妙用类比推理

妙用类比推理（精选五篇）

妙用类比推理 篇1

一、类比的特征

首先, 类比具有相似性。类比的方法是以两个以上对象之间的类似为基础的, 根据它们在某些方面的相似之处, 推测出这两个对象在其他方面也可能有相似之处。其次, 类比具有猜测性。类比是从已经掌握了的事物的特征, 推测正在被研究中的事物的特征, 但这种猜想不是简单的模仿、复制, 而是创造性地设想。类比推理还有不唯一性, 类比的结论不一定只有一个, 结论正确与否也不确定。

二、类比推理的思维程序与步骤

类比的实质就是信息从模型向原型的转移, 恰当地运用类比可以有效地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。其步骤可由下列框图表示:

思维程序如下:具体素材-观察-研究-联想-得到猜想-验证。

三、常见类比类型

(一) 类比概念

通过类比的方法学习新的概念, 可使学生了解新学概念的背景、内涵与外延, 体会新知识产生的“土壤”, 同时也能使学生更易于理解和掌握, 对培养学生的探究能力也有很大益处。

例1 在学习了等差数列之后, 等比数列在很多问题上与它存在相似的地方, 可采用类比的方法进行教学, 如下表:

还有很多的可用类比来组织教的知识点, 比如圆与球的定义、方程、周长、面积、体积、弦, 指数函数与对数函数的图象与性质, 等等。

(二) 运算关系的类比

例2 已知命题:“若数列{an}为等差数列, 且am=a, an=b (m0, n∈N*) 为等比数列, 且bm=a, bn=b (m

A.undefinedB.undefined

C.b-a D.undefined

解析:等差与等比在运算上同样存在很多相似性, 可以用运算法则的类比来解决此问题。

加与乘类比, 如:上题中am+an=ap+aq (m+n=p+q) → aman=apaq (m+n=p+q) ;乘与乘方类比, 则b.n, a.m→bn, am ;减与除类比, 如an-an-1=d→ an/an-1=q, 则undefined;除与开方类比, 则undefined.所以选D。

(三) 升维类比

将平面图形 (二维) 升级为空间 (三维) 问题, 这种方法被称为升维类比, 在高中数学中有关这类问题也比较常见.

例3 平面几何射影定理“在RtΔABC中, AD为斜边BC边上的高, 则AB2=BC.BD”.拓展到空间, 相应的可得什么样的正确结论?

解析:把三角形与四面体进行类比, 直角三角形与直四面体 (三个面两两互相垂直的四面体) 进行类比, 三角形的边长与四面体中四个面的面积类比.则有结论:“设四面体ABCD的三条棱AB, AC, AD两两垂直, 记ΔABC的面积为SΔABC, 点A在面BCD上的射影为H, 则有:SΔ ABC2 = SΔ BCD ·SΔ BCH 。”

证明:如图2, 因为AB, AC, AD两两垂直, 可点A在面BCD上的射影H是ΔABC的垂心, 连DH延长交BC于E, 连AE, 则BC⊥AE, 在RtΔADE中, 有EA2=ED.EH, 则undefined, 即Sundefined=SΔBCD·SΔBCH.。

(四) 升次类比

例4 (2006年上海高考题文) 已知函数undefined有如下性质:如果常数a>0, 那么该函数在undefined上是减函数, 在undefined上是增函数.

(1) 如果函数undefined (x>0) 的值域为[6, +∞], 求b的值;

(2) 研究函数undefined (常数c>0) 在定义域内的单调性, 并说明理由;

(3) 对函数undefined或undefined (常数a, c>0) 作出推广, 使它们都是你所推广的函数的特例, 研究推广后的函数的单调性 (只需给出结论, 不必证明) 。

解: (1) (2) 略 (3) 推广结论:当n是正奇数时, 函数undefined (常数a>0) 是奇函数, 故在undefined上是增函数, 在undefined是减函数, 在undefined上是减函数, 在undefined上是增函数;当n为正偶数时, 函数undefined (常数a>0) 是偶函数, 在undefined上是减函数, 在undefined是增函数, 在undefined上是减函数, 在undefined上是增函数。

(五) 思想与方法的类比

康德曾说过:“每当真理缺乏可靠的论证方法时, 类比往往可以指引我们找到可行的路。”在解决某些问题时, 如果能够合理地运用类比思想, 可为问题的解决找到一个新的便捷之路。

例5. (2003年上海春季高考题) 设undefined, 利用课本中推导等差数列的前n项和公式的方法, 可求得f (-5) +f (-4) +…+f (0) + …+f (5) +f (6) 的值为____。

解析:此题要求利用课本中等差数列的求和公式中所使用的方法, 所以首先要知道用的方法——倒序相加法.易证f (n) +f (1-n) =undefined (1) 。

令t= f (-5) +f (-4) +…+f (0) + …+f (5) +f (6) , (2)

则t=f (6) +f (5) +…+f (0) + …+f (-4) +f (-5) , (3)

类似于等差数列的情形, 将 (2) (3) 两式相加再结合 (1) 式, 得undefined, 所以undefined, 即为所求。

一个典型方法就象一个好的工具, 往往可以解决一类问题, 因此随时小结, 都问个为什么, 举一反三, 这对提高学生知识的迁移和灵活应用能力有很大帮助。

(六) 同构类比

有一些数学问题没有明显的类比参照题型与方法, 但它的条件与结论与已知的数学知识在结构上非常相似, 我们可以寻找类比问题, 然后通过适当的代换, 将原问题转化为我们熟悉的问题来解决。常见的同构类比有函数与图象, 数形结合, 以向量为工具的题型等。如:

(1) 已知函数y=f (x) , 任意x1, x2∈R*有f (x1·x2) =f (x1) +f (x2) ↔对数函数y=logax;

(2) 已知函数y=f (x) , 任意x1, x2∈R有f (x1+x2) =f (x1) f (x2) ↔对数函数y=ax

例6 (2002年北京) 已知f (x) 是定义在R上的不恒为零的函数, 且对于任意的a, b∈R都满足:f (a.b) =af (b) +bf (a) , (Ⅰ, Ⅱ问省略) (Ⅲ) 若undefined, 求数列{an}的前n项和Sn.

解:当ab≠0时undefined, 令undefined, 则g (ab) =g (a) +g (b) , 且f (x) =xg (x) .

类比具体函数:对数函数, 由上可得g (an) =ng (a) .

所以f (an) =an.g (an) =nnang (a) =nan-1f (a) , undefined

因为f (2) =2, 所以undefined

所以undefined, 所以undefined (证略) 。

(七) 静止到动的类比

例7 四边形ABCD内接于圆O (如下图) , E在DC的延长线上, 则∠A=∠BCE.

把DE绕点D转动, 如图设DE交圆O于C1, C2, …, 连接BC1, BC2, …, 则∠A=∠BC1E1, ∠A=∠BC2E2, ….特别地, 当ED与圆O相切, 即C与D重合时, 有∠A=∠BDE, 此为弦切角定理, 证明略。

四、学好类比的意义与作用

例谈类比引申、类比推理、类比猜想 篇2

1有关平面向量基本定理的类比引申：

大家都知道，在平面向量加减法中有两个非常重要的法则：

（1） 三角形法则；（2） 平行四边形法则；运用类比引申很容易得到两个空间向量加减法的法则．

结束语：在高中数学教学中,我们教师不但要善于利用类比,而且要有意识地对学生进行类比训练,促使学生在生活和社会实践中对遇到的问题能进行类比引申、类比推理、类比猜想,找出解决问题的办法. 这样不仅能拓展其思维的领域,而且有助于发展学生的创造性思维和能力. 当然,类推法有时也是一把“双刃剑”,但只要我们在运用类推法时,周密思考,不要牵强附会,对在解决问题的行动序列中出现类比的负迁移作用保持高度的警惕,我们就能够促使问题解决获得“圆满成功”.

参考文献

1田富德．三角形内心的两个性质．数学通讯，2007（19）

活用类比推理 篇3

证明:如下图, 由VV-ABC=VA-VBC, 得:

点评:在本题求解中, 我们根据平面几何中的一个结论, 运用类比思想, 在四面体中猜想出具有类似数学特点的结论, 并给出了简要证明。作为一种创新题型, 类比推理已成为近几年高考命题中一道亮丽的风景。

二类比推理在代数中的应用

分析:本题是求函数值的和的问题, 把它与数列求和进行类比。观察各函数值中自变量的特点, 联想等差数列求和的方法 (倒序相加法) , 即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…, 我们可以采用f (-5) +f (6) 、f (-4) +f (5) 、…、f (0) +f (1) , 而-5+6=-4+5=-3+4=…=0+1。

点评:因为数列是一种特殊的函数, 所以数列与函数之间具有某些类似之处, 而类比又是以两个对象之间的类似为基础的, 故本题把函数求和与等差数列求和进行类比。

摘要：数学家波利亚说过:“类比是某种类型的相似性, 是一种更确定的和更概念性的相似。”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面的一致性说清楚。类比是提出新问题和做出新发现的一个重要源泉, 是一种较高层次的信息迁移。

关键词：类比推理,几何,代数

参考文献

[1]严运华.重视培养学生类比推理能力[J].基础教育参考, 2011 (8)

合情类比推理 促进知识迁移 篇4

合情类比推理是从具体的事实和自身经验出发，通过观察、实验、联想等手段而进行的一种推理。这种推理的途径是从观察、实验入手，通过类比而产生联想，或通过归纳而作出猜想。因此，教师要充分挖掘教材中的合情推理素材，发挥素材的作用，渐进而有序地培养学生的合情推理能力，使学生通过合情类比推理，进行知识迁移而获得新知。

一、合情类比推理，恰当验证，促进知识的同化

类比就是根据两个对象的相似性，引导学生合情推理，从而发现新知识，这是小学数学教学中常用的方法。如教学分数乘法应用题时，教师往往采用这种方法进行教学。课堂上，教师常常先让学生解答有关的整数、小数应用题（如下），为教学分数应用题提供“先行组织者”。

1.小芳做了10朵红绸花，做的绿绸花是红绸花的4倍。绿绸花有多少朵？

2.小芳做了10朵红绸花，做的绿绸花是红绸花的1.4倍。绿绸花有多少朵？

3.小芳做了10朵红绸花，做的绿绸花是红绸花的0.4倍。绿绸花有多少朵？

在学生解答后，教师可把第3题改成以下的分数应用题：小芳做了10朵红绸花，做的绿绸花是红绸花的2 / 5倍。绿绸花有多少朵？（改编题目后，告诉学生分数后面一般不带“倍”字）

通过比较上面几道习题，学生不难类推得出“求10朵的2 / 5是多少”用乘法计算，列式为10×2 / 5，因为2 / 5=0.4、10×0.4=4，所以10×2 / 5=4。

这种类比是合情的，但这种类比是否正确呢？还需要进行适当的验证。教师可以引导学生沟通知识之间的内在联系，让他们进行验证。

1.根据分数的意义求解。

题目是求10的2 / 5是多少，也就是把10平均分成5份，每份是2朵（10÷5=2），表示这样的2份，即4朵（2×2=4）。

2.根据“做的绿绸花是红绸花的2 / 5”，设绿绸花有x朵。

x÷10=2 / 5

x=10×2 / 5

x=4

3.改编验算。

绿绸花是4朵，红绸花是10朵。绿绸花是红绸花的几分之几？

4÷10=2 / 5

通过验证，说明解答是正确的，即“求10朵的2 / 5是多少”用乘法计算，得10×2 / 5=4（朵）。

这样通过合情类比推理和恰当验证，使分数乘法知识与学生已有的整数、小数应用题知识顺利实现了同化的目标。

二、合情类比推理，发现规律，促进知识的顺应

探索规律能有效发展学生的合情推理能力。解决问题时，有时可以选出一个比较类似的、简单的问题去解决它，改变它的解法，使它可以作为一个模式，达到解决原来问题的目的。如教学“用计算器计算”时，教材结合使用计算器的教学，在“想想做做”中设计了很多组的算式，让学生通过观察、比较、类比等方法，发现同组算式中的计算规律。其中，有如下一题。

1 × 1=1

11 × 11=121

111 × 111=12321

1111 × 1111=1234321

11111 ×11111=

× =

× =

……

发现规律的过程是开展合情推理的过程。课堂教学中，教师首先要引导学生仔细观察、认真比较，寻找算式之间的内在联系和上下的变化规律。发现的规律可以在交流中讲出来，也可以通过接着再写几个符合这样规律的算式表现出来。学生讲述发现的规律，大致说对就行，教师可以给予必要的帮助。

如上面的一组算式，可以引导学生发现以下一些规律。

1.各道题的乘数分别是1（1个1）、11（2个1）、111（3个一）、1111（4个一）、11111（5个1），依次增加一个1，所以下一道算式应该是111111（6个一）相乘。

2.各道题的积依次是一位数、三位数、五位数、七位数，接下去的算式的积应该是九位数和十一位数。

3.各个积的最中间的数字依次是1、2、3、4，且中间数就是乘数中1的个数，即每个乘数由几个1组成，中间数就是几，接下去的算式的积的中间一个数字肯定是5、6。

4.从第二个算式起，左右两边的数字是关于中间数对称的，分别是1和1、12和21、123和321，接下去左右两边的数肯定是1234和4321、12345和54321，其中前半部分从1开始依次增加1至中间数，后半部分从中间数依次减1至1。

学生从1×1、11×11、111×111、1111×1111的计算结果中，可以通过观察、类比等方法，得出11111 ×11111=123454321、111111×111111=12345654321。

学生类比得出结果后，教师还可以适当进行拓展：

11…111 × 11…111 = 。

a个1 a个1

从已有的知识经验中选出合适的切入点来探究规律，有助于学生发现规律，并对已有经验进行完善和改进，促进知识的顺应。虽然这里的类比不可能进行验证，引导学生用字母表示规律可能还比较难，但这样拓展有助于发展学生思维的广阔性，对学生进行知识迁移有一定的促进作用。

当然，合情类比推理的两个事物虽然有很多相似之处，但仍有一些差异，教师要注意学生是否有乱用类比推理的错误，发现后要及时纠正，使学生真正内化所学的知识。

探究类比推理问题的命题思路 篇5

常见的类比推理有:

一、 同构类比

这是类比中的一种极端形式.同构的意义是:集合M和N之间的一一对应f是对于其中的代数运算OM和ON来讲的M和N之间的同构对应.即假如aM∈M,bM∈M,只要有aMaN,bMbN,其中aN∈N,bN∈N,就有aMOMbMaNONbN.例如,所有有序实数对(x,y)所组成的集合X与所有复数z所组成的集合Y之间有一一对应f:(x,y)→x+yi,即f是X,Y之间的同构对应.

两个有同构对应集合之间有很强的可类比性在中学数学中,最常见的同构类比就是数形结合(函数与图像之间),解析几何(方程与曲线之间)等.

例1 设有两个折线图G1和G2,如果它们的顶点(“拐弯”点)之间有一一对应关系,并且连接对应的两个顶点的边之间也一一对应时,就称G1和G2同构.下列各组图形中,不是同构的是( D )

例2 求y=+的最小值.

分析 由y=+及两点间的距离公式,得y的几何意义为点P(x,0)到点A(1,2)与点B(2,3)的距离之和.

利用同构类比转化,如图1,根据几何性质,|PA|+|PB|的最小值为点A关于x轴的对称点A′(1,-2)与点B的距离,即ymin=|A′B|==.

二、 非同构类比

这是高中数学中大量出现的类比形式.它常常又可分为:

1. 相对概念的类比

例如,要掌握立体几何中“二面角”的定义,可以从平面几何中角的概念,类比概括出二面角的定义.

通过角的概念,由“平面空间”、“点线”、“线面”进行类比,得出二面角的定义,利于掌握.

2. 新旧知识的类比

例如,平面几何的基本元素是点和直线,而立体几何的基本元素是点、直线和平面.如果我们建立如下对应关系:平面内的点对应到空间中的点或直线,平面内的直线对应到空间中的直线或平面,那么把某些平面几何定理中的点换作直线、把线换作平面,就可“发现”一些相似的立体几何定理.

通过这样新旧知识的联系来进行类比,既有利于理解、掌握新知识,还能使旧知识得到巩固,同时使视野得到拓宽.

3. 同类事物的类比

在高中数学中,大体可从以下几个方面进行类比:

① 函数中的类比推理

例3 若x∈R,a为非零常数,函数满足f(x+a)=,试判断函数是否为周期函数?若是,证明你的结论;若不是,说明理由.

分析 由函数满足f(x+a)=,类比联想函数tanx满足tanx+=,且函数tanx的最小正周期为π,故猜想函数是周期函数,且最小正周期为4a.

证明如下:由题意,有f (x+2a)=f [(x+a)+a]====,

所以f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]==-=f(x),得证.

例4 (2006年湖北卷)半径为r的圆的面积S(r)=πr2,周长C(r)=2πr,若将r看作(0,+∞)上的变量,则(πr2)′=2πr,即圆的面积函数的导函数等于圆的周长函数.

对于半径为R的球,若将R看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似的式子和语言:_______________,即____________.

分析 将面积类比为体积,周长类比为表面积,有πR3′=4πR2,球的体积函数的导函数等于球的表面积函数.

② 数列中的类比推理

例5 (2000年上海卷)在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立,类比上述性质,相应地:在等比数列{bn}中,若b9=1,则有等式_________成立.

分析 将等差数列与等比数列进行类比.一种较本质的认识是:等差数列→用减法定义→性质用加法表述(若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq);等比数列→用除法定义→性质用乘法表述(若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am•an=ap•aq).

由此,可猜测本题的答案为:b1b2…bn=b1b2…b17-n

(n<17,n∈N*).

评注 事实上,对等差数列{an},如果ak=0,则an+1

+a2k-1-n=an+2+a2k-2-n=…=ak+ak=0,所以有a1+a2+…+an=a1+a2+…+an+(an+1+an+2+…+a2k-2-n+a2k-1-n)(n<2k-1,n∈N*).从而对等比数列{bn},如果bk=1,则有等式b1b2…bn=b1b2…b2k-1-n(n<2k-1,n∈N*)成立.

例6 (2004年北京卷)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.

已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,那么a18的值为______,这个数列的前n项和Sn的计算公式为____________.

分析 由等和数列的定义,易知a2n-1=2,a2n=3(n=1,2,…),故a18=3,且当n为偶数时,Sn=n;当n为奇数时,Sn=n-.

评注 本题以“等和数列”为载体.解决本题的关键是类比等差数列的有关知识及借鉴学习等差数列的经验.有如欧拉所言:“我们应该把它们当作一种机会,去更精确地研究所发现的性质,以便证明它或推翻它.”

③ 立体几何中的类比推理

我珍视类比胜于任何别的东西,它是我们可信赖的老师,它能提示自然界的秘密,在几何学中,它应该是最不容忽视的.——开普勒

例7 (2004年广东卷)如图2,由图(1)有关系=,则由图(2)有关系=______.

分析 由平面中两三角形的面积之比,可类比空间中两三椎锥的体积之比,故可猜想=.(证明略.)

例8 (2004年上海春季卷)在△DEF中有余弦定理:DE2=DF2+EF2-2DF•EFcos∠DFE.

拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱ABC-A1B1C1的3个侧面面积与其中2个侧面所成二面角之间的关系式,并予以证明.

分析 根据类比,可猜想S2 AA1C1C=S2 ABB1A1+S2 BCC1B1-2SABB1A1•SBCC1B1cosθ,其中θ为侧面为ABB1A1与BCC1B1所成的二面角的平面角.

证明如下:作斜三棱柱ABC-A1B1C1的直截面DEF,分别交侧棱(或延长线)AA1,BB1,CC1于点D,E,F,则∠DEF为面ABB1A1与面BCC1B1所成角.

在△DEF中,有余弦定理DE2=DF2+EF2-2DF•EFcosθ,同乘以AA21,得DE2•AA2 1=DF2•AA21+EF2•AA2 1-2DF•AA1•EF•AA1cosθ,即S2 AA1C1C=S2 ABB1A1+S2 BCC1B1-2SABB1A1•

SBCC1B1cosθ.

④ 解析几何中的类比推理

一般化就是从考虑一个对象,过渡到考虑包含该对象的一个集合,或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑一个包含该较小集合的更大集合.——波利亚

例9 (2001年上海卷)已知两个圆:x2+y2=1与x2+(y-3)2=1,则两式相减可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题要成为所推广命题的一个特例,则推广的命题为_______.

分析 将题设中所给出的特殊方程推广类比(归纳)到一般方程,有设两圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,与(x-c)2+(y-d)2=r2,其中a≠c或b≠d,则由两式相减,可得两圆的对称轴方程.

例10 如图3,矩形ABCD和矩形A1B1C1D1夹在两条平行线l1,l2之间,且A1B1=mAB,则容易得到矩形ABCD的面积S1和矩形A1B1C1D1的面积S2满足S2= mS1;由此类推,如图4,两个封闭图形T1,T2夹在两条平行线l1,l2之间,如果任意作一条与l1平行的直线l,l分别与两个图形T1,T2的边界交于点M,N和M1,N1,且M1N1=mMN,则T1,T2的面积S1,S2满足______;如图5,椭圆+=1(a>b>0)与圆x2+y2=a2是夹在直线y=a和y=-a之间的封闭图形,类比上面的结论,由圆的面积可得椭圆的面积为_______.

分析 由类比可知,在图4中,S1,S2满足S2=mS1.

在图5中,任取一条与x轴平行的直线l,设l与x轴相距h,则l被椭圆截得的弦长l1=,被圆截得的弦长l2=2,故=,所以=,所以S椭圆=S圆=•πa2=πab.

1. 设函数=,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求得f(-5)+f(-4)+…+

f(0)+…+f(5)+f(6)的值为_______.

2. 若f(n)为n2+1的各位数字之和(n∈N*),如,因为142+1=197,1+9+7=17,所以f(14)=17.记f1(n)=

f(n),fk+1(n)=f(fk(n))(k∈N*),则f2 008(8)=______.

3. (2003年全国卷)在平面几何中,有勾股定理:“设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间几何中,类比平面几何中的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC,ACD,ADB两两相互垂直,则___________.”

4. 在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,则△ABC外接圆半径r=.运用类比方法,若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a,b,c,则其外接球的半径R=______.

5. 如图6所示,面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i=1,

2,3,4),此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i=1,2,3,4),若====k,则(ihi)=.类比以上性质,体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i=1,2,3,4),此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i=1,2,3,4),若====K,则(iHi)=______.

6. 给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):

① 由“若a,b∈R,则a-b=0a=b”类比推出“若a,b∈C,则a-b=0a=b”;

② 由“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+dia=c,b=d”类比推出“若a,b,c,d∈Q,则a+b=a+da=c,b=d”;

③ 由“若a,b∈R,则a-b>0a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0a>b”.

其中正确的类比结论个数是______.

1. 3. 2. 11. 3. S2 △ABC+S2 △ABD+S2 △ACD=S2 △BCD .