数学小论文：抓住本质 灵活解题

数学小论文：抓住本质 灵活解题（通用8篇）

篇1：数学小论文：抓住本质 灵活解题

抓住本质

灵活解题

数学是一门有趣的学科，它不像语文和英语那样要死记硬背。数学只要掌握了方法，就十分简单。有些时候就是一种方法可以解决许多不同的题，只要掌握了这种题的方法，无论题目怎么变，都可以转化到这种方法上来，从而轻松面对。

那天在练习课上，许老师给我们出了一系列的关于圆的面积的题目。顾老师首先在黑板上画了一个图（图1），告诉我们正方形的面积是7平方厘米，让我们求圆的面积。我和我的同桌先想出了圆面积公式，但就是找不到半径是多少，思考了好一会，还是无从着手，这时老师提醒我们，仔细看看，这个正方形跟圆有什么联系？我睁大眼睛，马上发现正方形的边长不正是圆的半径吗？老师的提醒让我突然豁然开朗起来，既然告诉我们正方形的面积是7平方厘米，也就是说边长×边长=7平方厘米，那么半径×半径不也等于7平方厘米吗？也就是说r2=7，那么圆的面积就可以用3.14直接乘以7就可以了，这道题解决了，老师接着又画了两个图（图

2、图3），把刚才的正方形换成了长方形、三角形，长方形和三角形的面积都是7平方厘米，还

图 1

图2

图3

是求圆的面积，这次我们一下就找到了解决问题的办法。图2把长方形的面积除以2得到正方形的面积，图3把三角形的面积乘以2也得到正方形的面积，这样就都转化成了图1的方法，真是神奇呀！老师看我们有些兴奋，乘热打铁，又出了一题（图4），已知正方形的面积是48平方厘米，求内圆和外圆的面积。这题可复杂多了，但我们还是一下子求出了内圆的面积，用正方形的面积除以4得到一个小正方形的面积(图5)，那内圆的面积就又转化为图1的方法了。可是外圆的面积却有些困难，我左思右想还是没想到，这时我

图4

图5

图6 的同桌在图上把正方形的对角线连了起来，哈哈，真是得来全不费功夫，我一下子又找到了求外圆的方法（图6）,:两条对角线把正方形分成了4个相等的三角形，一个三角形的面积乘以2就又得到正方形的面积了，这个正方形的边长就是外圆的半径呀，外圆的面积我也很快求出来了。

那天的练习课真是收获大呀。我们在做数学题时，从一题中受到启发，举一反三可以得到很多的题，但只要抓住其本质，就可以灵活正确地解题。

篇2：数学小论文：抓住本质 灵活解题

一、负数的产生及其意义

随着社会的发展,小学学过的自然数、 分数和小数已不能满足实际需要,为了满足实际需要,引入了负数,负数是由于实际需要产生的,负数也是客观存在的数.

正数和负数通常表示具有相反意义的量,若正数表示某种意义的量,则负数就表示其相反意义的量,反之亦然 .

例1一个物体沿着南北两个相反方向运动,如果把向南的方向规定为正,那么走6 km,走-4.5 km,走0 km的意义各是什么?

【分析】正数与负数可表示具有相反意义的量,正数表示向南运动,则负数表示向北运动. 0表示原地不动,0表示正数与负数的分界,在实际问题中也有确定的意义.

解:走6 km表示物体向南走6 km;

走-4.5 km表示物体向北走4.5 km;

走0 km表示物体原地不动.

例2某老师把某一小组五名同学的成绩简记为:+ 10、-5、0、+8、-3,又知记为0的实际成绩表示90分,正数表示超过90分, 则这五位同学的平均成绩为多少分?

【分析】由题意先求出这五位同学的实际成绩,如简记为+ 10的学生实际成绩为100,然后再求平均成绩.

解:依题意知,五位同学的实际成绩分别为:100、85、90、98、87.

其平均成绩为:1/5 ×(100+85+90+98+87) =92(分).

二、数轴的概念及其意义

数轴概念中包含三层含义:一是说数轴是一条直线,可以向两端无限延伸;二是说数轴具有原点、正方向和单位长度三要素,三者缺一不可;三是说数轴原点的选定、 正方向的取向、单位长度大小的确定,是根据实际需要规定的.

例3如图所示的数轴上,A、B、C、D、E各点分别表示什么数?

【分析】根据各点在原点的左侧、右侧还是在原点上,来确定数是负数、正数还是0,根据各点距离原点多少个长度单位,来确定数的值.

解:点A表示数3(1)/(2) ;点B表示数1/2 ;

点C表示数0;点D表示数-3;

点E表示数-4(1)/(2) .

例4在数轴上画出表示下列各数的点,并用“<”连接起来;

【分析】首先画出数轴,三要素要齐全; 再把各数在数轴上的对应点找出来;然后根据这些数在数轴上的位置顺序比较大小,再用“<”连接起来.

解:这些数在数轴上的表示如图所示 .

它们从小到大的排列为:

三、两个负有理数的大小比较

两个负有理数的大小比较与其他数一样,可以利用数轴找准两个负有理数在数轴上的对应点,右边的数总比左边的数大. 两个负有理数的大小比较,还可以利用绝对值,求这两个数的绝对值,比较两个数绝对值的大小,绝对值大的反而小 .

例5利用绝对值比较下列有理数的大小 .

【分析】比较负数的大小,先求出各数的绝对值,关键是比较绝对值的大小,绝对值大的反而小.比较分数大小,一般要化成同分母的分数来比较 .

四、有关绝对值的计算及化简

灵活正确运用绝对值的代数意义及有关性质 .

例6已知|a+2| + |b-3| =0,求a和b的值.

【分析】由绝对值的非负性可知,|a+2 |≥0,|b-3| ≥0,而且只有当|a+2|和|b-3|都等于0时,|a+2| + |b-3| =0才成立,因为只有0的绝对值等于0,所以a=-2,b=3.

五、有理数混合运算中应注意的问题

(1)要注意运算顺序;

(2)要灵活运用运算定律进行简便运算,不要搞错符号,特别是乘方的符号;

(3)要灵活进行小数、分数的互化;

(4)互为相反数的和,互为倒数的积, 有因数为零,特殊运算先行结合.

例8计算:

(1)(-5)-(+3)+(-9)-(-7);

【分析】进行有理数加减混合运算时,应先把加减运算统一成加法运算,再写成省略加号和括号的代数和,最后运用有理数的加法法则及运算律进行计算,能够简化运算的尽量简化运算 .

例9计算:

【分析】按照有理数混合运算的顺序, , 有括号的应先计算括号内的算式,即去括号由里向外,但这样计算有时比较麻烦.经过观察本题可以发现:括号外的1/3的分母3是括号内的2.1和2.4的约数,利用乘法分配律先进行计算可以使整个计算简捷明快.

例10计算:

注:第(1)小题先由里及外逐层去掉括号,同时把除法转化为乘法进行运算,第 (2)小题应用乘法分配律使运算得以简化.

六、科学记数法

把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a的整数位数只有一位,这种记数的方法,叫作科学记数法.

例11用科学记数法表示下列各数:

(1)270.3;

(2)3 870 000;

(3)光的速度约为300 000 000米/秒;

(4)0.5×9×1 000 000;

(5)10.

【分析】科学记数法a×10n中,a是小于10且大于或等于1的数,n比原数位的整数位数少1,比如:3 870 000 000是10位数,指数n就是9. 这就是说n等于原数的整数位数减1,而不是比所有的数位和少1. 如179.4= 1.794×102,而不是179.4=1.794×103.

篇3：抓住概念本质，灵活解题

一、 负数的产生及其意义

随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际需要，为了满足实际需要，引入了负数，负数是由于实际需要产生的，负数也是客观存在的数.

正数和负数通常表示具有相反意义的量，若正数表示某种意义的量，则负数就表示其相反意义的量，反之亦然 .

例1 一个物体沿着南北两个相反方向运动，如果把向南的方向规定为正，那么走 6 km，走-4.5 km，走0 km的意义各是什么？

【分析】正数与负数可表示具有相反意义的量，正数表示向南运动，则负数表示向北运动. 0表示原地不动，0表示正数与负数的分界，在实际问题中也有确定的意义.

解：走6 km表示物体向南走6 km；

走-4.5 km表示物体向北走4.5 km；

走0 km表示物体原地不动.

例2 某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：+ 10、-5、0、+8、-3，又知记为0的实际成绩表示90分，正数表示超过90分，则这五位同学的平均成绩为多少分？

【分析】由题意先求出这五位同学的实际成绩，如简记为+ 10的学生实际成绩为100，然后再求平均成绩.

解：依题意知，五位同学的实际成绩分别为：100、85、90、98、87.

其平均成绩为：×（100+85+90+98+87）=92（分）.

二、 数轴的概念及其意义

数轴概念中包含三层含义：一是说数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二是说数轴具有原点、正方向和单位长度三要素，三者缺一不可；三是说数轴原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，是根据实际需要规定的.

例3 如图所示的数轴上，A、B、C、D、E各点分别表示什么数？

【分析】根据各点在原点的左侧、右侧还是在原点上，来确定数是负数、正数还是 0，根据各点距离原点多少个长度单位，来确定数的值.

解：点A表示数3；点B表示数；

点C表示数0；点D表示数-3；

点E表示数-4.

例4 在数轴上画出表示下列各数的点，并用“<”连接起来；

-3，4，-1，2，0，1，-2.

【分析】首先画出数轴，三要素要齐全；再把各数在数轴上的对应点找出来；然后根据这些数在数轴上的位置顺序比较大小，再用“<”连接起来.

解：这些数在数轴上的表示如图所示 .

它们从小到大的排列为：-3<-2<

-1<0<1<2<4.

三、 两个负有理数的大小比较

两个负有理数的大小比较与其他数一样，可以利用数轴找准两个负有理数在数轴上的对应点，右边的数总比左边的数大. 两个负有理数的大小比较，还可以利用绝对值，求这两个数的绝对值，比较两个数绝对值的大小，绝对值大的反而小 .

例5 利用绝对值比较下列有理数的大小 .

（1） -0.6，-60；

（2） -，-，-.

【分析】比较负数的大小，先求出各数的绝对值，关键是比较绝对值的大小，绝对值大的反而小.比较分数大小，一般要化成同分母的分数来比较 .

解：（1） -0.6=0.6，-60=60.

∵0.6<60，∴-0.6>-60.

（2）

-==，

-==，

-==，

∵<<，

∴->->-.

四、 有关绝对值的计算及化简

灵活正确运用绝对值的代数意义及有关性质 .

例6 已知a+2+b-3=0，求a和b的值.

【分析】由绝对值的非负性可知，a+2≥0，b-3≥0，而且只有当a+2和b-3都等于0时，a+2+b-3=0才成立，因为只有0的绝对值等于0，所以a=-2，b=3.

五、 有理数混合运算中应注意的问题

（1） 要注意运算顺序；

（2） 要灵活运用运算定律进行简便运算，不要搞错符号，特别是乘方的符号；

（3） 要灵活进行小数、分数的互化；

（4） 互为相反数的和，互为倒数的积，有因数为零，特殊运算先行结合.

例8 计算：

（1） （-5）-（+3）+（-9）-（-7）；

（2）

+-

-+

--

+1.

【分析】进行有理数加减混合运算时，应先把加减运算统一成加法运算，再写成省略加号和括号的代数和，最后运用有理数的加法法则及运算律进行计算，能够简化运算的尽量简化运算 .

解：（1） 原式=（-5）+（-3）+（-9）+（+7）

=-5-3-9+7

=（-5-3-9）+7

=-17+7=-10；

（2） 原式=

++

++

-+

-

=+--

=

-+

-

=--=-.

篇4：抓住例题本质灵活解中考题

【原题】有一个质地均匀的正十二面体,12个面上分别写有1~12这12个整数,投掷这个正12面体.

(1)朝上一面的数有哪些?它们发生的可能性相同吗?

(2)朝上一面的数是奇数与朝上一面的数是偶数,发生的可能性相同吗?

(3)朝上一面的数是4的倍数与朝上一面的数是6的倍数,发生的可能性相同吗?

【思路点拨】投掷这个正12面体时,每个面向上是等可能的事件,因此朝上一面可能为1~12这12个整数中的某个,每个面发生的可能性是相同的.而1~12中有6个奇数和6个偶数,所以朝上一面的数是奇数与朝上一面的数是偶数发生的可能性相同,但在1~12中有3个4的倍数和2个6的倍数,因此它们发生的可能性不相同。

【自主解答】(1)朝上一面的数有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12,它们发生的可能性相同.

(2)朝上一面的数是奇数与偶数发生的可能性相同.

(3)朝上一面的数是4的倍数与6的倍数,发生的可能性不相同.

【思路点拨】投掷这个正12面体时,每个面向上是等可能的事件,因此朝上一面可能为1~12这12个整数中的某个,而2的整数倍为2、4、6、8、10、12共6种,3的整数倍为3、6、9、12共4种,根据这一性质易得答案.

【自主解答】不成立.

∴等式不成立.

【点评】本题的关键是分别求出事件A与事件B的概率,然后验证等式是否成立.

变式2(2013·江苏无锡)小明与甲、乙两人一起玩“手心手背”的游戏.他们约定:如果三人中仅有一人出“手心”或“手背”,则这个人获胜;如果三人都出“手心”或“手背”,则不分胜负.那么在一个回合中,如果小明出“手心”,则他获胜的概率是多少?(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)

【思路点拨】本题中虽然有三人玩“手心手背”的游戏,但已经确定了小明出“手心”,故只需考虑甲、乙两人出“手心”或“手背”的情况后再去分析小明获胜的概率是多少.

【自主解答】用列表法解题如下:

∵小明出“手心”,甲、乙两人出“手心”或“手背”的所有可能有4种情况,而两人都出“手背”只有1种可能,

【点评】本题的关键是能分清题意,是在限定小明出“手心”的条件下的三人游戏,故不要考虑小明出“手背”的情况.

变式3(2016·江苏无锡)甲、乙两队进行打乒乓球团体赛,比赛规则规定:两队之间进行3局比赛,3局比赛必须全部打完,赢满2局的队为获胜队,假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同,且甲队已经赢得了第1局比赛,那么甲队最终获胜的概率是多少?(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)

【思路点拨】本题中虽然甲、乙两队之间进行3局比赛,但已经确定了甲队赢得了第1局比赛,故只需考虑甲、乙两队第2、3局比赛情况后再去分析甲队获胜的概率是多少.

【自主解答】根据题意画出树状图如下:

一共有4种情况,确保两局胜的有3种,

篇5：抓住本质 掌握规律 灵活运用

【点评】看后，我们不禁会问：怎么会有这么多的解法？这些解法是怎么想出来的呢？它们之间有怎样的本质联系呢？这就涉及“怎样解题”这一问题. 下面我们以问题1为例来说明：

首先要弄清问题，不妨问自己这样一些问题：已知条件是什么？待证结论是什么？它们之间有怎样的联系？你是否知道一个可能用得上的定理？你能直接运用该定理来解决吗？如果不能，你能添加辅助线来构造条件吗？

本题已知两直线平行，要证明角度之间的数量关系：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补. 所以，本题可以用平行线的性质来解题. 因此抓住平行线性质定理的基本图形“”（两条平行线+一条截线）是解题的关键. 若题中有基本图形“”，则直接用平行线的性质解题即可. 但是本题中不具备基本图形，故需要通过构造“”这一基本图形来解题. 如何构造呢？同学们通过尝试，有人添加了一条平行线，如解法一、二、三；有人添加了一条截线，如解法四、五、六、七，从而构造了平行线性质定理的基本图形. 在此基础上，运用平行线性质定理，再结合周角的定义、三角形内角和定理、多边形内角和定理等本题就迎刃而解了.

以上解法看似各不相同，但方法的本质都是构造平行线性质定理的基本图形. 正所谓“一题多解，多解归一”. 抓住了问题的本质，掌握了以上解题的规律，我们就能灵活运用知识解题.

【点评】本题看似和问题3不太一样，但本质是一致的. 同学们拿到这道题目时不妨问问自己：“我以前见过它吗？我是否见过相同的问题而形式稍有不同？我是否见过与此有关的问题？我能否想到一个可以用得上的定理？……”善于联想和类比也是一种解决问题，寻找思路的有效方法.

著名数学家和教育家波利亚在《怎样解题》中指出：解题的价值不是答案本身，而在于弄清“是怎样想到这个解法的”、“是什么促使你这样想这样做的”.这就是说，解题过程是一个思维过程，是一个把知识与问题联系起来思考、分析、探索的过程，而对自己提出问题则是解决问题的开始. 同学们如果能在平时的解题中不断实践和体会这一过程，必能使自己的思维受到良好的训练，久而久之，不仅提高了解题能力，而且养成了有效的思维习惯. 届时我们必能发出和波利亚一样的感叹：“学数学是一种乐趣！”

篇6：抓住问题本质提高解题能力

百度百科里说:本质是事物的内部联系, 是事物内在的、相对稳定的方面, 本质是事物的根本性质, 由事物的特殊矛盾构成.隐藏在现象背后并表现在现象之中, 本质要靠思维才能把握.在数学解题中本质就是问题的核心与关键.

二、抓住问题本质的意义

1.只有抓住问题本质, 才能看清实质

常言道“打蛇打七寸”, 要想解决好问题必须经过认真分析并抓住问题实质, 若头痛医头、脚痛医脚是永远处理不好问题的.只有抓住事物本质才能有的放矢、一针见血地切中要害, 做到事半功倍.

2.只有抓住问题本质, 才能排除干扰

世间万象是纷繁芜杂的, 我们常常被一些表象所迷惑和干扰, 雾里看花、似是而非, 使得自己的决断不得要领, 以至于白白浪费了许多时间与精力却无功而返.怎样才能独具慧眼排除干扰?这只有抓住问题本质.

3.只有抓住问题本质, 才能得心应手

许多人在解题时常常不知如何下手, 没有思路或者在转化到某一步时不知往下该怎样进行, 陷入僵局.在这种“山穷水尽疑无路”时, 只有看到问题本质并联系相关知识才会茅塞顿开, 产生“柳暗花明又一村”的收获与喜悦, 解题才能得心应手、左右逢源.

三、教学中如何教会学生抓住问题本质

1.注重对数学概念的教学

许多师生往往不注重对数学概念的挖掘, 认为考试不会考概念, 这其实是大错特错, 因为许多性质、定理、公式都是从概念出发经过逻辑推导得来的, 概念为本源, 是数学大厦的基石, 所有理论都是建立在概念基础之上的.学生对教学内容理解不深常常是因为对概念理解不深, 许多题目实质就是考查学生对概念的理解和掌握, 因此在平时教学中一定要重视对概念深层次的阐述与剖析, 让学生理解概念的背景与实质, 加强概念教学, 逐本求源.

2.加强对思想方法的教学

思想和方法是解题的两条腿, 数学思想是一种数学意识, 用以对数学问题的认识、处理和解决.教学方法是数学思想的具体体现, 具有模式化与可操作性的特征, 可以作为解题的具体手段.基本的数学思想包括函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想和等价转化思想, 教学方法有很多, 像换元法、反证法、待定系数法、配方法, 等等, 只有对思想与方法掌握了, 才能把书本的、别人的知识技巧变成自己的能力, 才能在分析和解决问题时合理选择和应用, 使问题解决得更顺畅、得心应手.新教材强化了方法的教学, 如反证法、推理与证明等内容, 都是以前课本没有专门提及的, 然而有许多教师并不重视, 认为只要让学生知道怎么做就行了, 这等于捡了芝麻丢了西瓜, 实在是得不偿失.

3.教会学生如何审题

不少学生拿到题目不假思索就动笔, 写了半天才发现不对又划掉, 白白浪费时间, 这归结于一开始没好好审题.审题是对题目的条件和问题进行全面认识, 对有关的全部情况进行分析研究, 它是解题的先决条件.审题能力是指充分理解题意, 把握住题目本质的能力, 分析、发现隐含条件以及转化已知和所求的能力.常言道“磨刀不误砍柴工”, 做题前花时间仔细审题是非常必要的, 教学中老师应通过例题示范强调并逐步培养学生的审题能力.

4.让学生善于联想

有人认为只有文学需要联想, 那就大错特错了, 其实数学更需要联想.读完题目之后首先要联想一下:这道题我以前做过没有?若有是否真正完全一样?若没有是否遇到过与之类似的题型?那种题型是用什么方法解决的?它对本题是否适用?不适应能否变通或借鉴?本题形式或内容与以前哪部分知识相似?它们之间是否有联系?本题条件与结论有何联系?这样多联想往往就能找到解题的突破口, 知道应该如何做.

5.培养学生转化与化归能力

数学解题过程就是转化的过程, 灵活转化是解题成败的关键, 即如何化难为易、化繁为简、化未知为已知、化不熟悉为熟悉.“构造相同、转化差异”是基本的转化指导原则.最常见的是数形转化, 看到数要联想到形, 变抽象为直观;反之看到形也要联想到数, 由定性转化为定量.其次是函数与方程、等式与不等式、整式与分式、有理与无理 (一定要注意是否等价) 、指数与对数……要提高学生的解题能力, 必须善于转化与化归, 这就要在平时教学中逐步训练学生的推理、变形、计算能力.

6.坚持精讲多练原则

教师讲解得再好学生不会解题也无用, 因为考试的是学生而不是老师, 必须让学生多进行实际演练, 多做相应的练习, 在练习中去慢慢体会.课堂练习能暴露学生对当堂课的掌握情况, 做对了能满足学生的表现欲, 做错了也能警示他人, 未尝不是好事;课后练习是检验教学效果的重要手段, 通过针对性的预留适当的作业才能发现问题并及时加以补救.题目做多了就会有解题经验, 它对提高解题能力有着非常重要的作用, 有不少学生虽然会做但说不出理由, 这就是经验的力量.所以要想提高解题能力还必须多做练习, 没有其他多少捷径可走.

7.让学生学会归纳与总结

作出一道题之后不少人就觉得大功告成了, 其实若花些时间进行总结归纳肯定会使你受益匪浅, 进步更快!提倡做完题后问问自己:此题做法是否对这一类题都适应?有没有其他解法?若将条件换了又该如何解?若将问法换了又该如何解?这样由技巧上升为方法, 练一反三, 由点带面, 能快速促进自己解题能力的提高.

成绩取决于分数, 分数又取决于解题能力, 能力来自平时的训练.若我们在教学中能多注意以上几个方面, 就会帮助学生学会抓住问题本质, 提高解题能力, 培养成解题的熟练工, 大面积地提升教学水平.

篇7：抓住例题本质灵活解中考题

【原题】有一个质地均匀的正十二面体，12个面上分别写有1～12这12个整数，投掷这个正12面体.

（1） 朝上一面的数有哪些？它们发生的可能性相同吗？

（2） 朝上一面的数是奇数与朝上一面的数是偶数，发生的可能性相同吗？

（3） 朝上一面的数是4的倍数与朝上一面的数是6的倍数，发生的可能性相同吗？

【思路点拨】投掷这个正12面体时，每个面向上是等可能的事件，因此朝上一面可能为1～12这12个整数中的某个，每个面发生的可能性是相同的.而1～12中有6个奇数和6个偶数，所以朝上一面的数是奇数与朝上一面的数是偶数发生的可能性相同，但在1～12中有3个4的倍数和2个6的倍数，因此它们发生的可能性不相同。

【自主解答】（1） 朝上一面的数有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，它们发生的可能性相同.

（2） 朝上一面的数是奇数与偶数发生的可能性相同.

（3） 朝上一面的数是4的倍数与6的倍数，发生的可能性不相同.

【点评】课本中的这一问题是“中考课堂”的一个例题，即在中考考题中常常会出现的考题类型.概率统计题作为初中数学的核心内容，要求学生充分理解事件的等可能性及发生某一事件的可能性大小求法——求概率的常用方法是先计算随机事件发生的总可能情况数A及发生某一事件的可能情况数B，而概率的确定就是[BA]的值.

变式1 （2013·福建厦门）有一个质地均匀的正12面体，12个面上分别写有1～12这12个整数（每个面上只有一个整数且每个面上的整数互不相同）.投掷这个正12面体一次，记事件A为“向上一面的数是2或3的整数倍”，记事件B为“向上一面的数是3的整数倍”，请你判断等式“P（A）=[12]+P（B）”是否成立，并说明理由.

【思路点拨】投掷这个正12面体时，每个面向上是等可能的事件，因此朝上一面可能为1～12这12个整数中的某个，而2的整数倍为2、4、6、8、10、12共6种，3的整数倍为3、6、9、12共4种，根据这一性质易得答案.

【自主解答】不成立.

【点评】本题的关键是分别求出事件A与事件B的概率，然后验证等式是否成立.

变式2 （2013·江苏无锡）小明与甲、乙两人一起玩“手心手背”的游戏.他们约定：如果三人中仅有一人出“手心”或“手背”，则这个人获胜；如果三人都出“手心”或“手背”，则不分胜负.那么在一个回合中，如果小明出“手心”，则他获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）

【思路点拨】本题中虽然有三人玩“手心手背”的游戏，但已经确定了小明出“手心”，故只需考虑甲、乙两人出“手心”或“手背”的情况后再去分析小明获胜的概率是多少.

【自主解答】用列表法解题如下：

∵小明出“手心”，甲、乙两人出“手心”或“手背”的所有可能有4种情况，而两人都出“手背”只有1种可能，

∴ P（小明获胜）=[14].画树状图类似可得.

【点评】本题的关键是能分清题意，是在限定小明出“手心”的条件下的三人游戏，故不要考虑小明出“手背”的情况.

变式3 （2016·江苏无锡）甲、乙两队进行打乒乓球团体赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且甲队已经赢得了第1局比赛，那么甲队最终获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）

【思路点拨】本题中虽然甲、乙两队之间进行3局比赛，但已经确定了甲队赢得了第1局比赛，故只需考虑甲、乙两队第2、3局比赛情况后再去分析甲队获胜的概率是多少.

【自主解答】根据题意画出树状图如下：

一共有4种情况，确保两局胜的有3种，

所以，P（甲）=[34].列表类似可得.

【点评】本题的关键是能分清题意，是已知第一局甲胜的情况下求后两局甲获胜情况，故不要考虑第一局甲负的情况.

篇8：数学小论文：抓住本质 灵活解题

问题1:如图1,已知:AB∥CD,

证明:∠B+∠E+∠D=360°.

有些同学拿到题目后无从下手,毫无思绪,而另一些学生却给出了如下多种解法:

解法一:过点E作EF∥AB,如图2,

∴∠B+∠1=180°,

又∵AB∥CD,∴EF∥CD,

∴∠D+∠2=180°,

∴∠B+∠BED+∠D=360°.

解法二:过点E作EF∥AB,如图3,

∴∠B=∠1,

又∵AB∥CD,∴EF∥CD,

∴∠D=∠2,

∵∠1+∠BED+∠2=360°,

∴∠B+∠BED+∠D=360°.

解法三:过点D作DF∥BE交AB于点F,如图4,

∴∠B+∠1=180°,∠E+∠2=180°,

∴∠B+∠1+∠E+∠2=360°,

∵AB∥CD,∴∠3=∠1,

∴∠B+∠E+∠EDC=360°.

解法四:延长AB、DE交于点F,如图5.

∵AB∥CD,

∴∠F+∠D=180°,

∵∠ABE=∠1+∠F,∠1+∠2=180°,

∴∠ABE+∠BED+∠D

=∠1+∠F+∠2+∠D=360°.

解法五:连接BD,如图6.

∵AB∥CD,

∴∠1+∠2=180°,

∵∠3+∠E+∠4=180°,

∠ABE+∠E+∠EDC=360°.

解法六:作截线BF交CD于点F,如图7.

∵AB∥CD,∴∠1=∠2,

∵在四边形BEDF中,

∠3+∠2+∠D+∠E=360°,

∴∠ABE+∠E+∠D=360°.

解法七:作截线FG分别交AB、CD于点F、G,如图8.

∵AB∥CD,∴∠1+∠2=180°,

∵在五边形BEDGF中,

∠1+∠2+∠B+∠D+∠E=540°,

∴∠B+∠E+∠D=360°.

还有解法八、解法九……

【点评】看后,我们不禁会问:怎么会有这么多的解法?这些解法是怎么想出来的呢?它们之间有怎样的本质联系呢?这就涉及“怎样解题”这一问题. 下面我们以问题1为例来说明:

首先要弄清问题,不妨问自己这样一些问题:已知条件是什么?待证结论是什么?它们之间有怎样的联系?你是否知道一个可能用得上的定理?你能直接运用该定理来解决吗?如果不能,你能添加辅助线来构造条件吗?

本题已知两直线平行,要证明角度之间的数量关系:①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;③两直线平行,同旁内角互补. 所以,本题可以用平行线的性质来解题. 因此抓住平行线性质定理的基本图形“≠”(两条平行线+一条截线)是解题的关键. 若题中有基本图形“≠”,则直接用平行线的性质解题即可.但是本题中不具备基本图形,故需要通过构造“≠”这一基本图形来解题. 如何构造呢?同学们通过尝试,有人添加了一条平行线,如解法一、二、三;有人添加了一条截线,如解法四、五、六、七,从而构造了平行线性质定理的基本图形. 在此基础上,运用平行线性质定理,再结合周角的定义、三角形内角和定理、多边形内角和定理等本题就迎刃而解了.

以上解法看似各不相同,但方法的本质都是构造平行线性质定理的基本图形.正所谓“一题多解,多解归一”.抓住了问题的本质,掌握了以上解题的规律,我们就能灵活运用知识解题.

问题2:问题1中,AB∥CD,当点E的位置发生如下的变化(如图10(a)、(b)),∠B、∠E、∠D之间又有怎样的数量关系呢?

【分析】如图10(a),图中没有平行线性质定理的基本图形“≠”,所以需要通过构造“≠”来解题,我们可以类比问题1的思路来添加辅助线(截线或平行线),不难得出结论为:∠E=∠B+∠D.

如图10(b),图中本身就有平行线性质定理的基本图形“≠”,所以可以直接运用平行线性质定理来解题.

图10(b)解:∵AB∥CD,∴∠B=∠1,

∵∠1=∠D+∠E,∴∠B=∠D+∠E,

即∠E=∠B-∠D.

掌握了解题规律,我们就能识别出干扰条件,抓住问题的关键,快速找到解题思路.我们还可以把问题拓展如下:

问题3:问题1中,AB∥CD,如图11,当点E的数量发生变化时,∠B、∠E1、∠E2、∠D之间又有怎样的数量关系呢?

【分析】根据解题规律,图中没有平行线性质定理的基本图形“”,所以我们必须构造出基本图形.不妨构造如下:分别过点E1、E2作AB的平行线,根据“两直线平行,同旁内角互补”,可以得到:∠B+∠BE1E2+∠E1E2D+∠D=3×180°=540°. 进一步根据类比思想,我们还能求出当AB、CD内有N个点时,这些角度之间的数量关系为:∠B+∠BE1E2+∠E1E2E3+ …… + ∠En-1EnD+∠D=(n+1)×180°. 当然解题方法不是唯一的,只要抓住问题的本质,掌握解题规律,就不怕找不到方法.同学们可以发挥自己的聪明才智想出更多更好的方法.

进一步移动点E的位置,可以将题目变形为:

问题4:如图12,已知:AB∥CD,

求证,∠B+∠G+∠D=∠E+∠F.

证明:分别过点E、G、F作AB的平行线,∵AB∥CD,

∴AB∥EM∥HG∥FN∥CD,

∴∠B=∠1,∠3=∠2,∠4=∠5,∠D=∠6,

∴∠B+∠3+∠4+∠D=∠1+∠2+∠5+∠6,

即:∠B+∠EGF+∠D=∠BEG+∠GFD.

【点评】本题看似和问题3不太一样,但本质是一致的. 同学们拿到这道题目时不妨问问自己:“我以前见过它吗?我是否见过相同的问题而形式稍有不同?我是否见过与此有关的问题?我能否想到一个可以用得上的定理?……”善于联想和类比也是一种解决问题,寻找思路的有效方法.