考研高数基本初等函数

考研高数基本初等函数（精选8篇）

篇1：考研高数基本初等函数

一维到高维空间也是质变

多元微分学主要研究多元初等函数。基本工具还是极限。比如，多元函数在定义域上一点M连续的定义为

—— 若在函数f（M）的定义域D内，总有M → M0 时，l i m f（M）= f（M0），就称函数f（M）在点M0连续。

体会一维到高微空间是质变，自然就得从体验极限开始。(多元函数以二元函数为例。)

在数轴上，动点x趋于定点x0时，只有左，右两个连续的变动方向，因而一元函数有简明的极限存在性判断定理 ——

“x → x0时，极限 l i m f（x）存在的充分必要条件是左、右极限存在且相等。”

（潜台词：学好一元微分学的起点，就是学会分左右讨论极限及相关问题。管它什么左连续，右连续，左导数，导数的左极限，右导数，导数的右极限，„„，概念全都清清楚楚，计算通通滚瓜烂熟。）简单地说，一元函数在每一个极限过程中仅有两个“道路极限”。

在日常生活中，我们感觉大地是一张平面，人们在行动时谈“方位”十分自然。倒是直线显得较为特殊。

二元函数的（有序）自变量组（x，y）与平面成一一对应。讨论二元函数，任意选定中心点M0，动点M可以在它的四周任意一个方位处。我们只能用向量方式（Δx，Δy）来表式相应自变量增量。相对偏离为微距离Δ r =√（（Δx）平方+（Δy）平方）。进而自然地称函数z = f（M）相应的增量Δz为全增量。“全”，就是强调增量可以在任意方位出现。

当动点M → M0时，M可以有无穷多个连续变动方式趋向M0，既可以沿直线道路，也可以沿曲线路径逼近M0，这就大大提高了讨论极限的难度。

与一元函数对比，由两个“道路极限”到无穷多个（还是不可列无穷多）“道路极限”，量变引起质变。

鉴于这个困难，《高等数学》不开展关于多元函数极限的讨论。学习多元微分学，首先要学会利用海涅定理，选择两个道路极限不相等，来判断某些极限不存在。体验多元函数求极限的困难。例1试证明，（x，y）→（0，0）时，极限lim（y ∕(x+y））不存在分析分别取直线道路 y = x，y = 2 x，就得到不相等的“道路极限”1/2与1/3，因而所求极限不存在。

实际上，只要 k ≠ −1，沿直线道路 y = k x，（x，y）→（0，0）时，显然，所算得的道路极限值随k变而变，你可以由此而窥见问题之复杂。

例2试证明极限（x，y）→（0，0）时，极限lim（xy ∕(x+y））不存在分析先取道路y = k x，k ≠ −1，令（x，y）→（0，0）实施观察，所有的道路极限都为0，但是你还不能就此以为所求极限为0，因为（x，y）还可以沿弯曲的道路趋于0

选取弯曲的路径，抛物线 y = −x +（x平方），道路极限为 −1，故所求极限不存在。

实际上，选抛物线道路 y = −x + a（x平方），常数 a ≠ 0，则将得到随a值不同而互不相等的无穷多个道路极限。

（画外音：你是否感觉到大开眼界。）

进一步的讨论中，“方位”成为前提。我们从中心点M0（x0，y0）出发，选定一个方向，就可以计算函数沿这个方向的平均变化率 Δz /Δ r，令 Δ r → 0 求极限，得到沿这个方向的 “瞬时变化率”。这个瞬时变化率称为方向导数。

（画外音：你见过用竹杆探路行进的盲人吗？）

令人难忘的自然是直角坐标系的两个坐标方向。在中心点M0（x0，y0）处，一元函数 z = f（x，y0）的导数称为二元函数 z = f（x，y）在点M0关于x的偏导数。它就是函数沿x轴正向的方向导数。同理有二元函数 z = f（x，y）在点M0关于y的偏导数。它就是函数沿y轴正向的方向导数。（潜台词：偏导数的特点是“偏”。仅仅是函数在一个特殊方向的变化率。）

与一元函数一样，更深入的问题是，在中心点M0邻近，二（多）元函数的全增量“能否微局部线性化”，即，二（多）元函数在M0是否可微（存在全微分）。

定义 —— 若在点M0的适当小的（园）邻域内，函数增量△z恒可以表示为

Δz = A Δx + BΔy + о(Δ r)=“线性主部 + 高阶无穷小о(Δ r)”

则称二元函数 z = f（x，y）在点M0可微（存在全微分）。

（画外音：要检验函数是否可微，先写出о(Δ r)= Δz − A Δx + BΔy，再令Δ r → 0讨论极限，看能否证明，这个尾项的确是较Δr高阶的无穷小。（数学一））

矛盾自然出现了。矛盾集中于“全（微分）”与“偏（导数）”。就算二（多）元函数的偏导数都存在，几个特殊方向的变化率，又怎能确定函数全方位的变化？？仅仅是“偏导数（都）存在”显然不能保证“全微分存在”。这与一元函数“可微与可导等价”是截然不同的。

如果二元函数 z = f（x，y）在点M0可微（存在全微分）。则容易证明两个偏导数都存在，且关于x的偏导数 = A，关于y的偏导数 = B

“偏导数都存在”是可微分的必要条件。

历史上的深入讨论，找到了二（多）元函数在一点可微的一个充分条件是，函数的偏导数都存在且连续。

一维到高微空间是质变。一元微分学最讲究条件。讨论前沿问题时，总是想能否把条件削弱一点来得到同样的结论。而多元微分学只能以假设为前提，要什么条件就得给什么条件。比如，要是二阶偏导数不连续，二阶混合偏导数就可能与求偏导顺序有关。给应用带来巨大障碍。

在讨论多元函数时，条件“（一阶）偏导数存在且连续”是一个基本条件。没有这个条件，仅仅知道偏导数存在是什么事情也做不成的。有了这个条件，则

（1）偏导数存在且连续，则函数的全微分存在。

（2）全微分存在函数必定连续。故偏导数存在且连续，函数必定连续。

*（3）偏导数存在且连续时，全体偏导数按坐标顺序排成“梯度向量”，函数沿任意方向的方向导数，就是“梯度向量”在该方向的投影。且“梯度向量”是方向导数最大的方向。

（潜台词：理解时要落实（站立）在中心点。）

记住主关系链，偏导数连续 —→ 全微分存在 —→ 函数连续

相关选择题就迎刃而解了。

例3设函数 z=f(x, y)有定义式：

f(0, 0)= 0，其它点处f(x, y)= xy∕(x平方+y平方)

试证明，在原点（0，0）函数的两个偏导数都存在但函数却不连续。

分析类似例1，取直线道路 y = k x，即知（x，y）→（0，0）时，函数不存在极限，当然在原点不连续。

但是，f(x，0)= 0，f(0，y)= 0，在原点处，两个偏导数都为0

例4考虑二元函数 f(x, y)的 4 条性质

（1）f(x, y)在点（x0，y0）处连续。（2）f(x, y)的偏导数都在（x0，y0）连续。

（3）f(x, y)在点（x0，y0）处可微。（4）f(x, y)在点（x0，y0）的偏导数都存在。如果用表达式“P → Q”说明可以由性质P推出性质Q，则有（？）

（A）（2）→（3）→（1）（B）（3）→（2）→（1）

（C）（3）→（4）→（1）（D）（3）→（1）→（4）

分析（A）对。这就是主关系链。（3）不能推出（2），（B）错。

（3）可以推出（4），但（4）不能推出（1），（C）错。

（3）可以推出（1），但（1）不能推出（4）。比如二元函数z = | x |，（D）错。

篇2：考研高数基本初等函数

第一点函数。函数的概念和性质这些都是高中已经学过的内容，这里主要是以复习的形式来回顾一下，但要提醒考生注意函数的有界性和复合函数运算，要认真理解，因为函数的有界性是新知识，并且对后面知识点的学习起到铺垫的作用，复合函数运算对后面函数的求导、积分等都一定的关系，所以请同学们认真理解。

第二点极限。说起极限，大家都会想起什么呢?是不是想起现阶段极限计算有几种，我们来复习一下：

1)四则运算。在这里要强调一点：什么时候运用四则运算，四则运算要求每个极限都存在，才能有两个函数的极限等于分别求极限之和，否则不能应用四则运算。

2)等价无穷小替换。等价无穷小替换公式可以将极限的计算化简，使得我们更快的求解结果，但这要注意几个问题，第一，什么情况下可以应用等价无穷小替换公式，并不是任何情况下都可以等价替换的.，只有在乘法和除法时可以应用的，这一点请同学们注意，有很多同学不记得这一点，上来就替换，最后算错了。第二，牢记等价无穷小替换公式，掌握它的广义化形式，不要记错公式和没有任何前提的应用广义化形式。

3)洛必达法则。说起这个法则，大家应该都很熟悉，没事“导”两下，但是这个可不是什么情况都能使用洛必达法则的，它是有条件的，三条，你还记得么?另外，洛必达法则并不是上来一个极限就用的，一般情况下是先利用等价无穷替换公式和四则运算等将极限表达式化简，最后再用洛必达法则，前提要验证是不是满足洛必达法则的三个条件，只要是想利用，就必须验证条件，而且这三个条件在历年考研真题中也考察过，请同学们注意。

4)重要极限。重要极限两个公式要牢记，也要掌握它们的广义化形式，灵活应用，会计算幂指函数极限的计算处理方法。

5)单侧极限。单侧极限这里要求在什么情况下要分侧求极限，比如分段函数，指数函数，反正切函数等这都是要分测计算极限的。

6)夹逼准则。一阶复习只需要掌握夹逼准则的内容，会简单的应用。

篇3：基本初等函数乘积的不定积分

二、幂函数与对数函数乘积的不定积分n+1

三、幂函数与三角函数乘积的不定积分

四、幂函数与反三角函数乘积的不定积分

其中: (令x=sint可得)

五、指数函数与对数函数乘积的不定积分

六、指数函数与三角函数乘积的不定积分

七、指数函数与反三角函数乘积的不定积分

八、对数函数与三角函数乘积的不定积分

九、对数函数与反三角函数乘积的不定积分

十、三角函数与反三角函数乘积的不定积分

十一、幂函数与幂函数乘积的不定积分

十二、指数函数与指数函数乘积的不定积分

十三、对数函数与对数函数乘积的不定积分

十四、三角函数与三角函数乘积的不定积分

十五、反三角函数与反三角函数乘积的不定积分

上面15种情况中:有11种情况 (一、二、三、四、六、九、十一、十二、十三、十四、十五) 的积分结果可以用初等函数表示出来, 有4种情况 (五、七、八、十) 的积分结果不能用初等函数表示出来.

参考文献

[1]侯风波.高等数学:第二版[M].北京:高等教育出版社, 2000:89-104.

篇4：基本初等函数

【例1】 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a)>f(a),求实数a的取值范围．

解析 设x<0,则-x>0,有f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x,又f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),则f(x)=-x2+2x,故f(x)=x2+2x,x≥0

-x2+2x,x<0,由函数图象可知f(x)在R上单调递增,又f(2-a)>f(a),则2-a>a,故a<1．

课本寻根 必修1P433(3)：画出函数f(x)=x2+2x-1,x≥0

-x2+2x-1,x<0的图象,指出函数的单调区间,并求出函数的最大值或最小值.

必修1P434：已知函数y=f(x)在定义域R上是单调递减函数,且f(a+1)>f(2a),求a的取值范围．

点评 本题是由课本两题综合而得,由函数的图象得到函数的单调性,再借助函数单调性处理不等式问题。课本上两道习题题意相对明确,难度不大,而将两题有机结合,利用奇函数性质先求解析式,再利用图象得到函数单调性,既增加了试题容量,又适当加大了试题的难度。

【例2】 已知a=1223,b=1523,c=1213,d=log1315,则a,b,c,d的大小关系为.

解析 设函数f(x)=x23,则f(x)=x23在(0,+∞)上单调递增,则f12>f15,即a>b．

设函数g(x)=12x,则g(x)=12x在R上单调递减,则g23

又h(x)=log13x在(0,+∞)单调递减,则h15>h13=1,即d>1,综上,b

课本寻根 必修1P9414：设a=0.32,b=20.3,c=log22,试比较a,b,c的大小关系．

点评 比较大小常借助幂、指、对数函数的单调性,课本题比较三个数的大小,突出借助中介“0”与“1”,本题在此基础上,将三个数变成四个数,出现底数同与指数同,利用初等函数的单调性及中介“1”进行求解。

【例3】 已知函数f(x)=loga1-kxx-1是奇函数．

(1) 求k的值；(2) 判断函数的单调性,并给出证明．

解析 (1) 对定义域内任一x,有f(-x)=-f(x),即loga1+kx-x-1=-loga1-kxx-1,

则loga1+kx-x-1+loga1-kxx-1=0,

即loga1-k2x21-x2=0,则1-k2x21-x2=1,

得k2=1,k=1或k=-1．

又当k=1时,f(x)无意义,故k=-1．

(2) 由(1)知k=-1,此时f(x)=loga1+xx-1,函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)．

①当a>1时,设x10,即x1+1x1-1>x2+1x2-1.又a>1时,对数函数y=logax是增函数,故logax1+1x1-1>logax2+1x2-1,即f(x1)>f(x2),故f(x)在(-∞,-1)单调递减；同理,f(x)在(1,+∞)单调递减．

②当00,即x1+1x1-1>x2+1x2-1.又0

综上,当a>1时,函数在(-∞,-1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递减；当0

课本寻根 必修1P705：求证：函数f(x)=lg1-x1+x(-1

必修1P704：求证：函数y=log0.5(3x-2)在定义域上是单调减函数．

点评 课本中第5题明确地标出函数定义域,第4题没有标出定义域,但需先求定义域。本题将这两题融合在一起,一题设两问,在第5题的基础上引入一个参数,要求先求参数值,由于定义域不明确,故不能用f(0)=0或f-12=-f12特殊值来求k值。第二问,判定单调性,关键有二,一是先求该函数定义域,二是对底数a进行分类讨论。

【例4】 已知x1是方程x+lgx=3的根,x2是方程x+10x=3的根,则x1+x2=.

解析 整理两个方程为lgx=3-x,10x=3-x,则x1,x2分别为直线y=3-x与y=lgx、y=10x的交点的横坐标,而y=lgx与y=10x图象关于直线y=x对称,所以两个交点也关于直线y=x对称,设A(a,b),则B(b,a),又因A,B都在直线y=3-x上,则b=3-a,a=3-b,故a+b=3,即x1+x2=3．

课本寻根 必修1P78例1：利用计算器,求方程lgx=3-x的近似解(精确到01).

点评 借用课本例题的数形结合的思想,再加上转化与化归思想,即将函数的零点方程的根两函数图象的交点的横坐标,本题将指数函数综合进来,本质上就是求两个函数零点之和,巧妙避开用计算器的不便,同时深入考查指数与对数函数的图象。

实战演练

1. 关于x的方程x2-4x+3=m有三个不等的实根,则m=.

2. 已知a=12-13,b=513,c=215,d=log215,则a,b,c,d的大小关系为.

3. 已知函数f(x)=2x+x,g(x)=x+log2x,h(x)=x3+x的零点依次为a,b,c,则a+b+c=.

4. 已知f(x)=loga(ax-1),试讨论函数的单调性．

【参考答案】

1. 由题意知函数y=x2-4x+3与直线y=m有三个不同交点,根据y=x2-4x+3图象可知m=1．

2. a=12-13=213<513=b,a=12-13

=

213>215=c,又d=log215<log21=0．

故d

3. 函数f(x)=2x+x,g(x)=x+log2x,h(x)=x3+x的零点依次是直线y=-x与y=2x,y=log2x及y=x3交点的横坐标,数形结合可知a+b=0,c=0,故a+b+c=0．

4. 由题意知ax-1>0,即ax>1.①当a>1时,x>0,即此时函数的定义域为(0,+∞)．

篇5：基本初等函数的极限

指数函数 yaxa0,a1

a1 limax limax0；0a1 limax0 limax xxxx对数函数 ylogaxa0,a1

logax；0a1limlogax，limlogax a1limlogax，limxx0xx0

三角函数

ytanx lim

xk2tanx limxk2tanx

ycotx limcotx limcotx xkxk

反三角函数

xlimarctanx2arctanx；limarccotx0 limarccotxxlimxx2

幂函数 yx

x2定义域为R,例如yx2，limx

1/21/21/2limxlimx0（定义域内的点）0,定义域为，例如，yxxx0

x10，limx1 定义域为,00,，例如yx1，limxx0

x1/20，limx1/2 定义域为0,，例如yx1/2，xlimx0

注：不管的取值，定义域都包括0,

篇6：考研高数基本初等函数

以下整理了一元函数微分学考试重点，建议同学们好好复习，预祝同学们考研成功过!

一元函数微分学考试内容：

导数和微分的概念;导数的几何意义和物理意义;函数的可导性与连续性之间的关系;平面曲线的切线和法线;导数和微分的四则运算;基本初等函数的导数;复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法;高阶导数;一阶微分形式的不变性微分中值定理;洛必达(L’Hospital)法则;函数单调性的判别;函数的极值;函数图形的凹凸性、拐点及渐近线;函数图形的描绘;函数的最大值与最小值;弧微分;曲率的概念;曲率圆与曲率半径。

考试重点：

1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

3.了解高阶导数的`概念，会求简单函数的高阶导数。

4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。

6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。

8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间内，设函数具有二阶导数。当时，的图形是凹的;当时，的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

篇7：考研高数基本初等函数

2.3.2 对数函数

整体设计

教材分析

对数函数是我们学习了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数等最简单的函数后，在新的知识平台上系统研究的又一类基本初等函数.对数函数的有关知识是以对数概念和运算法则、换底公式作为基础知识来学习的.对数函数的图象是对照指数函数的图象，运用计算机(器)描绘出来的，通过比较分析来研究对数函数的性质，对数函数的教学可利用类比指数函数的教学进行.对数函数的概念是通过一个关于细胞分裂次数的实际问题提出的，这说明对数函数的概念来自于实践，便于学生接受，但在教学中，学生往往容易忽略定义域，因此，要结合指数式强调说明对数函数的定义域.本章节教学的重点是对数函数的图象和性质、会求简单对数函数的定义域、值域.在研究对数函数的时候，底数的取值范围对图象的影响(即单调性的影响)是本节的一个教学难点，因此在教学过程中可以通过指数函数的的图象对比着学习，加强学生数形结合的思想.在比较系统的学习对数函数的定义、图象和性质的基础上，利用对数函数的图象和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图象和性质、复合函数的奇偶性、单调性也成为本节的教学难点.三维目标

1.理解对数函数的概念，能正确描绘和辨别对数函数的图象.2.掌握对数函数的性质及简单应用.3.通过对数函数的概念、图象和性质的学习，使学生分清指数函数和对数函数这两类基本的初等函数在研究方法上的异同之处.使学生体会到知识之间的有机联系以及蕴含在其中的数学思想和方法.4.通过对数函数的有关性质的研究，加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解，培养学生观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力.5.通过对数函数的学习，树立相互联系、互相转化的观点，渗透数形结合的数学思想，增强学生的学习积极性，同时培养学生与人合作、共同探讨的优良品质.重点难点

教学重点：

1.对数函数的概念、图象、性质以及应用.2.对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活使用.教学难点：

1.对数函数的底数的变化对函数图象的影响，对于含参数的对数式渗透分类讨论思想.2.函数图象的平移、翻转变化以及复合对数式函数的图象研究.课时安排

3课时

教学过程

第一课时

对数函数(一)导入新课

设计思路一(复习导入)

1.在前面通过系统地学习指数和对数这两种运算，请同学们回顾指数幂运算和对数运算的定义并说出这两种运算的本质区别.2.回顾指数函数定义、图象和性质，并绘制指数函数图象，根据图象指出指数函数的相关性质(定义域、值域、过定点、单调性).在等式ab=N(a＞0，且a≠1，N＞0)中已知底数a和指数b，求幂值N，就是指数问题；

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已知底数a和幂值N，求指数b，就是我们前面刚刚学习过的对数问题，而且无论是求幂值N还是求指数b，结果都只有一个，有指数函数，那么也有对数函数.设计思路二(情境导入)

x

在某细胞分裂过程中，细胞个数y是分裂次数x的函数y=2.因此，当已知细胞的分裂次数x的值(即输入值是分裂次数x)，就能求出细胞个数y的值(即输出值是细胞个数y),这样，就建立起细胞个数y和分裂次数x之间的一个关系式，你还记得这个函数模型的类型吗？ 反过来，在等式y=2x中，如果我们知道了细胞个数y，求分裂次数x，这将会是我们研究的哪类问题？

x

能否根据等式y=2，把分裂次数x表示出来？

在关系式x=log2y中每输入一个细胞个数y的值，是否一定都能得到唯一一个分裂次数x的值？

(生思考，并交流思考结果，师总结)

我们通过研究发现：在关系式x=log2y中把细胞个数y看作自变量，则每输入一个y的值，都能得到唯一一个分裂次数x的值，根据函数的定义，分裂次数x就可以看作是细胞个数y的函数，这样就得到我们生活中的又一类与指数函数有密切关系的函数模型——对数函数.这就是我们下面将要研究的问题.推进新课

新知探究

在前面学习中所提到的放射性物质，经过时间x(年)与物质剩留量y的关系为y=0.84x，我们也可把它写成对数式：x=log0.84y，其中时间x(年)也可以看作物质剩留量y的函数，可见这样的问题在实际生活中还是不少的.一般地，函数y=logax(a＞0，a≠1)叫做对数函数，由对数概念可知，对数函数y=logax的定义域是(0，+∞).合作探究：为什么对数函数的定义域是(0，+∞)？

函数y=logax和函数y=ax(a＞0，且a≠1)的定义域、值域之间有什么关系？

分析：由指数式和对数式的相互转化可得到：对数函数的定义域就是相应指数函数的值域，对数函数的值域就是相应指数函数的定义域.由指数函数的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，故对数函数的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).由此探究可以得出，研究对数函数的相关性质完全可以由指数函数入手研究，因为两者之间是紧密联系的，根据我们研究指数函数的经历，你觉得下面应该学习什么内容了？ 请回顾一下指数函数的图象的研究过程，根据对数的定义，列举几个对数函数的解析式，并尝试在同一坐标系内作出它们的图象.合作探究：借助于计算器或计算机在同一坐标系内画出它们的图象，并观察各组函数的图象，探究它们之间的关系.(1)y=2x，y=log2x；

(2)y=(12)x，y=log1x；

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(组织学生讨论，互相交流自己获得的结论，师用多媒体显示以上两组函数图象，借助

x于《几何画板》软件动态演示图象的形成过程，揭示函数y=

2、y=log2x图象间的关系及函数y=(12)x，y=log1x图象间的关系，得出如下结论)

2结论：(1)函数y=2和y=log2x的图象关于直线y=x对称；

(2)函数y=(12x)和y=log1x图象也关于直线y=x对称.2x

合作探究：分析你所画的两组函数图象,看看一般的指数函数与对数函数图象有什么关系？即当a＞0，且a≠1时，函数y=ax，y=logax的图象之间有什么关系？

结论：函数y=ax和y=logax(a＞0，且a≠1)的图象关于直线y=x对称.观察归纳：观察课本第66页图233的函数图象，对照指数函数的性质，你发现对数函数y=logax的哪些性质？

对数函数的图象与性质

a＞1

0＜a＜1 图象

(1)定义域：(0，+∞)；

性质

(2)值域：R；

(3)过点(1，0)，即当x=1时，y=0；

(4)在(0，+∞)上是单调增函数；(4)在(0，+∞)上是单调减函数

函数y=ax称为y=logax的反函数，反之，y=logax称为y=ax的反函数.一般地，如果函数y=f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y=f-1(x).应用示例

例

1求下列函数的定义域：

(1)y=log0.2(4-x)；

(2)y=loga

(3)y=logx1(a＞0，a≠1)；

12(5x3).解：(1)由题意可得4-x＞0，解之得x＜4，中鸿智业信息技术有限公司

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所以函数y=log0.2(4-x)的定义域为{x|x＜4}.(2)由题意可得x1＞0，又因为偶次根号下非负，所以x-1＞0，即x＞1，所以函数y=logax1(a＞0，a≠1)的定义域为{x|x＞1}.(3)由题意可得要偶次根号下非负，又因为真数要大于0，log1(5x3)0,5x31,2

所以即 3x,5x30,5

解得35＜x≤45，(5x3)的定义域为{x|

5故函数y=log12＜x≤

45}.点评：解决有关函数求定义域的问题时可以从以下几个方面考虑，列出相应不等式或不等式组，解之即可.①若函数解析式中含有分母，则分母不等于0；

②若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；

③0的0次幂没有意义；

④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0.求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.问题①：请大家课后总结在求对数函数定义域时需要注意哪些问题？ 问题②：在建立不等式组求解的过程中，你认为哪些地方比较容易出错？

例2

比较下列各组数中两个数的大小：

(1)log23.4，log23.8；

(2)log0.51.8，log0.52.1；

(3)log20.8，log0.52.5；

(4)loga5.1，loga5.9；

(5)log75，log67.分析：(1)(2)两个对数是同底数的，故可直接根据单调性进行比较；(3)虽然不同底但是可以化为同底数的对数，然后再利用单调性进行比较；(4)的底数是个参数，遇到参数的题讨论是必不可少的，于是分类讨论，当a＞1时，函数是增函数，当0＜a＜1时，函数是减函数.(5)是上述所说情况中没有的，不能化同底，那么只能寻求中介值进行比较，一般都找1或0作为中介值.解：(1)考查函数y=log2x，因为它的底数是2，且2＞1,所以它在(0，+∞)上是单调增函数.又因为0＜3.4＜3.8，所以log23.4＜log23.8；

(2)考查函数y=log0.5x，因为它的底数是0.5，且0＜0.5＜1,所以它在(0，+∞)上是单调减函数.又因为0＜1.8＜2.1，所以log0.51.8＞log0.52.1；

(3)考查两个log20.8，log0.52.5的底数不相同，但是出现的是2和0.5，故可转化同底log20.8与log20.4的大小比较，与(1)同，因为log20.8＞log20.4，所以log20.8＞log0.52.5；

(4)当a＞1时，函数y=logax在(0，+∞)上是单调递增的,所以loga5.1＜loga5.9；当0＜a＜1时，函数y=logax在(0，+∞)上是单调递减的,所以loga5.1＞loga5.9；

(5)考查函数y=log7x，因为它的底数是7，且7＞1,所以它在(0，+∞)上是单调增函数.又因为0＜5＜7，所以log75＜log77=1.同理log67＞log66=1，所以log75＜log67.中鸿智业信息技术有限公司

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点评：本例是利用对数函数的单调性来比较两个对数式的大小的问题，一般是根据所给对数式的特征，确定一个目标函数，把需要比较大小的对数式看作是对应函数中两个能比较大小的自变量的值对应的函数值，再根据所确定的目标函数的单调性比较对数式的大小.当底数为变量时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.例

3已知logm4＜logn4，试比较m，n的大小.分析：要比较的两个对数真数相同，属于比较底数的大小的问题，所以和前面例2很类似，但是不同的是没有给出它的符号，所以难度要大点，但是m，n的范围都是大于0且不等于1的实数，于是解答时要对m，n的范围进行讨论，此时要利用分类讨论的思想.解：logm4＜logn41log4m1log4n，当m＞1，n＞1时，有0＜

1log4m1log4n，所以log4n＜log4m，此时m＞n＞1.当0＜m＜1，0＜n＜1时，有

1log4m1log4n＜0，所以log4n＜log4m，此时0＜n＜m＜1.当0＜m＜1，n＞1时，有log4m＜0，0＜log4n，此时满足.所以0＜m＜1＜n.综上所述，m，n的大小关系为m＞n＞1或0＜n＜m＜1或0＜m＜1＜n.点评：本题也可通过作图形进行观察比较，在此不作详解，请学生自己完成.例

4求下列函数的值域：

(1)y=log2x+2(x≥1)；(2)y=log1(x+1)(0＜x＜3)；

(3)y=log2(2-x)；(4)y=log2(x1)(-3≤x≤1).分析：由对数函数的图象可得定义域为(0，+∞)，值域为R.所以在求对数函数的值域时要结合图象，根据对数函数的单调性来求解.对于形式上比较复杂的则要先求出定义域，根据具体的形式作出判断，从内到外进行求解.解：(1)因为2＞1，所以函数y=log2x为增函数，当x≥1时，log2x≥0，所以函数y=log2x+2(x≥1)的值域为[2，+∞).(2)因为0＜x＜3，所以1＜x+1＜4，又函数y=log

所以log4＜log(x+1)＜log12x为减函数，1212121，即得值域为(-2，0).(3)由题意可得2-x＞0，即得当x＜2时，函数的值域为R.2

(4)令t=x+1，则当-3≤x≤1时，t∈[1，10]，故log2t∈[0，log210]，所以函数y=log2(x1)

2(-3≤x≤1)的值域为[0，log210].点评：前面两个比较容易接受，(3)理解有点困难，教学时要强调当x＜2时，真数2-x能取到所有的大于0的实数，所以值域为R；(4)是个根式和对数复合的函数求值域的问题，中鸿智业信息技术有限公司

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此时要先求根式里面的对数的范围，再结合根式有意义最终写出值域.知能训练

一、课本第69页练习1、3.2二、1.求函数y=loga(9-x)(a＞0，a≠1)的定义域.2.比较下列各题中两个值的大小:

(1)log36_________log38；(2)log0.56_________log0.54；

(3)log0.10.5________lg0.6；(4)log1.51.6_________log20.4.3.已知下列不等式，比较正数m，n的大小：

(1)log3m＜log3n；(2)log0.3m＞log0.3n；

(3)logam＜logan(0＜a＜1)；(4)logam＞logan(a＞0，a≠1).4.将0.3，log20.5，log0.51.5由小到大排列的顺序是：____________.解答：

一、1.图略，y=log3x与y=log1x的图象关于x轴对称.323.(1)log35.4＜log35.5；(2)log1π＜log1e；

(3)lg0.02＜lg3.12；(4)ln0.55＜ln0.56.二、1.由对数函数的定义知：9-x2＞0，解得-3＜x＜3，所以函数y=loga(9-x2)(a＞0，a≠1)的定义域为{x|-3＜x＜3}.2.(1)＜；(2)＜；(3)＞；(4)＞.3.(1)由于3＞1，所以0＜m＜n.(2)由于0＜0.3＜1，所以0＜m＜n.(3)由于0＜a＜1，所以m＞n＞0.(4)当a＞1时，m＞n＞0；当0＜a＜1时，0＜m＜n.4.因为0＜0.3＜1，log20.5＜0，log0.51.5=log

2课堂小结

1.对数函数的概念.2.对数函数的图象和性质.3.会求对数函数的定义域.4.利用对数函数的性质比较大小的一般方法和步骤.作业

课本第70页习题2.3(2)1、2、3.设计感想

本节是对数函数第一课时，主要教学目标就是讲解对数函数的概念，会求简单的对数函数的定义域，根据单调性比较对数大小.教学中通过计算器列表描点或几何画板来刻画对数函数图象，在教学中让学生在同一个坐标系画出同底数的指数函数和对数函数图象，将指数函数和对数函数作比较发现它们的图象是关于直线y=x对称的.从中发现指对数函数的定义域和值域之间的关系，即对数函数中的定义域就是指数函数中的值域，对数函数中的值域就是指数函数中的定义域.在教学中充分利用图象，帮助学生理解底数a的取值对图象的影响(即确定函数的单调性)，对数函数的定义域为正实数这也是个难点，学生在解题中很容易漏掉.讲解定义域时，要注意函数求定义域时需要注意的一些问题，尤其是复合函数的定义域要保证每个部分都要有意义.利用对数函数的单调性进行对数的大小比较时，要让学生观察当底数相同时如何比较，当底数不同时又怎样比较.对于真数相同而底不同的对数大小比较

223＜0，所以log20.5＜log0.51.5＜0.3.2中鸿智业信息技术有限公司

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可以采取取倒数化同底，也可以利用图象的特征进行观察比较.关于对数求值域的问题，在此只要讲解比较简单的对数求值域，即利用对数函数的单调性进行观察求解，关于含有对数式的复合函数的值域在此涉及的不多，到讲含对数式复合函数的图象和性质后再作加强训练.(设计者：顾文艳)

第二课时

对数函数(二)

导入新课

将函数y=2的图象通过怎样的变换可得到y=2的图象以及y=2+1的图象？

xx+1x

结论：将y=2的图象向左平移一个单位可得到y=2的图象，将y=2的图象向上平移一个单位可得到y=2x+1的图象.那么如何由函数y=2的图象得到函数y=2

(学生回答，老师显示如下结论)

结论：(1)由函数的y=2图象得到函数y=2的图象的变化规律为：

当a＞0时，只需将函数y=2x的图象向左平移a个单位就可得到函数y=2x+a的图象.当a＜0时，只需将函数y=2x的图象向右平移|a|个单位就可得到函数y=2x+a的图象.(2)由函数的y=2x图象得到函数y=2x+b的图象的变化规律为：

当b＞0时，只需将函数y=2的图象向上平移b个单位就可得到函数y=2+b的图象.当b＜0时，只需将函数y=2x的图象向下平移|b|个单位就可得到函数y=2x+b的图象.以上的变化规律是否对于对数函数也同样适用？如何画y=log2(-x)、y=-log2x、y=log2|x|、y=|log2x|等形式上比较复杂的函数图象呢？这将是本节课我们所要讨论的主要问题.推进新课

新知探究

在同一个坐标系作出下列函数图象，并指出它们与对数函数y=log2x的图象的关系：

(1)y=log2(x+1)与y=log2(x+2)；

(2)y=log2x+1与y=log2x+2.分析：要画出一个函数的图象，需要描绘图象上的点，于是就要列表、描点然后连线.解：(1)列出下列的函数数据表：

y=log2x y=log2(x+1)y=log2(x+2)y x x x

0 1 0-1 2 1 0 4 3 2

0.5 2 2-1 2-2

x

x

x

x+a

x

x+ax

x+

1x的图象呢？

-1 0.5-0.5-1.5

-2 0.25-0.75-1.75

通过上面的数据表，进行描点连线可以得到函数y=log2(x+1)和y=log2(x+2)的图象，如图(1).由图象上点的特征可以得出如下结论：

若点(x0，y0)在函数y=log2x的图象上，那么对应点(x0-1，y0)必在函数y=log2(x+1)的图象上.于是函数y=log2(x+1)的图象就是由函数y=log2x的图象向左平移1个单位得到.若点(x0，y0)在函数y=log2x的图象上，那么对应点(x0-2，y0)必在函数y=log2(x+2)的图象上.于是函数y=log2(x+2)的图象就是由函数y=log2x的图象向左平移2个单位得到.(2)列出下列函数数据表：

函数 Y=log2x y=log2x+1 x y y 1 0 1 0.5-1 0 2 1 2 4 2 3 0.25-2-1 8 3 4

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y=log2x+2 y 2 1 3 4 0 5

通过上面的数据表，进行描点连线可以得到函数y=log2x+1和y=log2x+2的图象，如图(2).由图象上点的特征可以得出如下结论:若点(x0，y0)在函数y=log2x的图象上，那么对应点(x0，y0+1)在函数y=log2x+1的图象上；对应点(x0，y0+2)在函数y=log2x+2的图象上,于是，函数y=log2x+1的图象可由函数y=log2x的图象向上平移1个单位；函数y=log2x+2的图象可由函数y=log2x的图象向上平移2个单位得到.图(1)

图(2)

点评：通过列表、描点、连线绘图的三步骤，可以画出函数的图象，并由图形上点的特征观察图象之间的转化关系.这样便于学生学习和掌握图象变化的规律.可参照课本第68页例3.思考

如何由函数y=log2x的图象得到函数y=log2(x-1)与函数y=log2x-1的图象呢？并说出函数y=log2(x+a)和函数y=log2x+b的图象以及函数y=log2(x+a)+b的图象可由函数y=log2x的图象经过怎样的变换得到？

解：函数y=log2(x-1),y=log2x-1的图象与函数y=log2x的图象的变化规律如下：函数y=log2(x-1)的图象是由函数y=log2x的图象向右平移1个单位就得到；函数y=log2x-1的图象是由函数y=log2x的图象向下平移1单位就得到.由函数的y=log2x图象得到函数y=log2(x+a)的图象的变化规律为：

当a＞0时，只需将函数y=log2x的图象向左平移a个单位就可得到函数y=log2(x+a)的图象.当a＜0时，只需将函数y=log2x的图象向右平移|a|个单位就可得到函数y=log2(x+a)的图象.由函数的y=log2x图象得到函数y=log2x+b的图象的变化规律为：

当b＞0时，只需将函数y=log2x的图象向上平移b个单位就可得到函数y=log2x+b的图象.当b＜0时，只需将函数y=log2x的图象向下平移|b|个单位就可得到函数y=log2x+b的图象.由函数y=log2x的图象得到函数y=log2(x+a)+b的图象的变化规律为：

先将函数y=log2x的图象向左(当a＞0时)或向右(当a＜0时)平移|a|个单位，得到函数y=log2(x+a)的图象，再将函数y=log2(x+a)的图象向上(当b＞0时)或向下(当b＜0时)平移|b|个单位就可得到函数y=log2(x+a)+b的图象.点评：由列表绘制的图象同样可观察出对应图象上点之间的关系，从而得出函数图象之间的变换关系.当函数y=log2x中的自变量x变为x+a的时候，此时函数y=log2(x+a)的图象就是由函数y=log2x的图象进行左右平移得到，即a＞0(左移)和a＜0(右移).当在函数整体后变化时，即f(x)变为f(x)+b时，此时函数y=log2x+b的图象是由函数y=log2x的图象进行上下平移，即b＞0(上移)和b＜0(下移).对于图象进行多次平移变换所得的函数图象，则要将上述的两种情况合起来，先进行左右平移，再将所得图象进行上下平移，对于平移的先后顺序

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是没有影响的.应用示例

例

1探究函数y=-logax、y=loga(-x)的图象和函数y=logax的图象之间的关系.分析：我们需找出函数图象上对应点的坐标之间的关系.若点(x0，y0)是函数y=logax上任意一点，则点(x0，-y0)在函数y=-logax的图象上，所以函数y=-logax的图象和函数y=logax的图象关于x轴对称；若点(x0，y0)是函数y=logax上任意一点，则点(-x0，y0)在函数y=loga(-x)的图象上，所以函数y=loga(-x)的图象和函数y=logax的图象关于y轴对称.(有条件的学校可以利用几何画板让学生直接观察得出结论)

解：设点(x0，y0)是函数y=logax上任意一点，则点(x0，-y0)在函数y=-logax的图象上；点(-x0，y0)在函数y=loga(-x)的图象上，所以函数y=-logax的图象和函数y=logax的图象关于x轴对称；函数y=loga(-x)的图象和函数y=logax的图象关于y轴对称.点评：函数图象上的对应点若关于x轴对称，则函数图象就关于x轴对称；若函数图象上的对应点关于y轴对称，则函数图象就关于y轴对称.例

2画出函数y=log2|x|的图象，并根据图象写出它的单调区间.分析：对于遇到含绝对值的问题的时候，基本思想方法是去掉绝对值，于是就要用到分类讨论的思想方法，将函数y=log2|x|写成分段函数的形式，然后在画图象就比较简单了，那么在本题中如何去掉绝对值呢？去掉绝对值以后又该怎么办呢？

(学生回答，老师板书如下)

log2x,x0,解：由于y=log2|x|=

log(x),x0.2

当x＞0时，画出函数y=log2x的图象；当x＜0时，画出函数y=log2(-x)的图象.如图所示：

由图象可得函数y=log2|x|的单调增区间为：(0，+∞)；单调减区间为(-∞，0).探究：在例2中除了利用去掉绝对值画出图象，你还能想到用其他的方法解答吗？

(学生相互交流)

结论：由于函数y=log2|x|是偶函数，所以只要先画出函数y=log2x(x＞0)的图象，再将函数y=log2x(x＞0)的图象关于坐标轴y轴对称过来，就可得到y=log2|x|(x＜0时)的图象，两部分合起来就是函数y=log2|x|的图象.例

3已知函数f(x)=log12(1-x)，(1)求此函数的定义域，值域；(2)判断它的单调性并证明你的结论，并指出单调区间.分析：对数函数的定义域只要真数大于0，值域必须在定义域的范围内先求内函数的值域，然后根据底数的取值确定外函数的单调性，根据外函数的单调性把值域求出即可.对于函数单调性的证明，要在定义域内任取两个值，然后根据函数单调性的证明方法和步骤对函数值进行作差或作商比较，进而判断单调性，求出单调区间.解：(1)因为1-x＞0，即x＜1，所以函数f(x)=log12(1-x)的定义域为(-∞,1)；

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因为函数f(x)=log值域为：R.(2)函数f(x)=log1212(1-x)的定义域为(-∞，1)，当x∈(-∞,1)时，有1-x＞0，所以函数的(1-x)在定义域(-∞,1)上为单调递增.证明：任取x1,x2∈(-∞,1)且x1＜x2，则有

f(x1)-f(x2)=log1(1-x1)-log212(1-x2)=log1x1121x21x11x2，因为x1＜x2＜1，所以1-x1＞1-x2＞0，得

＞1，所以f(x1)-f(x2)=log

所以函数f(x)=log1x1121x2＜0，即f(x1)＜f(x2)，12(1-x)在定义域(-∞,1)上为单调递增.例

4判断下列函数的奇偶性:

(1)函数f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)；

(2)函数f(x)=ln(x+1)+ln(1-x).分析：判断函数奇偶性的方法和步骤请学生回顾一下，首先定义域要关于原点对称，然后看f(-x)与f(x)之间的关系，解答如下：

解：(1)由题意可得x10,x10即x1,x1,解得x＞1，所以函数f(x)的定义域为(1，+∞)，不关于原点对称，所以函数f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)是非奇非偶函数.x10,x1,(2)由题意可得即解得-1＜x＜1，所以函数f(x)的定义域为(-1，1)，1x0x1,定义域关于原点对称，而f(-x)=ln(-x+1)+ln(1+x)=f(x)，所以函数f(x)=ln(x+1)+ln(1-x)是偶函数.点评：在判断函数奇偶性的时候，一定要保证定义域关于原点对称，这点学生在解题时很容易遗漏，所以老师在讲解时一定要强调.有些学生会根据对数函数的运算法则将函数进行化简，这个想法很好，但是一定要注意在化简的时候注意不要改变函数的定义域，化简的基本要求是实施的是等价变形.如(1)，有学生会发生下面出现的错解：

因为函数f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)=lg(x2-1)，由x2-1＞0得其定义域为x∈(-∞，-1)∪(1,+∞)，又f(-x)=lg(x2-1)=f(x)，所以函数f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)为偶函数.因此老师在讲解时特别要注意这一点，避免出现上述不该出现的错误.知能训练

课本第69页练习2、4、5.解答：

2.(1)因为2x+1＞0，所以x＞1212，所以函数y=log2(2x+1)的定义域为(，+∞).中鸿智业信息技术有限公司

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2因为y=log2(2x+1)=1+log2(x+函数y=log2(x+1212)，所以先将函数y=log2x的图形向左平移

12个单位得到)的图象，再将函数y=log2(x+)的图象向上平移1个单位就可得到函数y=log2(2x+1)的图象.如图(一).图(一)

图(二)

(2)因为1x11x11x1＞0，所以x＞1，所以函数y=lg的定义域为(1，+∞).因为y=lg=-lg(x-1)，所以将函数y=lgx的图形向右平移1个单位得到函数y=lg(x-1)的图象，再将函数y=lg(x-1)的图象作关于x轴对称所得到的图象就是所求函数的图象.如图(二).4.解：(1)由题意可得：3x=2x+1＞0，解得x=1.2x10x=3.(2)由题意可得：x22022x1x2x10x=2.(3)由题意可得：x1x

15.解：(1)由题意可得3x+5=3x=-

23.12

(2)由题意可得2x=log212=2+log23x=1+

(3)由题意可得1-x=log32x=1-log32.log23.课堂小结

前面一节课主要学习了对数函数的概念，那么这节课主要是为了加深对对数函数图象以及性质的学习而给出的.讲解了对数函数的图象变换，即左右平移和上下平移以及关于轴对称和关于原点对称图象的画法，会作出函数图象并能根据图象准确地求出函数的单调区间；能根据定义判断含对数式的复合函数的奇偶性和单调性，定义域一定要首先考虑.作业

1.课本第70页习题2.3(2)、4、5、6、8.2.请大家利用计算机作出函数y=logax，y=loga(x+m)，y=logax+n的图象，加深对函数图象变换的规律的理解；随意画一个函数y=f(x)的图象，观察函数y=f(|x|)的图象和函数y=|f(x)|的图象，看看它们的图象之间的变换关系又如何.是否与本节课得到的变化规律一致.写出你的结论，并加以相关的解释说明.设计感想

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这节课的图象比较多，所以在刚开始的时候针对不同层次的学生，在这里直接给出几个函数的图象和图象上相关点的坐标，让他们从图象上一些具体的点观察图象之间的关系并得出结论，然后由具体的例子从特殊性推广到一般性，从而达到对知识的学习和掌握.例1和例2给出了图象关于轴对称的关系式和画法，例3和例4解决了含对数式的复合函数的定义域、值域的求解和单调性、奇偶性的判断，讲解时要利用相关的数学工具作出图象让学生从直观上掌握图形变换，也为以后我们学习图象的变换打下坚实的基础.(设计者：赵家法)

第三课时

对数函数(三)导入新课

回顾前面所学有关对数函数的相关内容：

1.对数函数的概念.2.对数函数的图象和性质以及相应指数函数图象之间的关系.3.利用对数函数的单调性进行对数大小比较.4.求解对数函数的定义域要注意真数大于0，遇到对数函数的复合形式要注意根据条件建立不等式组进行求解；求对数函数的值域要根据单调性进行求解.5.掌握对数函数图象平移的变化规律以及图象的翻转，并能根据图象写出单调区间.6.利用定义判断对数函数的单调性和奇偶性.今天我们来继续学习对数函数的性质，并利用对数函数的性质解决一些比较复杂的综合问题.在指数函数的学习过程中，我们学习了利用指数函数的单调性求解不等式，以及指数函数和其他函数复合形式的相关问题，如复合函数的单调性的判断以及单调区间的求解问题.我们已经学习了一些对数函数基本的性质，这节课我们来学习对数函数的单调性在对数方程以及对数不等式中的应用；复合函数单调区间的求解等复合函数的综合应用.应用示例

例

1解下列方程：

(1)4x-3×2x-4=0；(2)(log2x)2-2log2x-3=0.解：(1)原方程可化为(2x)2-3×2x-4=0，令t=2x(t＞0)，则t2-3t-4=0，解得t=-1或t=4，因为t＞0，所以t=4，即2x=4.解得x=2，所以原方程的解集为{x|x=2}.2(2)令t=log2x，则原方程可化为t-2t-3=0，解得t=-1或t=3，因为t=log2x，所以log2x=-1或log2x=3，解得x=12或x=8，1

2所以原方程的解集为{x|x=或x=8}.点评：本例题是解指对数方程的问题，遇到这种类型的题目时，应设法将方程化为可解的代数方程的形式，利用换元法将方程转化为我们比较熟悉的代数方程进行求解，最后再求出本题的解，其中要对求出的解进行检验，这一点要对学生多强调.例2

求下列不等式的解集.(1)log2(x+1)＞log2(2x-1)；

(2)logx(3x-2)＞2.分析：解对数不等式时，若底数相同则直接根据对数的单调性建立不等式组，注意真数大于0不要遗漏；若对数的底数不相同，则根据运算法则化为底数相同，然后建立不等式组进行求解；若底数是个参数，则要进行分类讨论.解：(1)因为a=2＞1，所以函数y=log2x为单调递增函数，中鸿智业信息技术有限公司

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x1x1011

则有2x10＜x＜2.x22x12x1x2

所以不等式的解集为{x|

12＜x＜2}.(2)由题意可知要对x进行分类讨论，x1

当底数大于1时，有下列不等式组：3x201＜x＜2；

23x2x0x12

当底数大于0且小于1时，有下列不等式组：3x20＜x＜1.323x2x

综上可得，原不等式的解集为{x|

23＜x＜2且x≠1}.点评：利用对数函数的单调性求解对数不等式时，要注意以下几点：定义域要考虑；利用单调性得到正确的不等式；当底数为自变量x时，对x进行讨论所得不等式的解集最后要合并；当底数为参数a时，对a讨论所得不等式的解集不能合并，要分开给出.老师在讲解时一定要强调这一点，因为学生对最后的结果该如何写掌握的还不是很好.例

3已知x∈[2，4]，求函数y=log12x-log1x+5的值域.4

4分析：本题采用换元法将函数化为一元二次函数，然后利用单调性求函数的最值.解：令u=log1x，由x∈[2，4]，得log14≤log14x≤log12，即-1≤u≤444412.又y=u2-u+5=(u当u=1212)2+

194，在u∈[-1，12]上单调递减，所以当u=-1即x=4时，ymax=7；

234即x=2时，ymin=

234，所以函数的值域为[，7].点评：利用函数单调性是求函数的最值或值域的主要方法之一，而换元法是化归的常用手段.若函数形式比较复杂则要通过相关变换找出换元的部分，然后利用单调性进行最值的求解，进而求出函数的值域.例4

求函数y=log0.2(x-x2)的单调区间.分析：对于复合函数单调区间的求解问题，要先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性求解.解：设t=x-x=-(x2

12)+

14，则有y=log0.2t.由x-x2＞0解得函数的定义域为(0,1).在(0，12]上t随x的增大而增大，而y随t的增大而减小，所以y随x的增大而减小，中鸿智业信息技术有限公司

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即函数在区间(0，12]上是减函数；在[

12，1)上t随x的增大而减小，而y随t的增大而减

12小，所以y随x的增大而增大，即函数在区间[

所以函数y=log0.2(x-x2)的增区间为[

12，1)上是增函数.12，1)，减区间为(0，].点评：判断复合函数单调性以及求单调区间的时候，要注意先求函数的定义域，然后依据复合函数单调性的判断方法，遵循增、增为增，减、减为增，增、减为减的原则.当对数函数的底数为参数时，则要对底数进行分类讨论.例

5求证：函数f(x)=loga

1x1x(0＜a＜1)是减函数.分析：对于函数单调性的证明一般利用定义来证明.证明：由

设g(x)= 1x＞0可得-1＜x＜1，即函数的定义域为(-1，1).，任取x1,x2∈(-1,1)且x1＜x2，1x11x11x21x22(x1x2)(1x1)(1x2)1x1x1x

则有g(x1)-g(x2)=.因为-1＜x1＜x2＜1，所以x1-x2＜0，1-x1＞0，1-x2＞0，所以g(x1)-g(x2)＜0，即0＜g(x1)＜g(x2).因为0＜a＜1，所以logag(x1)＞logag(x2)，即f(x1)＞f(x2).所以函数f(x)=loga1x1x在定义域(-1，1)上是减函数.点评：本例是对数函数单调性的证明问题，利用定义直接证明即可，但是要考虑到定义域.本题中给出了底数的范围，即0＜a＜1，由此可知外函数是单调递减的.若没有给出底数的具体范围则要对底数进行讨论.知能训练

1.解下列方程：(1)9xxx123=81；(2)45x=54x.2解：(1)原方程可化为

32x2x3x1=34，即32x3x12=34

于是有2x2-3x+1=4，解得x=543433.(2)原方程可化为(45)x=1，所以x=0.2.函数y=logax在区间[2，10]上的最大值与最小值的差为1，则常数a=__________.解：当a＞1时，ymax=loga10，ymin=loga2，则有loga10-loga2=loga

102=loga5=1，所以a=5；

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210

当0＜a＜1时，ymax=loga2，ymin=loga10，则有loga2-loga10=loga

3.函数y=log

A.(-∞,3212=loga

15=1，所以a=

15.(x-3x+2)的递增区间是（）

322]

B.(-∞,1)

C.[,+∞)

D.(2,+∞)

解：由x2-3x+2＞0，可得x＜1或x＞2，即函数的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞)

设t=x2-3x+2，则y=log以函数y=log1212t在(-∞,1)上t随x的增大而减小，而y随t的增大而减小，所(x2-3x+2)在区间(-∞,1)上是增函数；在(2,+∞)上t随x的增大而增大，而y随

(x2-3x+2)在区间(2，+∞)上是减函数.综上可得函数t的增大而减小，所以函数y=logy=log1212(x2-3x+2)的递增区间是(-∞,1)，故选B.4.已知y=loga(2-x)是x的增函数,则a的取值范围是（）

A.(0，2)

B.(0,1)

C.(1,2)

D.(2,+∞)

解：由2-x＞0，解得函数的定义域为(-∞,2)，令t=2-x,则y=logat.在区间(-∞,2)上t随x的增大而减小，而y是x的增函数,所以y随t的增大而减小,即y是t的减函数，故0＜a＜1,选B.点评：此练习是针对本节课所讲的内容而设计的，即对数方程的求解、对数不等式的求解、复合对数函数单调性的判断以及单调区间的求解等问题.对学生的训练很有帮助，通过练习使学生熟练掌握对数函数的相关性质，并学会思考问题，提高解决问题的能力.课堂小结

本节课是对对数函数性质的进一步学习，体会对数函数的单调性在解对数方程和对数不等式中的应用，加强分类讨论思想在解题中的应用.添加了对数函数和二次函数的两种复合以及和一次函数的复合问题，掌握复合函数单调区间的求法，先求定义域，再根据复合函数单调性的判断方法进行判断.作业

1.课本第70页习题2、3(2)7、9、10、11、12.2.试总结求解对数方程、对数不等式、复合函数单调性的判断以及单调区间的方法和步骤.设计感想

本节课是对对数函数的进一步学习，主要解决利用对数函数的单调性进行对数方程求解、对数不等式的求解，以及复合函数等相关问题.设计的题目有的比较简单，基础一般的学生比较容易接受和掌握；也有在难度上有所加深的题目，尤其加强了分类讨论思想的应用.对于复合函数的问题，老师可根据所教班级的不同有所选择地进行教学.教学中要注意强调对数函数的定义域，不管是在求解对数不等式还是求复合函数单调区间.接下来通过练习的训练加深对本节课的学习，教学中老师可让学生板演并进行点评，这样效果会更好些.习题详解

课本第70页习题2.3(2)

1.这两个函数的图象关于x轴对称.共同点为：定义域是(0，+∞)，值域是R，都过点(1，0)；不同点：函数y=log4x是定义域上的增函数，函数y=log1x是定义域上的减函数.4中鸿智业信息技术有限公司

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2.(1)由已知可知3x-1＞0，所以x＞知可知24x313，所以函数y=ln(3x-1)的定义域是（3413,+∞).(2)由已＞0，所以4x-3＞0，即x＞，所以函数的定义域是（3423，+∞).3.(1)log57.8＜log57.9；(2)log0.33＜log0.32；(3)ln0.32＜lg2；(4)log65＜log78.4.证明：函数y=log0.5(3x-2)的定义域是（3x123x2223，+∞)，任取x1、x2∈（23，+∞)，且x1＜x2，则log0.5(3x1-2)-log0.5(3x2-2)=log0.5，因为

＜x1＜x2，所以0＜3x1-2＜3x2-2.所以0＜3x123x22＜1，可得到

log0.5(3x1-2)-log0.5(3x2-2)=log0.5

3x123x22＞log0.51=0，即log0.5(3x1-2)＞log0.5(3x2-2).所以函数y=log0.5(3x-2)在定义域上是单调减函数.5.证明：设f(x)=lg1x1x，由

1x1x＞0得-1＜x＜1，即函数的定义域为(-1，1)，又对于

1x1x定义域(-1，1)内任意的x，都有f(-x)=lg=-lg

1x1x=-f(x)，所以函数y=lg

1x1x是奇函数.6.函数y=log2(x+1)的图象可以由函数y=log2x的图象向左平移1个单位得到；函数y=log2(x-1)的图象可以由函数y=log2x的图象向右平移1个单位得到，这样，将函数y=log2(x+1)的图象向右平移2个单位就能得到函数y=log2(x-1)的图象，或将函数y=log2(x-1)的图象向左平移2个单位就能得到函数y=log2(x+1)的图象，如图所示.7.因为log25＞log24=2，log58=log525=2，所以

log25＞log24=2=log525＞log58，即log25＞log58.8.由图可知，函数y=loga(x+b)的图象过(0,2)点和(-2,0)点，将这两点的坐标代入函数解析式可得：

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a3(3舍去),ba2logab  loga(b2)0b21b3.9.比较对数函数底数的大小，只要作直线y=1，其交点的横坐标的大小就是对数函数底数的大小，由图可知，有以下关系：0＜b＜a＜1＜d＜c.10.因为x出现在指数位置，所以本题要利用指数式与对数式的互化公式对x进行求解.(1)由方程21-x=5，可得1-x=log25，所以x=1-log25.(2)由方程2×5x+1-9=0，可得5x+1=

所以x+1=log5923-x

92，所以x=log5x+2

92-1.11.(1)由不等式5＞2，可得x+2＞log52，所以x＞log52-2；

(2)由不等式3＜6，可得3-x＜log36=1+log32，所以x＞2-log32；

(3)由不等式log3(x+2)＞3，可得x+2＞27，所以x＞25；

(4)由不等式lg(x-1)＜1,可得0＜x-1＜10，所以1＜x＜11.(定义域要考虑)

12.证明：对任意的x1、x2∈(0,+∞)，由f(x)=lgx，有

f(x1)f(x2)2x1x22lgx1lgx2212lgx1x2,f（x1x22)=lg

x1x22，因为x1x2=(x1x2)≥0，所以

2x1x22≥

x1x2，又因为f(x)=lgx

x1x22是(0,+∞)上的增函数，所以lg

x1x22≥lg

x1x2，即

篇8：考研高数基本初等函数

1.1常数函数

1.2幂函数

1.3对数函数

1.4指数函数

1.5三角函数

(1) 若y=f (x) =sin x,

(2) 若y=f (x) =cos x,

(5) 若y=f (x) =sec x,

(6) 若y=f (x) =csc x,

1.6反三角函数

(6) 若y=f (x) =arccsc x,

摘要：一般的文章或教材没有全部地对六个基本初等函数运用导函数的定义直接来求其导函数, 本文利用导函数的定义求出了六类基本初等函数的导函数。

关键词：基本初等函数,导函数

参考文献

[1]陈钢.用算法语言BCY进行初等函数公式求导的初步尝试[J].浙江大学学报, 1981 (3) :141-149.

[2]M.克莱因.古今数学思想[M].上海:上海科学技术出版社, 1979:1 3 5.

[3]魏永飞.初等函数的导函数计算机符号算法[J].洛阳工学院学报, 1989 (8) :57-60.

[4]同济大学数学系编.高等数学[M].6版.北京:高等教育出版社, 2007:74.