浅谈方程思想的优越性

2022-09-10

方程思想是表示现实世界中一类具有等量关系问题的有效数学模型, 是解决问题的重要工具之一[1]。其思想渗透着当今科技与日常生活中的各个领域。通过列方程解决问题的思想叫做方程思想[2]。方程所研究的是等量关系。并为人民提供由已知量推求未知量的方法。其实这种方法便是方程思想的核心。有了这种思想, 我们手中就相当于握了一把万能钥匙。针对不同的问题, 我们只要建立不同的等量关系, 就能加以解决。下面我们来看看这种思想在不同的领域中是如何运用的。

1 方程思想在几何中的运用

例:已知如图, 梯形ABCD中, AB//DC, AB=AC, AD=BD, BE=BC, ∠ADB=90°, 求∠BAC的度数?[3]

分析:本题一看很难入手, 但仔细观察运用方程思想这把钥匙就不同了。我们若设∠1为x°, 因为EB=BC, 则∠4、∠5均为1/2 (180°-x°) , 若∠ADB=90°, AD=BD, 则∠6=45°因为AB=AC, 所以∠1=∠3, 因为AB//DC, 所以∠7=∠6=45°, ∠1=∠3=∠2, 用方程的思想加上三角形内角和知识, 此题解法甚多, 比如用等腰三角形可得∠ABC=∠ACB, 即的得:x0+45°=1/2 (180°-x°) , 因此在△DEC中可得∠7+∠2+∠DEC=180°, 得方程x°+45°=1/2 (180°-x°) , 下面我们再用直角三角形加方程思想解:

解:在△DAB中, 因为AD=BD, ∠ADB=90°, 在△BCE中设∠1=x°, 则∠3=x°, 又因为BE=BC

经过上题的求解过程我们能够看到像代数、几何这样的综合题, 利用方程思想求解是, 十分明显的, 也是十分有效便捷的。

2 方程思想的美学价值

我们说方程很美, 美在她不仅形式简单、而且富有非常丰富的内涵。有人把方程在生活中的美学价值比作是一位有着很深文化素养的美女。能在不同的地方展示出不同的魅力, 笔者则认为她的美学价值更在于她的等量平衡性, 这是我们用来权衡自己的一把无形天平。确实, 在我们的生活中, 只要稍加体会, 方程思想的美学价值就能随处可见。

例如圆的文字定义式为:带定点的距离等于定长的所有点的集合。而其方程表示则为 (x-a) 2+ (y-b) 2=r2。我们观察其形式多么美妙, 美在其形式简单, 妙在其内涵丰富。只要我们将圆心 (a、b) , 半径r随便一换, 就可得到不同的圆。这不正是有已知推求未知的运用吗?

3 方程思想在物理学当中运用

我们都知道, 数学是物理的基础。那么方程在物理学当中的运用硬是屡试不爽。从初中时所学的欧姆定律方程到大学的抛体运动方程都离不开的方程等量思想。建立等量关系, 由已知推求才是解决问题的主心骨。

例如:质点做平面曲线运动, 已知x=3tm, y= (1-t) 2m, 求质点的轨道方程。[4]

我们一看本题, 只要稍微懂点物理知识的人都知道只要将t消去就可知轨道方程为y=1-x2/9.此题目虽然简单。但她却蕴涵着方程思想可推、可求、可放、可缩、可转化的独特优越性。

4 方程思想与函数思想的结合

方程思想与函数思想密切相关, 对于函数y=f (x) , 当y=0是就转化为方程f (x) =0, 也可以把函数或y=f (x) 看作二元方程y-f (x) =0.函数与方程的这种相互转化的关系十分重要, 应用也十分普遍。

例如:已知x≥1, y≥1, a为大于1的常数。且㏒a2x+㏒a2y=㏒ax2+㏒ay2, 求f (x、y) =㏒a (xy) 的最大值与最小值。[5]

解析:这是一个典型的函数与方程结合问题。由于方程为关于㏒ax与㏒ay的二元二次方程, 可考虑换元法。令m=㏒ax, n=㏒ay.则有m≥0, n≥0, 且原方程可化为 (m-1) 2+ (n-1) 2=4, 而k=m+n。由此可想到直线与圆的位置关系, 利用数型结合法求解。由a﹥1及x≥1, y≥1知㏒ax≥0, ㏒ay≥0, 则m≥0, n≥0, 且题目中等式可化为 (m-1) 2+ (n-1) 2=4, 另一方面㏒a (xy) =m+n, 令m+n=k, 则问题转化为:

圆弧 (m-1) 2+ (n-1) 2=4 (m≥0, n≥0)

与直线k=m+n有公共点, 求k的最大值与最小值。