全称量词和存在量词

第一篇：全称量词和存在量词

《全称量词与存在量词》教学设计

课题：全称量词与存在量词 (授课人： )

一、 教学目标

1、知识与技能

通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义;掌握全称命题和特称命题的概念及判断它们真假的一般方法.

2、过程与方法

培养学生分析问题，总结问题的能力.

3、情感、态度、价值观

在数学中运用好有关的量词进而用符号熟练表达数学思想.

二、 教学重点、难点

1、重点 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称命题和特称命题的概念及判断它们真假的一般方法.

2、难点

全称命题和特称命题的真假判定。

三、 教学过程

一) 新课学习

(一)、全称量词

由课本21页思考(幻灯片上思考1)引出问题，即由：

(1)x>3;

(2)2x+1是整数.

(3)对于所有的xR,x>3;

(4)对任意一个xZ，2x+1是整数. 由上面例子引出： 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词(universal quantifier),并用符号“  ”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题. 注：

1、常见的全称量有:“一切”,“每一个”, “任给”,“所有的”等;

2、组织列举其他数学例子,加深对全称量词的理解

总结全称命题的符号语言：

通常，将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示，变量x的取值范围用M来表示.那么，全程命题“对于M中任意一个x,有p(x)成立”可以用符号简记为 xM,p(x),读作“对任意x属于M，有p(x)成立”. 例1：判断下列全称命题的真假： (1)所有的素数是奇数 2(2)xR,x11;

例后小结：

1、引导学生体会符号语言表达数学内容的准确性、简洁性，从而提倡学生在今后的数学学习中，自觉地运用符号语言表达一些数学内容

2、判断全称命题真假的一般方法：举反例法. 例后练习：课本23页1题。

(二)、存在量词

由课本22页思考(幻灯片上思考2)引出问题，即由： (1)2x+1=3 (2) x能被2和3整除; (3)存在一个x0 (4)至少有一个x0R,使2x013; Z,x0 能被2和3整除. 由上面例子引出： 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词(existential quantifier),并用符号“  ”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题.. 注：

1、常见的存在量词有:“有些”、“ 有一个”、“对某个”、“有的”等;

2、组织寻找其他数学例子,加深对全称量词的理解. 特称命题的符号语言：

特称命题“存在M中的元素x0,使得p(x0)成立”可以用符号简记为

x0M,p(x0),

读作“存在M中的元素x0,使得p(x0)成立”. 例2：判断下列特称命题的真假： (1)有一个实数x0，使x02+2x0+3=0;

(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3)有些整数只有两个正因数. 例后小结：判断特称命题真假的一般方法：举特例法. 例后练习：课本23页第2题. 随堂演练：(

1、

2、3见课件)

二) 课后探索

(ab)2b1abb1命题 是全称命题吗?如果不是全称命题，请补充必要的条件，使之成为全称命题。

三) 小结

1、 全称量词、存在量词及全称命题和特称命题的定义;

2、 全称命题与特称命题真假的判断;

3、全称命题和特称命题的自然语言与符号语言的转化. 四) 布置作业

第二教材第19页的分级训练.

第二篇：§1.3.1全称量词与存在量词教案111

1.4全称量词与存在量词(教案)

印江二中高二数学课题研究组 试教人：吴顺宏

[教学目标]

1通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义 2能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容 [教学重点、难点] 重点：理解全称量词与存在量词的意义

难点：全称命题、特称命题的真假判断 [教学过程] 问题1：请大家思考：下列语句是命题吗?你能发现这些语句之间的一些关系吗?

(1)、x3; (2)、2x1是整数;

(3)、对所有的xR,x3; (4)、对任意一个xZ,2x1是整数;

(5)、所有有中国国籍的人都是黄种人。

学生：(1)、(2)不是命题，(3)、(4)、(5)是命题。他们之间的关系是：后者比前者多了一些量词，通过这些量词来限定变量的范围使不是命题的语句成为了命题。 教师：观察，分析的很好。

短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示。含有全称量词的命题叫做全称命题。(3)、(4)、(5)是全称命题。

通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x),„表示，变量x的取植范围用M表示，那么， 全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为“xM,p(x)”，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。

问题2：如何判断一个全称命题的真假呢? 例1;判断下列全称命题的真假

(1)、所有的素数都是奇数; (2)、xR,x10; (3)、对每一个无理数x，x也是无理数。 解析：(1)、2是素数，但是2不是奇数。故此命题是假命题。(2)、任取实数x,x0,则x110.故此命题是真命题。(3)、2是无理数，但是

2222222是有理数。故此命题是假命题。

规律：全称命题xM,p(x)为真，必须对给定的集合中每一个元素x,都使得 p(x)为真，但要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假

课本23页练习 1：(1)、每个指数函数都是单调函数(真);(2)、任何实数都有算术平方根(假)

(3)、xx|x是无理数

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，x2是无理数 (假)

问题3：请大家思考：下列语句是命题吗?(1)与(3)、(2)与(4)之间有什么关系?

(1)、2x13;

(2)、x能被2和3整除;

(3)、存在一个x0R,使2x013。 (4)、至少有一个x0Z，x0能被2和3整除;

(5)、有的学生不喜欢体育锻炼。 学生：(1)、(2)不是命题，(3)、(4)、(5)是命题。他们之间的关系是：后者比前者多了一些量词，通过这些量词来限定变量的范围使不是命题的语句成为了命题。

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示。含有存在量词的命题叫做特称命题。(3)、(4)、(5)是特称命题。

通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x),„表示，变量x的取植范围用M表示，那么，

特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“x0M,p(x0)”，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”。 问题4：如何判断一个特称命题的真假?

例2判断下列特称命题的真假

(1)、有一个实数x0，使x02x030; (2)、存在两个相交平面垂直于同一直线; (3)、有些整数只有两个正因数

2解析：(1)、x02x03x0122。故不存在实数x0，使x02x030。所以此命题是假

222命题。(2)、由于垂直于同一直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一直线。 (3)、由于存在整数3只有两个正因数1和3。故此特称命题为真命题。 规律：存在性命题xM,p(x)为真，只要在给定的集合M中找出一个元素x，使命题p(x)为真，否则为假;

课本23页练习2：(1)、x0R,x00

(真);(2)、至少有一个整数，它既不是合数也不是素数

(真)

(3)、x0x|x是无理数，x02是无理数 (真)

课堂小结：通过事例引入全称命题与特称命题的概念，随后介绍了如何判断全称命题与特称命题的真假? 课后作业 课本26页习题1.3 A组

1、2.第 2 页 共 4 页

巩固练习：自我检测

一、概念填空：短语“

”、“

”在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“____”表示，含有全称量词的命题叫做

.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号_________________表示。短语“

”、“

”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“ ”表示,含有存在量词的命题,叫做______.特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”,可用符号_____________表示。

二、判断下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断它们的真假。

1、每个三角形都有外接圆;

2、所有有中国国籍的人都是黄种人;

3、有一个四边形没有外接圆;

4、对任意实数x,存在实数y,使x+y>0;

5、我认真地过每一分钟;

6、有些奇函数的图象不过原点;

7、 x,y,zN,x2y2z2 ;

8、x1,2,x2a0

15、每一个人有良知中国人都能记住小日本对中国人民的“友好”。

三、将下列命题用量词符号“”或“”表示。

1)、实数的平方大于或等于0 2)、对某些实数x有2x+1>0

四、下列命题为真命题的是 ( ) A.xR,x30 B.xN,x1 C.xZ,使x1 D.xQ,x3

五、已知命题P:“x1,2,xa0” 命题Q：“xR,x2ax2a0”

225222若命题“PQ”为真命题，则实数a的取值范围为 ( ) A.a2或a1 B. a2或1a2 C. a1 D. 2a1

含全称量词与存在量词句子

1、所有有中国国籍的人都是黄种人;

2、有的学生不喜欢体育锻炼;

3、有些面积相等的两个三角形全等;

4、所有自然数的平方是正数;

5、任何实数x都是方程5x-12=0的根;

6、对任意实数x,存在实数y,使x+y>0;

7、有些质数是奇数;

8、有的学生不喜欢穿校服;

9、所有的学生喜欢穿校服;

10、一切反动派都是纸老虎;

11、我认真地过每一分钟;

12、有一个四边形没有外接圆;

13、印江二中之所以搞“校风校纪”整治是因为有些学生无视学校校规校纪;

14、每一个人有良知中国人都能记住小日本对中国人民的“友好”。

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1.4全称量词与存在量词(学案)

问题1：请大家思考：下列语句是命题吗?你能发现这些语句之间的一些关系吗?

(1)、x3 (2)、2x1是整数

(3)、对所有的xR,x

3 (4)、对任意一个xZ,2x1是整数

全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为“xM,p(x)”，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。

问题2：如何判断一个全称命题的真假呢?

例1;判断下列全称命题的真假

(1)、所有的素数都是奇数 (2)、xR,x210 (3)、对每一个无理数x，x2也是无理数

解析：(1)、2是素数，但是2不是奇数。故此命题是假命题。(2)、任取实数(3)、x,x0,则x110.故此命题是真命题。222是无理数，但是

222是有理数。故此命题是假命题。

规律：全称命题xM,p(x)为真，必须对给定的集合中每一个元素x,都使得 p(x)为真，但要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假

问题3：请大家思考：下列语句是命题吗?(1)与(3)、(2)与(4)之间有什么关系? (1)、2x1

3(2)、x能被2和3整除

(3)、存在一个x0R,使2x01

3 (4)、至少有一个x0Z，x0能被2和3整除

特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“x0M,p(x0)”，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”。

问题4：如何判断一个特称命题的真假? 例

2、判断下列特称命题的真假

(1)、有一个实数x0，使x022x030;

(2)、存在两个相交平面垂直于同一直线; (3)、有些整数只有两个正因数。

解析：(1)、x022x03x0122。故不存在实数x0，使x022x030。所以此命

2题是假命题

(2)、由于垂直于同一直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一直线。

(3)、由于存在整数3只有两个正因数1和3。故此特称命题为真命题。 规律：存在性命题xM,p(x)为真，只要在给定的集合M中找出一个元素x，使命题p(x)为真，否则为假;

课后作业：课本26页习题1.3 A组

1、2.

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第三篇：1.4全称量词与存在量词 教学设计 教案

教学准备

1. 教学目标

(1)知识目标：

通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义; (2)过程与方法目标：

能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容; (3)情感与能力目标：

培养学生用所学知识解决综合数学问题的能力. 2. 教学重点/难点

【教学重点】：

理解全称量词与存在量词的意义; 【教学难点】：

全称命题和特称命题真假的判定. 3. 教学用具

多媒体

4. 标签

1.4.1 全称量词+1.4.2 存在量词

教学过程

一、情境引入 问题1：

下列语句是命题吗?(1)与(3)、(2)与(4)之间有什么关系? (1)x>3; (2)2x+1是整数; (3)对所有的x∈R，x>3;

(4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数;

二、知识建构 定义：

1.全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等。通常用符号“”表示，读作“对任意”。

2.含有全称量词的命题 , 叫做全称命题。 一般用符号简记为“立。(其中M为给定的集合，都有”可表示为

三、自主学习

1、引导学生阅读教科书P22上的例1中每组全称命题的真假，纠正可能出现的逻辑错误。

规律：全称命题为真，必须对给定的集合的每一个元素x, 为真，但要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个，使为假. 问题2：

下列语句是命题吗?(1)与(3)、(2)与(4)之间有什么关系? (1)2x+1=3; (2)x能被2和整除;

(3)存在一个x0∈R，使2x0+1=3;

(4)至少有一个x0∈Z ，x0能被2和3整除;

四、知识建构 定义：

(1)存在量词及表示:表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在一个”,“有点”,“有些” 、至少有一个等。通常用符号“”表示，读作“存在”。.

”。读作“对任意的x属于M，有p(x)成是关于x的命题。)例如“对任意实数x，。 (2)含有存在量词的命题叫做特称命题, 一般形式x0∈M，p( x0)，读作“存在一个x0属于M，有p(x0)成立。(其中M为给定的集合，p(x0)是关于x0的命题。)例如“存在有理数x0，使” 可表示为.

五、课堂练习

课堂小结

1.全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等。通常用符号“”表示，读作“对任意”。

2.含有全称量词的命题 , 叫做全称命题。

一般用符号简记为“”。读作“对任意的x属于M，有p(x)成立。(其中M为给定的集合，是关于x的命题。)例如“对任意实数x，都有”可表示为。 (1)存在量词及表示:表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在一个”,“有点”,“有些” 、至少有一个等。通常用符号“”表示，读作“存在”。. (2)含有存在量词的命题叫做特称命题, 一般形式x0∈M，p( x0)，读作“存在一个x0属于M，有p(x0)成立。(其中M为给定的集合，p(x0)是关于x0的命题。)例如“存在有理数x0，使” 可表示为.

课后习题

答案：B A D B

第四篇：1.4.1《全称量词与存在量词(一)量词》教案(新人教选修2-1,选修1-1)

1.4.1全称量词与存在量词

(一)量词

教学目标：了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分全称量词和存在量词的概念，并能准确使用和理解两类量词。 教学重点：理解全称量词、存在量词的概念区别; 教学难点：正确使用全称命题、存在性命题; 课

型：新授课 教学手段：多媒体 教学过程：

一、创设情境

在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至少、有一个┅┅”等量词的命题进行否定，确定它们的非命题。大家都曾感到困惑和无助，今天我们将专门学习和讨论这类问题，以解心中的郁结。 问题1：请你给下列划横线的地方填上适当的词

①一

纸;②一 牛;③一 狗;④一 马;⑤一

人家;⑥一

小船 ①张②头③条④匹⑤户⑥叶

什么是量词?这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。汉语的物量词纷繁复杂，又有兼表形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。不遵守量词使用的这些原则，就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来。

二、活动尝试

所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语。我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它数学的意境。

问题2：下列命题中含有哪些量词? (1)对所有的实数x，都有x2≥0; (2)存在实数x，满足x2≥0;

(3)至少有一个实数x，使得x2-2=0成立; (4)存在有理数x，使得x2-2=0成立;

(5)对于任何自然数n，有一个自然数s 使得 s = n × n; (6)有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有 s = n × n; 上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。

三、师生探究

命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词。命题的量词，表示的是主词数量的概念。在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词。

全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等。其表达的逻辑为：“对宇宙间的所有事物x来说，x都是F。”例句：“所有的鱼都会游泳。”

存在量词：如“有”、“有的”、“有些”等。其表达的逻辑为：“宇宙间至少有一个事物x，x是F。”例句：“有的工程师是工人出身。”

含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。

单称命题：其公式为“(这个)S是P”。例句：“这件事是我经办的。”单称命题表示个体，一般不需要量词标志，有时会用“这个”“某个”等。在三段论中是作为全称命题来处理的。 全称命题：其公式为“所有S是P”。例句：“所有产品都是一等品”。全称命题，可以用全称量词，也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如“人类是有智慧的。” 特称命题：其公式为“有的S是P”。例句：“大多数学生星期天休息”。特称命题使用存在量词，如“有些”、“很少”等，也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。含有存在性量词的命题也称存在性命题。

问题3：判断下列命题是全称命题，还是存在性命题?

(1)方程2x=5只有一解; (2)凡是质数都是奇数;

(3)方程2x2+1=0有实数根; (4)没有一个无理数不是实数;

(5)如果两直线不相交，则这两条直线平行; (6)集合A∩B是集合A的子集; 分析：(1)存在性命题;(2)全称命题;(3)存在性命题;(4)全称命题;(5)全称命题;(6)全称命题;

四、数学理论

1.开语句：语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的.这种含有变量的语句叫做开语句。如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0. 2.表示个体常项或变项之间数量关系的词为量词。量词可分两种：

(1) 全称量词

日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，记作x、y等，表示个体域里的所有个体。

(2) 存在量词

日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词，记作x，y等，表示个体域里有的个体。

3.含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题。

全称命题的格式：“对M中的所有x，p(x)”的命题，记为:xM,p(x)

存在性命题的格式：“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，记为:xM,q(x)

注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A，实际上就是英语"any"中的首字母。存在量词就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E，实际上就是英语"exist"中的首字母。存在量词的“否”就是全称量词。

五、巩固运用

例1判断以下命题的真假：

2(1)xR,xx (2)xR,xx (3)xQ,x80 (4)xR,x20 222分析：(1)真;(2)假;(3)假;(4)真; 例2指出下述推理过程的逻辑上的错误： 第一步：设a=b，则有a2=ab

第二步：等式两边都减去b2，得a2-b2=ab-b2 第三步：因式分解得 (a+b)(a-b)=b(a-b) 第四步：等式两边都除以a-b得，a+b=b 第五步：由a=b代人得，2b=b 第六步：两边都除以b得，2=1 分析：第四步错：因a-b=0，等式两边不能除以a-b

第六步错：因b可能为0，两边不能立即除以b，需讨论。

心得：(a+b)(a-b)=b(a-b) a+b=b是存在性命题，不是全称命题，由此得到的结论不可靠。 同理，由2b=b2=1是存在性命题，不是全称命题。

例3判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符号表达出来。 (1)中国的所有江河都注入太平洋; (2)0不能作除数;

(3)任何一个实数除以1，仍等于这个实数; (4)每一个向量都有方向; 分析：(1)全称命题，河流x∈{中国的河流}，河流x注入太平洋;

(2)存在性命题，0∈R，0不能作除数;

x(3)全称命题， x∈R，x;

1(4)全称命题，a，a有方向;

六、回顾反思

要判断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真;要判断一个存在性命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为假。

要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为真;但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假。 即全称命题与存在性命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系。

七、课后练习

1.判断下列全称命题的真假，其中真命题为(

)

A.所有奇数都是质数

B.xR,x11 C.对每个无理数x，则x2也是无理数

D.每个函数都有反函数 2.将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是(

)

A.x,yR，都有xy2xy

B.x,yR，都有xy2xy C.x0,y0，都有xy2xy

D.x0,y0，都有xy2xy 3.判断下列命题的真假，其中为真命题的是

A.xR,x10 B.xR,x10 C.xR,sinxtanx D.xR,sinxtanx 4.下列命题中的假命题是(

)

A.存在实数α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ

B.不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ C.对任意α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

D.不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cosαcosβ-sinαsinβ 5.对于下列语句

(1)xZ,x3

(2)xR,x2

(3)xR,x2x30

(4)xR,xx50 222222222222222其中正确的命题序号是

。(全部填上) 6.命题(ab)b12abb1是全称命题吗?如果是全称命题，请给予证明，如果不是全称命题，请补充必要的条件，使之成为全称命题。

参考答案： 1.B 2.A 3.D 4.B 5.(2)(3)

6.不是全称命题，补充条件：ab1(答案不惟一) 当ab1时, ab0，b10

(ab)2(ab)ab

b1b1b1

第五篇：【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-1教案：第1章 全称量词与存在量词 参考教案2

1.3 全称量词与全称命题

一、创设情境

在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至少、有一个┅┅”等量词的命题进行否定，确定它们的非命题。大家都曾感到困惑和无助，今天我们将专门学习和讨论这类问题，以解心中的郁结。 问题1：请你给下列划横线的地方填上适当的词

①一

纸;②一

牛;③一

狗;④一

马;⑤一

人家;⑥一

小船 分析:①张②头③条④匹⑤户⑥叶

什么是量词?这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。汉语的物量词纷繁复杂，又有兼表形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。不遵守量词使用的这些原则，就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来。

二、活动尝试

所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语。我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它数学的意境。 问题2：下列命题中含有哪些量词? (1)对所有的实数x，都有x2≥0; (2)存在实数x，满足x2≥0;

(3)至少有一个实数x，使得x2-2=0成立; (4)存在有理数x，使得x2-2=0成立;

(5)对于任何自然数n，有一个自然数s使得s=n×n; (6)有一个自然数s使得对于所有自然数n，有s=n×n;

分析:上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。

三、师生探究

命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词。命题的量词，表示的是主词数量的概念。在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词。

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等词可统称为全称量词，记作x、y等，表示个体域里的所有个体。 (2)存在量词

日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词，记作x，y等，表示个体域里有的个体。

3.含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性命题。 全称命题的格式：“对M中的所有x，p(x)”的命题，记为:xM,p(x) 存在性命题的格式：“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，记为:xM,q(x) 注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A，实际上就是英语"any"中的首字母。存在量词就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E，实际上就是英语"exist"中的首字母。存在量词的“否”就是全称量词。

五、巩固运用

例1判断以下命题的真假：

(1)xR,x2x (2)xR,x2x

(3)xQ,x280 (4)xR,x220 分析：(1)真;(2)假;(3)假;(4)真; 例2指出下述推理过程的逻辑上的错误： 第一步：设a=b，则有a2=ab

第二步：等式两边都减去b2，得a2-b2=ab-b2 第三步：因式分解得(a+b)(a-b)=b(a-b) 第四步：等式两边都除以a-b得，a+b=b 第五步：由a=b代人得，2b=b 第六步：两边都除以b得，2=1 分析：第四步错：因a-b=0，等式两边不能除以a-b

第六步错：因b可能为0，两边不能立即除以b，需讨论。

心得：(a+b)(a-b)=b(a-b)a+b=b是存在性命题，不是全称命题，由此得到的结论不可靠。

同理，由2b=b2=1是存在性命题，不是全称命题。

例3判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符号表达出来。

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