离散数学一单元

2024-04-21

离散数学一单元（共8篇）

篇1：离散数学一单元

注：离散数学有单选（1’*15），多选（2’*5），简答（2.5’*4），演算（7’*5），推理和证明题（10’*3）

一单元测试题

1.将下列命题翻译成符号逻辑形式

（1）银行利率一降低，股价随之上扬。

（2）尽管银行利率降低，股价却没有上升。

（3）占据空间的、有质量而且不断变化的对象称为物质

（4）如果一个整数能背6整出，那么它就能被2或3整除。如果一个整数能被3整

除，那么它的各位数字之和也能被3整除。

2.判断下面各语句是否是命题，如果是命题，说出它的真值。

（1）可导的实函数都是连续函数。

（2）凡是都有例外。

（3）白天比夜晚时间长

（4）两个三角形全等当且仅当它们的对应角相等。

3.简述命题的定义。

4.简述原子命题的定义。

5.下列公式中，（）不是永真式。（单选，写清楚每个属于什么公式）

A.(P∧Q)→QB.P→(P∨Q)

C．（P→Q）↔（~Q→~P）D.(~P∨Q)∧(~(~P∨~Q))

5.下列语句，是命题的有（）（多选）

1）美国的首都是纽约。2）你喜欢日本吗？3）我们一定要解放台湾！

4）所有实数都是整数。3）如果3>2，那么有人不死。

6.构造公式的真值表，判断哪些是永真式，矛盾式，和可满足式

（1）(P→(Q→R))↔((P∧Q)→R)

（2）(P∧(P∧Q))↔~P

（3）~（P∨Q）→R

7.如果P∨QQ∨R，能否判断PR？如果P∧QR∧Q,能否判断PR？如果~P~R能否判断PR。

8．判断下面等式是否是等价式：P→（Q∨R）（P→Q）∨（P→R）

9．求下列两式的对偶式

（1）（P∧~Q）∨（R∧T）∨F

（2）~（P∨~（Q∨R））∧（R∧~Q）

10．分别利用真值表法和等价变换法求下列公式的主合取范式及主析取范式。

（1）P→（R∧（Q→P））

（2）（P→（Q∧R））∧（~P→（~Q∧~R））

11．证明（P→Q）∧（Q→R）P→R

12．证明R→S是{P→（Q→S），~R∨P，Q}的逻辑结果（使用直接法，CP规则法，和反证法）

13．求公式（P→（R∨P））∧（Q ↔P）的主合取范式和主析取范式。

14．利用消解法证明P→（Q→S）,~R∨P,QR→S；

篇2：离散数学一单元

离散数学单元测试试题一

(适用于2014级计算机科学与技术、软件工程、网络工程专业本科学生)

一、选择题(共10题，每题3分，共30分)1.下列语句中为命题的是（D)。A.这朵花是谁的？ B.这朵花真美丽啊！C.这朵花是你的吗？ D.这朵花是他的。

2.若p：他聪明；q：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为(B)。A.p∨q

B.p∧┐q

C.p→┐q

D.p∨┐q 3.命题公式p∨q→q的公式类型为（D)。A.矛盾式 B.非重言可满足式 C.重言式

D.条件式

4.若F(x)：x是有理数，G(x)：x能被2整除，则“有的有理数能被2整除”，可符号化为（A)。

A.x(F(x)∧G(x))

B.F(x)∧G(x)

C.xF(x)

D.xG(x)5.设F(x)表示x是火车，G(x)表示y是汽车，H(x，y)表示x比y快，命题“某些汽车比所有火车慢”的符号化公式是（B)。

A.y(G(y)→x(F(x)∧H(x,y)))B.y(G(y)∧x(F(x)→H(x,y)))C.xy(G(y)→(F(x)∧H(x,y)))D.y(G(y)→(x)(F(x)→H(x,y)))6．设集合A={1,2,3},A上的关系R={<1,2>,<1,3>,<3,3>},则R具有(D)。A.自反性 B.传递性 C.对称性 D.以上答案都不对

######7.谓词公式x(P(x)∨yR(y))→Q(x)中的 x是(C)。A.自由变元 B.约束变元

C.既是自由变元又是约束变元 D.既不是自由变元又不是约束变元

8.设X、Y是两个集合且|X|＝n，|Y|＝m，则从X到Y可产生(A)个二元关系。A.n  m B.mn

C.2n m D.nm 9.下列关于集合的表示中正确的为(C)。A.{a}{a,b,c} B.{a}{a,b,c}

C.{a,b,c} D.{a,b}{a,b,c} 10．设集合A={1,2,3,4,5},下列哪些是集合A的划分(D)。A.{{1,2},{3,5}}

B.{{1,2,3,4},5} C.{ ,{1,2},{3},{4,5}} D.{{1},{2},{3},{4},{5}}

二、填空题(共10空，每空3分，共30分)1.设p：2＋2＝5，q：明天是阴天，则命题“只要2＋2＝5，那么明天是阴天”可符号化为 p->q，其真值是 1。

2.设p:你陪伴我，q:你代我叫车子，r:我出去，则“如果你不陪伴我或不代我叫车子,我就不出去。”的符号化形式为 ¬p/¬q->r。

3.设p: 天下雨，q: 天刮风，r: 我去书店，则“如果天不下雨并且不刮风，我就去书店”的符号化形式为。

4.设S(x)∶x是大学生；K(x)∶x是运动员。则“有些运动员不是大学生”的符号化为。

5.设P(x)：x非常聪明；Q(x):x非常能干；a：小李；则“小李非常聪明且能干”的符号化形式为。

6.设F(x): x是人，G(x): x用右手写字，则“有的人并不用右手写字”的符号化形式为。

7.设S(x)：x是学生；L(x)：x喜欢英语。则“有些学生喜欢英语”的符号化为：。8.在公式x(P(z)→Q(x,z))∧zR(x,z)中，x的辖域是

，z的辖域是。

三、计算与证明(共2题，每题20分，共40分)1.用等值演算求下公式的主析取范式(p→q)∧r。

2.在命题逻辑自然推理系统中，构造下面推理的证明。前提： p∨q, q→r, p→s, ┐s，结论：r ∧

篇3：基于离散单元法的沥青混合料研究

1 沥青混合料三维模型

1.1 级配球单元

沥青混合料中集料为不规则的多面体,由于计算机运算能力及多面体的接触判断分析还比较困难[2],而且研究表明材料的宏观特性诸如变形、应力等可以通过调整颗粒的密实度与界面弹簧的变形与强度特性,由刚性颗粒间的滑移、分离以及颗粒转动来获得较好的近似,无需精确模拟颗粒自身的变形[3]。下面以AC16为例说明集料与级配球单元的转化关系。

$\overset{—}{R}_{i} = R_{i - 1} + R_{i}$ (1)

假设19.0,…,2.36,1.18号筛对应i=1,…,6,7,则单元的体积为:

$V_{i} = \frac{4}{3} π R_{i}^{3} (i = 1, 2, \dots ‚ 7)$ (2)

由表1知集料的质量剩余率为P1=0,P2=5,P3=11,P4=14,P5=22,P6=14,P7=9.5,第i号筛剩余集料单元的个数可以表示为: $Ρ_{i} / (ρ \overset{—}{V}_{i})$ ,总的单元个数为: $\sum_{i = 2}^{7} Ρ_{i} / (ρ \overset{—}{V}_{i})$ ,若生成的球单元总的个数为N*,则第i号筛剩余集料单元的个数可以表示为:

$Ν_{i} = a b s (\frac{Ν^{*} \cdot Ρ_{i} / (ρ \overset{—}{V}_{i})}{\sum_{i = 2}^{7} Ρ_{i} / (ρ \overset{—}{V}_{i})}) = a b s (\frac{Ν^{*} \cdot Ρ_{i} / \overset{—}{V}_{i}}{\sum_{i = 2}^{7} Ρ_{i} / \overset{—}{V}_{i}})$ (3)

若生成1 000个球单元,其单元个数如表1所示。

1.2 模型建立

为了给球单元设定生成边界并且在模型模拟实验中给球单元施加约束力,本文创建了墙单元——圆柱壁面和正方形壁面,在墙单元内部随机生成球单元,根据沥青混合料胶浆理论及离散单元法中的本构关系,在球单元间设置平行粘结模型模拟沥青胶浆的作用。球单元间发生相对运动时,弹簧间可以承受力和力矩。

通过施加一定的速度给上底墙单元采用控制空隙率的方法成型模型,模型成型后设置墙体单元的速度为零,经过一定步长的循环消除球单元间的不平衡力。成型后模型如图1所示。

2 模型抗压强度实验

根据T0713-2000公路工程沥青及沥青混合料实验规程中沥青混合料单轴压缩试验(圆柱体法)的试验方法[4],通过给上底墙单元一定的速度压缩模型模拟试验中的轴向力,此时要反复调整上下墙单元的速度及墙单元的刚度;当墙单元刚度过大时,球单元不易穿透墙单元,当墙单元速度过小时,计算模型的效率过低。反复调整墙单元的刚度及速度,当模型的空隙率为0.30时[5],球单元从墙体中穿出,认为模型承受的荷载达到最大的轴向应力,此时模型已破坏。监测模型的抗压强度如图2所示。

根据模型抗压强度实验中求得的最大轴向应力,将其分为10级荷载,分别取0.1σ,…,0.7σ七级荷载作为模拟实验的荷载。给上底墙单元施加一定的速度并通过一定的迭代循环给模型加载到第一级荷载,并以相同的速度循环卸载回零,循环一定的次数,监控加载第一级荷载时模型的轴向应变(ΔL1),依次进行第1,…,7级荷载的加卸载过程。

依据公式:

$E_{s} = \frac{σ_{5}}{Δ L_{5}}$ (4)

其中,σ5,ΔL5分别为第五级荷载下的轴向应力及相应的应变,由实验室测得沥青混合料的回弹模量一般在195 MPa～1 917.4 MPa之间[6],本文由离散元模型模拟测得模型回弹模量Es=1 625 MPa,故本文建立的模型比较符合实际。

3 结语

1)通过沥青混合料与模型球单元间转化可以控制模型中不同球单元的大小及体积,可以较好的对不同级配的沥青混合料进行模拟,而且模型较接近实际情况[2]。

2)由于模型开始破坏时只是个别球单元从墙单元穿出,破坏不易监控,又因为模型中球单元只是模拟粗集料,故可以采用控制模型空隙率作为模型成型及模型破坏的判断标准。

参考文献

[1]W.G.B.Z.You.Discrete Element Modeling to Predict the Mod-ulus of Asphalt Concrete Mixtures[J].Journal of Materials inCivil Engineering,2004,16(2):140-145.

[2]周长红.沥青混合料非连续力学计算模型的研究[D].大连:大连理工大学,2008.

[3]张楚汉,金风.岩土和混凝土离散—接触—断裂分析[M].北京:清华大学出版社,2008.

[4]JIG E20-2011,公路工程沥青及沥青混合料实验规程[S].

[5]刘玉.沥青混合料细观结构模型的离散单元数值模拟[D].郑州:河南工业大学,2005.

篇4：离散数学一单元

摘要：滑坡是我国山区城镇建设中危害较大的一种地质灾害，本文在综合分析滑坡危险范围预测方法的基础上，提出了离散单元法的滑坡危险范围的预测方法，并结合实例进行分析，利用离散元软件模拟滑坡运动过程，进一步确定滑坡影响范围。

关键词：滑坡；离散单元法；危险范围；数值模拟

1 选题背景

滑坡是我国一种常见的地质灾害，因其具有突发性、隐蔽性、分布范围广等特点，每年都造成了数以亿计的财产损失，严重地制约着我国经济的可持续发展和建设和谐社会。受到极端天气、复杂的地形地貌、脆弱的地质环境等因素的影响，加上日益加剧的人类工程活动，我国近年来大型滑坡灾害发生的频率和规模呈现明显的上升趋势[1]。针对滑坡的危险范围开展预测分析一直是滑坡研究中的热点和难点问题，此项工作也对滑坡防灾减灾工作有着重要的积极意义。

2 离散单元法

离散单元法（Discrete Element Method，DEM）于1971年由P.Cundall提出，并于20世紀80年代中期引入我国。目前，在地质、水利、交通、隧道、采矿工程中得到了较为广泛的应用。最初发展的离散单元法仅限于刚性块体，20世纪70年代末期，人们开始将块体考虑成可变形的，其中有Cundall（1978）的SDE方法，即简单变形单元。它是很实用的，并在UDEC及改进的SDEM程序中使用，这种方法进一步发展成为以显式有限差分方程为基础的完全变形单元（Fully Deformable Distinct Element）。完全变形单元是基于有限单元法的思想提出的（J.Ghaboussi，1988），每个块体用三个四边形有限单元来模拟，其分析方法类似于一个标准的非线性有限单元分析。它与有限单元法的主要区别在于用相邻块体的接触模型代替相邻单元的连续条件。至此，离散单元法基本上具备了有限单元法及有限差分法的主要优点，而又能分析块体的运动[2]。因此，得到了岩土界的广泛应用[3] [4] [5] [6]。

3 滑坡实例研究

3.1滑坡特征

该滑坡位于大金河左岸，紧邻大金河与大渡河交汇处，滑坡前缘高程约1860m，坡体后缘高程约2235m，高差约375m。滑坡体为典型的圈椅状地形，顺河向长度约460m，垂直河向长度约760m。根据钻探及探槽揭露，滑坡体纵向上呈中间后，前缘及后缘薄的厚度特征，滑坡体中部最大厚度约65m，整个滑坡体平均厚度约30m，整个方量约480万立方，根据相关规范，该滑坡属于深厚堆积层滑坡。

根据钻探以及野外实地调查，滑坡体主要物质组成为碎块石土，成因为后缘崩塌及滑坡堆积物，块石间具有明显架空特征，钻探时常出现掉钻、漏浆等现象。滑床为志留系茂县群岩组石榴二英片岩。滑面为堆积体-基岩界面，滑带土为灰黑色碎石角砾。

该滑坡变形迹象非常显著，主要集中在滑坡体前缘N侧，，滑坡体前缘房屋、街道路面、简易挡墙等多处构筑物均出现明显的受损破坏，滑坡前缘老红军桥也出现强烈的挤压变形迹象，桥面已多处隆起，最大隆起量可达1m[7]。

3.2离散单元法在滑坡危害范围评价预测中的应用

本文提出利用离散单元法来针对滑坡失稳、运动及停止堆积整个过程进行数值模拟，最终得出滑坡的危害范围。结合工程实例，建立离散单元模型，该模型长度约1270m，高约520m，共计53752个离散单元：根据离散元数值模拟结果，该滑坡失稳后，将沿坡体前缘滑面剪出，并向前缘推移，经过加速运动过程后，滑体速度降低并最终停止。通过数值模拟，并结合滑坡侧缘边界的野外调查，该滑坡失稳后影响范围约0.29km2，并对前缘大金河有推挤压迫的影响。

4. 结论

1. 滑坡灾害在我国呈高发、频发的态势，并给人民群众的生命以及财产安全带来了严重威胁，针对滑坡的危险范围进行预测分析对滑坡防灾减灾工作有着重要的积极意义。

2. 离散单元法利用相邻块体的接触模型代替相邻单元的连续条件，是分析滑坡大变形、块体运动的有力工具。

3. 在暴雨工况下，滑坡体失稳后其前缘及两侧共计0.29 km2为直接危险范围，并且，根据数值模拟结果，滑坡体对前缘主河大金河有可能造成局部堵塞。

滑坡是我国主要地质灾害类型，针对滑坡的危险范围进行分析预测是防灾减灾中有效的一项工作。本文提出利用离散元数值模拟方法应用于滑坡危险范围预测研究中，通过结合实例，进行滑坡失稳、运移、停止堆积整个动力过程的模拟仿真，结果科学直观，此技术方法及分析思路可推广应用于其他滑坡危险性评价中。

参考文献

[1] 肖进.重大滑坡灾害应急处置理论与实践[D]. 成都理工大学， 2009： 1-2.

[2] 刘汉东等编著.岩土工程数值计算方法.黄河水利出版社，2011.10.71-73.

[3] 卓家寿. 离散单元法的基本原理、方法及应用[J]. 河海科技进展， 1993， 6： 1-11.

[4] 吴勇，李自停. 四川省溪口滑坡运动特征的离散元模拟[J]. 山地研究， 1997， 3： 197-200.

[5] 王泳嘉，刑纪波. 离散单元法同拉格朗日元法及其在岩土力学中的应用[J]. 岩土力学， 1995， 6： 1-14.

[6] 尚岳全等. 工程地质研究中的数值分析方法[M]. 成都：成都科技大学出版杜， 1991： 207-228

篇5：离散数学一单元

第一章集合

１．分别用穷举法，描述法写出下列集合（１）偶数集合

（２）36的正因子集合（３）自然数中3的倍数（４）大于１的正奇数

(1)E={，-6，-4，-2，0，2，4，6，}

={2 i | i I }

(2)D= { 1, 2, 3, 4, 6, } = {x>o | x|36 }

(3)N3= { 3, 6, 9, ```} = { 3n | nN }

(4)Ad= {3, 5, 7, 9, ```} = { 2n+1 | nN }

２．确定下列结论正确与否（１）φφ

×（２）φ｛φ｝√（３）φφ√（４）φ｛φ｝√（５）φ｛ａ｝×（６）φ｛ａ｝√

（７）｛ａ，ｂ｝｛ａ，ｂ，ｃ，｛ａ，ｂ，ｃ｝｝×（８）｛ａ，ｂ｝｛ａ，ｂ，ｃ，｛ａ，ｂ，ｃ｝｝√（９）｛ａ，ｂ｝｛ａ，ｂ，｛｛ａ，ｂ｝｝｝×（１０）｛ａ，ｂ｝｛ａ，ｂ，｛｛ａ，ｂ｝｝｝√

３．写出下列集合的幂集（１）｛｛ａ｝｝

{φ, {{ a }}}

(2)φ

{φ}（３）｛φ，｛φ｝｝

{φ, {φ}, {{φ}}, {φ,{φ}} }（４）｛φ，ａ，｛ａ，ｂ｝｝

{φ, {a}, {{a,b }}, {φ}, {φ, a }, {φ, {a,b }}，{a, {a b }}, {φ,a,{ a, b }} }（５）Ｐ（Ｐ（φ））

{φ, {φ}, {{φ}}, {φ,{φ}} }

４．对任意集合Ａ，Ｂ，Ｃ，确定下列结论的正确与否（１）若ＡＢ，且ＢＣ，则ＡＣ√（２）若ＡＢ，且ＢＣ，则ＡＣ×（３）若ＡＢ，且ＢＣ，则ＡＣ×（４）若ＡＢ，且ＢＣ，则ＡＣ ×

５．对任意集合Ａ，Ｂ，Ｃ，证明

(1)A(BC)(AB)(AC)左差A(BC)差A(BC)D.MA(BC)

分配(AB)(AC)右(2)A(BC)(AB)(AC)1)左差A(BC)(1)的结论(AB)(AC)差(AB)(AC)右

2)左差A(BC)D.MA(BC)分配(AB)(AC)差(AB)(AC)右(3)A(BC)(AB)(AC)左差A(BC)D.MA(BC)幂等(AA)(BC)

结合,交换(AB)(AC)右(4)(AB)BAB 左差(AB)B对称差((AB)B)((AB)B)

分配,结合((AB)(BB))(A(B)B))

互补((AB)U)(A)

零一

(AB)(AB)右(5)(AB)CA(BC)左差(AB)C结合A(BC)

D.MA(BC)差A(BC)(6)(AB)C(AC)B左差(AB)C结合A(BC)交换A(CB)结合(AC)B

差(AC)B右(7)(AB)C(AC)(BC)右(5)A(C(BC))差A(C(BC))分配A((CB)(CC))互补A((CB)U)

零一A(CB)交换A(BC)(5)(AB)C左

６．问在什么条件下，集合Ａ，Ｂ，Ｃ满足下列等式

(1)A(BC)(AB)C左(AB)(AC)右若要右左,须CA(BC)，CA时等式成立

(2)ABA左右是显然的,AABAB,AB，AB时等式成立

(3)ABBABB,BB,B,代入原式得A，AB时等式成立

(4)ABBAABBA,只能AB,AB, BA,BA,AB时等式成立

(5)ABAB,若B,bB，当bA,bABA矛盾;当bA,bABA矛盾

(6)ABAB右左是显然的,ABAB,AAB,ABBAB,BAABAB时等式成立

(7)(AB)(AC)A左(AB)(AC)A(BC)A(BC)A(BC)A

ABC时等式成立

(8)(AB)(AC)左(AB)(AC)A(BC)A(BC)A(BC)

A(BC),AB,AC时等式成立

(9)(AB)(AC)左(AB)(AC)A(BC)A(BC)A(BC)

A(BC)时等式成立

(10)(AB)(AC)((AB)(AC))((AB)(AC))(AB)(AC)(AB)(AC)

由(6)知,(AB)(AC),ABAC,ABAC时等式成立

(11)A(BA)BA(BA)(AB)(AA)(AB)U(AB)B

AB时等式成立

７．设Ａ＝｛ａ，ｂ，｛ａ，ｂ｝，｝，求下列各式（１）φ∩｛φ｝=φ（２）｛φ｝∩｛φ｝={φ} （３）｛φ，｛φ｝｝－φ={φ,{φ}}（４）｛φ，｛φ｝｝－｛φ｝= {{φ}}（５）｛φ，｛φ｝｝－｛｛φ｝｝={φ}（６）Ａ－｛ａ，ｂ｝={{a,b}, φ}（７）Ａ－φ = A（８）Ａ－｛φ｝={a,b,{a,b}}（９）φ－Ａ=φ（１０）｛φ｝－Ａ=φ

８．在下列条件下，一定有Ｂ＝Ｃ吗？（１）ABAC

否，例：A={1，2，3}，B={4}，C={3,4}, ABAC{1,2,3,4},而BC。

（２）ABAC

否，例：A={1，2，3}，B={2，3}，C={2，3，4} ABAC{2,3},而BC。

（３）ABAC

对,若BC,不妨,aB,aC,若aA,aAB,aAB,aAB,aAC,aAC,aAC;若aA,aAB,aAB,aAB,aAC,aAC,aAC矛盾（４）ABAC且ABAC

bB,若bA,bABAC,bC,若bA,bABAC,bC，BC,同理,CB,BC

9.(1)(AB)(BC)AB

证:a左,a(BC),aB,aB;a(AB),而aB,aA,aAB

(2)若A(BC)且B(AC),则B。

若B,aB(AC)(AC),aA(BC),aC,aB即aB,矛盾

10．化简

((ABC)(AB))((A(BC))A)(AB)A(AB)A

(AA)(BA)(BA)BA11.设A={2，3，4}，B={1，2}，C={4，5，6}，求（１）AB{1, 3, 4} （２）ABC{1,3,5,6}（３）(AB)(BC){2,3,5,6}

12.设A={1，2，3，4}，B={1，2，5}，求

(1)P(A)P(B){φ,{1},{2},{1,2}}

(2)P(A)P(B)

{φ,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}, {1,2,3,},{1,2,4,},{1,3,4,},{2,3,4},{1,2,3,4,},{5},{1,5}, {2,5},{1,2} }

(3)P(A)P(B)

{ {3},{4},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}，{2,3,4},{1,2,3,4} }

(4)P(A)P(B)

篇6：一年级数学《单元练习一》教案

教学内容

教科书练习一1~5—8题

教学目标：

能熟练地掌握100以内数的组成、并能正确地进行读写、

教学过程：

一、复习、

1、口答：

1)7个十和4个一合起来是、

2)10个十是(，9个十是()、

3)一个数，个位上是6，十位上是7，这个数是()、

2、揭示课题：

刚才我们复习了一组题，今天这一堂我们将来做一做练习，复习一下有关的知识、

二、练习、

1、练习一8

(1)学生独立完成，老师巡视，了解学生掌握情况、

(2)集体交流，重点交流第3题，这是一道开放题，组织学生交流各人所填的数、

三、作业布置、

<<练习与测试>>练习一(1)

四、教学后记：

第九课时：练习一(2)

第二周星期五第三节——、02——、28

教学内容：

教科书练习一6~14题

教学目标：

能熟练地掌握100以内数的比较大小的方法、熟练地口算整十数加减整十数，整十数加一位数和相应的减法、

教学过程：

一、复习、

1、口算：

2+80=6+80=54—50=

39—3=90—30=89—9=

77—70=60+6=70—50=

独立完成，集体订正、

2、揭示课题：

今天我们继续来上一节练习课，复习一下数的`比较大小和口算加、减法、

二、练习、

1、练习一6、

出示图：

提问：

1)一共有多少人去旅游

2)每辆汽车分别有多少座?

3)他们坐哪辆汽车比较适合?为什么选(40座)

2、练习一7

1)出示第7题、

2)提问：

a、一年级有多少人?

b、二年级人数和一年级差不多，“差不多”是什么意思?

3)二年级可能有多少人?学生独立选择答案，交流结果、为什么选“82”人?

3、练习一9

1)读出题中所给的5个数、

2)从小到大的顺序是什么意思?

3)学生独立排列，老师巡视，辅导有困难的学生，集体订正、

4、练习一10

1)独立口算，同桌互相检查、

2)观察每组的四道题，上下两题、左右两题有什么不同、

5、练习一11

独立口算，集体订正、

6、练习一12

出示一小题，老师讲解，其它独立完成、

7、练习一13、14、

1)了解图意、

2)提问：图中告诉我们什么?求什么?

3)学生独立列式计算，交流结果、

三、布置作业、

篇7：一年级第一单元第二单元数学教案

第一课时数一数

总第1课时教学目标

1、通过数数活动，初步了解学生的数数情况，使学生初步学会数数的方法。

2、帮助学生了解学校生活，激发学生学习数学的兴趣。

3、渗透思想品德教育。教具准备

1～l0各数的数字卡片l 0张。教学重点：数数的方法

教学难点：学会观察图片的方法；用正确的方法表达物体的个数

一、引入谈话

师：小朋友，你们已是一年级学生了。这一节，我们上的是数学课，师：数学课要学什么本领呢?它要学的知识可多呢！

二、新授

１、教学“学校开学图”。

出示放大图。(指着挂图向学生讲解)大家仔细观察，这幅图里都画了些什么?

(1)同桌之间互相说一说。(2)指明学生说一说。

(3)问：图上有几座房子?有几面红旗? 师：一座房子，一面红旗都是1件东西。问：找一找还有什么的数量是1的？

(板书“l”，全班同学读两遍。)(4)问：有几个同学向老师行礼?(2个同学)有几个同学跳绳?(2个同学)问：图里还有什么数量是2? 小结：2个同学向老师行礼，2个同学在跳绳，2个同学进学校„„，它们的数量都是2。

(板书“2”，全班跟读两遍。)(5)问：谁能说一说有几个小朋友踢足球? 问：图中还有哪些数量是3的? 小结：3个同学踢足球，3朵红花，3朵黄花，它们的数量都是3。请注意“3”的样子。

(板书“3”，全班读两遍)(6)问：谁能说一说用哪个数字来表示垃圾桶有几个?(7)问：谁知道4数完以后该数几？(老师板书“5”)问：图上还有什么数量是5的?(8)问：谁能说出数5以后是数几呢?(9)师：空中有7只飞鸟，就用7表示。(板书“7”，跟读两遍)(10)问：7是在什么数的后面?(在6的后面)数完7以后数几呢？(板书“8”)(11)师：数完8后数什么数呢?（板书“9”，跟读两遍）

请找出表示9的物体来。(图上有9个女同学)(12)问：请数一数图中有多少个男同学?(板书“10”，读两遍，齐读从1数到10。)小结：这幅图帮助我们认识了1—10的各个数。这幅图我们书上也有，就在课本的第2、3页上，(打开书)找一找课本的“2”，“3”在哪里?

2、数一数、找一找教室里有哪些实物的个数可以用我们刚才所学的1—10来表示。3、10个数字与图形搭配。

(4)用同样的方法认识7、8、9、10及图形。

(5)小结：数数首先要认清数数的对象，然后按照一定的顺序一个一个地数。

三、巩固新知

1、让学生数数身边的事物（门窗、电风扇、日光灯等）

2、完成课后作业

三、课堂总结

今天是小朋友们第一天上数学课，大家都很认真听讲，值得表扬。希望下节数学课的时候，大家勇敢一点，举起你们的小手，回答问题好吗？

第二课时

比多少

第2课时

教学目标

1、使学生初步知道“同样多”“多”“少”的含义，会用一一对应的方法比较物体的多少。

2、初步培养学生的动手操作能力。

3、培养学生互相合作精神以及用数学的意识。教学重难点：能正确的比较出物体个数的多少教具准备

主题图学具准备

三角形、圆片、小花等学具。教学过程

一、故事导入

《小猪帮助小兔子盖房子》

二、新授

1、出示主题图。让学生仔细观察:图上画的是什么?

2、师：这一天，河里的小鱼在水里游来游去。咦，那边为什么这么热闹？原来是热心的小猪们正在帮小白兔盖房子。房子旁边的桌子上摆满了好吃的东西，这肯定是热情好客的小兔子们用来招待小猪们的。

3、教学“同样多”。(1)有几只小猪?几只小兔? 小兔子们正在干什么? 1只小兔搬了几块砖?(出示兔子和砖一一对应图)那4只兔子共搬了几块砖? 有多余的兔子吗? 有多余的砖吗? 师:没有多余的兔子,也没有多余的砖,那我们就说兔子的只数和砖的块数同样多。（板书：同样多）

(2)找一找,图上还有什么和什么同样多?(3)小组交流,指名反馈。

4、教学“多”“少”。

(1)找一找，图上有不一样多的两样东西吗？

学生说，教师现场板书,并适机提问:谁多？谁少？

5、刚才我们知道了“同样多”“多”“少”，那你们知道图上还有什么东西可以比吗？课间活动

三、动手摆一摆

（1）教师在黑板上画小花、三角形、圆形，摆一摆，让学生比多少（教师强调一个对着一个摆。）

学生同桌互相说：橡皮和铅笔同样多(2)学生随意摆学具个数。

数一数自己的学具,再和同桌比一比，看看谁多？谁少？在小组内比一比。

四、练习

完成练习一的第3题、第4题。

五、发散练习

利用今天学习的知识,看一看,比一比教室里的物体,你发现了什么?

第二单元位置

第一课时认识上下和前后

总第3课时

教学目标

1、通过观察让学生初步理解上下、前后的方位，并能应用于实际生活。2．培养学生初步的空间方位感。教具准备

教材第9页例题的挂图。教学重难点：正确的认识方位教学过程

一、新授

1．出示教科书P9的图，教师介绍南京长江大桥的结构，引导学生观察：(1)图上有什么?(2)你能用一句话描述这幅图吗? 学生自由发挥，各抒己见。根据学生的发言，教师和学生共同总结出：卡车在火车的上面，火车在卡车的下面。指出上面和下面是两种相对的位置关系。并让学生思考：

①卡车在轮船的（）面。

②轮船在火车的（）面。

③卡车的下面有什么? 同桌互相说，再请个别同学上台说。

（3）完成书本第9页的“做一做”的第一题，让学生自由操作，摆好后互相说一说什么在什么的上面，什么在什么的下面，懂得区分上下方位关系。

2．教师指出生活中除了上、下这两种方位以外还有其他的方位，出示教科书P9的图，请学生观察：

(1)用自己的话描述一下图上画了什么?(2)找一找图上有哪些位置关系? 并回答：

①李林在王英的（）面，王英在李林的（）面。

②张宁在李林的（）面，王英在张宁的（）面。

学生讨论并重点叙述王英的位置关系(对李林来说，王英在李林的后面；对张宁来说，王英在张宁的前面)。

教师小结：指出前、后与上、下一样，都是具有相互关系的方位词，因此它们都不能孤立的存在。

（3）完成练习二第1题。先让学生独立填写后，教师再进行讲评。

二、巩固练习

1．找一找在你的身边有哪些物体是处于上下或前后关系的，请你用一句话说一说。

2．看图想一想，填一填。

第二课时认识左右

总第4课时

教学目标

1、通过观察动手操作让学生初步理解左右的位置关系。2．联系生活实际，能解决生活中有关简单的问题。教学过程

一、复习

根据画面找出有关上下前后的关系的物体。同桌互相说一说。

二、新授

谈话引入新课：上节课我们已经学习了有关上下、前后位置关系的知识，今天这节课我们继续学习一种新的位置关系。1．教师背对学生出示右手，问：“这是哪只手?”请学生跟着举起自己的右手。然后，用同样方法教学左手。

2．观察自己的左右手，说一说我们的左右手有什么不同点，认清自己的左右手方位。

3．小游戏：同桌喊口令，按同桌的口令出示自己的左右手。再进行反口令训练，如：同桌口令为左手时游戏者出示右手。

4．联系生活实际说说自己的左右手在生活中的作用。

5．小结：我们的左右手是好朋友，生活中的许多事情离不开它们。左右这两种位置关系也是相互依存的。6．练习，完成“做一做”。

(1)摸摸你的左耳，摸模你的右耳。

拍拍你的左肩，拍拍你的右肩。

抬抬你的左腿，抬抬你的右腿。

(2)自己为中心，说说自己左右前后同学的名字，再说说自己从前往后、从左往右是第几人。

7．同桌面对面伸出右手，互相握一握。然后，面对面互相说一说自己的左右边各有什么。

8．小结：我们的左右手是固定不变的，但是当我们改变方向的时候，左右两边的位置是发生变化的。我们应该根据方向的变化认清左右两边。

三、巩固练习

1．写一写，把4写在8的左边，把2写在8的右边。2．说一说你的相邻同学都有谁。

3．教科书练习二第4题。先由教师指定一组学生进行示范练习，加强学生的综合方位感。然后学生自由组合进行巩固练习。

篇8：离散数学一单元

李海峰[4]、Shin[5]等研究者建立了熔融气化炉移动床区域的一维数学模型,数学模型主要包括气-固-液的质量、能量守恒方程,研究得到移动床区域炉气-炉料的温度分布,以及炉气的组分分布。王凤[6,7]在研究中将炉料简化为多孔介质,在没有考虑温度场的情况下,模拟熔融气化炉内的气流分布。王成善[8,9]借鉴高炉数学模型的成功经验,建立了稳态下移动床区域热过程的二维数学模型,数学模型主要包括气固液各相的质量、动量及能量守恒方程。通过对熔融气化炉中移动床区域的数值模拟,得到气固相的速度场及温度场; 并研究不同布料方式、移动床区域的高度以及死料柱对各组分的温度、速度、浓度分布规律的影响。

从目前的研究现状分析可知,研究者们主要基于连续介质模型,对移动床区域的热过程以及炉气的流动过程进行研究。然而,在连续介质模型中,将离散的炉料颗粒处理为拟流体时存在一些问题[10,11]: 颗粒相本构方程难以确定、无法进行微观层次上的研究。由于拟流体模型在研究炉料流动中存在不足之处,在高炉炉料流动的研究中,离散单元法( DEM) 广泛的被采用。Zhou研究了模型高炉内炉料颗粒的运动[12],炉料流动的DEM模拟结果与实验结果吻合的较好; 为了减少计算时间,加快了炉内颗粒的流动速度; 研究发现随着炉料消耗速率的增加,死料柱的几何尺寸变小。由于磨损导致焦炭颗粒变小,从而影响高炉的透气性; 因此为了弄清焦炭的磨损机理,Taihei[13]基于EDM的模拟高炉内炉料的应力分布; 研究颗粒之间的应力分布能有效的决定高炉内焦炭应该达到的强度; 同时在考虑焦炭强度的情况下,能采用合理的加料方式。Allert基于DEM-CFD模型研究了非球形颗粒和气体流量对小尺度高炉模型中炉料流动的影响[14,15]。与炉料采用球形颗粒相比,采用非圆球形颗粒时,死料柱几何尺寸稍微的变大。

从以上分析可知,基于DEM模型对熔融气化炉移动床区域炉料流动过程的研究较少。在本文中,对移动床区域炉料流动的进行DEM模拟,经过研究得到炉料的流动规律,以及炉内炉料颗粒之间的法向力分布。

1 炉料颗粒流动的DEM模型

1. 1 颗粒运动方程

离散单元法( DEM) 的基本思想是把不连续散体分离为相互独立的单元,根据单元之间的相互作用和牛顿运动定律,计算每一个时间步长内所有单元的受力和位移,通过对每个单元的微观运动进行跟踪计算,可得到整个研究对象的宏观及微观运动规律。颗粒的运动主要包括线性运动和转动,由下面的方程描述。

式中m、v、I、#、r分别为颗粒的质量( kg) 、速度( m/s) 、转动惯量( kg·m2) 、角速度( rad /s) 、半径( m) ;ni为颗粒i的质心指向接触点的法向单位向量; Fgi、Fcij分别为颗粒所受到的体积力( N) ,颗粒ij之间的接触力( N) 。

1. 2 颗粒间接触力

在DEM中,颗粒间的作用力用弹簧-阻尼器-摩擦器表示[16]。在该模型中,弹簧模拟颗粒的形变,阻尼器模拟碰撞过程中的阻尼影响,摩擦器模拟颗粒间的滑动摩擦力。采用Hertz-Mindlin( no slip) 模型计算颗粒之间的接触力[17],接触力主要包括法向力、切向力以及摩擦力。

1. 3 摩擦系数

炉料颗粒的摩擦系数包括静摩擦系数和滚动摩擦系数,通过大量的文献调研,炉料颗粒之间的静摩擦系数的取值约为0. 5[18—21]。DEM模型采用球形颗粒模拟移动床区域内不规则颗粒的运动,并不能有效的模拟颗粒形状因素对炉料运动行为产生的影响。在DEM模型中,通过增加滚动摩擦系数来模拟形状因素对炉料运动的影响,然而滚动摩擦系数对移动床区域内炉料运动过程的影响还不清楚,本节将对此进行研究。

通过炉料自然堆积过程的DEM模拟,得到不同滚动摩擦系数下熔融气化炉炉料的自然堆积角度,如图2 和图3 所示,在静摩擦系数值为0. 5 时,随着滚动摩擦系数的增加,炉料的自然堆积高度和角度增加。当滚动摩擦系数在0. 01 ~ 0. 2 之间时,随着滚动摩擦系数的增加,堆积角度近似线性的增加,当滚动摩擦系数从0. 2 增加到0. 4 时,堆积角度从45°增加到47°,堆积角度的变化较小。参考高炉炉料的自然堆积角度在40° ~ 45°之间[22],选取滚动摩擦系数0. 15 作为炉料运动DEM模型的参数。

得到DEM模拟的参数如表1 所示。

2 计算区域

图4 为熔融气化炉移动床区域流料流动的计算区域,实际物理模型呈圆台形状。由于对称性以及为了减少计算量,取移动床区域的一半作为计算区域。炉料颗粒在移动床表面连续的加入,风口回旋区处炉料颗粒不断的消耗,从而形成一个缓慢下降的移动床区域。

3 计算结果及分析

3. 1 炉料流动规律及DEM模型的验证

得到炉料流动的DEM模拟结果,如图5 所示。为了得到料层下降过程的变化规律,在移动床表面加上一层物性相同颜色不同的颗粒作为示踪颗粒层,得到不同时刻移动床区域中料层的形状见图5( a) 。为了更好的分析炉料的运动,提取示踪颗粒层的位置数据放在同一张图中,即炉料流动的时间线,如图5( b) 所示。

图6 为炉料流动的实验研究结果。从移动床区域中炉料流动的DEM模拟结果与实验研究结果可知,示踪颗粒层的流动形态和时间线呈现出相似的变化规律。随着料层下降,示踪颗粒层逐渐发生变形,靠近壁面的示踪颗粒层下降速度较慢; 风口回旋区以上炉料下降速度较大,风口回旋区和壁面对示踪颗粒层的影响逐渐变得更加明显; 示踪颗粒层逐渐呈现出“V”形状。从以上分析可知,DEM模型的计算结果与实验中炉料的运动规律基本上相同,从而验证了DEM模型计算结果的正确性与合理性,DEM模型能够准确的模拟移动床区域炉料的运动过程。

在DEM模型中采用实际炉料颗粒的粒径及物性,物理模型尺寸为原型的1 /10; 实验研究中的实验模型为原型的1 /20。DEM模拟的物理模型以及实验模型的几何形状与原型移动床区域的几何形状相似。由于DEM模拟的计算量大,在计算中为了减少计算量,加快了炉料的下降速度[12]; 因此当示踪颗粒层下降到相同位置时,DEM模拟中的时间远远小于实验中所用时间。

从图5 可知,根据炉料流动速度,将移动床区域分为四个不同的子区域。区域①( 径向方向r < 350mm,高度方向h > 300 mm) ,即稳定流动区域: 料层的水平下降,向下流动速度呈现相对均匀的速度,料层之间并没有出现相互掺混的情况。在区域②( r >350 mm,h > 300 mm) ,即壁面附近区域: 由于壁面摩擦力和阻力的影响,料层的流动速度逐渐减小,并且料层颗粒出现明显的变形和相互掺混。在区域③( r < 350 mm,h < 300 mm) ,即死料柱区域; t = 500 s和t = 550 s两层示踪颗粒层几乎重合在一起,说明示踪颗粒层的向下流动速度非常小,下降到该区域时几乎停止下降运动,形成一个弧形示踪颗粒层即死料柱的轮廓。死料柱呈现为半椭圆形,高度约为210 mm,宽度约为390 mm。在区域④( r > 350 mm,h < 300 mm) ,即活跃区域: 死料柱的存在以及熔融气化炉半径的减小,使炉料的流动区域变窄,导致该区域炉料流动速度的加快。活跃区的速度明显高于其它区域。从t = 400 ~ 550 s的时间线可以看出,示踪颗粒层呈现出“V”字形状,“V”字形料层的最下端靠近风口回旋区。在活跃区域内料层的向下流动速度较快,壁面和死料柱的影响使靠近壁面以及死料柱之上的料层向下流动速度减慢,因此呈现出“V”字型的料层形状。

3. 2 移动床区域内颗粒之间法向力分布

炉料流动的实验研究,并不能获得移动床区域内炉料颗粒之间的法向力分布,而炉料颗粒之间的法向力是影响颗粒破碎的因素之一。因此通过炉料流动的DEM模拟,得到移动床区域内炉料的应力分布,如图7 所示。在死料柱中及死料柱以上区域中,颗粒之间的法向力较大。在稳定流动区域中和活跃区中,颗粒之间的法向力较小。随着靠近壁面附近区域,颗粒之间的法向力逐渐增加。

图8 为移动床区域内颗粒之间的平均法向应力分布。图8( a) 为径向方向r =0 ~50 mm及r =400 ~450 mm区域内,在高度方向上颗粒之间法向力分布。在r = 0 ~ 50 mm区域内,随着高度的降低,颗粒之间法向力逐渐增加; 在高度h = 600 ~ 700 mm之间,炉料颗粒之间的法向力较小约为120 N; 在h =210 ~ 700 mm范围内,随着炉料靠近死料柱,炉料颗粒之间的法向力增加到700 N; 在h = 0 ~ 210 mm之间,处于死料柱区域内,颗粒之间的法向力增加约为800 N。在r = 400 ~ 450 mm区域内,在h = 600 ~700 mm范围之间,炉料颗粒之间的法向力约为120N; h = 400 ~ 600 mm范围靠近壁面,由于壁面的阻力的影响,炉料流动速度减小,颗粒之间法向力增加约为200 N; 在h = 0 ~ 400 mm之间,随着炉料进入活跃区,炉料颗粒的快速运动使炉料之间的接触力较弱,颗粒之间颗粒之间法向力降低为150 N。

在死料柱区域内,由于死料柱内的颗粒几乎静止不动,该区域炉料颗粒持续承受的重力最大,导致颗粒之间法向力较大; 该区域的炉料颗粒起着支撑整个移动床的作用,因此该区域的炉料颗粒应该达到足够的强度; 在实际生产中加入的块煤转变为半焦,其强度并不大而容易劣化成小颗粒,导致死料柱区域的孔隙率非常小; 气流经过该区域的阻力非常大导致进入该区域的炉气量就会非常少,造成气流分布的均匀性较差; 同时高温炉气不能顺畅的流出移动床区域,炉气聚集在风口回旋区及附近区域,使该区域炉气温度升高,导致风口烧损等一系列问题,影响生产的稳定。从图5( a) 中示踪颗粒层运动轨迹可知,中心区域的料层最终下降到死料柱及其附近区域,因此在中心区域多加入一些高强度焦炭,焦炭最终会下降到死料柱及其附近区域,从而提高该区域炉料的强度和该区域的空隙率; 这将会提高整个移动床区域气流分布的均匀性,有利于生产的稳定。

图8( b) 为在高度方向h = 0 ~ 50 mm、h = 350 ~400 mm及h = 650 ~ 700 mm区域内,在径向方向上颗粒之间法向力分布。在h = 650 ~ 700 mm区域内,即处于移动床上部区域,炉料颗粒之间的法向力分布保持不变且较小约为120 N。随着炉料的下降,在区域h = 350 ~ 400 mm中,径向方向r = 0 ~200 mm范围处于死料柱上部附近区域,该范围内颗粒之间法向力较大,约为500 N; 在r = 200 ~ 400 mm范围内,随着远离死料柱,颗粒之间法向力逐渐减小为200 N; 在r = 400 ~ 580 mm范围内,随着靠近壁面,颗粒之间的法向力增加到350 N。在区域h =0 ~ 50 mm中,即处于移动床底部,r = 0 ~ 300 mm范围处于死料柱内部,颗粒之间法向力较大,为600 ~850 N; r = 300 ~ 450 mm范围内,随着靠近活跃区,颗粒之间法向力急剧减小为160 N。

从以上分析可知,死料柱区域内颗粒之间法向力最大,为700 ~ 850 N; 其次为壁面附近区域,为300 ~ 400 N; 稳定流动区和活跃区内颗粒之间法向力最小,约为150 N; 在稳定流动区中,随着靠近死料柱,颗粒之间法向力逐渐增加。

3. 3 风口回旋区炉料消耗速率对应力分布的影响

图9 为不同风口回旋区炉料消耗速率时炉内颗粒之间法向力分布规律,随着风口回旋区炉料消耗速率的增加,炉内颗粒之间法向力分布规律并没有发生明显的变化。不同风口回旋区炉料消耗速率时都呈现出: 死料柱区域法向力最大,其次为壁面附近区域,稳定流动区和活跃区内颗粒之间法向力最小;在稳定流动区中,随着靠近死料柱,颗粒之间法向力逐渐增加。因此在任何条件下,都应该在中心加入高强度焦炭颗粒,以保证死料柱区域炉料的强度和提高该区域的空隙率,从而有利于整个移动床区域气流分布的均匀性。

4 结论

对熔融气化炉移动床区域炉料流动过程进行了DEM模拟,模拟了得到移动床区域炉料的运动和颗粒之间法向力的分布规律。得到以下主要结论:

( 1) 建立移动床区域炉料流动的DEM模型,通过炉料自然堆积过程的DEM模拟,确定了颗粒之间滚动摩擦系数为0. 15。DEM模拟和实验研究的炉料运动规律基本上相同,验证了模型计算结果的正确性与合理性。

( 2) 根据炉料流动速度,移动床区域可分为四个子区域: 稳定流动区域、壁面附近区域、死料柱区域以及活跃区域。在移动床区域的中心区域形成半椭圆形状的死料柱,高度约为210 mm,宽度约为390 mm。

( 3) r = 0 ~ 50 mm区域内,随着高度的降低并靠近死料柱区域,颗粒之间法向力逐渐从120 N增加到700 N,在死料柱区域内颗粒之间法向力约为800 N。死料柱区域内颗粒之间法向力最大,为700 ~850 N; 其次为壁面附近区域,为300 ~ 400 N; 稳定流动区和活跃区内颗粒之间法向力最小,约为150 N在稳定流动区中,随着靠近死料柱,颗粒之间法向力逐渐增加。风口回旋区炉料消耗速率对炉内颗粒之间法向力分布影响较小。

在死料柱中及其以上的区域,料层法向应力最大,因此在中心区域多加入一些高强度焦炭,焦炭最终会下降到死料柱及其附近区域,从而提高该区域炉料的强度和该区域的空隙率,有利于整个移动床区域气流分布的均匀性。

摘要：建立熔融还原炼铁(coal reduction extreme,COREX)工艺熔融气化炉移动床区域炉料流动离散单元法(discrete element method,DEM)模型。通过炉料自然堆积过程的DEM模拟,确定了固体颗粒之间的滚动摩擦系数。炉料流动的DEM模拟结果与试验研究结果吻合的较好。研究了移动床区域炉料的流动规律、死料柱形状及尺寸以及颗粒间法向应力的分布规律,同时分析了风口回旋区炉料消耗速率对应力分布的影响。研究结果表明:熔融气化炉移动床区域可分为四个不同的子区域,死料柱区域法向力最大,其次为壁面附近区域,稳定流动区和活跃区内颗粒之间法向力最小。

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