高数考研大纲范文

第一篇：高数考研大纲范文

考研高数(1)复习大纲

一、函数、极限与连续

1.求分段函数的复合函数;

2.求极限或已知极限确定原式中的常数;

3.讨论函数的连续性，判断间断点的类型;

4.无穷小阶的比较;

5.讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。

二、一元函数微分学

1.求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论;

2.利用洛比达法则求不定式极限;

3.讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式;

4.利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如证明在开区间内至少存在一点满足……，此类问题证明经常需要构造辅助函数;

5.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间;

6.利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。

三、一元函数积分学

1.计算题：计算不定积分、定积分及广义积分;

2.关于变上限积分的题：如求导、求极限等;

3.有关积分中值定理和积分性质的证明题;

4.定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等;

第二篇：高数大纲 (2)

[考试科目]

高等数学、线性代数 高等数学

一、函数、极限、连续

考试内容

函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 简单应用问题的函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小和无穷大的概念及其关系 无穷小的性质及无穷小的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限 : 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质

考试要求

1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念. 4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的基本概念。 5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.

6. 掌握极限的性质及四则运算法则

7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.

8. 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限.

9. 理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型. 10. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.

二、一元函数微分学

考试内容。

导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 基本初等函数的导数 导数和微分的四则运算 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达(L’Hospital)法则 函数的极值 函数单调性的判别 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数最大值和最小值

考试要求

1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分. 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数. 4. 会求分段函数的一阶、二阶导数.

5.会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数. 6.理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理. 7. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用.

8.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直渐近线，会描绘函数的图形.

9.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.

三、一元函数积分学

考试内容

原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿一莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 广义积分 定积分的应用

考试要求

1.理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念. 2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法.

3.会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分.

4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式. 5.了解广义积分的概念，会计算广义积分. 6.了解定积分的近似计算法.

7.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功).

四、多元函数微积分学

考试内容

多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上二元连续函数的性质 多元函数偏导数的概念与计算 多元复合函数、隐函数求导法 二阶偏导数 多元函数的极值、最大值和最小值 二重积分的概念、基本性质和计算

考试要求

1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质。 3.了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。

4.了解多元函数极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，会求解一些简单的应用题。

5.了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分(直角坐标、极坐标)的计算方法。

五、常微分方程

考试内容

常微分方程的基本概念

变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程

可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 微分方程简单应用

考试要求

1.了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念.

2.掌握变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程。 3.会用降阶法解下列方程：y(n)f(x)，yf(x,y)，yf(y,y). 4.理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理.

5.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

6.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.

7.会用微分方程解决一些简单的应用问题.

线性代数

一、行列式 考试内容

行列式的概念和基本性质 行列式按行(列)展开定理 考试要求

1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质.

2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式.

二、矩阵 考试内容

矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵

矩阵的秩 矩阵的等价 考试要求

1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、对称矩阵，以及它们的性质.

2. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式

3. 理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.

4.了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.

三、向量

考试内容

向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

考试要求

1.理解n维向量的概念、向量的线性组合与线性表示的概念. 2.理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.

3.了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.

4.了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩的关系.

四、线性方程组

考试内容

线性方程组的克莱姆(又译：克拉默)(Cramer)法则 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件 线性方程组解的性质和解的结构 齐次线性方程组的基础解系和通解 非齐次线性方程组的通解 考试要求

l.会用克莱姆法则.

2.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.

3.理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。

4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念. 5.会用初等行变换求解线性方程组.

五、矩阵的特征值和特征向量 考试内容

矩阵的特征值和特征向量的概念及性质 相似变换、相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵

考试要求

1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量 2.了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵转化为相似对角矩阵。

3.了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.

试卷结构

(一)题分及考试时间

试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

(二)内容比例 高等教学 约80% 线性代数 约20%

(三)题型比例

填空题与选择题 约40%

解答题(包括证明题)约60%。

参考书：

《线性代数》化学工业出版社 刘慧主编 《高等数学》第五版 高等教育出版社 同济大学数学教研室

第三篇：高数考试大纲

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高数考试大纲

江西师范大学2010年“专升本”理工类考生 《高等数学》统考课程考试大纲

第一部分：函数、极限和连续

一、函数

(一)考试范围

1、函数的概念

函数的定义;函数的定义域;函数的表示方法;分段函数;陷函数。

2、函数的简单性质

函数的单调性;奇偶性;有界性和周期性。

3、反函数

反函数的定义，反函数的图像;反函数的基本性质。

4、函数的四则运算与复合函数

5、基本初等函数

6、初等函数

(二)考试要求

1、理解函数的概念;会求函数的定义域、表达式及函数值;会求分段函数的定义域、函数值;并会作简单分段函数的图像。

2、理解函数的单调性;奇偶性;有界性和周期性。

3、了解函数=y=f(x )与其反函数y=f-1(x)之间的关系(定义域、值域、

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图像)，会求单调函数的反函数，会求分段函数的反函数。

4、理解复合函数的复合关系。

5、掌握基本初等函数的简单性质及其图像。

6、了解初等函数的概念。

7、会建立简单实际问题的函数关系式。

二、极限

(一)考试范围

1、数列极限的概念 数列;数列极限定义。

2、数列极限的性质

惟一性;有界性;四则运算法则;夹逼定理;单调有界数列极限存在定理。

3、函数极限的概念

函数在一点XO处极限的定义，左、右极限与函数在一点极限的关系，x→∞，x→-∞，x→+∞时函数的极限，函数极限的几何意义。

4、函数极限的性质

惟一性定理;夹逼定理;极限的四则运算法则。

5、无穷小量和无穷大量

无穷小量与无穷大量的定义;无穷小量与无穷大量的关系;无穷小量的性质;两个无穷小量阶的比较。

lim

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X→0 sinx X lim X→0 1 X

6、两个重要极限

=1和

(1+

)x =e

(二)考试要求

1、了解极限的概念(对极限定义中“ε-N”，“ε-δ”，“ε-M”的描述不作要求)，能根据极限概念分析函数的变化趋势。掌握函数在一点处的左极限与右极限，理解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

2、了解极限的有关性质;掌握极限的四则运算法则。

3、理解无穷小量、无穷大量的概念;掌握无穷小量的性质，掌握无穷小量与无穷大量的关系;会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等阶);会用等阶无穷小求极限。

4、熟练掌握用两个重要极限求一些函数的极限。

三、连续

(一)考试范围

1、函数连续的概念

函数在一点连续的定义;左连续与右连续;函数在一点连续的充分必

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要条件;

函数的间断点及其分类。

2、函数在一点处连续的性质

连续函数的四则运算;复合函数的连续性。

3、闭区间上连续函数的性质

有界性定理;最大值与最小值定理;介值定理(包括零点定理)。

4、初等函数的连续性

(二)考试要求

1、理解函数在一点连续与间断概念，掌握判断函数(含分段函数)在一点处连续的方法，理解函数在一点连续与极限存在的关系。

2、会求函数的间断点及确定其类型。

3、了解闭区间上连续函数的性质。会用这些性质证明某些命题。

4、理解初等函数在其定义区间上的连续性，并会利用函数的连续性求极限。

第二部分：一元函数微分学

一、导数与微分

(一)考试范围

1、导数概念

导数的定义;左导数与右导数;导数的几何意义;可导在连续的关系。

2、异数的四则运算法则与异数的基本公式，复合函数求导法则。

3、求导方法

复合函数求导法;隐函数求导法;对数求导法;用参数方程给出函数

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的求导法。

4、高阶导数的概念

高阶导数的定义;二级导数的计算;简单函数的n阶导数。

5、微分

微分的定义;微分与导数的关系;微分法则;一阶微分形式的不变性。

(二)考试要求

1、理解导数的概念及其几何意义;了解可导性与连续性的关系;会用定义求函数在一点处的导数。

2、会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

3、熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法。

4、掌握隐函数求导法与对数求导法，会求分段函数的导数。

5、了解高阶导数的概念，会求函数的二阶导数，会求简单函数的n阶导数。

6、理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。

二、微分中值定理及导数的应用

(一)考试范围

1、微分中值定理

罗尔(Rolle)中值定理;拉格朗日(Lagrange)中值定理;柯西中值定理

2、洛必达(L’hospital)法则

3、函数增减性的判定法

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4、函数的极值与极值点;最大值与最小值

5、曲线的凹凸性、拐点;曲线的渐近线

(二)考试要求

1、了解罗尔中值定理，拉格朗日中值定理和柯西中植定理(知道它们的条件和结论)。

2、熟练掌握用洛必达法则求“0/0”，“∞/∞”，“0?∞”，“∞-∞”，“1∞”，“00”，“∞0”型未定式的极限的方法。

3、掌握利用导数判别定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法;会利用函数的单调性证明简单的不等式。

4、理解函数极值的概念，掌握求函数极值和函数的最大、最小值的方法，并会角简单的应用问题。

5、会判定曲线的凹凸性;会求曲线的凹凸区间和拐点;会求曲线的水平与铅直渐近线、斜渐近线，会用导数作简单函数图形。 第三部分：一元函数积分学

一、不定积分

(一)考试范围

1、不定积分的概念

原函数的定义;不定积分的定义;不定积分的基本性质。

2、基本积分方式

3、换元法

凑微分法;作代换法。

4、分部积分法

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5、简单有理函数的积分;简单三角函数有理式的积分。

(二)考试要求

1、理解原函数概念不定积分概念及其关系;掌握不定积分的基本性质。

2、熟练掌握不定积分的基本积分方式。

3、熟练掌握凑微分积分法和作代换法(限于三角代换与简单的根式代换)。

4、熟练掌握不定积分的分部积分法。

5、掌握简单有理函数积分与简单三角函数有理式的积分。

二、定积分

(一)考试范围

1、定积分的概念

2、定积分的定义及其几何意义;可积条件。

3、定积分的性质

4、定积分的计算

变上限的定积分;定积分的牛顿――莱布尼茨公式;换元积分法;分部积分法。

5、无穷区间上的广义积分

6、定积分的应用

平面图形的面积;旋转体体积;用定积分求功，水压力与平面薄板的重心;函数的平均值。

(二)考试要求

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1、理解定积分的概念及其几何意义;了解函数的可积条件。

2、掌握定积分的基本性质。

3、理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握对变上限函数求导的方法。

4、掌握牛顿――莱布尼茨公式。

5、熟练掌握定积分的换元法与分部积分法。

6、掌握无穷区间上广义积分的计算。

7、掌握直角坐标系下平面图形的面积和平面图形绕坐标轴旋转所得旋转体的体积;会用微元法求功和水压力;会求平面薄板的重心;会求函数在区间[a,b]上的平均值。 第四部分：多元函数微积分

(一)考试范围

1、多元函数

多元函数的定义;二元函数的定义域;二元函数的几何意义及无条件极值。

2、偏导数与全微分

一阶偏导数;全微分;二阶偏导数

3、复合函数的偏导数;由方程F(x,y,z)=0确定的二元隐函数z=f(x,y)的偏导数。

4、二重积分

二重积分的概念;二重积分的性质;直角坐标下的二重积分的计算;极坐标下二重积分的计算。二重积分的几何应用。

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(二)考试要求

1、了解多元函数的概念;求二元函数的定义域;了解二元函数的几何意义。

2、理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法;掌握二阶偏导数及二元函数全微分的求法。

3、掌握复合函数偏导数与隐函数偏导数的求法。

4、理解二重积极的概念;掌握二重积分的性质;熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算方法及在极坐标下二重积分的计算方法;会用二重积分求几何体的体积。 第五部分：无穷级数

(一)考试范围

1、常数项级数

常数项级数的定义;常数项级数收敛与发散的概念;正项级数敛散性判别方法;任意项级数的绝对收敛与条件收敛。

2、函数项级数

函数项级数的收敛域;幂级数的收敛区间和收敛半径;幂级数的收敛域(考试区间端点的敛散性)，幂级数在收敛区间内的和、差、积、商运算法则及可逐项微分与可逐项积分的性质;简单函数的幂级数展开;幂级数在收敛域内的和函数。

(三)考试要求

1、解常数项级数收敛、发散及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

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2、掌握几何级数与P级数的收敛。

3、熟练掌握正确项级的比较收敛法、比值审敛法和根值审敛法。

4、会用莱布尼兹判别法判定交错级数的敛散性。

5、会判定任意项级数的绝对收敛与条件收签。

6、熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域内的求法。

7、理解幂级数在其收敛区间内的基本性质，会求一些幂级数在收敛域内的和函数。

8、掌握ex，sinx,cosx,ln(1+x)和(l+x)a幂级数展开式，并会用它们求一些简单函数的幂级数展开式。 第六部分：空间解析几何

(一)考试范围

1、两点间的距离

2、向量的定义及向量的坐标表示

3、向量的线性运算，向量的数量积及向量积

4、两向量垂直、平行的条件

5、平面方程及点到平面的距离;两平面的位置关系

6、直线方程及两直线的夹角;两直线的位置关系

7、常见曲面：球面方程;圆柱面方程;圆锥面方程;旋转曲面方程。(旋转椭球面，旋转抛物面)

(二)考试要求

1、会求空间的两点距离

2、掌握向量的定义及向量的坐标表示;会求向量的模，单位向量，

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向量的方向余弦。

3、熟悉向量的线形运算，掌握两向量平行的条件。

4、会求两向量的数量积(或称内积)，及两向量的夹角掌握两向量垂直的充要条件

5、向量的向量积(或称外积)

ⅰ.掌握平面的点法式方程和一般方程，会求平面方程，了解两平面平行、垂直、相交、重合的条件;会求点到平面的距离。

ⅱ.掌握直线的点向式方程和参数方程，会求直线的方程，了解两直线平行、垂直的条件。会求两直线的夹角。

ⅲ.了解球面、圆柱面、圆锥面、旋转曲面等简单面的方程，并能作出它们的草图。 第七部分：常微分方程

(一)考试范围

1、常微分方程的概念：微分方程的解、通解、初始条件和特解

2、一阶可分离方程变量方程;齐次方程;一阶线性方程，贝努里方程;全微分方程

3、可降价的某些二阶方程

4、二阶常系数线性微分方程。

1、考试要求

a)了解微分方程，微分方程的阶;微分方程的特解、通解、初始条件等概念。

b)熟练掌握一阶可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、贝努

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里方程、全微分方程的解法。 c)会解下列可降价的二阶微分方程

y〃=?(x) 不显含y的二阶方程：y〃=?(x，y′) 不显含x的二阶方程：y〃=?(y，y′) d)掌握二阶线性微分方程通解结构

e)熟练掌握二阶常系数线性非齐次方程的通解或特解自由项f(x) 为①(a0+a1x+a2x2+…+anxn)eax 或②(a0+a1x+a2x2+…+anxn)eaxcosβx 或③?(x)=(a0+a1x+a2x2+…+anxn)eaxsinβx

参考书目录

1、《高等数学》(第四版)上、下册，同济大学数学教研室主编高等教育出版社出版

2、《高等数学

(一)》微积分(全国高等教育自学考试教材)高汝熹主编，武汉大学出版社出版

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第四篇：考研.数学 高数总结3

定积分理论

一、实际应用背景

1、运动问题—设物体运动速度为vv(t)，求t[a,b]上物体走过的路程。

(1)取at0t1tnb，[a,b][t0,t1][t1,t2][tn1,tn]， 其中tititi1(1in);

(2)任取i[xi1,xi](1in)，S

nf()t; iii1

iin(3)取max{xi}，则Slim1in0f()x i1

2、曲边梯形的面积—设曲线L:yf(x)0(axb)，由L,xa,xb及x轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。

(1)取ax0x1xnb，[a,b][x0,x1][x1,x2][xn1,xn]， 其中xixixi1(1in);

(2)任取i[xi1,xi](1in)，A

nf()x; iii1

iin(3)取max{xi}，则Alim1in0f()x。 i1

二、定积分理论

(一)定积分的定义—设f(x)为[a,b]上的有界函数，

(1)取ax0x1xnb，[a,b][x0,x1][x1,x2][xn1,xn]， 其中xixixi1(1in);

(2)任取i[xi1,xi](1in)，作

nf()x; iii1

inax{xi}，(3)取m若lim1in0f()x存在，称f(x)在[a,b]上可积，极限称为f(x)i

i1

在[a,b]上的定积分，记b

af(x)dx，即f(x)dxlimf(i)xi。 abn0i1

【注解】

(1)极限与区间的划分及i的取法无关。

n

1,xQ

【例题】当x[a,b]时，令f(x)，对limf(i)xi，

0

i10,xRQ

n

n

情形一：取所有iQ(1in)，则lim

0

f()x

i

i1

n

i

limxiba;

0

i1

情形二：取所有iRQ(1in)，则lim

0

n

f()x

i

i1

i

0，

所以极限lim

0

f()x不存在，于是f(x)在[a,b]上不可积。

i

i

i1

(2)0n，反之不对。

112n1n1

,]，xi(1in);

nnnnnn

i1i

取法：取i或i(1in)，则

nn

分法：等分，即[0,1][0,][,][



1ni1ni1

f(x)dxlimf()limf()。

nnnnni1ni1

则



b

a

banif(x)dxlimf[a(ba)]。 nni1n

1n2i【例题1】求极限lim。

nnni1

11n2i

【解答】lim2xdx。

0nnni1

【例题2】求极限lim(

n

1n1





1n2





1nn

)。

22

)

【解答】lim(

n

1n1



1n

21nn1n

()2

n

22

1lim[nn

11()2

n

2()2

n



]

dxx

三、定积分的普通性质

1、

2、

3、

4、

[f(x)g(x)]dx

a

bb

a

f(x)dxg(x)dx。

a

b

kf(x)dxk

a

bb

a

f(x)dx。

bc



b

a

f(x)dxf(x)dxf(x)dx。

a

c



b

a

dxba。

5、设f(x)0(axb)，则【证明】



b

a

f(x)dx0。



b

a

f(x)dxlimf(i)xi，

0

i1

n

因为f(x)0，所以f(i)0， 又因为ab，所以xi0，于是

n

f()x

i

i1

n

i

0，由极限保号性得

limf(i)xi0，即f(x)dx0。

0

i1

b

a

(1)



b

a

f(x)dx|f(x)|dx(ab)。

a

b

(2)设f(x)g(x)(axb)，则



b

a

f(x)dxg(x)dx。

a

b

6(积分中值定理)设f(x)C[a,b]，则存在[a,b]，使得

四、定积分基本理论

定理1 设f(x)C[a,b]，令(x)



b

a

f(x)dxf()(ba)。



x

a

f(t)dt，则(x)为f(x)的一个原函数，即

(x)f(x)。

【注解】

(1)连续函数一定存在原函数。

dx

f(t)dtf(x)， (2)adx

d(x)

f(t)dtf[(x)](x)。 adx

d2(x)

(x)f[1(x)]1(x)。 f(t)dtf[2(x)]2(3)

dx1(x)

【例题1】设f(x)连续，且(x)【解答】(x)

x

(xt)f(t)dt，求(x)。

0x0

x

(xt)f(t)dtx

0f(t)dttf(t)dt，

x

(x)f(t)dtxf(x)xf(x)f(t)dt，(x)f(x)。

xx

【例题2】设f(x)为连续函数，且(x)【解答】(x)

x2t2u

tf(x

x

t2)dt，求(x)。



x

tf(x2t2)dt

1x2222

f(xt)d(xt) 20

101x2

2f(u)duf(u)du，

2x20

f(x2)2xxf(x2)。 2

(x)

定理2 (牛顿—莱布尼兹公式)设f(x)C[a,b]，且F(x)为f(x)的一个原函数，则



b

a

f(x)dxF(b)F(a)。

【证明】由F(x)f(x),(x)f(x)得[F(x)(x)]f(x)f(x)0， 从而F(x)(x)constant，

于是F(b)(b)F(a)(a)，注意到(a)0， 所以(b)F(b)F(a)，即

五、定积分的积分法

(一)换元积分法—设f(x)C[a,b]，令x(t)，其中(t)可导，且(t)0，其中



b

a

f(x)dxF(b)F(a)。

()a,()b，则f(x)dxf[(t)](t)dt。

a

b



(二)分部积分法—

udvuvvdu。

a

a

a

b

b

b

六、定积分的特殊性质

1、对称区间上函数的定积分性质 设f(x)C[a,a]，则 (1)则



a

a

f(x)dx[f(x)f(x)]dx。

a

(2)若f(x)f(x)，则



a

a

f(x)dx2f(x)dx。

a

(3)若f(x)f(x)，则



a

a

f(x)dx0。

【例题1】设f(x),g(x)C[a,a]，其中f(x)f(x)A,g(x)为偶函数，证明：



a

a

f(x)g(x)dxAg(x)dx。

a

【解答】

a



a

a

f(x)g(x)dx[f(x)g(x)f(x)g(x)]dx

a0

a

[f(x)f(x)]g(x)dxAg(x)dx。



(2)计算

arctane

22

x

|sinx|dx。





【解答】







arctane|sinx|dx2(arctanexarctanex)sinxdx，

x

x

x

exex

0， 因为(arctanearctane)2x2x

1e1e

所以arctanexarctanexC0，取x0得C0





，

于是

arctane|sinx|dx

22

x





20

2

sinxdx



。

2、周期函数定积分性质 设f(x)以T为周期，则 (1)



aT

a

。 f(x)dxf(x)dx，其中a为任意常数(周期函数的平移性质)

T

如



3











sinxdx2sinxdx22sin2xdx。

(2)



nT

f(x)dxnf(x)dx。

T

3、特殊区间上三角函数定积分性质





(1)设f(x)C[0,1]，则





20

f(sinx)dx2f(cosx)dx，特别地，



20

sinxdxcosxdxIn，且In

20

n



n

n1

In2,I0,I11。 n2

sinx

【例题1】计算2dx。

1ex2



sin4xsin4xsin4x2【解答】dx()dx x01ex1ex1e2



1131342sin4xdxI2()sinxdx。 4x01ex0422161e



【例题2】计算【解答】



100

cosxdx。



100

cosxdx

50



100

cosxd(x)

100



100

cosxdx



50







2

cosxdx









cosxdx







cosxdx









1cosx2xx222

。 dxsind()sinxdx00222

第五篇：高数下期末考试复习大纲

第8章

1.掌握空间向量的基本概念及运算，会求单位向量、向量的方向角及方向余弦

2.会求空间直线的向量方程与参数方程，空间曲线在某点处的切线方程与法平面方程

3.会求平面方程及点法式方程，空间曲面在某点处的切平面方程与法平面方程

4.理解空间曲面的一般方程，认识简单的旋转曲面方程(例如锥面等)，会求柱面方程

5.理解空间曲线的一般方程，理解空间曲线的向量方程及参数方程，认识常见的空间曲线的参数方程，例如螺旋线，直线。

第9章

1.理解多元函数的定义域，值域的概念，弄清多元函数与一元函数定义域的区别，理解二元函数的等位线与三元函数的等位面。

2.掌握二元函数极限的概念，会求简单二元函数的极限，会利用双路径法判断二元函数在某点处的极限不存在。

3.理解二元函数的连续的概念。

4.理解多元函数的偏导数的定义及其几何意义，会求多元函数的偏导数及高阶偏导(不超过三阶)，会求隐函数的偏导数，会利用树状图求复合函数的偏导数，会求二元函数的全微分。

5.弄清二元函数偏导数存在与连续的关系

6. 会求多元函数的梯度与方向导数，了解方向导数与函数增长的关系，理解二元函数的梯度与等位线的关系。

7.会求二元函数的驻点及极值，会利用拉格朗日数乘法求二元函数的极值。

8.弄清极值的存在性与驻点的关系,认识马鞍面的鞍点

第10章

1.理解二重积分的背景,会利用二重积分表示平面状物体的质量及面积,会将二重积分化累次积分计算直角坐标系下二重积分.

2.会计算简单的极坐标系下的二重积分.

3. 理解三重积分的背景,会利用三重积分表示空间物体的质量及体积, 会将简单的三重积分化累次积分计算直角坐标系下三重积分.

4.会利用二重积分计算平面状物体的质心与形心.

第11章

1.掌握两类曲线积分的背景及其表示形式,会求简单的两类曲线积分.

2.会判断第二类曲线积分是否与路径无关,会计算积分与路径无关的第二类曲线积分.

3.理解格林公式的含义.

4.会表示曲线状物体的质量及变力沿曲线做功.

6.掌握两类曲面积分的背景及其表示形式,会利用公式将第一类曲面积分化为二重积分.会用向量表示有向曲面的侧.

7.了解高斯公式与斯托克斯公式

第12章

1.理解级数收敛与发散的定义, 会利用第n项判别法判断级数的发散.会求简单级数的和(等比级数,叠项级数),认识P-级数及掌握P-级数收敛与发散的条件.

2.会利用比较(极限形式),比值,根值判别法判断正项级数的敛散性.

3.会利用莱布尼茨判别法判断交错级数的敛散性,理解绝对收敛与条件收敛.

4.会求幂级数的收敛域与收敛区间,了解幂级数的和函数的概念.

5.会利用公式将函数展开成幂级数,了解泰勒级数.

6.了解傅里叶级数的概念及其收敛性，了解傅里叶正弦级数和余弦级数.