数学发展历史论文

近日小编精心整理了《数学发展历史论文(精选3篇)》仅供参考，希望能够帮助到大家。【摘要】数学语言是数学思维的直接体现；数学语言的发展，能有效促进学生数学思维的发展。在长期的数学课堂教学实践中，笔者针对具体教学内容，坚持规范数学语言的训练，将培养数学语言的表达能力贯穿于教学活动的全过程，有效地提高了数学教学质量。

第一篇：数学发展历史论文

数学表征与儿童数学思维发展

摘要：数学教学的目的之一是发展学生的数学思维。在小学代数教学的中美比较研究中发现，中美教师的表征意识、表征方式和对待学生数学表征的态度具有较大差异。教师应当充分认识数学表征对儿童数学思维发展的价值，合理使用多种数学表征工具提升儿童数学思维。

关键词：数学表征方式 思维发展 中美比较

数学教学的一个目标是：“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。”通过数学学习，发展学生数学思维水平，提高学生处理实际问题的能力，应该是数学教育的目标和价值所在，也是数学教育研究的重要内容。

2016年，由美国天普大学教育学院丁美霞博士和南京师范大学马复教授共同主持的数学教育科研项目“小学教学中的代数教学知识：国际比较研究”，让我们有了“零距离”观摩中美两国小学代数教学的机会。在这一过程中，我们发现，中美两国的小学代数教学，无论是课程内容的安排，还是教学目标、教学过程和教学评价等方面，都有着较为显著的差异，这些差异也集中体现在代数知识的数学表征和两国学生的数学思维发展上。鉴于此，探讨中美两国在小数代数教学中数学表征对数学思维发展的影响，成为一个让人感兴趣的研究方向。

一、中美数学教学中的表征及其标准

在此次项目研究中，美国教师一直在通过访谈的方式，了解中国教师备课时的教学目标设定，其中特别要求中国教师详细说明“这节课准备用怎样的表征方式，帮助学生理解概念”；在录制视频后，还会进一步询问“课堂上学生用什么方式进行表征”。而在观摩美国教师的教学录像时，我们也经常能听到美国教师这样的提问：“对这个问题，你是如何表征的？”“理解他的表征方法吗？”

什么是“表征”？为什么美国教师这么重视“表征”？“representation”一词，原是一个心理学概念，翻译成中文，字面意义为“表现、陈述”。但在教学领域，“representation”的含义非常丰富：它既指向学习者内部的心智活动，又指向学习者外在的思维形式；它是思维活动表达的过程，也是思维活动呈现的形式。可以说，“representation”具有数学学习、交流工具和内容的双重身份。为了更好地体现它的丰富性，在教学领域，最终把它翻译为“表征”。

“表征”这一概念备受美国数学教育研究者的追捧，是因为在2000年4月由全美数学教师理事会确定的《学校数学教育的原则和标准》中，将其确定为五大过程性标准之一（其余四个为问题解决、推理与证明、交流、关联）。其中明确指出“表征既指过程也指结果”，也具体提出对了美国学前期到十二年级学生表征学习的要求，如“创造和利用各种数学表征组织、记录和交流数学观念”“选择、应用和互换各种数学表征解决问题”“应用表征模拟并解释数学中的现象”。

相对来说，中国教师对表征概念还比较陌生。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“2011版课标”）并没有将“表征”纳入其中。不过，这并不表示中国教师完全不了解数学表征。2011版课标虽然没有明确应用“表征”这个术语，但也从不同角度表达了相同的意思，如数学学习“不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和数学思想方法”，课程内容“要处理好过程与结果的关系，直观与抽象的关系，直接经验与间接经验的关系”。

二、中美小学代数教学中表征差异的比较

小学阶段是儿童早期代数思维的启蒙阶段，而代数思维是儿童数学思维不断发展的一个重要指征。如何在代数教学中让儿童更好地理解和表达数量之间的抽象关系？中美两国教师都做出了非常有益的探索和尝试。

（一）表征意识的差异

美国教师在代数教学中，非常重视数学表征的应用。上课前，教师会准备大量实验材料，以方便学生表征。这些材料中，出现最多的是各种颜色的小正方体积木，也会有小正方形或各种形状的小纸片。教学中，教师会明确学生需要掌握的表征方法，如学习加法时，用小正方体积木表征算式的意义和结果；还会鼓励学生在教师示范的表征方法以外，采用动作、语言、图形等不同方式进行个性化的表征，如渗透分配律的过程中，通过摆正方形表征分配律的含义，并展示学生用画图、说理等方式的表征，让全班学生理解和模仿。可以说，美国教师在课堂教学中，表征意识非常强烈。

中国教师在数学教学中，即使不知道“表征”这一术语，也会有意识地引导学生进行数学表征。比如，在小學低年级，教师会给学生提供比较简单的材料（主要是小棒），让学生通过数一数、摆一摆的方式理解数量和数量间的关系；进入中年级后，直观形象的表征材料逐渐减少，教师更多的是引导学生用抽象的图示、算式等方式表征自己理解的数学关系。近年来，在学习方式变革的过程中，教师也更加重视让学生用自己的方式表征数学理解。特别明显的是，课堂上，教师常常让学生画一画、写一写，表达自己对数量关系的认识。

表征意识的差异，直接体现在学生的课堂学习过程中。美国数学课堂的学习主要方式是动手实践。在理解概念、表达关系的代数知识学习中，说得不多，动得很多。教师常常要求学生用实物或模型表征数量间蕴藏的关系，最终可能就用一个具体的情况表征出一种抽象的关系。而我国代数知识的学习中，通过写、算、说的方式，积累大量正例，进行观察、比较，是学习的主要形式。教师最终都会要求学生用抽象的符号、语言表征这些规律，课堂学习主题明确，目标清晰，过程清楚。

（二）表征方式的差异

中美小学代数教学中，表征方式的差异特别明显。下面以“加法交换律”的教学为例进行说明。

美国在一年级课堂教学中，一边学习10以内的加减法，一边就开始渗透和介绍加法交换律了。教师使用的表征工具被称为“方块火车”，即两种颜色的小正方体积木拼接成的柱体。首先，教师让学生用小正方体表征出算式2+4的含义（如图1），再说出2+4的结果是几。这个表征的过程，每个学生都必须独立完成。教师和助教一直在学生中巡视和指导，确保每个学生都可以成功地用分散的小正方体积木拼接出一个“方块火车”，掌握表征2+4这个算式的方法。然后，教师让学生对图2进行算式表征（即4+2）。接下来，教师就这两次表征的“方块火车”进行比较，让学生思考：这两个“方块火车”有什么区别？让学生旋转“方块火车”，发现两者之间的关系，再说出自己的发现。学习结束的整理中，也依然用这个例子，作为加法交换律的表征。

中国在四年级有专门的课时教学加法交换律。首先，教师提出一个实际的问题：28个男生在跳绳，17个女生在跳绳，跳绳的一共多少人？在学生列式解答之后，教师揭示得数相等，可以用等号连接两个算式，从而得到加法交换律的一个正例。接着，教师让学生寻找并口述这样的正例，在大量正例的观察比较中，体会加法交换律中的数量关系，并尝试用更为抽象的符号表征加法的这一数量关系。

从两个教学过程可以看出，美国课堂更侧重于采用直观表征的方式，用具体的实物、模型或图形等可视、可操作的材料、教具作为学生数学思考的表征素材。这不仅是对结果的表征，更是对过程、内涵的表征。而我国的数学课堂采用的是符号表征方式，让学生从具体情境中抽象出算式表征，然后进一步用算式表征，表达对关系的理解，概括出字母表征的形式。

综上，美国教师更喜欢直观表征，而中国教师更倾向使用符号表征，但两国在表征中的形式都比较单一。直观表征的好处是让学生认识到具体与抽象之间的关系，有助于学生思维从具体到抽象的发展；而符号表征更加严谨规范，能加深学生对关系的理解，发展学生的抽象能力。单一的表征形式会让学生形成比较单一的数学思维方式。所以，美国学生面对新的问题情境，更倾向于用原始、朴实的画面和简单、具体的操作，表征问题中的数量关系，以形象思维为主；而中国学生面对新的问题情境，则会尝试比较抽象的方式表征，如画线段图、列关系式，偏重逻辑思维。

（三）教师态度的差异

面对学生在问题研究中的不同表征，中美教师的态度也有所不同。下面，以“乘法分配律”的教学为例进行说明。

美国教师在三年级的班上出示了两幅6×4的方格图，并提问：“可以用什么方法来得到乘积？”面对这一问题，学生给出了不同的表征方式。第一个学生横着圈出4个6，6个6个地数出得数；第二个学生竖着圈出6个4，4个4个地数到24。这里，教师都只是让学生数出得数，没有进一步的要求。第三个学生先竖着分出6个3，再横着分出2个3（如图3），然后数出得数。这时，教师让学生用乘法算式表示两步的思考过程。学生说出“3×6”和“3×2”后，教师提问：“那么数一数，一共是几个6呢？”根据学生的回答，教师又带着全体学生在图中再次数了数，确定是4个6。第四个学生的方法比较特别：他先将图形平均分成四份（如图4），然后算出每份的格数，再算四份的格数。教师迅速对这个问题表征方式给予充分肯定：“很棒！我们想到了很棒的方法！”并立刻举例：“有时我们会遇到更大的方格图，比如12×10或者12×12，我们很难知道这样的题的答案。这时候，我们就可以用这样的方法。”

中国教师在这节课的观后评价中普遍担心：最后一种方格分割方式，会不会让学生混淆乘法结合律与乘法分配律？

面对学生在代数学习中的不同表征，两国教师的态度很好地说明了前面我们提到的思维方式。中国教师和学生在数学思考中特别重视指向目标的逻辑思考，思维呈现比较鲜明的指向性；如果偏离既定的研究内容，就会担心知识体系间的混淆。在实际教学中，教师很担心遇到学生这样天马行空的表征方法。而美国教师虽然也有内容指向，但教学中思维相对发散。因此，教师对学生这样偏离学习内容的表征，表现得更加淡定自若，甚至在教学活动中会停下原有的教学环节，单独解读这样的表征方法。由此带来的是两国学生在学业成就上的差异。课堂教学目标更为明确凝练，使得中国学生在学业水平测试中更容易获得好分数，但也产生了“中国学习者悖论”，即中国学生在创造性领域比较薄弱。

三、表征差异比较对儿童数学思维发展的启示

（一）充分认识数学表征对儿童数学思维发展的价值

在课堂教学录像的相互观摩中，两国教师都表现出对对方表征方式的浓厚兴趣。在看到美国教师用旋转“方块火车”的方式揭示加法交换律时，中国教师感到这种表征方式不仅非常有趣，而且更为形象生动；而在看到中国教师引导学生用大量形同“a+b=b+a”的算式表征对加法交换律的理解时，美国教师表示这种表征方法的教学才更准确、更“数学”。其实，无论是直观表征还是符号表征，都是表征的一种形式，没有优劣之别。中美两国在小学代数教学中数学表征存在较大的差异，原因与两国课程标准的设定、数学教育的文化传统有着密切的关系。在儿童早期代数教学中，美国教师更重视数学表征教学，通过直观表征的方式组织学生的交流、学习，因此，美国学生在数学思考中也更依赖形象思维，动作表征、图像表征发展较好；中国教师关注学习内容的达成度，还没有将表征作为教学内容和结果的一个目标维度，因此，中国学生偏重符号表征的学习方式，数学思维活动逻辑性强，相对来说形象思维能力比较弱。可以说，双方的表征方式都各有利弊。

有学者指出：“任何表征都能够表达部分但不是全部的信息，凸显其中的一些方面而隐藏另一些，所以说，单一的表征形式不利于学生对知识的全面理解。”因此，发展学生的多元表征能力，才能更好地融合中美两国数学教学所長，为学生在早期代数学习乃至其他领域的数学学习中，建立更为丰富立体的内、外部表征系统，建立更为完善的数学知识结构，从而提升学生在面对复杂问题时创造性思维和表达的能力。

在教学中，教师要尽量采用多元化的数学表征方式，在示范引领中鼓励学生开展个性化的多元表征，让学生在创建自己的多元表征过程中，把对数学内容的理解展现出来——不仅要重视符号表征的培养，还应该进行直观表征、直观表征与符号表征的联系等的训练。不过，令人欣喜的是，随着学习方式变革的深入，越来越多的数学课堂中呈现出多元表征的状态。在项目研究后期，中国教师教学“加法结合律”时，引导学生通过画图、拼摆、符号、言语等表征方式，表达对结合律含义的理解，使学生能将各种表征间的关系联系起来。

（二）合理使用多种数学表征工具提升儿童数学思维

我国低年级常用的教具是小棒，它在表达数量、理解算理和算法、认识十进制等领域，有着自己独特的优势。而在这次观摩中，我们发现，美国学生似乎没有使用小棒表征的习惯，他们的桌子上是一堆类似积木的学具（如图5）。这款积木称为Snap Cube（又名Math Link），是一个个可以互相嵌入的小正方体，每个小正方体的六面都能和其他小正方体进行拼搭，所以又被称为“魔法方块”。在教学录像中，学生在加法、乘法计算，运算律渗透，算式组学习中，都会用这些神奇的小正方体积木进行数学表征。用魔法方块进行表征，不仅让表征过程更图形化、游戏化，还让学生对抽象的代数知识有了更直观的理解、表达和记忆。

美国课堂中，类似魔法方块这样的直观表征工具不仅出现在代数知识的学习中，还在数学学习的其他领域起着重要的表征作用。这些看起来低幼化的学习材料，帮助学生在头脑中不断地建立平面与空间、具体和抽象的联系，构建出一个网络化、立体化的思维空间。

从多元表征的角度来看，丰富的表征工具有利于发展学生的多元表征能力。当然，小棒也好，魔法方块也好，都只是表征的辅助手段。只有在课堂学习中，引导学生创建个性化的多元表征形式，才能真正让学生的思维得到全面的发展，对数学知识建立更饱满、立体的认识。

作者：吴贤

第二篇：发展数学思维 训练数学语言

【摘 要】数学语言是数学思维的直接体现；数学语言的发展，能有效促进学生数学思维的发展。在长期的数学课堂教学实践中，笔者针对具体教学内容，坚持规范数学语言的训练，将培养数学语言的表达能力贯穿于教学活动的全过程，有效地提高了数学教学质量。

【关键词】数学；语言；训练

一、用数学语言表述数学基础知识

知识的形成一般按“形成表象——语言内化——抽象概括”的程序进行。数学基础知识包含着很多需要用数学语言表述的素材。教师要精心准备。运用规范的数学语言表述数学的定义、定理、定律、法则、规则等数学基础知识。并在教学过程中，对学生进行数学语言的基本训练。

如：教学“平行四边形的认识”。学生不容易注意到它的“两组对边分别平行”，而往往关注它的“两组对边分别相等”。因此，我在组织学生讨论平行四边形的特征之前。先让学生从学过的相关图形中找出平行线；然后，试说什么样的图形称之为“平行四边形”；在此基础上，给出平行四边形的定义：“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。”（数学家正是把这样的图形叫做“平行四边形”）进而，让学生明确：长方形和正方形也都是平行四边形。使学生既学会用数学语言科学、严密地表述平行四边形的定义，又加深了学生对这一定义的理解。教学“乘法分配律”时，先让学生通过事例认识到“两个数的和同一个数相乘数相乘，可以把这两个加数分别同这个数相乘。把两个积相加，结果不变”，再进一步引导他们用数学符专“（a+b）×c=a×c+b×c”来表示这个运算定律。使文字语言、符号语言和图形语言这三种数学语言相互表述，既有利于学生记忆、理解，又便于学生运用。

二、用数学语言表述数学问题和问题的解法

用数学语言准确地表述数学问题，能使学生正确理解问题，进而解決问题。例如，对于“20以内的退位减法”计算题的几种算法（“破十法”、“凑十法”、“算减想加”以及“多减了，再加上”）可以结合具体的算题，要求学生说清楚操作的步骤，每一步操作的依据和算法的主要特征，以使学生掌握算法，懂得算理，明确多种算法的区别和相互联系。

三、在日常教学中注意将口头语言提炼为数学语言

在日常教学中，注意让学生用数学语言表述数学问题，有助于学生明确问题的实质，把握问题的内在联系，理清解题思路，促进数学思维的发展。求解“兴隆活塞环厂加工一批活塞环，3人2小时加工90个。照这样计算，6人8小时加工多少个活塞环？”时，先引导学生说清“照这样计算”的含义就是根据“每人每小时加工零件的个数都一样”来计算；后由果索因：要求6人8小时加工多少个活塞环，须知每人每小时加工多少个。再由因导果：已知3人2小时加工90个零件，可知每人每小时加工15个，于是，中间问题得以解决。又如：“450与540中哪个数离500最近？”“远”、“近”是日常生活词语，这里的所谓“距离50最近”指的是“与500的差最小”，将生活语言上升为数学语言，才能获得确切的意义。

四、在说理中培养学生的数学语言

数学课程的最重要的任务之一是训练学生的理性思维。用数学语言表述，不仅反映了学生对知识的掌握情况。而且可以检验学生思维是否清晰、准确、完整、有条理。如教学“整十数加减数十数”。计算20+40时，学生可能运用类比的方法算出结果。这时，可以要求学生口述算理：“根据2+4=6，2个十加4个十等于6个十，也就是20+40等于60。”这就是数学的抽象性决定了它应用的广泛性。这样的训练不仅能加深学生对算理的理解，而且训练了学生的数学语言，发展了学生的逻辑思维能力。

作者：尹清

第三篇：发展学生数学思维，展现数学课堂风采

摘 要：在中学数学的教学过程中，教师要以新课程标准作为教学准则，将学生作为学习的主体，引导学生主动学习，发展学生的创新思维，提升学生数学的学习能力，使数学课堂的教学更加有效。同时，还要注重对学生的引导与启发，引导学生在自主学习的过程中掌握数学学习方法，优化教学方式，提升课堂教学的有效性，为学生今后的学习与发展奠定基础。

关键词：中学数学;有效性;教学策略

随着数学教学改革的不断发展与深入，教师在进行教学的过程中也要注重提升课堂教学的有效性。将学生作为学习的主体，结合实际情况，深入挖掘教材内容，注重学生数学思维能力的培养，调动学生学习的积极性。本文就如何提升中学数学教学的有效性进行探究，以期能够提升中学生的数学学习水平，发展学生的数学思维。

一、中学数学有效教学的意义

1.符合新课程改革的要求

培养学生的数学素养是当前新课程改革的要求，也是数学教学的核心内容及发展趋势，同时还是满足学生综合发展以及为社会培养大量专业人才的需求。因此，在数学课堂的教学中，提升课堂教学的有效性，发展学生的数学思维，将培养学生的数学核心素养作为依据，符合新课程改革的要求以及数学教学发展趋势。

2.有利于树立终身学习的理念

受传统教育的影响，很多教师在教学中依然将提升学生的考试成绩作为教学的目标，却忽略了对学生数学学习能力以及终身学习理念的培养。导致很多学生虽然数学解题能力比较强，但是却缺乏实际运用能力，以及对问题的分析与处理能力。而中学数学有效教学的实施，可以不断的优化教学理念，加强对学生数学核心素养的培养，增强学生的数学思维能力，从而不断的提升学生的综合能力，树立其终身学习的理念。

二、中学数学有效教学的策略分析

1.加强知识与技能学习，奠定学生数学思维发展的基础

数学思维的发展离不开基础知识与技能的掌握。若学生在数学课堂的学习中基础知识都理解的不够透彻，则何来思维能力的发展。所以，在中学数学的教学中，要想发展学生的数学思维，首先便要加强学生数学基础知识和技能的掌握，并能够在此基础上举一反三。比如在教学勾股定理这一内容时，如果我们直接向学生传递勾股定理的公式，学生也能够将其运用到解题过程中去，并且可以节约很多课堂教学时间。但是学生对于勾股定理从何而来却始终存在一定的疑惑，不利于他们数学思维的培养以及对于勾股定理综合运用能力的提升。于是，我便通过多媒体向学生展示三个正方形拼在一起的图形，并让学生根据提示分别计算出各个正方形的面积，并在此基础上进一步引导学生仔细观察，发现数与形之间存在的关系，然后大胆猜想，验证结论，不仅掌握了勾股定理相关的基础知识和技能，还在一定程度上发展了学生的观察力与想象力，提升了学生数学思维能力，从而使课堂教学的效率更高。

2.设计开放性题目，培养学生的创新思维

开放性题目的设计可以加强学生对于数学基础知识的掌握，还能够促进学生创新思维能力的发展。开放性的题目，需要学生仔细分析题目中所包含的已知信息，并挖掘其中的隐含信息，由已知条件推导出未知条件，并在未知条件的基础上进行逆向推导，最终达到解决问题的目的。比如在学习了轴对称图形的相关知识之后，我们便可以为学生们设计一个这样的开放性题目：学校准备在操场的中央建设一个大花园，要求花园的建设和所种植的花草必须是轴对称图形，请根据要求和所学知识，为学校的操场设计一个你心目中理想的花坛。如此，学生会根据自己的想象和有关轴对称知识进行大胆的思考与想象，设计出自己理想中的花坛。在这种开放性的题目中，答案并不是固定的，只要满足前提条件即可，不仅可以促进学生创新思维能力的提升，还能够促进他们探究能力的发展，从而使数学课堂的教学更加高效。

3.确立学习目标，发展数学素质

在中学数学的教学过程中，适合的教学目标不仅能够使学生更好的掌握知识与技能，还能够使学生获得数学学习的成绩感，增强他们数学学习的信心，激发他们学习的主動性，从而提升课堂教学的有效性。在确定教学目标时，教师首先要对学生的数学学习基础和学习能力进行深入的了解与调查，然后结合教材内容，制定出切实可行的教学目标，使学生“踮踮脚”都能够完成。其次，教师还要带领学生对自己的数学学习进行评价和总结，正确、全面的认识自己，找出自己在数学学习的过程中存在的问题，学会为自己制定合适的学习目标。如此，通过学习目标的确定，学生的数学学习便有了明确的方向，并能够在学习的过程中收获学习的快乐与成功的喜悦，从而不断的提升自身的数学学习效率。

总之，在中学数学的教学过程中，教师要注重对学生数学思维能力的培养，为学生营造一个良好的课堂学习氛围。引导他们在数学学习的过程中不断的探究与尝试，逐渐提升他们的数学学习能力。同时，在课堂教学中，教师还要给予学生足够的思考空间与思考时间，使他们在掌握相关基础知识的基础之上，进行独立的思考与探究，突破学习中的重点与难点，实现中学数学的有效性教学。

参考文献

[1]王玉萍.浅谈提高小学数学课堂教学的有效性[J].黑河教育，2019（08）：67-68.

[2]马富宝.提升小学数学课堂教学有效性的策略[J].学周刊，2019（26）：44.

作者：时培昆