浅析立体几何的复习方法问题

2022-09-12

在高等数学中, 立体几何侧重考查学生的空间概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力。凡涉及空间向量应用于立体几何的题目, 都着重考查应用空间向量求异面直线所成的角、二面角, 证明线线平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等一些基本问题。

在复习的过程中, 要抓好两件事。一个是基础知识的结构化, 将本部分内容中的重要定理、概念、公式进行整理。另一个是基础练习的专题化。

1 知识点分析

(1) 从内容上来看, 主要是: (a) 考查直线和平面的各种位置关系的判定和性质, 这类题目一般难度不大, 多以选择题和填空题的形式来考察; (b) 计算角的问题, 常见的是异面直线所成的角, 直线与平面所成的角, 平面与平面所成的二面角, 这类题目有一定的难度和需要一定的解题技巧, 通常要把它们转化为相交直线所成的角; (c) 求距离, 常见的是点与点之间的距离, 点到直线的距离, 点到平面的距离, 直线与直线的距离, 直线到平面的距离, 要特别注意解决此类问题的转化方法; (d) 简单的几何体的侧面积和表面积问题, 解此类问题除特殊几何体的现成的公式外, 还可将侧面展开, 转化为求平面图形的面积问题; (e) 体积问题, 要注意解题技巧, 如等积变换、割补思想的应用。

(2) 从方法上采看, 立体几何题目着重考查公理化方法, 如解答题注重理论推导和计算相集合;考查转化的思想方法, 如经常把立体几何问题转化为平面几何问题来解决;考查模型化法和整体考虑问题、处理问题的方法, 如有时把形体纳入不同的几何背景之中, 从而宏观上把握形体, 巧妙地把问题解决;考查割补法、等积变换法, 以及变化运动的思想方法极限方法等。

(3) 从能力上来看, 着重考查空间想象能力, 即空间形体的观察分析和抽象的能力, 要求是“四会”: (a) 会画图——根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线 (面) , 作出的图形要直观、虚实分明; (b) 会识图——根据题目给出的图形, 想象出立体的形状和有关线面的位置关系; (c) 会析图——对图形进行必要的分解、组合; (d) 会用图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术;考查逻辑思维能力、运算能力和探索能力。

2 解题分析及对策

(1) 立体几何解题过程中, 常有明显的规律性, 如:三种角的求法, 各种距离之间的转化, 向量常用来证线线平行、垂直, 向量法求异面直线所成角的优越性, 空间向量选取及空间之坐标系的合理建立等。

(2) 化归、转化思想贯穿立体几何始终, 是处理立体几何问题的基本数学思想, 在复习中应注意培养化归转化意识, 掌握常见的化归转化方法, 如:等积转化, 立几问题向平面问题转化, 符号语言、文字语言、图形语言的相互转化等;在复习中还要建立知识框架和网络, 弄清各概念之间的包含关系, 理清定理的来龙去脉, 从条件、结论和使用范围上去比较容易混淆的各个定理, 从内涵和外延上比较容易混淆的各个概念。

3 专题训练

3.1 点到面的距离问题

点到平面的距离的计算是立体几何中的一个难点。求点到平面距离, 一般方法是先由该点向平面引垂线确定垂足, 把点到平面的距离转化为解三角形求解, 需要作辅助线, 然后通过逻辑推理论证及计算, 这样处理比较麻烦, 而用向量解题则较为简便。向量为立体几何代数化带来了极大的便利。

例1.如图1, 在三棱锥S-A B C中, △A B C是边长为4的正三角形, 平面S A C┴平面ABC, , M、N分别为AB、S B的中点。

(1) 证明:A C┴S B;

(2) 求二面角N-C M-B的大小;

(3) 求点B到平面C M N的距离。

分析:本小题主要考查直线与直线、直线与平面、二面角、点到平面的距离等基础知识, 考查空间想想能力和逻辑推理能力。若按常规方法解, (1) 需作辅助线再构造一平面, 可得线面垂直结论, 即可证得线先垂直; (2) 由三垂线定理作出二面角的平面角, 再由直角三角形知识即可求解; (3) 由等体积转换V B-C M N=V S-C M B即可求解, 但解此题用下面的空间向量知识解更简捷。

解: (1) (2) (证明很容易这里略) 。 (1) AC┴S B (2) 二面角N-C M-B的大小为。

(3) 由 (1) (2) 得为平面CMN的一个法向量, 点B到平面CMN的距离。

3.2 直线与平面平行的证明

位置关系的证明除了掌握必要的定理, 学会使用演绎法证明外, 添加必要的辅助线, 辅助面有时会起到决定性的作用, 无论是使用A版还是B版教材的同学, 都应该熟悉添加辅助线的方法, 尤其是使用B版教材的同学, 应该在传统立体几何方法的基础上学习空间向量法, 下面我们举例说明存证明直线与平面平行时添加辅助线的方法。

证明线面平行可以使用线面平行的判定定理, 也可以使用面面平行的性质定理。

在证明过程中, 画辅助线构造几何图形往往是必不可少的步骤, 构造时应紧密结合已知条件和平面几何的有关知识, 主要是两条直线平行的判定定理, 主要可以从以下两种情况进行考虑:

(1) 构造一个三角形, 使三角形的一边在所证的平面内, 利用“截三角形两边成比例的线段平行于第三边”的定理证明两条直线平行。

(2) 构造一个平面图形, 往往是三角形, 使三角形的一边为所证的直线, 证明这个三角形的另两边与所证的平面平行。