等价的作文

等价的作文（共11篇）

篇1：等价的作文

【顾亭林的“怪”】

明末清初儒林巨擘顾亭林素来以“怪”著称。

首先是他的相貌就和一般人不一样。由于幼时患痘，眼睛发生了奇特的变异，脸也严重变形，书载：“貌极丑怪”，他的外孙陆舒城这样形容：“人眼俱白外黑中，惟我舅祖两眼俱白中黑外。”这不是怪物是啥?陌生之人乍一见之，不吓坏才怪。

二是诵书不要命。他就是一只书虫。一辈子，人到哪儿，书必到哪儿，一般出门的行头总是骑着一头毛驴，用二匹瘦马驮着满满的几大箱书。边走边背书，但他不像西汉的朱买臣那样大声诵读，而是在心里默诵，碰上任何人也看不见，哪怕是多年的老朋友。故此，常常被摔到山崖下，可是只要没死，上得驴来依然故我。

三是善于理财，但不发财。由于时局剧变，他离开江南，独身来到北方。每到一处，便买几个婢妾，大置房屋和地产。边谋生，边实地考察治学。他虽是文人，但极善理财，一二年即收回成本，然后，便将这里的一切毫不吝惜地弃之不顾，再去其他的地方，再把原来的节目重新上演一遍。他就这样先后走了多省，直到晚年定居于陕西华阴，置田数十亩以养老。

四是只借债，不讨债。在别人眼里，他是个真正懂得钱的人。首先，他有钱，没有手头尴尬的时候;其次，他有本事挣钱;而最关键的一点是他“心”里没有钱，且愿意为别人分忧解难，同时从不讨债。因而，向他借债的人不少，而他借过之后也就忘了。曾有徐干学和徐元文两个年轻的学士，也是他的外甥，在显达之前，曾多次向他借钱，前后累计达数千两白银，而他至死也没有索要这笔钱。

五是不夜行。在他客居北京时，两个春风得意的同乡官员，盛情邀请他吃饭，尽管他一再推辞，但主人一定要将他让至上座，一杯又一杯地向他敬酒，可是他不喜欢没完没了地喝，三杯即毕，起身回家。主人敬仰得不得了，怎么肯就这样结束这次宴请呢?就和他说，“您稍安勿躁，晚辈还有一些酒菜没上呢!你好不容易来一次，何不来个长夜饮，晚了用灯笼将您送回。”他听了顿时脸色就难看起来，斩钉截铁地说道：“世间惟淫奔、纳贿，皆于夜行之。岂有正人君子夜行者乎?”

六是爱鼠胜过书稿。他一生心血，其实都扑在读书和写书上，用力十分诚笃。他的著述有一条铁的原则，就是凡是古人已经说过的，他就绝不再说，如无意与先贤巧合了，一经发现，他必立马删掉。国学大师钱穆先生对其非常推崇，称其重实用而不尚空谈，“可谓内圣外王体用兼备之学”。在他写《音学五书》时，《诗本音》第二卷屡次被老鼠咬坏，他就一次又一次地重抄，从未有过一丁点儿不耐烦。有人就劝他堵堵房子的漏洞，治治鼠患，可他却这样说：“老鼠咬我的稿子，其实是勉励我呢，要不然放得好好的文章，怎么能多次修改呢?”

七是越到晚年越说自己事事不如人，甚至一无是处。他说：“学问渊博，根基深厚，我不如王锡阐;不为功利，只听凭自己内心来读书，而一意探求精微深奥的道理，我不如杨雪臣;精通《周礼》《仪礼》和《礼记》，成一代经学大师，我不如张尔岐;不受外物诱惑，学问达到登峰造极的境界，我不如傅山;刻苦钻研学问，达到无师自通地步，我不如李容;吃尽千辛万苦，受尽世间磨难，但其志不改，我不如路安卿;博闻强记，学富五车，我不如吴任臣;博雅能文，心地善良，我不如朱彝尊;好学不倦，以诚待友，我不如王宏撰。对汉字的音、形、意等六种基本元素构成的修养和造诣上，我不如张弨。”这样一个顶尖大师，谦虚到了如此程度，实在令人高山仰止。

顾亭林确实是个“怪”人，然而却实在“怪”得真朴，“怪”得可爱，“怪”得高标，“怪”出了中国知识分子的耿介之性、铁骨担当和千古良心。

篇2：等价的作文

主人公是一个叫小A的中学生。小A的家庭很贫困，父亲患病，长期躺在床上，母亲既要交付小A的学费，也要交付父亲的手术费，所以经常做一些兼职、散工。小A很懂事，不负父母的重望，考上了重点高中。

一天，小A从同学的口中得知他们宿舍前的那块空地将要改成草地，原因好像是要绿化校园。

数日后的早上，小A洗漱的时候，突然听到从阳台外面传来“啪，啪，啪”的声音，小A马上跑到阳台往外看，只见八个工人站在已铺好草快的土地上，征用铁铲，用力拍打草坪，然后小A又继续做自己的是。后来才知道，这是为了使草能够充分地与土面接触，

第二天，小A午睡的时候，被那个熟悉的`声音吵醒了，于是他就走到阳台，把头钻出去，一直在看工程的状况。

篇3：等价的作文

1理论

为方便起见, 不妨设有两个矩阵A和B且A~B, 从而存在两个可逆阵P, Q, 满足:PAQ=B。可将A和B表示为列向量组的形式, 则有:

如果P=B, 由初等变换理论可知, A到B只进行了初等列变换, 且 (1) 式可改写为:

两边同时右乘Q-1, 得:

结论1:只经初等列变换由一个矩阵到另一矩阵, 相应的列向量组等价。

对上面的 (2) 式, 两边同取转置, 得:

结论2:只经初等行变换由一个矩阵到另一矩阵, 相应的行向量组等价。

2应用

根据结论1和结论2, 在讨论两个向量组等价时, 只要包含相同个数的向量, 可考虑借助矩阵等价的初等变换方法。

例:已知

分析:这里是列向量组且都包含两个向量, 应考虑使用结论1, 但由于初等行变换较为常用, 因此考虑两个列向量组的转置结果。由结论2, 只需说明由一个向量组仅通过初等行变换到另一向量组, 即完成了等价证明。

证明:

值得注意的是, 在上面证明中, 不能简单借助等价的传递性直接给出A~B, 这是因为该文结论强调变换形式的单一性, 而从A~B可能既涉及初等行变换, 又涉及初等列变换。另外, 考虑到向量组记法的灵活性以及例题的证法加之初等行变换是较为常用的初等变换形式, 因此可给出如下更为实用的结论:

结论3:给定的两个行向量组如果包含相同个数的向量, 且相应的矩阵具有相同的行最简形, 则两个行向量组等价。

这一结论对列向量组也是适合的, 只需将其转置为行向量的形式 (如上面例题) 。另外, 结论中的“行最简形”不能替换为“标准形”, 因为只是进行初等行变换的操作。

3结语

矩阵等价和向量组等价从概念上看完全不同, 前者是源于初等变换给出的概念, 后者是源于线性表示给出的概念。当两个向量组包含相同个数的向量时, 由向量组形成的两个矩阵是同型矩阵, 按照获得的重要结论, 借助初等行变换说明向量组的等价性是相当方便的。但当两个向量组包含不同个数的向量时, 只能按照向量组等价的定义进行讨论, 这里不再赘述。

参考文献

[1]同济大学数学系.工程数学:线性代数[M].5版.北京:高等教育出版社, 2007.

[2]吴赣昌.线性代数[M].北京:中国人民大学出版社, 2011.

篇4：浅谈高中数学的等价转换

关键词：高中数学；等价转换；思维

高中数学的知识点繁多，数学问题复杂多变，如果学生只是注重数学知识的学习，注重解题的结果，而忽视了对数学问题的解题技巧与方法的分析探索，他们很难学好高中数学。在高中数学的学习过程中，最常见的学习方式就是采用“题海战术”，学生通过多做题来巩固知识点，这种方法对于数学学习基础薄弱的学生比较适用，能够在一段时间内提高他们的数学成绩，但是对于那些学习成绩中等或是优秀的学生却没什么太大的帮助，大量的数学题反而会促使他们尽量采用最短的时间来完成每一道题，这就减少了学生在做题时思考的时间，有些学生在做题时几乎没有思考分析，只是按照惯性思维来解题，而使得解题过程烦琐复杂，造成学习效果不理想，同时也限制了学生思维能力的发展。这就要求学生在数学学习中不能一味地注重知识的学习，还要能够掌握数学问题的解题技巧与方法，并逐渐形成数学思维，从而提高学生的数学学习能力。而等价转换作为数学问题的一种重要解题思路，不仅能让学生将所学的知识进行灵活运用，巩固数学知识，还能够锻炼学生的思维敏捷性，有效地提高学生的思维能力。下面我就通过一些例子来分析等价转换在高中数学解题中的灵活应用。

一、掌握转换思想，提高转换的自觉性

高中数学问题中的转化思想都是师生在长期的数学教与学的实践过程中，在知识与方法的不断运用中总结出来的。如在立体几何中将空间问题转化为平面问题来求解等。通过对题目中的式子进行等价转换，可以将复杂的数学问题简单化，从而简化解题过程。因此，教师在课堂教学时要积极引导学生进行转换，使学生掌握等价转换的思想，提高转换的自觉性。

小结：三角函数的求值问题是几年来高考的重要考点之一，为了让学生熟练掌握并将其运用，教师在进行课堂教学时就要让学生积极动脑思考，并进行总结。由于三角函数部分的公式较多，对于这些公式，学生不能只知其一，不知其二。所谓“授人以鱼，不如授人以渔”，教师要将公式的推导过程向学生演示，或是让学生根据已知的公式自己进行推导，一方面可以加深学生對所学知识的印象，并将其进行巩固，另一方面，在推导过程中学生能逐渐提高逻辑性思维能力，并且若是学生没有记住这些公式，在需要用的时候，他们也可以自行推导，而不会觉得解题毫无头绪。

小结：由上题可知，教师在教学时不仅要让学生记住做题的思路，还要让他们能够将公式灵活进行运用。

结合我的教学经验，我觉得高中数学教师，尤其是高三数学教师，最好将数学的各部分知识以专题的形式进行讲解，以便于学生对每部分知识的整体掌握，并且由于数学知识的关联性，我们在讲解一道例题时，涉及的知识点会有很多，逐渐让学生对数学知识进行综合运用，使学生掌握转换的思想，提高转换的自觉性。另外，数学问题的灵活多变，使得每道题的解法不一，学生就可以开拓思路进行解题，并在不断思考中培养自己的数学思维，提高数学能力。

二、注重转化研究，实行转换的多样性

高中数学问题的灵活多变与各知识点间的相互联系，使得利用等价转换思想进行解题也具有相应的灵活性与多样性。利用等价转换解决高中数学问题，没有统一固定的一个解决模式，学生可以根据自己对所学数学知识的掌握与运用情况，选择适合自己的转换方法，从而使学生的解题效率大大提高。教师在进行课堂教学时，可以将一道题利用多种不同的转换思想来讲解，既将数学知识建立了联系，综合运用，又开拓了学生的解题思路，培养了学生的发散性思维，使他们能够从不同的角度、不同的方面出发，去解决问题，并在这个过程中逐渐提升自己的能力。

例3.设x、y∈R且3x2+2y2=6x，求x2+y2的范围。

【分析1】该题要直接求值比较复杂，但是通过变量替代，就能将复杂的问题简化。通过设k=x2+y2，再代入消去y，转化为“关于x的方程有实数解时，求参数k范围”的问题，该题就变得简单多了。在做题时要尤其注意其中的隐含条件，即x取值范围的确定。

小结：利用适当的三角函数进行代换，把代数问题转化为三角问题，再充分利用三角函数的性质解决问题。可以大大简化解题的过程，并容易帮助学生理清思路，使学生将三角函数的知识与方程知识进行有机融合，有助于学生整体掌握数学知识，并开拓学生的思路，通过对各种转换思想的讲解与运用，学生能够将数学知识融会贯通，使其能够学会从不同的方面去思考并解决问题，从而提高学生的思维能力，提高数学分析与学习的能力，促进学生自身的发展与进步。

小结：由于等价转换时采用的思路相同，即将函数名化为同名，但是不同的转换过程与步骤，使得转换时采用的公式不同，实现了转换过程的多样性。

三角函数部分是高中数学学习的主要内容之一，其具有众多的公式，其中常用的有两角和与差、和差化积、积化和差、和差化积、万能公式等。利用三角函数的等价转换解题的关键是通过适当的三角代换，将代数表达转化为三角函数表达，进而把代数式的证明或解答转化为三角函数式的证明或解答，从而起到理顺思路、简化题目的作用。三角函数除了公式多之外，还有另外一个特点，就是三角函数值可以与实数值相联系，充分利用他们之间的等价关系，可以给我们解题带来方便，尤其是在遇到一些难以求值的三角函数时，利用特殊的三角函数值进行巧妙代换，能够大大地简化我们的解题过程。

以上两道例题都利用了数学知识之间的相互联系，以及转换思想的多样性，通过将题目进行不同的转化，开拓了不同的解题思路与方法。教师在教学时一定要着重培养学生的发散性思维，使其将转换思想灵活运用，提高学习能力。

三、遵循转换的原则性，做到解题的简捷性

在利用等价转换思想解高中数学题时，我们要注意转换的原则性，即将我们感觉陌生、复杂的数学问题转换为熟悉、简单的问题来处理，然后通过对数学知识的整体掌握和灵活运用，做到解题的简捷性。下面我举两个例子来简单说明一下。

小结：三角函数问题的解题方法不能拘泥于一种，学生在学习时要注意灵活运用。我们在求三角函数的问题时，有如下三个原则，我将其简称为“三看”，即一看角，尽量把角向特殊角或可计算的角转化；二看名称，尽量把一道等式化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切通过公式都转化为相应的弦，或把所有的弦都转化为相应的切；三看式子，看式子是否满足三角函数的某些公式，如果满足则可以直接使用，如果不满足则需要转化一下角或转换一下名称，再进行使用。

运用三角函数的特殊值代入的等价转换，能将复杂的问题简单化，并有助于明确解题思路，简化解题过程。要想让学生将其熟练运用，教师在进行数学题目的讲解时，就要注意将各部分的知识点串联起来，让学生对数学知识在脑中形成整体的框架，并能够根据题目的不同变化，选取合适的解题思路与方法，从而提高解题效率，提高学生对数学学习的兴趣，并更好地发散思维，进行研究探索。

小结：在我们求代数式的最值时有多种方法，如利用函数的单调性、数形结合等方法，以及运用不等式的定理公式。通过对题目的观察与分析，采用合适的解题方法，可以有效地简化解题过程，通过等价转换，将复杂的问题转换为简单易解的问题来

解决。

运用等价转换进行解题的关键一点就是尽可能将复杂问题简单化，通过对题目进行分析观察与思考，学生要能够采用最合适的转化思想，利用最短的时间解决问题，从而实现解題效率的最优化。我们都知道高中生的时间是很紧迫的，但正是由于学生的学习时间有限，精力有限，学生更要在做题时勤动脑思考，以达到举一反三，而不必通过大量的练习题来提高成绩。教师在课堂教学中要不断渗透数学解题的技巧与方法，从而使学生掌握解题的思路，并在练习与总结中实现解题的简捷性与准确性，有效地提高数学思维与学习能力。

四、重视转换的等价性，提高解题的正确性

等价转换最重要的一点就是要保证转换前后所表示的意义是一样的，即转换前后的式子互为重要条件。很多学生在进行转换时，由于对数学知识点的掌握不透彻，经常会造成转换后的结论与原式不相等，从而造成解题的错误。下面我们来看一道例题。

小结：该题的错解告诉我们，在进行转换时，一定要进行等价转换，如果将原题中自变量的取值扩大或缩小，都会造成解题错误。因此，等价转换的最基本也是最重要的一点，就是在进行转换时，一定要保证转换条件的等价性。

等价转换的前提条件就是等价，在进行转换时只有保证了转换的等价，才能保证做题的准确性，否则很容易因为开始转换的失误而使得解题结果错误。因此，学生在做题时，教师要进行指导，强调学生对转换的等价性引起注意，避免出现类似的错误，进而有效地提高数学学习成绩，提高对数学学习的热情与兴趣。

在高中数学的学习中，等价转换不仅仅是一种解题方法，还是一种重要的解题思想。利用等价转换对题目进行转化，可以有效地简化运算过程，而且能够帮助学生分析解题思路，培养学生的发散思维能力。在解高中数学题的过程中，学生通过灵活运用多种不同形式的等价转换，能够将复杂繁琐的数学问题进行有效简化计算，收到良好的学习效果，进而使学生不再畏惧数学的学习。所以教师在进行课堂教学时，要综合运用等价转换的各种解题思想与技巧，将数学知识进行有机结合，使学生能够将所学的知识熟练掌握，并能够融会贯通，将其综合运用，从而提高学生的学习兴趣与思维能力，促进学生数学学习能力的有效提升。

参考文献：

[1]张奠宙，郑振出.“四基”数学模块教学的构件：兼谈数学思想方法的教学[J].数学教育学报，2011（5）.

[2]张军旗.新课程背景下高中数学有效教学研究[D].信阳师范学院，2014.

[3]季素月.数学技能教与学的若干思考[J].数学教育学报，2003（2）.

[4]史亮.高中归纳课程教学研究[D].东北师范大学，2011.

篇5：等价的造句

【注音】： deng jia

等价解释

篇6：等价无穷小的使用前提

1、被代换的量，在去极限的时候极限值为0。

2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

无穷小就是以数零为极限的变量。然而常量是变量的特殊一类，就像直线属于曲线的一种。确切地说，当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)=0，则称f(x)为当x→x0时的无穷小量。

篇7：随机环境中分枝过程的等价定理

随机环境中分枝过程的等价定理

给定了随机环境中分枝过程(BPRE)的精确定义,讨论了有关的可测性问题和BPRE的.基本性质.在此基础上,证明了BPRE的一个等价定理.

作 者：胡杨利 杨向群 李应求 HU YANGLI YANG XIANGQUN LI YINGQIUa  作者单位：胡杨利,李应求,HU YANGLI,LI YINGQIUa(长沙理工大学数学与计算科学学院,长沙,410077)

杨向群,YANG XIANGQUN(湖南师范大学数学与计算机科学学院,长沙,410081)

刊 名：应用数学学报  ISTIC PKU英文刊名：ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA 年，卷(期)： 30(3) 分类号：O211.65 关键词：随机环境   分枝过程   可测性   等价性  

篇8：矩阵的等价关系探究

定义1如果矩阵B可以经过一系列初等变换得到矩阵A，那么称与为等价的。矩阵的等价关系有如下性质：1)反复性A与A自身等价。2)对称性如果A与B等价，则B与A等价。3)传递性如果A与B等价，B与C等价，则A与C也等价。

（一）矩阵等价的条件

定理1设A、B∈，Fnxn则A与B等价。

定理2设A、B∈，Fmxn, A、B等价的充要条件是存在m级可逆的矩阵P和n级可逆的矩阵Q，使得。

定理3方阵可逆的充要条件是与同阶单位矩阵等价，即经过一系列初等变换，A可以化为同阶单位矩阵。

（二）矩阵求逆的方法

设A是n阶可逆矩阵，有一系列初等矩阵P1, P2，…P1A=I(其中I是n级单位矩阵)则A-1=Pm…P1I。

如果用一系列初等行变换把可逆矩阵A化为单位矩阵，那么用同样是这一系列初等行变换去化单位矩阵，得到A-1，并且Pm…P1。 (A, I) = (Pm, …P1A|Pm…P1I) = (I, A-1)

二、矩阵的合同关系

定义2数城P上n×n矩阵A、B称为合同的，如果数城P上可逆的矩阵C，使A=CTAC

由定义可知合同一定等价。合同是矩阵之间的一种等价关系，不难看出合同关系同样具有性质：反身性、对称性和传递性。

（一）对称矩阵的合同

经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。

定理4在实数域R上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵，对于任意一个对称矩阵A都存在一个可逆矩阵C，使成对角矩阵。

定理5与实对称矩阵合同的方阵仍是实对称方阵，与反对称方阵合同的仍是反对称方阵。

定理6数域F上有限维线性空间V上同一个二次型在两组不同基下的矩阵S, S1是合同的。即存在可逆矩阵使得，其中是到的过渡矩阵。

（二）对称矩阵合同的条件

1)同阶是对称矩阵合同它们有相同的秩，及它们对应二次型的正惯性指标相同它们对应的二次型的正惯性指标都相同。2)两个同阶复对称矩阵合同它们有相同的秩。

三、矩阵的相似关系

定义3设A、B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B=X-1AX，那么称A相似于B，记作A～B。

相似是矩阵之间的一种关系，由它的定义可以看出，矩阵相似就得出矩阵必然等价，所以相似关系也同样具有反身性、对称性和传递性。

（一）相似不变量

对任意两个相似矩阵，以下结论成立：

1) 行列式是相似不变量;2) 特征多项式是相似不变量;

3) 特征值是相似不变量;4) 矩阵的迹是相似不变量。

解法1:由trA=trB, 得a=0。

∵A与B相似, A有特征值-1, ∴|A+I|=2a=0→a=0。

由此可知，求两相似矩阵中的带定系数通常根据性质(2) (3)。

（二）矩阵相似于对角阵的条件

定理7阶矩阵相似于对角阵的充分必要条件是此矩阵有个线性无关的特征向量。

推论1若一个矩阵的特征值互不相同，则此矩阵相似于对角阵。

定理8矩阵相似于对角阵的充分必要条件是每一个特征向量的几何重数都等于代数重数。(矩阵的特征值，作为特征方程的根，其重数称为的代数重数;而特征子空间的维数dim称为的几何重数)。推论2若矩阵的所有特征值都是特征方程的单根，则此矩阵相似于对角阵。

定理9设A为n阶矩阵，其特征值为λ1，λ2…λn则存在酉矩阵U，使得UTAU=T，其中T为上三角阵，其对角元素为：λ1，λ2…λn。

四、矩阵关系间的联系

由以上三种关系的定义，可以知道每一种矩阵关系所必须具备自己的条件，但是这三种关系彼此之间存在着密切的关系。

定理10相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵。

定理11对于n阶方阵AB，若存在阶可逆矩阵P, Q使PAQ=B(即A与B等价，且PQ=I)则A, B相似。

定理12合同矩阵必为等价矩阵, 等价矩阵未必为合同矩阵。

定理13正交矩阵必为合同矩阵, 正交合同矩阵必为相似矩阵。

由以上结论可以得到:

1)相似矩阵，合同矩阵必为等价矩阵，但反之未必成立。

2)相似矩阵为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致。

五、矩阵等价关系的应用

矩阵的等价在线性代数中具有重要的作用，而且也是解题的重要工具。利用矩阵等价性(相似，合同)解题的方法千奇百怪，又有很强的技巧性。利用这些技巧不仅节约时间，还对矩阵等价有更加深刻的了解与认识。

例3：有分块矩阵是对称矩阵，且其中A为非奇异矩阵，证明：此矩阵与矩阵合同。

参考文献

[1]张禾瑞.高等代数第三版[M].北京:高等教育出版社.

篇9：美是痛过后等价的回报

黎明前的黑暗,实践万籁俱静,我站在城市中的大厦顶端,翘首盼望着新一轮的旭日喷薄而出的壮观与宏大。此时此刻,心中早已没有了一切杂念只剩下了期待的感动和兴奋,任清灵的秋风叩进我的思维,洗净我浑浊的灵魂。我,只喜欢这种感觉,等待,等待破晓后的辉煌。

不知连续了多长时间的偷懒,终于在成绩揭开面纱后败露。扭曲的分数早已不成形,望着我好像在讨债一般,追问地嘲笑着:“考试前,你有多少次没有认真写作业?”“上课时,你有多少避开老师的目光,小声说话?”“同步的习题做了多少?”在成绩的一声声质问下我突然想到了哲学中的一则悖论“突变是在人们不知不觉的渐变中产生的。”是啊!我这样对待学习,成绩最终选择了这样的报答。

明白这个道理以后,我第一次没掉一滴眼泪,因为我觉得我没有资格,我没有经过努力还想获得好的结果,我的心灵没有给我那个权力。

思维觉醒,我觉得自己不能再这样继续下去了。于是我给年轻班主任发短信求助。老师的回复很简单一如她给我们的印象:干练,雷厉——“聆听零点的钟声,坚持下去,就会看到你失去的美好。”

老师前几天刚说我感悟能力强,可这一次我真的没有理解这句话的含义。夜半,我坐在灯前苦思冥想,聆听?零点钟声?时间一点点流逝,我忘了。时间,赶走了以往的瞌睡虫,反复琢磨这句话的意思。抬眼,突然发现闹钟上的时针和分针刚好重合“天啊!”我叫了出来,原来是这样,十二点,零点,聆听,钟声。我终于明白了老师的话,她是告诉我,比别人下更大的努力,争取赶上并超越别人,而这些时间将要到十二点。

默默拿出敷衍了事写的习题,我开始重新思考,一个一个攻克,心中慢慢有一种久违的满足。我相信我一定会看到“美好”。

美,是一颗珍珠,只有经过千百次的痛才会圆满。我羡慕别人那些“美好”,却不知道那是在背后的等价的付出换来的。熬夜学习很难受,很痛苦,很煎熬,是生理和心理上的双重夹击,但是“美丽”又太珍贵了,它带来的不仅是虚荣,更是知识和成功的满足。想起英语中的一句话译为“我付出所有的努力只为证明我比别人更优秀!”是的,这才是美丽的极致所在。

此刻,东方破晓,华美的一轮艳阳缓缓升起,光明赶走了黎明前的黑暗和寒意,紧闭双眼,我嘴角上扬……

篇10：等价的作文

讲义

无穷小 极限的简单计算

【教学目的】

1、理解无穷小与无穷大的概念；

2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；

3、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】

1、无穷小与无穷大；

2、无穷小的比较；

3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；

4、求极限的方法。【重点难点】

重点是掌握无穷小的性质与比较

用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。

【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。

【授课内容】

一、无穷小与无穷大

1.定义

前面我们研究了n数列xn的极限、x（x、x）函数fx的极限、xx0（xx0、xx0）函数f(x)的极限这七种趋近方式。下面我们用

西南石油大学《高等数学》专升本讲义

x＊表示上述七种的某一种趋近方式，即

＊nxxxxx0xx0xx0

定义：当在给定的x＊下，f(x)以零为极限，则称f(x)是x＊下的无穷小，即limfx0。

x＊.例如, limsinx0, 函数sinx是当x0时的无穷小x011lim0, 函数是当x时的无穷小.xxx(1)n(1)nlim0, 数列{}是当n时的无穷小.nnn【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。

定义： 当在给定的x＊下，fx无限增大，则称fx是x＊下的无穷大，即limfx。显然，n时，n、n2、n3、都是无穷大量，x＊【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如

limex0，limex，xx所以ex当x时为无穷小，当x 时为无穷大。

2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果fx为无穷大，则11为无穷小；反之，如果fx为无穷小，且fx0，则为无穷大。fxfx小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。

3.无穷小与函数极限的关系: 定理1 limf(x)=A?f(x)x®x0xA+(x),其中(x)是自变量在同一变化过程xx0（或x）中的无穷小.证：（必要性）设limf(x)=A,令(x)=f(x)-A,则有lim(x)=0，x®x0x®x0f(x)A(x).西南石油大学《高等数学》专升本讲义

（充分性）设f(x)=A+(x),其中(x)是当x®x0时的无穷小，则

xx0limf(x)=lim(A+(x))Alim(x)A.xx0xx0【意义】

（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）给出了函数f(x)在x0附近的近似表达式f(x)»A,误差为(x).3.无穷小的运算性质

定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.但n个之和为1不是无穷小.例如,n时,是无穷小，nn定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：lim(1)nn1110，limxsin0，limsinx0 x0xxnx推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较

例如，当x®0时,x,x2,sinx,x2sin都是无穷小，观察各极限：

1xx2lim0,x2比3x要快得多;x03xsinx1,sinx与x大致相同;

x0x1x2sinxlimsin1不存在lim.不可比.2x0x0xxlim极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义: 设,是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且¹0.=0,就说是比高阶的无穷小,记作=o();(2)如果limC(C0),就说与是同阶的无穷小;

特殊地如果lim=1,则称与是等价的无穷小，记作~;

(3)如果limk=C(C?0,k0),就说是的k阶的无穷小.(1)如果lim3 西南石油大学《高等数学》专升本讲义

例1 证明:当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.4xtan3xtanx34lim()4,故当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小证：lim.4x0x0xx例2 当x0时,求tanxsinx关于x的阶数.解limtanxsinxtanx1cosx1lim(),tanxsinx为x的三阶无穷小.x0x0x3xx222．常用等价无穷小:当x0时，（1）sinx～x；（2）arcsinx～x；（3）tanx～x；（4）arctanx～x；（5）ln(1x)～x；（6）ex1～x

x2（7）1cosx～（8）(1x)1～x（9）ax-1～lna*x

2用等价无穷小可给出函数的近似表达式: lim1,lim0,即o(),于是有o().12例如sinxxo(x),cosx1x2o(x2).3．等价无穷小替换 定理：设~,~且lim证：lim存在,则limlim.lim()limlimlimlim.2tan22xex1.；

（2）lim例3（1）求lim x01cosxx0cosx112(2x)2解:（1）当x0时,1cosx~x,tan2x~2x.故原极限=lim= 8

x®012x22x2（2）原极限=lim2x0x2例4 求lim=1

2tanxsinx.3x0sin2x错解: 当x0时,tanx~x,sinx~x.原式lim4

xx=0

x0(2x)3西南石油大学《高等数学》专升本讲义

正解: 当x0时,sin2x~2x,tanxsinxtanx(1cosx)~13x, 213x1故原极限=lim23.x®0(2x)16【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。例5 求limtan5xcosx1.x0sin3x12xo(x2).2o(x)1o(x2)1225x5x+o(x)+x+o(x)x2x5.2lim原式=limx®0x0o(x)33x+o(x)3x解: tanx5xo(x),sin3x3xo(x),1cosx

三、极限的简单计算

1.代入法：直接将xx0的x0代入所求极限的函数中去，若fx0存在，2x53x42x12；若fx0不存在，我们也能知道属即为其极限，例如limx193x32x4x29于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，lim就代不进去了，但

x3x3我们看出了这是一个

0型未定式，我们可以用以下的方法来求解。02.分解因式，消去零因子法

x29limx36。例如，limx3x3x33.分子（分母）有理化法

x253x253x2532x15lim例如，lim

2x22x15x22x152x15x53x2 lim

x22x4

limx2x2 x22x2

2 西南石油大学《高等数学》专升本讲义

又如，limxx221xlim1x1x2x0

4.化无穷大为无穷小法

13+-3x+x-7x例如，lim2=limx2x-x+4x12-+x这个无穷大量。由此不难得出

7x2=3，实际上就是分子分母同时除以x242x2a0，nmba0xma1xm1am0lim0，nm xbxnbxn1b01n，nm

1xlimx2x11x（分子分母同除x）。1，21x又如，limx21nn255lim1，再如，limn（分子分母同除5n）。nnn35n315n例如，limxarctanx10，（无穷小量乘以有界量）。x3x2x14x1.又如，求lim2x1x2x3解：lim(x22x3)0,商的法则不能用

x15.利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限

x22x30又lim(4x1)30,lim0.x1x134x1由无穷小与无穷大的关系,得lim4x1.x1x22x3再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。6.利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5）7.分段函数、复合函数求极限 西南石油大学《高等数学》专升本讲义

例如，设f(x)1x,x0,求limf(x).2x1,x0x0,两个单侧极限为解: x0是函数的分段点

x02limf(x)lim(1x)limf(x)lim(x1)1, 1,x0x0x0左右极限存在且相等, 故limf(x)1.x0【启发与讨论】 思考题1：当x?0时,y11sin是无界变量吗？是无穷大吗？ xx

解：(1)取x012k2(k0,1,2,3,)

y(x0)2k, 当k充分大时,y(x0)M.无界，21(2)取x0(k0,1,2,3,)

2k当k充分大时,xk, 但y(xk)2ksin2k 0M.不是无穷大．

结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题2：若f(x)0，且limf(x)A，问：能否保证有A0的结论？试举例

x说明.解：不能保证.例f(x)11 x0, f(x)0 limf(x)

xxx1A0.xxlim思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？

解：不能．例如当x时f(x),g(x)1xsinx都是无穷小量 x7 西南石油大学《高等数学》专升本讲义

但lim较.g(x)limsinx不存在且不为无穷大，故当x时f(x)和g(x)不能比xxf(x)【课堂练习】求下列函数的极限

excosx（1）lim；

x0xexcosxex11cosxlimlim1 解：原极限=limx0x0x0xxx1x（2）求limx0(1cosx)ln(1x)3sinxx2cos【分析】 “”型，拆项。0011223sinxxcosxcos3sinx3xx=lim= 解：原极限=limx0x02x2x22x5x54x43x2（3）lim ；

x2x54x1【分析】“抓大头法”，用于

型 355x55x解：原极限=lim=，或原极限=lim5=

x241252x2xx4x54x3（4）lim(x2xx)；

x【分析】分子有理化 解：原极限=limxx2xxx=limx11=

11x12x21)（5）lim(2x2x4x2【分析】型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。

x13x2x2x21)=lim2解：lim(2=lim=

x2x2x2x44x2x2x48 西南石油大学《高等数学》专升本讲义

（6）limx0x2x932

【分析】“子。0”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因0x2x293解：原极限=lim=6 2x0x（7）求lim(n12n).222nnn和解:

n时,是无穷小之先变形再求极限.1n(n1)12n12n1112limlim(222)limlim(1).22nnnnnnnnn2n2【内容小结】

一、无穷小（大）的概念

无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:(1)

无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；

（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大.二、无穷小的比较: 1.反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较。高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶。

2.等价无穷小的替换:

篇11：等价的作文

【摘要】等价无穷小具有很好的性质，灵活运用这些性质，无论是在在求极限的运算中，还是在正项级数的敛散性判断中，都可取到预想不到的效果，能达到罗比塔法则所不能取代的作用。通过举例，对比了不同情况下等价无穷小的应用以及在应用过程中应注意的一些性质条件，不仅使这些原本复杂的问题简单化，而且可避免出现错误地应用等价无穷小。

【关键词】等价无穷小 极限 罗比塔法则 正项级数 比较审敛法

等价无穷小概念在高等数学中等价无穷小的性质仅仅在“无穷小的比较”中出现过，其他地方似乎都未涉及到。其实，在判断广义积分、级数的敛散性，特别是在求极限的运算过程中，无穷小具有很好的性质，掌握并充分利用好它的性质，往往会使一些复杂的问题简单化，可起到事半功倍的效果，反之，则会错误百出，有时还很难判断错在什么地方。因此，有必要对等价无穷小的性质进行深刻地认识和理解，以便恰当运用，达到简化运算的目的。

1 等价无穷小的概念及其重要性质[1]

无穷小的定义是以极限的形式来定义的，当x→x0时(或x→∞)时，limf(x)=0，则称函数f(x)当x→x0时(或x→∞)时为无穷小。

当limβα=1，就说β与α是等价无穷小。

常见性质有：

设α,α′,β,β′,γ 等均为同一自变量变化过程中的无穷小， ① 若α～α′,β～β′， 且limα′β′存在，则limαβ=limα′β′② 若α～β，β～γ，则α～γ

性质①表明等价无穷小量的商的极限求法。性质②表明等价无穷小的传递性若能运用极限的运算法则，可继续拓展出下列结论：

③ 若α～α′,β～β′， 且limβα=c(≠-1)，则α+β～α′+β′

证明：∵ limα+βα′+β′=lim1+βαα′α+β′α′=lim1+c1+αα′·βα·β′β

=lim1+c1+c=1 ∴ α+β～α′+β′

而学生则往往在性质(3)的应用上忽略了“limβα=c(≠-1)”这个条件，千篇 一律认为“α～α′,β～β′，则有α+β～α′+β′

④ 若α～α′,β～β′， 且limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′存在，则当Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0且 limAα±BβCα±Dβ存在，有limAα±BβCα±Dβ=limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′

此性质的证明见文献[2]，性质③、④在加减法运算的求极限中就使等价无穷小的代换有了可能性，从而大大地简化了计算。但要注意条件“limβα=c(≠-1)”，“Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0”的使用。

2 等价无穷小的应用

2.1 在求极限中经常用到的等价无穷小有 x～sinx～arcsinx～tanx～arctanx～ln(1+x)～ex-1, 1-cosx～12x2, n1+x～1+xn,(x→0)

例1 limx→0tanx-sinxx3

解：原式=limx→0sinx(1-cosx)x3cosx

=limx→0x·12x2x3(∵ sinx～x,1-cosx～x22)

=12

此题也可用罗比塔法则做，但不能用性质④做。

∵ tanx-sinxx3=x-xx3=0，不满足性质④的条件，否则得出错误结论0。

例2 limx→0e2x-31+xx+sinx2

解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53

用性质④直接将等价无穷小代换进去，也可用罗比塔法则做。

例3 limx→0(1x2-cot2x)

解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x

=limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4

=limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 (∵ sinx～x)

=limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2

=limx→012x2·(1+cosx)x2=1

解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x

=limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4

=limx→02x(tanx-x)x44

(∵ tanx～x)

=limx→02(tanx-x)x3=limx→02(sec2x-1)3x2

=23limx→0tan2xx2=23 (∵ tanx～x)

两种解法的结果不同，哪一种正确呢?可以发现解法1错了，根源在于错用sinx-xcosx～x-xcosx (注意limx→0sinx-xcosx=-1), 由性质③ sinx-xcosx并不等价于x-xcosx 。 从解法2又可以看到尽管罗比塔法则是求极限的.一个有力工具，但往往需要几种方法结合起来运用，特别是恰当适时地运用等价无穷小的代换，能使运算简便，很快得出结果。

2.2 在正项级数的审敛判别法中，用得比较多的是比较审敛法的极限形式，它也是无穷小的一个应用。

比较审敛法的极限形式：设∑∞n=1un 和∑∞n=1vn 都是正项级数， ① 如果limn→∞unvn=l(0≤l<+∞) ，且级数∑∞n=1vn收敛，则级数∑∞n=1un收敛。

② 如果limn→∞unvn=l>0 或limn→∞unvn=+∞，且级数∑∞n=1vn发散，则级数∑∞n=1un发散。当l=1时，∑un，∑vn就是等价无穷小。由比较审敛法的极限形式知，∑un与∑vn同敛散性，只要已知∑un，∑vn中某一个的敛散性,就可以找到另一个的敛散性。

例4 判定∑∞n=11n2-lnn 的敛散性

解： ∵ limn→∞1n2-lnn1n2=limn→∞n2n2-lnn=1 又∑1n2 收敛 ∴ ∑∞n=11n2-lnn 收敛

例5 研究∑∞n=11ln(1+n)的敛散性

解： limn→∞1ln(1+n)1n=limn→∞nln(1+n)=1 而∑1n 发散 ∴ ∑∞n=11ln(1+n) 发散

3 等价无穷小无可比拟的作用

以例3看，若直接用罗比塔法则会发现出现以下结果：

原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x=limx→02(secx·tanx-x)2xtan2x+2x2tanx·secx

=limx→0secx(tan2x-sec2x)-1tan2x+4x·tanx·secx+x2secx(sec2x+tan2x)式子越变越复杂，难于求出最后的结果。而解法2适时运用性质①，将分母x2tan2x替换成x4，又将分子分解因式后进行等价替换，从而很快地求出正确结果。再看一例：

例6[3] limx→0+tan(sinx)sin(tanx)

解：原式=limx→0+sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx) (用罗比塔法则)

=limx→0+sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2x·limx→0+sin(tanx)tan(sinx) (分离非零极限乘积因子)

=limx→0+sin(tanx)tan(sinx) (算出非零极限)

=limx→0+cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx) (用罗比塔法则)

=limx→0+cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosx·limx→0+tan(sinx)sin(tanx)

=limx→0+tan(sinx)sin(tanx)

出现循环，此时用罗比塔法则求不出结果。怎么办?用等价无穷小代换。

∵ x～sinx～tanx(x→0)

∴ 原式=limx→0+xx=1而得解。

由此可看到罗比塔法则并不是万能的，也不一定是最佳的，它的使用具有局限性[3]。只要充分地掌握好等价无穷小的4条性质就不难求出正确的结论。

【参考文献】

1 同济大学应用数学系，主编.高等数学.第5版.北京：高等教育出版社，2002,7(38)：56～59.

2 杨文泰，等.价无穷小量代换定理的推广.甘肃高师学报，2005，10(2)：11～13.

3 王斌.用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨.黔西南民族师专学报，2001，12(4)：56～58.

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