算术平均数与几何平均数--探究活动

2024-05-02

算术平均数与几何平均数--探究活动（精选9篇）

篇1：算术平均数与几何平均数--探究活动

6.2.3算术平均数与几何平均数

●教学目标

(一)教学知识点

1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤

42，等号当且仅当a＝b时成立.＋

2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥

2P，等号当且仅当a＝b时成立.(二)能力训练要求

通过两个例题的研究，进一步掌握均值不等式定理，并会用此定理求某些函数的最大、最小值.(三)德育渗透目标

掌握两个正数的算术平均数和几何平均数顺序定理及相应的一组不等式，使学生认清定理的结构特点和取“＝”条件.要在分析具体问题的特点的过程中寻求运用公式的适当形式和具体方式，自觉提高学生分析问题和解决问题的能力.●教学重点

基本不等式a＋b≥2ab和

2ab2

≥ab（a＞0，b＞0）的应用，应注意：

(1)这两个数(或三个数)都必须是正数，例如：当xy＝4时，如果没有x、y都为正数的条件，就不能说x＋y有最小值4，因为若都是负数且满足xy＝4，x＋y也是负数，此时x＋y可以取比4小的值.(2)这两个(或三个)数必须满足“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”的条件，就不能用这个定理.例如，求当x＞0时，y＝x2＋

1x的最小值，若写成y＝x2＋

≥

2x

22x，就说“最小值为2x”是错误的，因为x2·

12x

4不是定值，而2x仍为

随x变化而变化的值.正确的解法是：由于x2·

12x

·＝为定值，故x2＋＝x2＋

12x

＋≥3·3x

22x2x





32，即y的最小值为

322

.(3)要保证等号确定能成立，如果等号不能成立，那么求出的值仍不是最值.●教学难点

如何凑成两个(或三个)数的和或积是定值.例如“教学重点”(2)中y＝x2＋

凑成y＝

x2＋

12x

＋

12x

.●教学方法启发式教学法 ●教具准备

投影片一张记作§６.2.2 A

Ⅰ.课题导入

上一节课，我们学习了一个重要定理：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(以下简称均值不等式).这个定理有时可以直接运用，有时用它的变形或推广形式，(打出投影片§6.2.2 A，教师引导学生略作分析)，使同学们掌握下面几个重要的不等式：

(1)a＋b≥2ab（a，b∈R），当且仅当a＝b时取“＝”号；(2)(3)(4)

ab2



ab（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；



3≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；



abc

abc（a＞0，b＞0，c＞0），当且仅当a＝b＝c时取“＝”号；

(5)a＋b＋c≥3abc（a＞0，b＞0，c＞0），当且仅当a＝b＝c时取“＝”号.在此基础上，上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等.它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧.今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用.Ⅱ.讲授新课

［例1］已知x、y都是正数，求证：

(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P；(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值

4S2.［师］本题显然是均值不等式的应用，在运用均值不等式时应注意：“算术平均数”是以“和”为其本质特征，而“几何平均数”是以“积”为其本质特征.［生］∵x，y都是正数

∴

xy

2

xy2



P，(1)当积xy＝P为定值时，有即x＋y≥2

P.上式中，当x＝y时取“＝”号，因此，当x＝y时，和x＋y有最小值2P.(3)当和x＋y＝S为定值时，有xy即xy≤

S2，S2.14

上式中，当x=y时取“=”号，因此，当x=y时积xy有最大值 S2.［师生共析］通过对本题的证明，运用均值不等式解决函数的最值问题时，有下面的方法：若两个正数之和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的积有最大值；若两个正数之积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值.在利用均值不等式求函数的最值问题时，我们应把握好以下两点：(1)函数式中，各项(必要时，还要考虑常数项)必须都是正数.例如，对于函数式x＋地认为关系式x＋

1x，当x＜0时，绝不能错误

≥2成立，并由此得出x＋

1x的最小值是2.事实上，当x＜0时，x＋＞0－（x＋

1x的最大值是－2，这是因为x＜0－x＞0，－

1x）＝（－x）＋（－

1x）

≥2(x)()＝2x＋≤－2.可以看出，最大值是－2，它在x＝－1时取得.(2)函

数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用均值不等式求函数的最值.［例2］已知a，b，c，d都是正数，求证（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd.［师］运用均值不等式，结合不等式的基本性质，是证明本题的关键.［生］∵a，b，c，d都是正数，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞0.∴

abcd



abcd＞0，acbd＞0.acbd

由不等式的性质定理4的推论1，得

(abcd)(acbd)

≥abcd

即（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd.［师生共析］用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法.利用算术平均数与几何平均数的关系定理(均值不等式)，可以很容易地解决本章开始的引言中提出的问题：

某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元?

［师］应用题的最值问题，主要是选取适当的变量，再依据题设，建立数学模型(即函数关系式)，由变量和常量之间的关系，选取基本不等式求最值.(在教师的引导分析下，师生共同完成解答过程).［生］设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为

48003x

m，又设水池总造价为

ｌ元.根据题意，得

ｌ＝1５0×

4800

3＋120（2×3x＋2×3×

1600x

48003x）

＝240000＋７20（x＋）.≥240000＋７20×2x

1600x

＝240000＋７20×2×40＝2９７６00.当x＝

1600x，即x＝40时，ｌ有最小值297600.因此，当水池的底面是边长为40 m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.［师生共析］我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利解决了本章引例中的问题.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.Ⅲ.课堂练习

1.已知x≠0，当x取什么值时，x2＋分析：注意到x＋

81x的值最小?最小值是多少?

81x

是和的形式，再看x·＞0.81x

＝８1为定值，从而可求和的最小值.解：x≠0x2＞0，81x

81x

∴x2＋≥2x

81x

＝1８，当且仅当x2＝，即x＝±3时取“＝”号.81x

故x=±3时，x+的值最小，其最小值是18.2.一段长为Ｌ m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

分析：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程中要(1)先构造定值，(2)建立函数关系式，(3)验证“＝”号成立，(4)确定正确答案.解法一：设矩形菜园的宽为x m，则长为（Ｌ－2x）m，其中0＜x＜

2，其面积

S＝x（Ｌ－2x）

＝

·2x（Ｌ－2x）≤

（2xL2x)

8当且仅当2x＝Ｌ－2x，即x＝

4时菜园面积最大，即菜园长

m，宽为

m时菜园面

积最大为

m.Lx2

解法二：设矩形的长为x m，则宽为

x(Lx)

(x

Lx)2

m，面积

S＝



（xLx)

≤

（m2）.L2

当且仅当x＝Ｌ－x，即x＝

（m）时，矩形的面积最大.也就是菜园的长为

m，宽为

m时，菜园的面积最大，最大面积为

m2.3.设0＜x＜2，求函数f（x）＝3x(83x)的最大值，并求出相应的x值.分析：根据均值不等式：ab８－3x是否为正数；二要考查式子

解：∵0＜x＜2 ∴3x＞0，８－3x＞0 ∴f（x）＝3x(83x)≤

3x(83x)

24312ab2，研究3x(83x)的最值时，一要考虑3x与

［3x＋（８－3x）］是否为定值.＝4

当且仅当3x＝８－3x时，即x＝时取“＝”号.4

3故函数f（x）的最大值为4，此时x＝.Ⅳ.课时小结

本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其推广的几个重要不等式顺利解决了函数的一些最值问题.在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式或项的积或和为定值；三是确定等号能够成立.只有这样，我们才能在分析具体问题的特点的过程当中合理运用公式的适当形式和具体方式，解决某些函数的最值问题.Ⅴ.课后作业

(一)课本P11习题6.24、５、７.(二)1.预习内容：课本P12 §６.3.1不等式的证明.2.预习提纲：

(1)用比较法证明不等式.(2)用比较法证明不等式的一般步骤：

作差(或商)→变形→判断差的符号(或商与1的大小)→得证.●板书设计

篇2：算术平均数与几何平均数--探究活动

(1)掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一重要定理;

(2)能运用定理证明不等式及求一些函数的最值;

(3)能够解决一些简单的实际问题;

(4)通过对不等式的结构的分析及特征的把握掌握重要不等式的联系;

(5)通过对重要不等式的证明和等号成立的条件的分析，培养学生严谨科学的认识习惯，进一步渗透变量和常量的哲学观;

教学建议

1.教材分析

(1)知识结构

本节根据不等式的性质推导出一个重要的不等式：，根据这个结论，又得到了一个定理：，并指出了为的算术平均数，为的几何平均数后，随后给出了这个定理的几何解释。

(2)重点、难点分析

本节课的重点内容是掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”;掌握两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值的结论，教学难点是正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值.为突破重难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，注意到平均值定理中等号成立的条件，发现使用定理求最值的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，教学中要注意培养学生分析归纳问题的能力，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法.

㈠定理教学的注意事项

在公式以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：

(1) 和成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数。

例如成立，而不成立。

(2)这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当……时取‘=’号”这句话的含义要搞清楚。教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义：

当时取等号，其含义就是：

仅当时取等号，其含义就是：

综合起来，其含义就是：是的充要条件。

(二)关于用定理证明不等式

当用公式，证明不等式时，应该使学生认识到：

它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法(将在下一小节学习)证出的。因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、性质或用比较法证明。

(三)应用定理求最值的条件

应用定理时注意以下几个条件：

(1)两个变量必须是正变量;

(2)当它们的和为定值时，其积取得最大值;当它们的积是定值时，其和取得最小值;

(3)当且仅当两个数相等时取最值.

即必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能求得最值.

在求某些函数的最值时，还要注意进行恰当的恒等变形、分析变量、配置系数.

(四)应用定理解决实际问题的分析

在应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理解决这类实际问题时，要让学生注意;

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值;

(4)正确写出答案。

2.教法建议

(1)导入新课建议采用学生比较熟悉的问题为背景，这样容易被学生接受，产生兴趣，激发学习动机.使得学生学习本节课知识自然且合理.

(2)在新授知识过程中，教师应力求引导、启发，让学生逐步回忆所学的知识，并应用它们来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构.对有关概念使学生理解准确，尽量以多种形式反映知识结构，使学生在比较中得到深刻理解.

(3)教学方法建议采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入思考问题，有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质.

(4)可以设计解法的正误讨论，这样能够使学生尝试失败，并从失败中找到错误原因，加深对正确解法的理解，真正把新知识纳入到原有认知结构中.

(5)注意培养应用意识.教学中应不失时机地使学生认识到数学源于客观世界并反作用干客观世界.为增强学生的应用意识，在平时教学中就应适当增加解答应用问题的教学，使学生不禁感到“数学有用，要用数学”.

篇3：算术平均数与几何平均数--探究活动

财务分析是按照一定的标准对微观经济主体各种经济活动产生的数据进行处理, 使财务数据转化为财务信息的一种方法。在所有的财务分析方法中比率分析是最为常见、最为重要的一种分析方法。因为运用它可以评价企业的财务状况、经营成果和现金流量, 并及时发现企业在经营中存在的问题和为改善企业经营提供线索。因此研究比率分析陷阱的文章有很多, 但都是从会计学、税法的角度进行探讨。例如, 指出不同企业、不同时期因通货膨胀、会计政策选择等原因而出现的陷阱;由于数据本身不准确而出现的陷阱;因非货币化信息在财务分析体系中没有得到体现而出现的陷阱等等。这些探讨既没有用数据来测量陷阱造成的负面程度, 提出化解陷阱的思路也没有用定量法来测量其改善的程度。因此本文拟从这两方面进行突破, 认为可比性是比率分析法的“灵魂”, 要求比较指标 (分子) 和被比较指标 (分母) 要具有同质性, 并从统计学平均数的角度指出部分比率因一味的使用简单算术平均数而使得其越来越不适应日益复杂的形势, 从而使得比率分析失去了“灵魂”。因为简单算术平均数虽然其计算简单方便又能解决分子分母不匹配的问题, 但是由于其抗耐性较差, 极容易受到个别或少数极端值的影响, 再加上它只能从静态上说明现象总体各单位的一般水平, 使得比率分析中出现了种种陷阱, 这对企业的经营决策极为不利。最后针对这些陷阱提出改善的建议, 指出为了提高比率分析的可靠性, 应该把计算周期缩短到月或者日, 引入序时平均数从动态上说明企业在一定时期内财务变化情况。

2 财务比率的类型

2.1 财务比率的计算公式

根据报表计算出来的财务比率有很多, 为了有效的应用我国将财务比率划分为三类, 即, 偿债能力比率、营运能力比率和获利能力比率[1]。

偿债能力是指企业偿付一切随时可能到期的债务以及保证未来到期债务及时偿付的能力, 反映偿债能力的比率根据时间的长短可将其分为短期偿债能力比率和长期偿债能力比率, 其通用的计算公式为:

××比率 $= \frac{\times \times 资产}{流动负债}$ (短期偿债能力)

××比率 $= \frac{负债总额}{资产或所有者权益}$ (长期偿债能力)

营运能力是指企业利用现有资源创造社会财富的能力, 通过对营运能力的分析可以揭示企业资源的利用程度和营运活力。常见的营运能力比率有:应收账款周转率、存货周转率、流动资产周转率和总资产周转率等, 其通用的计算公式为:

××周转率 $= \frac{营业收入}{\times \times 资产的平均余额}$

盈利能力是企业生存和发展的最基本的能力, 是企业进行资本积累和扩大再生产的源泉, 是对公司净利润的深层次分析, 表示盈利能力常用的指标有资产净利率、净资产收益率和资本金利润率等, 其常用的盈利能力指标表达式如下[2]:

$\begin{array}{l} 资产净利率 = \frac{净利润}{平均资产总额} \\ 净资产收益率 = \frac{净利润}{平均净资产} \\ 资本金利润率 = \frac{净利润}{平均资本金} \end{array}$

2.2 计算公式的分析

通过对以上公式的分析可以发现, 在计算所有营运能力比率和部分盈利能力比率时其所需数据是来自两张不同的会计报表, 即:分子的数据来源于利润表, 分母的数据来源于资产负债表。分子是时期数, 是一段时期内的总量, 是可以累计相加的;而分母则是时点数, 是不能累积相加的, 即使累计相加得出的数据也是没有任何实际意义的。我们知道比率计算是要遵循可比性原则的, 即要求分子为时期数时分母也应为时期数, 这样分子分母才具有同质性。而为了解决此问题目前采取的方法是将两个时点数的平均数近似地看成时期数, 即采用“ (期初+期末) /2” (简单算术平均数) 的方式来加以解决。

3 现行财务比率中算术平均数的陷阱分析

3.1 没有考虑季节性因素

现行公式用“ (期初+期末) /2”的方式代表一段时期内资产余额是基于企业资产在一段时期内呈现线性增长或线性减少这种假设的, 而事实上企业的资产不太可能经常呈现线性变化, 其呈现出非线性波动也是常有的事[3]。例如, 在季节性经营的企业其资产则具有很强季节性, 比如流动资产中的货币资金、应收账款、应收票据和存货等, 如用“ (期初+期末) /2”的公式表示这些资产的平均余额, 这样计算出来的结果不可能表示真实的平均资产, 如A公司是一家从事电风扇的生产的企业, 具有很强的季节性, 公司只在第2季度经营, 每月进货100万元, 总共进货300万元, 并且在第3季度把货物全部销售完 (假设每月销量相同) , 公司年销售收入为400万元。据此可以列出公司12个月电风扇的库存变动情况, 如表1。

资产负债表中A公司存货的年初数和年末数都为0, 如果按照现有的公式计算, 则该公司一年内的存货的平均余额为: $\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{0 + 0}{2} = 0$ , 而存货周转率 $= \frac{营业收入}{存货的平均余额}$ 。

在存货周转率的公式中分母存货的平均余额为0, 用营业收入400万元除以0, 则意味着该公司的存货周转率为无穷大, 由是便得出该公司存货周转速度非常快, 即存货零库存的结论。这显然与现实不符, 现实的情况是有库存的, 存货的周转率为4, 周转天数为90天。可见在这种情况下用此公式计算出的存货周转率不但不能准确的反映企业存货的库存情况而且还会给外界提供错误的信息, 倘若以此衡量管理效绩这将对企业的决策极为不利。

3.2 没有考虑动态因素

资产、负债、所有者权益这些时点数的平均余额的实际含义是指在一段时期内的平均占用额, 而现行公式采用年初与年末平均的办法来计算, 这样计算方法未免太过于粗略了, 因为各个时间段的占有量及占有时间并不能在公式中予以反映。例如在计算净资产收益率时, 其计算公式为:

净资产收益率 $= \frac{净利润}{(年初净资产 + 年末净资产) / 2}$

假设B公司1～12月的净资产的变动情况如表2, 根据现行的计算公式得出B公司的平均净资产为 $\bar{x} = \frac{100 + 100}{2} = 100$ , 显然与实际情况完全不符。

因为一定时期的净利润或增加的其他净资产是由每月实现或创造的净利润累计形成的, 是一个逐步积累的过程。具体来说一年中l月份创造的净利润或增加的净资产, 显然1月份并未占用这部分资金 (属于1月份增值的部分) , 2月份及以后月份的道理相同。也就是说企业占用的净资产不仅有年初的净资产还有年度中间逐月实现或增加的净资产, 只有占用的时间不同而已。即 1月份增加的净资产占用了 11个月, 2月份增加的净资产占用了10个月, 以此类推12月份增加的净资产当年并没有占用。而现行的计算公式确没有考虑时间权重对净资产期本数的影响显然是不合理的[4]。

3.3 没有考虑财务数据的异常变动

按照公式要求, 分母是期初和期末数的算术平均数, 即“ (期初余+期末) /2”, 也就是说分母的变化与中间段的数据无关, 只取决于一段时期内的两端数据, 即取决于上年和本年的期末数, 那么在年末企业财务数据发生异常变动的企业, 例如在年末大量销售或年末销量大幅度下降时会导致年末企业的某项资产变动很大, 那么据此公式计算出的结果很明显就不能反映企业财务状况[5]。

4 财务比率分析中需置入序时平均数

4.1 简单算术平均数的缺陷与序时平均数的优势分析

(1) 简单算术平均数的缺陷

简单算术平均数仅简单的用两个时点数来计算平均数, 得出的结论会与现实有很大出入, 究其原因是:第一, 因为算术平均数是根据变量数来计算的, 每一变量值的任何变动都将在一定程度上影响到算术平均数的数值计算结果, 相对于其他平均数而言算术平均数表现出很强的灵敏性;第二, 算术平均数的抗耐性较差, 极容易受到个别或少数极端值的影响, 尤其是受较大极端值的影响比较大;第三, 算术平均数的适用范围比较窄, 一般来说它对于数据的量化尺度要求较高, 只适用于定矩尺度和定比尺度的数据。

(2) 序时平均数的优势

在目前普遍实行会计电算化的今天, 企业每天的财务数据很容易统计, 因此可以把计算周期缩短到月或者日, 然后采用序时平均数替代简单算术平均数的方法来解决目前比率分析的缺陷。序时平均数作为一种平均数与简单算术平均数相同之处是二者都是以抽象现象的个别差异来反映现象总体的一般水平, 不同之处在于:简单算术平均数抽象的是总体各单位某一数量标志值在同一时间上的差异, 它是从静态上说明现象总体各单位的一般水平;而序时平均数的优势则在于它抽象的是现象在不同时间上的数量差异, 从动态上说明现象在一定时期内发展变化的一般趋势, 即:通过反映在一定时期内各个变动点及变动后的占用期的资料进行序时加权平均, 以此来综合反映某一时期内被研究现象本身在不同时间上的差异[6]。

4.2 序时平均数的计算公式

(1) 间隔相等连续时点数列

在掌握间隔相等连续时点 (如每日或每月) 资料时, 例如, 某单位天天都统计存货, 因而有每日存货库存的数据, 在这种情况下则可以使用以下公式计算企业存货平均占用量。

$\bar{a} = \frac{\sum a}{n} (1)$

(2) 间隔不等连续时点数列

当掌握间隔不等连续时点资料时, 例如, 有些时点性质的资产、负债和所有者权益的数量不需要经常去登记只有在发生变动时作记录, 在这种情况下就可以使用以下公式计算其平均数。

$\bar{a} = \frac{\sum a t}{\sum t} (2)$

(3) 间隔相等的间断时点数列

在掌握间隔相等间断时点资料时, 例如, 根据我国现行的财务报表中, 对一些重要现象 (资产负债表中所列示的项目) 的时点指标, 均可从报表中取得其月末数, 于是就可以编制间隔相等的时点数列。在这种情况下则使用以下公式计算其平均数。

$\bar{a} = \frac{\frac{a_{1}}{2} + a_{2} + a_{3} + \dots + \frac{a_{n}}{2}}{n - 1} (3)$

(4) 间隔不等的间断时点数列

在掌握间隔不等的间断时点资料时, 在这种情况下要以各间隔长度 (t) 为权数, 借助加权平均数来计算。其计算公式如下:

$\bar{a} = \frac{\frac{a_{1} + a_{2}}{2} t_{1} + \frac{a_{2} + a_{3}}{2} t_{2} + \dots \frac{a_{n - 1} + a_{n}}{2} t_{n - 1}}{t_{1} + t_{2} + \dots + t_{n - 1}} (4)$

在以上4组公式中: $\bar{a}$ 表示序时平均数, a表示现象各期数, t表示时间长度。

4.3 序时平均数的置入对改善比率分析程度的测试

(1) 存货周转率中置入序时平均数

第3节应用简单算术平均数得出的存货周转率存的缺陷, 下面试图用序时平均数来对其进行改善。根据所掌握资料可以判断是属于间隔不等的间断时点数列, 因此采用式 (4) 进行计算, 得出该企业2009年存货的平均余额为96万元, 则存货的周转率为400/96=4.2这种计算结果与实际情况相符。通过以上计算可以看出存货周转率计算公式改进前后计算出的结果有很大差别, 改进后的公式准确地反映了存货变动及周转速度, 从而满足了企业经营管理的需要。

(2) 应收账款周转率中置入序时平均数

C公司2010年年初应收账款的余额为0, 本年只有一笔销售业务, 发生在1月20日, 属于分期收款销售, 销售额为120万元, 约定每月1日收款, 每次收取10万元。那么在这一年中该企业收款次数为12次, 到12月31日时应收账款余额为10万元, 这10万元在2011年1月20日全部收回。公司一年的应收账款余额情况可以用表进行列示, 具体情况如表3。如果按照简单算术平均数计算则应收账款的平均余额为 $\bar{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{0 + 10}{2} = 5$ , 应收账款周转率为120/5=24。然而事实上收回这120万元应收账款该公司足足用了一年时间, 也就是说应收账款周转率的真实数据应该是1, 这与用公式计算出来的一年周转24次相差悬殊, 下面试图用序时平均数来对其进行改进。

根据所掌握资料可以判断表3的数据是属于间隔相等的间断时点数列, 因此采用式 (3) 进行计算, 将相关的数据代入便可得出应收账款的平均余额为65万元, 则应收账款周转率为120/65=1.8。

由此可见改进后的公式更准确地反映了应收账款变动及周转速度, 从而提高了财务指标的可靠性。

(3) 净资产收益率中置入序时平均数

第3节应用简单算术平均数得出净资产收益率的存在的缺陷, 本文嗽用序时平均法来计算。根据表2的资料可知道, 该资料是属于间隔不等的间断时点数列, 这种情况下要以各间隔长度 (t) 为权数, 借助加权平均数来计算。因此采用式 (4) 进行计算, 可以得出根据序时平均数计算出的净资产平均余额为483万元。可见改进后的公式更准确地反映了企业平均净资产情况, 从而提高了财务指标的可靠性。

摘要：在分析财务比率中因使用简单算术平均数而出现的种种陷阱的基础上, 指出了为克服简单算术平均数易受个别或少数极端值影响和只从静态上说明总体水平的缺陷, 有必要引入序时平均数, 并以存货周转率、应收账款周转率和净资产收益率三个比率进行计算分析说明序时平均数能从动态上反映企业的经营状况, 能更好地为企业相关者提供可靠的财务信息。

关键词：财务比率分析,算术平均数,序时平均数

参考文献

[1]徐超.财务报表比率分析的局限性及解决方案[J].经济研究导刊, 2009, (18) .

[2]孟芳.企业偿债能力与盈利能力评析——以深深宝为例[J].财会通讯, 2011, (7) .

[3]张宇扬, 卜华.现行应收账款周转率公式的缺陷与改进[J].中国管理信息化, 2008, (6) .

[4]张心瞻.财务分析中的平均数陷阱及解决办法[J].财税金融, 2007, (12) .

[5]田笑丰.对财务比率体系的新思考[J].财会研究, 2008, (6) .

篇4：《求平均数》活动教学设计

教学目的：

１．经历“平均分”的过程，会求简单的平均数。

２．初步理解平均数的含义，体会平均数在日常生活中有着广泛的应用，渗透“移多补少”等数学思想。

课前准备：４个有刻度，同样大小的水杯，一个有刻度的大量杯和一个大杯子。

课前活动：

１．每人测量出自己的身高并记下来。

２．做好“跳绳”准备活动。

活动过程：

一、创设情境，引出课题

１．师将全班同学分成４组，每组选出３位同学参加跳绳比赛。

问：你们猜哪一组赢哪一组输?怎样比较?

２．如果学生认为比总数好，教师则可以先让学生跳绳，做好相应的记录，并用比总数的方法得出结论。

３．教师在４组中加入不相等的人数。

问：人数不相等的情况下，怎样判断各组的输赢?引导学生找到用平均数比较的方法，并试着比一比各组的平均数，从而引出课题。

（在此过程中，教师一改昔日的室内教学，将学生带入操场，通过切身体验、思考，引出课题，激发学生的求知欲，让学生切实感受“玩中学”“学中玩”的生活数学观。）

二、自主探索，研究新知

１．创设氛围，探讨策略

(１)每组准备４个带有刻度的杯子，杯中水的高度与书上相同。

(２)猜一猜：这四杯水的平均高度是多少?并说出理由。

（可以估计出具体的数字，也可以用手指示具体高度，培养学生的估计意识及能力。）

(３)小组讨论：如何才能将这四杯水平均分?

(４)请同学们按照自己的设想动手分一分。

（让学生经历移多补少的过程，丰富学生对平均数的认识。）

(５)研讨第三种方法，请同学们试着列出算式，归纳求平均数的方法。

①移多补少

②先算总数再平均分，教师据学生回答板书：（６＋２＋５＋３）÷４＝４（厘米）

问：你比较喜欢哪一种方法?哪些同学猜得比较准确?如果要你再一次猜一猜它们的平均数，哪些数你不会猜?为什么?

（在比较中学习，在选择中学习。使学生拓展思维空间，从而引导学生从多个角度思考求平均数的问题，发展学生的数学思维能力，提高学生的数学思维水平。）

三、回归生活，解决问题

１．指导同学们填写本组同学的身高数据，并计算出本组同学的平均身高。

(１)汇报各小组的平均身高。

(２)提问：全班平均身高最接近于哪个小组的平均身高?为什么?

(３)估测：全校、全市乃至全国小学四年级的平均身高。

（根据本组同学的平均身高推测全校、全市以至全国四年级学生的平均身高，有利于统计观念的培养。）

２．练习：课本第２９页“做一做”，学生独立解答，集体订正。

四、总结评价，布置作业

１．在这节课中你有什么收获？有什么遗憾?

２．你准备给自己布置什么样的家庭作业?

（关注学生的收获，更要关注学生学习中的不足，将布置作业的权力下放给学生，体现“以学生为本”的思想。）

篇5：“求平均数问题”的数学活动课

联系实际贴近生活――“求平均数问题”的数学活动课

作者/朱卫勇

以生活中的数学内容而开设的数学活动课，目的在于培养学生应用数学知识解决现实问题的意识和能力，这种寓教于动、寓教于乐、寓教于思、寓教于用的教学形式，深受学生的欢迎，既能激发学生的学习兴趣，增强学生的学习欲望，又能提高学生的`数学素质。现把一节“求平均数问题”的数学活动课简要摘录如下：

活动过程：

1.导入（略）

2.动手操作（说明操作的注意事项）

（1）估算：每个人估算自己或他人的身高和体重各多少，然后与测量后的实际数据进行比较，看看谁估算的最准确。

（2）以学习小组为单位，测量每个人的身高和体重。（小组要适当分工，有的负责测量，有的作记录）

3.整理数据，把表格填写完整，求出全组的平均体重（身高），一式五份，送给每组一份，送给老师一份。

第四组学生体重情况统计表

4.交流

各组简要汇报求平均数的情况，并说出最高（最重）、最低（最轻）的数据。

5.编求平均数的应用题

以组为单位，根据手中数据把它编成求平均体重（身高）的应用题。

⒍再次交流

各组交流编写情况，主要有如下几种。

（1）我组有5人，每人体重分别为：35千克、31千克、42千克、39千克、33千克，求我组学生平均体重是多少千克？

（2）我班有4个学习小组，第一组4人，平均每人体重33.75千克；第二组6人，平均每人体重35千克；第三组6人，平均每人体重33.75千克；第四组有5人，平均每人体重36千克。求我班学生的平均体重是多少千克？

（3）我班有4个学习小组，第一组4人，体重总和121.5千克；第二组6人，体重总和210千克；第三组6人，体重总和195千克；第四组有5人，体重总和180千克。求我班学生的平均体重是多少千克？

（4）我班有4个学习小组，第一组4人，体重总和121.5千克；第二组6人，体重总和210千克；第三组6人，平均每人体重33.75千克；第四组有5人，平均每人体重36千克。求我班学生的平均体重是多少千克？

7.小结

（1）教师进行扼要小结：略。

（2）教师介绍测量体重、身高的小常识。

①2~10岁儿童的身高公式：

身高=实足年龄×5＋75厘米

②2~12岁儿童的标准体重：

体重=实足年龄×2＋8千克

体重超过标准20％为肥胖，大于10％而小于20％为超重

③防止肥胖要做到每天用30分钟进行中速的行走，同时要做到少吃脂肪，多吃菜。

④成人的标准体重公式：

身高-105=（）千克

如，某人身高165厘米，其体重为：

165-105=60（千克）

8.通过此次实际测量体重，并求出全班学生的平均体重的活动，你有什么想法？

生1：人家叫我“胖子”，参加体重标准公式所求的数据，我超重10多斤，感到生活上有点不方便，我应该想点办法减减肥。

生2：我有点瘦，今后要逐步做到不挑食。

生3：我学会了测量体重和身高的公式，今后要多注意身体的健康，做到不过胖也不过瘦。

篇6：平均数教学设计与反思

—人教版三年级数学下册

三合镇金鸡小学：冯涛

[教材分析] 《平均数》这个内容被安排在《统计》这个单元之内,让学生学习数的知识，并不仅仅是为了达成求平均数的技能，理解平均数在统计学上的意义及对生活的作用更显重要平均数在我们的生活中应用很广泛，求平均数的方法并不难，理解平均数的意义应是本课的重点。因此，应该让学生首先产生对平均数的需求，经历平均数的产生过程，加深对平均数意义的理解，同时求平均数的方法也就在学生理解意义的过程中发现并学会。另外，平均数是为了解决问题而产生的，那么当学生理解了平均数的意义之后，就应该让学生应用所学的知识去解决孩子身边的、生活中的实际问题，体会数学与生活的密切联系，产生学习数学的兴趣，感受成功的喜悦。因此我没有按照原有教材编排，而是通过创设情境、产生需求——解决问题、理解平均数——联系实际、拓展应用这样一个教学结构来创造性地使用教材，安排此课，给孩子们创设一种自主探究的学习氛围，让孩子在探究中发现问题——提出问题——解决问题。

[教学目标] ⒈经历平均数产生的过程，理解平均数的概念，了解平均数的特点和作用，掌握求简单平均数的方法。

⒉在解决问题的过程中培养学生的分析、综合、估算和说理能力。⒊渗透统计初步思想。

[教学准备] 教师:球类;学生：掌握统计表、统计图的基本知识。

[教学过程】

一、创设情境，提出问题

首先，我从孩子喜欢的球类运动入手：“小朋友们，你们都喜欢什么球类运动？”

“足球！”“篮球！”“乒乓球！”……

“哟，这么多小朋友都喜欢足球，我也和你们一样是个球迷！不过，今天由于场地的限制，我们想组织一次拍球比赛，有兴趣吗？”

“有！”

“咱们全班男女生分为两大组，每组商量一下，先为本组起一个名字。” 很快，男生组起名叫“ 队”，女生组起名叫“ 队”。

“如果一个人一个人地来拍球，时间肯定不够，咱们想个办法，应该怎样进行比赛呢？”

从孩子喜欢的游戏入手，激发了学习兴趣；让孩子自己想出比赛的办法，把自主权留给了孩子。

二、解决问题，探求新知

1、感受平均数产生的需要

（1）同学们马上有办法，两队又各派四人上台。（2）比赛开始，通过计算决胜出胜利队。（3）师宣布获胜一队，另一队则沮丧地低下了头。（4）这时我来到了弱者的一边，安慰他们，并加入他们。

（5）师拍球，同学们算出结果，终于超过了胜利队，宣布现在的获胜队，此时，刚刚获胜的则有意见了。（不公平）

（6）师质疑：“哎呀，看来人数不相等，就没法用比较总数的办法来比较哪组的拍球水平高，这可怎么办呢？”（引出平均数）

2、探索求平均数的方法

（1）我们怎样求出平均数呢？你能想办法试一试吗？

（2）很快，有同学把大数多的部分分给了小数，使数字平均；有的学生通过用计算的方法求平均数，比较得出胜方。

3、理解平均数的意义

（1）“获胜队拍球的平均数是多少，代表什么？你怎么认识理解这个数？”孩子此时也发现了问题：“怎么没有一个人拍球的数量是平均数呀？

(2)师小结：平均数正如你们所说，它不是一个实实在在的数，而是代表一组数的平均值。

4、沟通平均数与生活的联系

“在平时的生活中，你们见过平均数吗？”同学们很快举出例子：在考试算平均分时要用到平均数……

（1）遵义会议会址日平均游客量128人；

（2）三合小学三年级学生平均年龄是9岁；

通过举例，使学生进一步感受平均数与社会生活的密切联系。

三、联系实际，拓展应用

（一）遵义会议会址某周接待游客统计表从这表中，你能看出什么？我这里有三个问题请大家讨论：

1、请你估计一下，这五天中平均每天售出门票大约多少张？

2、大家估计得准不准呢？请你用自己喜欢的方法验证一下。“说一说，你是怎样验证的？”

3、如果你是会址的馆长，看到这个信息，你会有什么想法？问题一出，高潮再起。

（二）环保小组

1、出示收集矿泉水瓶图；

2、从图中你了解到什么？小红收集了14个、小兰收集了11个、小丽收集了15个、小明收集了12个。

3、出示问题：他们平均每人收集了多少个瓶子呢？

第一种：可以将多的给少的（移多补少）

第二种：列式计算（14+12+11+15）/4=13个

4、小结求平均数的方法。

（三）月平均用水量

1、电脑出现画面：干旱图片

在严重缺水地区平均每人每天用水量约为3千克，你们知道3千克的水有多少吗？

2、小刚家用水信息：

3、“第一式和第三式分别求的是什么呢？

4、比较：小刚家平均每人每天用水88千克，严重缺水地区平均每人每天用水3千克，比较这两个数据，你有什么感受？”

（四）小明会遇到危险吗？

电脑画面上出现这样一副图：

1、分组讨论：会不会有危险？什么叫平均水深？

2、教育学生不能私自下河洗澡或到水边玩耍。

通过精心设计的这样一个生活情境，给孩子的思维碰撞搭了台。在争论中，孩子们深切地体会到在现实生活中，数学知识应用要灵活，在解决实际问题时，不仅要考虑数学因素，还要考虑其它的相关因素。

四、总结评价，布置作业

通过这节课的学习，你有什么收获？还有什么遗憾？你认为应该给自己布置什么样的作业？”

板书设计：

平均数

移多补少法

总数量÷总份数

课后反思: 我在教学中注重结合生活实际，让孩子解决身边的、有趣的、有意义的、富有挑战性的问题，学生学得有味道，不枯燥。比如节水问题、小明会不会有危险、拍球游戏等等，无一不是孩子们熟悉的而感兴趣的问题，孩子们用平均数的知识成功地解决了这些实际问题，体验到了成功的快乐，这才是我们的教学目的之所在。唯一不足的地方由于学生之间存在着认知的差异，导致在个别问题中时间的把握不恰当，分配不合理。

篇7：“平均数”教学设计与评析

师：同学们，我们班哪位同学口算能力最强?现在，我们就通过“一分钟口算比赛”的办法来比一比。不但要比哪一个最快，还要比哪一组的集体成绩最好!

二、比一比

1.一分钟口算竞赛

学生做事先准备好的口算题，共20道，教师计时。教师报答案，同桌交换订正，小组长统计本组答题情况并在指定位置板示。教师引导大家简单了解各组统计情况，评出个人获胜者。

师：现在我们来看看，谁是我们班算得最快的。

2.讨论并评比集体成绩

师：刚才我们评出了个人第一，哪个小组的成绩最好呢?请你任意选两组比比看，并说说你是怎么比的。

学生进行小组讨论、交流。

生：相同人数组比――可以比每组做对题目的总数，不同人数组比――比做对题目的总数，但不合理。

师：怎么比合理?

生：加起来除以他们的人数。

生：就是看他们组平均每人做对了几道题。

3.认识平均数

师：我们用平均数来研究两组人数不同的答题情况。用条形统计图的方式呈现两组人数不同的答题情况，教师引导学生先计算出每组的答题总数再除以每组的人数得出这两组的平均数，比较两组成绩的优劣，并强调平均数的计算方法。学生计算每组平均数(除不尽的用计算器算)，每组报出计算所得到的平均数，评出成绩最佳的小组。

学生感受到：尽管各组人数有的是4个，有的是5个，我们还是可以用这几个数的“平均数”来代表一个组的成绩的整体水平。

三、想一想

师：下面我们继续来了解平均数，想一想下面题目的答案。(课件出示)

小明、小军、小李的年龄分别是7岁、5岁、12岁，他们的平均年龄是几岁?

a.5

b.8

c.12

师：你会猜哪个答案?

生：是b。

师：同意吗?我想问你们为什么不选a或c?(同时引导学生观察这组数据)

生：5太小，12太大。

教师概括引导：通常一组数据的平均数不大可能是这组数据中最大的一个或最小的一个，它反映的是这组数据的居中水平。

四、解决问题

望月路一家牛奶店又该进牛奶了，下面是商店本周前4天卖出牛奶的情况，星期五进多少箱牛奶合适呢?

学生先独立思考，再集体交流，提出自己的建议。

五、拓展应用

师：同学们喜欢看足球赛吗?有个足球队想引进一名前锋，主教练收集了三个运动员的相关资料，你们来当参谋，他应该引进哪个运动员?(课件出示)最近5个赛季的进球数

运动员甲：23 17 18 24 23

运动员乙：／／24 20 22

运动员丙：30 10／ 26 18

(“／”表示这个赛季没参加比赛)

这个足球队该引进哪个运动员?教师引导学生观察数据后，小组讨论。

生1：我会选乙，因为他的平均进球数是22个，其他的都是21个。

生2：我不会选乙，因为虽然他的平均进球数多一些，但他有两个赛季没参加，可能身体不好。

师：大家不妨看看甲和丙，他们的平均进球数一样。如果在他们两人中选择一个，你怎么选呢?

生3：我会选丙，因为虽然他的平均进球数少一些，但是他有时候，进球数最多。

生4：我不会选丙，因为他有时候进球数较多，但是他有时候进球数较少，不稳定。

生5：我会选甲，因为虽然他的平均进球数少一些，但是他每个赛季都参加了，而且他的平均进球数只少一个。

生6：我不会选甲，因为他的平均进球数少。

教师小结：同学们，现实生活中的一些问题，我们可以借助平均数来帮助分析，但有时候还要参考其他的因素来灵活处理。

评价

1.注重让学生经历现实的统计活动

“平均数”一课，在教学内容上属于统计一概率板块。所谓统计，就意味着要对数据进行收集、整理、描述与分析。统计内容的教学，其基本目标是要让学生对这种收集、整理、描述与分析数据的过程有所体验，能够初步学会正确使用这个过程中涉及的一些简单的统计方法并能够正确地看待由这些方法得到的统计结果。因而在统计内容的教学过程中，要尽量让学生完整地经历这一过程，尽可能避免人为地肢解这一过程。具体到教学实践中，就是要让学生经历现实的统计活动而不仅仅是处理老师提供的数据。本课中，教师提出了一个需要经过包括收集数据在内的统计活动才能解决的问题：“我们班谁的口算能力最强，哪个组的集体成绩最好。”要回答这样一个问题，就必然要收集相关的数据，而一分钟口算比赛、同桌交换判断计算正误、将结果汇报组长、组长记录的全过程就是一个收集数据的过程。

2.注重对平均数统计意义的理解

平均数(这里特指算术平均数，统计学上也叫样本均值)是一个重要的统计量。所谓统计量，就是对一组数据进行处理，得到一些能够粗略描述这组数据特征的关键量。平均数、中位数、众数都是重要的统计量，每一个统计量都能从某个角度反映一组数据的特征，这就是统计量的统计意义。什么是平均数的统计意义?如何让学生理解平均数的统计意义?我们认为，至少应注意这么几点。

首先，平均数反映的是一组数据的整体水平，其取值介于样本数据的最大值与最小值之间。本课中猜平均数的教学设计应该是基于这样一个目的而设置的。7、5、12三个数的平均数是多少?从5、8、12这三个数中选择一个，你会选择哪个?解决这个问题当然可以用计算的方法把平均数的具体数值求出来，但我们更应该从平均数的意义出发，先去做一个猜测，就这个问题而言，答案只可能是8。

其次，用平均数来反映样本数据的特征是有其局限性的。任何一个统计量都不可避免地存在局限性，正因为这样，另外的统计量才有产生的必要。如果我们把样本数据的“总和”也当成一种统计量的话，平均数的产生就可以克服这个统计量的局限性。这一点在教学设计中也有所反映：如果两组人数相等，就可以比较他们的总成绩；如果人数不相等，比较总成绩就不公平了。这样，平均数的引入也就有了必要。同样，平均数作为统计量也是有局限性的，本课最后一个环节就揭示了这种局限性：甲和丙两人进球数的平均数相同，那要怎么选择呢?数据的离散程度需要用另外的统计量来描述，最常用的就是方差和方差的算术平方根―标准差。

第三，应适当淡化求“稍复杂的平均数”问题。以前，作为对求平均数问题的拓展，我们特别愿意把问题的情境弄得“稍复杂”。所谓“稍复杂”，就是或者“总数”复杂，或者“份数”复杂。比如已知第一个月做了多少零件，第二个月做了多少零件，问平均每天做多少零件。让学生在这种稍复杂的情境中体会对应的思想当然也未尝不可，然而这对体会平均数的统计意义似乎帮助不大。

3.注重平均数在现实生活中的应用

平均数作为能很好地描述样本数据整体特征的统计量，在现实生活中有很多应用，本课设计了给牛奶店进牛奶提供参考的问题。从问题本身来说，应该说涉及到了统计在现实生活中应用的核心问题，那就是为决策提供服务。

牛奶店前四天卖牛奶箱数已经有了，如何处理这些数据，使之为“星期五应进多少箱牛奶?”这个问题的决策服务。当然这个问题的本质是什么，用前四天卖出牛奶的平均数作为第五天进牛奶的数有什么依据却是本课没有很好地解决的问题，下面将再详细说这个问题。

从以上几点看，本课从现实的统计活动开始，让学生感受到引入平均数的必要性，继而逐步揭示平均数的统计意义，让学生体会到平均数在现实生活中的应用，感受到平均数的局限性，整体设计是好的。在教学中，面对从现实统计中获取数据与求平均数时极有可能无法整除的矛盾，使用计算器并不回避小数结果，处理的大胆，也是可以接受的。

从整个设计来看，也存在几个值得思考的问题。

第一，统计活动应该基于有现实意义的问题，或者说为了解决某个有价值的问题才进行统计活动。本课设计的问题是看哪个同学的口算能力最强，这当然算得上是一个有一定价值的问题，但如果进一步考虑到这是第一学段的最后一个学期，把口算测验变成一个检验学生是否达到国家课程标准中规定的、每个学生都应达到的基本要求的问题，将会使问题变得更加有意义。事实上，《数学课程标准》中确实规定了第一学段末的学生在计算方面应该达到的基本要求。是否达到这样一个要求，也确实是教师和学生都应该关注的。

第二，究竟怎样理解由星期一到星期四的卖牛奶箱数来决定星期五进多少箱牛奶的问题。从本课的教学设计来看，教师对这个问题有了一定的思考。事实卜，教材卜的原题是根据前三天卖冰淇淋箱数决定第四天的进货数。教师隐约感觉到了用三天的数据来推断第四天的数据是不妥的，所以又加了一个数据。然而，这依然没有触及到问题的本质。

一方面，通过以上的数据，结合生活经验，我们确实能知道周五进8箱牛奶是合适的；另一方面，我们也知道，在数学上，无论用三个数据，还是用四个数据来作推断都是不合适的，已知的数据太少，专业点说就是样本容量太小。产生这个矛盾的原因是什么呢?或者说用四天(甚至三天)的销售量来决定进货量这样一个在数学上站不住脚的方法，在生活中为什么又是合理的呢?是因为在这里我们默认了每天卖出的牛奶数是相对稳定的。如果前四天卖出牛奶数如下图，此时，前四天的销售量的平均数仍然是8，但用这个数作为第五天的进货量显然是不合适的。

篇8：谈谈平均数与方差

这是我在百度上看到的一个问题:我现在上初二,学习统计的时候,接触了很难算的方差(先平均,再算差,再平方,再平均),可是即使算出了这个方差,对整个数据的分析到底有什么意义呢?方差的大小又说明了什么呢?为什么能表明他的波动性?

笔者在多年的教学实践中,遇到过许多有关方差的实际应用问题。但许多已经学过统计学的专、本科学生,并没有明白方差在社会经济方面的应用。有必要在此探讨方差的实用价值。

2 方差的计算

2.1 方差的计算公式

若x1,x2,x3......xn的平均数为m

则方差s^2=1/n[(x1-m)^2+(x2-m)^2+.......+(xn-m)^2]

2.2 计算火箭队上场队员与春晚《天鹅湖》舞蹈演员的方差

1)火箭队上场5个队员的身高如下:卢瑟·赫德(后卫)1.91米、朱万·霍华德(前锋)2.06米、大卫·韦斯利(后卫)1.85米、姚明(中锋)2.26米、朗尼·巴克斯特(前锋)2.03米。火箭队上场5个队员的平均身高为:2.022,方差为:0.02006。

2)2012年央视春晚表演《天鹅湖》的5个专业舞蹈演员身高分别为:1.66米、1.64米、1.65米、1.65米、1.66米。《天鹅湖》的5个专业舞蹈演员平均身高为:1.652,方差为:0.00006。

2.3 火箭队队员与《天鹅湖》舞蹈演员的方差比较

通过计算明显的看出,火箭队队员的方差是舞蹈演员方差的334倍。用通俗的语言表述就是:火箭队队员身高参差不齐的程度远远的大于舞蹈演员。即:方差表示的是一组数据的离散程度,也称离中趋势。

2.4 如何理解集中趋势与离中趋势

统计学中平均数指标,可以反映现象的一般水平和集中趋势,方差反映现象的离散程度和离中趋势。假如A、B两个单位的平均工资基本相同,如果A单位的方差远大于B单位,说明A单位工资收入两级分化的程度远远大于B单位。即:A单位离中趋势明显,而B单位的集中趋势明显。

3 平均数与方差在社会经济中的应用

3.1 方差在经济管理中的应用

平均数与方差在生产实践和社会经济中的应用非常广泛。如在质量管理中方差越小越好,K线图中的移动平均线等,在此不作过多的陈述。重点谈经济管理中方差的应用。如:《证券投资》方面,把投资的风险定义为,实际收益偏离预期收益的潜在可能性,可以借预期收益的方差作为衡量风险的标准;在《人力资源测评》课程中,关于心理测评建立“常模”时,用到了方差;……等等。

3.2 在日常平凡工作中的应用

对许多平凡工作者,在分析他们对待工作的能力、态度、性格等特征时,要求方差小、稳定性好,如:工人、农民、士兵、医生、驾驶员等。而有些工作则要求方差大,要有发散、跳跃、创造性思维,如:艺术工作者、证券投资人、作家、科学家等。明白这些道理,有助于学生树立正确的择业观,正确的面对现时,面对社会,面对未来。

3.3 在艺术欣赏中的应用

白居易《琵琶行》:“大弦嘈嘈如急雨,小弦切切如私语。嘈嘈切切错杂弹,大珠小珠落玉盘。”生动的描述出艺术的特性。即方差大,就是波动性强,也给出了一个艺术的评价标准。

CCTV3直通春晚2出场的评委孙悦,网上有这样的评论:“孙悦啥时候变这么黑了?还是我的屏幕色彩有问题?”无论是褒是贬,孙悦的肤色个性得到了彰显,达到了宣传效果。

当笔者看到孙悦的肤色时,被惊了,太时尚、太奢侈了。当今都市里的人们,紧张的工作如同高速运转的机器,坐在电脑、电视、手机前,接受辐射。走在大街上,被汽车尾气所包围。而有人躺在沙滩上,享受着和煦的阳光、海风的吹拂,真是太幸福、太时尚、太奢侈了。

4 方差与平均数带给我们的思考

现在的大学教育,已不在是精英教育,门槛也越来越低,绝大多数学生毕业后,将在不同行业里从事基础性工作,培养目的主要是就业教育。能够从事尖端科研的人,只能是3σ(西格马)甚至是6σ之外的人,概率非常之小。

笔者在多年的教学中,引用这些鲜活的实例,增加了趣味性,注重培养学生美商(BQ)(全称“美丽商数”(Beauty Quotient),并不是指一个人的漂亮程度,而是一个人对自身形象的关注程度,对美学和美感的理解力)。

最后,用老子《道德经》里一段话来结尾:“天下皆知美之为美,斯恶矣;皆知善之为善,斯不善已。故有无相生,难易相成,长短相形,高下相倾,音声相和,前后相随。是以圣人处无为之事,行不言之教。”

摘要：本文针对学生在方差与平均数,存在的许多疑惑,通过计算火箭队队员与舞蹈演员的方差比较,使学生理解集中趋势与离中趋势,进而说明在社会经济、艺术欣赏中的应用,以达到培养学生正确的就业观及提高美商(BQ)。

关键词：平均数,集中趋势,方差,离中趋势

参考文献

[1]袁卫.统计学[M].2版.北京:高等教育出版社,2005.

[2]卞毓宁.统计学概论[M].2版.北京:高等教育出版社,2004.

[3]李永瑞.人力资源测评[M].北京:高等教育出版社,2009.

[4]杨德勇.证券投资学[M].北京:中国金融出版社,2010.

[5]萧鸣政.工作分析的方法与技术[M].2版.北京:中国人民大学出版社,2006.

[6]刘起运.宏观经济数量分析方法与模型[M].北京:高等教育出版社,2008.

篇9：平均数的含义与教学

在一次小学数学骨干教师培训的教学实践课上，一个“意外”的问题引起了笔者的思考。这是小学三年级下册“平均数”的新授课，之前学生已经学习了“除数是一位数的笔算除法”和“简单的数据分析”，本节课的主要目标是让学生理解平均数的统计含义和计算方法。

教师用投影展示了两支篮球队的比赛场面，而观众想知道哪支球队的队员身体更高。为了解决这个问题，教师用投影给出了两支球队队员的身高情况（见表1、表2）。然后教师让学生计算两支球队的平均身高，其中欢乐队平均身高为（148＋142＋139＋141＋140）÷5＝142（厘米），开心队平均身高为（144＋146＋142＋145＋143）÷5＝144（厘米）。最后，教师引导学生得出结论：开心队队员高一些。

此时，有个学生提出疑问：“要比较两支球队队员的身高，只要比较身高的总数就可以了。而且比较总数还更简单一些。因此，没有必要比较平均数，用平均数反而复杂了。”教师没有立即回答这个问题，而是问其他同学，“你们怎么看？”有学生说，“要是队员超过10人，我们就没办法计算了，我们只学过除数是一位数的除法。算总数只用加法，我们都会算”；也有学生说，“要是最后除不尽，怎么比较呢？所以算平均数不好”。

课后，笔者意识到，学生学习平均数并不容易，便向听课教师询问学生求平均数时容易出现哪些错误。教师们给出了两种常见错误：一种是重复数据只计算一次，比如计算148、142、140、139、142、141、140的平均数时，容易写成（148＋142＋139＋141＋140）÷5＝142；另一种是容易遗漏数据0，比如对问题“8个同学组成的课外活动小组进行一次野外活动，其中7名同学带的食物重量分别是2.0千克、1.5千克、2.4千克、2.1千克、1.8千克、1.6千克和2.6千克，糊涂的东东匆忙之中忘了带食物，求平均每位同学带了多少千克食物”，学生容易计算成（2.0＋1.5＋2.4＋2.1＋1.8＋1.6＋2.6）÷7＝2.0（千克）。

仔细分析学生提出的问题和出现的错误，不难发现，学生并不是不会计算平均数，而是不理解平均数的统计意义。对于平均数的统计意义，现行课程标准和各版本教科书都没有明确说明，有些教师也不是很理解。笔者对此做了一些思考，然后进行了初步的教学探索。现将一些粗糙的结果呈现给大家，以抛砖引玉，让我们一起来研究如何更有效地进行“平均数”的教学吧！

（一）统计学的本质与统计的基本过程

作为一个研究领域，统计学是关于搜集和分析数据的科学和艺术，其目的是为了对一些不确定的事物进行较准确的推断。[1]随着社会的不断发展和科学技术的突飞猛进，统计学的应用范围日益广泛。比如，国民经济各部门的计划制订、管理生产、经济核算，科学研究中的实验设计和数据处理，教育中的学生行为、身体发育和成绩评定都需要用到统计学。统计学的本质是数据分析，通过对数据的分析来了解和判断数据产生的背景。[2]

统计是根据量的分析来研究不确定现象的，它的基本过程是：①确定研究问题，面对不确定现象，根据生产生活和科学研究的需要，发现和提出需要研究的问题；②制定研究方法，根据问题、研究对象的特点和研究条件，拟定研究方法；③搜集数据，根据研究方法，对不确定现象进行观察和测量，采集观察和测量的数据；④分析数据，按照一定规则对数据进行整理，应用数学的思想方法对其进行分析，探索隐含的规律；⑤做出推断与结论，根据数据分析中发现的规律，对不确定现象的过去状况进行推测、对现实状态进行评价或者对未来状态进行预测。

（二）平均数的含义

在分析数据的时候，面对一组数据，人们最容易想到的是对这些数据进行求和，看它们的总数是多少。然而，总数常常远远大于每一个具体数据，不能反映数据的真实状态，很难推断数据产生背景的真实状态。如果出现了两组数据总数相等的情况，用总数便很难对两组数据进行评价。鉴于此，人们想到了用一个量来表示数据的一般水平，以消除数据个数造成的总数和单个数据的偏差，便用总数除以个数，也就是平均数来代表数据的一般水平或者大致状态。

在统计学上，将某个随机现象的n个实验或观测数据a1，a2，…，an的平均数用表示，它的计算公式是。由于实验数据和观测值往往带有误差，而这些误差有正也有负，因此求平均数之后，正负误差相互抵消了一部分，从而比较接近观测和实验数据的真实面貌。所以，平均数的作用就是消除数据中局部的、随机的波动，表征数据的集中位置。

上述公式是求平均数的基本公式，由它求出的平均数一般叫做算术平均数。但在现实统计中，我们会记录数据出现的次数，这样可以大量减少数据的记录个数。比如数据a1出现f1次，a2出现f2次，……an出现fn次，记f=f1+f2+…+fn，那么这些数据的平均数。用这个公式求出的平均数叫做加权平均数，其中f1，f2，…，fn叫做频数。当每一个频数都等于1时，加权平均数就变成算术平均数了。此公式可以变形为其中叫做频率。

现实生活中，我们常用加权平均数进行计算。比如，某同学某一科的考试成绩为：平时测验为90，88，92；期中考试为90；期末考试为99。如果直接用算术平均数计算，得到（90＋88＋92＋90＋99）÷5＝91.8，这作为该同学的学科成绩似乎不太合理。于是，学校规定学科成绩的评定方式是：平时成绩占20%；期中考试占30%，期末考试占50%。那么加权平均数是（90＋88＋92）÷3×0.2＋90×0.3＋99×0.5＝94.5，这作为该同学的成绩就更为合理一些。

（三）平均数的特征

平均数的特征很多，在此做一个简单的归纳整理，仅供大家参考。

(1)平均数介于最大值和最小值之间，即平均数比最小的数大一些，比最大的数小一些。

(2)平均数是一个虚拟值，即平均数不一定是这一组数据中的数；平均数反映的是一组数据的特征，不是其中每一个数据的特征；为了弥补这一缺陷，统计学上用众数来代表数据的一般情况，众数是一个真实值。

(3)所有数据都影响平均数，即所有的数据（包括0）都要参与平均数的计算。

(4)平均数易受极端数据的影响，即一个数据离平均数越远，对平均数的影响越大。例如：全班有30名学生，某次测试成绩如下：5个90分、22个80分、1个2分、1个10分、甲同学78分，则平均值为分，甲同学78分，高于平均值却是全班倒数第三名。因此，多数比赛算选手的平均分时，需要去掉一个最高分和最低分。

(5)所有的数据在平均数上下波动，它们的偏差之和等于0，也就是说，平均数不能衡量偏差；为了衡量偏差（也就是数据的集中程度），统计学中又引入方差和标准差。

(6)平均数并不是将所有的数据都变得相等了，而是将各个数据平均分担了。

三、平均数的教学

平均数的教学，既要让学生掌握平均数的计算方法，更要让学生理解平均数的统计意义。而对统计意义的理解，需要让学生在统计的过程中去领会和感悟。因此，平均数的教学需要让学生经历统计的全过程。

（一）明确问题

师：学校想知道三年级学生到底是男生高还是女生高，你打算怎么办？

生：测量我们学校三年级8个班所有同学的身高，然后进行比较。

师：这是个好办法。不过老师很好奇，想这节课就能知道大概的结果。你打算怎么办？

生：那就以咱们班为代表，测量一下我们的身高。

生：咱们班近40人，全部都测量也需要很多时间。干脆找一个小组代替，比较那个小组内男女生的身高，这样更快，也能大致回答学校的问题。

师：这也是一种解决办法。那就在咱们班找一个小组吧，通过一个小组的身高来推测全班同学的身高。

（二）搜集数据

师：找哪个小组呢？

生：第三组比较合适，他们组没有太高的，也没有太矮的，身高比较中等，比较有代表性。

师：好，现在测量第三组同学的身高。

（教师将学生的身高写在黑板上，见表3）

（三）分析数据

师：从这九个数据出发，怎么比较呢？

生：把这些数加起来，看看谁大。

生：那不行。女生人数多，肯定女生总数大。不一定能说明女生高，因为这些同学中最高的是男生。

生：那就把他们折算一下，折算成一个人大概有多高，不就可以比较了吗？

师：这是一个好办法，怎么折算呢？

生：第四个男生高，把他的身高移2厘米给第一个，移1厘米给第三个，大家都成了135厘米了，这就是折算后男生的大致身高。

师：这种方法叫做移多补少，比较直观形象。那女生呢？

生：好像不太好移，可能移多补少的方法不灵了。

师：是的，谁还有别的方法？

生：全部加起来除以5就可以了，也就是（134+133+136+134+137）÷5，结果是商134还余4。

生：我用计算器算的，女生身高（134+133+

136+134+137）÷5＝134.8厘米。

（四）得出结论

师：我们还没有学习小数，但观察这两位同学的计算结果，你能得到什么？

生：女生身高大致接近135厘米，但不到135厘米，说明男生高一些。

师：男生的身高可以这样计算吗？

生：可以。（计算过程略）

师：我们把计算的方法整理一下，就是总数除以个数。（指着数据说）数学上，把135叫做这四个数的平均数，134.8叫做这5个数的平均数。大家说一说，135能表示什么？

生：4位男生的大致身高，身高的一般情况。

生：4位男生的平均身高，有的比它高，有的比它低。

生：男生身高的代表，4位男生的身高与它比较接近。

（五）总结提升

师：通过刚才这个问题，你可以怎样求平均数？

生：用“总数除以个数”的方法，即“平均数＝总数÷个数”。

生：数据少的时候，还可以用“移多补少”的方法。

生：平均数处于一组数据中间，比最大的数小，比最小的数大。

生：平均数表示一组数据折算后的一般水平，不是真实的数值，有可能这组数据中恰巧有这个数。

生：数据中的每一个数都会影响平均数。

四、结束语：让学生经历做数学的过程

我们常常发现，虽然学生能够背诵某些数学概念、公式和法则，但常常不能正确地应用它们去解决相关的问题。原因在于，学生仅仅掌握了这些数学概念、公式和法则的语言外壳，而没有真正理解它们的数学含义和蕴涵的数学思想方法。因此，数学教学需要展示形成这些内容的全过程，让学生参与“做数学”的活动，让学生在活动中理解这些数学意义和数学思想方法，并积累数学活动的基本经验。

参考文献：

[1]Encyclopdeia Americana，Encyclopdeia

AmericanaInc.1990.中文本见：大美百科全书.台北：光复书局，1991.

[2]史宁中.数学思想概论·数量与数量关系的抽象[M].长春：东北师范大学出版社，2008.

注解：平均数是一个重要数学名词，在代数学和统计学中都会涉及，但其含义不完全一样。在代数学中，平均数是加权平均数、算术平均数、几何平均数和调和平均数的总称。

（首都师范大学初等教育学院 100048

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