双曲空间中具有非正Ricci曲率的超曲面的性质

1 引言

设Rn+2是n+2维实向量空间, 在其上定义Lorentz度量如下

赋予了Lorentz度量的R n+2, 称为Lorentz-Minkowski空间, 记为Ln+2。于是, 对于常数c<0, n+1维双曲空间可定义为

当c=-1时, 通常简写为。

对于双曲空间中具有非负截面曲率的超曲面M n, 胡泽军 (1 9 9 5) 推论表明, 如果其具有常平均曲率H, 则M n是全脐点超曲面或者

其中S表示M n的第二基本形式模长平方。之后, 关于双曲空间中有常平均曲率的超曲面或具有平行平均曲率向量子流形的研究有不少, 但大部分都限于子流形的截面曲率非负或R i c c i曲率非负的情形.在本文中, 我们主要讨论双曲空间中具有非正R i c c i曲率的超曲面的性质。

2 超曲面的性质

设M n是双曲空间中具有非正Ricci曲率的n维超曲面, S是Mn的第二基本形式模长平方, 则

进一步, 如果假定M n有两个主曲率λ、μ, 重数分别为n—1, 1, 那么λμ≤1.

考虑中的嵌入超曲面

设x∈Tn-1, 1, 取有两个主曲率tanh1和coth1, 重数分别为n—1、1, 且Tn-1, 1完备并等距于n—1维双曲空间和1维球面的黎曼乘积 (tanh21—1) ×S1 (coth21—1) , tanh21—1和coth21—1分别是它们的常截面曲率。

因此, Tn-1, 1的Ricci曲率Ric= (n—2) (tanh21—1) <0, n≥3, 平均曲率

而且,

3 证明

对于双曲空间中的n维超曲面M n, 选取恰当的标准正交标架场使得An+1ei=λiei, 或者等价地有

其中λ1, λ2, …, λn是M n的主曲率Mn的Gauss方程是

由 (1) 和 (2) , 可得

因此, Mn的Ricci张量

且

对于任意固定的j, 1≤j≤n, 由Cauchy-Schwarz不等式, 我们得到

等号成立, 当且仅当λi=λk, i, k≠j, 即有

同样, 由

可得到

等号成立的条件同 (5) 式的情形。由 (6) 和 (7) 式, 可推出

由 (8) 和 (4) 式, 可得

其中我们记

由假设Rij≤0, 结合 (9) 式, 可得到

于是, 可得

另外, 若M n有两个主曲率λ、μ, 其中λ为n-1重, μ为1重, 则

令λμ=Z, 由方程式 (1 1) 和 (1 2) , 可得以下方程

解方程 (1 3) , 可得

结合 (10) 和 (14) , 可得

超曲面的性质得证!

摘要：关于双曲空间中有常平均曲率的超曲面或具有平行平均曲率向量子流形的研究大部分限于子流形的截面曲率非负或Ricci曲率非负的情形, 本文讨论了双曲空间中具有非正Ricci曲率的超曲面的性质。

关键词：双曲空间,非正Ricci曲率,超曲面

参考文献

[1] 丘成桐, 孙理察.微分几何讲义[M].北京:高等教育出版社, 2004.

[2] Hu Z.J.Complete hypersurfaces with constant mean curvature and non-nega-tive sectional curvature.Proc.Amer.Math.Soc., 1995, 123.