§8.4双曲线的简单几何性质习题八

§8.4双曲线的简单几何性质习题八（共9篇）

篇1：§8.4双曲线的简单几何性质习题八

x2y21的斜率为1的弦，求a的取值范围.若直线ax+y+2=0平分双曲线

169解：如图所示，先求双曲线斜率为1的弦的中点轨迹，设双曲线斜率为1的弦为AB，且设A（x1,y1）、B(x2,y2)，AB中点M（x,y），则：

x=x1x2yy2,y1且有 222222x1yxy11,221 169169以上两式相减，得

9(x1-x2)(x1+x2)-16(y1-y2)(y1+y2)=0 即9(x1-x2)x-16(y1-y2)y=0 ∵x1-x2=y1-y2

∴9x-16y=0为所求中点所在的直线

x2y21671由16,解得x=± 979x16y0∴轨迹方程为9x-16y=0(x＜－再求a的范围.

上述轨迹与双曲线的交点.

167167或x＞) 77E（1679716797，），F（－，－）7777∵直线ax+y+2=0恒过点D（0，-2）且斜率为-a, 得kDE=927927,kDF= 1616167167或x＞＝的轨迹有公共点，77由图知，已知直线要与方程为9x-16y=0（x＜-则须

kDF＜-a＜99或＜-a＜kDE 1616∴-99279927＜a＜或-＜a＜-1616161699279927,-)∪(-,)

16161616—411— 即a∈(-

—412—

篇2：§8.4双曲线的简单几何性质习题八

162016202.渐近线为3x±2y=0，且与x2-y2=0无公共点的双曲线方程是（）A.C.y218x2x28y21 B.1 D.y24x2x29y21 1

x24912273.双曲线的渐近线方程是y=±程是（） A.B. C.D.y234x，两个焦点都在椭圆

100y2251上，则双曲线的方9y2x216x21或1或1或1或x216x2y29y21 1 1 1 9x216y29y216x264x236y29y216x216964364.焦点为(0，6)且与双曲线A.C.x2x22y21有相同渐近线的方程是（）

y212y2y224x21 B.12x2x224y21

24121  D.x224121

5.已知双曲线16yb221的实轴的一个端点为A１，虚轴的一个端点为B１，且｜A1B1｜=5,则双曲线的方程是（）

A.C.x216x2y225y21 B.x216x2y225y221 1 yb2221691 D.xa2216xa96.0＜k＜a，双曲线

kby221与双曲线k1有（）

A.相同的虚轴 B.相同的实轴 C.相同的渐近线 D.相同的焦点 7.求与双曲线x29xa22y216yb1有共同的渐近线，并且经过点(-3，2322)的双曲线方程.8.证明：双曲线定值.1(a＞0，b＞0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个 9.双曲线x29y241与直线y=kx-1只有一个公共点，求k的值.参考答案：

1.B2.A3.C4.B5.C6.D7.x2y21

8.证明略.9.k23或k53

篇3：§8.4双曲线的简单几何性质习题八

一、问题提出

在高三数学复习课中, 有如下一道双曲线的题目, 我和同学们做了如下探究。

【问题】给定双曲线, 过点P (1, l) 能否作直线l, 使l与此双曲线交于点Q1、Q2, 且为线段Q1、Q2的中点?

学生甲给出了这样的解答:假设存在符合题意的直线l, 设Q1 (x1, y1) 、Q2 (x2, y2) , 则有;

显然x1-x2≠0, y1+y2≠0,

由P (1, 1) 为线段Q1Q2的中点, 有x1+x2=2, y1+y2=2,

则k=2所求直线l的方程为:y-1=2 (x-1) , 即2x-y-1=0。

学生乙却表示了不同意见:“通过画图, 我发现所求直线与双曲线没有交点, 故不合题意, 不能作出符合题意的直线l。”

我引导学生思考:直线方程已经求出, 怎么不合题意?

学生丙说:“一定是学生乙画图不准确。”此时, 有一些学生也这么认为, 学生们纷纷议论, 相互争论。

学生丁提出了自己的想法:用△判断, 我已算出△=-8<0, 这说明学生乙的发现是对的。

我及时总结:学生丁用了代数的方法解决此问题, 对于直线l与双曲线之间没有公共点做了验证, 不合题意。通过这道题, 我们就明白在解决直线与圆锥曲线位置的关系的问题时, 要注意检验其结果。

从学生甲的解题过程, 可知:“ (1) - (2) ”圯“k=2”, 前者仅是后者的充分不必要条件, 不难发现:, (3) ; (4) ; (3) - (4) 也能推出k=2。所以我们猜想:所求直线l可能适合于双曲线的共轭双曲线的情形。很快同学们给予了验证, 猜想是成立的。

二、问题解决

我接着提问:这个问题可以推广到一般情形吗?即给定双曲线和点P (m, n) (mn≠0) , 过点P能否存在直线l使l与此双曲线交于Q1、Q2两点, 且点P是线段Q1Q2的中点。

经过一番复杂的运算之后有了如下求解过程:

假设符合题意的直线l存在, 易求得, 由化简整理得,

当b2-a2k2=0, 即直线与渐近线平行或重合时, 显然不合题意, 所以b2-a2≠0。

就可以运用双曲线的有关结论判断出△的正负。如图1所示, 已知双曲线x2a2-b2y2=1以及平面内点P (m, n) 。

很快大家总结出了如下的结论:

已知双曲线和点P (m, n) , 有关此双曲线以点P为中点的弦的存在性问题, 如图1所示, 即当时存在;点P在原点时也存在;否则就不存在。

我们通过对问题继续研究发现:当点P在区域Ⅱ内或双曲线上时, 所求直线l尽管不合题意, 但是符合已知双曲线的共轭双曲线的情形。

由并作了这样的解释:

对于双曲线而言, 当点P在区域Ⅱ内或双曲线上时, 应有, 此时△>0, 故所求直线l符合。

篇4：双曲线的几何性质（一）教学设计

新课程积极提倡学生“主动参与、乐于探究、、勤于思考”,以培养学生“获取新知识”、“分析解决问题的能力”,而不再视知识为确定的、独立于于认知者的一个目标,而是视其为一种探索行动或创造的过程。依据新课程的对教学要求和教学内容的需要,设计了本节课的教学设计。本节课的设计教学思路有主要三个方面:(1)有让学生在现实的情境和已有的知识经验中体验和理解数学,(2)引导学生动手实践,主动探索与合作交流,(3)鼓励学生发现问题,解决问题,体验成功的愉悦。

二、教材分析

1、教材内容与地位

本节课是新课程实验教材人教A版数学选修2-1第二章第6节的内容。它是学好双曲线性质及利用其性质解决应用问题的关键一课。在这之前学生已经掌握了曲线与方程的联系以及椭圆及其几何性质。还有双曲线的基本概念。应该说具备了相当的知识储备,足够学生自主探索,合作探究来完成本课时的教学内容。

2、教学重点、难点

重点:双曲线的几何性质及初步运用.

解决办法:布置学生动手操作任务,通过完成任务的整个过程得到双曲线的的几何性质得出,至于渐近线引导学生证明,培养学生定性分析的数学思想。

难点:双曲线的渐近线方程的导出和论证.

解决办法:采用逐步设问,引导学生发现问题,解决问题。

疑点:双曲线的渐近线的证明.

解决办法:分三个层次。(1)通过观察几何画板动画展示给出合理猜想(2)通过公式变形定性分析(3)通过详细讲解

三、学情分析

这些学生是第一批接受新课程理念的教学模式,他们有强烈的自主探究学习的欲望,有很好的合作意思。而且刚学了曲线与方程及椭圆,已经接触了通过方程研究曲线的思想,具有一定能力自主研究曲线。而双曲线的几何性质与椭圆的几何性质完全可以类比过来,所以把这堂课设计成学生自主探索,研究发现,体验“研究者”的快感是非常合适的。

四、教学目标

(一)知识教学点

使学生理解并掌握双曲线的几何性质,并能从双曲线的标准方程出发,推导出这些性质,并能具体估计双曲线的形状特征.进一步体会到方程与曲线的联系。

(二)能力训练点

通过学生动手实践,合作学习,在发现问题和解决问题中学习新知识,从而培养学生分析、归纳、推理、合作学习等能力.

(三)学科渗透点

使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解。同时也让学生体会到数学研究的快乐,培养学生发现数学美,欣赏数学美,提高对数学学习的热情。

五、教学方法

本课程教学设计使用的教学方法有别于传统的讲授法。主要是采用学导式教学方法与讨论法、发现法相结合。当然在整个教学过程有老师适时的问题作为过程引导与衔接。

六、媒体选择

PPT辅助;几何画板辅助;实物投影仪

七、教学程序

(一)提出问题:前面我们已经学习了椭圆及其双曲线的概念,大家告诉我你们学的如何?(学生很有激情的回答学的不错)

那好,我来出考考大家

画出双曲线方程 的草图

(1)给学生5分钟的时间,以后相互同学交换成果,比较讨论下,谈谈有何体会。

(2)到学生中去观察,找几个典型错误实例。

(3)通过讨论,再通过投影将几个典型错误实例展示给大家看,让同学感受自己知识的不足

设计意图:抛出问题与学生现有知识产生碰撞,引起学生兴趣。为整节课奠定了一个动手探索,自主发现的基调。

(二)制定方案:谁有办法较准确的画出双曲线方程草图呢?接下来我们就来探索下,能不能解决这个问题。

抛出问题:我们是如何画出椭圆草图的?那么是否可以用类比方法解决双曲线 草图?

引导学生要画出图像必须从方程入手,然后讨论确定出研究步骤

(1)确定图像区域

(2)曲线是具有对程性

(3)曲线的大致变化趋势

(4)曲线的开口情况

设计意图:明确研究方案,为后续讨论指明了方向,使得学生的探索具有方向性,有利于问题解决。

(三)剖析问题

第一小组第二小组第三小组第四小组

确定图像区域负责///

曲线是否具有对称性/负责//

曲线大致变化趋势//负责/

曲线开口情况///负责

(1)第一小组成果:考察了方程x,y的取值范围得到图像应该在直线 确定的区域外侧(这个探索过程学生完成的很漂亮,主要是学生类比了椭圆草图的得到过程)

动手任务1:大家在白纸上画出双曲线所在的区域

(2)第二小组成果:图像关于x,y及原点中心对称。

这个过程学生得到有点困难,所以我们实施的启发引导方程f(x,y)=0关于x,y及原点对称会有什么特征。完成这个过程后,学生很快探索出成果。完成情况不错。

思考任务2、第二小组同学的成果能给我们画草图带来何帮助?

学生回答:只要画出第一象限内的草图,然后根据对称性就可以画出全部图像了。

(3)第三小组成果:方程图像在第一象限内的图像y随x增大无限接近 ,但达不到

这个内容是教学的重点,也是难点,要注意逐步启发教学。我在教学过程中分这么几步:

1、回顾函数图像变化趋势是考什么来衡量?

学生答:函数单调性!

老师追问:如何判断单调性?

学生答:定义、图像、y随x增大而增大。

2、双曲线是函数吗?有办法变形成函数不?

学生答:双曲线不是函数,但在第一象限内的图像可以理解成函数图像

老师追问:函数解析式是什么?

学生答:

3、在第一象限内的双曲线对应函数单调性如何?

学生答:y随x增大而增大,所以函数在第一象限内单调递增。

老师追问:黑板上画出两种递增的形态是,不是可以随意递增呢?

引导学生观察函数值的变化情况!给出2分钟思考时间。学生很快发现

学生回答:无论x有多大函数值y永远比 小

老师答:非常棒!你能解释下为什么?

学生答:

老师问:非常好,大家能根据上述函数关系来回答反应在图像上他们的位置关系有何特征?

学生答:随着x的无限增大,曲线的图像越来越靠近直线 ,但永远不能达到。

老师答:GOOD,大家回一下以前我们研究的函数有没有类似的表述?

学生答:双曲线函数 有这个性质。那条线叫渐近线。

老师答:对,那直线 叫什么好呢?

学生异口同声的回答:渐近线。

4、你能得到双曲线图像变化趋势吗?

学生答:能,根据对称性就可以完成了。

动手任务3:大家在草稿纸上继续完成我们刚才没完成的草图。(给同学动手2分钟)

老师找几个典型图像,然后用投影仪展示给学生看,初步享受成果,体会快乐。但又提出问题,他们的画图像还不那么一致,所以还有必要研究另一个问题,也就是第四组同学的工作必须完成。

(4)第四小组成果

老师引导:椭圆中有控制形状的量e,双曲线中有没有呢?我们类似椭圆也给双曲线定义e

(e>1)

离心率是如何控制双曲线形状的呢?给学生3分钟讨论时间

老师问:大家讨论出结果了没有?

学生答: ,渐近线斜率越大,离心率越大。

老师答:非常好,简单说e越大,带过来渐近线的斜率越大(第一象限),导致双曲线开口越大

老师答:通过刚才所有同学的不懈努力我们完成了最先给出的4个问题。现在大家能告诉我你如何较准确画出双曲线草图?

动手任务4:在草稿纸上完成我们最先给出的双曲线方程,比较下你最初话的图像,修改错误之处。

设计意图:本环节是本节课的关键。所以在整个设计过程中我采用了以小组为单位进行任务分工解决,提高解决效率。同时对于较为困难的问题采用适时引导,层层设问,引导学生解决问题。同时在整个过程中始终贯穿这一个任务:正确画除双曲线草图。每每发现一点新知识就及时应用于画图。让学生边探索,边应用,体会学以致用。这个设计环节不仅培养了学生的动手与合作学习的能力同时也让学生体会成功的快乐,提高对数学研究的积极性。

(四)解决问题

展示部分学生优秀的作品,然学生充分体验成个的快乐。然后结合图像给出双曲线中几个相应的概念:顶点,焦点,实轴,短轴,渐近线等概念。

总结归纳:通过刚才学习,谁能总结下如何画出双曲线草图?能归纳下基本步骤吗?

(1)确定曲线范围;

(2)画出渐近线方程(两条);

(3)画出第一象限草图;

(4)根据对程性完成整个图像。

设计意图:展示成果,充分肯定学生的劳动成果。对问题进行归纳、概括、提升,获得解决双曲线方程的基本思路。同时也培养学生通过方程研究曲线的的能力。

(五)巩固问题

例、求双曲线 的半实轴长和虚轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程

设计意图:通过这个例题让学生体会下如何研究焦点在y轴上的双曲线几何性质与焦点在x轴上双曲线的几何性质有何异同。特别指明:焦点在x和在y轴上双曲线标准方程对应的渐近线方程公式化形式是不不同的,为下节课故设悬念。

(六)深化提升

思考作业:探究方程 具有何性质?并画出草图

设计意图:通过本题更一步强化如何通过方程研究曲线的基本过程。检验学生通过方程研究曲线的能力。

八、板书设计

九、自主性教学设计评价

本课的教学设计有别于传统的教学设计。而是采用将问题抛给学生,然后通过逐步引导、启发,发现问题,解决问题,发现新知识的过程。整个教学设计其实就是一个研究性课题。解决了如何通过方程研究图象的问题,也完成了更个教学计划。更将双曲线的几个零散的几何性质串联的一起,形成一个整体。让学生从使用角度、整体大局角度去掌握双曲线的性质从但优点遗憾的是本教学设计对学生要求较高,极少部分同学在探求新知识上存在一定困难。

1、刘兼《数学新课程与数学学习》 高等教育出版社 2008

篇5：§8.4双曲线的简单几何性质习题八

xa22yb22b＞0)的焦点坐标是F1(-c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）1(a＞0，是双曲线上的任一点，求证：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜，其中e是双曲线的离心率.选题意图：巩固双曲线的第二定义，给出双曲线焦半径的推导方法.证明：双曲线xa2xa22yb221的两焦点F1(-c,0)、F2(c,0)相应的准线方程分别是

c和xa2c.∵双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率.∴PF1x0a2e,PF2x0a2e.cc化简得：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜.说明：｜PF1｜、｜PF2｜都是双曲线上的点到其焦点的距离，习惯称作焦半径.｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a-ex0｜称作焦半径公式.

［例2］双曲线的中心在坐标原点，离心率为4，一条准线方程是x程.选题意图：研究离心率、准线与a、b、c的关系，考查准线的几何意义.解：∵ca4,a212,求双曲线的方c12

∴a=2,c=8,∴b2822260.∴双曲线的方程是x24y2601.说明：双曲线的准线总与实轴垂直.［例3］在双曲线倍.选题意图：考查双曲线准线方程、第二定义等基本内容.

解：设P点的坐标为(x,y)，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.∵双曲线的准线方程为x∴PF1x165PF2x165x216y291上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两

165..∵｜PF1｜=2｜PF2｜, ∴P在双曲线的右支上，∴2PF2x165485PF2x165,x4852

把x代入方程x216y91得：y35119.所以，P点的坐标为(485,35119)

篇6：§8.4双曲线的简单几何性质习题八

能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心 率、渐近线方程等,熟练掌握双曲线的几何性质.(2能力目标

通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质, 在老师的指导下让学生积极讨论、归纳,培养学生的观察、研究能力,增 强学生的自信心.(3 情感目标

通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动,培养学生自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、集体主义精神.教学重点:双曲线的几何性质.教学难点:双曲线的渐近线.教学方法:启发诱导、练讲结合 教学用具 :多媒体 教学过程:

一、复习回顾,问题引入: 问题 1:双曲线的定义及其标准方程?

问题 2:椭圆的简单几何性质有哪些?我们是如何研究的?双曲线是否也有 类似性质?又该怎样研究?

二、合作交流,探究性质: 类比椭圆的几何性质的研究方法,我们根据双曲线的标准方程 0, 0(122 22>>=-b a b y a x 研究它的几何性质 1.范围: 双曲线在不等式 x ≥ a 与 x ≤-a 所表示的区域内.2.对称性: 双曲线关于每个坐标轴和原点都对称, 这时, 坐标轴是 双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心, 双曲线的对称

中心叫双曲线中心.3.顶点:(1 双曲线和它的对称轴有两个交点 A1(-a,0、A2(a,0, 它们叫做双曲线的顶点.(2 线段 A1A2叫双曲线的实轴, 它的长等于 2a,a 叫做双曲线的实半轴长;线段 B1B2叫双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b叫做双曲线的虚半轴长.(3实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线,其方程为: 练一练: 1.若点 P(2, 4在双曲线 上,下列是 双曲线上的点有(1 P(-2, 4(2 P(-4, 2(3 P(-2,-4(4 P(2,-4 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程: 0(22≠=-m m y x(1焦点在 x 轴上,实轴长是 10,虚轴长是 8,则方程是(2焦点在 y 轴上,焦距是 10,虚轴长是 8,则方程是 : 4.渐近线

(1概念:双曲线 0, 0(12222>>=-b a b y a x 的各支向外延伸时,与这两条直线 逐渐接近!故把这两条直线叫做双曲线的渐近线!(2双曲线 12222=-b y a x 的渐近线方程为:x a b y ±= ,即 0=±b y a x(3等轴双曲线的渐近线方程为:x y ±=.(4 利用双曲线的渐近线, 可以帮助我们较准确地画出双 曲线的草图.具体做法是:画出双曲线的渐近线, 先确定双

曲线顶点及第一象限内任意一点的位置,然后过这两点并

根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲 线的一部分,最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.5.离心率:(1定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e=a c ,叫双曲线的离心率.(2范围:由 c>a>0可得 e>1.思考:离心率可以刻画椭圆的扁平程度,双曲线的离心率刻画双曲线的什 么几何特征?(3含义 :离心率是表示双曲线开口大小的一个量 , 离心率越大开口越大.思考:你能到处双曲线 0, 0(12222>>=-b a b x a y 的性质吗?

三、学以致用,巩固双基: 例 1 求双曲线 9y 2-16x 2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.练习1 求双曲线 9y 2-16x 2=-144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.思考 1:请你写出一个以 为渐近线的双曲线方程.思考 2:你能写出所有以 为渐近线的双曲线方程吗 ? 练习2 求渐近线为 x y 34 ±=,且过点 4, 3(的双曲线的标准方程.四、小结反思,总结提高: 1.双曲线 0, 0(122 22>>=-b a b x a y 的简单几何性质:范围,对称性,顶点,离 心率,渐进线

2.比较双曲线的几何性质与椭圆的几何性质的异同

五、作业布置 : 必做:作业案 1-10 选做:作业案 11-12 x y 34 ±=x y 34

±=

六、教学反思

篇7：双曲线的几何性质习题3

a2b22A.ya  B.yb2

a2b2a2b222 C.xa D.ya

a2b2a2b22.双曲线x2y2）

971的焦点到准线的距离是（A.74 B.254 C.74或

254 D.234或

3.中心在坐标原点，离心率为5的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（3A.y=±544x B.y=±

 C.y=±

4 D.y=±

353x4x

4.双曲线的渐近线方程为y=±34x,则双曲线的离心率为（）

A.5 B.5532 C.2或

153 D.5或

534

参考答案：

篇8：§8.4双曲线的简单几何性质习题八

x2y2［例1］已知双曲线22=1(a＞0，b＞0)的焦点坐标是F1(－c,0)和F2(c,0),P（x0,y0）

ab是双曲线上的任一点，求证｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜，其中e是双曲线的离心率.x2y2【证明】 双曲线22=1的两焦点F1(－c,0)、F2(c,0)，aba2a2相应的准线方程分别是x=－和x=.cc∵双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率.∴PF1x0ac2e,PF2x0ac2e.化简得：｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜.【点评】 ｜PF1｜、｜PF2｜都是双曲线上的点到其焦点的距离，习惯称作焦半径.｜PF1｜=｜a+ex0｜,｜PF2｜=｜a－ex0｜称作焦半径公式.［例2］双曲线的中心在坐标原点，离心率为4，一条准线方程是x=程.1,求双曲线的方2ca21【解】 ∵=4,=, c2a∴a=2,c=8,∴b2=82－22=60.x2y2∴双曲线的方程是=1.460【点评】 双曲线的准线总与实轴垂直.x2y2［例3］在双曲线=1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两169倍.【解】 设P点的坐标为(x,y)，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.∵双曲线的准线方程为x=±

16.5∴PF116x5PF216x5.∵｜PF1｜=2｜PF2｜, ∴P在双曲线的右支上，2PF2PF248∴，∴x=.16165xx5548x2y2把x=代入方程=1得： 1695y=±3119.5483，±119)

篇9：§8.4双曲线的简单几何性质习题八

（二）●教学目标

1.能应用双曲线的几何性质求双曲线方程；

2.应用双曲线知识解决生产中的实际问题.●教学重点

双曲线的准线与几何性质的应用 ●教学难点

双曲线离心率方程与双曲线关系.●教学过程 I.复习回顾：

师：上一节，我们利用双曲线的标准方程推导了双曲线的几何性质，下面我们作一简要的回顾（略），这一节我们将继续研究双曲线的几何性质及其应用.II.讲授新课：

例2 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.解：如图8—17，建立直角坐标系xOy，使A圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴，且CC=13×2(m)，BB=25×2(m).设双曲线的方程为

x2y2a2b2

1（a>0,b>0）令点C的坐标为（13，y），则点B的坐标为（25，y－55）.因为点B、C在双曲线上，所以

252122(y55)2b21, 132122y2b21.252(y12255)2b21(1)解方程组1322

122yb21(2)由方程（2）得 y512b

（负值舍去）.代入方程（1）得

(5b25255)212212b21, 化简得

19b2+275b－18150=0

（3）解方程（3）得

b≈25(m).所以所求双曲线方程为： x2y21.144625说明：这是一个有实际意义的题目.解这类题目时，首先要解决以下两个问题；（1）选择适当的坐标系；（2）将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来.a2c例3 点M（x,y）与定点F(c,o)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数(ca0),求点M

ca的轨迹.解：设d是点M到直线l的距离.根据题意，所求轨迹是集合MFcp=M, da由此得

(xc)2y2a2xcc.a化简得

(c2－a2)x2-a2y2=a2(c2－a2).设c2－a2=b2，就可化为：

x2y221(a0,b0).2ab这是双曲线的标准方程，所以点M的轨迹是实轴长、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.（图8—18）说明：此例题要求学生进一步熟悉并熟练掌握求解曲线轨迹方程的一般步骤.6.双曲线的准线：

由例3可知，当点M到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=

c(e>1)时，这个点的a轨迹是双曲线.定点是双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.a2准线方程：x=.ca2x2y2a2其中x=相应于双曲线221的右焦点F(c,0);x=－相应于左焦点F′(－c,0).ccab师：下面我们通过练习来进一步熟悉双曲线几何性质的应用.III.课堂练习：

课本P113 2、3、4、5.要求学生注意离心率、准线方程与双曲线的关系的应用.●课堂小结

师：通过本节学习，要求大家熟练掌握双曲线几何性质的应用，并注意利用离心率、准线方程与双曲线的关系确定双曲线方程的方法，并了解双曲线在实际中的应用问题.●课后作业