数学竞赛（精选十篇）
数学竞赛 篇1
1. 数学竞赛的简史
数学是锻炼思维的体操, 以数学为内容的竞赛已有悠久的历史。在6世纪, 意大利的Tartalia和Cardano曾以解一元三次方程为内容进行过激烈的竞赛。在9世纪, 法国科学院等也曾以悬赏的形式征求对数学难题的解答, 通过有奖比赛而得到重要的数学发现。
现代意义上的数学竞赛是1894年在匈牙利开始的。1894年, 为纪念数理学会主席埃沃斯荣任教育大臣, 数理学会通过一项决议: 举行以埃沃斯命名的, 由高中学生参加的数学竞赛, 每年十月举行, 每次出三题, 限4小时完成, 允许使用任何参考书, 试题以奥妙而奇特的形式见长, 一般都有富创造特点的简明解答。这一数学竞赛对匈牙利的数学发展起了很大的促进作用, 除因两次世界大战及1956年的“匈牙利事件”中断了7届外, 迄今已举行了90多届。前苏联的数学竞赛开始于1934年, 美国的数学竞赛则是1938年开始的。这两个国家除第二次世界大战期间各停止了3年外, 均已举行过50多届, 其他有长久数学竞赛历史的国家是罗马尼亚 ( 始于1902年) 、保加利亚 ( 始于1949年) 和中国 ( 始于1956年) 。
2. 数学竞赛的发展
数学竞赛活动是由个别城市, 向整个国家, 再向全世界逐步发展起来的。例如前苏联的数学竞赛就是先从列宁格勒和莫斯科开始, 至1962年拓展至全国的, 美国则是到1957年才有全国性的数学竞赛的。
数学竞赛活动也是由浅入深逐步发展的。几乎每个国家的数学竞赛活动都是先由一些著名数学家出面提倡组织, 试题与中学课本中的习题很接近, 然后逐渐深入, 并有一些数学家花比较多的精力从事选题及竞赛组织工作, 这时的试题逐渐脱离中学课本范围, 当然仍要求用初等数学语言陈述试题并可以用初等数学方法求解。
2009年以来, 我国开始举办一年一度的“全国大学生数学竞赛”。作为一项面向本科生的全国性高水平学科竞赛, 全国大学生数学竞赛为青年学子提供了一个展示数学基本功和数学思维的舞台, 为发现和选拔优秀数学人才, 并进一步促进高等学校数学课程建设的改革和发展积累了调研素材。
全国大学生数学竞赛是由中国数学会主办, 各省数学会承办的一项学科竞赛, 旨在培养人才, 服务教学, 促进高等学校数学课程的改革和建设。到目前为止, 该赛事已连续举行了5届, 参赛人数逐年增加, 第五届竞赛参赛人数达5.2万多人, 已经成为全国影响最大, 参赛人数最多的学科竞赛之一。
二、数学竞赛在数学教育中的作用
数学竞赛是在数学学科中展开的智力竞赛活动, 是数学教育的重要组成部分。数学竞赛的积极作用在于其内容具有开放性、趣味性和综合性, 方式具有激励性、选拔性和交流性等特点。契合了青年学子争强好胜、思想活跃、求知欲强的心理特征。因此, 数学竞赛有利于激发学生学习数学的热情和竞争进取意识, 有利于发现和培养优秀人才, 促进教学改革, 提高教学水平。其作用主要体现在:
1. 有利于激发学生学习数学的兴趣
兴趣是指人们积极探索某种事物的倾向, 对数学学习起着至关重要的作用。由于数学竞赛试题构思独特、新颖别致、灵活深邃, 这将激发参赛学子的上进心, 激发他们的创造性思维。他们在参加数学竞赛时, 往往被题型的生动性和趣味性、解法的技巧性和创造性所吸引, 被解题中所展现的神奇的智慧和艺术般的魅力所折服。当他们独立地解答竞赛试题时, 全神贯注、紧张思维、积极探索、处于高度兴奋的心理状态。当他们解题成功以后, 会体会到灵感突然来临的惊喜, 同时又会体验到数学思想的智慧光辉和数学方法的创造力量。所有这些都将极大地激发他们学习数学的热情, 从根本上消除他们学习的被动因素, 学生会将学习视为自己生活的一部分, 最大限度地挖掘自己的潜能, 也提高了自主学习的能力。
2. 有利于培养学生的数学思维与创新能力
人们称数学是锻炼思维的体操, 一个人思维水平的高低很大程度上取决于数学学习的状况。数学思维能力包括分析、综合、归纳、推理、演绎等, 数学思维的培养对于一个人的综合能力起到了至关重要的作用。数学竞赛活动考察的是数学思维和数学能力, 因此数学竞赛的本质是数学思维的学习。数学竞赛的大多数问题没有现成的答案, 也不能套用现成的模式, 要靠充分发挥自己的创造性去解决。这就要求学生必须有创造性思维和创新意识, 利用自己已有的知识, 选择合适的思路和方法, 巧妙而有效地解决问题, 从而使大学生的创造能力得到提高。另外, 数学活动中的新思想、新方法来源于发散思维, 发散思维是数学创新的重要组成部分。加强发散思维的指导, 是培养学生创新思维的重要环节。数学竞赛为学生提供了锻炼发散思维的环境和空间, 它能使学生的思维活动得到充分发挥, 并逐步认识、应用和发现数学规律, 提升学生的创造性思维, 掌握创新的知识、方法和技能。
3. 培养学生的科学态度与探索精神
数学竞赛的内容, 是教学的要求, 也是竞赛的最低要求。在竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力, 特别是对方法与技巧掌握的熟练程度有更高的要求。数学竞赛不同于一般的数学考试, 它是一种智力竞赛而不是单纯知识竞赛, 所以其试题具有灵活性、开放性、挑战性、探索性和趣味性等特点。学生在思考解决问题的过程中, 需要付出相当大的精力和时间, 有利于培养学生面对困难时候的毅力、养成良好的心理素质。学生要在竞赛中有所建树, 不但要具有渊博的知识, 还要具有稳定的、良好的百折不挠的意志力。一个竞赛题目的完整解答, 需反复尝试, 不断思考, 改变解题方法。没有艰辛就没有成功, 必须从点滴做起, 持之以恒, 才能获得成功。
数学竞赛是一个非常艰辛的探索过程, 通过这一过程不仅可以培养学生刻苦勤勉的态度、百折不挠的精神、坚毅不拔的毅力, 还可以培养学生经得起失败、挫折、打击和克服各种困难的心理素质与精神状态。
4. 有利于教师教学水平的提高
数学竞赛题目比较新颖, 有创意, 富于思考, 许多问题超越了教学的基本要求。教师要辅导学生参加竞赛, 必须要有较好的数学素养、教学方法, 在解题能力和表达能力方面也有较高的要求, 这就促进教师自觉地钻研业务, 不断地更新知识, 因而对教师的专业化成长大有裨益。
在辅导学生的过程中, 教师要根据学生的不同基础、不同水平、不同兴趣和发展方向给予具体的指导。教师应引导学生主动地从事数学活动, 从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。教师应激发学生的求知欲, 鼓励学生求同存异, 帮助他们在自主探索和合作交流的过程中, 真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学的思想和方法, 获得广泛的数学活动经验。这都对教师提出了很高的要求, 教师要不断提高自己的数学素养, 注重学习新知识、新理念, 探讨新教法。教师在进行数学竞赛的教学活动中, 不仅充实了自己的知识, 也提高了自己的教学能力和教学水平。
三、数学课程的教学改革实践
数学竞赛活动是数学教育改革和实验的一种形式, 是常规教学的有益补充, 是对日常教学中数学知识的延伸、综合、重组与提升。数学竞赛活动对现有工科数学的教学内容的更新和发展起着重要的促进作用。
如何使数学竞赛真正的发挥作用, 使数学竞赛的活动真正起到促进数学教育改革的作用, 是每一个数学教育工作者必须思考的课题。
1. 教学内容的调整与更新
数学的教学改革应以改革教学内容, 改善学生的知识结构, 注重素质教育为重点。要用现代的数学思想、观念和方法来组织和处理传统的教学内容。要加强数学思想方法和现代数学观点、现代数学的基本概念和基本方法的传授。
在教学过程中有意识地培养学生的数学素质, 注重数学思想的介绍、思维过程的介绍、推理论证思路的延续等。有针对性地介绍一些相关学科的发展动态和研究现状, 开阔学生视野, 增强学生对数学学习的兴趣。
2. 数学竞赛辅导与指导工作
为了激励学生学习数学的兴趣, 进一步推动高等学校数学课程的改革和建设, 提高大学数学课程的教学水平, 培养大学生分析问题、解决问题的能力, 学校及时启动了全国大学生数学竞赛辅导工作。精心挑选有多年教学经验的优秀高等数学课主讲教师成立了数学竞赛辅导组, 为参加竞赛的同学进行有针对性的授课和辅导。利用较短的时间让参赛同学提高适应比赛的能力和熟悉试题的形式及难度, 为参赛同学取得好成绩铺平了道路。
3. 数学实验班 ( 精英班) 的研究
为了对具有较好数学素养和较强数学能力的同学进行进一步的强化训练和培养, 学校在电气学院和机械学院的新生中, 选拔了5% 的数学基础好的学生成立了数学 ( 精英) 实验班。
通过对教学内容的更新和拓展及教学模式的改革, 传授科学发现的基本原理, 突出数学的思想和方法, 提高了学生的数学人文素养, 增强了创新意识和触类旁通能力, 从而实现了实验班学生数学素质全方面的整体提高。其最终的目的就是探索新的高等数学类课程的教学模式, 为培养创新型人才探索一条新的途径, 同时为学生参加数学竞赛做必要的知识储备。
摘要：在介绍数学竞赛的简史及其发展的基础上, 总结了数学竞赛在数学教育中的作用, 并对新的高等数学类课程的改革进行了讨论和探索, 以期为培养创新型人才探索一条新的途径。
关键词：数学竞赛,数学教育,数学思维,教学改革
参考文献
[1]王元.数学竞赛之我见[J].自然杂志, 1990, (12) :787-790.
[2]李志平, 张垚.对中国数学竞赛教育的几点思考[J].数学通报, 2005, (10) :59-61.
[3]泽西.数学竞赛与素质教育[J].西藏科技, 2002, (10) :37-39.
[4]房宏.关于在大学生中开展数学竞赛的思考[J].天津农学院学报, 2008, (4) :52-53.
小学数学口算竞赛(计算竞赛) 篇2
诚之意辅导中心 小学数学 计算竞赛
姓名：成绩：
一、直接写得数
50×70=30×80=21×40=98-9=460-35=31×30=580-140=5×150=
120×7=300×30=11×80=215+60=25×30=36×3=24×5=350-90=
130×40=9×60=18×40=16×50=70×140=20×150=33×40=210÷3=
3×28=670-90=180×2=52×60=90×17=56+80=3000÷5=29×300=
500×13=20×25=14×80=24×800=25×400=0×130=260×5=240×3=
100÷2=170+3=210×4=15×20=135-65=20÷4=100-30=40×30=
100×22=30×26=6×20=40×12=280×3=220×3=380+70=300+800=130×9= 31÷5=520-60=45×20=66÷6=72÷2=360×3=30×6+12=95÷5=98×5=
18×2×50=140×6=58+92=210-90=44×6=20×12×5=0.32×5=1.8÷0.3=
3.2-0.1=0.27÷0.03=7.65÷0.85+1.1=23.4÷5.2×3.2=240×3=24×7÷24×7=
二、简便运算。
5.5×8.2＋1.8×5.50.25×0.89×436×97—58×36+61×3646×1012.35+1.713+0.287+7.6
5三、在〇填上“＞”、“＜”或“＝”
250×20〇25×20015×50〇16×50171×40〇20×34026×300〇600×13180×5〇160×6
47×100〇470×10720÷36÷2○720÷（36÷2）192＋（95－75）○192＋95－75
42×16○19×39125×8×25×4○125×8+25×4
四、竖式计算。
223×33=328×25=405×17=370×50=0.37×2.4＝1.55÷3.8≈（保留一位小数）
475×55=430×45=669×13=9156÷128.8×1.2
5五、附加题：在□里填上合适的数。
①□28× 98≈ 30000②□96×48≈ 20000
③□ 4 □□ □
×□ 6×9□□□ 06 □ □
□□56 □ 4□□□□ □ □ 8
数学竞赛中的数学思维 篇3
一、形象思维
数学中形象思维是凭借各种形象来思考、表述和展开数学问题的思维活动。形象思维的形式有：意象、联想、想象。
例1：六年级有学生54人，每人至少爱好一种球，其中爱好乒乓球的有40人，爱好足球的有20人，爱好排球的有30人。既爱好乒乓球又爱好排球的有18人；既爱好足球又爱好乒乓球的有14人；既爱好足球又爱好排球的有12人，对于这三种都爱好的有几人？
分析：我们用韦恩图（画三个圆）表示题中的数量关系，三个圆两两相交，分隔成7块，设三种都爱好的有x人，那么每一块所表示的意义就一目了然了。（如图）
解：设三种都爱好的有x人，列方程：（8+x）+（18-x）+（14-x）+x+x+（12-x）+（x-6）=54
x+46=54
x=8
本题通过画图，把题中的各个数量以及数量之间的关系清楚地呈现出来，把繁杂的数字用具体的形象来展现。
二、直觉思维
数学直觉思维是直接反映数学对象、结构以及关系的思维活动。这是数学直觉思维的本质特征，数学在一定程度上就是在问题解决中得到发展的，问题的解决也离不开直觉。
例2：计算■+■+■
分析一：三个分子都是1，分母都是三个连续自然数的乘积，这样我们想到用“裂项相消”的办法。
解法一：原式=■×（■-■）+■×（■-■）+■×（■-■）
=■×（■-■+■-■+■-■）
=■×（■-■）
=■
分析二：由于项数不多，故采用通分计算。
原式=■+■+■
=■
=■
“裂项相消”是竞赛中常用的，本题也可采用，但优势不大。但若碰到：
“求■+■+■+...+■的值”时，用“裂项相消”的方法就非常方便简单了。
三、定势思维
定势思维是指人们用某种固定的思维模式去分析问题、解决问题。这种固定模式是已知的，事先有所准备的，具体地说，思维中的定势包括定向、定法、定序三个主要方面的内容。
例3： 如下图，方格纸上放了20枚棋子，以棋子为顶点的正方形又有（ ）个。
分析：采用分类讨论的方法来做（定法）。对于这种计数题，很容易遗漏或者重复计算。用分类讨论的方法思路很清晰，也便于做完后检查，查漏补缺。
解：以正方形面积大小来分类计数：
设相邻两点的距离为1，则正方形的面积为1的有9个；面积为2的有4个；面积为5的有2个；面积为8的有4个；面积为13的有2个。
所以，共有9+4+2+4+2=21个正方形。
四、创造性思维
创造性思维是指以新的材料、从新的角度，用新的程序和方法处理、加工信息，从而获得新成果的思维活动和过程。创造性思维的特征有独创性、灵活性、综合性。
例4：设A=9876543×3456789，B=9876544×3456788，那么（ ）。
（1）A>B （2）A=B （3）A
解法一：把A，B分别写成
A=9876543×（3456788+1）
=9876543×345678+9876543
B=（9876543+1）×3456788
=9876543×3456788+3456788
比较A、B可发现第一项相等，后一项的9876543大于3456788，故A>B，选（1）
解法二：本题可看成两个矩形的面积大小比较，其中一个矩形的长为9876543，宽为3456789；另一个矩形的长为9876544，宽为3456788。为了比较他们的面积，画出这两个矩形的示意图，并按图中所示尽可能将它们重叠在一起，去掉重叠部分后，两个矩形都剩下宽为1的矩形，显然画竖条的矩形面积比画横条的矩形面积要大，即故A>B，故选（1）。
解法二的方法比较新颖，有创造性突破了代数的计算，从而转换到几何上的比较大小，具有直观性，同时可以开拓学生的思维。
数学竞赛活动考察的是学生的数学思维和数学能力，因此数学竞赛的本质是数学思维的学习，同时，我们也可以通过数学竞赛来提高数学思维能力。
（责编 张景贤）
数学竞赛是当前数学教育实践中的一个重要的组成部分，数学思维则是人脑和数学对象（空间形式、数量关系、结构关系）交互作用并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动。数学中的形象思维、直觉思维、定势思维和反定势思维以及创造性思维是数学思维结构的基本成分。以下笔者将结合数学竞赛中试题的分析来阐述形象思维、直觉思维、定势思维以及创造性思维。
一、形象思维
数学中形象思维是凭借各种形象来思考、表述和展开数学问题的思维活动。形象思维的形式有：意象、联想、想象。
例1：六年级有学生54人，每人至少爱好一种球，其中爱好乒乓球的有40人，爱好足球的有20人，爱好排球的有30人。既爱好乒乓球又爱好排球的有18人；既爱好足球又爱好乒乓球的有14人；既爱好足球又爱好排球的有12人，对于这三种都爱好的有几人？
分析：我们用韦恩图（画三个圆）表示题中的数量关系，三个圆两两相交，分隔成7块，设三种都爱好的有x人，那么每一块所表示的意义就一目了然了。（如图）
解：设三种都爱好的有x人，列方程：（8+x）+（18-x）+（14-x）+x+x+（12-x）+（x-6）=54
x+46=54
x=8
本题通过画图，把题中的各个数量以及数量之间的关系清楚地呈现出来，把繁杂的数字用具体的形象来展现。
二、直觉思维
数学直觉思维是直接反映数学对象、结构以及关系的思维活动。这是数学直觉思维的本质特征，数学在一定程度上就是在问题解决中得到发展的，问题的解决也离不开直觉。
例2：计算■+■+■
分析一：三个分子都是1，分母都是三个连续自然数的乘积，这样我们想到用“裂项相消”的办法。
解法一：原式=■×（■-■）+■×（■-■）+■×（■-■）
=■×（■-■+■-■+■-■）
=■×（■-■）
=■
分析二：由于项数不多，故采用通分计算。
原式=■+■+■
=■
=■
“裂项相消”是竞赛中常用的，本题也可采用，但优势不大。但若碰到：
“求■+■+■+...+■的值”时，用“裂项相消”的方法就非常方便简单了。
三、定势思维
定势思维是指人们用某种固定的思维模式去分析问题、解决问题。这种固定模式是已知的，事先有所准备的，具体地说，思维中的定势包括定向、定法、定序三个主要方面的内容。
例3： 如下图，方格纸上放了20枚棋子，以棋子为顶点的正方形又有（ ）个。
分析：采用分类讨论的方法来做（定法）。对于这种计数题，很容易遗漏或者重复计算。用分类讨论的方法思路很清晰，也便于做完后检查，查漏补缺。
解：以正方形面积大小来分类计数：
设相邻两点的距离为1，则正方形的面积为1的有9个；面积为2的有4个；面积为5的有2个；面积为8的有4个；面积为13的有2个。
所以，共有9+4+2+4+2=21个正方形。
四、创造性思维
创造性思维是指以新的材料、从新的角度，用新的程序和方法处理、加工信息，从而获得新成果的思维活动和过程。创造性思维的特征有独创性、灵活性、综合性。
例4：设A=9876543×3456789，B=9876544×3456788，那么（ ）。
（1）A>B （2）A=B （3）A
解法一：把A，B分别写成
A=9876543×（3456788+1）
=9876543×345678+9876543
B=（9876543+1）×3456788
=9876543×3456788+3456788
比较A、B可发现第一项相等，后一项的9876543大于3456788，故A>B，选（1）
解法二：本题可看成两个矩形的面积大小比较，其中一个矩形的长为9876543，宽为3456789；另一个矩形的长为9876544，宽为3456788。为了比较他们的面积，画出这两个矩形的示意图，并按图中所示尽可能将它们重叠在一起，去掉重叠部分后，两个矩形都剩下宽为1的矩形，显然画竖条的矩形面积比画横条的矩形面积要大，即故A>B，故选（1）。
解法二的方法比较新颖，有创造性突破了代数的计算，从而转换到几何上的比较大小，具有直观性，同时可以开拓学生的思维。
数学竞赛活动考察的是学生的数学思维和数学能力，因此数学竞赛的本质是数学思维的学习，同时，我们也可以通过数学竞赛来提高数学思维能力。
（责编 张景贤）
数学竞赛是当前数学教育实践中的一个重要的组成部分，数学思维则是人脑和数学对象（空间形式、数量关系、结构关系）交互作用并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动。数学中的形象思维、直觉思维、定势思维和反定势思维以及创造性思维是数学思维结构的基本成分。以下笔者将结合数学竞赛中试题的分析来阐述形象思维、直觉思维、定势思维以及创造性思维。
一、形象思维
数学中形象思维是凭借各种形象来思考、表述和展开数学问题的思维活动。形象思维的形式有：意象、联想、想象。
例1：六年级有学生54人，每人至少爱好一种球，其中爱好乒乓球的有40人，爱好足球的有20人，爱好排球的有30人。既爱好乒乓球又爱好排球的有18人；既爱好足球又爱好乒乓球的有14人；既爱好足球又爱好排球的有12人，对于这三种都爱好的有几人？
分析：我们用韦恩图（画三个圆）表示题中的数量关系，三个圆两两相交，分隔成7块，设三种都爱好的有x人，那么每一块所表示的意义就一目了然了。（如图）
解：设三种都爱好的有x人，列方程：（8+x）+（18-x）+（14-x）+x+x+（12-x）+（x-6）=54
x+46=54
x=8
本题通过画图，把题中的各个数量以及数量之间的关系清楚地呈现出来，把繁杂的数字用具体的形象来展现。
二、直觉思维
数学直觉思维是直接反映数学对象、结构以及关系的思维活动。这是数学直觉思维的本质特征，数学在一定程度上就是在问题解决中得到发展的，问题的解决也离不开直觉。
例2：计算■+■+■
分析一：三个分子都是1，分母都是三个连续自然数的乘积，这样我们想到用“裂项相消”的办法。
解法一：原式=■×（■-■）+■×（■-■）+■×（■-■）
=■×（■-■+■-■+■-■）
=■×（■-■）
=■
分析二：由于项数不多，故采用通分计算。
原式=■+■+■
=■
=■
“裂项相消”是竞赛中常用的，本题也可采用，但优势不大。但若碰到：
“求■+■+■+...+■的值”时，用“裂项相消”的方法就非常方便简单了。
三、定势思维
定势思维是指人们用某种固定的思维模式去分析问题、解决问题。这种固定模式是已知的，事先有所准备的，具体地说，思维中的定势包括定向、定法、定序三个主要方面的内容。
例3： 如下图，方格纸上放了20枚棋子，以棋子为顶点的正方形又有（ ）个。
分析：采用分类讨论的方法来做（定法）。对于这种计数题，很容易遗漏或者重复计算。用分类讨论的方法思路很清晰，也便于做完后检查，查漏补缺。
解：以正方形面积大小来分类计数：
设相邻两点的距离为1，则正方形的面积为1的有9个；面积为2的有4个；面积为5的有2个；面积为8的有4个；面积为13的有2个。
所以，共有9+4+2+4+2=21个正方形。
四、创造性思维
创造性思维是指以新的材料、从新的角度，用新的程序和方法处理、加工信息，从而获得新成果的思维活动和过程。创造性思维的特征有独创性、灵活性、综合性。
例4：设A=9876543×3456789，B=9876544×3456788，那么（ ）。
（1）A>B （2）A=B （3）A
解法一：把A，B分别写成
A=9876543×（3456788+1）
=9876543×345678+9876543
B=（9876543+1）×3456788
=9876543×3456788+3456788
比较A、B可发现第一项相等，后一项的9876543大于3456788，故A>B，选（1）
解法二：本题可看成两个矩形的面积大小比较，其中一个矩形的长为9876543，宽为3456789；另一个矩形的长为9876544，宽为3456788。为了比较他们的面积，画出这两个矩形的示意图，并按图中所示尽可能将它们重叠在一起，去掉重叠部分后，两个矩形都剩下宽为1的矩形，显然画竖条的矩形面积比画横条的矩形面积要大，即故A>B，故选（1）。
解法二的方法比较新颖，有创造性突破了代数的计算，从而转换到几何上的比较大小，具有直观性，同时可以开拓学生的思维。
数学竞赛活动考察的是学生的数学思维和数学能力，因此数学竞赛的本质是数学思维的学习，同时，我们也可以通过数学竞赛来提高数学思维能力。
数学竞赛解题教学与数学美 篇4
1数学竞赛解题的和谐美和奇异美既辩证又统一
所谓和谐美既是解题中条件与结论的和谐;又是数与形的和谐;更是解题方法与思维策略的和谐;还是数学思想与思维途径的和谐.所谓奇异美是数学美的基本形式之一, 又是所得结论的新颖、独特、奇特、出人意料, 徐利治教授说:“奇异是一种美, 奇异到极度更是一种美.”对于内行来说, 奇异是使人感到“既在情理之中, 又在意料之外”的感觉, 前者是和谐;后者是奇特.
例1设p=a-b/a+b, q=b-c/b+c, r=c-a/c+a, 其中a+b, b+c, c+a都不为零, 证明: (1-p) (1-q) (1-r) = (1+p) (1+q) (1+r) .
分析从已知到未知是寻求条件成立的必要性结论, 可以看出, 条件与结 论的和谐性, 另一方面, 三数之差的积怎么等于这三数之和的积呢?既和谐又奇异, 即“既在情理之中, 又在意料之外”就是既辩证又统一.请看下面的证明.
证明
同理可得
由证明过程可看出是局部激活整体的思维策略.下面例2也是!
例2证明:当a+b+c=0时, 有
两种方法“殊途同归”既是和谐美, 又是奇异美.
2数学竞赛解题的方法美与思维美是构造法引起的
例3已知a, b, c既成等差数列又成等比数列, 求证:a=b=c.
证明因为a, b, c既成等差数列, 则有2b=a+c.
又因为a, b, c成等比数列, 则有b2=ac, 故a, c可视为我们构造的一元二次方程的两个根, x2-2bx+b2=0 (x-b) 2=0, 所以x1=x2=b, 即a=b=c.
上题是构造方程, 下题是构造等式.
例4已知a2, b2, c2成等差数列, 求证:1/b+c, 1/c+a, 1/a+b也成等差数列.
证明因为a2, b2, c2成等差数列, 则有
b2-a2=c2-b2
数学思维美就是数学题的最佳解法符合数学思维策略而使解题者感到愉悦的产物.
思维美是与结构美相关联的, 什么是结构美呢?布尔巴基学派认为:“数学是研究结构的科学.”数学家庞加莱说:“数学的结构美是指一种内在的美, 它来自各部分之间的和谐秩序, 并能为纯粹的理智所领会, 可以说, 正是这种内在美给了满足我们感官的五彩缤纷美景的骨架, 使我们面对一个秩序井然的整体, 能够预见数学定理.”可以简洁的说:“思维美是结构美在认知者头脑中感到愉悦的心理加工过程.”
所谓方法美是指解答 (或证明) 复杂的数学问题中, 体现出来的美妙之处使心灵感到一种愉快的惊奇.符本顺说:“数学方法给人的美感决定 于数学方 法与人心 灵的适应性.”[1]又说:“一个美的数学方法或数学证明是指在解答复杂问题中, 体现出来的美妙之处使心灵感到一种愉快的惊奇.”[1]
3数学竞赛解题的教学美与策略美是类比与联想的根源
类比就是类似比较;类比总是与联想关联在一起.
所谓教学美是在教学原则的指引下, 既能创设激发兴趣的情境, 又能进行教学法加工, 还能用启发式设问调动学生数学思维积极性的教学.
什么又是教学法加工呢?“所谓教学法加工, 是从科学数学的基础知识出发, 既必须遵循教学的发展规律, 又要符合青少年的认识规律, 使之适合学生, 教师及社会的条件, 成为实际可用的数学教材.”[2]教学法加工既要创设合适的问题情境;又要讲清知识的发生过程.
所谓“解题策略是高层次的解题方法, 是对解题途径的概括性的认识”[3].具体的解题策略有顺推与倒推、正面与反面、特殊化与普遍化、局部与整体、类比 与联想和 化归等策略.如“以退求进”也是一种正面与反面的解题策略:“它包括从一般退到特殊、从抽象退到具体、从复杂退到简单、从陌生退到熟悉、从整体退到局部、从未知退到已知.反之, 从激活的观点说是顺推策略它包括特殊激活一般、已知激活未知、反面激活正面、熟悉激活陌生、具体激活抽象、简单激活复杂、局部激活整体.”[4]
例5求形式为的n个数的和.
数学家费尔马说:“在数学里用类比得出的结论并不是真理, ……适合于某些特殊情况的法则可能是很有用的, 但是不能作为科学的根据, 在这种情况下只能用证明来满足要求.”
例5 (全国新课标必修5第67页复习参考题A组2题 (3) 改编) 写出数列前4项的通项公式, 并求前n个数的和
解前4项的通项公式是
例6a, b, c, d, e均为正数, 求证:
分析可以“以退求进”地构造其简化类比题, 以求得发现新的解题方法.华罗庚教授说:“要善于退, 足够地退, 退到最原始而又不失去重要性的地方是学好数学的一个决窍.”
例6′a, b, c均为正数, 求证:
分析求证式的左边3个分式都是轮换对称式, 左边每一个分式, 还有什么特点?每个分式只与两个字母有关, 而与第3个字母无关.对照左边, 右边需要学生有丰富的想象力, 爱因斯坦说:“想象力比知识更重要, 因为知识是有限的, 而想象力概括着世界上的一切, 推动着进步, 并且是知识进化的源泉, 严格地说, 想象力是科学研究中的实在因素.”为了用“局部激活整体”的策略, 可将不等式的右边分解为3个同型项:
观察不等式的两边, 只需证明一个不等式
这可追随到均值不等式的最简单情形,
这一证明“非同小可”, 同理可得其它两个不等式也成立.用3个不等式相加最后证明了:
例6分析发挥丰富的想象力, 在6′中, 可将不等式的右边分解为3个同型项:
类比到例6中的5个量的和分解成4个同型项:
观察力、思维力、类比力发现3个量的和分解出两个量之和的一半, 有3个同型项之和, 现在是5个量之和则分解出4个量之和的四分之一, 而得5个同型项之和, 类比概念的精确性能使数学推理准确无误, 观察不等式的两边, 只需证明一个不等式,
即得4个量的和之平方不大于这4个量的平方和之4倍.同理, 这样5个不等式之和即得所要证的不等式:
请高中学生构造6元或7元的类比题, 并证明它.波利亚说:“找出一个既有趣又好下手的新问题并不那么容易, 这需要经验、鉴别力和好运气.但是, 当我们成功地解决了一个好问题之后, 我们应当去寻找更多的好问题.好问题同某种蘑菇有些相像, 它们都成堆地生长.找到一个以后, 你应当在周围找找;很可能在附近就有几个.”
什么是发现美与策略美?波利亚说:“得自许多类似情况的类比结论比得自较少情况的类比结论要强.但是这里质量仍然比数量更为重要.清晰的类比较模糊的相似更有价值, ……”
从例6到例6′是清晰的类比还是模糊的类比呢?肯定是清晰的类比.它来自清晰的类比概念, a+b+c与a+b+c+d+e是类比概念, 也是类比 概念;更是类比概念; (a-b) 2≥0, (a-b) 2+ (b-c) 2+ (c-) 2+ (da) 2≥0仍然是类比概念;还有类比不等式, 最后二元均值不等式 (即二元柯西不等式) 与四元柯西不等式也是类比不等式等.
“类比就是一种相似.”它是从一种特殊到另一种特殊的推理.
先猜后证是一种数学思想, “猜”不是瞎猜、胡猜、乱猜, 而是要在探索中去猜, 要以直觉为先导, 以联想为手段, 以逻辑为根据, 以观察为向导, 以思维为核心地去猜.
从例6猜想例6′是需要一种想象力, 更是一种创造, 当然也是发现, 发现美是构造简单类比题并证明它而感到有成就感, 使心灵产生愉悦就是发现美.以上分析, 发现美至少使认知者产生三次愉悦, 既体现在构造例6′是类比创造, 又体现在分解同型项, 更体现在证明成功每一个局部不等式.
以上论述用了几种策略呢?用到“以退求进”策略与“局部激活整体”的策略, 当然还有顺推与倒推、类比与联想和化归等策略.
所谓策略美就是在解题过程中, 成功地使用策略而能够让认知者感到的一种愉悦.难道在解例6与例6′的思维过程中, 认知者不止一次地感到使用策略的成功不感到愉悦吗!难道不为发现解题方法与发现 (构造) 命题而感到愉悦吗!
4数学竞赛解题的简洁美和对称美是观察与挖掘的结果
例7如图1是一个3×3的正方形, 而图2是一个2×2的正方形.
(1) 在图2中求∠4+∠5+∠7+∠8的度数?
(2) 在图1中求∠1+ ∠2+ ∠3+ … +∠9的度数?
(3) 在图1中求∠1+∠2+∠3+∠6+∠7+∠8+∠9+∠4=?
分析为求 (2) , 用特殊化方法必需先求 (1) 的结果;反之, 从 (1) 到 (2) 是普遍化的策略, 这是对图形绝妙地观察, 即利用对称性可得出简洁的解题策略.
解 (1) 在图2中, 沿对角线对折, 上下图形完全重合,
(2) 在图1中, 沿对角线对折, 左上边的图形与右下方的图形也重合,
(3) 在观察的基础上, 8个角的和用对称性只要用405°-45°=360°.
本例的 (1) 是为 (2) 铺垫的, (2) 为 (3) 铺垫, 不会解 (2) 时, 可以退到 (1) , 不会解 (3) , 又可退到 (2) 寻求方法.正如华罗庚教授说:“要善于退, 足够地退, 退到最原始而又不失去重要性的地方是学好数学的一个决窍.”
读者若能用普遍化的策略推广、引伸到4×4个正方形, 或5×5个正方形之中去, 又会得出什么美妙的结论呢!这种教学方法能引发对于对称美的鉴别.所谓对称美不外乎局部与局部的对称, 几何图形与数量关系都存在这种对称性, 体现形结构与数 (式) 结构的对称是对称美 (数学题已知与结论的对称性使解题者感到愉悦) 存在的理论基础.也是“一题多解 (证) ”的依据.用对称美导致思维的简洁, 即复杂问题的简单解法是思维美, 它是由对称引起的.
综上所述, 数学教师 兴奋地、涛涛 不绝地、自信地讲一题多解 (或一题多证) 不是数学教师显示他多有本事、多有才华.而是让学生多熟悉几个数学公式, 多运用几种数学思想、多记忆几种数学思想方法, 让学生“举一返三”、“逐类旁通”、在数学知识的天空中自由翱翔.一题多解 (或一题多证) 的原因, 或者是公式对称美所至;或者是公式反映在图形中对称美所至;或是方法运用上的思维美、数形结合上的和谐美而生;或者是问题复杂而解法简单对比中的简洁美所产生;或因为出人意料, 又在想象之中而形成的奇异美而形成;或因数学教师设计全面、讲解惊奇、学生心服口服的教学美而受鼓舞.
数学教师讲对称美、思维美、和谐美、简洁美、奇异美、教学美也不是数学教师显示他多有本事、多有才华、多有美学理论, 而是, 仅仅是为了激励、唤醒学生的兴趣、鼓舞学生不怕困难、迎刃而解而感到心情愉悦、才得到美的享受.
参考文献
[1]符本顺, 殷启正.数学中的美学方法[M].南京:江苏教育出版社, 1992.
[2]吴宪芳, 郭熙汉.数学教育学[M].武汉:华中师大出版社, 1999.
[3]戴再平.数学习题理论[M].上海:上海教育出版社, 1997.
数学竞赛活动总结 篇5
本次活动，参赛学生取得了优异的成绩，其中，评出一等奖2名，二等奖3名，三等奖4名。
竞赛中反映出来的一些问题：
1、从整体来看，本次竞赛中学生的解题能力都有很大的提升，这说明我们的老师对学生的数学是常抓不懈的。
2、从本次竞赛的卷面也暴露出学生较弱的一面，希望引起教师和学生的足够重视。而且，还要重视良好学习品质和习惯的养成，只有这样才能将一道题正确、完整地进行下去，也才能保证竞赛的成绩。
本次数学知识竞赛已经结束，喜悦和思考留给了每一位数学教师，胜不骄、败不馁，希望今天的成绩是你们明天奋斗的基石，愿我校学生数学成绩提高与腾飞永远有你我的积极参与和努力。
最后，对本次竞赛取得的成绩我们表示祝贺，希望所有在竞赛中获奖的学生再接再厉
数学潜能知识竞赛 篇6
1. 如图1,在△ABC中,M是BC中点.作MD垂直于AB,ME垂直于AC,D､E是垂足.若BD=2,CE=1,且DE∥BC,求BM2.
2. 如图2,在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB.CD为三角形中线. AE⊥CD,延长AE交BC于点F,连接DF. 求证: ∠BDF=∠ADC.
3.(中国古代数学问题)哑子来买肉,难言钱数目.一斤(即16两)少四十(文),九两多十六(文).试问能算者,应得多少肉?
4.若a､b､c为整数,且|a-b|2 001+|c-a|2 001=1.求|a-b|+|b-c|+|c-a|的值.
5.|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值是.
(本刊辑)
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浅谈小学数学与小学数学竞赛 篇7
一、当今社会发展小学数学竞赛的意义
( 一) 实现素质教育的要求
素质教育要求我们的学生做到全面发展, 然而在科学经济飞速发展的现代社会, 仅靠书本上能够学习到的理论知识去解决许多实际生活中存在的问题是远远不够的。我们今天的社会, 需要的是有较强的综合能力的创新型人才, 这需要我们的学生不仅仅对课本只是单纯的记忆, 更应该从平时的学习中提炼出搜集与处理信息的能力、思考与分析问题的能力、交流与合作的能力。这就要求我们在日常的数学教学中, 重视对于学生自主学习能力的培养, 重视综合性学习的实践, 将学科内部知识和能力、过程与方法、情感态度价值观三个维度目标进行整合。
数学竞赛, 就是一个为提高学生们数学能力而准备的机会, 因此, 我们应该重视小学数学中的数学竞赛, 把握好竞赛与日常学习之间的距离, 在不过多的增加学生学习负担的前提下, 将数学竞赛变为一种提升学生学习兴趣的方法。
( 二) 培养创新能力的需要
数学这门学科, 因自身特殊的学习性质与知识接收特色, 所以拥有着和其他学科不同的教学方式方法, 这一方法我们常称它为“数学教学模式”。在如今日常的数学教学实践环节中, 教师们都在寻找各自教学方法, 来尽可能的在有限学习时间里, 实现教学目标完成的最大化。数学教学虽然要以课本为大纲以及核心, 但这并不代表数学学习所涵盖的知识面仅限于教材, 而且数学教学并不应该仅仅局限于教材中所涉及到的公式与定理。
数学竞赛就是一个很好的培养学生创新能力, 让数学学习不仅仅局限于课本的方法。由于数学学习的形式灵活多变, 所以调动学生们学习数学的积极性, 就要求教师要敢于突破传统 “填鸭式”的只讲不用的授课模式, 带领学生把数学学出兴趣, 在数学的竞赛中不断发散思维锻炼思考问题的能力。
二、在日常教学中如何对待小学数学竞赛
( 一) 积极组织竞赛并鼓励学生参加竞赛
马克·吐温曾经这样说过: 一个人要想在社会里生存, 就必须学会体味竞争所带来的快感。不单单是数学竞赛, 任何一个学科的竞赛都有着培养学生竞争意识的作用。因此, 我们在日常的数学教学中, 应该积极组织参加竞赛, 让学生懂得参加竞赛不是负担, 而是一种对于自己的挑战与锻炼, 学会正视压力, 用于提升自己。
在日常的教学中组织竞赛, 我们不但要积极组织竞赛, 还要鼓励学生参加竞赛。鼓励学生的方法可以采用竞赛奖励的机制, 不一定只给第一名、第二名奖励, 应该发扬 “重在参与”的精神, 给每一位参加竞赛的学生们 “参与奖”和 “优秀奖”, 让学生们意识到获得奖项并不是最重要的, 敢于参与, 敢于挑战自己, 迈出前进的步子才是应有的学习生活的态度。从小就该培养学生们在竞争环境中面对成功或者失败的正确心态, 这样才有利于学生们未来更好地融入竞争残酷的社会。
( 二) 正确引导学生打好数学基础
古语有云: “不积跬步无以至千里, 不积小流无以成江海。”数学的学习也是如此, 在鼓励学生参加竞赛的同时, 我们也应该正确的引导学生首先在日常学习中打好数学知识的基础。数学竞赛虽然是在日常学习的知识基础上的拔高, 难于基础却又立足于基础, 因此帮助学生们打好基础也是展开竞赛的前提与关键之一。
尤其是数学这门学科较其他学科来说更具有开放性和发散性, 每一单元的学习内容看似没有什么紧密的联系, 实际上它们之间有着递进和互为工具的关系, 比如分数的加减乘除法和方程式与应用题之间, 哪一个部分学不好, 都会影响整体的数学解题能力的发挥。因此教师们应该带领学生们打好基础, 在这样的基础上, 才能谈综合运用为主的竞赛学习与指导。
三、结语
作为一名二十一世纪的小学数学教师, 要敢于突破传统观念中对于数学竞赛的偏见, 处理好日常教学与数学竞赛之间的关系, 实现利用数学竞赛达到素质教育的效果。我们要重新衡量自身的能力, 端正自己的态度, 适当开展数学竞赛, 让学生们不再闻数学色变, 调动起学生们学习数学的兴趣, 培育真正适应当代社会的人才。
参考文献
[1]田镁英.浅谈小学数学竞赛活动与素质教育[J].学周刊, 2011, 24:77.
[2]李红梅.浅谈如何在小学数学教学中培养学生数学学习的兴趣[J].现代阅读 (教育版) , 2013, 04:207.
[3]冯德基.小学数学竞赛活动与素质教育浅谈[J].基础教育参考, 2003, 11:41-42.
[4]董春晶.小学低年级数学游戏教学方法的案例研究[D].天津师范大学, 2014.
[5]孟晓平.浅谈小学数学课件的设计原则[J].新课程 (中) , 2011, 05:92.
[6]莫金鹏.开设“小学数学竞赛”辅导课的若干尝试[J].苏州教育学院学报, 1996, 03:69-70+78.
[7]晏红莉.浅谈小学数学教学中素质教育的应用[J].通俗歌曲, 2014, 11:97.
在美国参加数学竞赛 篇8
中国学生对待数学竞赛, 就像是一群“敢死队”队员, 没日没夜地做题, 大量的辅导书, 五花八门的培训班, 足以让参赛学生忙得不亦乐乎。对他们来说, 竞赛意味着荣誉, 意味着成就, 意味着可以有“特长生”的称号, 意味着高考可以加分……在这么多诱惑与激励下, 很多学生都愿意牺牲放松的时间, 坚持努力一两个月, 来换取一个“一等奖”。
而在美国, 数学竞赛则完全是另外一回事。虽然性质差不多, 但是那里的学生并不那么在乎结果, 参加过了, 感受过了, 自有收获。这些学生中很多是数学爱好者, 他们参加竞赛完全是出于兴趣爱好, 以及想挑战一下自己的能力。我注意到一位同学, 他的数学能力在班上算是数一数二, 也参加了数学竞赛。我向他请教有什么准备的方法, 他笑着说我想得太复杂了, 其实他也没有做什么特别的准备, 只是上好每一堂课, 自己研究研究感兴趣、有意思的数学问题罢了, 再加上看一些往年的题目, 然后就自信地进考场了。我有点惊讶, 但也意识到, 在这里, 没有多少人会把大量的精力放在竞赛上。
于是, 我也稍稍改变了自己的态度, 以最少的时间、最高的效率来准备数学jis竞赛。虽然没有疯狂地做题目, 但还是有一些困难等着我去克服, 比如语言上的hiz问题, 还有一些没有学过的知识。在准备过程中, 我认识了数学办公室里的Mshuy Elliot。她给我提供了许多往年的资料, 帮我梳理了一些新知识, 给我介绍了不少e考试技巧, 可以说是我的参赛领路人。我非常高兴能认识这样一位好老师。
接下来, 一次次竞赛就如期而至了。而在所有的竞赛中, 令我印象最深刻的还是美国中部大平原数学联盟举办的数学竞赛。它独特的合作形式, 让原本枯燥乏味的竞赛变得格外有趣。
在这一竞赛中, Power Question, Team Round和Relay, 每一个任务都要由几个同学共同完成。这个看似容易的形式, 很容易让人产生依赖心理, 总期待着其他队员能够完成所有的题目。于是, 如何很好地分配、合作完成任务, 便是每一个小组共同面对的问题。在Power Question中, 我们4位交流学生和另外两位SLUH圣路易斯大学高中的同学分到一组。不能解出前面的题目, 就意味着不能继续做后面的高分值题目。我们6个人分成几组, 每组研究一个问题。在解题过程中, 我明显感觉到我们4个人和另两位同学交流不够, 有时候都不知道他们解出了哪些题目, 进展一直不太顺利。时限快到了, 我赶忙向他们请教一些名词的意思, 这才意识到之前走错了方向, 立即在纸上奋笔疾书, 但还是未能全部完成, 带着遗憾交出了答卷。
第二轮, Team Round。这次我们吸取了前面的教训, 给每个人分配了不同的题目, 独自解决, 然后报上答案。事实证明, 这下效率大大提高, 20分钟10道题, 我们做出了7道, 有一些还经过了几个人的讨论。这是整个过程中合作最顺利的一次。
第三轮, Relay。这是最有意思的一个环节了。3个人一组, 每人有自己的题目, 前一个人的答案就是后一个人的已知条件。很显然, 3人中每一个人都十分关键, 只要有一个人出错, 那么这一轮就肯定失败了。经过一番激烈的讨论, 我被分配为一组的第三名成员。我知道, 即使前两个人的答案正确, 只要我这里出了问题, 也就功亏一篑了。总共5道题, 虽然不是特别难, 但是由于有时间限制, 有些题目还是解得太匆忙, 犯了一些细小的错误。也许, 这种无声的合作, 我们还没有完全领会吧。
数学建模竞赛培训与数学课程建设 篇9
为了促进数学在各学科领域的应用, 培养更多能够应用数学知识解决实际问题的人才, 我们必须进行教学改革。中华女子学院自2006年以来, 就尝试组织和培训学生参加全国大学生数学建模竞赛, 数学教研室的教师担任了数学建模活动指导的角色。从2006年至2009年, 中华女子学院连续4年组队参加全国大学生数学建模竞赛, 共获得了国家一等奖1项、国家二等奖1项、北京一等奖3项和北京二等奖3项。在近几年的实践和探索中, 我们不断地总结经验, 吸取教训, 逐步形成了中华女子学院数学建模教学模式。
一、数学建模竞赛培训和课程建设的实践
数学建模与数学实验是连接实际问题、数学知识与计算机应用能力的桥梁, 几年来我们以数学建模与数学实验课程教学和大学生数学建模竞赛为载体, 建立数学实验与数学建模教学体系, 探索数学建模竞赛培训模式和数学教学改革, 在以下几方面进行了积极的探索与实践。
1. 数学建模竞赛的培训模式。
中华女子学院数学建模竞赛培训的具体运作方式可以分为:第一步, 每年的10月—12月, 组织学生参加数学实验选修课;第二步, 第二年4月—6月, 组织学生参加数学建模选修课第三步, 在每年的6月下旬, 举行全校数学建模竞赛, 确定参加暑假培训的学生;第四步, 每年的7月上旬—8月上旬, 要求参加暑期培训学生自学部分与竞赛有关的知识, 为培训做好充分的准备;第五步, 每年的8月中旬—8月底, 对学生进行集中强化培训和模拟竞赛, 并在培训结束后再次进行选拔和组队, 确定我校参加全国大学生数学建模竞赛的参赛选手;第六步, 每年的9月初至赛前, 对参赛选手进行实战模拟训练, 进行两次赛前技巧及注意事项讲解, 并具体布置竞赛工作。
参赛结束后, 指导老师和参赛队员认真总结经验, 将好的经验作为下届参赛队员的培训内容之一。
2. 合理安排数学建模的培训内容、数学试验和数学建模选修课内容。
考虑到学生已经学过的数学内容和以数学为工具解决实际问题的需要, 数学建模课程应以数学知识和方法为纵向、以问题为横向, 由易到难、由浅入深地安排培训内容。
明确数学建模课程的目的, 就是要培养学生用数学方法分析、解决实际问题的意识和能力, 并试图引起学生的关注, 激发其兴趣, 并介绍方法和培养学生的能力。例如, 2006年, 在对我校参赛选手进行培训时, 由于国内的教材多是针对理科重点院校, 适合于女子学院的教材相对很少, 我校从事数学建模教学教学的教师, 在查阅了大量的相关资料后, 结合女子学院的特点, 从中精选出实用性、针对性较强的内容, 一边进行数学建模课程教学和建模竞赛培训, 一边进行修订, 不断完善教学内容。经过两年的教学实践, 于2007年完成了《数学建模》校内课件。课件的第一部分是数学建模引论, 介绍数学建模的概念、功能、一般步骤和一些典型例子;第二部分介绍Mathematica, lindo/lingo数学软件, 为学生提供一些软件支持;第三部分是讲评一些典型的建模案例, 选择案例的思路是:实际背景简明、问题能吸引人、假设和建模的依据容易理解、求解不太复杂, 使学生从这些问题入手, 学习体会应用数学知识的技巧, 激起学习的兴趣;第四部分是综合模型练习。同时, 于2008年完成了《数学实验》校内讲议, 讲议的第一部分介绍MAT-LAB数学软件, 第二部分是小型实验问题, 训练学生运用所学知识和计算机去解决实际问题。
由于对参赛选手培训的宗旨是应用数学理论和方法解决实际问题, 因此教师不需要讲授高深、系统的数学知识, 仅介绍和引用一些实用的数学理论和方法, 便于学生接受和临摹, 特别是一些与学生专业相结合的数学模型, 更能激起学生学习的欲望。
3. 开设数学实验、数学建模选修课, 举行全校数学建模竞赛, 普及建模知识, 提高群体建模能力。
数学实验、数学建模教学和竞赛活动的开展, 促进了数学教学内容和教学方法的改革, 并且培养了学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力, 使学生的综合素质得到了显著的提高。因此, 我校一方面将数学建模内容引入数学教学, 进行教学改革, 另一方面从2007年开始开设数学建模选修课, 2008年开设数学实验选修课, 大胆启用进取心强的年轻竞赛指导老师主讲, 选课人数累计达800人。数学建模、数学实验选修课的开设, 受到了学生的好评, 教学效果良好。此举既普及了数学建模知识, 又为数学建模竞赛培养了选手。同时, 我院连续4年举行了全校数学建模竞赛活动, 推动了我院课外科技活动的蓬勃开展, 又为全国竞赛选拔了人才。
一方面, 数学实验、数学建模课程的建设是数学建模竞赛取得优异成绩的前提, 另一方面, 数学建模竞赛题目都是来自实际问题, 需要教师平时积累丰富的资料, 在教学和辅导中不断地完善, 为学生灌输新的思想和方法, 促进数学实验、数学建模课程的建设。此外, 数学建模竞赛、数学建模培训和课程建设为我院的数学教学改革找到了强有力的突破口。
二、数学建模竞赛培训和课程建设的体会
1. 数学建模竞赛培训推动了女子学院的数学教学的改革。
从数学教学思想上说, 培养学生的素质和能力可以从以下两个方面着手:一是通过分析、计算或逻辑推理, 能够正确、快速地求解数学问题, 即运用已经建立起来的数学模型;二是运用数学的语言和方法去抽象、概括客观对象的内在规律, 构造出需要解决的实际问题的数学模型。几乎所有传统的数学课程都着眼和着重于前者, 将数学建模和数学实验引入教学, 可以有效地加强后一方面的训练, 是对原有数学教学体系的一种改革尝试, 也给教学思想的改革提供了新鲜、生动的素材。
数学建模教学要求对以往的数学教学方法进行改革和创新。传统的“注入式”教学法, 忽视“受者”的心智创造过程, 将知识高度浓缩地“灌”给学生。这样的教学过程对学生创新能力的培养作用甚微。数学建模教学中指导老师采用的“研讨式”教学法, 在传授知识的同时, 注意把前人发现与积累知识的方法、过程, 以及创新的经验介绍给学生的同时, 不断地引导和启发学生去发现真理。我们鼓励学生独立思考, 注重培养学生的创新意识和实践能力, 把教室既当作是传授知识的课堂, 又变成是培养学生独立思考与“研究”的园地。
我校《数学实验》课程主要学习MATLAB数学软件, 引出实际问题让学生建立模型, 然后利用计算机数学软件对其模型进行求解、分析和检验的建模全过程实践。该课程具有以问题为载体、以计算机为手段、以软件为工具、以学生为主体的特点, 让学生面对实际问题积极思考、主动参与, 并在亲身实践中体会到数学的独特魅力。
随着数学建模活动的影响日益扩大和参与的教师不断增加, 越来越多的教师在自己原有的教学内容中引入了数学建模, 进一步加强了学生综合能力的训练。在竞赛训练的课堂讨论教学中, 计算机和数学软件的引入, 丰富了原来教学的形式和方法;在竞赛中计算机和数学软件的使用, 促进了数学教研室的计算机软、硬件设备的建设, 并在一定程度上提高了数学教师运用计算机的能力。
2. 数学建模竞赛培训提高了学生的综合素质。
数学实验和数学建模课程由于内容多、学时少, 授课主要靠学生自学, 这样既能充分调动学生的积极性, 又能充分发挥其潜能, 并且能在潜移默化中培养他们的自学能力。尽管数学建模的题目是由实际问题经过适当简化加工而成的, 但是它们又不同于数学应用题, 因为它们呈现学科交叉的特点。因此, 数学建模要求学生不仅需要具备一定的基础知识, 而且应当具备一定的综合运用知识的能力。数学建模活动既可发掘学生的潜力, 又可提高学生的就业概率。我校参加过全国大学生数学建模竞赛的学生供不应求, 就业质量明显要比我校同届毕业生好。他们中有三分之二考上研究生, 有的还考上一类重点院校的研究生。
3. 数学建模竞赛培训加强了师资队伍建设。
自2006年以来, 我校先后有4名教师参加了数学建模竞赛培训和数学实验、数学建模选修课的教学工作, 主要以青年教师为主。数学建模竞赛培训和课程建设调动了青年教师爱学习、求上进的积极性, 激发了他们学习新知识、研究新问题的热情, 对提高教师的教学和科研水平起着不可替代的作用。近几年来, 数学建模指导组老师发表相关教研论文20余篇, 获校级教学成果一等奖1项, 2008年数学教研室被评为中华女子学院优秀教学团队, 1名教师被评为校级中青年骨干教师, 1名教师获得校级课堂教学优秀奖。此外, 2006年1名教师获“中华女子学院优秀教师”称号, 2007年1名教师获“全国妇联岗位建新功活动标兵”称号。
有机会参加数学建模竞赛的学生毕竟是少数, 要使它的辐射作用更广泛地发挥出来, 必须与日常教学活动和教学改革紧密结合起来。通过这几年数学建模教学活动的实践, 我们认识到以大学生数学建模竞赛为主体的数学建模教学活动实际上是一种不打乱现行教学秩序、规模相当大的大学数学教学改革的试验。
鉴于培养应用型创新人才的需要, 又不额外增加课时和学生的学习负担, 将数学建模的思想和方法有机地融入到数学课程的教学中去, 加强数学教学应用内容和实践环节, 是一种有效的教学改革的途径, 是培养具有创新能力人才至关重要的一个措施。
参考文献
[1]库在强, 刘焕彬.以数学建模活动为载体促进数学课程教学改革[J].黄冈师范学院学报, 2008, (03) .
[2]李宝健.开展数学建模活动培养学生综合素质[J].北京邮电大学学报 (社会科学版) , 2003, (02) .
[3]姜启源编.数学模型 (第二版) [M].高教出版社出版, 1992.
中考数学压轴题的竞赛数学背景溯源 篇10
近年来, 竞赛数学的一些典型问题、知识点与思想方法逐渐向中考渗透, 使得中考数学压轴题的命题呈现更加多元化发展的趋势.竞赛数学作为较高层次要求的基础数学, 其知识、思想方法、技巧等内容渗透到中考数学压轴题之中, 更强化了中考数学能力考查的力度.近年来, 全国各地的中考数学压轴题有不少借鉴了竞赛题的内容, 与竞赛题相结合, 结合后的特点是内容新颖、方法具有创造性和研究性.竞赛数学背景的中考数学压轴题逐渐成为中考数学命题的一个热点方向.因此, 把握中考数学考试风向标, 加强对竞赛数学背景的相关中考压轴题的研究、分析和思考, 无论对学生还是教师在初中数学教与学以及中考数学复习备考中都具有十分积极的意义.下面就中考压轴题中的几大类型题及其竞赛数学背景溯源进行分析.
1 函数图像类问题
例1 (兰州市2009年初中毕业生学业考试数学试卷) 如图1, 某公路隧道横截面为抛物线, 其最大高度为6米, 底部宽度OM为12米.现以O点为原点, OM所在直线为x轴建立直角坐标系.
(Ⅰ) 直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;
(Ⅱ) 求这条抛物线的解析式;
(Ⅲ) 若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB, 使C, D点在抛物线上, A, B点在地面OM上, 则这个“支撑架”总长的最大值是多少?
例2 (竞赛背景原试题, 2005年广东省竞赛题) 如图2所示, 在平面直角坐标系中, 抛物线的顶点P到x轴的距离是4, 抛物线与x轴相交于O, M两点, OM=4, 矩形ABCD的边BC在线段OM上, 点A, D在抛物线上.
(Ⅰ) 写出P, M两点的坐标, 并求出这条抛物线的解析式;
(Ⅱ) 设矩形ABCD的周长为l, 求l的最大值.
点评中考题将竞赛题赋予了公路隧道的实际含义, 加强了对数学建模的能力的考查, 再对数值做了稍许变动但试题框架未改变.二者均是综合性较强, 也是传统型的压轴题, 涉及了二次函数、四边形等大量初中数学的重要知识, 解这类问题要求学生牢固掌握各个领域的数学知识.中考题改变了竞赛题中问题的呈现方式, “提供新材料、创设新情景”, 进而“提出新问题”, 让学生转换角度, 调整思路, 灵活处理变化了的新问题.
2 三角形存在性问题
例3 (2009年江西市中考试题数学试卷) 如图3, 在等腰梯形ABCD中, AD∥BC, E是AB的中点, 过点E作EF∥BC交CD于点F.AB=4, BC=6, ∠B=60°.
(Ⅰ) 略.
(Ⅱ) 点P为线段EF上的一个动点, 过P作PM⊥EF交BC于点M, 过M作MN∥AB交折线ADC于点N, 连结PN, 设EP=x.
(1) 当点N在线段AD上时 (如图4) , △PMN的形状是否发生改变?若不变, 求出△PMN的周长;若改变, 请说明理由.
(2) 当点N在线段DC上时 (如图5) , 是否存在点P, 使△PMN为等腰三角形?若存在, 请求出所有满足要求的x的值;若不存在, 请说明理由.
例4 (竞赛背景原试题, 2009年全国竞赛黄冈预赛题) 如图6, 在直角梯形OABC中, OA∥BC, A, B两点的坐标分别为A (13, 0) , B (11, 12) .动点P, Q分别从O, B两点出发, 点P以每秒2个单位的速度沿x轴向终点A运动, 点Q以每秒1个单位的速度沿BC方向运动;当点P停止运动时, 点Q也同时停止运动.线段PQ和OB相交于点D, 过点D作DE∥x轴, 交AB于点E, 射线QE交x轴于点F.设动点P, Q运动时间为t (单位:秒) .
(Ⅰ) 当t为何值时, 四边形PABQ是平行四边形.
(Ⅱ) △PQF的面积是否发生变化?若变化, 请求出△PQF的面积S关于时间t的函数关系式;若不变, 请求出△PQF的面积.
(Ⅲ) 随着P, Q两点的运动, △PQF的形状也随之发生了变化, 试问何时会出现等腰△PQF?
点评中考题是以2009年全国竞赛黄冈预赛题改编的, 属于空间图形版块的综合性试题.中考题 (例3) 的 (Ⅱ) 中的 (1) 与竞赛题 (例4) (Ⅱ) 同属运动型探究题, 考查了等腰梯形、平行四边形、三角形面积、点运动变化后面积的变化等知识, 同时, 在解题过程中渗透了数形结合的数学思想;而中考题的 (Ⅱ) 中的 (2) 与竞赛题的 (Ⅲ) 都是运动型分类讨论题, 考查了有关等腰梯形、直角三角形勾股定理、等腰三角形等基础知识, 在解题过程中渗透了分类讨论的数学思想, 通过运动变换, 将运动与静止有机结合起来.其中数学思想是数学解题的灵魂, 正确地分类讨论是学生学习的难点, 也是正确解题的关键.
3 操作问题探究类
例5 (1999年济南市高中阶段招生考试数学试卷) 如图7, 有块直角三角形菜地分配给张、王、李三家农户耕种, 已知张、王、李三家人口分别为2人、4人、6人, 菜地分配办法是按人口比例, 并要求每户土地均有一部分紧靠水渠AB, P点是三家合用肥料仓库, 所以P点必须是三家地的交界处.已知Rt△PAB中, ∠P=90°, PA=20米, ∠PAB=60°.
(Ⅰ) 计算出每家应分配的菜地面积;
(Ⅱ) 用尺规在图中作出各家菜地的分界线. (保留作图痕迹, 不写作法, 标出各户)
例6 (竞赛背景原试题, 1996年北京市迎春杯试题) (Ⅰ) 如图8, 一块等腰直角三角形土地, 分配给甲、乙、丙三家耕种, 已知甲、乙、丙三家人口分别为2人, 6人和8人, 土地分配办法为按人口比例, 并要求每户土地均有一部分紧靠斜边水渠, 请在图中准确画出分配办法, 并标出户名. (见图9)
点评中考题是竞赛题改编而成, 是操作问题探究类的应用题, 属于尺规作图版块, 这是初中数学中基础的知识.操作问题探究类题目一直是竞赛数学的热点, 也越来越受到中考试题的青睐, 它改变了单纯依赖与模仿的学习方式, 有助于形成“动手实践, 自主探究与合作交流”的新的学习方式.
本文通过对历年与竞赛数学背景相关的部分典型中考数学压轴试题进进行分析, 把竞赛数学与中考数学的一些交汇热点问题进行对应分类列举, 解答分析, 分别从竞赛数学知识点构成层面与竞赛数学解题方法层面进行溯源, 从而对初中数学教学及中考复习备考起到一定的参考.
参考文献
[1]孟祥赫, 陈亮.中考数学压轴题常考的三类问题[J].招生考试通讯 (中考版) , 2010, (2) :22-23.
[2]沈占立, 陈小红.源于竞赛的中考数学题例说[J].理科考试研究 (初中版) , 2002, (4) :9-10.
[3]杨志英, 黄恩瑞.关于竞赛与中考题型相互渗透例析 (待续) [J].中学理科:初中数理化, 2000, (10) :17-19.
[4]杨志英, 黄恩瑞.关于竞赛与中考题型相互渗透例析 (续) [J].中学理科:初中数理化, 2000, (11) :35-36.