高等数学复习提纲上

第一篇：高等数学复习提纲上

602高等数学复习提纲

一、课程考试内容

1、函数与极限

数列的极限，函数的极限，极限存在准则，两个重要极限，函数的连续性与间断点，连续函数的运算与初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

2、导数与微分

导数概念，函数的四则运算求导法则，反函数的导数，复合函数求导法则，高阶导数，隐函数的导数，参数方程所确定的函数的导数，函数的微分。

3、中值定理与导数应用

四大中值定理，洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值和最值，曲线的凹凸与拐点。

4、不定积分

不定积分的概念与性质，换元积分法，分部积分法，几种特殊类型函数的积分。

5、定积分及其应用

定积分的概念，定积分的性质和积分中值定理，微积分基本公式，定积分的换元法， 定积分的分部积分法，广义积分;定积分的元素法，平面图形的面积和体积，平面曲线的弧长，功、水压力和引力。

6、空间解析几何与向量代数

空间直角坐标系，向量及其加减法，向量与数的乘法，数量积和向量积;曲面及其方程，空间曲线及其方程，平面及其方程，空间直线及其方程，二次曲面。

7、多元函数微分法及其应用

多元函数的基本概念，偏导数，全微分及其应用，多元复合函数的求导法则，隐函数的求导;微分法在几何上的应用，方向导数与梯度，多元函数的极值及其求法。

8、重积分

二重积分的概念与性质，二重积分的计算方法;三重积分的概念及其计算法，重积分的应用。

9、曲线积分与曲面积分

对弧长的曲线积分, 对坐标的曲线积分, 格林公式,平面上曲线积分与路径无关的条件, 二元函数的全微分求积;对面积的曲面积分, 对坐标的曲面积分,高斯公式，通量与散度, 斯托克斯公式,环流量与旋度。

10、无穷级数

常数项级数的概念和性质, 常数项级数的审敛法; 幂级数, 函数展开成幂级数, 傅里叶级数, 正弦级数和余弦级数, 周期为2l的周期函数的傅里叶级数。

11、微分方程

微分方程的基本概念，可分离变量的微分方程, 齐次方程，一阶线性微分方程, 全微分方程;可降阶的高阶微分方程, 高阶线性微分方程,二阶常系数线性微分方程。

二、考试形式与试题结构

1、试卷分值：150分

2、考试时间：180分钟

3、考试形式：闭卷

4、题型结构：填空题，计算题，证明题。

三、参考书目

1、同济大学数学教研室 《高等数学》(第五版)高等教育出版社

2、龚冬保 《高等数学典型题解法、技巧、注释》西安交通大学出版社

第二篇：2013级《高等数学(1)》复习提纲

江苏城市职业学院五年制高职 《高等数学(1)》复习提纲

2013级工科类各专业(第四学期)使用

一、课程考核目的

本课程是五年制高职工科类各专业学生第四学期必修的公共基础课，期末考核目的是考查本课程教学要求中规定的微积分的基本概念、基本方法和基本技能。要求学生掌握求极限方法、求导数方法和求积分方法，会运用导数与积分方法解决较简单的实际应用问题，提高学生运用所学数学知识分析、解决实际问题的能力，为学习后续专业课程打好扎实的基础。

二、复习依据

1、主教材：五年制高等职业教育21世纪课程改革规划新教材《数学》第四册，2012年1月，江苏教育出版社出版，书号ISBN 978-7-5499-1140-0。

2、辅导教材：《数学教学指导与训练》第四册，2012年1月，江苏教育出版社出版，书号ISBN 978-7-5499-1139-4。

3、本复习提纲。

三、考试形式、试题类型及成绩评定

考核形式：本课程期末考试形式为闭卷统考，考试时间120分钟.

试题类型：填空题(18%)，选择题(18%)，解答题(64%)(包括求极限、求导数与微分、求积分，求平面图形的面积、讨论函数的单调性和极值)。

各章考核比例：第14章25%，第15章29%，第16章43%，第17章3%。 成绩评定：总评成绩=形成性成绩*40%+期末统考成绩*60%.

四、各章复习要求

第14章 函数的极限与连续性

1、熟记五种基本初等函数的表达式，会求函数的定义域。

2、理解复合函数的概念，会分解复合函数。

3、知道函数极限的概念，掌握函数极限的四则运算法则，熟记两个重要极限公式，能较熟练地运用极限运算法则和公式求“

0”、“ ”、“1”型函数极限。

0

4、了解无穷小的概念和性质，会判断无穷小。

5、理解函数的连续性定义，会用定义判断函数在一点处的连续性，会求初等函数的连续区间和间断点，会运用初等函数的连续性求极限。

复习重点

函数极限的求法。

第15章 一元函数的微分

1、理解导数的定义，知道f(x)与f(x0)的联系与区别。掌握导数的几何意义，会求曲线的切线方程。

2、熟记基本导数公式和导数的四则运算法则，掌握复合函数求导法则，会熟练地运用公式和法则求初等函数的导数，会求较简单的隐函数的导数。

3、了解二阶导数的概念，会求二阶导数。

4、了解微分的概念，会求函数的微分。

5、掌握函数单调性的判定定理，能较熟练地运用定理讨论函数的单调性和单调区间。

6、了解函数的极值和驻点概念，知道驻点与极值点的关系，掌握求可导函数极值的方法。

7、了解函数最大(小)值概念，掌握求连续函数在闭区间上的最大(小)值方法，会解较简单的最值应用问题。

8、了解罗必达法则，会用罗必达法则求函数的极限。

复习重点

求导方法;函数的单调区间与极值的求法;最值求法和最值应用问题的解法。

第16章 一元函数的积分

1、理解原函数和不定积分的定义，熟记不定积分的基本公式，掌握不定积分运算法则。

2、掌握积分方法，会运用直接积分法、凑微分法和分部积分法计算常见类型的不定积分。

3、了解定积分的定义，理解定积分的性质1-4和定积分的几何意义。

4、掌握定积分的计算方法，会运用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分。

5、了解广义积分af(x)dx的定义，会判断简单广义积分的收敛性。

6、会运用定积分求较简单曲线所围成的平面图形的面积。

复习重点

不定积分的计算方法，定积分的计算方法，运用定积分求简单平面图形的面积。

第17章 微分方程简介

1、了解微分方程的概念及微分方程的特解、通解的含义.

2、掌握可分离变量的微分方程的形式及其解法.

3、了解一阶线性微分方程的形式及其解法.

五、复习参考题

(一)填空题

21、设函数f(x)x2x，则f(xx)f(x)_____________________.

2、函数ysin(2x1)可以看成是由_______________复合而成的. 2x2的定义域是___________，连续区间是__________. x12sin3x________________.

4、lim(1x)x=____________________;limx0sin4xx0x12x21___________，lim2___________.

5、lim2x1xxxx2x

33、函数f(x)

1___________.

x0x

17、函数f(x)的间断点是___________.

11x

8、设y3x22x，则y|x1______________.

6、limxsin

29、设y(2x1)5，则y(0)______________.

10、曲线yxlnx在点(1，0)处的切线斜率为_________，方程为_______________.

11、设

12、f(x)dxxcosxC，则f(x)_____________________.

112xdx_________________________;

xlnxdx____________________. 12322x

13、0(x3x)dx_______________; 0edx_________________.

1

14、经过点(1，)且切线斜率为的曲线方程是_______________.

21x

215、微分方程y2y0的通解为_______________.

(二)选择题

1、下列各组函数中表示同一个函数的为(

) A.y13lnx与y2lnx

3 B.y1C.y11与y2x2与y2x

x

D.y1x与y2|x| x

2、下列极限存在的是(

)

x11

1 B.limx

C.limcosx

D. lim2

xx2x3x021x0x

3、当x0时，下列变量中的无穷小量是(

)

xA.e

B.lnx

C.sinx

D.cosx

4、下列各式中极限值为e的是(

)

1x211)

B.lim(1)x

C.lim(1)2x

D.lim(1)x2 A.lim(1xxxx2xxxx

5、函数f(x)在点x0处有定义是f(x)在x0处连续的(

) A.lim A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.无关条件

6、函数yx1的间断点是(

) 2x3x2A.x2

2B.x11，x22

C.x22

D.x11，x22

A.[2x]

7、下列等式正确的是(

)

12x

B.[]lnx

C.[1x11]

D.[cosx]sinx 2xx

8、设ysin2x，则dy(

)

A.cos2xdx

B.2cos2xdx

C.2cosxdx

D.2cos2xdx

9、函数yxln(x1)的单调递减区间是(

)

A.(,0)

B.(0,)

C.(-1，)

D.(-1，0)

10、不定积分bf(x)dx(

) 0A.f(x0)

B.f(x)

C.f(x0)xc

D.f(x0)c

11、定积分 af(x)dx是(

)

A.f(x) 的一个原函数

C.f(x) 的全体原函数

12、下列各式中是函数f(x)

B.确定常数 D.任意常数

1的一个原函数的为(

) x111A.F(x)

2B.F(x)ln|x|

C.F(x)2

D.F(x)x2

xx

13、下列广义积分中收敛的是(

)

1xxdx

B.

C.

D.edxedx sinxdx1x000

14、微分方程yy0的通解为(

) A.

A.yCex

B.ye2xC

C.yCex

D.yexC

15、满足初始条件y|x02的微分方程y2y0的特解为(

)

A.yCe2x

B.y2e2x

C.yCe2x

D.ye2x

(三)求下列极限：

1x1;

x0x2x0xxsin2x12x3x3x3).

4、lim2;

5、lim(1);

6、lim(x0x5xxxx1x

1、limx2;

2、lim(2sinx3cosx);

3、lim

(四)求导或微分：

1、已知yx1x2，求y.

2、已知ysin4xcosx，求dy.

4dyx.

4、已知y2，求dy. dxx

25、已知ye3xsin2x，求y/x.

6、已知yln(1x2)，求y.

3、已知xye33xy2，求

(五)计算下列各积分：

1、xxxdx;

2、1x(2x2)3dx;

3、(x1)edx;

4、xsinxdx;

5、10e3x43x212dx;

6、xlnxdx。 21x

1(六)应用

1、求下列函数的单调区间和极值：

13x22(1)yxx3x2;

(2)y.

31x2

22、求由曲线y2x与直线y0,x2,x1所围成的平面图形的面积.

13、求由曲线y与直线yx,x2所围成的平面图形的面积.

x

24、求由曲线yx与直线yx6所围成的平面图形的面积.

六、有关说明

1、 本次考试主要考查学生掌握一元微积分中的基本概念、基本法则、基本方法和基本技能的情况，考查学生运用所学知识解决简单实际问题的能力。试题题型不超出本复习提纲范围。

2、 各教学班任课教师要根据本复习提纲中的各章复习要求和复习重点，组织学生认真复习，熟记公式，掌握基本方法。复习时，应根据复习提纲中提供的复习参考题型，编制综合练习题让学

生复习，掌握这些题型的解题方法，但切忌让学生死记硬背。

3、本课程期末统考不需要使用计算器。

4、本复习提纲供任课老师使用，不发给学生.

5、联系方式：手机13951715304.

QQ群号20081840.

课程责任教师：凌佳

2015年5月

第三篇：高等数学(上)复习要点(2011)

高等数学A(1)期末考试要点(6学分)--2010级

一、题型

试卷共七大题

第一大题为填空题，共5小题，每小题3分，共15分;

第二大题为单项选择题，共5小题，每小题3分，共15分;

第三大题，共4小题，每小题4分，共16分;

第四大题，共3小题，每小题5分，共15分;

第五大题，共4小题，每小题6分，共24分;

第六大题7分;第七大题8分。

二、试题分布

期中考试已考内容占45%--50%，期中后内容占50%--55%。

本学期学习内容共七章，每章分值在15分左右(10分--20分)

下列内容期末考试不作要求：

1.用极限定义证明极限;2.近似计算;3.曲率;4.引力;5.平面束。

三、复习要点

1.极限：常用的求极限方法，洛必达法则，含变上限积分的极限等;无穷小比较，等价无穷小;左、右极限，函数连续性与可导性，间断点判别，介值定理等。

重点：求极限，洛必达法则，含变上限积分的极限，等价无穷小，函数连续性与可导性，间断点判别。

2.导数：基本求导方法，抽象复合函数求导(一阶)，参数方程求导(二阶)，隐函数求导(二阶)，对数求导法(一阶);微分;导数定义，可导性判别等。

重点：求导数。

3.导数应用：导数的几何应用，不等式证明;函数的单调性、极值、凹凸性与拐点;函数作图，最大、最小值问题;中值定理;泰勒公式。

重点：导数的几何应用，不等式证明;函数的单调性、极值、凹凸性与拐点;最大、最小值问题;

4.不定积分与定积分：积分的计算，包含分段函数的积分、含绝对值的积分、反常积分等;涉及变上限积分求导的问题，原函数的概念。

重点：换元积分法，分部积分法，分段函数的积分，含绝对值的积分，变上限积分求导的问题。

5.定积分应用：几何应用，物理应用。

重点：几何应用。

6.空间解析几何：向量运算，数量积，向量积，混合积，向量积的几何意义;直线方程，平面方程，夹角，点到平面的距离，旋转曲面，柱面，投影。

重点：向量运算，向量积的几何意义，直线方程，平面方程，夹角，点到平面的距离。

本次考试重点考察学生对基本概念、基本理论的了解与掌握，基本的运算能力，对所学 知识的基本应用。请通知学生考试时不能使用计算器。下学期开学先讲上册的微分方程。

第四篇：高等数学下册考试提纲

一、二元函数求极限

二、求向量投影，已知一定条件求平面方程

三、求方向导数最大值(梯度的模)，隐函数求一阶偏导，多元抽象复合函数求二阶偏导

四、二元分段函数在分界点连续，偏导数、可微性判断

五、交换二重积分次序;二重积分在直角坐标计算

六、三重积分计算(球面坐标)

七、第一类曲线积分计算;第二类曲线积分计算(利用曲线积分与路径无关或格林公式)

八、第一类曲面积分计算;第二类曲面积分计算(利用高斯公式)

九、求数项级数的和;求幂级数的收敛域与和函数

十、数项级数敛散性判断;利用比较法证明数项级数收敛

十一、利用条件极值求最大、最小值在几何上的应用题

第五篇：高等数学上册复习

第一章复习提要 第一节 映射与函数

1、注意几个特殊函数：符号函数，取整函数，狄利克雷函数;这些函数通常用于判断题中的反例

2、注意无界函数的概念

3、了解常用函数的图像和基本性质(特别是大家不太熟悉的反三角函数) 第二节 数列的极限 会判断数列的敛散性 第三节 函数的极限

1、函数极限存在的充要条件：左右极限存在并相等。(重要)

2、水平渐近线的概念，会求函数的水平渐近线(p37)。(重要)

3、了解函数极限的局部有界性、局部保号性。 第四节 无穷大和无穷小

1、无穷小和函数极限的关系：limf(x)Af(x)A，其中是无穷小。

xx0x

2、无穷大和无穷小是倒数关系

3、铅直渐近线的概念(p41), 会求函数的铅直渐近线

4、无界与无穷大的关系：无穷大一定无界，反之不对。

5、极限为无穷大事实上意味着极限不存在，我们把它记作无穷大只是为了描述函数增大的这种状态 第五节 极限的运算法则

1、极限的四则运算法则：两个函数的极限都存在时才能用。 以乘法为例比如f(x)x,g(x)但是limf(x)g(x)1

x01。limf(x)0，limg(x)。 xx0x0

2、会求有理分式函数

p(x)的极限(P47 例3-例7)(重要) q(x)xx0时:若分母q(x0)0，则极限为函数值

0型极限，约去公因子 0 若只是分母为零，则极限为无穷大。(p75页9(1))

x时，用抓大头法，分子、分母同时约去x的最高次幂。 第六节 极限存在的准则，两个重要极限(重要)

1、利用夹逼准则求极限： 例 p56也习题4(1)(2)，及其中考试题(B)卷第三题(1)

2、利用两个重要极限求其他的极限(p56习题2)

1sinxsinx0;lim1 3 注意下面几个极限：limxsin0;limx0xx0xxx第七节 无穷小的比较(重要)

1、会比较两个无穷之间的关系(高阶、低阶、同阶，k 阶还是等价穷小) 若分子和分母同时为零，则为

x

22、常见的等价无穷小：sinx,tanx,arcsinx~x;1cosx~

2ex1~x;(1x)~1nx n

13、若(x)为无穷小，则sin(x)~(x)，(1(x))n~(x)n，

ln(1(x))~(x)，e(x)1~(x)。

4、替换无穷小时必须是因式

x0limtanxsinxx3limxx3x0x0

应该

x2xtanxsinxtanx(1cosx)1limlimlim2

2x0x0x0x3x3x

35、会利用等价无穷小计算极限(p60页习题4)

第八节 函数的连续性与间断点(重要)

1、函数在点x0连续 limf(x)f(x0)

xx0左连续limf(x)f(x0)且

xx0f(x)f(x0)

右连续limxx0

2、会判断间断点及其类型。讨论分段函数的连续性。

3、f(x)在点a连续f(x)在点a连续;但反之不对。

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

初等函数在其定义域上都是连续的，因而求某点处极限时可以直接把点代入求值。

4. 注意三个例题：例6-例8(重要)

5、幂指函数u(x)v(x)求极限，可以利用等式u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)来求。(重要)

6、若含有根式，则分子或者分母有理化(p75页9(2))是求极限的一种重要方法。(重要)

7、利用分段函数的连续性求未知数的值(如p70页 6)(重要) 第十节 闭区间上连续函数的性质

最大值最小值定理、零点定理、介值定理的内容 会零点定理证明方程根的存在性。(重要) 补充说明 请熟悉函数e当x0,x0,x时的极限。 第二章复习提要

1、导数的定义

(1)利用导数的定义求一些极限的值：例如P86页第6题 例

1、设f(0)0,f(0)k0,则limf(x)____.

x0x1x例

2、设f(x0)存在，则limf(x0h)f(x0)________.(重要)

hh0(2)利用左右导数讨论函数的可导性：P125页第7题

sinx,x0例

3、已知f(x)，求f(x)

x,x0注意分点处的导数应该用定义来求。(重要)

(3)利用左右导数求未知数的值：P87页第17题(重要)

sinx,x0例

4、设f(x)为可导的，求a的值

ax,x0(4)利用导数几何意义求切线和法线方程(重要)

(5)可导连续，反之不成立!

2、求导法则

(1)复合函数求导不要掉项;

(2)幂指函数u(x)v(x)ev(x)lnu(x)转化成指数来求导

3、高阶导数

(1)一般的函数求到2阶即可; (2)几个初等函数的n阶导数：

(eax)(n)aneax;y(n)sin(xn);(cosx)(n)cos(xn)

22[ln(1x)](n)(1)n1(n1)!(1x)n,

(n1)!(1x)n[ln(1x)](n)(1)n1(1)n(n1)!(1x)n

由上面的求导公式我们容易推出下列求导公式：

1(n)n! ()[ln(1x)](n1)(1)nn11x(1x)1(n)n! ()[ln(1x)](n1)n11x(1x)(1(n)n! )[ln(ax)](n1)(1)nn1ax(ax)1(n)n! )[ln(1x)](n1)n1ax(ax)((3) 二项式定理

(uv)(n)(nk)(k)Ckuv nk0n(4)间接法求高阶导数：

1x2例

5、求y的n阶导数：提示y1。

1x1x(5)注意下列函数的求导

例

6、求下列函数的二阶导数：P103页第3题(重要) (1)yf(x2);(2)yln[f(x)]

4、隐函数及参数方程求导(重要) (1)一般方法，两边对x球到后解出

dy。 dx(2)会求二阶导数

(3)对数求导法适用于幂指函数和连乘或连除的函数 (4)注意参数方程二阶导数的公式

dydyd()2()tdydtdx。(重要) dxdx2dtdxdxdt(5)相关变化率问题：

根据题意给出变量x和y之间的关系;



两边对t(或者是其他变量)求导



dydx和之间的关系，已知其中一个求另外一个。 dtdt

5、函数的微分

(1)微分与可导的关系：可微可导且dyf(x)dx (2)利用微分的形式不变性求隐函数或显函数的微分： 显函数的例子见课本的例题;下面给出隐函数的例子 例

7、设ysinxcos(xy)0,求dy。 解: 利用一阶微分形式不变性 , 有

d(ysinx)d(cos(xy))0

sinxdyycosxdxsin(xy)(dxdy)0

dyycosxsin(xy)dx。

sin(xy)sinx(3)近似计算公式：注意x0的选取原则。(一般不会考) f(x)f(x0)f(x0)(xx0)

第三章：微分中值定理与导数的应用复习提要 3.1 微分中值定理(重要)

罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理应用： 证明等式，一般通过证明导数为零

证明不等式：若不等式中不含x，则取x作为辅助函数的自变量;若含有x，则取t作为辅助函数的自变量。(重要)

判断方程的根(存在性用零点定理，唯一性或判断根的个数用中值定理，有时还要结合单调性，见153也习题6)(重要)

利用辅助函数和中值定理证明等式(一个函数用拉格朗日，二个用柯西) 例1 设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)0，证明至少存在一点(0,1)使得f()2f()。

证明：上述问题等价于f()2f()0。

令f(x)x2f(x)，则f(x)在[0,1]上满足罗尔定理条件，于是少存在一点(0,1)使得

()2f()2f()0 即有f()2f()0。

(5)请熟悉132页例1. 3.2 洛必达法则(重要)

(1)(其他类型的未定式)最终转化成

0型和型未定式 0(2)每次用前需判断

(3)结合等价无穷小效果更佳。 3.3 泰勒公式

(1)一般方法：求各阶导数代入公式即可;

(2)常见函数ex,ln(1x)，sinx,cosx的麦克劳林公式 3.4 函数的单调性和凹凸性 (1)会用列表法求函数的单调区间和凹凸区间(注意一般是闭区间)，拐点。 注意不要漏掉导数不存在的点也可能是单调区间的分点; 二阶导数不存在的点也可能是拐点。 (2)利用单调性证明不等式(重要) (3)利用单调性判断方程的根(重要) 3.5 极值和最值(重要)

(1)列表法求极值(极值可能点为驻点或不可导点) (2)最值(找出极值可能点再与端点比较)

(3)对于时间问题，若极值点唯一，则也为最值点。 3.6 函数图形的描绘 注意渐近线 3.7 曲率

(1)弧微分公式

(2)曲率和曲率半径的计算公式(重要) 第四章复习提要

4.1 不定积分的概念和性质

1、基本积分表



2、公式f(x)dxf(x)和f(x)dxf(x)C 

3、注意如下问题：(填空、选择、判断) 若ex是f(x)的原函数，则x2f(lnx)dx若f(x)是ex的原函数，则12xC 2f(lnx)1dx C0lnxC xx若f(x)的导数为sinx，则f(x)的一个原函数是(B)。 A 1sinx; B 1sinx; C 1cosx; D 1cosx

4.2 换元积分法(重要)

1、第一换元法的原理：g(x)dx

把被积函数g(x)凑成g(x)f((x))(x)的形式， 因而这种方法也称为凑微分法。

2、一些规律： ①f(x)1xdx2f(x)(x)2f(x)dx

11f(axb)(axb)dxf(axb)d(axb)

aa②f(axb)dx1③f(lnx)dxf(lnx)(lnx)dxf(lnx)d(lnx)

x④sin(2k1)xcosnxdxsin2kxcosnxsinxdx(1cos2x)cosnxdcosx ⑤cos(2k1)kxsinxdxcosxsinxcosxdx(1sinx)sinnxdsinx n2kn2k注：sin(2k1)xdx和cos(2k1)xsinnxdx可以看做④和⑤的特殊情形。 ⑥sin2kxcos2nxdx用公式sin2x⑦tanxsecn2k2n2k1cos2x1cos2x和cos2x降次。 22n2kxdxtanxsecxdtanxtanx(1tanx)dtanx

注sec2kxdx可以看做⑦的特殊情形

⑧csc2k2xdxcsc2kxcsc2xdx(1cot2x)dcotx

⑨tan(2k1)xsecnxdxtan2kxsecn1xdsecx(sec2x1)secn1xdsecx ⑩利用积化和差公式：

1cosAcosB[cos(AB)cos(AB)]

21sinAcosB[sin(AB)sin(AB)]

21cosAsinB[sin(AB)sin(AB)]

21sinAsinB[cos(AB)cos(AB)]

2第二换元法

被积函数中含有a2x2，利用代换xasint,t(被积函数中含有a2x2，利用代换xatant,t(kk,) 22,) 22被积函数中含有x2a2，利用代换xasect,t(0,)(一般要分情况讨论) 被积函数为分式，分母次数比分子次数高，到代换 利用下列积分公式：

⒃tanxdxln|cosx|C;⒄cotxdxln|sinx|C

⒅secxdxln|secxtanx|C;⒆cscxdxln|cscxcotx|C ⒇dx1xdx1xaarctanC;(21)lnx2a22axaC aa2x2a(22)xdxarcsinC;ln(xa2x2)C (23)ax2a2a2x2dx(24)dxx2a2lnxx2a2C

4.3 分部积分法(重要)

1、分部积分公式：udvuvvdu

2、u的选取原则：反对幂指三。

这个原则不是绝对的，如通常exsinxdxsinxdex。

3、如果遇到反三角函数和对数函数的高次幂，通常先换元更容易算。 如(arcsinx)2dxarcsinxtt2dsint;

ln2x2ttdxlnxtedt x2遇到根式axb，先令taxb去根号。 会做形如例

7、8那样具有典型特点的题目。

4.4 有理函数的积分(重要)

1、P(x)，先用多项式除法化成真分式; Q(x)P(x)的分解式： Q(x)

2、对Q(x)分解因式，根据分解结果用待定系数法确定x1x1AB：应设

(x2)(x3)(x2)(x3)x2x3 x2x2ABxC：应设 (2x1)(x2x1)(2x1)(x2x1)(2x1)(x2x1)x2x2ABx3Cx2DxE(2x1)(x2x1)2：应设(2x1)(x2x1)(2x1)(x2x1)2

原则就是分子的次数总是要比分母低一次。

3、三角函数可以通过如下换元法转化为有理函数的积分

xxx2tan1tan22tan2;cosx2;tanx2 sinxxxx1tan21tan21tan2222x令tant，则三角函数就转化成为有理函数

24. 被积函数含有naxb或naxbcxd，则令tnaxb或tnaxbcxd 几个典型题目 P207页(42)x1dxdx，(43)x1x2P211页例

7、8 x22x3补充说明：这一章的内容需要大家在掌握一定规律的前提下多做练习，方能取得比较好的效果 第五章：定积分

5.1 定积分的概念和性质

1、定积分的定义：f(x)dxlimf(i)xi

abni0

2、定积分的几何意义：曲边梯形的面积

3、定积分的性质：利用定积分的性质判断积分的取值范围或比较两个积分的大小(p235,10,13)(重要) 5.2 微积分基本公式

1、yf(x),axb的积分上限的函数(重要)

(x)xaf(t)dt,axb

及其导数： (如p243,5题) (1)(x)f(x)

d(x)f(t)dtf((x))(x) adxda(3)f(t)dtf((x))(x)

dx(x)d(x)(4) f(t)dtf((x))(x)f((x))(x)

dx(x)

2、利用上面的公式计算极限、判断函数单调性等： 相应例题(p242,例7，8)，相应习题(p243-244: 习题9，12，12，14)(重要) (2)

3、牛顿-莱布尼茨公式：函数F(x)为函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则

baf(x)dxF(b)F(a)，记作[F(x)]a或F(x)bba

注意：分段函数(或者带绝对值的函数)的积分应为分段积分的和：典型题目p244，习题10. 5.3 定积分的换元法和分布积分法(重要)

1、第一换元公式：f[(x)](x)dtf(t)dt

ab

2、第二还原公式：f(x)dxf[(t)](t)dt

ab注意：一般来说应用第一换元公式，我们一般不需要把新变量写出来，因而也就

cos2不需要写出新变量的积分限，如cossinxdx 但是应用第二换元。

30公式，一般要写出新变量及其积分限，如

2023aasinta2x2dx(a0)xa22cos2tdt

00

3、分布积分公式：u(x)dv(x)u(x)v(x)av(x)du(x)

baabb说明：无论是还原法还是分布积分法，定积分和不定积分的计算过程都是相似的。

4、利用下面的公式能帮助我们简化计算：(重要) (1)偶倍寄零

00(2)2f(sinx)dx2f(cosx)dx (3)xf(sinx)dx020f(sinx)dx(p248, 例6，p270, 10(6))

(4)设f(x)是周期为T的连续函数：则

aTaf(x)dxf(x)dx;0TanTaf(x)dxnf(x)dx(nN).(p249，例7，p253,

0T1(26))

5、形如例9这样的积分。 5.4 反常积分

1、无穷限的反常积分：设F(x)是f(x)的原函数，引入记号

F()limF(x); F()limF(x)

xx则

af(x)dxF(x)|aF()F(a);f(x)dxF(x)|F()F().

bf(x)dxF(x)|bF(b)F();

反常积分收敛意味着相应的F(),F()存在;特别的积分F(),F()同时存在。

f(x)dx收敛必须注意：对于无穷限积分来说，偶倍寄零原则不在成立!

2、无界函数的反常积分(瑕积分)：设F(x)是f(x)的原函数，则 若b为瑕点，f(x)dx F(x)aF(b)F(a);

bab若a为瑕点，则f(x)dxF(x)aF(b)F(a);

bab若a,b都为瑕点，f(x)dx F(x)aF(b)F(a);

bab则c(a,b)为瑕点，则f(x)dxf(x)dxf(x)dxF(x)c。 aF(x)caacbcbb反常积分收敛意味着相应的F(a),F(b)存在;特别的积分f(x)dx(c(a,b)ab为瑕点)收敛必须F(c),F(c)同时存在。

说明：由上面的公式看出，反常积分与定积分的计算方法是一样的。都是先求原函数然后代入两个端点，只是对于非正常点(如和瑕点)算的是函数的极限。

3、换元法也适用于反常积分

4、会利用下面的两个重要反常积分来讨论一些函数的收敛性(重要)

ap1,dx(a0) 1,p1xpp1(p1)a(ba)1qb,q1dx 1qa(xa)q,q1练习：p260,2题;求积分bdx的收敛性。

b(xb)qa

5、遇到形如f(x)dx积分时，注意[a,b]是否含有瑕点。否则会得到错误的结果：

adx。 1x第六章 定积分的应用

6.2 定积分在几何学上的应用

1、平面图形的面积(直角坐标系和极坐标下)(重要)

2、体积(特别是旋转体的体积)(重要)

3、三个弧长公式(重要)

6.3 定积分在物理学上的应用(做功、水压力重要，引力了解) 如1