高中数学教学中数形结合的应用

2023-03-01

数学所关注的是实物的数量关系和空间形式。简而言之, 数学研究数和形。但是数和形又是相互联系的, 通过数量关系可以了解形的形状, 通过形的关系又可以了解数量关系, 因此, 在一定条件下, 他们之间可以实现数量关系和空间形式的转化。

在高中数学里, 数形结合思想方法的运用也很普遍。最具典型的是平面解析几何, 这一思想方法贯穿内容的始终。本文简单介绍数形结合在高中数学中的应用。

一、数形结合在解方程组当中起到很重要的作用, 通常能将代数运算转化为纯图形的问题, 使得答案变得很显然

例题1 (湖南卷) 设函数

若f (x) =f (0) , f (-2) =-2, 则关于x的方程f (x) 的解的个数为_____。

分析:本题纯代数的方法可以解出。但是用图解法更为直观, 容易得到结论。在同一坐标系中分别作出函f (x) 及g (x) =x的图像 (图1) 易知两个图像有三个公共点。

二、在涉及函数的题目, 因为无论什么函数都与之对应有它的图像, 通过画图可以解决中学数学中用代数方法无法解决的问题

例题2设f (x) =x2+bx+c (b、c为常数) , 方程f (x) -x=0的两个实根为x1, x2, 且满足x1>0, x2-x1>1。

(1) 求证:b2>2 (b+2c) ;

(2) 设0

分析:第一问中我们要证明的是b与c的关系, 题目条件中b、c是函数f (x) 的系数, 条件中还给了f (x) -x=0的两个实根为x1, x2, 让我们很容易联想到跟与系数的关系, 即韦达定理;第二问中要比较f (t) 与x1的大小, 如果我们能将x1转化为f (x1) 问题就显得简单了, 因为我们可以根据函数的单调性来解题。

解: (1) ∵方程f (x) -x=0的两个实根为x1x2, 令g (x) =f (x) -x=0即g (x) =x2+ (b-2) x+c=0的两个实根为x1, x2, 有x2+x1=1-b, x1x2=c又∵x2-x1>1, ∴ (x2-x1) 2>1即 (x2+x1) 2-4x1x2>1, 即 (1-b) 2-4c>1化简整理得到b2>2 (b+2c) ;

(2) 由题意易知f (x1) =x1, 所以我们只需要比较f (t) 与f (x1) 的大小。f (t) -f (x1) =t2+bt-x12-bx1= (t-x1) (t+x1+b) , 因为0

但是, 此时问题出现了, t+x1>0, 而b的符号和大小却无法确定。因此就无法比较f (t) 与f (x1) 的大小。怎么办呢?

如果我们可以很好的把题目意思转化成图形, 那么结论会变得很显然, 根据题意方程f (x) -x=0的两个实根为x1, x2, 即为x1, x2是f (x) =x的两个根, 即是f (x) 与y=x的交点一定有两个分别为A (x1, x1) 和B (x2, x2) 。如图 (2) 所示:

因为0f (x1) =x1

所以得证。

点评:此题在中学中用常规方法是无法做出来的, 但是只要做出相对应的图像, 就显得特别的简单, 这也是为什么我们在做题时要数形结合的原因之一。