公式法教学设计

2024-04-25

公式法教学设计（通用11篇）

篇1：公式法教学设计

第二章

一元二次方程

３．公式法

杜寨初级中学九年级

一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.学生活动经验基础：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力.二、教学任务分析

公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。为此，本节课的教学目标是： ①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。

②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力

三、教学过程分析

本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：公式的推导；第三环节：看一看、练一练，巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。

第一环节；回忆巩固活动内容：

①用配方法解下列方程：(1)2x2+3=7x(2)3x2+2x+1=0 全班同学在练习本上运算,可找两位同学上黑板演算 ②由学生总结用配方法解方程的一般方法: 第一题： 2x2+3=7x 解：将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 两边都除以一次项系数:2 x27x30 1 配方:加上再减去一次项系数一半的平方 x27x(7)24930

24162即:(x7)2250

416725(x)2416两边开平方取“±” 得：

x75 44x75 44 写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=1

2第二题： 3x+2x+1=0 解：两边都除以一次项系数:3 x22x10

332 配方:加上再减去一次项系数一半的平方 x22x(1)2130

3392即:(x1)2250

318125

(x)2318∵250

18∴原方程无解活动目的：（1）进一步夯实用配方法解方程的一班步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动：没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。

（2）选择了一个没有解的方程，让学生切实感受并不是所有的一元二次方程在实数范围内都有解。

（3）教师还可以根据上节课作业情况，选学生出错多的题目纠错、练习.活动的实际效果：

通过对旧知识的回顾，学生再次经历了配方法解方程的全过程，由于是旧知识，学生容易做出正确答案，并获得成功的喜悦，调动了学生的学习热情，唤醒学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础。

第二环节公式的推导活动内容：

提出问题：解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式.解：两边都除以一次项系数:a x2bxc0

aa 2 问：为什么可以两边都除以一次项系数:a 答：因为a≠0 配方:加上再减去一次项系数一半的平方

bb2b2cxx()20a2a4aa2即: b2b24ac

(x)a4a2 b2b24ac(x)0a4a2 问：现在可以两边开平方吗？

答：不可以，因为不能保证 b4ac0

24a2 问：什么情况下 b4ac0 24a2 学生讨论后回答：

答： ∵ a≠0 ∴ 4a2>0 要使b4ac0 24a2只要 b2-4ac≥0即可

∴当b2-4ac≥0时，两边开平方取“±” 得： xbb4ac

2a4a2bb24ac xa2a xbb4ac

2a2abb24ac x2a问：如果b2-4ac<0时，会出现什么问题？答：方程无解活动目的：

学生能否自主推导出来并不重要，重要的是由学生亲身经历公式的推导过程，只有经历了这一过程，他们才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识.在集体交流的时候，才能有感而发。活动的实际效果：

学生的主要问题通常出现在这样的几个地方：（1）

中b2c运算的符号出现错误和通分出现错误 bb2b2cxx()204a2aa2a4aa2（2）不能主动意识到只有当b2-4ac≥0时，两边才能开平方

（3）两边开平方，忽略取“±”。

大部分学生需要在教师的帮助下，才能完善公式的推导。第三环节：练一练，巩固新知活动内容：

１、判断下列方程是否有解：（学生口答）

22(1)2x+3=7x（2）x-7x=18（3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0(5)16x2+8x=3(6)2x2-9x+8=0 学生迅速演算或口算出b2-4ac,从而判断是否有根

问第（3）题的判断，与第一环节中的第（2）题对比，那种方法更简捷？２、上述方程如果有解，求出方程的解学生口述，教师板书第（1）题例：解方程 2x2+3=7x 先将方程化成一般形式解： 2x2-7x+3=0 确定a,b,c的值 a=2, b=-7, c=3 判断方程是否有根 ∵b2-4ac=(-7)2-4×2×3=25>0 ∴bb4ac

2x2a72575224写出方程的根即x1=3,x2=-1

2问：与第一环节中的第（1）题对比，哪种解法更简捷？

（剩下的题目教师根据时间情况选择使用，个别学生上黑板做题，其他同学在座位上练习）

３、课本随堂练习2.一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数，求这个三角形的三条边长。

活动目的：通过让学生或口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。活动实际效果：教师引导学生分析，学生口答、板书，笔答，对比，评价，总结．大部分学生能够正确、熟练的用公式法解方程。

出现的问题

1、对于（1）（2）（5）小题，有个别学生因为没有化成一般形式，从而把a,b,c的符号弄错了；、学生比较容易得出当a,c异号时，方程一定有解。第四环节：收获与感悟活动内容：提出问题：

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？

2、用公式法解方程应注意的问题是什么？

3、你在解方程的过程中有哪些小技巧？

让学生在四人小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。活动目的：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。

活动实际效果：学生通过回顾本节课的学习，感受到公式推导的全过程，发展了逻辑思维能力，提高了推理技能，在使用公式解方程的过程中，感受到有的一元二次方程的有根，而有的没有根，通过解方程，进一步提高了学生的运算能力。第五环节：布置作业用公式法解下列方程（教师可根据实际情况选用）2x2-4x-1=0 5x+2=3x2

(x-2)(3x-5)=0 2x2+7x=4 x2-22x+2=0 列方程解应用题

1、已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是多少? ２、一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂的长度相同,求台布的长和宽

３、某商场销售一批衬衫,平均每天可以售出20件,没见盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,如果每件降价1元,商场每天可以多销售2件,（１）若商场平均每天要盈利１２００元，每件衬衫要降价多少元？

（２）选作题（供学有余力的学生选作）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

四、教学反思

1、要创造性的使用教材

教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。本节课教师就根据学生实际情况，调整了配方时的个别过程，使之与后续知识学习相一致，添加了例题和练习题。

2、要为学生的终身学习奠基

这节课不能够仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导的全过程，提高学生推理技能和逻辑思维能力；进一步发展学生合作交流的意识和能力．帮助学生形成积极主动的求知态度.5

篇2：公式法教学设计

【教学分析】

本节课主要是探究平方差公式并运用公式进行整式的乘法运算。在前面的学习中，学生已经学习了有理数运算、整式的加减及整式乘法等知识，掌握了多项式乘法的法则，也经历过对幂的乘法、多项式乘法的推导过程，有一定的逻辑思维，能够有条理的分析问题。学生在本节经历从特殊到一般、从具体到抽象的推导过程，得到平方差公式，在提高学生观察、探究、发现、归纳的思维能力同时领会数学思想方法。平方差公式的学习，为以后的因式分解、分式的化简、解一元二次方程、函数等内容的学习奠定了基础，同时也为学习完全平方公式提供了探究方法。

【教学目标】

1.了解平方差公式的及几何意义；理解平方差公式的结构特征，并能运用平方差公式进行运算。

2.在探究平方差公式的过程中，体验从“特殊到一般”的研究数学问题的方法；通过对平方差公式的几何意义的了解，体会代数与几何的内在统一。【教学重难点】

1.重点：理解平方差公式的结构特征，并能运用平方差公式进行正确运算。

2.难点：在具体应用中找准平方差公式中“a”和“b”, 理解公式中字母的广泛含义.【教学策略及方法分析】

针对本节课的教学重点—平方差公式的结构特征及运用公式正确运算，我在教学中从学生刚刚学过的多项式乘法入手，通过学生的自主探究与合作学习，参与平方差公式的推导过程；从而掌握公式的特征，并能够紧紧抓住特征，利用公式正确计算。

针对本节课的教学难点—正确理解公式中字母的广泛含义，教学中，学生可以通过观察，对比，练习，发现公式中的“a，b”不仅可以是数字，也可以是多项式，从而体会整体的数学思想在学习中的运用。【教学过程】

一．创设情境,导入新课。

1.出示情景：（租地问题）有人向他人租了一块边长为a的正方形地，第二年地的主人提出把地的一条边增长10米，相邻另一边缩短10米。这样租合算吗？

2.学生思考：关键在计算变化后地的面积与原来的正方形面积比较大小。3.学生结合图形得出算式：（a+3）（a-3）

如何计算结果？请同学们用多项式乘法法则进行计算。

二、自主探究，得出结论。

1．观察算式和结果，看看有发现什么规律？（a+3）（a-3）=a2-9

2．再用多项式乘法法则计算下列多项式的积，你发现的规律还成立吗？(x+1)(x-1)=___________;(m+2)(m-2)=__________;(2x+1)(2x-1)=_______ 3.根据以下问题提示，试着把你发现的规律说出来。

（1）式子的左边具有什么共同特点？（2）它们的结果有什么特征？

※用文字语言表示所发现的规律：

※可以用字母表示为：

三、合作交流，验证公式.对于结论：(a+b)(a-b)=a2-b2 你能计算验证上面你猜想的结论吗？方法一：计算（a+b）（a-b）

方法二：结合课本图14.2-1说说边长为a的正方形一边增加b，相邻一边减少b，得到的长方形面积与原正方形面积的关系用等式可表示为：

.学生自主选择方法验证公式，教师巡视指导，有意识引导学生选择不同的方法。展示交流中，要求学生说出公式的合理性，进一步分析公式结构特征。

三、变式练习，运用公式。例1 运用平方差公式计算：

(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)(-x+2y)(-x-2y).(3)(b+2a)(2a－b);思考：你是如何运用平方差公式解决以上的问题？

在确定把哪个式子看成公式中“a”和“b”,应注意什么问题？要求学生板演解题过程，对比课本例题规范解题步骤和格式。

例2：八年级一班要订购一批校服，老师说：“我们班有98名学生，每套校服102元，谁能帮老师算一算，一共要准备多少钱？这个问题你会用我们今天学习的知识解决了吗？谁能以最快的速度计算出结果？说说你的算法。例3.计算：

（y+3）(y-3)-(y-2)(y-4)学生板演。

教师追问：计算（y+3）(y-3)与计算(y-2)(y-4)方法一样吗？说出你的理由。教师强调：只有符合平方差公式结构特征的多项式乘法才可以运用公式简化计算，不能乱用公式。

4、变式练习。

1、下列各式的计算对不对？如果不对，应该怎样修改？

（1）（x+4）(x-4)=x2-4

(2)(-2m-3)(2m-3)=4m2-9 学生回答，辨析平方差公式的结构特征：相同的项看成“a”，互为相反数的项成“b”.2、运用平方差公式计算。

（1）(a+3b)(a-3b)

(2)(3+2a)(2a-3)(3)1003×997

（4）（3x+4）(3x-4)-(2x+3)(3x-2)学生板演，暴露问题，相互纠错，熟练运用，掌握公式。3.拓展训练：

(x+y)(x-y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)引发思考，巧算激趣。

四、回顾反思，小结延伸.1、学生自主小结：这节课有哪些收获？

2、教师结合板书系统回顾：

①平方差公式：

用式子表示：

②运用平方差公式时，应注意以下几个问题：

(1)公式左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项

，另一项

；(2)公式右边是

项的平方减去

项的平方；(3)公式中的a和b可以是数，也可以是单项式或多项式； 3.质疑：以下的计算可以用平方差公式计算吗？（x+2）(x+2)（a+b）(a+b)【作业设计】

一、达标测试.1、下列运算正确的是：（）

A、（x+2）(x－2)=x2－2 B、(x+3y)(x－3y)=x2－3y2 C、(x+y)2=x2+y2

D、(-3a－2)(3a－2)=4－9a2

2、在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式的是：（）

A、(2a+b)(2a－b)

B、(2a+b)(b－2a)

C、(2a+b)(-2a－b)

D、(2a－b)(-2a－b)

3、(x+2)(x－2)(x2+4)的计算结果是：（）

A、x2+16

B、x4－16

C、x4－1

D、16－x4

4、（－2x－3y）（）=4x2－9y2

二、综合应用.用平方差公式计算：

1）(3x+2)(3x-2)

2）（b+2a）（2a-b）3）（-x+2y）（-x-2y）

4）（-m+n）(m+n）5)(-0.3x+y)(y+0.3x)

6）(-3a-2)(3a-2)

三、拓展探究.1.计算

篇3：解析法面积计算公式的探讨

1 图形顶点按顺时针编号的情况

1) 如图1所示, 五边形各顶点按顺时针编号, 各顶点坐标见图1, 按公式 (1) 计算图形面积见表1。

$S = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} (y_{i + 1} - y_{i - 1})$ 或

$S = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} y_{i} (x_{i - 1} - x_{i + 1})$ (1)

计算结果:用x坐标与y坐标增量 (递增情况) 计算得S=590 000 m2;用y坐标与x坐标增量 (递减情况) 计算得S=590 000 m2;检核计算正确。

2) 如图1所示, 同样的图形, 按公式 (2) 计算图形面积见表2。

$S = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} (y_{i - 1} - y_{i + 1})$ 或

$S = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} y_{i} (x_{i + 1} - x_{i - 1})$ (2)

计算结果:用x坐标与y坐标增量 (递减情况) 计算得S=590 000 m2;用y坐标与x坐标增量 (递增情况) 计算得S=590 000 m2;检核计算正确。

3) 如图1所示, 同样的图形, 按公式 (3) 计算图形面积见表3。

$S = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} (y_{i - 1} - y_{i + 1})$ 或

$S = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} y_{i} (x_{i - 1} - x_{i + 1})$ (3)

计算结果:用x坐标与y坐标增量 (递减情况) 计算得S=590 000 m2;用y坐标与x坐标增量 (递减情况) 计算得S=590 000 m2;检核计算正确。

4) 如图1所示, 同样的图形, 按公式 (4) 计算图形面积见表4。

$S = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} (y_{i + 1} - y_{i - 1})$ 或

$S = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} y_{i} (x_{i + 1} - x_{i - 1})$ (4)

计算结果:用x坐标与y坐标增量 (递增情况) 计算得S=590 000 m2;用y坐标与x坐标增量 (递增情况) 计算得S=590 000 m2;检核计算正确。

2 图形顶点按逆时针编号的情况

1) 如图2所示, 五边形各顶点按逆时针编号, 各顶点坐标见图2, 按公式 (1) 计算图形面积见表5。

计算结果:用x坐标与y坐标增量 (递增情况) 计算得S=590 000 m2;用y坐标与x坐标增量 (递减情况) 计算得S=590 000 m2;检核计算正确。

2) 如图2所示, 同样的图形, 按公式 (2) 计算图形面积见表6。

计算结果:用x坐标与y坐标增量 (递减情况) 计算得S=590 000 m2;用y坐标与x坐标增量 (递增情况) 计算得S=590 000 m2;检核计算正确。

3) 如图2所示, 同样的图形, 按公式 (3) 计算图形面积见表7。

计算结果:用x坐标与y坐标增量 (递减情况) 计算得S=590 000 m2;用y坐标与x坐标增量 (递减情况) 计算得S=590 000 m2;检核计算正确。

4) 如图2所示, 同样的图形, 按公式 (4) 计算图形面积见表8。

计算结果:用x坐标与y坐标增量 (递增情况) 计算得S=590 000 m2;用y坐标与x坐标增量 (递增情况) 计算得S=590 000 m2;检核计算正确。

3 结语

通过汇总表9可以看出, 对图形顶点2种不同方向编号, 4种不同计算公式进行探讨, 计算结果均相同。由此得出, 利用测量坐标计算图形面积与图形顶点编号方向无关, 与坐标同时递增、同时递减或一递增一递减无关的结论。这一结论对运用解析法计算面积提供了多种灵活公式, 大家不必死记第一种计算公式, 也不必死记其他公式, 只要编号确定, 按递增还是递减或一递增一递减计算, 结果都一样, 极大地帮助了大家理解公式, 解析法面积计算就显得更高效, 更准确了。

参考文献

[1]周建郑.工程测量[M].郑州:黄河水利出版社, 2006:8.

篇4：《运用公式法》测试题

1．给出下列多项式：① －x2－y2；② 2x2－4y2；③ （－m）2－（－n）2；④ a2－4b2；⑤ －144a2＋169b2；⑥ －x2＋2y2．其中能用平方差公式分解的有（）

A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个

2． 3x2－3y4分解因式的结果是（）

A． 3（x－y2）（x＋y2）B． 2x＋

4x2－

xy＋

C． 2x＋

4x2－

xy＋

D． 2x＋

4x2－

xy－

3．若n为任意整数，且（n＋11）2－n2的值总可以被k整除，则k等于（）

A． 11 B． 22C． 11或22D． 11的倍数

4．若a2＋ma＋＝a－

2，则m的值等于（）

A．－5 B． 3C．－1 D． 7或－1

5．把多项式x2y2＋xy＋分解因式，得到的结果是（）

A．不能进行分解 B． xy（xy＋1）＋

C． xy＋

2D．（4xy＋1）2

6．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（）

A． m＋1＋B．－x2＋2xy－y2C．－a2＋14ab＋49b2 D．－n＋1

7．给出下列多项式：①16x5－x；②（x－1）2－4（x－1）＋4；③（x＋1）2－4x（x＋1）＋4x2；④－4x2－1＋4x．分解因式后，各结果之间含有相同因式的是（）

A． ①② B． ②④ C． ①④ D． ②③

8．若9x2－kxy＋4y2是一个完全平方式，则k的值为（）

A． 6 B． ±6 C． 12D． ±12

二、填空题（每题3分，共27分）

9．分解因式：m3－4m＝．

10．若xn－yn分解因式的结果为（x2＋y2）（x＋y）（x－y），则n的值为．

11．分解因式：（x＋y）2－14（x＋y）＋49＝．

12．若多项式a2b2＋6ab＋A是完全平方式，则常数A＝．

13．已知x2－y2＝8，x－y＝4，则x＋y＝．

14．多项式x4－y4与x3y＋xy3的公因式为．

15．计算：5752×12－4252×12＝．

0．16×102－0．09×102＝．

2022＋202×196＋982＝．

16．若｜m＋3｜＋m2－mn＋n2＝0，则m＝，n＝．

17．已知x＋y＝1，则x2＋xy＋y2＝．

三、解答题（18题20分，19题10分，20题5分，21题6分，22题8分，共49分）

18．把下列各式分解因式．

（1） 16x2y2z2－9；（2）－2（m－n）2＋32；

（3） a2（x－y）＋b2（y－x）；（4） x5y5－2x3y3＋xy；

（5）（x2＋y2）2－4x2y2．

19. 利用简便方法计算．

（1） 142.52+132-42.52+67；

（2）．

20. 已知a+b=4，ab=.求a3b+2a2b2+ab3的值.

21. 58-1能被20至30之间的两个整数整除，求这两个数.

22. 已知a、b、c为三角形的三条边的长，且2（a2+b2+c2）-2ab-2bc－2ac＝0．试判断△ABC的形状，并说明理由．

四、附加题

23. 请试着说明：无论x、y为什么实数，x2y2-2xy+3的值都永远为正数.

篇5：运用公式法教学设计参考

●教学目标

教学知识点1.使学生会用完全平方公式分解因式.

2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.

能力训练要求在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.

情感与价值观要求通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力.

●教学重点：让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.

●教学难点：让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式.

●教学方法：观察—发现—运用法

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式.

Ⅱ.新课

1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的`特点.

完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2

倒写：a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.

左边的特点有(1)多项式是三项式;(2)其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式;(3)另一项是这两数或两式乘积的2倍.

右边的特点：这两数或两式和(差)的平方.

形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.

练一练

下列各式是不是完全平方式?

(1)a2-4a+4;(2)x2+4x+4y2;(3)4a2+2ab+b2;

(4)a2-ab+b2;(5)x2-6x-9;(6)a2+a+0.25.

2.例题讲解

例1、把下列完全平方式分解因式：

(1)x2+14x+49;(2)(m+n)2-6(m+n)+9.

例2、把下列各式分解因式：

(1)3ax2+6axy+3ay2;(2)-x2-4y2+4xy.

Ⅲ.课堂练习

1、P52随堂练习

2、补充练习

把下列各式分解因式：

(1)4a2-4ab+b2;(2)a2b2+8abc+16c2;(3)(x+y)2+6(x+y)+9;

(4)-+n2;(5)4(2a+b)2-12(2a+b)+9;(6)x2y-x4-

Ⅳ.课时小结

用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：

(1)要求多项式有三项.

(2)其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.

Ⅴ.课后作业习题2.5

●备课资料把下列各式分解因式

1、-4xy-4x2-y2;

2、3ab2+6a2b+3a3;

3、(s+t)2-10(s+t)+25;

4、0.25a2b2-abc+c2;

5、x2y-6xy+9y;

6、2x3y2-16x2y+32x;

7、16x5+8x3y2+xy4

篇6：《公式法因式分解》教学设计

永年县第八中学——胡平亮

一、教学内容：冀教版七年级数学第十一章公式法分解因式

二、教学目标：知识与技能

1、经历逆用平方差公式的过程．

2、会运用平方差公式，并能运用公式进行简单的分解因式．过程与方法

1、在逆用平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力．

2、培养学生观察、归纳、概括的能力．情感与价值观要求：

在分解过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美；让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦；培养学生敢于挑战；勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质。

三、教学重点：

利用平方差公式进行分解因式

四、教学难点：

领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性。

五、教学准备：

深研课标和教材，分析学情，制作课件

六、教学过程；

一、知识回顾

1、根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？

（1）、(2x-1)2=4x2-4x+1 否（2）、3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1)是（3）、4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y)否

2、把下列各式进行因式分解

（1）.a3b3-a2b-ab（2）(3x+y)(3x-y)（3）、（x+5)(x-5)

利用一组整式的乘法运算复习近平方差公式，为探究运用平方差公式进行分解因式打下基础。

二、导入新课：

你能把多项式：x2-

25、9x2-y2 分解因式吗？

利用一组运用平方差公式分解因式的习题，引导学生利用逆向思维去探究如何分解a²-b类的二次二项式。学生从对比整式的乘法去探索分解因式方法，可以感受到这种互逆 ²变形以及它们之间的联系。

三、探究与交流

a²-b²=

(a+b)(a-b)（1）用语言怎样叙述公式？（2）公式有什么结构特征？

（3）公式中的字母a、b可以表示什么？引导学生观察平方差公式的结构特征，学生在互动交流中，既形成了对知识的全面认识，又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。

判断：下列多项式能不能运用平方差公式分解因式？

(1)m2 －1(2)4m2 －9（3）(3)4m2+9（4）(4)x2 －25y +(5)－x2 －25y2(6)－x2 －25y2

通过这一组判断，使学生加深理解和掌握平方差公式的结构特征，既突出了重点，也培养了学生的应用意识。

四、体验新知：

（A）通过自学例1:

分解因式(1)25-16x2(2)9a2-1/4b2

引导学生得出分解因式的一般步骤，向学生渗透“化归”思想。要让学生明确：

（1）要先确定公式中的a和b；（2）学习规范的步骤书写。

（B）例

2、分解因式9(m+n)2-(m-n)2

例

3、分解因式2x3-8x

加深对平方差公式的理解，同时感知“整体”思想在分解因式中的应用。

五、尝试练习：（A）练习：把下列各式分解因式

（1）a2-16（2）64-b2

练习先由学生独立完成，然后通过小组交流，发现问题及时解决。学生在解决问题的过程中培养了应用意识，加强了知识落实，突出了重点。

（B）分解因式:（1）a2－82(2)16x2 －y2(3)y2 + 4x2(4)4k2 －25m+n2

例2在学生预习的前提下，由学生分析每一步的理由，明确：结果要化简；分解要彻底，体会其中的整体思想。然后练习（1）（2）两个同类型的题目。

例3由学生分析方法，明确：有公因式要先提公因式，再运用公式分解因式，体会综合应用的思想。然后练习（3）（4）两个同类型的题目。

学生在交流与实践中突破了难点。安排的习题题型不复杂，直接运用公式不超过两次，习题难易有梯度，满足不同层次的同学的需要。

六、当堂检测：

1：把下列各式分解因式：(1)16a2-9b2(2)9(a+b)2-4(a-b)2(3)(x+p)2-(x+q)2

2、利用因式分解计算：（1）2.882-1.882（2）782-22

2七、归纳小结

篇7：《14.3.2公式法》教学反思

在数学教学过程中，知识的传授不应只是教师单纯地讲解与学生简单的模仿，而应通过教学活动，让学生经历知识的形成与应用过程，从而使学生更好的理解知识的意义，掌握必要的技能，发展应用数学的意识，增强学好数学的愿望与信心。根据新课程标准要求和学生的起点能力，本节课的具体目标有两个：一个是会用完全平方公式分解因式，一个是会综合运用提取公因式法、公式法分解因式。

在新课引入的过程中，我以“问题情境——建立数学模型——解释、应用与拓展”的模式组织课堂教学。可以说，对新问题的引入，我是采取了由浅入深的方法，使学生对新知识不产生任何的畏惧感。接下来，通过例题的讲解、练习的巩固让学生逐步掌握了运用完全平方进行因式分解。整堂课教下来我觉得自己做的比较好的几点是:

1、突显特点。这节课的重点是运用完全平方公式分解因式，而完全平方式的判定是关键。所以我比较重视完全平方式特点分析，应用。尤其强调完全平方式标准模式的书写，这也是学生思维过程的暴露，有利于中等及中等以下学生对新知识的掌握,提高学生解题的准确率,对提高那些拐脚的偏理科的数学尖子生的表达能力也有好处。对以后灵活掌握用配方法解一元二次方程，求代数式最值等知识有正向迁移作用。有利于学生思维能力的发展。

2、课堂组织严密，无论是习题的设置还是语言的导入，努力做到了环环相扣，逐步深入，便于学生理解和接受。自主训练，我以先引导学生分析多项式特点，再让学生尝试分解因式的方式完成例题教学。对课本上的练习题放手让学生自己完成，体现了以教师为主导，以学生为主体，及时反馈，及时巩固教学方式。

3、及时归纳。根据学生认知特点，教学中我给予学生及时的多归纳，总结，使学生掌握一定的条理性和规律性，有利于学生的创新和发展。如完全平方式特

点形象概括（口诀记忆法，结构的对称美），因式分解步骤概括以及换元思想，配方法的提出。

4.能够恰当的使用激励性语言，帮助学生树立自信，激励学生踊跃发言。课堂气氛活跃，真正做到了“人人参与，主动思考，积极发言，大胆展示”，的课堂效果。

5、重视动态生成。教学中我发现学生们思维很活跃，接受能力比较强，我对例题教学作了及时调整，由师生合作完成改为先引导学生观察、分析多项式特点，再让学生自主完成解题过程。

6、根据学生的心理特点和实践认知水平，努力为他们创造成功的条件。在教学过程中采用类比、探索式教学，辅以讲练结合，师生互动，总而言之，努力营造出平等、轻松、活泼的教学氛围。从新课标评价理念出发，抓住学生语言、思想等方面的亮点给予帮助、鼓励、提高学生学数学，用数学的信心。

篇8：公式法教学设计

一、体现型

1. 设问形式：

“如何体现……”、“材料体现了……原理”等。

2. 公式：

考核的知识点+材料中对应的信息。

3. 思路：

观点和材料一一对应。

例如：2007年四川卷38 (2) ：结合材料二, 运用政治常识, 说明《物权法》的制定是如何体现了党的领导、人民当家做主和依法治国三者的统一。

4. 分析：

本题的设问显示了要求答题的范围：政治常识，题型：体现型，所以我们就运用公式“观点+材料”。

答案：(1)共产党高度重视立法工作，《物权法》的制定体现了党的领导。

(2)人民行使国家权利的最高机关是全国人民代表大会。《物权法》由全国人民代表大会制定，体现了人民当家做主。

(3)《物权法》按照立法程序制定，体现了依法治国的基本方略，可见《物权法》的制定体现了党的领导、人民当家做主和依法治国三者的统一。

二、认识型

1. 设问形式：

如何认识、如何看待，谈谈对某一现象的看法、分析某一现象、行为。

2. 公式：

是什么+为什么+怎么办。

3. 思路：

掌握解题的一般步骤。

第一步，说明是什么。即用简洁的语言概括材料中的现象。

第二步，分析为什么。这一部分一般包括两个方面，一方面是理论的原因或现实的原因，另一方面是现实的意义。若现象相对复杂，则要一分为二，分别从正面意义和反面危害加以讨论。

第三步，说明怎么做。即针对材料中涉及的问题提出做法，以及如何解决问题，包括两部分：理论做法和现实的做法。

例如：2006年重庆卷38 (1)：运用经济常识分析材料中的浪费行为。

4. 分析：

设问范围：经济常识，题型：认识型，适用公式：是什么+为什么+怎么办。

答案：(1)料中的浪费行为是不合理的消费行为。(是什么)

(2)生产决定消费，消费对生产具有反作用。不合理的消费不利于生产的发展;个人消费行为与社会利益紧密相关，我国资源相对短缺，要求建立资源节约型、环境友好型社会。(为什么，原因+意义或影响)

(3)我们必须树立正确的消费观，提倡适度消费，反对铺张浪费;提倡科学消费，反对不文明消费。(怎么做)

三、做法型

1. 公式：

主体+做法。

2. 思路：

这类题型一般是给定了主体是谁，如党、国家、政府、公民、企业、消费者等，这些主体应该怎么做，并且指定了要回答的某一方面的内容。但是如果没有明确主体，就要多角度分析，对应相关做法。

例如：2005年北京春招卷38 (3)：请从依法治国的角度，阐述如何推进政府信用建设。

3. 分析：

该题规定了范围：从政治常识依法治国的角度，题型：做法型，但是没有规定具体的主体，就应该分别从党、立法机关、司法机关、人民等角度来分析。

答案：(1)党要加强领导。

(2)立法机关要加强立法，使政府行为有法可依。

(3)司法机关严格执法，公正司法，做到违法必纠。

(4)完善法律监督机制，保证政府受到人民监督。

四、意义型

1. 公式：

主体意义+客体意义+双方意义。

2. 思路：

意义型的设问有积极作用、重要意义、政治经济意义等，需要找出意义的主体和客体，避免答非所问。

例如：2005年北京春招卷39 (7)：结合上述材料，说明我国与东盟建立自由贸易区的意义。

3. 分析：

题型：意义型，公式：主体意义+客体意义+双方意义，主体—我国(政治、经济意义)，客体—东盟，双方—中国和东盟，世界。(政治、经济)

答案：(1)有利于提高我国的国际地位，提升我国的对外开放的水平，促进我国经济的发展。(主体—我国，政治、经济意义)有利于促进中国与东盟的发展，有利于促进双方的团结合作。(双方的意义)

(2)有利于推进国际关系的民主化和建立国际新秩序，促进世界的和平、稳定与发展。(主体—世界，政治、经济方面意义)

五、图表题

1. 公式：

四读+三比。

2. 思路：四读。

(1)读表头、标题。规定图表的基本内容，告诉我们解题的方向。

(2)读图表内容。图表内容一般是由时间、项目及表现项目状况的数据构成，项目把各种数据按照一定的类别划分开来，按照一定的关系有序地进行排列。

(3)读注释。图表下的注释对图表起着补充作用，是图表式论述题的重要组成部分，注释对答题思路有提示作用，一般可以直接归纳和总结出答案。

(4)读设问。设问是命题者测试意图的直接体现，规定着答题的思路和方向，带有很强的指向性和限制性。读设问，一是要弄懂各问分别问的是什么，二是要弄懂各问之间的内在联系。

3. 三比：

(1)纵向比较。是对同一个项目内的数据进行比较。它反映的是一个事物自身变化的趋势。

(2)横向比较。是对两个以上项目的数据的比较。通过横向比较，可以发现两个不同事物在发展过程中的差异，加深对事物的认识，发现新问题。

(3)表间比较。如果是多个表格，要注意表与表之间的联系。经过细心的比较，抓住联系，会有新的观点。

例如：2007年四川卷39 (6)：表2反映了哪些经济现象?

分析：这题采用公式四读+三比很快就能得出答案。

(1)中俄、中韩贸易额都有增长，但增幅差异较大。

(2)中俄、中韩贸易产品结构不同，但都存在互补性。

(3)中俄、中韩都是对方重要的贸易伙伴。

六、分析、说明、评析型

这是近几年高考试题中最常见的题型之一。

1. 公式：

原理+材料+做法、意义或危害。

2. 思路：

(1)准确表述原理和方法论。

(2)原理要细化、分解，原理有几层，分析也要对应几层。

(3)要结合材料。

(4)分析这么做有什么意义和危害。

例如，2008年全国卷一39 (6)：我国是统一的多民族国家。用整体与部分辩证关系的原理，说明国家与民族自治地方的关系。

答案：整体与部分是客观事物普遍联系的一种形式。(原理)在我国，国家与民族自治地方的关系是整体与部分的关系。(材料)整体与部分不可分割、相互依存，(原理)各民族自治地方是国家不可分割的部分，在国家整体中发挥着积极的作用。(材料)整体与部分相互影响，国家作为整体在矛盾统一体中处于主导地位，(原理)国家强大了，民族自治地方将获得快速发展;作为部分的民族自治地方发展了，国家整体将更加强大。(材料)

篇9：用公式法分解因式的技巧

例1 （1）分解因式： -16x4+81y4；（2）-2xy-x2-y2。

解析（1）把两项的位置颠倒，便于利用平方差公式。

原式=81y4-16x4=(9y2 )2-(4x2 )2=(9y2+4x2 )(9y2-4x2)=(9y2+4x2)(3y+2x)(3y-2x) ；

（2）把-2xy置于中间并提取负号，便于利用完全平方差公式。

原式=-(x2+2xy+y2)=-(x+y)2。

二、提取因式后用公式

例2 分解因式：x3-4x=__________。

解析先提出公因式后，再套用平方差公式分解。

x3-4x=x(x2-4)=x(x+2)(x-2)。

三、去括号后用公式

例3 分解因式：(x+1)(x+2)+。

解析显然题目既没有公因式可提，也不能运用公式法因式分解，只能把(x+1)(x+2)展开后再分解因式。原式=x2+3x+2+=x2+2•x•+=（x+）2。

四、分组后用公式

例4 分解因式：1-x2+2xy-y2=_____________。

解析由于该题的多项式是四项，无法直接套用公式分解，因此可对其进行分组，使之符合公式的结构形式，可将后三项分为一组（能运用完全平方公式）。

1-x2+2xy-y2=1-(x2-2xy+y2 )=1-(x-y)2=(1+x-y)(1-x+y)。

五、系数变换后用公式

当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解。

例5 分解因式：(1)4x2-25y2; (2)4x2-12xy2+9y4。

解析观察所给的两个多项式的系数,不能直接利用公式,由于4、25、9都可以写成平方的形式，所以可以先将系数进行变换，然后再利用公式法分解。

(1) 4x2-25y2=(2x)2-(5y)2=(2x+5y)(2x-5y)。

(2) 4x2-12xy2+9y4=(2x)2-12xy2+(3y2)2=(2x-3y2)2。

六、添项后用公式

例6分解因式a4+4b4。

解原式＝（a4+4a2b2+4b4）-4a2b2＝（a2+2b2）2-(2ab）2

＝（a2+2b2+2ab）（a2+2b2-2ab）。

七、拆项后用公式

例7 分解因式x4-7x2+1。

解原式＝(x4+2x2+1)-9x2＝(x2+1)2-(3x)2＝(x2+3x+1)(x2-3x+1)。

八、换元后用公式

例8 分解因式x3 + x2-2004×2005x。

解析此题若按照一般思路解答，很难奏效。注意到2003、2004两个数字之间的关系，把其中一个常数换元。比如，设m=2004，则2005=m+1。于是，原式变形为

x3 + x2-2004×2005x= x2(x+1)-m(m+1)x= x[x(x+1)-m(m+1)]

= x(x2+x-m2-m)= x[(x2 -m2) +(x-m)]= x[(x+m) (x-m)+(x-m)]

篇10：公式法教学设计

九年级数学《公式法》的个人教学反思

今天学习了《公式法》，这节课主要学习目标是教学生运用公式法解一元二次方程。这节课的教学程序是：先让学生运用上节课配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）得到一元二次方程的求根公式。然后让学生运用求根公式进行相应的练习。这节课在九一讲时就是先推公式再练习，学生演板老师纠错。二班主要根据导学案一个一个讲。出现的`问题是，一班因演板学生计算速度太慢导致没讲完应用题，二班学生老师讲的太多没讲完。在演板过程中，一班出现错误有：学生在运用求根公式中没有化成一半时就开始找a、b、c得值；结果中出现根号的学生不会开，最终结果中没有化简。最后老师应注意讲课时在学生学完例题时或在练习过程中总结出运用求根公式解一元二次方程步骤，这样更方便学生规范解题。