表示三棱锥A－CBE的体积，求V(x)的表达式；（3）当V(x)取得最大值时，求证：AD=CE．

10．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E在棱CC1的延长线上，且CC1C1EBC1AB1．

2（Ⅰ）求证：D1E∥平面ACB1；（Ⅱ）求证：平面D1B1E平面DCB1；（Ⅲ）求四面体D1B1AC的体积．

11、如图（1），ABC是等腰直角三角形，ACBC4，E、F分别为AC、AB的中点，将AEF沿EF折起，使A在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点，得到图（2）．

（1）求证：EFAC；（2）求三棱锥FABC的体积．

AA

DM

BBB

CC（第12题）（第11题）（第13题）11

112.如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//DC，ABC45，DC1，AB2，PA平面ABCD，PA1．（1）求证：AB//平面PCD；的中点，求三棱锥M—ACD的体积．（2）求证：BC平面PAC；（3）若M是PC

BC3.13.如图,在三棱柱ABCA侧棱AA1底面ABC,ABBC,D为AC的中点, A1B1C1中，1AAB2,（1）求证：AB1//平面BC1D；(2)求四棱锥BAAC11D的体积.13．如图，三角形ABC中，AC=BC=2AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分

2别是EC、BD的中点。（Ⅰ）求证：GF//底面ABC；（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；

（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V。

14．如图,长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA11,AD2,E是BC的中点.(Ⅰ)求证：直线BB1//平面D1DE；(Ⅱ)求证：平面A1AE平面D1DE；(Ⅲ)求三棱锥AA1DE的体积.C

篇3：初中数学几何证明应重视思维方法

对于初中数学题, 学生普遍认为, 代数题能较快找到思路, 而几何证明题则感到困难.虽然教师归纳了种种题型, 学生也做了不少题, 但对一些较为复杂或有一定难度的题目, 学生仍不知从何下手.怎样解决这一问题呢?

要解决好初中几何证明这一问题, 必须提高学生分析和思考的能力, 从解题思路出发, 逐步培养学生的思维能力, 从而进一步强化证明能力.

数学证明中, 不论用直接或间接证法, 都需寻求证明的思路, 由于思维过程的顺逆, 就有“综合法”与“分析法”之分.对这两种思维方法, 教材中并未出现, 只有一些教师在教学中向学生作了介绍, 学生也只是了解, 并没有在解题中充分利用.我认为在九年级数学复习阶段应该进行这方面的专题学习, 让学生熟悉并掌握.

所谓“综合法”就是由命题的题设出发, 以确立的定理, 定义, 公理为依据, 逐步推理直到要证明的结论, 即“由因导果”.而“分析法”与之相反, 是从命题结论入手, 承认它是正确, 寻求什么情况下结论才成立, 再看它成立又需要什么条件, 逐步逆溯, 直至达到已知条件为止, 即“执果索因”.综合法由题设推理, 思路很多, 可以应用的定理也多, 往往不知应如何迈步, 这也是它的缺点.分析法先认定结论为真, 倒推而上容易启发思考, 每一步推理都有明确的目的, 知道推理的依据, 使人了解思考过程.另外, 对一些比较复杂的问题, 我们可以采用“两头凑”的思维方法, 即从已知条件着手, 看可以得到哪些结论, 又从所要证明的结论出发, 看需要哪些条件才能成立, 再找出它们的差距在哪里, 从而得到证明的途径.下面举例说明这些方法的运用.

例1已知梯形ABCD的腰上有一点E, EA, EB分别平分∠DAB和∠CBA, 求证:AB=AD+BC.

综合法:梯形ABCD圯AD∥BC

例2在四边形ABCD的邻边AB和BC上分别取点F和E, 使AE=CF, 设AE和CF相交于G, 则DG平分∠AGC.

分析法欲证DG平分∠AGC, 由角平分线的判定方法, 只要证D到AG与GC的距离相等, 因已知AE=CF, 由等积的两个三角形等底必等高, 只要证S△DAE=S△DFC即可, 而易证

例3两同心圆中, 大圆的弦AC, AG分别切小圆于D, E, 延长DE交大圆于B.求证:AB︰BC=BE︰CD.

“两头凑法”:AC, AG分别切分别为AC, AG的中点, AG=AC, 连是等腰梯形∠CDE=∠DEG.再从要证明的比例式看, 只要证△ABE∽△BCD, 这可由两角的相等证得.

上述几例虽然较为复杂, 但通过分析法和综合法的灵活运用, 解题思路就活了, 这说明分析法﹑综合法对于活跃和开阔学生的解题思路, 提高几何证明题的能力, 是具有一定的作用的.同时我们也可以看到, 分析法和综合法不是孤立的, 而是相互联系的, 分析法便于构思, 综合法便于叙述, 两者互为逆施, 在证题时常常交替运用, 用分析法寻求证明途径, 用综合法写出推理过程.

篇4：几何证明题学习方法指导

关键词：几何;分析方法;总结技巧

中图分类号：G633.6文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2016）04-091-2

平面几何是初中生普遍认为难学，任课教师认为难教的一个知识点。之所以难，是因为从代数到几何发生了由数到形、由计算到推理的转变，学生一时难以适应;其次，概念、性质、定理比较多，而学生不能正确理解并掌握其几何语言;进而，遇到问题不会分析，予以解答。

众所周知，几何的证明就是要用合理的推断来说明因果关系的正确性，从而培养学生的逻辑思维能力。在几何证明教学中，教师对学生学习方法的指导和训练十分重要，要让学生在主动获得知识的过程中，学会有关数学思想方法和解题技巧，形成良好的思维习惯，最终达到能独立分析、解答问题的目的。通过实践教学反馈总结，我认为对几何证明学习方法的指导有以下四个方面：

一、学会读题

第一，很多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，就开始动笔书写，这是不可取的，往往写下来也是不得分的。我们应该边读边想，给的条件有什么用，再对照图形来对号入座;思考所求结论从什么地方入手，也应在图中找到相应位置。

第二，在读题的时候每个条件要在所给的图形中标记出来。相等的边或角用相同的符号来表示;倍数关系的边或角用同类型的相应倍数来表示。

第三，图形复杂一点的题目往往有一些隐藏条件，我们读题时也要能挖掘出来。这就需要注重平时的积累，对基本知识点的掌握，对特殊图形的认识。有些是由已知条件所能直接得出的结论，也应标注在图形旁边，结合证明内容看需要用哪些。

二、学会分析

证明题的分析无非三种方法：第一，正向思维。对于一般简单的题目，从已知条件出发，通过有关定义、定理、性质的应用，逐步推导，证出结论。第二，逆向思维。从命题的结论考虑，逆推使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续往前倒推，直到已知条件。这种方法能使学生从不同角度，不同方向思考问题，探索解题方法，拓宽解题思路。第三，正逆结合。从题目要你证明的结论出发往回推理，然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件，以利于缩短条件与结论的距离，最后达到证明的目的。

三、学会看图

所谓看图，是指观察，分析和认识几何图形。通过看图，不仅找到图形中的已知条件和证明内容，还要知晓几何图形的内在构成和联系，从而达到解一题通一类的效果。激发了学生的解题兴趣，迸发出创新思维。

初中数学几何板块的模型思想非常突出，如果学生把每一道几何题目的基本构架“理”清楚，也就是几何图形的本质“看”透彻，那么学习将会事半功倍。复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。有时还需要构造基本图形，添加辅助线，把大问题细化成几个小问题，逐一击破，从而解决问题。

例如：苏科版数学用书初二下册学习四边形的时候，有这样一个问题：在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，

（1）将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处（如图①），设DE和BC相交于点F，试说明△BDF为等腰三角形，并求BF的长;

（2）将矩形纸片折叠，使B与D重合（如图②）求折痕GH的长。

这道题目中，问题（1）由平行线加角平分线就能得等腰三角形。对于BF的长度的求解，借助于方程思想，设BF=x，利用“角落里的小勾”来完成，得x2=（8-x）2+62，解方程即可，在这里就不赘述了。

问题（2）中，同是翻折，但折痕不一样，得到的翻折图形自然不一样，但两张图形在结构模型上是完全一致的，都包含了全等图形和直角三角形，看透这一点，解题就会容易许多。和图（1）一样，利用“角落里的小勾”很快求出BH、CH=AG=GF。接下来思考GH的求法，想法一：放入直角三角形求GH，那么就要添辅助线GM⊥BC于点M，这样，只要求出BM，就能得MH，放在Rt△GMH中，利用勾股定理求出GH。所以解题关键转化成求BM，而BM=AG，问题迎刃而解。想法二：GH看成四边形GBHD的对角线，因此连接GB和BD交于点O。继续由图（1）的积累，容易证四边形GBHD是菱形，对角线互相垂直平分，放于Rt△BOH中，利用勾股定理求出OH，两倍即是GH。

因此，我们认清图形的内在构成和联系，看清图形的本质，将复杂图形解析成几个基本图形，很多看似困难的问题都能轻松解答。

四、学会总结

当一道几何题证出来后，同学们会感到很高兴，事实上，这对今后的学习可以带来更大的信心。此时，如果同学们花上几分钟的时间，回顾总结一下自己在解题中所用的定理、性质，总结解题时的思路和方法，这将是学习的更高境界，也是自我升华的一个重要环节，今后会解的就不仅仅是这道题，而是这一类题。

例如：4.1如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.

求证：（1）AD=CF;（2）AB=BC+AD.

此题的证明较为简单，当我们边读题边把条件标注在图形上，题目读完，解题思路也就出来了。通过证明△ADE≌△FCE，得出AD=CF;再证△ABE≌△FBE，就能得AB=BF，从而得出AB=BC+AD.

这时，我们是成功的，自然是开心的，但仍需静下心来，总结一下图形特点以及解题方法，我们说，图形中由平行线加线段的中点构成全等三角形是解题的关键。这样，遇到下面这道题，你就心中有数啦。

4.2如图，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，且E是DC的中点，AD、BC与AB之间有何关系？请说明理由.

此题是个开放式问题，需要我们有一定的图形积累，要有基本知识储备。正因为对4.1的总结思考，我们遇到此题时，并不慌张。从图形看，此图继续有平行线加线段的中点，和4.1结构一样，图形本质相同，因此，为了构成全等三角形，那么延长AE交BC延长线于点F，图形就变成4.1，问题解决了。

做完这道题，我们对于平行线加线段的中点构成全等三角形已经足够掌握，此时不妨从换一个角度来思考本题的另一个重点。那就是对于两条线段之和等于第三条线段的证明方法，是将两条中的一条线段通过全等或等角对等边替换成与另一条在一直线上的线段，从而转化成证两条长线段相等的模型。

篇5：几何证明方法总结



1、首先找出两个平面的交线，然后证明这几点都是这两个平面的公共点，〖1〗 证点共线：由公理2可知，这些点都在交线上 

2、首先选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点在此直线上



1、先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内

〖2〗 证点线共面：

2、过有关的点、线分别作多个平面，再证明这些平面重合 

3、反证法

〖3〗 证线线平行：常用公理

4、线面平行的性质、面面平行的性质、两直线与同

一平面垂直

〖4〗 证线面平行：





平面相交的交线经过直线作或找平面与在平面内作或找一

1、根据面面平行的定义：两个平面没有公共点

2、面面平行的判定定理：

〖5〗 证面面平行： 

3、垂直于同一条直线的两个平面平行



4、两个平面同时平行于第三个平面

5、一个平面的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条相交直线

理

1、用三垂线定理或逆定

2、求两直线所成的角为直角〖6〗 证线线垂直：

3、线面垂直的性质

4、面面垂直的性质

1、利用线面垂直的定义

2、用线面垂直的判定定理〖7〗 证线面垂直：

3、两平行线之一垂直平面，则另一条也垂直于这个平面

〖8〗 证面面垂直：面的平面角是直角

1、定义法：证明两个平

平面经过另一个平面的垂线

2、判定定理：证明一个

〖9〗 求斜线和平面所成的角、二面角、直线和直线所成的角：常先作出要求的角，然后组成三角形，通过解三角形求角（一作、二证、三计算）



1、找斜线和平面所成的角，关键是找斜线在平面内的射影，而找射影关键是找垂足和斜足

1、用定义法

2、找二面角的平面角

2、利用垂面法要注意以上各种角的范围 



3、利用三垂线定理





3、无棱二面角可考虑用射影面积法





4、直线和直线所成的角用公理4找出所要求的角

〖10〗求点到平面的距离、求点到直线的距离、平行平面之间的距离、直线和平

面平行时直线到平面的距离，异面直线的距离常先作出垂线段，然后解由垂线段组成的三角形，或利用体积相等的方法求垂线段的长 〖11〗利用向量判断线线、线面、面面的位置关系，利用向量求角、距离、证明

平行垂直等问题：先选定一组基底，其它向量都用这组基底表示，再利用向量的法则进行计算

〖12〗在空间直角坐标系中判断线线、线面、面面的位置关系，求角、距离：先

把点、线段、向量坐标化，然后用向量的坐标进行计算

1、如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AA1=4，点D是AB的中点，【1】 求证：AC⊥BC

1A1

【2】 求证：AC1∥平面CDB1

【3】 求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值

2、如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点。

【1】 ED为异面直线BB1与AC1的公垂线 Ｄ 【2】 设AA1=AC=2AB，求二面角A1—AD—C1 的大小．

3、如图，在直三棱柱ABC---A1B1C1中，AA1=4, AB=5,BC=3,AC=4,D,E分别CC1、AB上的中点，【1】 求证：平面B1C1E⊥平面ACC1A1 【2】 求二面角D—AB—C的大小 【3】 求点D到平面B1C1E的大小

4、如图，直三棱柱AB1C1---ABC中，BC=CC1=CA= =2，AC⊥BC，D、E分别为棱C1C、AC的中点，【1】 求二面角B—A1D—A的大小

【2】 若F为线段B1C1上的任意一点，试确定F的位置，使EF⊥平面A1BD

Ｃ

B1

D B

Ｅ 1

B1

B

A1

C1 D

C

A

B1

篇6：几何证明方法(初中数学)

一、证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。（三线合一）

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

*8.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

*10.垂径定理

二、证明两个角相等

1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

6.相似三角形的对应角相等。

7.圆的内接四边形的外角等于内对角。

三、证明两条直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角(直角三角形

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。垂径定理

*11.利用半圆上的圆周角是直角。

四、证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形 梯形的中位线平行于第三边，底边。

6.平行于同一直线的两直线平行。

五、证明线段的和差倍分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。

3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。

4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。

六、证明比例式或等积式

1.利用相似三角形对应线段成比例。

2.利用内外角平分线定理。

3.平行线截线段成比例。

4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。

一个图,你看着哪好像差根线,你就用铅笔描一下,分析一下有了这根线哪线角相等,哪相角互补之类的.不可以只盯着原图看.另外,看已知条件里,把它们标注在图里,看人家给这个条件,你可以知道什么,这个条件有什么用,可以由此推出什么.从求证出发你就要想，这道题要求证这个，就要有.....这些条件，再看已知，有了这些条件了，噢，还差这个条件。然后就找条件来证明这个还差的条件，然后全部都搭配齐全了，就证出了题目了记住，做题要倒推走把已知的条件从笔在图上表示出来，方便分析而且你要牢牢记住一些定理，还有一些特殊角，特殊形状等等他们的关系当一些题实在证不出来时，你要注意了，可能要添辅助线，比如刚才我说的还差什么条件，你就可以画一个线段，平行线什么的来补充条件，你下子你就一目了然了，不过有些很难的看出的辅助线就要靠你的做题的作战经验了，你还要认真做题。把这些牢牢记住，在记住老师教你们的公里定理些，你就已经成功大半了。

篇7：立体几何常见证明方法

知识点1证明中的分析

证明步骤：

（1）仔细审题分清楚命题的“条件”和“结论”或“已知”和“求证”；

依据已知条件画出图形，标出字母记号，并把条件用明显记号表示出来，有时因观察、书写需要用<1，<2 等来简化角的表述。

（2）探索证明方法充分利用已知条件和图形的性质；

采用从“已知”到“未知”综合地推导，或者采用“未知”到“已知”进行分析推导，也可以采用两头同时进行，达到思路沟通；有时还需要有目的地添加辅助线，能把不易直接证明的命题转化为另一个较易证明的问题。

（3）写出证明过程经过探索，找到证明的途径，用综合方法，层次清楚地有根据地从已知到未知，把证明的全过程写下来。

知识点2几何证明中常用的证明方法

（1）证两线平行——利用平行性质和判定；到目前为止，只能用平行线的判定定理及

其推论来证，这是证明两条直线平行最基本的方法。也就是说，证明两条直线平

行问题的关键是证有关的角相等或互补。

（2）证两线相等——利用三角形全等性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定；

证明线段相等的四种常用方法：

一、如果两线段分别在两个三角形中，那么可证这两个三角形全等。当缺

少条件时，可再证一对三角形全等。

二、如果两线段分别在两个三角形中，但是这两个三角形不全等，那么可

以添加辅助线构造全等三角形来证。常作的辅助线有：平行线，垂线

或连结线段等。

如果两线段是一个三角形的两边，那么可证它们所对的角相等。

证明两线段都等于第三条线段。有时还需要添加第三条线段作媒介。

三、四、（3）

（4）注意：有时需要综合运用上述四种方法才能奏效。证两角相等——利用三角形全等性质和判定、利用平行线性质，利用等腰三角形的性质和判定； 证两直线互相垂直——利用垂直定义、利用等腰三角形三线合一性质；

证明两条直线垂直的常用方法：

一、直接运用垂直定义，证两条直线的夹角是900；

二、三、使要证的垂直关系归结到一个直角三角形中去，证这个三角形的两个锐角互余。运用等腰三角形的“三线合一”的性质证明。

（5）

篇8：立体几何常见证明方法

在实际教学中, 发现有许多学生对几何证明存在诸多困难和问题, 有的不会分析, 有的不会表达, 有的干脆不会做。从历届中考来看, 几何证明题虽然很简单 (中档题) , 但是失分较多, 比如, 2012徐州中考数学卷的第23题是几何证明题 (6分) , 得分率仅为75%。那么, 怎样培养学生几何证明的能力呢?我的做法是用构思写作的方法培养学生几何证明能力。

“构思写作”和“几何证明”看似风马牛不相及, 其实它们是相通的, 中国教育科学研究院课程教学研究中心副研究员、博士李铁安说得好, “几何证明过程就像写一篇小文章, 先写什么, 后写什么, 每一步中该怎样写才是合理而又简洁, 很有讲究。”不是吗, 写一篇文章, 首先要写提纲, 打草稿, 然后再正式誊抄, “写提纲, 打草稿”就是几何证明的“分析”, “正式誊抄”就是几何证明题的“写证明过程”。写文章, 如果不写提纲, 不打草稿, 将会很难写出一篇漂亮的文章, 几何证明题, 如果不认真分析, 一定不能正确解答。

一、“积累素材”

要想写一篇“血肉丰满”的好文章, 平时就要利用自己的各种感官去感受生活, 积累生活经验。同样, 要正确解答几何证明题, 必须有解答几何证明题的基本功, 即认识基本图形和数学语言表达能力。

1. 建立图形表象

一道几何证明题, 往往是有很多基本图形组成, 学生只有理解每个基本图形, 才能为正确解答问题提供先决条件。所以, 在平时教学时要将每一个几何定义、性质、定理等文字叙述的形式转化成图形, 这样, 学生理解起来就很直观和深刻, 应用起来也会得心应手。

比如, “直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”, 让学生背诵起来很简单, 但是实际应用起来, 学生面对一道几何证明题, 往往看不到题中蕴含的知识点, 如果在平时教学中, 画出一个直角三角形和斜边上的中线, 对照图形叙述, 一定会事半功倍。再比如, 矩形的性质, 教学时, 画出一个矩形图形, 让学生按“边、角、对角线”叙述它的性质, 效果会更好。

2. 训练符号语言

几何证明题的逻辑推理, 要运用符号语言进行表达, 这是学生比较犯难的地方。为了解决好这个难点, 我在平时的教学中, 按照基本图形对学生进行符号语言训练。比如, “直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”, 我画出图后, 设计下面形式让学生填空和叙述。

在△ABC中,

∵CD是斜边AB的中线 (或D为AB中点)

∴_____________________________-

再比如, 平行四边形的判定, 画出图后, 设计下面填空题让学生填空和叙述。

∵________________,

∴四边形ABCD是平行四边形。

答案:AD∥BC, DC∥AB或AD∥BC, AD=BC或DC∥AB, DC=AB或AD=BC, DC=AB或OA=OC, OD=OB。

这样, 有意识地结合基本图形长时间训练学生的数学语言, 极大地丰富了学生的数学符号表达能力。

二、“构思选材”

写作文时, 面对作文题, 要进行构思, 按照中心和主旨要选择事例材料。做几何证明题, 一定要读题, 分析条件和结论, 寻找条件和结论之间的关系, 特别要寻找题中的明显条件和隐含条件, 从而推理得到结论。学生在寻找条件时是比较困难的, 我在这方面主要是建立智力图像和按知识点进行小推理的方法取得了较好的突破。

1. 建立智力图像

一个几何证明题, 特别是条件稍复杂的几何证明题, 条件多, 怎样建立条件和结论的关系?我在教学时, 强化了学生建立智力图像, 即让学生边读题边把已知条件和间接条件标在几何图形上, 这样学生在看结论分析时, 注意力就集中在了图形上了, 增加了推理的正确性。

比如, (2012浙江省嘉兴市, 8分) 如图, 已知菱形ABCD的对角线相交于点O, 延长AB至点E, 使BE=AB, 连结CE.

(1) 求证:BD=EC;

(2) 若∠E=50°, 求∠BAO的大小.

我引导学生边读题边在图形上画出如下符号,

使解题思路一目了然。

2. 按知识点进行小推理

要解答一道几何证明题, 在理解条件的基础上, 要寻找条件来证明结论, 那么“这些条件”在哪里?显然, 它们一定在题目的条件里, 特别在题目的隐含条件里。比如上例, 在让学生边读题边标符号时, 要增加一步“按知识点进行小推理”, 这样, 题目中的所有条件, 包括明显条件和隐含条件, 就一下全部展现在学生的面前了。上例的第一问题, 我的引导过程如下。

师:读到“菱形ABCD”, 你想到是什么?

生1:我想到菱形的四边相等, 对边平行, 对角线互相垂直且互相平分, 两组对角分别相等。

师:读到“BE=AB”, 你想到什么?

生2:我想到DC=BE.

师:由此, 你又想到什么?

生2:我又想到四边形DBEC是平行四边形。

师:于是, 第一问得到证明了吗?

生2:得到了。

按知识点进行小推理, 是在“建立图形表象”和“训练符号语言”的基础上进行的, 学生边读题, 边标符号, 边进行小推理, 题目读完, 再看结论, 倒推一下, 即可获得证明思路。

三、“谋篇布局”

谋篇布局是在搜集好素材后, 在理解问题的中心基础上进行的通篇谋划, 即先写什么, 后写什么, 分别应该怎样写。在几何证明上, 就是证明过程要怎样写的问题, 学生最头疼的, 也是证明过程“先写什么, 后写什么”的问题。

1. 激活、沟通“已知”和’“求证”

“已知”和“求证”好像是立于一条河两岸的桥头堡, 几何证明, 就是找到连接两个桥头堡的桥, 即, 证题的方法。初中几何的推理主要是演绎推理中的直接推理, 一般在“建立图形表象”和“训练符号语言”, 以及“进行小推理”的基础上, 学生的思路就可水到渠成。为了增加“已知”和“求证”连接的准确性, 就要对几何证明题的“已知“和“求证”进行激活, 使其处于动态状态, 并在动态中进行联系。

例如: (湖北黄冈7分) 如图, 在正方形ABCD中, 对角线AC、BD相交于点O, E、F分别在OD、OC上, 且DE=CF, 连接DF、AE, AE的延长线交DF于点M.

求证:AM⊥DF.

在激活“条件”后, 我在激活“AM⊥DF”时, 是这样进行设计的。

师:要证明AM⊥DF, 一般要证明什么?

生:要证明∠AMD=90°。

师:由刚刚的小推理, 可以发现什么?

生:△ADM≌△DCF

师:△ADM≌△DCF, 根据三角形全等的性质, 可以推出什么?

生:∠MAD=∠FDC.

师:∠FDC+∠ADM

生:90°。

再往下, 学生就一目了然地知道, 因为∠FDC+∠ADM=90°, 那么∠DAM+∠ADM=90°即可得到∠AMD=90°, 得证。

激活了已知与求证, 那么进行沟通“已知”和“求证”一般是很容易的, 因为在进行小推理时, 顺向思路已经打开, 在运用分析法分析求证时, 找逆向思路相当简单。

2. 理顺逻辑关系

逻辑关系, 简而言之就是初中数学中的因为和所以的关系, 因为什么, 所以什么, 在训练符号语言时, 学生应该意识到“因为什么, 所以什么”之间的联系, 即, 有什么样的条件, 就能推出什么样的结论。

在此基础上, 我又利用逻辑图专门对已知和结论之间的逻辑关系对学生进行了梳理, 如下图, 由a可以推出b和c, 由c可以推出d和e, 由e可以推出g和f, 由b、d、g和f可以得出结论h。

学生对逻辑图的理解, 极大地促进了学生正确理顺已知和结论之间的逻辑关系。

四、“精雕细琢”

文章要准确贴切, 如实地、恰如其分地反映事物和表达思想感情, 要对语言进行锤炼, 同时, 对所使用的材料要反复斟酌, 对叙述的顺序进行思考。对于几何证明题的证明过程, 写完后, 要对证明过程进行梳理, 以达到“言之有理、步步有据、严谨规范”的要求。

1. 步步有据

逻辑推理是一步一步进行的, 每一步要符合逻辑, 有根有据, 不能乱写。

例如: (徐州2011) 如图, 在四边形ABCD中, AB=CD, BF=DE, AE⊥BD, CF⊥BD, 垂足分别为E、F。

(1) 求证:△ABE≌△CDF;

(2) 若AC与BD交于点O, 求证:AO=CO.

第一问题, 有不少学生这样写证明过程:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC。∴∠ABD=∠BDC.∵BF=DE∴BE=DF

∵AB=CD, ∴△ABE≌△CDF。

显然, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC。这一步没有根据, 因为四边形ABCD不是平行四边形, 所以以下的证明都是徒劳的。

2. 严谨规范

“严谨”是思维缜密, “规范”是证明过程要符合推理要求。

例如: (2012徐州) 如图, C为AB的中点。四边形ACDE为平行四边形, BE与CD相交于点F。

求证:EF=BF。

学生这样写证明过程:

∵四边形ACDE为平行四边形,

∴ED=AC。

∵C为AB的中点,

∴AC=CB。

∴ED=CB。

∵ED∥AC,

∴∠EDC=∠DCB, ∠DEB=∠B.

在△DEF和△CBF中

∴△DEF≌△CBF

∴EF=BF。

上面过程中的“∵ED∥AC”题中条件没有, 上面过程中也没有进行证明, 所以这个“因为”出现是突然的, 虽然由“四边形ACDE为平行四边形”可以推出, 显然, 这里叙述是不严谨的;在证明“△DEF≌△CBF”时, 条件的排列不应是“AAS”, 应为“ASA”, 所以, 此处出现叙述不规范的现象。

几何证明能力的培养是一个长期训练的过程, 运用这种“建立图形表象, 训练符号语言, 建立智力图像, 按知识点进行小推理, 激活、沟通已知和求证, 理顺逻辑关系, 步步有据, 严谨规范”等与写作学科整合的行之有效的方法进行教学, 一定能使学生在进行几何证明时, 会分析, 会书写合理、规范的证明过程。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准 (2011年版) .北京:北京师范大学出版社, 2012.

[2]李铁安.义务教育数学课程标准 (2011年版) 案例式解读 (初中数学) .北京:教育科学出版社, 2012.

[3]罗增儒.数学解题学引论.西安:陕西师范大学出版社, 1997.