线性代数证明题大全

2024-05-25

线性代数证明题大全（精选6篇）

篇1：线性代数证明题大全

4.设A、B都是n阶对称矩阵，并且B是可逆矩阵，证明：AB1B1A是对称矩阵.A、B为对称矩阵，所以ATA,BTB

TTT11111证明：因为(AB1B1A)T(AB1)T(B1A)T(B)AA(B)BAABABBA则矩阵5.设T1

AB1B1A 是对称矩阵。

n1n阶矩阵的伴随矩阵为*，证明：**

0时，*0.*0，则知*可逆，*1.证明：因为

⑴当用反证法：假设在等式**O左右两边同时右乘，得到O，于是O，这与假设矛盾，n1可知当0时, 有*0；

⑵ 当0时，在等式*两边同时取行列式，得

**n

两边同时约去，得*n1.6.设向量b能由1,2,3这三个向量线性表示且表达式唯一, 证明：向量组1,2,3线性无关。证明：（反证法）如果a1,a2,a3线性相关，则有一组不全为0的系数1,2,3使1a1由已知设b（1），2a23a3=0 112233，结合（1）式得

b0b(11)a1(22)a2(33)a3（2）

由于1,2,3不完全为零，则17.设1,2,3是1，22，33与1,2,3不同，这与b表示法惟一相矛盾，故向量组1,2,3线性无关。

n阶方阵A的3个特征向量，它们的特征值不相等，记123，证明：不是

A的特征向量。

证明：假设AAA123A1A2A3112233，又： 123A112233

从而： 1122330，由于特征值各不相等，所以1,2,3线性无关，所以的1230123，矛盾。故不是

A的特征向量。

8.已知向量组a1,a2,a3线性无关，b12a1a2，b23a2a3，b3a14a3，证明向量组b1,b2,b3线性无关.证明把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式

20130 b1,b2,b3a1,a2,a31,记BAK，014设Bx0，以BAK代入得A(Kx)0，因为矩阵A的列向量组a1,a2,a3线性无关，知Kx0的系数行列式K250，知齐次线性方程组 Kx0只有零解x0。

0只有零解x0，故矩阵B的列向量组b1,b2,b3线性无关。所以，齐次线性方程组Bx9.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；（2）η0，η1，η2线性无关。

证由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2个解。（2）考虑k0η0+k1η1+k2η2=0，即（k0+k1+k2）η0+k1ξ1+k2ξ2=0.则k0+k1+k2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以 k1ξ1+k2ξ2=0.又由Ax=0的一个基础解系, 所以，ξ1，ξ2线性无关，所以k1=k2=0，从而 k 0=0.故η0，η1，η2线性无关。

10.设A是n阶矩方阵，E是n阶单位矩阵，AE可逆，且f(A)(EA)(EA)1。

f(A))(EA)2E；（2）f(f(A))A。证明（1）(E证明：（1）(Ef(A))(EA)[E(EA)(EA)1](EA)(EA)(EA)(EA)1(EA)(EA)(EA)2E

（2）f(f(A))[Ef(A)][Ef(A)]1

f(A)]1由（1）得：[E1(EA)，代入上式得 2111f(f(A))[E(EA)(EA)1](EA)(EA)(EA)(EA)1(EA)22211(EA)(EA)A 2211.设A与B相似，证明：AT与BT相似。

A与B相似，故存在可逆矩阵P，使得证明：因为 B则 BTP1AP

(P1AP)TPTAT(P1)TPTAT(PT)1

T 且 P是可逆矩阵

于是

12.证明：矩阵AT与BT相似。

A与B是正定矩阵，证明：AB也是正定矩阵.证明：由题设，对任意x0都有 xTAx0,AB也正定矩阵.xTBx0xT(A+B)x0(x0)，由正定矩阵的定义，则13.一个n级行列式，假设它的元素满足aijaji,i,j1,2,,n,证明，当n为奇数时，此行列式为零。

aa12a1na22a2nan2ann11aaanaaaan，则A21证明：设Aananannan1的元素满足

aijaji,i,j1,2,,n，所以，a11ATa12a1n于是，当a21an1a22an2a2nanna11a21an1a12a1nA(1)nA，a22a2nan2annn为奇数时，由 AAT(1)nAA0.14.设矩阵A正交，证明：对于数k，若kA也正交,则k1

证明：因为A正交，所以ATA1。从而

kA正交(kA)T(kA)111A，k又ATA1，所以，(kA)TkATkA1kA111A，kk21k1.15设

1，证明：矩阵AB、AB 是正交矩阵。A、B为n阶正交矩阵，证明：因为A、B为n阶正交矩阵，所以AATE,BBTE

因为（AB)(AB)所以 ABBTATAEATAATE

AB是正交矩阵。

（即两个同阶的正交矩阵的乘积也是正交矩阵）

因为B是正交矩阵，所以B1也是正交矩阵（P115)

由以上结论得：AB1也是正交矩阵。

16.若0是可逆矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，证明：1是A1的特征值，是A1的属于

1的特征向量；

证明：因为

1A1AA1 从而 A1

1111即是A的特征值，是A的属于的特征向量。A，则

篇2：线性代数证明题大全

（2）若BE是△ADF的中位线，且BE＋FB＝6厘米，求DC＋AD＋AB的长．

图

已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线的一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，求证：AB＝2OF.A

当代数式x+3x+5的值为7时，代数式3x+9x－2的值是_________．

24如图所示，△ABC中，∠BCA=90°，D、E分别是AC、AB的中点，F在BC的延长线上，∠CDF=∠A，求证：四边形DECF是平行四边形

F C

D C

（第24题）

25如图，在△ABC中，ACB90，CD⊥AB于D，AE评分∠BAC交CD于F，EG⊥AB 于G.求证：四边形CEGF是菱形.(第25题)

24.阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．

已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD

分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．

25.如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E, 直线BM、NC交于点F。(1)求证：AN=BM；

(2)求证： △CEF为等边三角形；

(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转900，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）.七、24.选择第（1）种。证明：延长DE到点F,使EF=DE；∵点E是BC中点；∴BE=CE；又∵∠BEF=∠CED(对顶角相等)；∴△BEF≌△CED(SAS)；∴BF=CD，∠ F=∠CDE；又∵∠BAE=∠CDE；∴∠BAE=∠F；∴BF=AB；∴AB=CD。

八、25.（1）证明：∵△ACM、△CBN是等边三角形；∴AC=MC,BC=NC, ∠ACM=60°,∠BCN=60°；∴∠MCN=180°-60°-60°=60°；∴∠ACN=∠ACM +∠MCN =60°+60°=120°, ∠BCM=∠BCN +∠MCN =60°+60°=120°；∴∠ACN=∠BCM；∴△ACN≌△MCB(SAS)；∴AN=BM.(2)证明：∵△ACN≌△MCB；∴∠ANC=∠MBC；又∵∠MCN=∠BCN=60°, BC=NC；∴△ECN≌△FCB(AAS)；∴EC=FC；又∵∠MCN=60°；∴△CEF为等边三角形。（3）补全图形如下：

第（1）小题的结论还成立，但第（2）小题的结论不成立。

24．（本小题10分）阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：

7

xy

设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：

2xy3，消去y化简得：2x27x60，∵△＝49－48>0，∴x1，x2 ． ∴满足要求的矩形B存在．

（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．

（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？

25.已知菱形ABCD的周长为20cm；，对角线AC + BD =14cm，求AC、BD的长； 26如图，在⊿ABC中，∠BAC =90，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG是菱形； A

27.如图，正方形ABCD中，过D做DE∥AC，∠ACE =30，CE交AD于点F，求证：AE = AF；AB

CDF已知：正方形ABCD，E为BC延长线上一点，AE交BD于F，交DC于G，M为GE中点,求证：CF⊥CM

2.如图，AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线分别交AB、BC的延长线于点F、E求证：(1)∠EAD=∠EDA；(2)DF∥AC；(3)∠EAC=∠B.3.如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形.，DE、AC相交于点F.求证：（1）点F为AC中点；

（2）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；

（3）若四边形ADCE为正方形，△ABC应添加什么条件，并证明你的结论

B D C E

4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE。

（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论；

（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？

B用关系式．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45º。翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、30E。若AD=2，BC=8，求：（1）BE的长。（2）CD：DE的值。

四、读句画图，并证明

22．已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF。

求证：DE=BF。

23．已知在⊿ABC中，∠BAC=90º，延长BA到点D，使AD=

2AB，点E、F分别为边BC、AC的中点。（1）求证：DF=BE。（2）过点A作AG∥BC，交DF于点G，求证：AG=DG。

五、论证题

24．如图，在等腰直角⊿ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC

上的一个动点，D为BC上的一点，且PB=PD，DE⊥AC，垂足为E。（1）试论证PE与BO的位置关系和大小关系。

（2）设AC=2a , AP=x , 四边形PBDE的面积为y , 试写出y与x

之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

25．如图，梯形ABCD，AB∥CD，AD=DC=CB，AE、BC的延长线相交于点G，CE⊥AG于E，CF⊥AB于F。

（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）。

（2）选择（1）中你所写出的一组相等线段，说明它们相等的理由。

六、观察——度量——证明

26．用两个全等的等边三角形⊿ABC、⊿ACD拼成菱形ABCD。把一个含60º角的三角尺

与这个菱形叠合，使三角尺的60º角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合。将三角尺绕点A按逆时针方向旋转。

（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（如图1），通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论。（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由。

CE图2

篇3：线性代数证明题大全

n阶行列式的任一行 (列) 各元素与另一行 (列) 对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

又按行列式一行 (列) 展开法则, 上式按第i行展开, 得ak1Ai1+ak2Ai2+…+aknAin=0 (k≠i) .

二、应用

即A41+A42+A43+A44=0.

而2A11+4A21-6A31-8A41

即2A11+4A21-6A31-8A41=0.

而3A11-7A21+8A31+4A41

即3A11-7A21+8A31+4A41=0.

该定理及应用实质上是n阶行列式有两行 (列) 的元素对应相同 (或对应成比例) , 则行列式的值都等于零.

摘要：线性代数这门课程, 概念多、定理也多.但有些定理证明显得繁琐, 学生也不易理解, 本文提供一个定理的简单证明及应用.

关键词：行列式,代数余子式,证明,应用

参考文献

[1]蒋卫华, 王洪滨.线性代数教学中两组概念的处理[J].大学数学, 2005 (1) .

篇4：初中生代数证明水平的发展研究

关键词：代数证明；日历问题；课程标准；性别差异；城乡差别

1.问题提出

《数学课程标准》在7～9年级的课程目标中提出“认识通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性”；在课程实施建议中提出“应关注证明的必要性、基本过程和基本方法”。由此看出，新课标更加重视发展学生的数感和符号感，重视口算、估算，提倡算法多样化，更注重引导学生体会证明的必要性，理解证明的基本过程，加强培养学生“说理有据”的意识；同时，降低对论证过程形式化和证明技巧的要求，旨在让学生掌握基本的证明方法，对课程内容中有关术语在文字表达上的要求也有所降低，试图做到“淡化形式”，对于这种改变，数学界有不同的声音，孰是孰非？不敢妄下结论。在西欧和北美的一些国家，传统的数学证明在教学中的地位也在逐渐弱化。7～9年级学生的证明水平现状究竟怎么样，势必会引起许多人的关注。在八年级数学教科书下（苏科版）“说理”一节教学中的一个问题引起了我们的思考。

探索：1.当χ=-5、- 、0、2、3时，计算代数式χ2—2χ+2的值，

与同学交流。

2.换几个说再试试，你发现了什么？你能说明理由吗.

在教学中，笔者发现学生在解答本题时存在两个困难：一是代数式的值大于等于1不会归纳。二是对恒等变换证明这种形式很陌生。因此，能正确回答这个问题的学生很少。事实上，在初中阶段，几何是发展学生证明推理的主要载体。在学生的心目中，证明题就等同于几何题。众所周知，证明不仅仅局限于几何，在代数中也存在推理证明。本文以“日历问题”为例，研究7～9年级学生的代数证明发展水平。

2.研究方法

2.1 问题的设计

在数学课程标准以及在七年级数学上册（苏科版）第一章第二节中，都出现了探索月历中数量关系的问题，鉴于此问题对初中生来说都比较熟悉，便以操作，笔者略作改编，作为此次问卷调查的题目。

观察月历

问题1 观察月历中带有阴影方框中的4个数：

（1）方框中左上与右下数字之积为

（2）方框中左下与右上数字之积为

计算：第（1）个积与第（2）个积之差为

问题2 观察月历中另一方框中的4个数：

（1）方框中左上与右下数字之积为

（2）方框中左下与右上数字之积为

计算：第（1）个积与第（2）个积之差为

问题3 在这张月历中，将方框上下或左右平移后，方框中的4个数之间还存在如上的结论吗？说明你的理由（无论成立与否都要说明理由）。

3·调查对象

在2010～2011学年第二学期3月份在苏州常熟X校（市区公立学校、每个年级有10个班、辖区招生）每个年级随机选择了两个班级（七年级87名学生，八年级77名学生，九年级78名学生）进行了问卷测试。同时我们又在常熟M校某个（公立农村中学、每个年级有6个班、生源主要来自本镇）每个年级随机选择了两个班级（七年级、八年级、……）进行了相同的测试。

4.研究的结果

4.1 代数证明水平的划分

根据学生的回答，我们把学生的证明水平分成两类：经验的证明和逻辑的证明。经验的证明，可以划分出两个水平。

水平1通过具体的例子解释结论的真实性。

问题3在这张月历中，将方框上下或左右平移后，方框中的4个数字之间还存在如上的结论吗？请说明你的理由（无论成立与否都要说明理由）。

学生答：成立。

因为左上角的数比左下角的数小7，而且右上角的数比左上角的数大1，又因为右上角的数比左下角的数小6，左上角的数比右下角的数小8，所以应该积小7。

第二类是演绎的证明，利用代数式的恒等变换获得一般结论。此时，学生的水平存在以下三个水平。

水平3用字母来表示数，但未达到水平4。

问题3在这张月历中，将方框上下或左右平移后，方框中的4个数字之间还存在如上的结论吗？请说明你的理由（无论成立与否都要说明理由）。

学生答：存在。

上下两个数之差为7

问题3在这张月历中，将方框上下或左右平移后，方框中的4个数字之间还存在如上的结论吗？请说明你的理由（无论成立与否都要说明理由）。

学生答：成立。

设左上角的数为χ，右上角的数为χ+1，左下角的数为χ+7，右下角的数为χ+8，

则：χ（χ+8）-（χ+1）（χ+7）=χ2+8χ-（χ2+8χ+7）。

问题3在这张月历中，将方框上下或左右平移后，方框中的4个数字之间还存在如上的结论吗？请说明你的理由（无论成立与否都要说明理由）。

学生答：成立。

设左上角的数为n，右上角的数为n+1，左下角的数为n+7，右下角的数为n+8，

则：左上与右下之积为n2+8n，

右上与左下之积为n2+8n+7，

差为7。

所以成立。

4.2 数据分析

第一，数据表明（如下页表1、表2）能用字母表示数来解决问题（也就是达到水平3以上）的人数偏少，X中学学生七年级占26.44%，八年级占35.06%，九年级占61.04%；M中学学生七年级占9.47%，八年级占15.85%，九年级占49.38%。

nlc202309020847

第二，学生的代数证明水平七、八两个年级之间无显著差异，九年级显著高于其他两个年级。X中学三个年级之间存在显著性的差异（χ2（10）=33.530， p=0.000）；七年级、八年级无显著差异（χ2（5）=8.364， p=0.137）；八年级、九年级有显著差异（χ2（5）=16.097， p=0.007）；七年级、九年级有显著差异（χ2（5）=21.624， p=0.001）。X中学三个年级之间存在显著性的差异（χ2（10）=64.775， p=0.000）；七年级、八年级无显著差异（χ2（5）=10.464， p=0.063）；八年级、九年级有显著差异（χ2（5）=28.202， p=0.000）；七年级、九年级有显著差异（χ2（5）=47.569， p=0.000）。

第三，学生的代数证明水平存在城乡差别。七年级（χ2（5）=24.141，p=0.000）；八年级（χ2（5）=18.799，p=0.002）；九年级（χ2（5）=14.416，p=0.013）。

第四，每个年级的性别之间无显著差异，整个参与调查的对象的性别之间无显著差异。X中学三个年级的男女生之间均无显著差异，七年级χ2（5）=7.626，p=0.178；八年级χ2（4）=4.253，p=0.373；九年级χ2（5）=9.673，p=0.085，M中学三个年级的男女生之间均无显著差异；七年级χ2（5）=10.315，p=0.067；八年级χ2（5）=1.757，p=0.882；九年级χ2（4）=6.607，p=0.158。

5.讨论

5.1 学生代数证明水平的发展受到了课程教材的影响

初三学生能从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识；形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。同时教材对“空间与图形”的主要关注点—推理与证明，进行了整体性设计，这些设计主要基于以下两点考虑：一是合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式，不是隔立的，更不是对立的，应当把它们有机地结合起来。二是数学教学需要形式化训练，但过早地形式化可能会使学生远离数学的本质。推理的本质是“有条理的思考和表达”，而不是：“∵……∴……（……）”的形式化证明。我们的调查时间是在第一学期，而教材把证明放在八（下）和九（上），从这个角度来看也表明课程有效地促进了学生逻辑性证明的发展。

5.2 数学代数证明水平与学生的性别差异有关系

1993年，国际数学教育委员会（ICMI）在瑞典专门召开过“性别与教育”国际研讨会，几名美国学者通过对部分小学老师的深入调查分析，认为在数学学习上确实存在着性别差异，而且这种差异随年级的升高逐渐增大，越是高认知水平的学习，男生的优秀就越明显。我国学者在这方面的研究结论大致有两类：一类认为，男、女两性的数学思维发展在总体上是平衡的，但在逻辑推理、掌握逻辑法则、辩证思维及空间想象等方面的表现，又是各具特色的；另一类则认为，男、女两性的数学学习水平在总体上有显著差异（个别差异不显著除外），男性要高于女性。通过这次调查，发现在初中数学证明水平方面男女学生几乎没有差异，原因可能是在经济相对发达的苏南地区，家庭、社会和学校对性别基本已无偏见，对男女生的期望值是一样的；在对数学成绩的要求上，家长和教师对男女生是相同对待；平时在学校教学中，教师对男女生要求是相同的，环境因素的影响已经很小了。

5.3 数学代数证明水平与家庭教育有关

家长也对“教育孩子”给予了很大的关注，对孩子的健康成长起到了越来越大的积极作用。但由于长期以来的城乡二元结构，导致城乡之间经济、文化发展不平衡，表现在教育上城乡还存在着一定的差距。从这次调查结果来看也符合了这一点，本次调查的两所学校从硬件设施和师资及教学内容上来看基本不存在差异，可能主要在于家庭教育上的差异：一是经济状况影响，为了给孩子提供更好的学习和生活环境，大部分的农村家长将更多精力用在工作上，很少有时间关心学生的课余生活。二是资料表明，农村人口比城镇人口受文化教育年限平均少2～3年，城镇居民再学习提高的时间和机会多。农村家长接受的教育较少，文化程度普遍偏低，相对缺乏自我约束力和调节力，从而给子女造成一定的影响。

篇5：线性代数题

问：1）能否求出A的特征值？说明原因。

2）A能否和一个对角阵相似，若能侧求出；否则，说明原因。

2.证明：与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系。

解：

（1）∵A^3=0 ∴|A|^3=0 ∴|A|=0，即|A-0E|=0,∴0是矩阵A的一个特征设λ为矩阵A的任一特征值，则存在非零向量x，使得Ax=λx

上式两边同左乘矩阵A，得AAx=(A^2)x=A(λx)=λAx=(λ^2)x

∴λ^2是3阶矩阵A^2的特征值。同理，λ^3是矩阵A^3的特征值。

即(A^3)x=(λ^3)x

又∵A^3=O,∴(A^3)x=(λ^3)x=0∵x≠0 ∴λ^3=0 即λ=0

即三阶方阵A的3个特征值全为0.（2）这题我觉得不能。

∵矩阵A能和对角阵相似的充分必要条件是存在n个线性无关的特征向量。对于题中的三阶方阵A，由（1）的讨论可知其三个特征值全为0.下面用反证法证明。

假设三阶方阵A能与对角阵相似。

则A存在3个线性无关的特征向量。

则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中有三个向量，即Ax=0的解集的秩为3 设Ax=0的解集为S，则R(A)+R(S)=n=3

∵R(S)=3,∴R(A)=0

即矩阵A的秩为0.当且仅当A=O

又∵根据题设条件，A^2≠O,显然A≠O，与上面推出的A=O矛盾

∴假设不成立，即A不能和一个对角阵相似

2、证明：

设齐次线性方程组Ax=0的基础解系为α1，α2，...，αr，设其基础解系的秩为r 设向量组β1，β2，...，βn是与Ax=0的基础解系等价的线性无关的向量组 ∵向量组β1，β2，...，βn线性无关∴向量组的秩R(β1，β2，...，βn)=n 又∵向量组α1，α2，...，αr与向量组β1，β2，...，βn等价

∴R(α1，α2，...，αr)=R(β1，β2，...，βn)=n即n=r

向量组β1，β2，...，βn中有r个向量β1，β2，...，βr

且向量组β1，β2，...，βr可由向量组α1，α2，...，αr线性表示

即对于其中任何一个向量βi=ki1*α1+ki2*α2+...+kir*αr

∴向量组β1，β2，...，βr中的每一个向量都是齐次线性方程组Ax=0的一个解向量又∵齐次线性方程组Ax=0的解集中的最大无关组的秩为r

∴向量组β1，β2，...，βr是Ax=0的解集中的一个最大无关组