基于小波模极大值的信号重建

1 信号重建的意义

工程技术中有许多信号重建的应用, 如在噪声中提取有用信号的信息, 然后根据此信息恢复原信号;或者恰当地选取信号的有用信息, 尽可能的用最少的信号信息恢复原信号, 即信息压缩。传统的信号重建主要基于信号的Naiquist采样定理, 其重建的数学表达式为

其中是最为常用的一种等间距插值函数, T表示采样周期。信号重建的过程可以看作是根据已知的一系列观测数据构成的有限集合。时域重建技术有一定的局限性, 而小波变换不仅可以把信号变换到时频域空间, 还可以随信号频率分量的不同对信号做由粗到精的多分辨率分析, 非常适合处理像心电信号、语音信号等一类的信号, 小波变换一直是人们在时频域处理技术中所研究的重点。

2 利用小波变换的模极大值

给定一个基本函数, 则的小波变换定义为:

如果用于小波变换的小波函数是某一个低通函数的一阶导数或一阶导数, 那么小波变换的结果将体现出信号的极值点或转折点, 信号的极值点或转折点称作信号的奇异点, 体现了信号的主要特征, 由于信号的极值点更稳定, 更适合用来做小波分析。设为x (t) 的小波变换。若x (t) 在t0处有一个奇异点, 且t是t0附近的点, 若

那么 (a, t0) 是WTx (a, t) 的模极大值点, |WTx (a, t0) |是相应的模极大值。

3 交替投影算法下的模极大值重建信号

小波变换的模极最大值体现了信号的全部特征, 可用于重建信号。首先由模极大值构造小波变换系数, 然后由小波变换系数重构原信号。设一信号的小波变换Sj (t) 和x (t) 的小波变换在处有相同的模极大值, 并且在之外无模极大值, 则Sj (t) 就是x (t) 的重建信号的小波变换。

为了由模极大值重建原信号, 一个直接的方法就是找到一个函数, 使其小波变换与原信号小波系数模极大值在相应的位置上有相同的值。为提高精度, 此函数在定义域上要满足范数最小的条件。Mallat提出的交替投影算法满足以上要求。令V是L2 (R) 空间上所有函数的二进小波变换组成的空间, K是的序列所构成的空间, 满足

再令Γ表示K中的元素所构成的子集, 满足条件:

于是Sj (t) 就是空间的函数序列, 同时在空间上求出一个元素, 使 (4) 式最小化, 可以通过在空间V和Γ上交替投影来实现。设PV和PΓ分别是序列x (t) 向V和Γ空间作正交投影的投影算子, 则是空间V和Γ之间的交替投影算子, Pn是P的n次迭代。可以证明, 对于任一序列, 有

若x的起始值是K中的零元素, 则交替投影收敛于中范数最小的元素, 这就实现了信号小波系数的重构。

4 交替投影算法重建信号的仿真

为了分析交替投影重构信号的性能, 对Matlab工具箱中提供的Blocks信号和一段心电信号进行重构;另外还对这两种信号作基于公式 (1) 的重构, 并将重构信号与原信号做了误差比较。图1中, (a) 图所示的是一段心电信号, (b) 图所示的是一段Blocks信号。 (c) 图和 (d) 图分别为使用交替投影算法重构的心电信号和Blocks信号, (e) 图和 (f) 图分别为基于Naiquist采样定理重构的心电信号和Blocks信号。由图可见, 采用交替投影算法重建信号时, 心电信号的重建效果比Blocks信号的好, 这说明信号在不连续点处的重构质量不理想, 而在连续区域的重构效果较好。但基于Naiquist采样定理重构的信号不但有时移, 而且当差值信号选取不当时, 会造成重建信号的失真, 总之不如交替投影算法重建效果。

5 结语

基于小波变换的交替投影法重建信号叫适合于信号的重建, 但也有其局限性:信号在不连续点处的重构效果不理想, 在连续区域的重构效果较好, 这是因为高频信号在一个周期内的采样点相对比较少, 包含的信息量少, 所以, 重构质量不如低频部分。由于心电信号的连续性较好, 因此使用该方法作重建还是较为理想的。

摘要：信号重建在工程技术中有很多应用, 目前有多种信号重建的方法, 如Naquist法、小波变换法等等。本文首先阐述小波理论, 分析了模极大值与小波系数之间的内在关系, 然后说明利用小波模极大值作信号重建的交替投影算法, 最后用仿真说明利用小波变换的模极大值原理重构信号的实际意义。

关键词：小波变换,模极大值,交替投影,信号重建

参考文献

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