破解四色猜想命题的切入点在哪里

笔者在荣获“第六届中国科学家论坛自主创新学术成果”优秀奖的拙作《四色猜想研究应走出“面的数量”怪圈》中明确指出, 面的数量不是图的需用颜色区分种数的决定性因素, 因此, 四色猜想命题的研究应当走出“面的数量”怪圈。既然如此, 那么, 破解四色猜想命题的切入点 (下文简称为“切入点”) 在哪里呢?为使四色猜想命题的研究者们能接受本人的“组合说” (本人把自己对四色猜想的研究成果称之为“组合说”) , 本文想运用逻辑推理和抽丝剥茧的方法对这个议题进行论证。

1 第一个要弄清楚的问题:切入点与四色猜想命题的不可理解性的两个因素

笔者认为, 找准破解四色猜想命题的切入点, 这是破解四色猜想命题的关键之关键, 而要找准破解四色猜想命题的切入点, 首先得要弄清楚四色猜想命题的不可理解性的两个因素。这是因为, 切入点就隐藏在四色猜想命题的不可理解性的两个因素之中。那么, 四色猜想命题的不可理解性的两个因素又是指什么呢?为此, 让我们把镜头回到当年英国大学生弗南西斯·葛里斯的发现来吧。

我们知道, 1852年, 刚从大学毕业的弗南西斯·葛里斯, 在对英国地图着色的时候, 发现一个很有趣的现象, 对无论多么复杂的地图, 只消用四种颜色就足以将相邻区域区分开。弗南西斯认定这种现象隐藏着一个深奥的数学问题, 于是他便把这个发现提了出来。后来人们把弗南西斯发现的地图着色现象定之为“四色猜想”命题。

从上述的这段文字中不难看出, 四色猜想命题的不可理解性, 就在于地图的“无论多么复杂”。很显然, 地图的“无论多么复杂”包含着两个方面:一个是指无论面 (即区域, 下文同) 的数量是多少;另一个是指面与面之间的关系。这两个方面, 其实就是四色猜想命题的不可理解性的两个因素。那么, 这两个因素中, 究竟哪个因素才是真正的切入点呢?且看下章节的分析证明。

2 第二个要弄清楚的问题:面的数量对图的需用颜色区分种数不起决定性作用, 因而不是切入点

我们知道, 在四色猜想命题中, 面是最核心的要素, 在组成图的过程中, 面又表现出两个因素, 一是面的数量, 二是面与面之间的关系。而这两个因素, 正与四色猜想命题不可理解性的两个因素相吻合。这也就是说, 面在组成图的过程中所表现出来的两个因素, 正是四色猜想命题不可理解性的两个因素。四色猜想命题讲的是“ (展现在平体表面的图) 为什么仅需用四种颜色就足以将其各面区分开”的问题, 也即是着色区分的问题。据此, 无疑, 我们要找破解四色猜想命题的切入点, 是对图的需用颜色种数起决定性作用的因素, 而不是别的因素。那么, 在“面的数量”与“面与面之间的关系”的两个因素中, 哪一个才是对图的需用颜色种数起决定性作用的因素呢?这就让事实来说话吧。

事实1:本人的研究结果表明, 一字状结构的图 (本人把其面一字排列组成的图称之为“一字状结构的图”) , 不论其面的数量是多少, 仅需用2色就足以将其各面区分开 (见图1) 。

事实2:本人的研究结果表明, 梳子状结构的图 (本人把其面排列组成如梳子状的图称之为“梳子状结构的图”) , 不论其面的数量是多少, 仅需用3色就足以将其各面区分开 (见图2) 。

事实3:本人的研究结果表明, 梯子状结构的图 (本人把其面排列组成如梯子状的图称之为“梯子状结构的图”) , 不论其面的数量是多少, 仅需用4色就足以将其各面区分开 (见图3) 。

上述的三个事实的相同条件是“不论其面的数量是多少”, 不同的结果是“仅需用颜色区分的种数”。这三个事实有力地证明, “不论其面的数量是多少”——即“面的数量”不是图的需用颜色种数起决定性作用的因素。既然如此, 那么, 依照逻辑排除法, 将“面的数量”这个因素排除出切入点之外, 剩下的“面与面之间的关系”这个因素应是破解四色猜想命题的切入点。

图的面与面之间的关系究竟是一种什么样的关系呢?请看第三章节的分析和证明。

3 第三个要弄清楚的问题:图的面与面之间的关系究竟是一种什么样的关系

定义1:相邻面, 即彼此之间有共同边界线的面。

定义2:非相邻面, 即彼此之间没有共同边界线的面。

定义3:全相邻面, 即与图中任何一个面均有共同边界线的面。如这个图所有的各面彼此之间只存在相邻关系, 不存在非相邻关系, 那么其所有的面均为全相邻面, 也即这个图是由全相邻面组成的图。

定义4:相邻点, 就是在相邻的两个面的共同边界线上画上一个圆圈, 并将这两个面的编号分别写在圆圈内组合为一组数字, 这个圆圈和圆圈内的共同边界线以及组合数字就称之为相邻点 (如图6中就是“1”与“2”两个面的相邻点) 。

定义5:非相邻点, 就是将非相邻的两个面的编号分别写在两条竖线 (这两条竖线是表示非相邻的意思) 的两侧边, 并组合为一组组合数, 这两条竖线和组合数字称之为非相邻点 (如图11中“2‖4”就是“2”与“4”两个面的非相邻点) 。

定义6:图的组合模式, 就是各面在连接组合形成图时的一种结构形式。这种结构形式可通过将图的各个相邻点的组合数字和非相邻点的组合数字, 对号入座到的组合数字模式中反映出来。从这个意义上说, 图的组合模式就是具体、准确反映图的各面彼此之间相邻关系和非相邻关系情况的记录图。

图的面与面之间的关系究竟是一种什么样的关系?事实证明, 图的面与面之间的关系就是一种组合关系。且看下面作图证明。

例证1:

如图4, 是一个由4个面组成的图。从该图可以看出, 图中4个面彼此之间相邻, 不存在非相邻面, 是一个由相邻面组成的图。那么, 图4中的面与面之间是一种什么样的关系呢, 现对其作出证明:

第一步, 将图添画上相邻点, 如图5所示。

第二步, 有序列出图5的各相邻点, 见图6。

第三步, 有序列出非相邻点。因图4的4个面彼此之间均相邻, 不存在非相邻面, 故此, 不存在非相邻点。

第四步, 将相邻点和非相邻点对号入座到图的组合模式, 见图7。

从图7看出, 共有6个相邻点, 相邻点的组合数正是“1”、“2”、“3”、“4”4个面的编号数字为不同元素取出2个元素并成一组的组合数字, 相邻点的数字组合为其组合等式为。可见, 图4的面与面之间的关系是组合关系, 而图的模式也是组合模式。此证。

例证2:

如图8, 是一个由6个面组成的图。从该图可以看出, 图中6个面“1”与“2”、“1”与“3”、“1”与“4”、“1”与“5”、“1”与“6”、“2”与“3”、“2”与“6”、“3”与“4”、“3”与“6”、“4”与“5”、“4”与“6”、“5”与“6”彼此之间相邻, “2”与“4”、“2”与“5”、“3”与“5”彼此之间非相邻, 是一个由相邻面和非相邻面组成的图。那么, 图8中的面与面之间是一种什么样的关系呢, 现对其作出证明:

第一步, 将图添画上相邻点, 如图9所示。

第二步, 有序列出图9的各相邻点, 见图10。

第三步, 有序列出非相邻点, 见图11。

第四步, 将图10的相邻点和图11的非相邻点对号入座到图的组合模式, 见图12。

从图12看出, 共有12个相邻点、3个非相邻点, 相邻点加非相邻点之和为15。相邻点和非相邻点的组合数正是“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”6个面的编号数字为不同元素取出2个元素并成一组的组合数字, 其组合等式为。可见, 图8的面与面之间的关系是组合关系, 而图的模式也是组合模式。此证。

综图4和图8的证明, 得出结论, 图的相邻点的组合数字和非相邻点的组合数字正是以图中n个面的编号为不同元素取出2个元素并成一组的组合数字, 因此, 图的面与面之间的关系不是排列关系, 而是组合关系;图的模式不是排列模式, 而是组合模式。

我们已知, 图的面与面之间的关系是组合关系。那么, 其理论依据是什么?为此, 请看下面的分析证明。

4 第四个要弄清楚的问题:图的面与面之间的组合关系与图的形成原理

本人的研究结果表明, 图的面与面之间的关系之所以是组合关系, 这是由图的形成原理所决定的。

我们知道, 四色猜想命题中所说的图, 是指由若干个面组成的整体, 而面则是组成这个整体的主体, 用工业语言来说, 面是组成图的“组装原件”。事实证明, 图的形成过程就是一个面又一个面组合形成为一个整体的过程, 任何一个图都是由一个面又一个面组合形成的整体。现予以作图证明:

如图13所示, 是一个由4个面组成的图。从图14看出, 图13之所以成为一个由4个面组成的图, 正是从1个面→由2个面连接组合→由3个面连接组合→由4个面连接组合的过程。

可见, 在四色猜想命题中, 任何一个图都是由若干个面连接组合形成的整体。这就是图的形成原理。正因为如此, 所以, 图的面与图之间的关系为组合关系。

综本文所证, 归根结底, 破解四色猜想命题的切入点就是图的形成原理。

本来, 实践的规律明确地告诉我们, 不懂得收音机的原理, 就谈不上懂得对收音机的维修;不懂得某项技术原理, 就谈不上懂得对该项技术的操作。同样的道理, 四色猜想命题讲的是图的着色区分, 很显然, 不弄清楚图的形成原理, 不弄清楚图的“组装原件”——面在组成图这个整体时, 它们之间的关系是一种什么关系, 当然也就谈不上找到破解四色猜想命题的正确答案。本人正是走出“面的数量”怪圈, 从图的形成原理这个切入点入手, 发现了图的面与面之间的关系是组合关系, 图的模式是组合模式, 进而找到了图的着色区分定理。运用图的着色区分定理, 不仅对“一字状结构的图为什么仅需用2色区分”、“梳子状结构的图为什么仅需用3色区分”、“梯子状结构的图为什么仅需用4色区分”的问题可以作出科学证明, 而且对“展现在平 (球) 体表面的图为什么仅需用4色区分”、“展现在环体 (见图15) 表面的图为什么仅需用5色区分”、“展现在丁环体 (见图16) 表面的图为什么仅需用6色区分”、“展现在8字连环体 (见图17) 表面的图为什么仅需用7色区分”的命题也可以作出科学证明。本人发现的图的着色区分定理是n色区分的全通定理, 完全否定了“四色猜想是真的机器证明”之说。

摘要：本文运用逻辑推理和抽丝剥茧的方法, 围绕“破解四色猜想命题的切入点在哪里”这个问题, 循着“四色猜想命题的不可理解性的两个因素→排除图的需用颜色非决定性因素→图的面与面之间的关系及其理论依据”的思路进行层层分析证明, 最后得出了“图的形成原理才是真正切入点”的答案。

关键词：四色猜想,切入点,图,面与面之间的关系,组合,原理