分部积分法的巧妙应用

1 引言

在学习了函数求导问题的基础上, 我们讨论过求导的反问题, 也就是已知某一函数, 需要我们去寻找另外一个函数, 使其导函数为已知函数, 这正是我们学习积分学中的其中一个问题——不定积分。在不定积分的学习中, 我们通过利用基本积分公式、不定积分的性质以及换元积分法去求解函数的不定积分是非常有限的。甚至, 对于一些看似很简单的函数, 我们都无法求出它们的不定积分, 例如∫ln xdx, 因此, 我们必须寻求更多的方法来计算这样的不定积分, 也就是所谓的“分部积分法”。分部积分法有着广泛的应用, 它将我们的基本初等函数联系在一起, 进而解决之前无法计算的不定积分。

2 分部积分公式

公式推导:设函数u (x) 和v (x) 都具有连续的导数, 则有分部积分公式:

证明:对或两边同时积分得:

事实上, 分部积分公式的实质是解决两类基本函数乘积求导或求微分的逆运算。

3 巧妙应用分部积分公式

在应用分部积分公式过程中, 选取u和是非常关键的, 如果选取恰当, 就会起到事半功倍的效果, 那么究竟如何选取呢?我们知道分部积分公式主要是用来解决两类基本初等函数乘积的导数或微分的运算, 而基本初等函数又包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。对于三角函数 (正弦函数和余弦函数) , 通过积分以后仍是三角函数;对于幂函数 (这里的幂指数是正整数) , 通过积分以后仍是幂函数, 但是指数升高了一次;对于指数函数, 通过积分以后仍是指数函数;对于对数函数和反三角函数, 通过积分以后不再是同类型的函数。

3.1 u和v′的巧妙选取

通过对五类基本初等函数的积分, 我们知道积分从难到易的顺序依次为反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数和指数函数, 即反对幂三指。因此在选取u和v′的过程中, 需要按以上顺序, 前者为u, 后者为v′。但当我们遇到需要连续使用分部积分公式的时候, 需要多次进行选择, 因此我们对于分部积分公式, 我们可以另外叫作左导又积法, 即

3.2 常见的类型

(1) 幂函数和对数函数。

解:由于这里的被积函数是幂函数和对数函数的乘积, 因此选择对数函数为u, 幂函数为, 即:

(2) 幂函数和反三角函数。

例:计算

解:由于这里的被积函数是幂函数和反三角函数的乘积, 因此选择

反三角函数为u, 幂函数为, 即

(3) 幂函数和三角函数。

例:计算

解:由于这里的被积函数是幂函数和三角函数的乘积, 因此选择

幂函数为u, 三角函数为, 即

摘要：本文针对学生在应用分部积分法的过程中选取的u和v′做了一定的阐述, 提出了一种新的方法。此外, 还给出了被积函数为不同类型初等函数乘积的解法。

关键词：分部积分法,基本初等函数,积分常数

参考文献

[1] 主长青, 王红等.微积分[M].上海:同济大学出版社, 2016.

[2] 华东师范大学数学系编 (上册) .数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2001.

[3] 吴赣昌.微积分[M].北京:中国人民大学出版社, 2012.