离散数学试卷及答案二

2023-01-16

第一篇：离散数学试卷及答案二

离散数学试卷二十三试题与答案

试卷二十三试题与答案

一、单项选择题：(每小题1分，本大题共10分)

1.命题公式P(QP)是()。

A、矛盾式;B、可满足式;C、重言式;D、等价式。

2.下列各式中哪个不成立()。

A、x(P(x)Q(x))xP(x)xQ(x);

B、x(P(x)Q(x))xP(x)xQ(x);

C、x(P(x)Q(x))xP(x)xQ(x);

D、x(P(x)Q)xP(x)Q。

3.谓词公式x(P(x)yR(y))Q(x)中的 x是()。

A、自由变元;B、约束变元;

C、既是自由变元又是约束变元;D、既不是自由变元又不是约束变元。

4.在0 之间应填入()符号。

A、=;B、;C、;D、。

5.设< A ， > 是偏序集，BA，下面结论正确的是()。

A、B的极大元bB且唯一;B、B的极大元bA且不唯一;

C、B的上界bB且不唯一;D、B的上确界bA且唯一。

6.在自然数集N上，下列()运算是可结合的。

(对任意a,bN)

A、abab;B、abmax(a,b);

C、aba5b;D、abab。

7.Q为有理数集N，Q上定义运算*为a*b = a + b – ab ,则的幺元为(

A、a;B、b;C、1;D、0。

8.给定下列序列，()可以构成无向简单图的结点度数序列。

A、(1，1，2，2，3);B、(1，1，2，2，2);

C、(0，1，3，3，3);D、(1，3，4，4，5)。

9.设G是简单有向图，可达矩阵P(G)刻划下列 ()关系。

A、点与边;B、边与点;C、点与点;D、边与边。

10.一颗树有两个2度结点，1个3度结点和3个4度结点，则1度结点数为(

A、5;B、7;C、9;D、8。

。)。)

二、填空：(每空1分，本大题共15分)

1.在自然数集中，偶数集为N

1、奇数集为N2，则N1N2=;

N1N2 =。

2.设X{1,2,3,4}

R{1,2,2,4，3,3}，则

r (R) =;s (R) = ;t (R) = 。

3.设R为集合A上的等价关系，对aA，集合[a]R=，称

为

元

素

形

成

的

等

价

类

，

[a]R

，因

为。

4.任意两个不同小项的合取为，全体小项的析取式为。

5.设Q(x):x为偶数，P(x):x为素数，则下列命题：(1)存在唯一偶素数;(2)至多有一个偶素数;分别形式化：(1);

(2)。

6.设T为根树，若，则称T为m元树;

若则称T为完全m叉树。

7.含5个结点，4条边的无向连通图(不同构)有个，

它们是。

三、判断改正题：(每小题2分，本大题共20分)

1.命题公式(A(AB))B是一个矛盾式。() 2.任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。() 3.根树中最长路径的端点都是叶子。() 4.若集合A上的关系R是对称的，则R



1也是对称的。()

5.数集合上的不等关系(≠)可确定A的一个划分。() 6.设集合A、B、C为任意集合，若A×B = A×C，则B = C。() 7.函数的复合运算“。”满足结合律。() 8.若G是欧拉图，则其边数e合结点数v的奇偶性不能相反。() 9.图G为(n , m)图，G的生成树TG必有n个结点。() 10.使命题公式P(QR)的真值为F的真值指派的P、Q、R值分别是T、F、F。()

四、简答题(每小题5分，本大题共25分)

1.设H,和K,都是群G,的子群，问HK,和HK,是否是

G,的子并说明理由。

3，4，9}，B{2，4，7，10,12}，从A到B的关系 2.设A{2，

R{a,baA,bB,且a整除b}，试给出R的关系图和关系矩阵，并说明此

关系是否为函数?为什么?

3.设S,是半群，OL是左零元，对任xS,xOL是否是左零元?为什么?

4.某次会议有20人参加，其中每人至少有10个朋友，这20人拟围一桌入席，用图论知识说明是否可能每人邻做的都是朋友?(理由)

5.通过主合取范式，求出使公式(PQ)R的值为F的真值指派。

五、证明题：(共30分)

1.设R为集合A上的二元关系，如果R是反自反的和可传递的，则R一定是反对称的。

2.试证明若G,是群，HG，且任意的aH，对每一个xG，有axxa，则H,是G,的子群。

3.设G是每个面至少由k(k3)条边围成的连通平面图，试证明为结点数，e为边数。

4.符号化下列各命题，并说明结论是否有效(用推理规则)。任何人如果他喜欢美术，他就不喜欢体育。每个人或喜欢体育，或喜欢音乐，有的人不喜欢音乐，因而有的人不喜欢美术。答案

e

k(v2)k

2，其中v

一、单项选择题：

1.N

。r(R){1,2,2,4,3,3,1,1,2,2,4,4}， 2.

s(R){1,2,2,4,3,3,2,1,4,2}，RRR{1,4,3,3}，

RRR{3,3}，RRR{3,3}，

所以， t(R){1,2,2,4,3,3,1,4}。

3.[a]R{xxA,aRx};a[a]R。4.永假式(矛盾式)，永真式(重言式)。 5.(1)x((Q(x)P(x))y(Q(y)P(y)xy))。(2)xy(Q(x)P(x)Q(y)P(y)xy)。

6.每个结点的出度都小于等于m;除叶子外，每个结点的出度都等于m。 7.3。

三、判断改正题：

1.×命题公式(A(AB))B是一个重言式。 2.×任何循环群必定是阿贝尔群，但反之不真。 3.×根树中最长路径的端点不都是叶子。

4.√5.×≠不能确定A的一个划分。 6.√7.√

8.×欧拉图其边数e和结点数v的奇偶性可以相反。9.√10.√

四、简答题

1.解：HK,是 G,的子群，HK,不一定是G,的子群。a,bHK,则的子群，

a,bH,a,bK,由

H,和K,都是G,



ab



1H且ab

1

K

,ab

1

HK,HK,是G,

的子群。

如：G = {1，5，7，11}，：模12乘，则G,为群。且H = {1，5}，K = {1，7}，

H,和K,皆为G,的子群，但HK{1,5,7}，

HK,不是G,的子群。因为 5711HK，即运算不封闭。

2.解：R{2,2,2,4,2,10,2,12,3,12,4,4,4,12}则R的关系图为： R的关系矩阵为

10

00

1010

0000

1000

1110

关系R不是A到B的函数，因为

元素2，4的象不唯一(或元素9无象)

3.解：xOL仍是左零元。因为yS，由于OL是左零元，所以，OLyOL，又S,为半群，所以*可结合。

所以，(xOL)yx(OLy)xOL，所以，xOL仍是左零元。

4.解：可能。将人用结点表示，当两人是朋友时相应结点间连一条边，则得一个无向图

GV,E，20人围一桌，使每人邻做都是朋友，即要找一个过每个点一次且仅

一次得回路。由题已知，u,vV,

deg(u)10,deg(v)10

，

deg(u)deg(v)20，由判定定理，G中存在一条汉密尔顿回路。即所谈情况可能。

5.解：

原式(PQ)R(PQ)R(PR)(QR)

(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)M100M110M

010

∴使公式(PQ)R的值为F的真值指派为：

P:1



Q:0R:0;

P:1



Q:1R:0;

P:0



Q:1R:0 。

五、证明题：

1.证明：假设R不是反对称的，则 x,yR,性，

∴ x,xR 此与R反自反矛盾，∴R反对称。

y,xR,

xy 由R的传递

2.证明：(1)设群G,的幺元为e，则xG有 xeex，∴eH即H非空。(2)a,bH，则 xG 有 axxa,bxxb，

从而

(ab

1

)x(ab

1

11

)x(bb

1

)

a(bb)xb

1

(ax)b

1

x(ab),abH

故 H,是G,的子群。

3.解：设连通平面图G有t个面：r1,r2,,rt则有 ver2，

deg(ri)k,



又有题意，

deg(ri)kt

i1

又

e

deg(r)2e

i1

，

∴2ekt，

teve

e2

kk2

(v2)

。从而，∴。

4.解：设P(x)：x喜欢美术，Q(x)：x喜欢体育，R(x)：x喜欢音乐。论域：人。

命题形式化为：前提：x(P(x)Q(x))，x(Q(x)R(x))，xR(x)结论：xP(x)。证明：(1)xR(x)P(2) R(a)ES(1)(3)x(Q(x)R(x))P(4)Q(a)R(a)US(4)(5)Q(a)T(2)(4)I(6)x(P(x)Q(x))P(7)P(a)Q(a)US(6)(8)P(a)T(5)(7)I(9)xP(x)EG(8) ∴ 结论有效。

第二篇：离散数学期末考试试题及答案

离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。下面是小编整理的离散数学期末考试试题及答案，欢迎阅读参考!

一、【单项选择题】

(本大题共15小题，每小题3分，共45分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。

1、在由3个元素组成的集合上，可以有 ( ) 种不同的关系。

[A] 3 [B] 8 [C]9 [D]27

2、设A1,2,3,5,8,B1,2,5,7,则AB( )。

[A] 3,8 [B]3 [C]8 [D]3,8

3、若X是Y的子集，则一定有( )。

[A]X不属于Y [B]X∈Y

[C]X真包含于 Y [D]X∩Y=X

4、下列关系中是等价关系的是( )。

[A]不等关系 [B]空关系

[C]全关系 [D]偏序关系

5、对于一个从集合A到集合B的映射，下列表述中错误的是( )。

[A]对A的每个元素都要有象 [B] 对A的每个元素都只有一个象

[C]对B的每个元素都有原象 [D] 对B的元素可以有不止一个原象

6、设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为( )。

[A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q

7、设A={a,b,c},则A到A的双射共有( )。

[A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个

8、一个连通G具有以下何种条件时，能一笔画出：即从某结点出发，经过中每边仅一次回到该结点( )。

[A] G没有奇数度结点 [B] G有1个奇数度结点

[C] G有2个奇数度结点 [D] G没有或有2个奇数度结点

9、设〈G,*〉是群，且|G|>1，则下列命题不成立的是( )。

[A] G中有幺元 [B] G中么元是唯一的

[C] G中任一元素有逆元 [D] G中除了幺元外无其他幂等元

10、令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为( )

[A] p→┐q [B] p∨┐q

[C] p∧q [D] p∧┐q

11、设G=的结点集为V={v1,v2,v3},边集为E={,}.则G的割(点)集是( )。

[A]{v1} [B]{v2} [C]{v3} [D]{v2,v3}

12、下面4个推理定律中，不正确的为( )。

[A]A=>(A∨B) (附加律) [B](A∨B)∧┐A=>B (析取三段论)

[C](A→B)∧A=>B (假言推理) [D](A→B)∧┐B=>A (拒取式)

13、在右边中过v1,v2的初级回路有多少条( )

[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D]

414、若R,,是环，且R中乘法适合消去律，则R是( )。

[A]无零因子环

[C]整环 [B]除环 [D]域

15、无向G中有16条边，且每个结点的度数均为2，则结点数是( )。

[A]8 [B]16 [C]4 [D]

32二、【判断题】

(本大题共8小题，每小题3分，共24分)正确的填T，错误的填F，填在答题卷相应题号处。

16、是空集。 ( )

17、设S,T为任意集合，如果S—T=，则S=T。 ( )

18、在命题逻辑中，任何命题公式的主合取范式都是存在的，并且是唯一的。 ( )

19、关系的复合运算满足交换律。 ( )

20、集合A上任一运算对A是封闭的。 ( )

21、0,1,2,3,4,max,min是格。 ( )

22、强连通有向一定是单向连通的。 ( )

23、设都是命题公式，则(PQ)QP。 ( )

三、【解答题】

(本大题共3小题，

24、25每小题10分，26小题11分，共31分)请将答案填写在答题卷相应题号处。

24、设集合A={a, b, c}，B={b, d, e}，求

(1)BA; (2)AB; (3)A-B; (4)BA.25、设非空集合A，验证(P(A),,,~,,A)是布尔代数

26、如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生，那么他一定学过DELPHI语言而且学过C++语言。只要他学过DELPHI语言或者C++语言，那么他就会编程序。因此如果他是计算机系本科生，那么他就会编程序。请用命题逻辑推理方法，证明该推理的有效结论。

离散数学试题答案

一、【单项选择题】(本大题共15小题，每小题3分，共45分)

BDDCCCBABDADCBB

二、【判断题】(本大题共8小题，每小题3分，共24分)

FFTFTTTF

三、【解答题】(本大题共3小题，

24、25每小题10分，26小题11分，共31分)

24、设集合A={a, b, c}，B={b, d, e}，求 (1)BA; (2)AB; (3)A-B; (4)BA. 标准答案：(1)BA={a, b, c}{b, d, e}={ b }

(2)AB={a, b, c}{b, d, e}={a, b, c, d, e }

(3)A-B={a, b, c}-{b, d, e}={a, c}

(4)BA= AB-BA={a, b, c, d, e }-{ b }={a, c, d, e }

复习范围或考核目标：考察集合的基本运算，包括交集，并集,见课件第一章第

二节,集合的运算。

25、设非空集合A，验证(P(A),,,~,,A)是布尔代数

标准答案：证明因为集合A非空，故P(A)至少有两个元素，显然，是P(A)上的二元运算. 由定理10 ，任给B,C,DP(A), H1 BD=DC CD=DC

H2 B(CD)=(BC)(BD) B(CD)=(BC)(BD)

H3 P(A)存在和A，BP(A), 有B=B， BA=B

H4，BP(A), BA，存在A~B，有

BA~B)= A B(A～B)=

所以(P(A),,,~,,A)是布尔代数.复习范围或考核目标：考察布尔代数的基本概念，集合的运算，见课件代数系统中布尔代数小节。

标准答案：令p：他是计算机系本科生

q：他是计算机系研究生 r：他学过DELPHI语言

s:他学过C++语言

t:他会编程序

前提：(p∨q)→(r∧s),(r∨s)→t

结论：p→t

证①p P(附加前提)

②p∨q T①I

③(p∨q)→(r∧s) P(前提引入)

④r∧s T②③I

⑤r T④I

⑥r∨s T⑤I

⑦(r∨s)→t P(前提引入)

⑧t T⑤⑥I

第三篇：信息管理与信息系统专业离散数学试卷及答案

一单项选择题(将正确答案题号填在括号里，每小题2分，合计40分)

8.命题“合肥位于北京与上海之间。”的个体为()。 1.设命题P、Q、R的真值分别为

1、

1、0，则复合命题

¬P⋀(Q↔¬R)的真值为()。

A1B1或0C0D不确定 2.下列命题中，()是复合命题。 A长江与黄河都流经安徽境内。

B美丽的黄山地处安徽。

C合肥位于长江以北。D合肥是包公故里。

3.命题公式(P→Q)→R的主合取范式为()。 A∏(0,2,6)B∏(1,3,4,5,7) C∑(0,2,6)D∑(1,3,4,5,6) 4.命题公式(P→Q)→R的主析取范式为()。 A∏(0,2,6)B∏(1,3,4,5,7) C∑(0,2,6)D∑(1,3,4,5,6) 5.命题公式(P→Q)→R的类型为()。 A重言式B矛盾式C可满足式D不确定

6.设论域为实数集，谓词公式∀x∃y(x+y=1)的真值为(A1B1或0C0D不确定 7.下列关系中()不是等价关系。

A实数集上的等于关系B平面三角形集合上的全等关系 C幂集上的包含于关系D北大学生集合上住在同公寓的关系

A 合肥，北京B 北京，上海C 上海，合肥D 合肥，北京，上海

9.设R为实数集，关系h={∣x,y∈R，y=2x}，关系

g={∣x,y∈R，y=3x}，则复合关系h-1og-1

的值为()。 A{∣x,y∈R，y=6x}B

{∣x,y∈R，y=x

}

C{∣x,y∈R，y=5x}D{∣x,y∈R，y=4x}

10.设A={1,2,3}，关系f⊆A×A且f={<1,2>,<2,3>,<3,1>}，关系g⊆A×A且g={<1,2>,<2,3>,<3,3>}，复合关系fog的值为()。A{<1,3>,<2,1>,<3,1>}B{<1,3>,<2,3>,<3,2>}

C{<1,2>,<2,3>,<2,2>}D{<2,3>,<3,1>,<3,2>}

11.设IA为集合A上的恒等关系，则IA不是A上的()关系。 A自反B反自反C对称D反对称

12.设A={1,2,3,4}，则A上有()个等价关系。。 A216B212C15D不确定

13.设A={1,2,3,4}，则A上有()个自反关系。 A216B212C44D不确定

14.具有5个结点3条边的不同构的简单无向图的个数为()。

A2B3

C4D5

)

15.设A={1,2,3,4}，R={∣x,y∈A，y=2x}，则R的前域dom(R)等于()

A{1,2}B{2,4}C{1,3}D{1,2,3,4} 16.设A={1,2,3,4}，关系R⊆A×A且

R={<1,1>,<1,2>,<3,4>,<4,3>}，则R5

的值为()。 A{<1,1>,<1,2>,<3,4>,<4,3>}B{<1,3>,<2,3>,<3,2>}

C{<1,2>,<2,3>,<2,2>,<4,4>}D{<2,3>,<3,1>,<3,2>}

17.设A={1,2,3,4}，关系R⊆A×A且

R={<1,2>,<3,4>,<4,3>}，则R的传递闭包t(R)的值为() A{<1,2>,<3,4>,<4,3>,<3,3>,<4,4>}B{<1,2>,<3,4>,<4,3>}

C{<1,2>,<2,3>,<2,2>,<4,4>,<4,3>}D{<2,3>,<3,1>,<3,2>} 18.设G是有9个结点的简单图，则图G的最大度∆(G)为()。

∆(G)≥ 9B∆(G)≤9C

∆(G)>9D∆(G)<9

19.以下列序列中()为结点度数序列可构成简单无向图。

A1，1，2，2，3B1，1，2，2，2

C0，1，3，3，3D1，3，4，4，5 20.设无向图G有12条边，有6个3度结点，其余结点度数均小于3，

则G至少有()个结点。

A13B12

C11D9

二填空题(每小题2分，合计30分)

1.设P,Q为命题变元，则命题演算的吸收律可表示为。

2.设A,B为集合，则集合运算的德·摩根律可表示为。 3.设A,B,C为命题变元，化简命题公式

(A∧B∧C)∨(¬A∧B∧C)⇔。

4.设A,B,C为集合，化简(A∩B∩C)∪(～A∩B∩C)=。

5.设P(x)：x是人，Q(x)：x犯错误，翻译命题“没有人不犯错误。”为。

6.给定论域{2,3}，且L(2,2)与L(3,3)的真值均为1，L(2,3)与L(3,2)的真值均为0，则∀y∃xL(x,y)的真值为。 7.命题“如果我是你，那么太阳从西边出。”的真值为。 8.设A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则A-B=。 9.设P()为空集的幂集，则P(P())=。

10.若R是A上的自反关系，反对称关系，，则称R为A上的偏序关系。

11.命题“如果我休假，我将去美丽的黄山旅游。”的否定可表述为。

12.设A={1,2,3,4}，给出上的一个关系R=，使R既是对称又是反对称的。

13.无向连通图G是欧拉图，当且仅当G有个奇数度数结点。 14.若连通平面图G有4个结点3个面，则G有条边。

15.树T有2个2度结点，1个3度结点，3个4度结点，其余都是1度结点，则树T的叶子数为。

三解答题(

1、4小题各8分，

2、3小题各7分，合计30分)

1.今有a、b、c、d、e、f、g七人，其中a擅长英语，b擅长英语和汉语，c擅长英语、意大利语和俄语，d擅长日语和汉语，e擅长德语和意大利语，f擅长法语、日语和俄语，g擅长法语和德语。试用图论知识描述如何安排这七人围圆桌而坐，使得每人都能与其相邻两边的人交谈。

2.设集合A={1,2,3}，P(A)为A的幂集，偏序关系={∣x,y∈P(A)，x⊆y}，画偏序集的哈斯图，并指出的最大元和极小元，其中B={,{1},{3},{1,3},A}。

3.翻译命题“所有的人都是要死的，苏格拉厎是人，所以苏格拉厎要死。”并证明其有效结论。

4.某发电厂A要向b、c、d、e四个地点送电，已知发电厂A可以和b、c、d直接架设电线，地点e可以和b、d直接架设电线，其他由于地理原因无法直接架设电线。架设电线时不能有回路存在，否则会造成浪费。找出所有电线架设方案，使从发电厂A可向b、c、d、e四个地点送电。答案

一单项选择题

CAADCACDBBBCBCAAADBD

二填空题

1. P∧(P∨Q)PP∨(P∧Q)P

2. ～(A∩B)=～A∪～B～(A∪B)=～A∩～B 3. B∧C 4. B∩C

5. ┐x(P(x)∧┐Q (x)) 6. 1或T 7. 1或T 8. {1,2}

9. {,{}} 10. 传递

11. 我休假但我不去美丽的黄山旅游。 12. {<1,1>} 13. 0 14.

515. 9

三解答题(

1、4小题各8分，

2、3小题各7分，合计30分)

1.构造简单图G=，其中V={a,b,c,d,e,f,g}

任意x,y∈V，边(x,y)∈E当且仅当x与y擅长同种语言图G中的一条Hamilton回路即为所求方案。 4.构造简单图G=，其中V={A,b,c,d,e}

任意x,y∈V，边(x,y)∈E当且仅当x与y间可直接架设电线图G中的生成树即为所求方案

第四篇：离散数学考试试题(A卷及答案）

一、证明题(10分)

1) (P∧Q∧AC)∧(AP∨Q∨C) (A∧(PQ))C。P<->Q=(p->Q)合取(Q->p) 证明: (P∧Q∧AC)∧(AP∨Q∨C)

(P∨Q∨A∨C)∧(A∨P∨Q∨C)

((P∨Q∨A)∧(A∨P∨Q))∨C反用分配律

((P∧Q∧A)∨(A∧P∧Q))∨C

( A∧((P∧Q)∨(P∧Q)))∨C再反用分配律

( A∧(PQ))∨C

(A∧(PQ))C

2) (PQ) PQ。

证明：(PQ)((P∧Q))(P∨Q))PQ。

二、分别用真值表法和公式法求(P(Q∨R))∧(P∨(QR))的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值(15分)。

主析取范式与析取范式的区别：主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。主析取范式可由析取范式经等值演算法算得。

证明：

公式法：因为(P(Q∨R))∧(P∨(QR))

(P∨Q∨R)∧(P∨(Q∧R)∨(Q∧R))

(P∨Q∨R)∧(((P∨Q)∧(P∨R))∨(Q∧R))分配律

(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨Q)∧(P∨Q∨R)∧(P∨R∨Q)∧(P∨R∨R)

(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)

M4∧M5∧M6使(非P析取Q析取R)为0所赋真值，即100，二进制

为

4m0∨m1∨m2∨m3∨m7

所以，公式(P(Q∨R))∧(P∨(QR))为可满足式，其相应的成真赋值为000、00

1、0

10、0

11、111：成假赋值为：100、10

1、110。

真值表法：

为000、00

1、0

10、0

11、111：成假赋值为：100、10

1、110。

三、推理证明题(10分)

1)P∨Q，Q∨R，RSPS。

证明：

(1)P附加前提 (2)P∨QP

(3)QT(1)(2)，I(析取三段论) (4)Q∨RP

(5)RT(3)(4)，I(析取三段论) (6)RSP

(7)ST(5)(6)，I(假言推理) (8)PSCP

2) x(P(x)Q(y)∧R(x))，xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))

证明(1)xP(x) (2)P(a)

(3)x(P(x)Q(y)∧R(x)) (4)P(a)Q(y)∧R(a) (5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) (10)x(P(x)∧R(x))

(11)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))

五、已知A、B、C是三个集合，证明(A∪B)-C=(A-C)∪(B-C) (10分)

证明：因为

x∈(A∪B)-Cx∈(A∪B)-C

x∈(A∪B)∧xC (x∈A∨x∈B)∧xC

(x∈A∧xC)∨(x∈B∧xC) x∈(A-C)∨x∈(B-C) x∈(A-C)∪(B-C)

所以，(A∪B)-C=(A-C)∪(B-C)。

八、证明整数集I上的模m同余关系R={|xy(mod m)}是等价关系。其中，xy(mod m)的含义是x-y可以被m整除(15分)。X(modm)=y(modm) 证明：1)x∈I，因为(x-x)/m=0，所以xx(mod m)，即xRx。

2)x,y∈I，若xRy，则xy(mod m)，即(x-y)/m=k∈I，所以(y - x)/m=-k∈I，所以yx(mod m)，即yRx。

3)x,y,z∈I，若xRy，yRz，则(x-y)/m=u∈I，(y-z)/m=v∈I，于是(x-z)/m=(x-y+y-z)/m=u+v ∈I，因此xRz。

九、若f:A→B和g:B→C是双射，则(gf)-1=f-1g-1(10分)。

证明：

因为f、g是双射，所以gf：A→C是双射，所以gf有逆函数(gf)：C→A。同理可推f-1g-1：C→A是双射。

因为∈f-1g-1存在z(∈g-1∈f-1)存在z(∈f∈g)∈gf∈(gf)-1,所以(gf)-1=f-1g-1。

1离散数学考试试题(B卷及答案)

一、证明题(10分)

1)((P∨Q)∧(P∧(Q∨R)))∨(P∧Q)∨(P∧R)T

证明: 左端((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)

 ((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)

 ((P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律)T (代入)

2) xy(P(x)Q(y))(xP(x)yQ(y)) 证明：xy(P(x)Q(y))xy(P(x)∨Q(y))

x(P(x)∨yQ(y)) xP(x)∨yQ(y) xP(x)∨yQ(y) (xP(x)yQ(y))

二、求命题公式(PQ)(P∨Q) 的主析取范式和主合取范式(10分)

解：(PQ)(P∨Q)(PQ)∨(P∨Q)

(P∨Q)∨(P∨Q) (P∧Q)∨(P∨Q)(P∨P∨Q)∧(Q∨P∨Q) (P∨Q)

M1析取要使之为假，即赋真值001，即M1 m0∨m2∨m3使之为真

三、推理证明题(10分)

1)(P(QS))∧(R∨P)∧QRS

证明：(1)R(2)R∨P (3)P

T(1)(2)析取三段论 p

T(3)(4)I假言推理 P

T(5)(6)I假言推理 CP

(4)P(QS) (5)QS(6)Q (7)S

(8)RS

2) x(A(x)yB(y))，x(B(x)yC(y))xA(x)yC(y)。

证明：(1)x(A(x)yB(y))P(2)A(a)yB(y)T(1)ES (3)x(B(x)yC(y))P

(4)x(B(x)C(c))T(3)ES (5)B(b)C(c)T(4)US (6)A(a)B(b)T(2)US

(7)A(a)C(c)T(5)(6)I假言三段论 (8)xA(x)C(c)T(7)UG (9)xA(x)yC(y)T(8)EG

四、只要今天天气不好，就一定有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。所以，如果考试准时进行，那么天气就好(15分)。

解：

设P：今天天气好，Q：考试准时进行，A(e)：e提前进入考场，个体域：考生的集

合，则命题可符号化为：PxA(x)，xA(x)QQP。 (1)PxA(x)P (2)PxA(x)T(1)E (3)xA(x)PT(2)E(4)xA(x)QP (5)(xA(x)Q)∧(QxA(x))T(4)E (6)QxA(x)T(5)I (7)QPT(6)(3)I

五、已知A、B、C是三个集合，证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) (10分)

证明：

∵ x A∩(B∪C) x A∧x(B∪C) x A∧(xB∨xC)( x A∧

xB)∨(x A∧xC) x(A∩B)∨x A∩C x(A∩B)∪(A∩C)∴A ∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

六、A={ x1,x2,x3 }，B={ y1,y2}，R={,,}，求其关系矩阵及关系图(10分)。有就是1，没就是0

七、设R={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>}，求r(R)、s(R)和t(R)，并作出它们及R的关系图(15分)。

r(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,1>,<2,2>,<3,3><5,5>}(自反闭包)

s(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,2>,<4,2>,<4,3>}(对称闭包) t(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<2,2>,<5,1>,<5,4>,<5,5>}(传递

闭包)

九、设f：AB，g：BC，h：CA，证明：如果hgf=IA，fhg=IB，gfh=IC，则f、g、h均为双射，并求出f-

1、g-1和h-1(10分)。

解因IA恒等函数，由hgf=IA可得f是单射，h是满射;因IB恒等函数，由fhg=IB可得g是单射，f是满射;因IC恒等函数，由gfh=IC可得h是单射，g是满射。从而f、g、h均为双射。

由hgf=IA，得f-1=hg;由fhg=IB，得g-1=fh;由gfh=IC，得h-1=gf。

第五篇：离散数学期末考试试卷答案

离散数学试题(B卷答案1)

一、证明题(10分)

1)(P∧(Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)R 证明: 左端(P∧Q∧R)∨((Q∨P)∧R) ((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ((P∨Q)∨(Q∨P))∧R ((P∨Q)∨(P∨Q))∧R T∧R(置换)R 2) x (A(x)B(x)) xA(x)xB(x) 证明：x(A(x)B(x))x(A(x)∨B(x)) xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)xB(x)

二、求命题公式(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分)。

证明：(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) (P∧(Q∨R))∨(P∧Q∧R) (P∧Q)∨(P∧R))∨(P∧Q∧R) (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R) m0∨m1∨m2∨m7 M3∨M4∨M5∨M6

三、推理证明题(10分)

1) C∨D， (C∨D) E， E(A∧B)， (A∧B)(R∨S)R∨S 证明：(1) (C∨D)E (2) E(A∧B)

P P

P (3) (C∨D)(A∧B) T(1)(2)，I (4) (A∧B)(R∨S) (5) (C∨D)(R∨S) (6) C∨D

T(3)(4)， I P (7) R∨S T(5)，I 2) x(P(x)Q(y)∧R(x))，xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧R(x)) 证明(1)xP(x) P

(2)P(a) T(1)，ES (3)x(P(x)Q(y)∧R(x)) P (4)P(a)Q(y)∧R(a) T(3)，US (5)Q(y)∧R(a) T(2)(4)，I (6)Q(y) T(5)，I (7)R(a) T(5)，I (8)P(a)∧R(a) T(2)(7)，I (9)x(P(x)∧R(x)) T(8)，EG (10)Q(y)∧x(P(x)∧R(x)) T(6)(9)，I

四、某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球，求不会打这三种球的人数(10分)。

解：A，B，C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则|A|=12，|B|=6，|C|=14，|A∩C|=6，|B∩C|=5，|A∩B∩C|=2。

先求|A∩B|。

∵6=|(A∪C)∩B|=|(A∩B)∪(B∩C)|=|(A∩B)|+|(B∩C)|-|A∩B∩C|=|(A∩B)|+5-2，∴|(A∩B)|=3。

于是|A∪B∪C|=12+6+14-6-5-3+2=20。不会打这三种球的人数25-20=5。

五、已知A、B、C是三个集合，证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) (10分)。

证明：∵x A-(B∪C) x A∧x(B∪C)

 x A∧(xB∧xC)

(x A∧xB)∧(x A∧xC)  x(A-B)∧x(A-C)  x(A-B)∩(A-C)

∴A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)

六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：R={| x，yN∧y=x}，S={| x，yN∧y=x+1}。求R、R*S、S*R、R{1，2}、S[{1，2}](10分)。

解：R={| x，yN∧y=x} R*S={| x，yN∧y=x+1} S*R={| x，yN∧y=(x+1)}，R{1，2}={<1，1>，<2，4>}，S[{1，2}]={1，4}。

七、设R={，，}，求r(R)、s(R)和t(R) (15分)。

解：r(R)={，，，，，}

22-

12-1

2s(R)={，，，，，} R= R={，，} R={，，} R={，，} t(R)={，，，，，，，，，}

八、证明整数集I上的模m同余关系R={|xy(mod m)}是等价关系。其中，xy(mod m)的含义是x-y可以被m整除(15分)。

证明：1)x∈I，因为(x-x)/m=0，所以xx(mod m)，即xRx。

2)x，y∈I，若xRy，则xy(mod m)，即(x-y)/m=k∈I，所以(y - x)/m=-k∈I，所以yx(mod m)，即yRx。

3)x，y，z∈I，若xRy，yRz，则(x-y)/m=u∈I，(y-z)/m=v∈I，于是(x-z)/m=(x-y+y-z)/m=u+v ∈I，因此xRz。

九、若f:A→B和g:B→C是双射，则(gf)=fg(10分)。

1-1-14325证明：因为f、g是双射，所以gf：A→C是双射，所以gf有逆函数(gf)：C→A。同理可推fg：C→A是双射。

因为∈fg存在z(∈g∈f)存在z(∈f∈g)∈gf∈(gf)，所以(gf)=fg。

1-1

-1-1-1-1

-1

-1-1-1

-1离散数学试题(B卷答案2)

一、证明题(10分)

1)((P∨Q)∧(P∧(Q∨R)))∨(P∧Q)∨(P∧R)T 证明: 左端((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)  ((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)  ((P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律) T (代入) 2) xy(P(x)Q(y)) (xP(x)yQ(y)) 证明：xy(P(x)Q(y))xy(P(x)∨Q(y)) x(P(x)∨yQ(y)) xP(x)∨yQ(y) xP(x)∨yQ(y) (xP(x)yQ(y))

二、求命题公式(PQ)(P∨Q) 的主析取范式和主合取范式(10分)

解：(PQ)(P∨Q)(PQ)∨(P∨Q) (P∨Q)∨(P∨Q) (P∧Q)∨(P∨Q) (P∨P∨Q)∧(Q∨P∨Q) (P∨Q) M1 m0∨m2∨m3

三、推理证明题(10分)

1)(P(QS))∧(R∨P)∧QRS 证明：(1)R (2)R∨P (3)P (4)P(QS) (5)QS (6)Q (7)S (8)RS 2) x(A(x)yB(y))，x(B(x)yC(y))xA(x)yC(y)。

证明：(1)x(A(x)yB(y)) P (2)A(a)yB(y) T(1)，ES (3)x(B(x)yC(y)) P (4)x(B(x)C(c)) T(3)，ES (5)B(b)C(c) T(4)，US (6)A(a)B(b) T(2)，US (7)A(a)C(c) T(5)(6)，I (8)xA(x)C(c) T(7)，UG (9)xA(x)yC(y) T(8)，EG

解设P：今天天气好，Q：考试准时进行，A(e)：e提前进入考场，个体域：考生

的集合，则命题可符号化为：PxA(x)，xA(x)QQP。

(1)PxA(x) P (2)PxA(x) T(1)，E (3)xA(x)P T(2)，E (4)xA(x)Q P (5)(xA(x)Q)∧(QxA(x)) T(4)，E (6)QxA(x) T(5)，I (7)QP T(6)(3)，I

五、已知A、B、C是三个集合，证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) (10分)

证明：∵x A∩(B∪C) x A∧x(B∪C) x A∧(xB∨xC)( x A∧xB)∨(x A∧xC) x(A∩B)∨x A∩C x(A∩B)∪(A∩C)∴A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

六、A={ x1,x2,x3 }，B={ y1,y2}，R={,,}，求其关系矩阵及关系图(10分)。

七、设R={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>}，求r(R)、s(R)和t(R)，并作出它们及R的关系图(15分)。

解：r(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,1>,<2,2>, <3,3>,<4,4>,<5,5>} s(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,2>,<4,2>,<4,3>} R=R={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>} R={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<5,4>} R={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>} t(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<2,2>,<5,1>,<5,4>,<5,5>}

八、设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠且B≠。关系R满足：<，>∈R∈R1且∈R2，证明R是A×B上的等价关系(10分)。

证明对任意的∈A×B，由R1是A上的等价关系可得∈R1，由R2是B上的等价关系可得∈R2。再由R的定义，有<，>∈R，所以R是自反的。

对任意的、∈A×B，若R，则∈R1且∈R2。由R1对称得∈R1，由R2对称得∈R2。再由R的定义，有<，> 432

5∈R，即R，所以R是对称的。

对任意的、、∈A×B，若R且R，则∈R1且∈R2，∈R1且∈R2。由∈R

1、∈R1及R1的传递性得∈R1，由∈R

2、∈R2及R2的传递性得∈R1。再由R的定义，有<，>∈R，即R，所以R是传递的。

综上可得，R是A×B上的等价关系。

九、设f：AB，g：BC，h：CA，证明：如果hgf=IA，fhg=IB，gfh=IC，则f、g、h均为双射，并求出f、g和h(10分)。

由hgf=IA，得f=hg;由fhg=IB，得g=fh;由gfh=IC，得h=gf。 -

1-1

-1-1-1

-1离散数学试题(B卷答案3)

一、(10分)判断下列公式的类型(永真式、永假式、可满足式)?(写过程) 1)P(P∨Q∨R) 2)((QP)∨P)∧(P∨R) 3)((P∨Q)R)((P∧Q)∨R) 解：1)重言式;2)矛盾式;3)可满足式

二、(10分)求命题公式(P∨(Q∧R))(P∨Q∨R)的主析取范式，并求成真赋值。

解：(P∨(Q∧R))(P∨Q∨R)(P∨(Q∧R))∨P∨Q∨R P∧(Q∨R)∨P∨Q∨R (P∧Q)∨(P∧R)∨(P∨Q)∨R ((P∨Q)∨(P∨Q))∨(P∧R)∨R 1∨((P∧R)∨R)1 m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7 该式为重言式，全部赋值都是成真赋值。

三、(10分)证明 ((P∧Q∧A)C)∧(A(P∨Q∨C))(A∧(PQ))C 证明：((P∧Q∧A)C)∧(A(P∨Q∨C))((P∧Q∧A)∨C)∧(A∨(P∨Q∨C)) ((P∨Q∨A)∨C)∧((A∨P∨Q)∨C)

((P∨Q∨A)∧(A∨P∨Q))∨C ((P∨Q∨A)∧(A∨P∨Q))C ((P∨Q∨A)∨(A∨P∨Q))C ((P∧Q∧A)∨(A∧P∧Q))C (A∧((P∧Q)∨(P∧Q)))C (A∧((P∨Q)∧(P∨Q)))C (A∧((QP)∧(PQ)))C (A∧(PQ))C

四、(10分)个体域为{1，2}，求xy(x+y=4)的真值。

解：xy(x+y=4)x((x+1=4)∨(x+2=4))

((1+1=4)∨(1+2=4))∧((2+1=4)∨(2+2=4)) (0∨0)∧(0∨1)0∧10

五、(10分)对于任意集合A，B，试证明：P(A)∩P(B)=P(A∩B) 解：xP(A)∩P(B)，xP(A)且xP(B)，有xA且xB，从而xA∩B，xP(A∩B)，由于上述过程可逆，故P(A)∩P(B)=P(A∩B)

六、(10分)已知A={1，2，3，4，5}和R={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>，<5，4>}，求r(R)、s(R)和t(R)。

解：r(R)={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>，<5，4>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>} s(R)={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>，<5，4>，<3，2>，<4，3>，<4，5>} t(R)={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>，<5，4>，<1，1>，<1，3>，<2，2>，<2，4>，<1，4>}

七、(10分)设函数f：R×RR×R，R为实数集，f定义为：f()=。1)证明f是双射。

解：1)，∈R×R，若f()=f()，即=，则x1+y1=x2+y2且x1-y1=x2-y2得x1=x2，y1=y2从而f是单射。

2)∈R×R，由f()=，通过计算可得x=(p+q)/2;y=(p-q)/2;从而的原象存在，f是满射。

八、(10分)是个群，u∈G，定义G中的运算“”为ab=a*u*b，对任意a，b∈G，求证：也是个群。

证明：1)a，b∈G，ab=a*u*b∈G，运算是封闭的。

2)a，b，c∈G，(ab)c=(a*u*b)*u*c=a*u*(b*u*c)=a(bc)，运算是可结合的。

3)a∈G，设E为的单位元，则aE=a*u*E=a，得E=u，存在单位元u。 4)a∈G，ax=a*u*x=E，x=u*a*u，则xa=u*a*u*u*a=u=E，每个元素都有逆元。

所以也是个群。

九、(10分)已知：D=，V={1，2，3，4，5}，E={<1，2>，<1，4>，<2，3>，<3，4>，<3，5>，<5，1>}，求D的邻接距阵A和可达距阵P。

解：1)D的邻接距阵A和可达距阵P如下：

A= 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

1 1 1 0 1 -

1-1

-1

P= 1 1 1 1

十、(10分)求叶的权分别为

2、

4、

6、

8、

10、

12、14的最优二叉树及其权。

解：最优二叉树为

权=(2+4)×4+6×3+12×2+(8+10)×3+14×2=148

离散数学试题(B卷答案4)

一、证明题(10分)

1)((P∨Q)∧(P∧(Q∨R)))∨(P∧Q)∨(P∧R)T

证明: 左端((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)  ((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)  ((P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律) T (代入) 2)x(P(x)Q(x))∧xP(x)x(P(x)∧Q(x)) 证明：x(P(x)Q(x))∧xP(x)x((P(x)Q(x)∧P(x))x((P(x)∨Q(x)∧P(x))x(P(x)∧Q(x))xP(x)∧xQ(x)x(P(x)∧Q(x))

二、求命题公式(PQ)(P∨Q) 的主析取范式和主合取范式(10分)

解：(PQ)(P∨Q)(PQ)∨(P∨Q)(P∨Q)∨(P∨Q)(P∧Q)∨(P∨Q) (P∨P∨Q)∧(Q∨P∨Q)(P∨Q)M1m0∨m2∨m3

三、推理证明题(10分)

1)(P(QS))∧(R∨P)∧QRS 证明：(1)R 附加前提 (2)R∨P P (3)P T(1)(2),I (4)P(QS) P (5)QS T(3)(4),I (6)Q P (7)S T(5)(6),I (8)RS CP 2) x(P(x)∨Q(x))，xP(x)x Q(x) 证明：(1)xP(x) P (2)P(c) T(1),US (3)x(P(x)∨Q(x)) P (4)P(c)∨Q(c) T(3),US (5)Q(c) T(2)(4),I (6)x Q(x) T(5),EG

四、例5在边长为1的正方形内任意放置九个点，证明其中必存在三个点，使得由它们组成的三角形(可能是退化的)面积不超过1/8(10分)。

证明：把边长为1的正方形分成四个全等的小正方形，则至少有一个小正方形内有三个点，它们组成的三角形(可能是退化的)面积不超过小正方形的一半，即1/8。

五、已知A、B、C是三个集合，证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) (10分)

六、={A1，A2，„，An}是集合A的一个划分，定义R={|a、b∈Ai，I=1，2，„，n}，则R是A上的等价关系(15分)。

证明：a∈A必有i使得a∈Ai，由定义知aRa，故R自反。 a,b∈A，若aRb ，则a,b∈Ai，即b,a∈Ai，所以bRa，故R对称。

a,b,c∈A，若aRb 且bRc，则a,b∈Ai及b,c∈Aj。因为i≠j时Ai∩Aj=，故i=j，即a,b,c∈Ai，所以aRc，故R传递。

总之R是A上的等价关系。

七、若f:A→B是双射，则f:B→A是双射(15分)。

证明:对任意的x∈A，因为f是从A到B的函数，故存在y∈B，使∈f，∈f。所以,f是满射。

对任意的x∈A，若存在y1,y2∈B，使得∈f且∈f,则有∈f且∈f。因为f是函数，则y1=y2。所以，f是单射。

因此f是双射。

八、设是群，和是的子群，证明：若A∪B=G，则A=G或B=G(10分)。

证明假设A≠G且B≠G，则存在aA，aB，且存在bB，bA(否则对任意的aA，aB，从而AB，即A∪B=B，得B=G，矛盾。)

对于元素a*bG，若a*bA，因A是子群，aA，从而a * (a*b)=b A，所以矛盾，故a*bA。同理可证a*bB，综合有a*bA∪B=G。综上所述，假设不成立，得证A=G或B=G。

九、若无向图G是不连通的，证明G的补图G是连通的(10分)。

证明设无向图G是不连通的，其k个连通分支为G

1、G

2、„、Gk。任取结点u、v∈G，若u和v不在图G的同一个连通分支中，则[u，v]不是图G的边，因而[u，v]

1-1-1

-1

-1-1-1-1是图G的边;若u和v在图G的同一个连通分支中，不妨设其在连通分支Gi(1≤i≤k)中，在不同于Gi的另一连通分支上取一结点w，则[u，w]和[w，v]都不是图G的边，，

因而[u，w]和[w，v]都是G的边。综上可知，不管那种情况，u和v都是可达的。由u和v的任意性可知，G是连通的。

离散数学试题(B卷答案5)

一、(10分)求命题公式(P∧Q)(PR)的主合取范式。

解：(P∧Q)(PR)((P∧Q)(PR))∧((PR)(P∧Q)) ((P∧Q)∨(P∧R))∧((P∨R)∨(P∨Q)) (P∧Q)∨(P∧R) (P∨R)∧(Q∨P)∧(Q∨R)

(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R) M1∧M3∧M4∧M5

二、(8分)叙述并证明苏格拉底三段论

解：所有人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。符号化：F(x)：x是一个人。G(x)：x要死的。A：苏格拉底。命题符号化为x(F(x)G(x))，F(a)G(a) 证明：

(1)x(F(x)G(x)) P (2)F(a)G(a) T(1),US (3)F(a) P (4)G(a) T(2)(3),I

三、(8分)已知A、B、C是三个集合，证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 证明：∵x A∩(B∪C) x A∧x(B∪C)

 x A∧(xB∨xC)

( x A∧xB)∨(x A∧xC)  x(A∩B)∨x A∩C  x(A∩B)∪(A∩C)

∴A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

四、(10分)已知R和S是非空集合A上的等价关系，试证：1)R∩S是A上的等价关系;2)对a∈A，[a]R∩S=[a]R∩[a]S。

解：x∈A，因为R和S是自反关系，所以∈R、∈S，因而∈R∩S，

故R∩S是自反的。

x、y∈A，若∈R∩S，则∈R、∈S，因为R和S是对称关系，所以因∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是对称的。

x、y、z∈A，若∈R∩S且∈R∩S，则∈R、∈S且∈R、∈S，因为R和S是传递的，所以因∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是传递的。

总之R∩S是等价关系。

2)因为x∈[a]R∩S∈R∩S

∈R∧∈S x∈[a]R∧x∈[a]S x∈[a]R∩[a]S 所以[a]R∩S=[a]R∩[a]S。

五、(10分) 设A={a，b，c，d}，R是A上的二元关系，且R={，，，}，求r(R)、s(R)和t(R)。

解 r(R)=R∪IA={，，，，，，，} s(R)=R∪R={，，，，，} R={，，，} R={，，，} R={，，，}=R

t(R)=R={，，，，，，，

4232-1d>，}

六、(15分) 设A、B、C、D是集合，f是A到B的双射，g是C到D的双射，令h：A×CB×D且∈A×C，h()=。证明h是双射。

证明：1)先证h是满射。

∈B×D，则b∈B，d∈D，因为f是A到B的双射，g是C到D的双射，所以存在a∈A，c∈C，使得f(a)=b，f(c)=d，亦即存在∈A×C，使得h()==，所以h是满射。

2)再证h是单射。

、∈A×C，若h()=h()，则= ，所以f(a1)=f(a2)，g(c1)=g(c2)，因为f是A到B的双射，g是C

到D的双射，所以a1=a2，c1=c2，所以=，所以h是单射。

综合1)和2)，h是双射。

七、(12分)设是群，H是G的非空子集，证明是的子群的充要条件是若a，bH，则有a*bH。

证明： a,b∈H有b∈H，所以a*b∈H。 a∈H，则e=a*a∈H a=e*a∈H ∵a,b∈H及b∈H，∴a*b=a*(b)∈H ∵HG且H≠,∴*在H上满足结合律 ∴是的子群。

八、(10分)设G=是简单的无向平面图，证明G至少有一个结点的度数小于等于5。

解：设G的每个结点的度数都大于等于6，则2|E|=d(v)≥6|V|，即|E|≥3|V|，与简单无向平面图的|E|≤3|V|-6矛盾，所以G至少有一个结点的度数小于等于5。九.G=,A={a,b,c},*的运算表为：(写过程，7分) -

1-1

-1-1-1-1-1

-1-1 (1)G是否为阿贝尔群?

(2)找出G的单位元;(3)找出G的幂等元(4)求b的逆元和c的逆元解：(1)(a*c)*(a*c)=c*c=b=a*b=(a*a)*(c*c) (a*b)*(a*b)=b*b=c=a*c=(a*a)*(b*b) (b*c)*(b*c)=a*a=a=c*b=(b*b)*(c*c) 所以G是阿贝尔群

(2)因为a*a=a a*b=b*a=b a*c=c*a=c 所以G的单位元是a (3)因为a*a=a 所以G的幂等元是a (4)因为b*c=c*b=a，所以b的逆元是c且c的逆元是b

十、(10分)求叶的权分别为

2、

4、

6、

8、

10、

12、14的最优二叉树及其权。

解：最优二叉树为

权=148 离散数学试题(B卷答案6)

一、(20分)用公式法判断下列公式的类型： (1)(P∨Q)(PQ) (2)(PQ)(P∧(Q∨R)) 解：(1)因为(P∨Q)(PQ)(P∨Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)

(P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q) m1∨m2∨m3 M0

所以，公式(P∨Q)(PQ)为可满足式。

(2)因为(PQ)(P∧(Q∨R))(( P∨Q))∨(P∧Q∧R))

(P∨Q)∨(P∧Q∧R))

(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨Q)∧(P∨Q∨R) (P∨Q)∧(P∨Q∨R)

(P∨Q∨(R∧R))∧(P∨Q∨R) (P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R) M0∧M1

m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7

所以，公式(PQ)(P∧(Q∨R))为可满足式。

二、(15分)在谓词逻辑中构造下面推理的证明：每个科学家都是勤奋的，每个勤奋

又身体健康的人在事业中都会获得成功。存在着身体健康的科学家。所以，存在着事业获得成功的人或事业半途而废的人。

解：论域：所有人的集合。Q(x)：x是勤奋的;H(x)：x是身体健康的;S(x)：x是科学家;C(x)：x是事业获得成功的人;F(x)：x是事业半途而废的人;则推理化形式为：

x(S(x)H(x))Q(x))，x(Q(x)∧H(x)C(x))，x(S(x)∧x(C(x)∨F(x)) 下面给出证明：

(1)x(S(x)∧H(x))

P (2)S(a)∧H(a)

T(1)，ES (3)x(S(x)Q(x))

P (4)S(a)Q(a)

T(1)，US (5)S(a)

T(2)，I (6)Q(a)

T(4)(5)，I (7)H(a)

T(2)，I (8)Q(a)∧H(a)

T(6)(7)，I (9)x(Q(x)∧H(x)C(x))

P (10)Q(a)∧H(a)C(a)

T(9)，Us (11)C(a)

T(8)(10)，I (12)xC(x)

T(11)，EG (13)x(C(x)∨F(x))

T(12)，I

三、(10分)设A={，1，{1}}，B={0，{0}}，求P(A)、P(B)-{0}、P(B)B。解

P(A)={，{}，{1}，{{1}}，{，1}，{，{1}}，{1，{1}}，{，1，{1}}} P(B)-{0}={，{0}，{{0}}，{0，{0}}-{0}={，{0}，{{0}}，{0，{0}} P(B)B={，{0}，{{0}}，{0，{0}}{0，{0}}={，0，{{0}}，{0，{0}}

四、(15分)设R和S是集合A上的任意关系，判断下列命题是否成立? (1)若R和S是自反的，则R*S也是自反的。 (2)若R和S是反自反的，则R*S也是反自反的。 (3)若R和S是对称的，则R*S也是对称的。

(4)若R和S是传递的，则R*S也是传递的。 (5)若R和S是自反的，则R∩S是自反的。 (6)若R和S是传递的，则R∪S是传递的。

解

(1)成立。对任意的a∈A，因为R和S是自反的，则∈R，∈S，于是∈R*S，故R*S也是自反的。

(2)不成立。例如，令A={1，2}，R={<1，2>}，S={<2，1>}，则R和S是反自反的，但R*S={<1，1>}不是反自反的。

(3)不成立。例如，令A={1，2，3}，R={<1，2>，<2，1>，<3，3>}，S={<2，3>，<3，2>}，则R和S是对称的，但R*S={<1，3>，<3，2>}不是对称的。

(4)不成立。例如，令A={1，2，3}，R={<1，2>，<2，3>，<1，3>}，S={<2，3>，<3，1>，<2，1>}，则R和S是传递的，但R*S={<1，3>，<1，1>，<2，1>}不是传递的。

(5)成立。对任意的a∈A，因为R和S是自反的，则∈R，∈S，于是∈R∩S，所以R∩S是自反的。

五、(15分)令X={x1，x2，„，xm}，Y={y1，y2，„，yn}。问 (1)有多少个不同的由X到Y的函数?

(2)当n、m满足什么条件时，存在单射，且有多少个不同的单射? (3)当n、m满足什么条件时，存在双射，且有多少个不同的双射?

解

(1)由于对X中每个元素可以取Y中任一元素与其对应，每个元素有n种取法，所以不同的函数共nm个。

(2)显然当|m|≤|n|时，存在单射。由于在Y中任选m个元素的任一全排列都形成X到

mY的不同的单射，故不同的单射有Cnm!=n(n-1)(n―m―1)个。

(3)显然当|m|=|n|时，才存在双射。此时Y中元素的任一不同的全排列都形成X到Y的不同的双射，故不同的双射有m!个。

六、(5分)集合X上有m个元素，集合Y上有n个元素，问X到Y的二元关系总共有多少个?

解

X到Y的不同的二元关系对应X×Y的不同的子集，而X×Y的不同的子集共有个2mn，所以X到Y的二元关系总共有2mn个。

七、(10分)若是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x=

b。

证明设e是群的幺元。令x=a1*b，则a*x=a*(a1*b)=(a*a1)*b=e*b=b。

-所以，x=a1*b是a*x=b的解。 -若x∈G也是a*x=b的解，则x=e*x=(a1*a)*x=a1*(a*x)=a1*b=x。所以，x

-=a1*b是a*x=b的惟一解。 -

八、(10分)给定连通简单平面图G=，且|V|=6，|E|=12。证明：对任意f∈F，d(f)=3。

证明

由偶拉公式得|V|-|E|+|F|=2，所以|F|=2-|V|+|E|=8，于是d(f)=2|E|=

fF24。若存在f∈F，使得d(f)>3，则3|F|<2|E|=24，于是|F|<8，与|F|=8矛盾。故对任意f∈F，d(f)=3。

离散数学试题(B卷答案7)

一、(15分)设计一盏电灯的开关电路，要求受3个开关A、B、C的控制：当且仅当A和C同时关闭或B和C同时关闭时灯亮。设F表示灯亮。

(1)写出F在全功能联结词组{}中的命题公式。 (2)写出F的主析取范式与主合取范式。

解

(1)设A：开关A关闭;B：开关B关闭;C：开关C关闭;F=(A∧C)∨(B∧C)。在全功能联结词组{}中：

A(A∧A)AA A∧C( A∧C)( AC)(AC)(AC)

A∨B(A∧B)(( AA)∧(BB))( AA)(BB) 所以

F((AC)(AC))∨((BC)(BC)) (((AC)(AC))((AC)(AC)))(((BC)(BC))((BC)(BC))) (2)F(A∧C)∨(B∧C)

(A∧(B∨B)∧C)∨((A∨A)∧B∧C) (A∧B∧C)∨(A∧B∧C)∨(A∧B∧C)∨(A∧B∧C) m3∨m5∨m7

主析取范式 M0∧M1∧M2∧M4∧M6

主合取范式

二、(10分)判断下列公式是否是永真式? (1)(xA(x)xB(x))x(A(x)B(x))。 (2)(xA(x)xB(x))x(A(x)B(x)))。解

(1)(xA(x)xB(x))x(A(x)B(x)) (xA(x)∨xB(x))x(A(x)B(x)) (xA(x)∨xB(x))∨x(A(x)∨B(x)) (xA(x)∧xB(x))∨xA(x)∨xB(x) (xA(x)∨xA(x)∨xB(x))∧(xB(x)∨xA(x)∨xB(x)) x(A(x)∨A(x))∨xB(x) T

所以，(xA(x)xB(x))x(A(x)B(x))为永真式。

(2)设论域为{1，2}，令A(1)=T;A(2)=F;B(1)=F;B(2)=T。

则xA(x)为假，xB(x)也为假，从而xA(x)xB(x)为真;而由于A(1)B(1)为假，所以x(A(x)B(x))也为假，因此公式(xA(x)xB(x))x(A(x)B(x))为假。该公式不是永真式。

三、(15分)设X为集合，A=P(X)-{}-{X}且A≠，若|X|=n，问 (1)偏序集是否有最大元? (2)偏序集是否有最小元?

(3)偏序集中极大元和极小元的一般形式是什么?并说明理由。解

偏序集不存在最大元和最小元，因为n>2。

考察P(X)的哈斯图，最底层的顶点是空集，记作第0层，由底向上，第一层是单元集，第二层是二元集，…，由|X|=n，则第n-1层是X的n-1元子集，第n层是X。偏序集与偏序集相比，恰好缺少第0层和第n层。因此的极小元就是X的所有单元集，即{x}，x∈X;而极大元恰好是比X少一个元素，即X-{x}，x∈X。

四、(10分)设A={1，2，3，4，5}，R是A上的二元关系，且R={<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。

解

r(R)=R∪IA={<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>} s(R)=R∪R1={<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，2>，-

<4，2>，<4，3>} R2={<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>} R3={<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>} R4={<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}=R2 t(R)=Ri={<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，i11>，<5，4>，<5，5>}。

五、(10分)设函数g：A→B，f：B→C，

(1)若fg是满射，则f是满射。 (2)若fg是单射，则g是单射。

证明

因为g：A→B，f：B→C，由定理5.5知，fg为A到C的函数。

(1)对任意的z∈C，因fg是满射，则存在x∈A使fg(x)=z，即f(g(x))=z。由g：A→B可知g(x)∈B，于是有y=g(x)∈B，使得f(y)=z。因此，f是满射。

(2)对任意的x

1、x2∈A，若x1≠x2，则由fg是单射得fg(x1)≠fg(x2)，于是f(g(x1))≠f(g(x2))，必有g(x1)≠g(x2)。所以，g是单射。

六、(10分)有幺元且满足消去律的有限半群一定是群。

证明

设是一个有幺元且满足消去律的有限半群，要证是群，只需证明G的任一元素a可逆。

考虑a，a2，„，ak，„。因为G只有有限个元素，所以存在k>l，使得ak=al。令m=k-l，有al*e=al*am，其中e是幺元。由消去率得am=e。

于是，当m=1时，a=e，而e是可逆的;当m>1时，a*am-1=am-1*a=e。从而a是可逆的，其逆元是am-1。总之，a是可逆的。

七、(20分)有向图G如图所示，试求： (1)求G的邻接矩阵A。

(2)求出A

2、A3和A4，v1到v4长度为

1、

2、3和4的路有多少?

(3)求出ATA和AAT，说明ATA和AAT中的第(2，2)元素和第(2，3)元素的意义。 (4)求出可达矩阵P。 (5)求出强分图。

解

(1)求G的邻接矩阵为：

00A00101011

101100(2)由于

002A001110220130

1 A0211102011120322044A

031201012313 2322所以v1到v4长度为

1、

2、3和4的路的个数分别为

1、

2、3。 (3)由于

00ATA000002131212TAA

21011102132110 2121再由定理10.19可知，所以ATA的第(2，2)元素为3，表明那些边以v2为终结点且具有不同始结点的数目为3，其第(2，3)元素为0，表明那些边既以v2为终结点又以v3为终结点，并且具有相同始结点的数目为0。AAT中的第(2，2)元素为2，表明那些边以v2为始结点且具有不同终结点的数目为2，其第(2，3)元素为1，表明那些边既以v2为始结点又以v3为始结点，并且具有相同终结点的数目为1。

(4)00B4AA2A3A40000所以求可达矩阵为P0000(5)因为PPT0010100110+10101000111111。

11111111101111∧1111111100001110=01110111000111，所以{v1}，{v2，v3，v4}

111111因

1110



2010

1110

0110

2120312204+

2120320101231323220

000

为

741



747

，

747



434构成G的强分图。

离散数学试题(B卷答案8)

一、(10分)证明(P∨Q)∧(PR)∧(QS)S∨R

证明

因为S∨RRS，所以，即要证(P∨Q)∧(PR)∧(QS)RS。 (1)R

附加前提 (2)PR

P (3)P

T(1)(2)，I (4)P∨Q

P (5)Q

T(3)(4)，I (6)QS

P (7)S

T(5)(6)，I (8)RS

CP (9)S∨R

T(8)，E

二、(15分)根据推理理论证明：每个考生或者勤奋或者聪明，所有勤奋的人都将有所作为，但并非所有考生都将有所作为，所以，一定有些考生是聪明的。

设P(e)：e是考生，Q(e)：e将有所作为，A(e)：e是勤奋的，B(e)：e是聪明的，个体域：人的集合，则命题可符号化为：x(P(x)(A(x)∨B(x)))，x(A(x)Q(x))，x(P(x)Q(x))x(P(x)∧B(x))。

(1)x(P(x)Q(x))

P (2)x(P(x)∨Q(x))

T(1)，E (3)x(P(x)∧Q(x))

T(2)，E (4)P(a)∧Q(a)

T(3)，ES (5)P(a)

T(4)，I (6)Q(a)

T(4)，I (7)x(P(x)(A(x)∨B(x))

P (8)P(a)(A(a)∨B(a))

T(7)，US (9)A(a)∨B(a)

T(8)(5)，I (10)x(A(x)Q(x))

(11)A(a)Q(a)

T(10)，US (12)A(a)

T(11)(6)，I

(13)B(a)

T(12)(9)，I (14)P(a)∧B(a)

T(5)(13)，I (15)x(P(x)∧B(x))

T(14)，EG

三、(10分)某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球，求不会打这三种球的人数。

解

设A、B、C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则：

|A|=12，|B|=6，|C|=14，|A∩C|=6，|B∩C|=5，|A∩B∩C|=2，|(A∪C)∩B|=6。因为|(A∪C)∩B|=(A∩B)∪(B∩C)|=|(A∩B)|+|(B∩C)|-|A∩B∩C|=|(A∩B)|+5-2=6，所以|(A∩B)|=3。于是|A∪B∪C|=12+6+14-6-5-3+2=20，|ABC|=25-20=5。故，不会打这三种球的共5人。

四、(10分)设A

1、A2和A3是全集U的子集，则形如Ai(Ai为Ai或Ai)的集合称

i13为由A

1、A2和A3产生的小项。试证由A

1、A2和A3所产生的所有非空小项的集合构成全集U的一个划分。

证明

小项共8个，设有r个非空小项s

1、s

2、…、sr(r≤8)。

对任意的a∈U，则a∈Ai或a∈Ai，两者必有一个成立，取Ai为包含元素a的Ai或Ai，则a∈Ai，即有a∈si，于是Usi。又显然有siU，所以U=si。

i1i1i1i1i13rrrr任取两个非空小项sp和sq，若sp≠sq，则必存在某个Ai和Ai分别出现在sp和sq中，于是sp∩sq=。

综上可知，{s1，s2，…，sr}是U的一个划分。

五、(15分)设R是A上的二元关系，则：R是传递的R*RR。

证明

(5)若R是传递的，则∈R*Rz(xRz∧zSy)xRc∧cSy，由R是传递的得xRy，即有∈R，所以R*RR。

反之，若R*RR，则对任意的x、y、z∈A，如果xRz且zRy，则∈R*R，于是有∈R，即有xRy，所以R是传递的。

六、(15分)若G为连通平面图，则n-m+r=2，其中，n、m、r分别为G的结点数、边数和面数。

证明

对G的边数m作归纳法。

当m=0时，由于G是连通图，所以G为平凡图，此时n=1，r=1，结论自然成立。假设对边数小于m的连通平面图结论成立。下面考虑连通平面图G的边数为m的情况。

设e是G的一条边，从G中删去e后得到的图记为G，并设其结点数、边数和面数分别为n、m和r。对e分为下列情况来讨论：

若e为割边，则G有两个连通分支G1和G2。Gi的结点数、边数和面数分别为ni、mi和ri。显然n1+n2=n=n，m1+m2=m=m-1，r1+r2=r+1=r+1。由归纳假设有n1-m1+r1=2，n2-m2+r2=2，从而(n1+n2)-(m1+m2)+(r1+r2)=4，n-(m-1)+(r+1)=4，即n-m+r=2。

若e不为割边，则n=n，m=m-1，r=r-1，由归纳假设有n-m+r=2，从而n-(m-1)+r-1=2，即n-m+r=2。

由数学归纳法知，结论成立。

七、(10分)设函数g：A→B，f：B→C，则： (1)fg是A到C的函数;

(2)对任意的x∈A，有fg(x)=f(g(x))。

证明

(1)对任意的x∈A，因为g：A→B是函数，则存在y∈B使∈g。对于y∈B，因f：B→C是函数，则存在z∈C使∈f。根据复合关系的定义，由∈g和∈f得∈g*f，即∈fg。所以Dfg=A。

对任意的x∈A，若存在y

1、y2∈C，使得、∈fg=g*f，则存在t1使得∈g且∈f，存在t2使得∈g且∈f。因为g：A→B是函数，则t1=t2。又因f：B→C是函数，则y1=y2。所以A中的每个元素对应C中惟一的元素。

综上可知，fg是A到C的函数。

(2)对任意的x∈A，由g：A→B是函数，有∈g且g(x)∈B，又由f：B→C是函数，得∈f，于是∈g*f=fg。又因fg是A到C的函数，则可写为fg(x)=f(g(x))。

八、(15分)设是的子群，定义R={|a、b∈G且a1*b∈H}，

-则R是G中的一个等价关系，且[a]R=aH。

证明

对于任意a∈G，必有a1∈G使得a1*a=e∈H，所以∈R。

若∈R，则a1*b∈H。因为H是G的子群，故(a1*b)1=b1*a∈H。所以

-a>∈R。

若∈R，∈R，则a1*b∈H，b1*c∈H。因为H是G的子群，所以(a

-1*b)*(b1*c)=a1*c∈H，故∈R。 --综上可得，R是G中的一个等价关系。

对于任意的b∈[a]R，有∈R，a1*b∈H，则存在h∈H使得a1*b=h，b=a*h，

-于是b∈aH，[a]RaH。对任意的b∈aH，存在h∈H使得b=a*h，a1*b=h∈H，

-b>∈R，故aH[a]R。所以，[a]R=aH。

离散数学试题(B卷答案9)

一、(10分)证明(P∧Q∧AC)∧(AP∨Q∨C)(A∧(PQ))C。证明：(P∧Q∧AC)∧(AP∨Q∨C)(P∨Q∨A∨C)∧(A∨P∨Q∨C)

(P∨Q∨A∨C)∧(A∨P∨Q∨C) ((P∨Q∨A)∧(A∨P∨Q))∨C ((P∧Q∧A)∨(A∧P∧Q))∨C ( A∧((P∧Q)∨(P∧Q)))∨C ( A∧(PQ))∨C (A∧(PQ))C。

二、(10分)举例说明下面推理不正确：xy(P(x)Q(y))，yz(R(y)Q(z))xz(P(x)R(z))。

解：设论域为{1，2}，令P(1)=P(2)=T;Q(1)=Q(2)=T;R(1)=R(2)=F。则： xy(P(x)Q(y))x((P(x)Q(1))∨(P(x)Q(2)))

((P(1)Q(1))∨(P(1)Q(2)))∧((P(2)Q(1))∨(P(2)Q(2))) ((TT)∨(TT))∧((TT)∨(TT)) T yz(R(y)Q(z))y((R(y)Q(1))∨(R(y)Q(2)))

((R(1)Q(1))∨(R(1)Q(2)))∧((R(2)Q(1))∨(R(2)Q(2)))

((FT)∨(FT))∧((FT)∨(FT))

T

但

xz(P(x)R(z))x((P(x)R(1))∧(P(x)R(2))) ((P(1)R(1))∧(P(1)R(2)))∨((P(2)R(1))∧(P(2)R(2))) ((TF)∧(TF))∨((TF)∧(TF)) F 所以，xy(P(x)Q(y))，yz(R(y)Q(z))xz(P(x)R(z))不正确。

三、(15分)在谓词逻辑中构造下面推理的证明：所有牛都有角，有些动物是牛，所以，有些动物有角。

解：令P(x)：x是牛;Q(x)：x有角;R(x)：x是动物;则推理化形式为：

x(P(x)Q(x))，x(P(x)∧R(x))x(Q(x)∧R(x)) 下面给出证明：

(1)x(P(x)∧R(x))

P (2)P(a)∧R(a)

T(1)，ES (3)x(P(x)Q(x))

P (4)P(a)Q(a)

T(3)，US (5)P(a)

T(2)，I (6)Q(a)

T(4)(5)，I (7)R(a)

T(2)，I (8)Q(a)∧R(a)

T(6)(7)，I (9)x(Q(x)∧R(x))

T(8)，EG

四、(10分)证明(A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)。

证明：因为∈(A∩B)×(C∩D)x∈(A∩B)∧y∈(C∩D)x∈A∧x∈B∧y∈C∧y∈D(x∈A∧y∈C)∧(x∈B∧y∈D)∈A×C∧∈B×D∈(A×C)∩(B×D)，所以(A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)。

五、(15分)设A={1，2，3，4，5}，R是A上的二元关系，且R={<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。

解

六、(10分)若函数f：A→B是双射，则对任意x∈A，有f1(f(x))=x。

-证明

对任意的x∈A，因为f：A→B是函数，则∈f，于是

-由f-1是B到A的函数，于是可写为f1(f(x))=x。

七、(10分)若G为有限群，则|G|=|H|·[G:H]。

证明

设[G:H]=k，a

1、a

2、…、ak分别为H的k个左陪集的代表元，由定理8.38得

G[ai]RaiH

i1i1kk又因为对H中任意不同的元素x、y∈H及a∈G，必有a*x≠a*y，所以|a1H|=…=|akH|=|H|。因此

|G||aiH|i1k|aH|k|H|=|H|·[G:H]。

ii1k

八、(20分)(1)画出3阶2条边的所有非同构有向简单图。

解：由握手定理可知，所画的有向简单图各结点度数之和为4，且最大出度和最大入度均小于或等于2。度数列与入度列、出度列为：

1、

2、1：入度列为0、

1、1或0、

2、0或

1、0、1;出度列为

1、

1、0或

1、0、1或0、

2、0

2、

2、0：入度列为

1、

1、0;出度列为

1、

1、0 四个所求有向简单图如图所示。

(2)设G是n(n≥4)阶极大平面图，则G的最小度≥3。

证明

设v是极大平面图G的任一结点，则v在平面图G-{v}的某个面f内。由于G-{v}是一个平面简单图且其结点数大于等于3，所以d(f)≥3。由G的极大平面性，v与f上的结点之间都有边，因此d(v)≥3。由v的任意性可得，G的最小度≥3。

离散数学试题(B卷答案10)

一、(10分)使用将命题公式化为主范式的方法，证明(PQ)(P∧Q)(QP)∧(P∨Q)。

证明：因为(PQ)(P∧Q)(P∨Q)∨(P∧Q)

(P∧Q)∨(P∧Q) (QP)∧(P∨Q)(Q∨P)∧(P∨Q) (P∧Q)∨(Q∧Q)∨(P∧P) ∨(P∧Q) (P∧Q)∨P

(P∧Q)∨(P∧(Q∨Q)) (P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q) (P∧Q)∨(P∧Q) 所以，(PQ)(P∧Q)(QP)∧(P∨Q)。

二、(10分)证明下述推理：如果A努力工作，那么B或C感到愉快;如果B愉快，那么A不努力工作;如果D愉快那么C不愉快。所以，如果A努力工作，则D不愉快。

解设A：A努力工作;B、C、D分别表示B、C、D愉快;则推理化形式为： AB∨C，BA，DCAD

(1)A 附加前提 (2)AB∨C P (3)B∨C T(1)(2)，I (4)BA P (5)AB

T(4)，E (6)B T(1)(5)，I (7)C T(3)(6)，I

(8)DC P (9)D T(7)(8)，I (10)AD CP

三、(10分)证明xy(P(x)Q(y))(xP(x)yQ(y))。 xy(P(x)Q(y))xy(P(x)∨Q(y)) x(P(x)∨yQ(y)) xP(x)∨yQ(y) xP(x)∨yQ(y) (xP(x)yQ(y))

四、(10分)设A={，1，{1}}，B={0，{0}}，求P(A)、P(B)-{0}、P(B)B。解 P(A)={，{}，{1}，{{1}}，{，1}，{，{1}}，{1，{1}}，{，1，{1}}} P(B)-{0}={，{0}，{{0}}，{0，{0}}-{0}={，{0}，{{0}}，{0，{0}} P(B)B={，{0}，{{0}}，{0，{0}}{0，{0}}={，0，{{0}}，{0，{0}}

五、(15分)设X={1，2，3，4}，R是X上的二元关系，R={<1，1>，<3，1>，<1，3>，<3，3>，<3，2>，<4，3>，<4，1>，<4，2>，<1，2>} (1)画出R的关系图。 (2)写出R的关系矩阵。

(3)说明R是否是自反、反自反、对称、传递的。解 (1)R的关系图如图所示： (2) R的关系矩阵为：

10M(R)111011101100 00(3)对于R的关系矩阵，由于对角线上不全为1，R不是自反的;由于对角线上存在非0元，R不是反自反的;由于矩阵不对称，R不是对称的;

经过计算可得

10M(R2)111011101100M(R)，所以R是传递的。 00

六、(15分)设函数f：R×RR×R，f定义为：f()=。 (1)证明f是单射。 (2)证明f是满射。 (3)求逆函数f。

(4)求复合函数ff和ff。

证明 (1)对任意的x，y，x1，y1∈R，若f()=f()，则=，x+y=x1+y1，x-y=x1-y1，从而x=x1，y=y1，故f是单射。

(2)对任意的∈R×R，令x=-1-

1uwuwuwuw

，y=，则f()=<+，2222uwuw->=，所以f是满射。 22(3)f()=<-1-1uwuw，>。 22-1(4)ff()=f(f())=f

-1