中学数学数形结合论文

中学数学数形结合论文（精选9篇）

篇1：中学数学数形结合论文

数形结合思想

“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．

一、以数助形

要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等． 例

1、如图，在正△ABC的三边AB、BC、CA上分别有点D、E、F.若DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB同时成立，求点D在AB上的位置.例

2、如图，△ABC三边的长分别是BC=17，CA=18，AB=19.过△ABC内的点P向△ABC 的三边分别作垂线PD、PE、PF（D、E、F为垂足）.若

BDCEAF27.求：BDBF的长.例

3、已知ABC的三边长分别为mn、2mn及mn（m、n为正2222整数，且 mn）。求ABC的面积（用含m、n的代数式表示）。

【海伦公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，设pabc

2，则S】 p(pa)(pb)(pc)。

例

4、将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形．

例

5、如图，ABC是一块锐角三角形余料，边AD80毫米，BC120毫 米，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个定点分

别在AB,AC上，设该矩形的长QMy毫米，宽MNx毫米．当x与y

分别取什么值时，矩形PQMN的面积最大？最大面积是多少？

例

6、如图,点P是矩形ABCD内一点，PA3，PB=4，PC=5，求PD的长．

二、以形助数

几何图形在数学中所具有的最大的优势就是直观易懂，所以在谈到“数形结合”思想时，就更偏好于“以形助数”的方法，利用几何图形解决相关不易求解的代数问题。几何图形直观的运用于代数中主要体现在几个方面：

（1）利用相关的几何图形帮助记忆代数公式，例如：完全平方公式与平方差公式；

（2）利用数轴及平面直角坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，进而帮

助求解相关的代数问题，或者简化相关的代数运算。

例

1、在等腰ABC中,ABAC5,BC6,P是底边上任一点,求P到两腰的距离的和． 例

2、已知a、b均为正数，且ab2。求a24b21的最小值。

例

3、若将数轴折叠，使得A点与－2表示的点重合，若数轴上M、N两点之间的距离为2012(M在N的左侧)，且M、N两点经过折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M:N:

例

4、数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位，点A，B，C，D分别表示整数a，b，c，d，且d－2a＝10，则原点在（）的位置

A.点AB.点BC.点CD.点D

x－a＞0例

5、已知关于x的不等式组的整数解共有2个，则a的取值范围是___________． 2－x＞0

例

6、如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．

(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为20；

若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5（单位：cm），由此可得到木棒长为．

(2)由题(1)的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题:

一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？

1例

7、如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的正2

三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一

1块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，„，记第n(n≥3)块纸板的周长为Pn，则Pn2

－Pn－1

„

①②③④

篇2：中学数学数形结合论文

编稿：林景飞

审稿：张扬

责编：辛文升 热点分析 高考动向

数形结合应用广泛，不仅在解答选择题、填空题中显示出它的优越性，而且在解决一些抽象数学问题中常起到事半功倍的效果。高考中利用数形结合的思想在解决选、填题中十分方便，而在解答题中书写应以代数推理论证为主，几何方法可作为思考的方法。数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数解形”在近年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视。历年的高考都有关于数形结合思想方法的考查，且占比例较大。

知识升华

数形结合是通过“以形助数”（将所研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形）或“以数助形”（借助数的精确性来阐明形的某种属性），把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，是解决问题的一种数学思想方法。它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。

具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论。

选择题，填空题等客观性题型，由于不要求解答过程，就某些题目而言，这给学生创造了灵活运用数形结合思想，寻找快速思路的空间。但在解答题中，运用数形结合思想时，要注意辅之以严格的逻辑推理，“形”上的直观是不够严密的。1．高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面：

（1）集合问题中Venn图（韦恩图）的运用；

（2）数轴及直角坐标系的广泛应用；

（3）函数图象的应用；

（4）数学概念及数学表达式几何意义的应用；

（5）解析几何、立体几何中的数形结合。

2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：

（1）等价性原则。要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应；

（2）双方性原则。既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分

析容易出错；

（3）简单性原则。不要为了“数形结合”而数形结合，具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；

二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变

量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳。

3．进行数形结合的信息转换，主要有三个途径：

（1）建立坐标系，引入参变数，化静为动，以动求解，如解析几何；

（2）构造成转化为熟悉的函数模型，利用函数图象求解；

（3）构造成转化为熟悉的几何模型，利用图形特征求解。4．常见的“以形助数”的方法有：

（1）借助于数轴、文氏图，树状图，单位圆；

（2）借助于函数图象、区域(如线性规划)、向量本身的几何背景；

（3）借助于方程的曲线，由方程代数式，联想其几何背景，并用几何知识解决问题，如点，直线，斜

率，距离，圆及其他曲线，直线和曲线的位置关系等，对解决代数问题都有重要作用，应充分予

以重视。

5．常见的把数作为手段的数形结合：

主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有这方面的考查.经典例题透析

类型一：利用数形结合思想解决函数问题 1．(2010全国Ⅰ·理)已知函数a+2b的取值范围是

A．

解析：画出

由题设有，B．的示意图.，若，且，则

C．

D．

∴，令，则

∵

∴，∴ 在，.上是增函数.∴

举一反三：

【变式1】已知函数

.选C.在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。

解析：∵

∴抛物线，的开口向下，对称轴是，如图所示：

（1）

（2）

（3）

（1）当a＜0时，如图（1）所示，当x=0时，y有最大值，即

∴1―a=2。即a=―1，适合a＜0。

（2）当0≤a≤1时，如图（2）所示，当x=a时，y有最大值，即

。

∴a―a+1=2，解得

2。

∵0≤a≤1，∴不合题意。

（3）当a＞1时，如图（3）所示。

当x=1时，y有最大值，即

综合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2

【变式2】已知函数

（Ⅰ）写出

（Ⅱ）设的单调区间；，求

在[0，a]上的最大值。

。∴a=2。

解析：

如图：

（1）的单调增区间：

，；单调减区间：（1，2）

时。

（2）当a≤1时，当

当

【变式3】已知

()

（1）若，在上的最大值为，最小值为，求证：；

（2）当]时，都

，时，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得x∈[0，有|f(x)|≤5，问a为何值时，M(a)最大？并求出这个最大值。

解析：

（1）若a=0，则c=0，∴f(x)=2bx

当-2≤x≤2时，f(x)的最大值与最小值一定互为相反数，与题意不符合，∴a≠0；

若a≠0，假设，∴区间[-2,2]在对称轴的左外侧或右外侧，∴f(x)在[-2，2]上是单调函数，（这是不可能的）

（2）当，时，∵，所以，（图1）

（图2）

(1)当

所以

即是方程，时（如图1），则的较小根，即

(2)当

所以

即是方程，时（如图2），则的较大根，即

（当且仅当

时，等号成立），由于，因此当且仅当时，取最大值

类型二：利用数形结合思想解决方程中的参数问题 2．若关于x的方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围。

思路点拨：将方程的左右两边分别看作两个函数，画出函数的图象，借助图象间的关系后求解，可简化运算。

解析：画出

和的图象，当直线过点，即时，两图象有两个交点。

又由当曲线

与曲线

相切时，二者只有一个交点，设切点

又直线，则过切点，即，得，解得切点，∴当时，两函数图象有两个交点，即方程有两个不等实根。

误区警示：作图时，图形的相对位置关系不准确，易造成结果错误。

总结升华：

1．解决这类问题时要准确画出函数图象，注意函数的定义域。

2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把

方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两

个函数的图象，由图求解。

3．在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：

①要准确理解一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；

②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；

③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；

④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，便于问题求解.举一反三：

【变式1】若关于x的方程在（－1，1）内有1个实根，则k的取值范围是。

解析：把方程左、右两侧看作两个函数，利用函数图象公共点的个数来确定方程根的个数。

设（x∈－1，1）

如图：当内有1个实根。

或时，关于x的方程在（－1，1）

【变式2】若0＜θ＜2π，且方程取值范围及这两个实根的和。

有两个不同的实数根，求实数m的解析：将原方程

与直线

转化为三角函数的图象

有两个不同的交点时，求a的范围及α+β的值。

设，在同一坐标中作出这两个函数的图象

由图可知，当

或

时，y1与y2的图象有两个不同交点，即对应方程有两个不同的实数根，若，设原方程的一个根为，则另一个根为.∴.若，设原方程的一个根为，则另一个根为，∴.所以这两个实根的和为或.且由对称性可知，这两个实根的和为或。

类型三：依据式子的结构，赋予式子恰当的几何意义，数形结合解答

3．(北京2010·理)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，设顶点，则函数的最小正周期为________；

在其两个相邻的轨迹方程是零点间的图象与x轴所围成的区域的面积为________.解析：为便于观察，不妨先将正方形PABC向负方向滚动，使P点落在x轴上的点，此点即是函数的一个零点（图1）.（一）以A为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时顶点B位于x轴上，顶点P画出了A为圆心，1为半径的个圆周（图2）；

（二）继续以B为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时顶点C位于x轴上，顶点P画出B为圆心，为半径的个圆周（图3）；

（三）继续以C为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时，顶点P位于x轴上，为点，它画出了C为圆心，1为半径的个圆周（图4）.为又一个零点.∴ 函数的周期为4.相邻两个零点间的图形与x轴围成的图形由两个半径为1的圆、半径为的圆和两个直角边长为1的直角三角形，其面积是

.举一反三：

2【变式1】已知圆C：(x+2)+y=1，P（x，y）为圆C上任一点。

（1）求的最大、最小值；

（2）求的最大、最小值；

（3）求x―2y的最大、最小值。

解析：联想所求代数式的几何意义，再画出草图，结合图象求解。

（1）

表示点（x，y）与原点的距离，由题意知P（x，y）在圆C上，又C（―2，0），半径r=1。

∴|OC|=2。的最大值为2+r=2+1=3，的最小值为2―r=2―1=1。

（2）表示点（x，y）与定点（1，2）两点连线的斜率，设Q（1，2），过Q点作圆C的两条切线，如图：

将整理得kx―y+2―k=0。

∴，解得，所以的最大值为，最小值为。

（3）令x―2y=u，则可视为一组平行线系，当直线与圆C有公共点时，可求得u的范围，最值必在直线与圆C相切时取得。这时

∴

。，最小值为

。，∴x―2y的最大值为

【变式2】求函数

解析：的最小值。

则y看作点P（x，0）到点A（1，1）与B（3，2）距离之和

如图，点A（1，1）关于x轴的对称点A＇（1，－1），则 即为P到A，B距离之和的最小值，∴

【变式3】若方程x+(1+a)x+1+a+b=0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则值范围是（）

2的取

A．

B．或

C．

D．或

解析：如图

由题知方程的根，一个在（0，1）之间，一个在（1，2）之间，则，即

下面利用线性规划的知识，则斜率

篇3：聚焦“数形结合”提升数学思维

一、创设情境, 孕育“数形结合”思想

数学课堂要借助与生活背景相关的情境, 思考实际问题中的数量关系和空间形式, 进而加深对计算原理的理解, 使学生体会数形结合的思想方法。

例如, 教学“有余数的除法”。学习难点是:余数比除数小。课前准备好图片纸, 上课伊始就让学生动手分樱桃 (在图片纸上圈一圈画一画) , 18个樱桃, 平均分给6人, 每人分几个, 学生动手操作, 每人分3个;接着分19个樱桃, 平均分给6个人, 每人分几个, 学生再动手分, 发现每人分3个, 剩1个;接下来分20、21、22、23个。借助直观、具体的分樱桃情境图, 逐步感知理解余数比除数小, 从而突破教学难点, 领悟数形结合思想。

又如, 计算4.2÷3时, 如果教师一味地讲解怎样列竖式, 不深入挖掘其中蕴含的数学方法, 学生只能是机械的记忆, 对为什么这样列竖式没有透彻的理解, 到头来只能“比着葫芦画瓢”, 当一遇到略有点难度的计算时就容易出错。其实在计算4.2÷3时, 它隐含着重要数学思想——数形结合。不妨设计一个情境:用1张正方形纸表示“1”, 你能用这样正方形纸表示出“4.2”吗?学生会用4张同样大小的正方形纸表示“4”, 再用一张正方形纸平均分成10份, 取其中的2份表示“0.2”。接着让学生把“4.2”平均分成3份, 看看每份是多少。

学生思考:把4张正方形纸拿出1张, 平均分成10份, 剩下的3张正方形纸, 平均分成三份, 一份是1张;另外, 10份 (10个0.1) +2份 (2个0.1) =12份 (12个0.1) , 再平均分成三份, 每份是4 (4个0.1) 。这一过程正好蕴涵了计算4.2÷3的算理。

运用数形结合方法有效地帮助学生 (特别是学困生) 理解算理, 竖式的学习也就水到渠成了。像这样的教学如能得到实处, 学生对数形结合思想的领悟就会由宏观到微观、由理念到行为, 学生就会在潜移默化中领悟、运用, 并逐步内化为数学思维品质。

二、设置冲突, 激活“数形结合”思想

学生认知的冲突是经常发生的。有效地设置矛盾冲突点, 在认知的冲突中, 通过思维火花的碰撞, 借助有效的探究方式, 就可以突破难点。

学习计算分数除法, 让学生用一张小纸条折一折, 算一算

很多学生通过圈一圈画一画得知:把4份平均分成2份, 每份是, 如图。推导, 得知分母不变, 分子除以除数。这时很多学生以为得出分数除法计算法则。接着, 计算, 学生试做, 分子4除以3不能整除, 刚才得出的结论不合适了。

学生的认知遇到矛盾, 引导学生:拿出长方形纸条, 折一折画一画, 探索规律。在多次试着圈一圈画一画后, 逐渐推导出平均分成3份, 如图。

每份就是这张纸的, 逐步推导出;得知分数除以一个不等于0的数, 等于乘这个数的倒数。难点借助“形”逐步化解, 学生在认知冲突中经历了探索知识生成的过程。

三、欲擒故纵, 构建“数形结合”思想

问题是学习的载体, 也是学习的“心脏”。选取经典问题, 巧妙设置一些“陷阱”, 使学生“上当”。这种欲擒故纵的办法, 可以使学生体验数形结合解决问题的优势, 提升数形结合的应用价值。

学习分数除法后, 经常遇到一些易混淆的问题, 如:小明比小红矮米, 小红比小明高 ( ) 米。学生凭借以往知识, 容易解答。接着出示:松树比柏树多, 柏树比松树少 ( ) , 很多学生脱口而出。教师质疑并画图:

柏树比松树少 ( ) , 是把松树看作单位“1”, 柏树比松树少1份, 这1份相当于松树6份中的1份, 即。利用线段图一目了然, 便于理解。抽象的数学知识借助图形轻松地得到化解, 学生再遇到类似的问题, 就会触类旁通了。

教师欲擒故纵, 让学生在画图中验证, 并借助一定的载体得以显性化, 学生既加深了对数形结合思想的认识, 又能够灵活地学以致用。

四、扎实练习, 深化“数形结合”思想

练习是课堂教学不可或缺的一部分, 好的练习设计不仅能巩固所学知识, 还能深化认知。设置有层次的练习, 内化所学知识, 可以让学生逐步体会思想方法的重要性。

(1) 图书室有科普读物确120本, 占全部图书的, 学校图书室共有多少本书?

列式, 学生感觉较易解决。

(2) 修一条路上半月修了全长的, 下半月比上半月多修800米, 正好修完, 这条路全长多少米?

学生试着画图并分析:

下半月占全长的, 下半月比上半月多, 正好是800米, 列式

(3) 猴子吃桃子, 第一天吃了, 第二天吃了余下的, 第三天吃了余下的, 第四天吃了余下的, 第五天吃了余下的, 第六天吃了余下的, 还剩下12个, 第一、二天共吃了多少个?引导学生画线段图:

线段图很清楚看出把全部的桃子看做“1”, 平均分7份, 每一天刚好吃一份, 所以第一、二天吃了2份, 一份是12个, 所以第一、二天吃了24个。通过教师的及时点拨, 学生体会到了利用数形结合解决问题的优越性。学生记忆深刻, 再遇到相似问题就会用画线段图来解决。

这样的设计, 题目层次分明。第一题是基础题目, 学生易解答;第二、三题是稍复杂题目;第四题是拔高练习, 学生产生困惑是正常的。在学生有疑惑时引导他们画线段图, 让学生深化对“数形结合”思想的理解。

篇4：中学数形结合的数学思想方法

关键词：数学思想方法；挖掘；数形结合

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1002－7661(2011)08－089－01

在中学数学教学中，教师除了基础知识和基本技能的教学外，还应重视数学思想方法在教学中的挖掘与渗透，注重对学生进行数学思想方法的培养，这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。

在初中阶段常见的数学思想方法有：方程思想、整体思想、分类讨论思想、化归转化思想、函数思想、数形结合思想、统计思想等。这在教学中要充分挖掘数学思想方法，让学生充分感受数学思想方法的作用。以下就其中的数形结合思想方法在教学中的作用及在教学中如何挖掘谈谈我自己的看法。

一般地，人们把代数称为“数”，而把几何称为“形”，数与形表面看是相互独立，其实在一定条件下它们可以相互转化。数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使问题的数量关系巧妙地结合起来，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。

挖掘与渗透数形结合思想，能培养思维的逻辑性和创造性。数学最本质的东西是抽象的，然而数学教学要把抽象的东西形象化，又要通过直观的形象来深化抽象的内容，这种抽象中的形象正是数学教学的真谛。

例如，直线与圆的位置关系，在教学时也可以通过数形结合比较圆心到直线的距离与圆半径两者的大小来确定。即可设00的半径为r，圆心0到直线1的距离为d，利用d与r之间的关系即可判断直线与圆的位置关系。如下图，

当d>r时，圆心O到直线1的距离d大于半径r，因而直线1上的所有点到圆心的距离都大于半径r，说明直线1在圆的外部，与圆没有公共点，因此

(1)当d>r时，直线与圆的位置关系是相离；

(2)当d=r时，直线与圆的位置关系是相切；

(3)当d

同样，圆与圆的位置关系，也可以通过数形结合比较两圆圆心的距离与两圆半径之和(或之差)的大小来确定。

又如，勾股定理结论的论证、函数的图象与函数的性质也是通过数形结合来研究得出结论。例如，研究一次函数y=kx+b(k≠O)的性质时，其性质与k的正负有关，应分两种情况研究，如下图，

由图象可以看出：

(1)当k>0时，y随x的增大而增大，函数图象从左到右上升；

(2)当k<0时，y随x的增大而减小，函数图象从左到右下降。

又如，用三角函数解直角三角形等等都是典型的数形结合的体现。再如不等式组的解集的确定都是利用数轴或其它实图归纳总结出来的。

在数学教学中，由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深学生对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于学生分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。抓住数形结合思想教学，不仅能够提高学生数形转化能力，还可以提高学生迁移思维能力。

篇5：数形结合思想在中学数学中的运用

数形结合是中学数学中基本而又重要的思想方法之一,它将数学问题中的教学关系与空间形式结合起来进行思维,从而使逻辑思维与形象思维完美地统一起来.其解题思想直观,优美而准确.下面就针对教形结合思想的`运用作一些介绍.

作 者：张世谦  作者单位：定西市安定区中华路中学,甘肃定西,743000 刊 名：考试周刊 英文刊名：KAOSHI ZHOUKAN 年，卷(期)： “”(18) 分类号：G63 关键词：数形结合思想   形象思维   数量关系  

篇6：数形结合在小学数学的应用论文

摘要：在小学教育当中，数学学科是一门非常重要的课程，数学学科主要考察的是学生的逻辑思维能力、空间想象能力和问题分析能力，所以小学数学教师想要切实提高小学数学教学质量和教学效率，可以灵活地运用数形结合思想，开展教学活动。本文介绍了小学数学教师在应用数形结合思想的注意事项，然后针对性地提出了有效的应用策略。

关键词：数学结合思想;小学数学教学;应用策略

在小学数学当中，有很多知识与数字、图形存在非常紧密的关系，比如图形的面积、图形的变换等等，这些知识大多比较抽象，学生很难通过简单地想象就充分地理解数学知识。所以小学数学教师可以应用数形结合思想，帮助学生将抽象的数字与具体的图形之间建立联系，帮助学生更好地理解数学问题、分析和解决数学问题。数形结合思想在小学数学教师中的应用，可以帮助学生将抽象的数学问题具象化，将图形的问题数字化，不但可以有效地帮助学生找到新的解题思路，更可以起到培养学生灵活严谨的思维能力以及图像辨识能力，对于提升小学数学的教学效果以及学生综合能力养成方面具有重要的作用。

1小学数学教学应用数形结合思想应注意的问题

数形结合思想是学生解决数学问题的有效手段，应该通过教师的教导后在学生的手中发挥出应有的作用。但是当下，很多小学生在学习数学时不够灵活，不能快速地转换思维，甚至在解决数学问题时常常忘记数形结合的解题思想，导致无法解决相关的数学问题，严重影响了学生的数学学习效果，因此，教师应该主动地引导学生在日常的数学学习中养成使用数形结合思维的习惯。其次，小学数学教师还应当灵活地运用多媒体教学设备，特别是对于那些过于抽象的数学知识，教师使用传统口述的方式很难让学生对知识进行深入的理解，此时借助多媒体设备将数学知识图片化、视频化表现，让学生们直观的感受数学的同时进一步萌发其空间想象能力以及数形结合能力。

2小学数学教学中数形结合思想的应用策略

2.1使抽象数学概念直观化。小学数学中包含着大量概念化的数学知识，这部分数学知识相对来说比较抽象，以小学学生的能力往往有部分学生难以对此类知识进行深入理解，针对这种情况教师在教学中往往是用填鸭式的教学方法，让学生采用死记硬背方式来背诵数学概念和定义，这种机械的记忆方式并没有让学生建立起对于数学概念的知识架构，导致很多小学生并不能充分地理解和掌握数学知识。所以，小学数学教师应当在讲解数学概念时灵活地运用数形结合思想，根据实际的教学内容将数学概念以直观的图形展现出来。例如，小学数学教师在讲解“分数的意义和性质”时，教师可以运用数形结合思想来介绍分数的概念，比如，分数“1/3”，小学数学教师可以画一个长方形，将其均分为三部分，然后分别涂上不同的颜色，帮助学生直观地认识1/3这一分数，由此引申分数的相关概念。2.2使隐性数学规律形象化。小学数学的知识体系当中还包含着部分隐形的数学知识，对于部分此类知识内容，同样可以利用数形结合的思想来帮助学生，通过更加直观有趣的方式对知识进行理解，进而掌握这一部分隐形规律。例如，很多学生在学习“位置与方向”这一章时都觉得非常吃力，这主要是因为很多小学生的控制位置感和方向感都比较差，所以小学数学教师可以运用数形结合思想来讲解这章的知识。教师可以以学校的建筑物为例，将其以简笔画的形式画在黑板上，比如：校园操场、学校大门、升旗台以及教学楼等，然后标注“上北下南、左西右东”的方向箭头，将学校中标志性建筑物的位置，通过图像的方式直观的表达出来。然后教师根据画出的图像来介绍其中隐含的数学规律，比如大门在教室的右边，用方向来表示就是大门在教室的东方。对于方向类的数学知识，学生都可以通过画图的方式来表达数学知识，这会使得数学知识变得更加直观和形象。2.3使复杂的数学问题简单化。由于小学生的认知水平比较有限，所以在面对一些复杂的数学问题时，往往很难快速地理清数学题干中各个条件之间的关系，更别说充分地理解、分析和解答数学问题。对于这类复杂的数学问题，小学数学教师可以巧妙地应用数形结合思想，教师每念一句数学题目中的文字描述，就画出相应的图形，最后向学生呈现最后的`数学图像，通过这种方式可以帮助学生快速找到解决问题的思路与方法。例如，在解决路程的应用题时：一辆轿车熊A地开往B村，每分钟行420米，计划50分钟到达，但是路程行到一半时，小轿车发生故障，用10分钟修好，如果司机想要准时抵达，那么剩下的路程每分钟行多少米?对于这类比较复杂的数学题目，很多小学生常常觉得无从下手，这时小学数学教师可以引导小学生应用数形结合思想，画出简单的线条代表“A地和B村之间的距离”，然后将距离平均分为两个部分，代表已经行驶的路程和未行驶的路程，然后学生再根据路程、时间、速度之间的关系来解决问题。即由于修车耽搁了10分钟，那么司机就应当提高速度来弥补耽误的时间，得出后半路程的速度的计算公式应当是：420x25÷(25-10)，从而计算出正确答案。2.4使数学计算问题清晰化。复杂的数学计算问题是数学课程的重要组成部分，很多小学生难以梳理出正确的计算思路，导致最终只能得出错误的计算答案。同样，小学数学教师可以在解决数学计算问题时应用数形结合思想，把数学计算问题中涉及到的数字信息以图形的方式清晰地展现出来，帮助小学生迅速地理清思路，把握正确的解题思路。例如，在学习“长方体的体积和表面积”时，很多小学生不能熟记长方体几何数学知识，即长方体具有8条棱、8个顶点、6个面。那么学生可以在做题时将题型画出来，一一找到对应的数学问题。另外，学生在学习“长方体的面积和体积”时，也可以通过直接画出长方体的方式来找到对应的面积和体积关系，帮助学生直观地解决数学问题。

参考文献：

[1]吴国静.论现代数学在小学数学课程中的渗透[J].才智，(27)：39.

篇7：数形结合在小学数学中的运用

赞科夫说:“教会学生思考,这对学生来说,是一生中最有价值的本钱”,而要教会学生思考,实质是要教会学生掌握数学的思想方法。常用的数学思想方法有很多,而数形结合思想具有数学学科的鲜明特点,是解决许多数学问题的有效思想。将抽象的数量关系形象化，具有直观性强，易理解、易接受的特点。将直观图形数量化，转化成数学运算，常会降低难度，并且使知识的理解更加深刻明了。

一、数形结合的功能

1、有利于记忆

由于数学语言比较抽象，而图形语言则比较形象。利用图形语言进行记忆速度快，记得牢。笛卡尔曾说：“没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了。因此，用这种方式来表达事物是非常有益的。”同时，由于图象是“形象”的，语言是“抽象”的，因此对图形的记忆往往保持得比较牢固。

2、有助于思考

用图进行思维可以说是数学家的思维特色。往往一个简单的图象就能表达复杂的思想，因此图象语言有助于数学思维的表达。在数学中，有时看到学生遇到难题百思不得其解时，如能画个草图稍加点拔，学生往往思路大开。究其原因就是充分发挥了图象语言的优越性。

二、培养学生数形结合思想方法的措施

1、强化意识，体会作用

我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”数形结合思想方法能巧妙地实现数与形之间的互换，使得看似无法解决的问题简单化、明朗化，让人有“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。数形结合思想方法在解题中的重要性决定了它在平时的教学中也应该受到重视。在数学教学中教师要有意识地沟通数、形之间的联系，帮助学生逐步树立起数形相结合的观点，提高主动运用的意识，并使这一观点扎根到学生的认知结构中去，成为运用自如的思想观念和思维工具，从而提高学生数学修养与解题能力。

例如，学生学完长方形和正方形的周长后，有一题是这样的：用4个变长为2厘米的正方形拼成一个长方形或正方形，周长最大是多少?最小是多少(周长为整厘米数)?　一开始学生看不懂，问我“老师，什么意思?”我说：“看不懂的话，照题目说的拼拼看，可以同桌合作。先想有几种拼法?再想拼好后长和宽各是多少?”在我的启发下，学生很快拼出了两种:

第一种：(8+2)×2=20厘米 第二种： 4×4=16厘米

在这样的探究过程中，教师把“数学结合思想方法”有意识的渗透在学生获得知识和解决问题的过程中，充分利用直观图形，把抽象内容视觉化、具体化、形象化，化深奥为浅显，让学生在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中，看到知识背后负载的方法、蕴涵的思想，那么，学生所掌握的知识才是鲜活的，可迁移的，学生的数学素质才能得到质的飞跃。

2、扩大范围，广泛应用

要培养学生数形结合思想方法，首先教师要切实掌握数形结合的思想方法，以数形相结合的观点钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数形结合思想方法渗透的各种因素,都要考虑如何结合具体内容进行数形结合思想方法渗透。“数形结合思想方法”包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，在小学数学“数与代数”领域教学中，用得最多的是前者，我们可以把数学结合思想方法渗透在教学中的每一内容。以数与形相结合的原则进行教学。

(1)数的认识方面，例如在教学《1000以内数的认识》这节课教学中利用小立方体有效的帮助学生构建知识，以及初步感知十进制的计数方法。数数的难点就是接近整百的数，学生无法感受抽象的数数之间满10的变化，那么我们就将数数的抽象思考方式放大，将思维暴露出来，让学生通过观察小方块的变化，一对一的数数，在数到9变成10时，通过演示让学生理解10的由来同时强化十进制关系。同时通过 “形”来感知数的多少，既形象又深刻，培养了学生良好的数感。

(2)数的运算方面，借助“形”来帮助学生理解非常重要，除了我们常用的可以利用小棒等实物或图形来理解算理外，我们还可以丰富其内容，如：被减数中间有0的减法，可以利用计数器有效的突破难点。

(3)问题解决方面，借助数形结合能化抽象为形象，帮助学生建立直观模型，让数量关系更形象、更清晰。例如：公鸡有50只，比母鸡少15只。母鸡有几只?

从线段图中很直观地看出母鸡的只数由两部分组成：与公鸡同样多的部分和多出来的部分，列式 50+15=65(只)整个过程数形结合，在直观图示的导引下，使问题化难为易，化抽象为具体。

(4)常见的量方面，例如在教学《24时记时法》的教学中可以利用钟表上的刻度，1个大格代表1小时，24小时就是钟面上的时针走了2圈，同时形象的理解了0时和24时在同一点上，让具体的“形”与抽象的数相辅相成。

(5)式与方程方面，例如，在认识方程的教学过程中，可以利用天平秤中的等量帮助学生理解方程中的等量关系。

(6)几何方面，例如，一个长方体的表面积是14平方厘米，并能把这个长方体分割成3个完全相同的正方体，求每个正方体的表面积是多少平方厘米?通过画图可以把抽象的问题形象化。

以上例子仅是代表而已，只要我们留意，数形结合思想方法存在“数与代数”领域的每一个角落。

三、图形结合的方法

数形结合的思想方法是数学学科里最常用的一种方法，它包含了转化、配方、分类讨论、方程思想等数学思想方法，可见数形结合思想方法是数学中极具综合性的思想方法。在平常的教学活动中让学生学到数形结合的方法。教师可以采用多种方式精心组织学生训练，让学生置身于具体的教学过程，才能在教师的引导下逐步领悟，理解和掌握。可以采用以下方式：

1、运用或联想实物。

2、画图。画图的形式很多，包括画线段图、画图形、画示意图、画面积图、画点子图、集合图等等。

3、利用数轴。数轴是体现数形结合思想的一个重要方法。利用数轴，找到实数与数轴上的点的对应关系，让数与数轴这个“形”，紧密融合在一起。例如，教学《小数大小比较》时，由于学生在学习本节课的内容之前只是初步的认识了小数，还没有深入的学习小数的意义，因此学生在总结比较的方法时用抽象的数学语言比较困难。当文字的表述有困难时，利用数轴能很好的解决这一问题。因为对于每一个小数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个小数的大小比较，是通过这两个小数在数轴上的对应点的位置关系进行的。借助数轴让学生理解小数的大小，知道在数轴上越往后这个数越大，越往前这个数就越小。这节课还设计了这样一道练习：

0.4 >()>()>()>()>0.3

在数轴上找出小于0.4大于0.3的小数以及能找出几个，这个练习借助数轴，让抽象的数学变得具体、形象。

4、几何模型。例如，教学“1-1/2-1/4-1/8-1/16=”，对于小学生来说由于逻辑推理有一定的难度，一批中下学生不容易明白，如果采用几何模型进行教学，学生都轻松的掌握了。将上面的算式构造成下面的几何模型图，把一个大正方形看成单位“1”，一次又一次地进行平均分，从图上很容易看出1-1/2-1/4-1/8-1/16=。运用数形结合思想方法可以把代数与几何沟通了，使形直观地反映数内在的联系，拓宽思路，把复杂问题简单化，从而顺利且快速的解决问题，使数学知识变的更有生命力，让人回味无穷。我们提倡多种方式来渗透数形结合思想，要培养学生胸中有图见数想图，以开拓学生的思维视野。

篇8：巧用“数形结合” 解决数学问题

一、巧用“数形结合”, 明算理, 促内化

小学数学的计算中除了要重视计算方法还要引导学生理解算理。所谓“知其然, 更知其所以然”, 若学生不明白道理又怎么能更好地掌握计算方法呢?

这样的“以行助教”让学生看到算式联想到图形, 由图形又能抽象出算式。学生亲身体验“数形结合”, 有效地理解了算理, 促进了知识的内化, 也凸显了数学中的“模型思想”。

二、巧用“数形结合”, 积经验, 掌规律

植树问题是小学数学的数学广角中的一个重点, 特别是此类问题的延伸更是小学生思维的难点。抽象的数量关系通过看得见摸得着的图像表示出来, 指导学生在直观图形中得到的模型应用实践中, 让“无从下手”的知识, 通过模型应用、知识经验、规律掌握, 实现复杂问题从简单问题入手。

在“植树问题”的教学中, 模拟植树, 把植树问题分封闭和非封闭, 把图与文字信息结合, 如用“”代表间隔, 用“”代表一棵树, 抽象出数量关系, 使学生思维有了凭借, 也使数学学习的思想方法得到真正的渗透。

(一) 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形

1.如果在非封闭线路的两端都要植树, 那么:

2.如果在非封闭线路的一端要植树, 另一端不要植树, 那么情况有如下:

3.如果在非封闭线路的两端都不要植树, 那么:

(二) 封闭线路上的植树问题的数量关系如下

株数=段数=全长÷株距全长=株距×株数株距=全长÷株数

无论封闭的还是非封闭的问题, 对小学生而言都是抽象的问题, 画出图形来, 利用间隔与点的关系, 无论千变万化都迎刃而解。

三、巧用“数形结合”, 化直观, 巧练习

(一) 借助几何直观, 形象代替抽象, 易解找规律问题

探索规律有利于培养学生的思维能力。借助图形语言可以把复杂的数学问题变得简单、形象, 有助于探索数学规律、解决数学问题。例2:一杯牛奶, 甲第一次喝了半杯, 第二次又喝了剩下的一半, 就这样每次都喝了上一次剩下的一半。甲五次一共喝了多少牛奶?引导学生把五次所喝的牛奶加起来即列出式子:。单独计算显然不是最好的解题策略, 也很难一步一步计算出结果, 要是利用直观图形计算就方便多了。如下图, 把整杯牛奶看作单位“1”, 画一个图形表示, 由图可知, 没有数值的那一格就是就可以得到上面的结果, 既简单又形象清晰。这里不但向学生渗透了数形结合思想, 还向学生渗透了数学类比思想。

(二) 借助几何直观, 创设有效思维, 妙解平均数问题

解题中, 常常需要借助几何直观, 进入各自的认识通道, 展示有效的思维过程。抽象的数量关系通过看得清摸得着的图表示出来, 化隐为显, 化难为易, 帮助学生理解掌握, 其实质就是“由形解数“。例3:六年级 (1) 班同学参加英语比赛, 平均分为85分, 其中男生的平均分为81分, 女生的平均分为90分, 求参加比赛的男生和女生的人数比。

用学生易于观察的条形统计图帮助学生分析数量关系:用表示男生, 表示女生;图形的高度表示分数, 宽度表示人数, 结合题意, 全组的平均分应该在它们之间, 用虚线表示出来。根据平均数移多补少的规律可以知道:图中女生多出的分数A补移到男生少的分数B, 由此便得到一个等量关系式:男生人数× (90-85) =女生人数× (85-81) , 再根据比例的基本性质, 这道题就迎刃而解。

显然, 在解答本题时如把正方形换成圆或矩形都是可以的。这种数形结合的解题方法几乎可以达到“图形一画出, 解答自然出”的效果, 实在巧妙。从以上解题过程可以看出, 线段图仍是揭示小学数学应用题中数量关系的基本的、自然的手段。对于某些题, 如线段图不能清晰地显示其数量关系, 则可以通过对线段图的分析与改造, 设计构造出能清晰地显示其数量关系的其他图形, 使解题过程变得更简洁、更方便。

“数形结合”表象丰富, 引发联想, 启迪思维, 拓宽思路, 有利于学生分析题中数量之间的关系, 迅速找到解决问题的方法, 从而提高分析问题和解决问题的能力。因而在教学过程中, 教师应做有心人, 充分利用“一图抵百语”的“数形结合”优势, 引导学生在解题研究中步入神奇的数学殿堂。

摘要：现阶段教学实践中需要教师灵活地引导学生进行数形结合, 把晦涩的数学问题转化为直观问题, 学生把问题解决了, 获得成功的体验, 能增强学习数学的信心。尤其对于有探索性的问题, 学生若能独立解决或在老师的启发和引导下把问题解决, 心情更是愉悦。

篇9：数形结合，展现数学的魅力

一、数形结合，激发兴趣

兴趣，是一种带有强烈情感色彩的欲望和意向，是学生学习的内驱力。

曾听过特级教师徐斌给二年级学生上“鸡兔同笼”一课，刚看到这课题，脑中闪过的疑问是：这个内容二年级的学生能学会吗?带着这个疑问听完了整堂课，不禁从心里佩服名师的教学水平。整堂课中，徐老师采用的一个基本学习方法就是让学生动笔画，即用一个简单的圆形来代替动物的头，用两根竖线来表示动物的脚。在画的过程中发现多了或少了可以马上修改。画完后选取部分作品加以展示，并请学生来说说自己的想法，很好地满足了学生的表现欲。课堂上，学生充满了兴趣，丝毫看不出由于内容的难度而带来的疲倦感。学生在简单画的过程中，对鸡兔同笼中“几个头、几只脚”有了一个最基本的认识，对这类题目的第一个感觉就是有趣。如果课堂上能多给学生一些有趣的感觉，相信我们的数学课堂会更精彩，更吸引学生的注意力。

二、数形结合，寻找关系

有一部分学生的接受能力、理解能力较弱，对一些解题方法的理解存在较大困难。这时，教师不妨引导学生在纸上画一画。借助图形的直观作用，引发联想，促进形象思维和逻辑思维结合，最终可以化复杂为简单，快速找到问题的答案，理解方法的实质。

例如：“妈妈买了一套衣服，已知裤子的价格是28元，上衣的价格是裤子的3倍。妈妈买这套衣服用了多少钱?”这样两步计算的实际问题，可以用两种方法来解决，其中用倍比法解答是学生比较难以理解的，这时线段图就起到了～个很好的帮助作用。可以引导学生利用学过的知识画出如下线段图：

借助线段图的直观作用，学生一下子就理解了“1+3=4，28×4=112(元)”的意思。当求第二个问题“上衣比裤子多多少钱”时，大部分学生就列出了“3-1=2，28×2=56(元)”的算式。就这样，借助一个简单的线段图，很好地引导学生理解了两种数量之间的关系。

三、数形结合，突出重点

教学实践中，教师们都有这么一种体会：有时解答一道题，能不能一下子找到问题的重点之处，是学生能不能顺利解答题目的前提。而小学生的空间想象能力还存在一定的局限性，仅依靠学生在脑子中的想象。学生考虑问题时就会出现这样或那样的不周密，从而影响解题的正确性。这时，教师可以恰当地引导学生来画一画，以画促思，能更好地帮助学生解题。

如“长方形和正方形的周长”是学生比较感兴趣的内容，有这么一道题：“把两个边长为5厘米的正方形拼成一个长方形，拼成的长方形周长是多少厘米?”不出所料，有些学生脱口而出“40厘米”，再问问那些没回答的学生，他们虽然感到有一点疑问，但又说不出究竟谁在哪儿。看到学生陷入了困惑状态，我轻轻提醒一句：“你们把图画出来看看吧。”学生一下子兴奋起来，纷纷动笔，不一会就听见有人叫道：“不是40厘米。”响应的学生越来越多，刚才的疑问也在动笔画的过程中解决了。要求拼割图形的周长，重点是耍弄清周长由哪几条边构成。如果光凭想象，学生的考虑一定会不周全，这时通过简单的草图，将学生的空间想象和图形的直观形象相结合，不失为一种简洁、有效的学习方法。

四、数形结合，体现美感

数学是一门逻辑性很强的学科，但它也是一门艺术，具有各种美感。如教材中各种鲜艳逼真的情境图，一下子就吸引住了学生。尤其是新教材第六册新增的“平移和旋转”与“轴对称图形”这两单元的内容，更是让大家真切地体会到了数学的美。在教学“美丽的花边”时，我给学生提供了很多现实生活中的花边、如衣服花边、板报花边、装潢设计中的花边……这样既拓宽了学生的知识视野，又使他们受到了美的熏陶，对“平移和旋转”的方法、效果就理解得更清晰了。最后让学生自己设计花边时，那些美丽的作品让我不由得感叹学生们的创造力、想象力，很好地激发了他们欣赏美、创造美的热情。