初中数学竞赛恒等式

初中数学竞赛恒等式（精选8篇）

篇1：初中数学竞赛恒等式

初中数学竞赛精品标准教程及练习（20）

代数恒等式的证明

一、内容提要证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。具体证法一般有如下几种

1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论的形式。

2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。

3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。即由左边－右边＝0可得左边＝右边。4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，二、例题例1求证：3－2＋2×5＋3－2＝10（5+3－2）

证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2 －2 n）

＝10×5 n+1＋3 n(32+1)－2 n-1(23＋2)n+2 n＋2 n+2 n n n+1 n n-1＝10（5+3－2）=右边

又证：左边＝2×5 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1)n+1 n n-

1＝2×5＋10×3－5×2右边＝10×5 n+1+10×3 n－10×2 n-1

＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n

∴左边＝右边 n+2 n n

例2 己知:a+b+c=0求证：a3+b3+c3=3abc

证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1)∵:a+b+c=0

333333∴a+b+c－3abc＝0即a+b+c=3abc

又证：∵:a+b+c=0∴a=－（b+c）

两边立方a=－（b+3bc+3bc+c）

移项a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc33223再证：由己知 a=－b－c代入左边,得

（－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c

3＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc

例3 己知a+

证明：由己知a-b=

1bb1c1bc1a,a≠b≠c 求证：a2b2c2=1 1cbcbc∴bc=cabcab ab

cab-c=1

a1

cca

∴ab bc ca＝

2cabcabbccacaabbc

2∴ca=同理ab= ＝1即abc=1 2222例4 己知:ax+bx+c是一个完全平方式（a,b,c是常数）求证：b－4ac=0证明：设:ax+bx+c＝（mx+n），m,n是常数

那么:ax+bx+c＝mx+2mnx+n

am

2根据恒等式的性质 得b2mn ∴: b2－4ac＝（2mn）2－4m2n2=0

2cn22222

三、练习20

1． 求证： ①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab

②（x+y）+x+y=2(x+xy+y)③(x-2y)x－(y-2x)y=(x+y)(x-y)④3 n+2+5 n+2―3 n―5 n=24(5 n+3 n-1)⑤a5n+a n+1=(a3 n－a2 n+1)(a2 n+a n+1)

2.己知：a+b=2ab求证：a=b

3.己知：a+b+c=0

求证：①a3+a2c+b2c+b3=abc②a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a2

4.己知：a2=a+1求证：a5=5a+3

5.己知：x＋y－z=0求证： x3+8y3=z3－6xyz

6.己知：a2+b2+c2=ab+ac+bc求证：a=b=c

7.己知：a∶b=b∶c求证：（a+b+c）2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c)

8.己知：abc≠0，ab+bc=2ac求证：

9．己知：x

aby

bcz

ca1a1b1b1c22444222333求证：x+y+z=0

10.求证：（2x－3）（2x+1）(x2－1)＋1是一个完全平方式

11己知：ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除求证：ad=bc

练习20参考答案：

1.④左边＝5 n(5 2-1)+3 n－1(33-3)= 24(5 n+3 n-1)注意右边有3 n-1

2.左边－右边＝（a-b）

3.②左边－右边＝（a2+b2-c2）2-4a2b2=……

4.∵a5=a2a2a,用a2=a+1代入

5.用z=x+2y代入右边

6.用已知的（左－右）×2

7.用b=ac分别代入左边，右边化为同一个代数式

8.在已知的等式两边都除以abc

9.设三个比的比值为k,2210.(2x-x-2)11.用待定系数法

篇2：初中数学竞赛恒等式

第五讲 恒等式的证明

代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析．

两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．

把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．

证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．

1．由繁到简和相向趋进

恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．

例1 已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．

分析 将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．

证 因为x+y+z=xyz，所以

左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2)

=(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2

=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)

=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)

=xyz+xyz+xyz+xyz

=4xyz=右边．

说明 本例的证明思路就是“由繁到简”．

例2 已知1989x2=1991y2=1993z2，x＞0，y＞0，z＞0，且

证 令1989x2=1991y2=1993z2=k(k＞0)，则

又因为

所以

所以

说明 本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数k，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．

2．比较法

a=b(比商法)．这也是证明恒等式的重要思路之一．

例3 求证：

分析 用比差法证明左-右=0．本例中，这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b代a，c代b，a代c，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．

证 因为

所以

所以

说明 本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．

不为零．证明：

(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．

全

同理

所以

所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．

说明 本例采用的是比商法．

3．分析法与综合法

根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．

证 要证 a2+b2+c2=(a+b-c)2，只要证

a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，只要证 ab=ac+bc，只要证 c(a+b)=ab，只要证

这最后的等式正好是题设，而以上推理每一步都可逆，故所求证的等式成立．

说明 本题采用的方法是典型的分析法．

例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．

证 由已知可得

a4+b4+c4+d4-4abcd=0，(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，所以

(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．

因为(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以

a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，所以(a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．

又因为a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以

a＝b，c=d．

所以

ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0，所以a＝c．故a=b＝c=d成立．

说明 本题采用的方法是综合法．

4．其他证明方法与技巧

求证：8a+9b+5c=0．

a+b=k(a-b)，b+c=2k(b-c)，(c+a)=3k(c-a)．

所以

6(a+b)=6k(a-b)，3(b+c)=6k(b-c)，2(c+a)=6k(c-a)．以上三式相加，得

6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)

=6k(a-b+b-c+c-a)，即 8a+9b+5c=0．

说明 本题证明中用到了“遇连比设为k”的设参数法，前面的例2用的也是类似方法．这种设参数法也是恒等式证明中的常用技巧．

例8 已知a+b+c=0，求证

2(a4+b4+c4)＝(a2+b2+c2)2．

分析与证明 用比差法，注意利用a+b+c=0的条件．

左-右=2(a4+b4+c4)-(a2+b2+c2)2

=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2

=(a2-b2-c2)2-4b2c2

=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)

=[a2-(b-c)2][a2-(b+c)2]

=(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)=0．所以等式成立．

说明 本题证明过程中主要是进行因式分解．

分析 本题的两个已知条件中，包含字母a，x，y和z，而在求证的结论中，却只包含a，x和z，因此可以从消去y着手，得到如下证法．

证 由已知

说明 本题利用的是“消元”法，它是证明条件等式的常用方法．

例10 证明：

(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3

=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．

分析与证明 此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．令

y+z-2x=a，① z+x-2y=b，② x+y-2z=c，③

则要证的等式变为

a3+b3+c3=3abc．

联想到乘法公式：

a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)，所以将①，②，③相加有

a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，所以 a3+b3+c3-3abc=0，所以

(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3

=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．

说明 由本例可以看出，换元法也可以在恒等式证明中发挥效力．

例11 设x，y，z为互不相等的非零实数，且

求证：x2y2z2=1．

分析 本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的所以x2y2=1．三元与二元的结构类似．

证 由已知有

①×②×③得x2y2z2=1．

说明 这种欲进先退的解题策略经常用于探索解决问题的思路中．

总之，从上面的例题中可以看出，恒等式证明的关键是代数式的变形技能．同学们要在明确变形目的的基础上，深刻体会例题中的常用变形技能与方法，这对以后的数学学习非常重要．

练习五

1．已知(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0，求证：2b=a+c．

2．证明：

(x+y+z)3xyz-(yz+zx+xy)3

=xyz(x3+y3+z3)-(y3z3+z3x3+x3y3)．

3．求证：

5．证明：

6．已知x2-yz=y2-xz=z2-xy，求证：

x=y=z或x+y+z=0．

7．已知an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证：

篇3：初中数学竞赛恒等式

一、抓住关键字词, 为应用题学习设置缓冲区

“用文字列数学关系式”是数学应用题的算数解法到代数解法的中间过渡阶段, 然而, 小学数学应用题的教学中缺少了这一环.正是因为缺少了这一环, 导致初中生很难转变思维方式, 导致我们教师很难体会到学生在解决我们看起来非常简单的问题时所面临的困难.对此, 需要做好一个缓冲工作, 使中小学教学能够无缝衔接.

很多题目含有“比”“是”“等于”“多”“少”“一共”等等这样的字词, 利用这些关键字词能够比较容易地可以找出题中的等量关系.在教学中, 教师抓住这一点来进行应用题入门教学, 非常有用, 能够为初中生学习应用题提供一个解决问题的抓手, 帮助他们转变思考方式, 树立学习的信心, 提升学习兴趣, 为进一步学习提供了很好的缓冲和铺垫.

例1:甲数的2倍比52小4, 求甲数.

数学很奇妙.有些“的”字就是“×”的意思, “比”字是“=”的意思, “小”是“-”的意思, “甲数的2倍比52小4”就变成“甲数×2=52-4”.如果我们假设甲数是x, 那么这句话就变成:x的2倍比52小4, 求x, 进而变成x·2=52-4, 这不正是一个方程吗?从而问题获解.

这道题虽然简单, 但却为学生入门提供了很好的范例, 属于应用题教学的第一个阶段, 必须以简单的含有关键字词的题目进行教学, 其目的在于转变思考方式, 为下一阶段的学习提供支持.

二、转化关键问题, 为学生进一步发展夯实基础

课本上部分题目都含有关键字词“比”、“共”、“是”、“大于”、“等于”等等.一些问题, 虽然不含有这些关键字词, 但是可以转化为含有关键字词的问题.通过学习, 学生的转化能力逐步得到培养, 习得转化能力的过程就是解题方法“固化”能力形成的过程.解题方法的“固化”, 为学生应用题解决提供了很好的思维启示和问题解决模式.

例2:甲乙两车分别从相距400千米的A地和B地开出, 甲车的速度是30千米/时, 乙车的速度是50千米/时, 现在甲乙两车对开, 求相遇时间.

类似的例子在初中数学应用题中还能找到很多, 比如打的的问题、电话费问题、工作量问题都可以归结为“共”字问题;又比如追踪问题可以归结为某某“比”某某多走多少路程的问题, 也就是“比”字问题;当引导学生形成固定思考模式去解决问题时, 他们就能够找到解决问题的切入点, 应用题的教学也就成功一半了.

三、尝试数形结合, 利用画图列表形成解题能力

数形结合, 可以使抽象问题图形化、直观化、具体化, 从而培养学生分析问题的能力.数形结合适合学生的思维发展特点, 是学好初中应用题的必要手段.其中, “圈图”、“线段图”和列表是分析初中数学应用题最重要的方法.

例3:甲班有学生50人, 乙班有学生30人, 问:从乙班调多少名学生给甲班, 可以刚好使甲班人数是乙班人数的3倍?

本题中, 可以用下面的“圈图”来表示调人前后两个班集体之间的人数变化关系:

通过画图, 把抽象的文字转变为具体的图形, 并通过观察, 发现隐含其中的各种关系及其变化, 化难为简.

用图形来帮助理解, 化抽象为直观, 降低了难度, 授之以渔, 能取得比较好的效果.与画图方法类似的是列表方法, 同样可以达到化难为简的效果.

四、二元解决为主, 将一元解决与二元解决联系起来

有些问题如果用一元方程来解决, 不好理解, 转弯较多, 但是如果用二元方程来解决, 问题就变得简单.这时, 我们可以把这些内容裁剪到二元方程的相关板块中.比如:

例4:甲乙两人共有36元, 已知甲的钱数比乙的两倍还少9元, 求甲乙两人的钱数.

这道题如果用一元方程来解决问题, 要转个弯, 就是“甲乙两人共有36元”用来“设”未知数, “甲的钱数比乙的两倍还少9元”用来“列”方程, 或者调换一下, “甲的钱数比乙的两倍还少9元”用来“设”未知数, “甲乙两人共有36元”用来“列”方程.学生初次接触这个问题会觉得比较困难, 尤其是学困生.但是如果我们分别设甲、乙两人的钱数为x元和y元的话, 问题就变得容易起来, 题中包含了一个“共”字问题, 包含了一个“比”字问题.

参考文献

[1]陆书环.数学教学论[M].北京:科学出版社, 2004.

篇4：初中数学不等式教学策略探微

【关键词】初中数学  不等式  策略

不等式章节是初中数学的重要考点之一，是联系数学知识与学生生活的桥梁。在新课改要求下，数学教学不应该局限于知识概念教学，而应该注重对学生数学技能和数学思维的教学，致力于提高学生的实践应用能力。不等式与代数式、函数、方程等知识有着密切的联系，其教学方法、证明方法、应用手段多种多样。在本文中，我们将从新课改要求出发，探究初中数学不等式教学策略。

一、实践训练，解题步骤教学

不等式解题不同于简单的数学知识，尤其是在含分式、含括号的复杂性不等式求解问题上，我们必须教授学生们一定的解题步骤。虽说方程与不等式有着密切的联系，但在不等式两端同乘负数时，必须变换不等式符号的方向，这也是不等式求解最容易出错的一环。

【例1】求解不等式                   。

【分析】对于复杂类型的不等式，我为学生们总结了如下的解题步骤。碰到复杂不等式的求解，我们可以按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行。在碰到不等式两边乘负数时，需要及时变换不等式符号。对本题的求解，我们可以按照以下的步骤进行。

去分母：在不等式两侧同乘以6得：3（x-1）-2（3x-1）≤6。在此过程中，切忌漏乘，必须将每一项都乘以对应值。

去括号：直接运用代数式基本规律进行，可得：3x-3-6x+2≤6。在此过程中，对于括号内的代数式必须乘净，并注意负数乘法的变号。

移项：尽量将代数式与数字分在不等式两侧：3x-6x≤6+3-2。

合并同类项：-3x≤7。

系数化为1：在中学不等式的求解中，将含未知数项的系数化为1，这是不等式答案的基本形式要求，即        。

在不等式讲解的起始阶段，我们可以进行这样条分缕析的演示，待学生对求解步骤熟悉之后，上述的很多过程我们都可以简化或跳过，从而节约求解时间。但此前必须保证每位学生都有步骤化的求解训练，保证学生掌握求解方法。

二、创设情境，应用性教学

新课改要求学生们在轻松愉悦的氛围里实现数学知识的学习，在实践应用的过程中感受到数学知识的实践性与趣味性。不等式章节与我们的日常生活密切相关，在不等式教学中，我们可以通过应用性情境的创设，激发学生兴趣。

【例2】据某公司统计，科研经费每增加1万元，年利润就增加1.8万元。如果某公司原来的年利润是200万元，现在要使年利润超过245万元，那么需要增加的科研经费为多少？

【分析】本题属于不等式的情境式应用题，通过数学情境的创设，实现数学训练题的应用性和趣味性。首先，我们假设需要增加的科研经费为x万元，则可以满足题目要求。然后，从题中已知条件可得不等式200+（1.8-1）x>245。于是，很容易可以解出x>60，即是当投入的科研经费大于60万元时，可以实现预期的利润要求。若是单纯的采用解不等式训练，必然会导致数学课堂的枯燥，抑制学生思维的发展。通过情境式不等式应用题的设置，学生们需要对题意进行分析和理解，有利于集中他们的注意力。当然，此类简单的情境适宜应用在不等式教学的起始阶段。随着教学的进一步深入，学生们的理解也会逐渐强化，我们则需要逐渐提高训练的难度，通过复杂的情境训练学生的分析能力和探究能力。

三、灵活应变，数学思维教学

在新课改背景下，无论什么样的数学知识教学都必须紧密围绕学生思想，向学生传授数学思维。在不等式的求解训练中，逆向思维、整体思维、换元思维、分类讨论思维等都是常见的类型。对此，我们必须通过实践训练的方式，将数学思维训练落实到实际训练中。

【例3】关于x的不等式

的解？

【分析】从本题来看，它包含两个未知数，我们必须采用分类讨论的方法进行，探究a值正负与不等式解的关系。首先，因为a是分母，故其肯定不为零。然后，我们进行去分母的工作，由于a2必定大于零，则不等式两边同乘a2可得x+1-a2>a（1-3x）。经过移项、合并同类项可得（1+3a）x>a2+a-1。此时，我们不妨将a视为常量，要想实现系数化为1的目标，只要判断1+3a的符号即可。

（1）当1+3a>0时，原不等式的解为x>            ;

（2）当1+3a<0时，原不等式的解为x<            ;

（3）当1+3a=0时，a=    ，a2+a-1 =      <0，则满足题意要求。

综上可知，上述的表达式即是本题的解。在本题的求解中，不仅需要分类讨论思想的应用，还需要学生们灵活使用分式的基本性质，学生分析判断不等式求解过程中的隐含条件。在初中不等式的求解中，若是见到复杂、特殊的不等式求解，学生们必须冷静应对，灵活应变，妥善使用数学思维进行求解。

总之，不等式教学是初中数学教学的重要一环，我们必须积极实践，敢于创新，从多角度、多途径，进行不等式的训练教学。同时，我们必须紧密围绕新课改要求，在不等式教学中，渗透新课程理念，对学生兴趣发展、个性培养、综合能力训练等方面展开针对性教学。

篇5：初中数学竞赛恒等式

竞赛中常用的重要不等式

【内容综述】

本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用

【要点讲解】

目录 §1 柯西不等式

§2 排序不等式

§3 切比雪夫不等式

★ ★ ★

§1。柯西不等式

定理1 对任意实数组

恒有不等式“积和方不大于方和积”，即

等式当且仅当

本不等式称为柯西不等式。

时成立。

思路一 证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。

证明1

∴右-左=

当且仅当 思路2 注意到 证明2

当

当定值时，等式成立。时不等式显然成立，当

时，不等式左、右皆正，因此可考虑作商比较法。

时等式成立； 时，注意到

=1

故

当且仅当

且

（两次放缩等式成立条件要一致）

即 同号且 常数，亦即

思路3 根据柯西不等式结构，也可利用构造二次函数来证明。

证明3 构造函数

由于。

恒非负，故其判别式

即有

等式当且仅当

若

常数时成立。

柯西不等式显然成立。

例1 证明均值不等式链：

调和平均数≤算术平均数≤均方平均数。

证 设

本题即是欲证：

本题证法很多，现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法

(1)先证

注意到

此即

由柯西不等式,易知②成立,从而①真 欲证①,即需证

②

①

(11)再证

欲证③,只需证 , ③

而④即要证

④

⑤

(注意

由柯西不等式,知⑤成立.(Ⅰ)(Ⅱ)中等式成立的条件都是)

即各正数彼此相等.说明：若再利用熟知的关系(★)

（其中，结合代换，即

当且仅当式链

时，等式成立，说明★的证明参见下节排序不证式或数学归纳法，这样就得到一个更完美的均值不等

其中等式成产条件都是

§２．排序不等式

定理２设有两组实数，．

满足

则

(例序积和)（乱序积和）（须序积和）

其中是实数组时成立。

一个排列，等式当且仅当或

说明 本不等式称排序不等式，俗称

例序积和乱序积和须序积和。

证法一． 逐步调整法

首先注意到数组

也是有限个数的集合，从而也只有有限个不同值，故其中必有最大值和最小值（极端性原理）。

设注意下面的两个和

注意

S（★）

由小到大的顺序排列，最小的和就对应

只要适当调整，如★所示就可越调，可见和数Ｓ中最大的和，只能是对应数组数组从大到小的依序排列，不符合如此须序的越大（小），其中ｉ＝１，２„„，n。

证法＝ 设

由 则显见的一个k阶子集

等式当且仅当

式

即，时,成立

这就证明了乱序积和≤顺序积和

注意列

这里 含义同上，于是有，仿上面证明，得

又证明了例序积和≤乱序积和

综上排序不等式成立.例2 利用排序不等式证明柯西不等式：

其中

证 不失一般性，设得

（例序积和≤乱序积和)

相加即得

等式当且仅当；

为常数时成立。，则由排序不等式可

①

又∵算术平均值不大于平方平均值，（★）故

代入①，即得

平方后，即得柯西不等式

说明“算术平均≤平方平均”可用数学归纳法直接证明如下：

证（i）设n=2，则

（ii）设n=k时，显然成立

成立，即有

欲证n=k+1时，有

成立，只需证

考虑到归纳假设，只需证

（★）

而（★）是显然成立的,故n=k+1时命题成立,于是对证法就不存在循环论证之嫌，否则此证法是不宜的。

且n≥2时,命题成立，正是因为存大着不依赖柯西不等式证明“算术平均≤平方平均”的证明方法，例2的例3 利用排序不等式证明正数的算术平均数不小于几何平均数。

证 设，易见

构造数列，使

则由★知于是由排序不等式,有

(乱序积和)

，(例序积和)

即

从而

其中等式当且仅当

时成立

说明 这里构造了两个数列值不等式的简捷、漂亮解法。

§3契比雪夫不等式

设

(i)若数算术平均数之积：(i=1,2„，n)

和为应用排序不等式创造了条件，得列一个证明均

则顺序积和的算术平均数不小于这两组

（ⅱ）若两组数算术平均数之积：

；，则倒序积和的算术平均数不大于这

证明（i）由排序原理有

„„

迭加可得，，两边除以得

等式当且仅当

类似可证(ⅱ)成立

例4 设

证明 不妨令

由切比雪夫不等式，有

；，求证，则

即

从而得证

说明 大家较熟悉的美国竞赛题

1979年青海赛题

1978年上海赛题

都是本例的特殊情况或变形。

本周强化练习：

★★★1．设

求的最小值

★★★2．若a、b、c是三角形三边长，s是半周长。求证：Vn∈N，下式成立

解答或提示

1．不妨令

由切比雪夫不等式

篇6：初中数学不等式教案

1.浏览课本P2~21，了解本章结构。_K]

自学：阅读课本P2~P4，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题(鼓励提问).

2.查找“不等号的由来”

备注： 不等号的由来|K]

①现实世界中存在着大量的不等 关系，如何用符号表示呢? 为了寻求一套表示“大于”或“小于”的符号，数学家们绞尽脑汁.1631年，英国数学家哈里奥特首先创用符号“>”表示“大于”，“<”表示“小于”，这就是现在通用的大于号和小于号.与哈里奥特同时代的数学家们也创造了一些表示大 小关系的符号，但都因书写起来十分繁琐而被淘汰.

②后来，人们在表达不等关系时，常把等式作为不等式的特殊情况来处理.在许多情况下，要用到一个数(或量)大于或等于另 一个数(或量)，此时就把“>”和“=”有机地结合起来得到符号“≥”，读做“大于或等于”，有时也称为“不小于”.同样，把符号“≤”读做“小于或等于”，有时也称为“不大于”.

那么如何理解符号“≥”“≤”的含义呢?用“≥”表示“>”或 “=”，即两者必居其一，不要求同时满足.例如 ≥0，其中只有“>”成立，“=”就不成立.同样“≤”也有类似的情况.

③因此有人把a>b,b

现代数学中又用符号“≮”表示“不小于”，用“≯”表示“不大于”.有了这些符号，在表示不等关系时，就非常得心应手了.

二、师生互动

和学生一起进行知识梳理

(一)由师生一起交流“不等号的由来”① ，引出学习目标——认识不等式

1.引起动机：

教师配合课本“观察与思考”“一起探究”等 内容提问：用数学式子要如何表示小卡车赶超大卡车?

2.学生进行讨论并回 答 。

3.教师举例说明：

数学符号“>、<、≥、≤、≠”称为不等号，而含有这些符号的式子就称为不等式。

4.结合自己的旧经验，让学生认识“≤”所代表的意思。

教师说明：

在小学时我们学过“小于”的符号，也就是说如果“a小于b”，我们可以记为“a

5.仿照上面说明由学生进行“≥”的介绍.

6.教师举例提问：

如果我们要比较两数的大小关系时，可能会有几种情形?

(当我们比较两数的大小关系时，下面三种情形只有一种会成立，即 ab)

7.老师提问：如果我们只知道“a不大于b”，那该如何用不等号来表 示呢?

(「a不大于b」表示「a小于b」且「a有可能等于b」，所以我们可以记录成「a≤b」 )

8.仿照此题，引导学生了解“a不小于b”及“a不等于b”所代表的意义.

教师归纳说明：不等式的意义

不等式表示现实世界中同类量的不等关系.在有理数大小的比较中，我们常用不等号连接两个或两个以上的有理数，如-3>-5.不等式含有不等 号，常见的不等号有五种，其读法及意义如下：

(1)“>”读作“大于”，表示其左边的量比右边的量大.

(2)“<”读作“小于”，表示其左边的量比右边的量小.

(3)“≥”读作“大于等于”，即“不小于”，表示其左边的量大于或等于右边.

(4)“≤”读作“小于等于”，即“不大于”，表示其左边的量小于或等于右边.

(5)“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能明确哪个大，哪个小

(二)用不等式表示数量关系

关键是明确问题中常用的表示不等关系词语的意义，并注意隐含在具体的情境中的不等关系.

补充例1. 下面列出的不等式中，正确的是 ( )

(A)a不是负数，可表示成a>0m]

(B)x不大于3，可表示成x<3

(C)m与4的差是负数，可表示成m-4<0

(D)x与2的和是非负数，可表示成x+2>0

解析：用不等式表示下列数量关系，关键是能用代数式准确地表示出有关的数量，并掌握“不大于”、“不超过”、“是非负数”等词语的正确含义及表示符号.

因为 a不是负数，可表示成a≥0;

x不大于3，应表示成x≤3xx§k.Com]

x与2的和是非负数应表示成x+2≥0，

所以 只有(C)正确. 故本题应选(C).

(三)不等式成立的意义

对于含有未知数的不等式来说，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立;当未知数取某些值时，不等式的左、右两边 不符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式不成立.强调用“≥”表示“>”或“=” ，即两者必居其一，不要求同时满足.例如 ≥0，其中只有“>”成立，“=”就不成立.

三、补充练习

作业：课本P4习题

5分钟练习

1.“x的2倍与3的和是非负数”列成不等式为( )

A.2x+3≥0 B.2x+3>0 C.2x+3≤0 D.2x+3<0

2.几个人分若干个苹果，若每人3个还余5个，若去掉1人，则每人4个还有剩余.设有x个人，可列不等式为_____________________.

〖分层作业〗

基础知识

1.判断下列各式哪些是等式、哪些是不等式、哪些既不是等式也不是不等式.

①x+y ②3x>7 ③5=2x+3 ④x2≥0 ⑤2x-3y=1 ⑥52

2.用适当符号表示下列关系.

(1)a的7 倍与15的和比b的3倍大;

(2)a是非正数;

3.在-1，- ，- ，0， ，1，3，7，100中哪些能使不等式x+1<2成立?

综合运用

4.通过测量一棵树的树围，(树干的周长)可以计算出它的树龄，通常规定以树干离地面1.5m的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为5 cm，以后树围每年增加约3 cm.这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4 m?请你列出关系式.

篇7：初中数学竞赛恒等式

1、妈妈给明明a元，明明买了m个笔记本，还剩b元,每个笔记本元?

2、一块长方形花坛的面积是120平方米,长x米,宽米?

3、七年级植树68棵,八年级比七年级多植x棵,那么68+x表示。

4、甲乙两人分别从两地相向而行，七小时后相遇，甲每小时行x千米，乙每小时行y千米，两地相距 千米.5、当x= 时，(60-5x=0)

二、判断。对的在括里面打“√”，错的在括号里面打“×”。

1、含有未知数的式子叫方程。()

2、x=9是方程。()

3、方程一定是等式。()

4、a是自然数则2a+1一定是奇数。()

5、5与6的平方和写作(5+6)2。()

6、m的2倍与n的差写成式子是2m-n，这个式子是方程。()

7、x+x=x2。()

8、72-5x=47的解是5。()

9、一项工程，甲队单独做需要m小时，乙队单独做需要n小时，如果两队合作，完成任务需要的时间是7小时，那么(1/m+1/n)t=1。()

三、选择。将正确答案的序号填在括号里。

1、M2表示()。

A、m的2倍。B、2个m相乘。C、m+m2、下面的式子中()是方程。

A、6x-1B、3x+8﹥20C、81-X=723、X的1/2比36的2/3少10列出的方程是()。

A、1/2x-36×2/3 B、36×2/3+10=1/2XC、1/2X+10=36×2/

34、甲数是a，比乙数的2倍多b，表示乙数的式子是()。

A、(a+b)÷2B、(a-b)÷2C、2/a-b

四、解方程。

X/5=25%3x+2/3x=145(x+2)=4(x+9)1/18+1/5x=1/4×2/9

五、列方程解文字题。

1、有一个数，它的1.5倍与34的和得109，这个数是多少?

2、一个数的5倍是8的1.5倍，求这个数。

3、一个数的7/10比15的2/3多12求这个数。

六、解决问题。

1、七年级三个班共有51人，一班的人数是二班的3/4，三班的人数是二班的4/5,这三个班里各有多少人?

篇8：初中数学竞赛中的求和技巧

1. 倒序求和法

如果所求和式具有到首尾距离相等的两项之和有其共性, 那么常可考虑选用倒序求和的方法.解题时应该先观察式子的结构特征, 寻找式子部分结构所具有的共同点, 一般情况下我们要研究式子的通项公式, 由通项公式的性质确定解题方法.

分析首先观察式子的结构, 研究式子的通项, 进而根据通项的特征选择适用的求和方法.

解∵, 即到中间距离相等的两项之和为2, 共有49.5组, ∴原式=49.5×2=99.

例2已知, 求下式的值:

分析式子的结构有到中间距离相等的项的自变量互为倒数, 考虑研究的值.

解∵, 即到中间距离相等的两项之和为1, 共有2011.5组, ∴原式=2011.5×1=2011.5.

例3已知f (x) +f (1-x) =2, 求下式的值:f (2010) +f (2009) +…+f (2) +f (1) +f (0) +f (-1) +f (-2) +…+f (-2009) .

分析式子的结构特征为:当自变量之和为1, 则函数值之和为2, 所以考虑把自变量之和为1的两个数相加, 得到相应的函数值.

2.裂项相消法

如果所求和式中的项具有的结构, 解题时, 我们可以把, 从而实现裂项相消, 因此求解此类问题, 我们常常可以考虑采用选用裂项相消的方法.这是一类具有典型结构的求和方法, 解题时一定要注意观察结构.

例4方程的解为__________.

分析注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数3, 故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式, 用拆项相消进行化简.

例5 , 则与A最接近的正整数是__________.

分析先研究式子的通项, 即, 发现可以进行裂项相消, 从而进行化简求值.

例6设直线 (n为自然数) 与两坐标轴围成的三角形面积为Sn (n=1, 2, 3, …, 2011) , 则S1+S2+…+S2011的值为__________.