美国数学建模竞赛讲座

美国数学建模竞赛讲座（通用6篇）

篇1：美国数学建模竞赛讲座

初一数学竞赛系列讲座(6)

整式的恒等变形

一、知识要点

1、整式的恒等变形

把一个整式通过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形

2、整式的四则运算

整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除，熟练掌握整式的四则运算，善于将一个整式变换成另一个与它恒等的整式，可以解决许多复杂的代数问题，是进一步学习数学的基础。

3、乘法公式

乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条：

①(a+b)(a-b)=a2-b

2②(a±b)2=a2±2ab+b2

③(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b

3④(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3

⑤(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca ⑥(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= a3+b3+c3-3abc ⑦(a±b)3= a3±3a2b+3a b2±b3

4、整式的整除

如果一个整式除以另一个整式的余式为零，就说这个整式能被另一个整式整除，也可说除式能整除被除式。

5、余数定理

多项式fx除以(x-a)所得的余数等于fa。特别地fa=0时，多项式fx能被(x-a)整除

二、例题精讲

例1 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？

分析 要得最小非负数，必须通过合理的添符号来产生尽可能多的“0”

19981199899919992解 因1+2+3+…+1998=是一个奇数，又在1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并不改变其代数和的奇偶数，故所得最小非负数不会小于1。

先考虑四个连续的自然数n、n+

1、n+

2、n+3之间如何添符号，使其代数和最小。

很明显 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 所以我们将1，2，3，…，1998中每相邻四个分成一组，再按上述方法添符号，即(-1+2)+(3-4-5+6)+(7-8-9+10)+…+(1995-1996-1997+1998)=-1+2=1 故所求最小的非负数是1。

例2 计算(2x3-x+6)•(3x2+5x-2)分析 计算整式的乘法时，先逐项相乘(注意不重不漏)，再合并同类项，然后将所得的多项式按字母的降幂排列。

解法1 原式=6x5+10x4-4x3-3x3-5x2+2x+18x2+30x-12 =6x5+10x4-7x3+13x2+32x-12 评注：对于项数多、次数高的整式乘法，可用分离系数法计算，用分离系数法计算时，多项式要按某一字母降幂排列，如遇缺项，用零补上。

解法2 2+0-1+6 )3+5-2 6+0-3+18 10+0-5+30-4+0+2-12 6+10-7+13+32-12 所以，原式=6x5+10x4-7x3+13x2+32x-12

例3 求(2x6-3x5+4x4-7x3+2x-5)(3x5-x3+2x2+3x-8)展开式中x8的系数

解 x8的系数=22+(-3)(-1)+(-7)3=-14 评注：只要求x8的系数，并不需要把展开式全部展开。

例4计算(3x4-5x3+x2+2)(x2+3)分析 整式除法可用竖式进行

解 3 x2 – 5x5x3 + x2 + 0x + 2 3x4 +9 x2 5x3-15x-8 x2+15x+ 2-8 x2-24 15x+ 26 所以，商式为3 x2 – 5x – 8，余式为15x+ 26 评注：用竖式进行整式除法要注意：

(1)(1)

被除式和除式要按同一字母的降幂排列；(2)(2)

如被除式和除式中有缺项，要留有空位；(3)(3)

余式的次数要低于除式的次数；

(4)(4)

被除式、除式、商式、余式之间的关系是：被除式=除式商式+余式

例5计算(2x5-15x3+10x2-9)(x+3)分析 对于除式是一次项系数为1的一次多项式的整式除法可用综合除法进行。用综合除法进行计算，首先要将除式中的常数项改变符号，并用加法计算对应项的系数。解-3 2 0-15 10 0-9-6 18-9-3 9 2-6 3 1-3 0 ∴ 商式=2x 4-6x3+3x2+x-3 评注：用综合除法进行整式除法要注意：

(1)(1)

被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用0补上；

(2)(2)

把除式x-a的常数项的相反数a写在各项系数的左边，彼此用竖线隔开；

(3)(3)

下移第一个系数作为第三行的第一个数，用它乘以a，加上第二个系数，得到第三行的第二个数，再把这个数乘以a，加上第三个系数，就得到第三行的第三个数，…，依次进行运算，最后一个数即为余数，把它用竖线隔开，线外就是商式的多项式系数。

(4)(4)

如果除式是一次式，但一次项系数不是1，则应把它化到1才能用综合除法。

例6已知x+y=-3，x3+y3=-18，求x7+y7的值

4分析：先通过x+y=-3，x3+y3=-18，求出xy，再逐步求出x2+y2、x +y 4，最后求出x7+y7的值

解 由x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)得-18=(-3)3-3 xy(-3)∴xy=1 又由 x2+y2=(x+y)2-2xy 得 x2+y2=(-3)2-21=7 而x 4+y 4=(x2+y2)2-2 x2y2=72-2=47 ∴(-18)47=(x3+y3)(x 4+y 4)= x7+y7+ x3 y3(x+y)= x7+y7-3 从而x7+y7=-843 评注：本题充分利用x+y和xy，与x2+y2、x 4+y

4、x7+y7的关系来解题。

例7 求证：(x2-xy+y2)3+(x2+xy+y2)3能被2x2+2y2整除

分析 如果将(x2-xy+y2)3与(x2+xy+y2)3直接展开，太繁，可将两个式子整体处理，分别看作a和b，然后利用乘法公式展开，可将计算简化。

解(x2-xy+y2)3+(x2+xy+y2)3 =[(x2-xy+y2)+(x2+xy+y2)]3(x2+xy+y2)[(x2-xy+y2)+(x2+xy+y2)] =(2x2+2y2)3-3(x2-xy+y2)(x2+xy+y2)(2x2+2y2)所以原式能被2x2+2y2整除。

评注：本题采用的是整体处理思想。

例8 试求x285-x83+x71+x9-x3+x被x-1除所得的余数。

解法1 x285-x83+x71+x9-x3+x=(x285-1)–(x83-1)+(x71-1)+(x9-1)–(x3-1)+(x-1)+2 因为x285-

1、x83-

1、x71-

1、x9-

1、x3-

1、x-1均可被x-1整除，所以，原式被x-1除所得的余数是2。

解法2 由余数定理，余数等于x285-x83+x71+x9-x3+x在x=1时值，即

3(x2-xy+y2)余数=1285-183+171+19-13+1=2 评注：本题两种解法中，解法1是通过恒等变形，将原式中能被x-1整除的部分分解出，剩下的就是余数。解法2是通过余数定理来求余数，这是这类问题的通法，要熟练掌握。

例9 研究8486，9892，…的简便运算，并请你用整式运算形式表示这一简便运算规律。

分析：观察8486，9892，…可得：它们的十位数字特点是8=8，9=9；而它们的个位数字和为4+6=10，8+2=10。则可设十位上的数字为a，个位上的数字为b、c，且b+c=10 解：根据上面的分析，设十位上的数字为a，个位上的数字为b、c，且b+c=10 则(10a+b)(10a+c)=100a2+10a(b+c)+bc =100a2+100a+bc =100a(a+1)+bc 评注：以后，凡是遇到上述类型的运算均可用此结果进行简便运算。如7278=10078+28=5600+16=5616

例10 已知关于x的三次多项式除以x2-1时，余式是2x-5；除以x2-4时，余式是-3x+4，求这个三次多项式。

分析：利用被除式=除式商式+余式的关系来解。

解：设这个三次多项式为ax3+bx2+cx+d(a≠0)，因为这个三次多项式分别除以x2-1和x2-4，故可设两个商式是：ax+m和ax+n，由题意得：

ax3+bx2+cx+d=(x2-1)(ax+m)+2x-5 ① ax3+bx2+cx+d=(x2-4)(ax+n)+(-3x+4)②

在①式中分别取x=1,-1，得a+b+c+d=-3，-a+b-c+d=-7 在②式中分别取x=2,-2，得8a+4b+2c+d=-2，-8a+4b-2c+d= 10

511a, b3，c，d833 由上面四式解得： 5311x3x2x83 所以这个三次多项式为3

评注：对于求多项式的系数问题常常使用待定系数法。

三、三、巩固练习选择题

1、若m=10x3-6x2+5x-4，n=2+9x3+4x-2x2，则19x3-8x2+9x-2等于 A、m+2n B、m-n C、3m-2n D、m+n

2、如果(a+b-x)2的结果中不含有x的一次项，则只要a、b满足()A、a=b B、a=0或b=0 C、a=-b D、以上答案都不对

3、若m2=m+1，n2=n+1，且mn，则m5+n5的值为()A、5 B、7 C、9 D、11

4、已知x2-6x+1=0，则

x21x2的值为()A、32 B、33 C、34 D、35 a3b3c33abc3abc5、已知，则(a-b)2+(b-c)2+(a-b)(b-c)的值为()A、1 B、2 C、3 D、4

6、设fx=x2+mx+n(m,n均为整数)既是多项式x4+6x2+25的因式，又是多项式3x4+4x2+28x+5的因式，则m和n的值分别是()A、m=2，n=5 B、m=-2，n=5 C、m=2，n=-5 D、m=-2，n=-5 填空题

abcabbccaabcabcabbccaabc7、设a、b、c是非零实数，则

8、设(ax3-x+6)(3x2+5x+b)=6x5+10x 4-7x3+13x2+32x-12，则a= , b=

9、x+2除x4-x3+3x2-10所得的余数是

10、若x+y-2是整式x2+axy+by2-5x+y+6的一个因式，则a+b=

11、(21+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)+1=

ca2bc

12、已知a、b、c满足2abca，则a+b-2c的值为

解答题

13、设x、y、z都是整数，且11整除7x+2y-5z，求证：11整除3x-7y+12z

14、计算：(4x4-6x2+2)(5x3-2x2+x-1)

15、计算：(8x 2-2x+x 4-14)(x+1)aa26，试求42aa1aa21的值。

16、已知

17、已知x、y、z满足条件

xyz3222xyz29x3y3z345 求xyz及x 4+y 4+z 4的值

18、当a、b为何值时，多项式2x4+6x3-3x2-ax+b能被多项式2x2-4x+1整除？

19、设P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d，a、b、c、d为常数，P(1)=1993，1P11P74P(2)=3986，P(3)=5979。试计算

20、一个关于x的二次多项式fx，它被(x-1)除余2，它被(x-3)除余28，它还可被(x+1)整除，求fx

篇2：美国数学建模竞赛讲座

1抽屉原则

抽屉原则的常见形式

一，把n+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有两个物体。

二，把mn+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，一定存在一个抽屉中至少有m+1个物体。

三，把m1+m2+…+mn+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，那么后在一个抽屉里至少放入了m1+1个物体，或在第二个抽屉里至少放入了m2+1个物体，„„，或在第n个抽屉里至少放入了mn+1个物体

四，把m个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，有两种情况：①当n|m时（n|m表示n整除m），一定存在一个抽屉中至少放入了个抽屉中至少放入了[mnmn个物体；②当n不能整除m时，一定存在一

]+1个物体（[x]表示不超过x的最大整数）

五，把无穷多个元素分成有限类，则至少有一类包含无穷多个元素。

注：背下来上面的几种形式没有必要，但应当清楚这些形式虽然不同，却都表示的一个意思。理解它们的含义最重要。在各种竞赛题中，往往抽屉原则考得不少，但一般不会很明显的让人看出来，构造抽屉才是抽屉原则中最难的东西。一般来说，题目中一旦出现了“总有”“至少有”“总存在”之类的词，就暗示着我们：要构造抽屉了。2容斥原理

容斥原理常常使用，其实说简单点，就是从多的往下减，减过头了在加回来，又加多了再减，减多了再加„„，最终得到正确结果。对于计数中容易出现重复的题目，我们常常采用容斥原理，去掉重复的情况。容斥原理基本形式：

nA1A2An|Ai1i|AiAjAiAjAk1n1A1A2An

1ijn1ijkn其中|A|表示集合A中元素的个数。3递推方法

许多竞赛题目正面计算十分困难，于是我们避开正面计算，先考虑n-1时的情况，在计算n时的情况比n-1时的情况增添了多少，然后写出一个递推式，这样就可以利用数列的知识进行解决，但一般要求根据递推式求通项的能力要比较强，是和擅长数列的同学使用。没什么具体解释，多多练习吧 4映射计数 个人认为映射计数绝对是计数方法中最经典的一种，常常能将复杂至极的问题简单化，变成人人都会做的普通题目。但是想熟练掌握往往是不容易的，要求有大量的习题积累，才能形成建立映射的能力。明确概念：对于y=f(x)单射：不同的x对应不同的y，即|x|≤|y| 满射：每个y至少有一个x映射，即|x|≥|y| 双射：即是单射又是满射，即|x|=|y| 倍数映射：|x|=m|y| mN,m1

注：双射即通常说的一一映射，有的人将双射理解为m=2的倍数映射或其他映射，这是不对的。不要从感觉上去理解。双射应当是“单射”“满射”的综合。

利用映射解题，一般是建立双射，将要证明的问题转化为其他的问题，但是计算总数不变。而我们不仅要会建立双射，也应会建立单射和满射，因为显然建立单射和满射是证明不等关系的极好方法，不可以忽略。利用倍数映射解决的题目，我目前还没遇到多少，但还是要时刻记着有这样一种方法。一，建立双射

集合{1，2，„„，2004}有多少个元素和为奇数的子集？

将正整数n写成若干个1与若干个2之和，和项的顺序不同认为是不同的写法，所有写法的种数记为A(n)；将正整数n写成若干个大于1的正整数之和，和项顺序不同认为是不同的写法，所有写法的种数记为B(n)，求证：A(n)=B(n+2)注：此题即为很好的映射计数例子。因为即便不用映射我们可以把A(n)求出来，再把B(n+2)求出来，然后比较后会发现两者相等，但这显然是超大工作量，如果使用了映射计数，我们只需用一些技巧，在A(n)和B(n+2)中建立双射，此题即得到证明。二，建立单射或满射

注：映射计数可能会有一定难度，如果觉得掌握不了也不要灰心，只要多练，时间一长自然就会了。

不等式与最值

1平均不等式

HnGnAnGn

等号成立当且仅当a1a2an 注意：运用平均不等式需注意各项均为正数！题外话：有很多同学十分“痛恨”这两个符号，总是看不懂，其实这两个符号是绝对好用的，并且以后会常常遇到，在大学课本中更是家常便饭，多看几次自然也就习惯了。例a,b,c,dR，且abcd1，求证：4a1分析：

为了凑出a+b+c+d，以便充分利用条件，将4a+1,4b+1,4c+1,4d+1视作整体，利用平均不等式。

2柯西不等式及其变形

nn2n2设ai,biR(i=1,2,…,n)，则

aibiaibii1i1i124b14c14d16

 其中等号成立，当且仅当

aibi为定值

注：这个式子在竞赛中极为常用，只需简记为“积和方小于方和积”。等号成立条件比较特殊，要牢记。此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数，因此应用范围较广。常用变形一：

若aiR，biR(i=1,2,…,n)，则 ni1ai2binaii1n注：要求bi为正数

bi1i常用变形二：

naii1n2n若ai，biR(i=1,2,…,n)，则

i1aibi

abii1i注：要求ai，bi均为正数。当然，这两个式子虽常用，但是记不记并不太重要，只要将柯西不等式原始的式子记得很熟，这两个式子其实是一眼就能看出来的，这就要求我们对柯西不等式要做到活学活用。例：

若5a6b7c4d1，求3a2b5cd的最小值。并指出等号成立的条件。分析：

由于a,b,c,d各项系数不同，而且既有1次项，又有2次项，显然要用柯西不等式。而且使用柯西不等式不受-7c这项的影响。使用时，注意写明等号成立条件，检验最小值能否取到。

柯西不等式推广——赫尔德不等式

2222若ai，biR(i=1,2,…,n)，p>1，q>1且1nnn11p1q1则

i1pqpqaibiaibi

i1i1注：这个式子成立的前提挺多，不难看出当p=q=2时，这个式子即为柯西不等式。

3排序不等式 4琴生不等式

首先来了解凸函数的定义

一般的，设f(x)是定义在(a,b)内的函数如果对于定义域内的任意两数x1，x2都有

fx1fx2xx2f1 22则称f(x)是(a,b)内的下凸函数，一般说的凸函数，也就是下凸函数，例如y=x2，从图像上即可看出是下凸函数，也不难证明其满足上述不等式。如果对于某一函数上述不等式的等号总是不能成立，则称此函数为严格凸函数。注：凸函数的定义为我们提供了极为方便地证明一个函数为凸函数的方法。这个方法经常使用。此外利用二阶求导也可以判断一个函数为凸函数，凸函数的二阶导数是非负数。凸函数具有的常用性质 性质一：

对于(a,b)内的凸函数f(x)，有 fxii1nnfxii1nn

注：此即常说的琴生不等式

n性质二：加权的琴生不等式

对于(a,b)内的凸函数，若ai1，则

i1nfaixii1afx

iii1n注：加权琴生不等式很重要，当ai1n时，即为原始的琴生不等式。

注：另外，对于上面有关凸函数和琴生不等式的部分，如果将不等号全部反向，则得到的便是凹函数，以及凹函数的琴生不等式。例

nnn设xi>0（i=1,2,…,n），xi1，求证：i1xi1xii1xii1n1 注：不仅要用琴生不等式，注意知识综合利用。

5利用二次函数的性质

一般来说，许多题目是涉及x，y，z三个量的证明题，由于二次函数的性质十分好用，因此凑出一个关于其中一个字母的二次函数，进而利用二次函数的性质可以解决最值问题。

例

设x,y,z≥0，且x+y+z=1，求xy+yz+zx-3xyz的最大最小值。提示：

将x=1-y-z代入，整理成关于y的二次函数，最值即为

1443z1zz214z3z2243z1，整理后不难得到z=0和z=1式分别取到最大值即可。

1.x,y,z0,且 xyz1.求证：x3和最小值0，然后只需举一例证明能够取到(1y)(1z)y3(1z)(1x)z3(1x)(1y)34(1)

2．设fxyzxyz, 其中x,y,z0,且x2y2z21.求f的最大值与最小值3.设a0,a1,,an0且a01.aiai1ai2,i0,1,2,n2,其中n2.求a0a1an的最小值。

.4．对于给定的正整数n，求最小的正整数，使得：

如果 a1,a2,,an1,2，b1,b2,,bn是a1,a2,,an的一个排列n。

就有

i1ai3nbiai.i125．设a1200214,an14(1an1),n2.求最小的实数使得x1,x2,,x20020.2k1Aka2002，其中Akxkk1xkxk1x2002k(k1)12nn2

6．设a1a2an0.且

i1a2i1.求证：

i1aiii11.7．设

nxi0,i1,2,,n.且

xi1i1.设x00.求证: n1i1xi1x1x2xi1f(x,y,z)xx8yz2xixn2.8.求证：x,y,z0.yy8xzyy8xz122zz8xyzz8xy112b221.9．求证：x,y,z0,f(x,y,z)xx8yz22.对原命题加强，证明：a,b,c0,且abc1.12a222112c2.10．设x,y,z0,xyz1.求fx1yzy1xzz1xy的最大、最小值。11．设

求最小的正数k，使得x,y,z0,有 x,yR.(x1)(y1)2.求xy的最小值12．

xxyyyzzzxkxyz.22213．设xi,yi,zi0, xiyizinnn0.i1,2,3,,n.且xiyizi1.i1i1i12n求 i11xiyizi2的最小值。

111，xia, b，14．设0ab,令fx1x2xnxxx2n1i1,2,3,,n.求f的最大值和最小值。

15．若x,y,zR, 且xyz2.则xyzxyz2.222三角函数

一、常用公式

由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式 sin21cos21cos

cos tan21cos1cos1cossinsin1cos

积化和差

sincoscoscos121sinsin

cossin12sinsin

coscos21cos sinsincos2和差化积

sinsin2sincoscos2cos22coscos22

sinsin2cos sin22

cos cos2sinsin22万能公式

sin22tan1tancos21tan1tan22

tan22tan1tan2

三倍角公式

sin33sin4sin4sin60sinsin60 cos34cos3cos4cos60coscos60 33三、三角函数求值

给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去

举个例子 246coscos求值：cos

777提示：乘以2sin227，化简后再除下去。

2求值：cos10cos50sin40sin80 来个复杂的

n设n为正整数，求证sini1i2n12n12n

另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲 四、三角不等式证明

最常用的公式一般就是：x为锐角，则sinxxtanx；还有就是正余弦的有界性。

数列 1给递推式求通项公式

(1)常见形式即一般求解方法

注：以下各种情况只需掌握方法即可，没有必要记住结果，否则数学就变成无意义的机械劳动了。

①an1panq

若p=1，则显然是以a1为首项，q为公差的等差数列，若p≠1，则两边同时加上

qp1，变为an1qpan p1p1q显然是以a1qp1为首项，p为公比的等比数列

②an1panfn，其中f(n)不是常数

若p=1，则显然an=a1+fi，n≥2 i1n1若p≠1，则两边同时除以p

n+

1，变形为

an1pn1anpnfnpn1

利用叠加法易得anpna1pn1i1fipi1，从而anpn1a1n1i1fi ip注：还有一些递推公式也可以用一般方法解决，但是其他情况我们一般使用其他更方便的方法，下面我们再介绍一些属于数学竞赛中的“高级方法”。(2)不动点法

当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。典型例子：an1aanbcand

注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。

我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了 令xaxbcxd，即cxdaxb0，2令此方程的两个根为x1，x2，若x1=x2 则有

1an1x11anx1p

其中k可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。注：如果有能力，可以将p的表达式记住，p=

2cad

anx1anx2若x1≠x2则有

an1x1an1x2q

其中k可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。注：如果有能力，可以将q的表达式记住，q=(3)特征根法

特征根法是专用来求线性递推式的好方法。

先来了解特征方程的一般例子，通过这个来学会使用特征方程。①an2pan1qan

特征方程为x2=px+q，令其两根为x1，x2

n则其通项公式为anAx1nBx2，A、B用待定系数法求得。

acx1acx2

②an3pan2qan1ran

特征方程为x=px+qx+r，令其三根为x1，x2，x3

nnn则其通项公式为anAx1Bx2Cx3，A、B、C用待定系数法求得。32注：通过这两个例子我们应当能够得到特征方程解线性递归式的一般方法，可以试着写出对于一般线性递归式的特征方程和通项公式，鉴于3次以上的方程求解比较困难，且竞赛中也不多见，我们仅需掌握这两种就够了。

(4)数学归纳法

简单说就是根据前几项的规律猜出一个结果然后用数学归纳法去证。这样的题虽说有不少但是要提高不完全归纳的水平实在不易。大家应当都会用数学归纳法，因此这里不详细说了。但需要记得有这样一个方法，适当的时候可以拿出来用。(5)联系三角函数

三角函数是个很奇妙的东西，看看下面的例子 an12an1an2

看起来似乎摸不着头脑，只需联系正切二倍角公式，马上就迎刃而解。

注：这需要我们对三角函数中的各种公式用得很熟，这样的题目竞赛书中能见到很多。例

数列an定义如下：a12，an124an，求an通项

2注：这个不太好看出来，试试大胆的猜想，然后去验证。(6)迭代法 先了解迭代的含义

f0xx，f1xfx，f2xffx，f3xfffx， f右上角的数字叫做迭代指数，其中f再来了解复合的表示

nx是表示

fnx的反函数

fgxfgx，fghxfghx

如果设Fxg1fgx，则Fnxg1fngx，就可以将求F(x)的迭代转变为求f(x)的迭代。这个公式很容易证明。使用迭代法求值的基础。

而在数列中我们可以将递推式看成an1Fan，因此求通项和求函数迭代就是一样的了。我们尽量找到好的g(x)，以便让f(x)变得足够简单，这样求f(x)的n次迭代就很容易得到了。从而再得到F(x)的n次迭代式即为通项公式。

2数列求和

求和的方法很多，像裂项求和，错位相减等等，这些知识就算单纯应付高考也应该都掌握了，这里不再赘述。主要写竞赛中应当掌握的方法——阿贝尔恒等式。阿贝尔（Abel）恒等式 有多种形式，最一般的是

nak1kbkSbkk1n1kbk1Snbn

其中Skkai1k

注：个人认为，掌握这一个就够了，当然还有更为一般的形式，但是不容易记，也不常用。Abel恒等式就是给出了一个新的求和方法。很多时候能简化不少。例：假设

篇3：在美国参加数学竞赛

中国学生对待数学竞赛, 就像是一群“敢死队”队员, 没日没夜地做题, 大量的辅导书, 五花八门的培训班, 足以让参赛学生忙得不亦乐乎。对他们来说, 竞赛意味着荣誉, 意味着成就, 意味着可以有“特长生”的称号, 意味着高考可以加分……在这么多诱惑与激励下, 很多学生都愿意牺牲放松的时间, 坚持努力一两个月, 来换取一个“一等奖”。

而在美国, 数学竞赛则完全是另外一回事。虽然性质差不多, 但是那里的学生并不那么在乎结果, 参加过了, 感受过了, 自有收获。这些学生中很多是数学爱好者, 他们参加竞赛完全是出于兴趣爱好, 以及想挑战一下自己的能力。我注意到一位同学, 他的数学能力在班上算是数一数二, 也参加了数学竞赛。我向他请教有什么准备的方法, 他笑着说我想得太复杂了, 其实他也没有做什么特别的准备, 只是上好每一堂课, 自己研究研究感兴趣、有意思的数学问题罢了, 再加上看一些往年的题目, 然后就自信地进考场了。我有点惊讶, 但也意识到, 在这里, 没有多少人会把大量的精力放在竞赛上。

于是, 我也稍稍改变了自己的态度, 以最少的时间、最高的效率来准备数学jis竞赛。虽然没有疯狂地做题目, 但还是有一些困难等着我去克服, 比如语言上的hiz问题, 还有一些没有学过的知识。在准备过程中, 我认识了数学办公室里的Mshuy Elliot。她给我提供了许多往年的资料, 帮我梳理了一些新知识, 给我介绍了不少e考试技巧, 可以说是我的参赛领路人。我非常高兴能认识这样一位好老师。

接下来, 一次次竞赛就如期而至了。而在所有的竞赛中, 令我印象最深刻的还是美国中部大平原数学联盟举办的数学竞赛。它独特的合作形式, 让原本枯燥乏味的竞赛变得格外有趣。

在这一竞赛中, Power Question, Team Round和Relay, 每一个任务都要由几个同学共同完成。这个看似容易的形式, 很容易让人产生依赖心理, 总期待着其他队员能够完成所有的题目。于是, 如何很好地分配、合作完成任务, 便是每一个小组共同面对的问题。在Power Question中, 我们4位交流学生和另外两位SLUH圣路易斯大学高中的同学分到一组。不能解出前面的题目, 就意味着不能继续做后面的高分值题目。我们6个人分成几组, 每组研究一个问题。在解题过程中, 我明显感觉到我们4个人和另两位同学交流不够, 有时候都不知道他们解出了哪些题目, 进展一直不太顺利。时限快到了, 我赶忙向他们请教一些名词的意思, 这才意识到之前走错了方向, 立即在纸上奋笔疾书, 但还是未能全部完成, 带着遗憾交出了答卷。

第二轮, Team Round。这次我们吸取了前面的教训, 给每个人分配了不同的题目, 独自解决, 然后报上答案。事实证明, 这下效率大大提高, 20分钟10道题, 我们做出了7道, 有一些还经过了几个人的讨论。这是整个过程中合作最顺利的一次。

第三轮, Relay。这是最有意思的一个环节了。3个人一组, 每人有自己的题目, 前一个人的答案就是后一个人的已知条件。很显然, 3人中每一个人都十分关键, 只要有一个人出错, 那么这一轮就肯定失败了。经过一番激烈的讨论, 我被分配为一组的第三名成员。我知道, 即使前两个人的答案正确, 只要我这里出了问题, 也就功亏一篑了。总共5道题, 虽然不是特别难, 但是由于有时间限制, 有些题目还是解得太匆忙, 犯了一些细小的错误。也许, 这种无声的合作, 我们还没有完全领会吧。

篇4：美国中学生的数学达人竞赛

人各有长，对于大女儿的数学，我也就不寄予厚望，直到她上了中学。

首先是被分到资优班，这没什么，美国小孩的数学都差，九九乘法背不起来，手指脚趾齐用的人比比皆是。大女儿能进数学资优班，大概是因为我特别买数学练习本给她在家练习的成果。别想说这是多难的练习喔，是在超市买的，给小学不同年级的练习本，有很多彩色图片，每页大约十题的练习，而且由于学校很少布置家庭作业，我又不知道进度，只能从头让女儿做，一天一页，不懂的再教。

参加数学社团

大概是女儿开窍了吧，很令人惊讶地，六年级升七年级时，她居然通过前代数测验，直接上相当于九年级的高中代数，接下来又上高中几何，这学期还突然抱回一个数学之星的奖！然后某天，她跟我说，想参加课后一个数学俱乐部，Mathcounts club。

“参加这个社团多久要去一次啊？”我很怕开车，每个星期开车去买一次菜就很烦了，如果两个女儿各参加一个要留校的活动，就得开三次车！这是我的极限！

“老师没说，但是大概一个月一次。”

这个数学社团在做什么呢？难道就是几个小孩一起讨论数学题目吗？怎么有人要参加啊？第一次活动结束后，我问：“好玩吗？有几个人去啊？”

“还好啦，只有五个人，但是老师说会有数学比赛喔！我们会代表学校参加比赛！只是题目好难，我会做的没几题，每一题都要花好多时间。”女儿真是变成比赛狂了！一听到比赛眼睛就亮起来！

“真的啊？我看看。”我不讨厌数学，也不太怕数学，可是一看……哇，是我早已忘光的三角函数！好难喔！“没关系啦，反正是课外活动。”

我不太觉得数学是女儿的专长，愿意多花时间就已经让我很偷笑了！所以接下来有几次的活动改成星期五放学后，我都没让女儿去，因为那是去前夫家的日子。

全郡数学竞赛

就这样混了几个月，断断续续总共做了三四次练习，老师发了一张通知单，上面有比赛日期，是在星期六，而且说，每个学校只能有一个正式代表队，总共四名成员，多出来的学生就只能算是非正式代表，不计分，也就是说，参加好玩的啦！

我问女儿：“你想去吗？”

“我不知道，是在星期六，而且有个人赛，还是限时答题！我不是速算型的人，我喜欢有充分时间慢慢想。”

“要不我打电话去问老师，看她是把你归在正式比赛组？还是非正式组？如果是非正式，就不用去啦！”

结果一通电话，让我对女儿刮目相看！老师居然极力称赞女儿，说她的程度算是最好的！当然被分在正式比赛组，还很可能可以晋级州赛，不去可惜！

“可是比赛规则说要带计算器，我家里没有。”那是高中数学专用的计算器，一个要美金一百五左右！学校对这些跳级上高中几何的孩子很好，提供免费的计算器在校使用。

“别担心，我会带学校的计算器借她。”老师回答。

参加比赛只是观摩

这个小郡，相当于我们中国的县，有十所公私立中学，来参加比赛的只有八所，有一所学校还只有一名学生参加，可见也是自愿性质，而非经过全校比赛选出的参赛队伍，老美小孩对数学有兴趣的实在很少啊！牵牵学校总共凑了五名，其中两名是双胞胎黑人女孩、一名印度男孩、加上牵牵是亚裔，只有一名是纯白人，真像个小联合国。

牵牵的数学老师说：“今年是我们学校第一次参加比赛，来观摩的啦，不用有压力。”

比赛的前两回合是个人组，第一回合有三十题速算题，计时四十分钟，不能用计算器；第二回合也是四十分钟，但是可以用计算器的速算题八题；然后是第三回合的团队组十题，二十分钟，允许用计算器。这三回合都不公开观赛，而是在教室作答，中间有十分钟休息时间。

唯一的公开赛是第四回合的倒计时赛，说起来也是速算，总共三题，限时四十五秒抢答。但是此回合的比赛结果不计分，跟是否能进州赛没关联，只会颁给前四名奖杯。为什么呢？因为这回合是让主办单位有时间计分、家长和参赛者有戏看的娱乐性质，由第一回合排名前十六名的学生参加。

宣布前十六名的顺序是从第十六名开始，感觉反而更紧张，没上榜的失望之余，还能有可能名次更高的希望！唱名到第十二名时，牵牵学校的印度裔组员上榜了！怎么还没有女儿的名字呢？我闭起眼，有些失望……哇！居然真的听到女儿的名字耶！她是第十名！天啊，我怎么能生出这么棒的小孩啊？

紧张刺激的公开赛

公开赛非常刺激，讲台上有大屏幕打题目，十六名决赛者两两随机捉对，坐在两位裁判前做题，三题中答对题数多的获胜，如果平手得继续换题到有一人胜出为止。这项数学达人竞赛的对象是六到八年级的学生，但是多数参赛者都是七年级以上，公开作答让心情更紧张，牵牵的组员先比，输了，换牵牵。

我和小女儿走到前方拍照录像。我拉近拉远拍各种镜头，没注意到女儿居然起身答题！还答对了！进入前八强了！来看一下有什么样的题目。

0.4818181……81循环，如果换算成分数的话，分母减分子的答案是什么？

这好像可以慢慢算出来，可是要速算又不能用计算器，我的脑筋就没辙啦！牵牵最后差强人意，没能进入前四强，刚好跟奖杯擦身而过。不过，在宣布学校排名时，她的学校居然不是最差，是团体组第五名，幸运拿到一个奖牌！团体组前两名可以参加州赛，但是参加州赛的组员不能再参加个人组比赛，最后公布进入个人组州赛的名单时，牵牵居然因此挤进最后一名。

晋级数学州赛

州赛的比赛场地在开车离我家约两小时的大城，巴尔的摩，约翰霍普金斯大学，时间在三星期后，老师丢了一本数学题库给牵牵，说：

“你可以自己练习，不用留校，有问题再问我，计算器我也会再帮你带去。”

能参加州赛有什么好处呢？只有一张奖状，但是终于可以有一件免费ㄒ恤啦！

篇5：美国数学建模竞赛讲座

在美国、中国 和大多数除了英国、澳大利亚和一些前英国殖民地的国家，多车道高速公路常常有这样一种规则。司机必须尽量在最右的车道行使，只有超车时，司机才可以向左移动一个车道来达成目的。当司机超车完毕后必须回到原车道继续行使。

建立并分析一个数学模型，使得这个模型能够分析这个规则在交通高负荷和低负荷情况下的表现。你可以从许多角度来思考这个问题，比如车流量和车辆安全之间的权衡，或者一个过快或过慢的车辆限速带来的影响等等。这个规则可以使我们获得更好的交通流？如果不可以，请提出并分析一个替代方案使得交通流得到优化、安全得到保障、或者其他你认为重要的因素得到实现。

在靠左行使才是规则的国家，论证你的解决方案是否可以通过简单的变换或者通过增加一些新的要求来解决相同的问题。

最后，以上的规则的实行是建立在人们遵守它的基础上的，然而不是所有人都愿意去遵守。那么现在我们使同一条道（可以只是一段，也可以是全段公路）上的交通车辆都在一个智能系统的严格控制下，这个变化对你之前的分析结果有多大的影响？

问题B：体育画刊是一个为体育爱好者们设计的杂志。这个杂志正在寻找上世纪女性或者男性的“历来最优秀的大学教练”。建立一个数学模型，从男性或者女性体育教练中选择最好的大学教练（退役或者在役的都可以）。这些体育教练可以是大学曲棍球、陆上曲棍球、足球、橄榄球、棒球、排球、篮球的教练。你选择划分的时间会对你的分析有影响吗？也就是说，1913年的教练方式和2013年的会有什么不同吗？清楚的阐述你的评估方式。讨论你的模型如何通用于两性教练和所有可能的运动项目上。用你的模型为三项体育项目分别找到五个最佳教练。

篇6：美国数学建模竞赛讲座

团队水平基本决定了最终结果的上限——在美国赛，差团队是无可能做出好结果的（这点与国赛不同）无论队员还是导师，猎取的优先级都应该是这样： 1.2.3.4.没过得奖但有经验的：这种动力最足

得过奖的：如果后来参赛成绩还不如之前，对人对己都交代不过去 没经验但想得奖的：大多数

没经验、想打酱油：不光说队员，还要留意导师，你懂的^_^ 这跟创业组队一样，别在乎现在神马光环，关键看的是将来能够付出多少。必须保证团队里每个人都有共同的愿景和强大的动力，否则内耗是迟早的事。

高手和好导师都是稀缺资源，下手越早收获可能越大，想找高手：   你必须也是个高手，至少某方面特长能给人信心；

必须保证团队间能衷诚合作，互相鼓励/配合——这点与谈恋爱一样，要经一定时间的磨合和考验，才能看得清；  保证每个人的弱点能有效弥补，即便是高手全才也不多，对其弱点如果没有合适的人弥补，结果可能还不如实力平均的队伍；  要能顶得住本校其他队的竞争，比如挖人、争导师、抢机房等等——人才太多没办法，哎～

总之，除了主动出击、笨鸟先飞之外，还要求一定的口碑、人脉和组织能力、观察精准、明决善断，敢于取舍。

二、装备篇：  数值工具：各种软件和代码操弄熟练是基本要求，软件不必求多，但每款特色部分一定要尽可能熟。长的代码尽量拆成短的，而且要调通测试过，关键地方注释好，比赛时，宝贵的时间用来debug是不值的；  信息检索： 搜索引擎技巧是根本，其他信息含量都不太高，国内各种数理论坛算是基础，国外各种资源尽量积累（免费论文库、wiki、各大数值软件官网、专业论坛、大牛的blog/twitter、stackoverflow、quora……不会翻墙的要尽量先弄清楚，不然有的资源打不开或者下不到哦），图书馆的国外学术资源也别忽视；   写作软件：有时间精力的同学学一下LaTeX，实在没时间的将就用word转pdf吧； 资料积累： 钱少的同学可以下outstanding论文，仔细研究（新浪爱问和madio上能下到2011年前的）；钱多的可以买comap的杂志，不只为看论文，主要看每题的综述，了解那一题当年的答题情况和阅卷人的思路（我那几年国内有卖的，之后几年没关注了，不清楚现在哪能弄到）。

赛前准备程度基本决定了比赛的时间充裕度，赛前准备不足往往要靠比赛时不眠不休、争分夺秒拼命抢时间来弥补，这种情况下能做出多少创造性工作就难说了。

三、练级篇：  练习：练习的时候要根据队伍的特点有针对性的训练提高——模型方面，多积累实际问题产生背景，注意培养思考的深度，善用发散和逆向思维；实现方面，注意提升各种算法求解效率的方法，多积累算法调试、测试、参数调整、有效性检验等方面的经验；

 比赛：最理想是国赛前定下美国赛队伍，拿国赛练级攒经验比较恰当。其他如教工杯之类的比赛，鉴于真实比赛环境和练习的机会不多，建议当成美赛认真练。只要认真练，几次真赛历练之后，建模和配合方面问题就不应该太大了。

 学术论文写作：难点不是专业词汇或格式排版的问题，这些问题阅卷人可能会对外国参赛者宽容些，真正困难是表达如何逻辑清晰严密、符合学术规范了。有条件的最好找英语国家教授或学术期刊编辑帮忙不断改，找不到就只能是找海归教授、理工专业外国留学生将就了，再没条件的只能研读outstanding和英文经典论文了。

最难练的是英语学术写作这关（这个问题当年我也没处理太好），这块短板往往决定最终成绩的下限，文章写得好，多普通的工作至少人家明白——可要是看不懂，悲剧的可能性很高。

四、打boss篇：

终于写到真正比赛了，然而，到这阶段，最终成绩范围已经决定了，能改变的东西也不太多了，这里能写的也不多了，主要是一些细节：   比赛报名：提前准备好visa或master card，名字和地址不要写错；

作息：要看各队情况了，原则是保证效率、不打乱节奏。前期都很亢奋，但如果打乱节奏可能导致后面疲劳期时效率过低，其实美国赛截止时间并不是很严格，前期利用好亢奋期和每天的高效率时间的话，到了疲劳期还能继续坚持下去，否则就是给你再多时间都无法持续下去。对那些想尝试达芬奇睡眠法的同学，建议先在之前比赛和练习时充分适应，避免临时改变作息方式，打乱节奏，降低效率；  引用：如果copy了整段的原始论文，一定要注明来源——07年就出过outstanding奖因为引用的问题被收回的事。这是原则问题，千万注意！ 邮寄论文：提前联系邮局/快递，确认好邮局每天邮寄时间，以倒推截止时间，事实上这么多时间，很少有人能用满——这给了慢热队伍一个优势，之前练习也应先关注深度和质量，再考虑速度和效率；之前比赛的时候，交完论文的几天别闲着，继续魔鬼训练——对做到极致的模型再完善深化，对论文结论再推广演绎，甚至还要演练英文写作。最后，希望大家对成败看淡些，把得什么奖励当成游戏杀boss的掉落——在默认得奖范围内进行一次随机取样：

所以得了O奖也别浮躁，只是说明你队伍水平确实好，没得奖倒是要好好检讨，至少要明白失误的地方。